高考数学大一轮复习 9.9曲线与方程教师用书理苏教版

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高考数学一轮复习目录

高考数学一轮复习书目一、集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1.3简洁的逻辑联结词、全称量词与存在量词二．函数1.1函数及其表示2.2函数的单调性与最值2.3函数的奇偶性与周期性2.4一次函数、二次函数2.5指数与指数函数2.6对数与对数函数2.7幂函数2.8函数的图象及其变换2.9函数与方程2.10函数模型及其应用三、导数及其应用3.1导数、导数的计算3.2导数在函数单调性、极值中的应用3.3导数在函数最值及生活实际中的应用3.4 微积分基本定理四、三角函数、解三角形4.1随意角和弧度制及随意角的三角函数4.2同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式4.3三角函数的图象与性质4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质4.5简洁的三角恒等变换4.6正、余弦定理及其应用举例五、平面对量5.1平面对量的概念及其线性运算5.2平面对量的基本定理及坐标运算5.3平面对量的数量积及其应用六、数列6.1数列的概念与简洁表示法6.2等差数列及其前n项和6.3等比数列及其前n项和6.4数列的通项与求和6.5数列的综合应用七、不等式7.1不等式的概念与性质7.2一元二次不等式及其解法7.3二元一次不等式组与简洁的线性规划问题7.4基本不等式及其应用八．立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图与直观图8.2空间几何体的表面积与体积8.3空间点、直线、平面之间的位置关系8.4直线、平面平行的判定及其性质8.5直线、平面垂直的判定及其性质8.6空间向量及其运算8.7空间向量的应用九、解析几何9.1直线及其方程9.2点与直线、直线与直线的位置关系9.3圆的方程9.4直线与圆、圆与圆的位置关系9.5椭圆9.6双曲线9.7抛物线9.8直线与圆锥曲线的位置关系9.9曲线与方程十．计数原理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理10.2排列与组合10.3二项式定理十一、概率与统计11.1事务与概率11.2古典概型与几何概型11.3离散型随机变量及其分布列11.4二项分布及其应用11.5离散型随机变量的均值与方差、正态分布11.6随机抽样与用样本估计总体11.7变量间的相关关系十二、选修部分选修4-4坐标系与参数方程选修4-5不等式选讲十三、算法初步、推理与证明、复数12.1算法与程序框图12.2基本算法语句12.3合情推理与演绎推理12.4干脆证明与间接证明12.5数学归纳法12.6数系的扩充与复数的引入。

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8曲线与方程教师用书理苏教版

第九章平面解析几何 9.8 曲线与方程教师用书理苏教版1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤【知识拓展】1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( √)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( ×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( × ) (5)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )1．(教材改编)已知点F (14，0)，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是________．答案抛物线解析由已知MF ＝MB ，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2016·苏州模拟)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是________________．答案一条直线和一条射线解析原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．3．(2016·南通模拟)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则P 点的轨迹方程是________________．答案 (x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)解析由角的平分线性质定理得PA ＝2PB ，设P (x ，y )，则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，整理得(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方程是________________．答案 x 2a 2＋4y 2b2＝1解析设MN 的中点为P (x ，y )，则点M (x,2y )在椭圆上，∴x 2a 2＋y 2b 2＝1，即x 2a 2＋4y 2b2＝1(a >b >0)． 5．(2016·镇江模拟)若点P 在椭圆x 29＋y 2＝1上，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，且满足PF 1→·PF 2→＝t ，则实数t 的取值范围是____________．答案 [－7,1]解析设P (x ，y )，F 1(－22，0)，F 2(22，0)，PF 1→＝(－22－x ，－y )，PF 2→＝(22－x ，－y )，PF 1→·PF 2→＝(－22－x )(22－x )＋(－y )2＝x 2＋y 2－8.∵P 在椭圆x 29＋y 2＝1上，∴y 2＝1－x 29，∴t ＝PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－8 ＝89x 2－7，∵0≤x 2≤9， ∴－7≤t ≤1，故实数t 的取值范围为[－7,1].题型一定义法求轨迹方程例1 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性，得B (x 0，－y 0)，设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．思维升华应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有MO 1＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有MO 2＝r ＋2. ∴MO 2－MO 1＝3<4＝O 1O 2.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a2＝74. ∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1(x ≤－32)．题型二直接法求轨迹方程例2 (2016·常州模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (3，0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程．解 (1)设AB 的中点为M ，切点为N ，连结OM ，ON ，则OM ＋MN ＝ON ＝2，取A 关于y 轴的对称点A ′，连结A ′B ，故A ′B ＋AB ＝2(OM ＋MN )＝4.所以点B 的轨迹是以A ′，A 为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ，则OB →⊥AB →. 设B (x 0，y 0)，则AB →＝(x 0－3，y 0)，所以x 0(x 0－3)＋y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，解得x 0＝23，y 0＝±23. 则k OB ＝±22，k AB ＝∓2，则直线AB 的方程为y ＝±2(x －3)，即2x －y －6＝0或2x ＋y －6＝0.思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．由题意，可得PF 2＝F 1F 2，即a －c2＋b 2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋c a－1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c ，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，即⎝⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫85y －335x ·3x ＝－2，化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)．题型三相关点法求轨迹方程例3 (2016·盐城模拟)如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以点A 的坐标为(－1，14)，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，所以y 0＝－12×(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－－222p＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2.由N 为线段AB 的中点，知x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④所以切线MA ，MB 的方程分别为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 的中点N 为点O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 的中点N 的轨迹方程是x 2＝43y .思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)． (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f x ，y ，y 1＝g x ，y(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程．解设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax ，消去y 并整理得x 2－12ax ＋16a 2＝0.∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .∵G (x ，y )为△ABC 的重心，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a 3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a .又点C (x 0，y 0)在抛物线上，∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得 (3y －4a )2＝4a (3x －12a )，即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )．又点C 与A ，B 不重合，∴x 0≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为(y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±253)a )．分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (16分)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，OP OQ＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x 2，y 2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题．规范解答解 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2.[2分] 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1. 又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，[4分] 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[5分](2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]，设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 203＝1，解得y 20＝3－34x 2.[7分]由OP OQ ＝λ可得OP 2OQ 2＝λ2，故x 2＋3－34x 2x 2＋y2＝λ2，得(λ2－14)x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2]．[10分]当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]，此轨迹是两条平行于x 轴的线段；[12分] 当λ2<14，即0<λ<12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分；[14分] 当λ2>14，即λ>12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1.此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分．[16分]1．(2016·无锡质检)设定点M 1(0，－3)，M 2(0,3)，动点P 满足条件PM 1＋PM 2＝a ＋9a(其中a是正常数)，则点P 的轨迹是__________．答案椭圆或线段解析 ∵a 是正常数，∴a ＋9a≥29＝6.当PM 1＋PM 2＝6时，点P 的轨迹是线段M 1M 2；当a ＋9a>6时，点P 的轨迹是椭圆．2．(2016·南京模拟)已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点F 1，F 2的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为________________．答案 x 2＋y 2＋26x ＋25＝0解析 F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设M (x ，y )，则x ＋2＋y 2x －2＋y 2＝49，化简得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0. 3．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是____________．答案 2x －y ＋5＝0解析由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.4．已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为________．答案 3解析 ∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根， ∴e ＝2或e ＝12.mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时，有4－m 2＝12，∴m ＝3；当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有m －4m＝12，∴m ＝163；当它表示焦点在x 轴上的双曲线时，可化为x 24－y 2－m＝1，有4－m2＝2，∴m ＝－12. ∴满足条件的圆锥曲线有3个．5．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为____________．答案 y ＝2x解析设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x12＝1，y ＋y12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y .∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .6．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是________．答案直线解析设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．7．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．答案 ②③解析因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，且a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以PF 1·PF 2＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为12F PF S ∆＝12PF 1·PF 2·sin∠F 1PF 2≤12PF 1·PF 2＝12a 2，即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，所以③正确．8．(2017·南通月考)已知△ABC 的顶点A ，B 坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为______ __________．答案x 225＋y 29＝1(x ≠±5)解析由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10，则AC ＋BC ＝10>8＝AB ，∴满足椭圆定义．令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3，则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5)． 9.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．答案 x 24a 2＋y 24b2＝1解析由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝(－x 2，－y 2)，即P 点坐标为(－x 2，－y2)，又P 在椭圆上，则有－x22a 2＋－y22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.10．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________________．答案x 24＋y 23＝1(y ≠0) 解析设抛物线的焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则AA 1＋BB 1＝2OO 1＝4，由抛物线定义得AA 1＋BB 1＝FA ＋FB ，∴FA ＋FB ＝4>2＝AB ，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)． ∴轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．11．过点(1,0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y ＝12x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程．解由e ＝c a ＝22，得a 2－b 2a 2＝12，从而a 2＝2b 2，c ＝b .设椭圆C 的方程为x 2＋2y 2＝2b 2，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，∵A 、B 在椭圆C 上，∴x 21＋2y 21＝2b 2，x 22＋2y 22＝2b 2，两式相减得(x 21－x 22)＋2(y 21－y 22)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2.设AB 中点坐标为(x 0，y 0)，则k AB ＝－x 02y 0，又(x 0，y 0)在直线y ＝12x 上，故y 0＝12x 0，于是－x 02y 0＝－1，即k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＝－x ＋1.右焦点(b,0)关于直线l 的对称点设为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ′x ′－b ＝1，y ′2＝－x ′＋b2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1，y ′＝1－b .由点(1,1－b )在椭圆上，得1＋2(1－b )2＝2b 2， ∴b ＝34，∴b 2＝916，a 2＝98.∴所求椭圆C 的方程为x 298＋y 2916＝1.12．(2016·连云港模拟)定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC ＝BC ，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．解 (1)∵F (3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内， ∴圆N 内切于圆M .∵NM ＋NF ＝4>FM ，∴点N 的轨迹E 为椭圆，且2a ＝4，c ＝3，∴b ＝1， ∴轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，S △ABC ＝12OC ·AB ＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x A ，y A )，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ，得x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k2，∴OA 2＝x 2A ＋y 2A ＝＋k21＋4k2. 将上式中的k 替换为－1k，可得OC 2＝＋k 2k 2＋4.∴S △ABC ＝2S △AOC ＝OA ·OC＝＋k21＋4k 2·＋k 2k 2＋4＝＋k 2＋4k 2k 2＋.∵＋4k 2k 2＋≤＋4k2＋k 2＋2＝＋k 22，∴S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85.∵2>85，∴△ABC 面积的最小值是85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .*13. (2016·河北衡水中学三调)如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)设直线l 与(1)中轨迹Γ相交于A ，B 两点，直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2(其中k >0)，△OAB 的面积为S ，以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，若k 1，k ，k 2恰好构成等比数列，求S 1＋S 2S的取值范围．解 (1)连结QF ，根据题意，QP ＝QF ，则QE ＋QF ＝QE ＋QP ＝4>EF ＝23，故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，可知a ＝2，c ＝3，∴b ＝1， ∴点Q 的轨迹Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得，(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝m 2－1＋4k 2. ∵k 1，k ，k 2构成等比数列， ∴k 2＝k 1k 2＝kx 1＋mkx 2＋mx 1x 2，整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，解得k 2＝14. ∵k >0，∴k ＝12.此时Δ＝16(2－m 2)>0，解得m ∈(－2，2)．又由A ，O ，B 三点不共线得m ≠0，从而m ∈(－2，0)∪(0，2)．故S ＝12·AB ·d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·|m |1＋k 2＝12x 1＋x 22－4x 1x 2·|m |＝2－m 2|m |. 又x 214＋y 21＝x 224＋y 22＝1，则S 1＋S 2＝π4(x 21＋y 21＋x 22＋y 22)＝π4(34x 21＋34x 22＋2) ＝3π16[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋π2＝5π4为定值． ∴S 1＋S 2S ＝5π4×1－m2m2≥5π4，当且仅当m ＝±1时等号成立．综上，S 1＋S 2S ∈[5π4，＋∞)．。

苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第九章解析几何第一节直线与方程教案理解析版

１．直线的倾斜角（１）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.（２）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π）．２．斜率公式（１）直线l的倾斜角为α错误!，则斜率k＝tan_α.（２）P１（x１，y１），P２（x２，y２）在直线l上，且x１≠x２，则l的斜率k＝错误!.３．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y—y0＝k（x—x0）不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式错误!＝错误!不含直线x＝x１（x１≠x２）和直线y＝y１（y１≠y２）截距式错误!＋错误!＝１不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A２＋B２≠0平面内所有直线都适用[小题体验]１．若过点M（—２，m），N（m,４）的直线的斜率等于１，则m的值为________．答案：１２．已知a≠0，直线ax＋my—５m＝0过点（—２,１），则此直线的斜率为________．答案：２３．已知三角形的三个顶点A（—５,0），B（３，—３），C（0,２），则BC边上中线所在的直线方程为________．解析：由已知，得BC的中点坐标为错误!，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝—错误!，故BC边上的中线所在直线方程为y＋错误!＝—错误!错误!，即x＋１３y＋５＝0．答案：x＋１３y＋５＝0４．已知直线l：ax＋y—２—a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.解析：令x＝0，则l在y轴的截距为２＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为１＋错误!.依题意２＋a＝１＋错误!，解得a＝１或a＝—２．答案：１或—２１．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．２．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．３．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]１．若直线l经过点A（１,２），且倾斜角是直线y＝x＋３的倾斜角的２倍，则直线l的方程为____________．解析：因为直线y＝x＋３的倾斜角为α＝４５°，所以所求直线l的倾斜角为２α＝90°，所以直线l 的方程为x＝１．答案：x＝１２．过点M（３，—４），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：１若直线过原点，则k＝—错误!，所以y＝—错误!x，即４x＋３y＝0．２若直线不过原点．设错误!＋错误!＝１，即x＋y＝a.则a＝３＋（—４）＝—１，所以直线的方程为x＋y＋１＝0．答案：４x＋３y＝0或x＋y＋１＝0错误!错误![题组练透]１．（２0１9·启东中学检测）倾斜角为１３５°，在y轴上的截距为—１的直线方程是________．解析：直线的斜率为k＝tan １３５°＝—１，所以直线方程为y＝—x—１，即x＋y＋１＝0．答案：x＋y＋１＝0２．（２0１8·绥化一模）直线x sin α＋y＋２＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：因为直线x sin α＋y＋２＝0的斜率k＝—sin α，又—１≤sin α≤１，所以—１≤k≤１．设直线x sin α＋y＋２＝0的倾斜角为θ，所以—１≤tan θ≤１，而θ∈[0，π），故倾斜角的取值范围是错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!３．若点A（４,３），B（５，a），C（6,５）三点共线，则a的值为________．解析：因为k AC＝错误!＝１，k AB＝错误!＝a—３．由于A，B，C三点共线，所以a—３＝１，即a ＝４．答案：４４．已知线段P Q两端点的坐标分别为P（—１,１）和Q（２,２），若直线l：x＋my＋m＝0与线段P Q有交点，则实数m的取值范围是________．解析：如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A（0，—１），当m≠0时，k Q A＝错误!，k PA＝—２，k l＝—错误!.结合图象知，若直线l与P Q有交点，应满足—错误!≤—２或—错误!≥错误!.解得0＜m≤错误!或—错误!≤m＜0；当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段P Q有交点．所以实数m的取值范围为错误!.答案：错误![谨记通法]１．倾斜角α与斜率k的关系当α∈错误!且由0增大到错误!错误!时，k的值由0增大到＋∞.当α∈错误!时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由错误!错误!增大到π（α≠π）时，k的值由—∞趋近于0（k≠0）．２．斜率的２种求法（１）定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．（２）公式法：若已知直线上两点A（x１，y１），B（x２，y２），一般根据斜率公式k＝错误!（x１≠x）求斜率．２错误!错误![典例引领]（１）求过点A（１,３），斜率是直线y＝—４x的斜率的错误!的直线方程；（２）求经过点A（—５,２），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的２倍的直线方程．解：（１）设所求直线的斜率为k，依题意k＝—４×错误!＝—错误!.又直线经过点A（１,３），因此所求直线方程为y—３＝—错误!（x—１），即４x＋３y—１３＝0．（２）当直线不过原点时，设所求直线方程为错误!＋错误!＝１，将（—５,２）代入所设方程，解得a＝—错误!，所以直线方程为x＋２y＋１＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则—５k＝２，解得k＝—错误!，所以直线方程为y＝—错误!x，即２x＋５y＝0．故所求直线方程为２x＋５y＝0或x＋２y＋１＝0．[由题悟法]求直线方程的２个注意点（１）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．（２）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零）．[即时应用]１．过点P（6，—２），且在x轴上的截距比在y轴上的截距大１的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为错误!＋错误!＝１，则错误!＋错误!＝１，解得a＝２或a＝１，则直线方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１，即２x＋３y—6＝0或x＋２y—２＝0．答案：２x＋３y—6＝0或x＋２y—２＝0２．在△ABC中，已知A（５，—２），B（7,３），且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________．解析：设C（x0，y0），则M错误!，N错误!.因为点M在y轴上，所以错误!＝0，所以x0＝—５．因为点N在x轴上，所以错误!＝0，所以y0＝—３，即C（—５，—３），所以M错误!，N（１,0），所以直线MN的方程为错误!＋错误!＝１，即５x—２y—５＝0．答案：５x—２y—５＝0错误!错误![锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：（１）与基本不等式相结合的最值问题；（２）与导数的几何意义相结合的问题；（３）与圆相结合求直线方程的问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题１．（２0１9·如皋检测）过点P（２,１）的直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点．（１）当OA·OB最小时，求直线l的方程；（２）当２OA＋OB最小时，求直线l的方程．解：设直线l的方程为y—１＝k（x—２）（k＜0），则l与x轴，y轴正半轴分别交于A错误!，B（0,１—２k）两点．（１）OA·OB＝错误!·（１—２k）＝４＋（—４k）＋错误!≥４＋２错误!＝8，当且仅当—４k＝—错误!，即k＝—错误!时取得最小值8．故当OA·OB最小时，所求直线l的方程为y—１＝—错误!（x—２），即x＋２y—４＝0．（２）２OA＋OB＝２错误!＋（１—２k）＝５＋错误!＋（—２k）≥５＋２错误!＝9，当且仅当—错误!＝—２k，即k＝—１时取得最小值9．故当２OA＋OB最小时，所求直线l的方程为y—１＝—（x—２），即x＋y—３＝0．角度二：与导数的几何意义相结合的问题２．设P为曲线C：y＝x２＋２x＋３上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为错误!，则点P横坐标的取值范围为________．解析：由题意知y′＝２x＋２，设P（x0，y0），则k＝２x0＋２．因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为错误!，所以0≤k≤１，即0≤２x0＋２≤１，故—１≤x0≤—错误!.答案：错误!角度三：与圆相结合求直线方程的问题３．（２0１8·徐州调研）已知点P是圆O：x２＋y２＝４上的动点，点A（４,0），若直线y＝kx＋１上总存在点Q，使点Q恰是线段AP的中点，求实数k的取值范围．解：设P（２cos θ，２sin θ），则AP的中点坐标为Q（cos θ＋２，sin θ），因为点Q在直线y＝kx＋１上，所以sin θ＝k（cos θ＋２）＋１，即k＝错误!，即k表示单位圆上的点（cos θ，sin θ）与点（—２,１）连线的斜率．设过点（—２,１）的直线方程为y—１＝k（x＋２），若要满足题意，则圆心到直线kx—y＋２k＋１＝0的距离d＝错误!≤１，解得k∈错误!.[通法在握]处理直线方程综合应用的思路（１）含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．（２）求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]１．已知直线l１：ax—２y＝２a—４，l２：２x＋a２y＝２a２＋４，当0＜a＜２时，直线l１，l２与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.解析：由已知画出简图，如图所示．因为l１：ax—２y＝２a—４，所以当x＝0时，y＝２—a，即直线l１与y轴交于点A（0,２—a）．因为l２：２x＋a２y＝２a２＋４，所以当y＝0时，x＝a２＋２，即直线l２与x轴交于点C（a２＋２,0）．易知l１与l２均过定点（２,２），即两直线相交于点B（２,２）．则四边形AOCB的面积为S＝S△AOB＋S△BOC＝错误!（２—a）×２＋错误!（a２＋２）×２＝错误!２＋错误!≥错误!.所以S min＝错误!，此时a＝错误!.答案：错误!２．已知点P在直线x＋３y—２＝0上，点Q在直线x＋３y＋6＝0上，线段P Q的中点为M（x0，y0），且y0＜x0＋２，求错误!的取值范围．解：依题意可得错误!＝错误!，化简得x0＋３y0＋２＝0，又y0＜x0＋２，k OM＝错误!，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M位于线段AB（不包括端点）上时，k OM＞0，当点M位于射线BN上除B点外时，k OM＜—错误!.所以错误!的取值范围是错误!∪（0，＋∞）．一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·南通模拟）将直线y＝２x绕原点逆时针旋转错误!，则所得直线的斜率为________．解析：设直线y＝２x的倾斜角是α，则tan α＝２，将直线y＝２x绕原点逆时针旋转错误!，则倾斜角变为α＋错误!，∴所得直线的斜率k＝tan错误!＝错误!＝—３．答案：—３２．（２0１8·南通中学月考）过点P（—２,４）且斜率k＝３的直线l的方程为________．解析：由题意得，直线l的方程为y—４＝３[x—（—２）]，即３x—y＋１0＝0．答案：３x—y＋１0＝0３．若直线y＝—２x＋３k＋１４与直线x—４y＝—３k—２的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是________．解析：解方程组错误!得错误!因为直线y＝—２x＋３k＋１４与直线x—４y＝—３k—２的交点位于第四象限，所以k＋6＞0且k＋２＜0，所以—6＜k＜—２．答案：（—6，—２）４．（２0１8·南京名校联考）曲线y＝x３—x＋５上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ（θ∈[0，π）），因为y′＝３x２—１≥—１，所以tan θ≥—１，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!５．（２0１9·无锡模拟）已知直线（a—２）y＝（３a—１）x—１，若这条直线不经过第二象限，则实数a的取值范围是________．解析：若a—２＝0，即a＝２时，直线方程可化为x＝错误!，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a—２≠0，直线方程可化为y＝错误!x—错误!，此时若直线不经过第二象限，则错误!≥0，错误!≥0，解得a＞２．综上，满足条件的实数a的取值范围是[２，＋∞）．答案：[２，＋∞）6．（２0１8·南京调研）已知函数f（x）＝a sin x—b cos x，若f错误!＝f错误!，则直线ax—by＋c＝0的倾斜角为________．解析：由f错误!＝f错误!知函数f（x）的图象关于直线x＝错误!对称，所以f（0）＝f错误!，所以—b＝a，则直线ax—by＋c＝0的斜率为错误!＝—１，故其倾斜角为错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·泰州模拟）倾斜角为１２0°，在x轴上的截距为—１的直线方程是________．解析：由于倾斜角为１２0°，故斜率k＝—错误!.又直线过点（—１,0），所以直线方程为y＝—错误!（x＋１），即错误!x＋y＋错误!＝0．答案：错误!x＋y＋错误!＝0２．（２0１8·泗阳中学检测）若直线l与直线y＝１，x＝7分别交于点P，Q，且线段P Q的中点坐标为（１，—１），则直线l的斜率为________．解析：设P（x,１），Q（7，y），则错误!＝１，错误!＝—１，所以x＝—５，y＝—３，即P（—５,１），Q（7，—３），故直线l的斜率k＝错误!＝—错误!.答案：—错误!３．（２0１9·苏州调研）已知θ∈R，则直线x sin θ—错误!y＋１＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：设直线的倾斜角为α，则tan α＝错误!sin θ，∵—１≤sin θ≤１，∴—错误!≤tan α≤错误!，又α∈[0，π），∴0≤α≤错误!或错误!≤α＜π.答案：错误!∪错误!４．已知两点A（0,１），B（１,0），若直线y＝k（x＋１）与线段AB总有公共点，则实数k的取值范围是________．解析：y＝k（x＋１）是过定点P（—１,0）的直线，k PB＝0，k PA＝错误!＝１，所以实数k的取值范围是[0,１]．答案：[0,１]５．已知点P（x，y）在直线x＋y—４＝0上，则x２＋y２的最小值是________．解析：因为点P（x，y）在直线x＋y—４＝0上，所以y＝４—x，所以x２＋y２＝x２＋（４—x）２＝２（x—２）２＋8，当x＝２时，x２＋y２取得最小值8．答案：86．（２0１9·南京模拟）过点P（２,３）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________．解析：若直线的截距不为0，可设为错误!＋错误!＝１，把P（２,３）代入，得错误!＋错误!＝１，a ＝５，直线方程为x＋y—５＝0．若直线的截距为0，可设为y＝kx，把P（２,３）代入，得３＝２k，k＝错误!，直线方程为３x—２y ＝0．综上，所求直线方程为x＋y—５＝0或３x—２y＝0．答案：x＋y—５＝0或３x—２y＝07．已知直线l：y＝kx＋１与两点A（—１,５），B（４，—２），若直线l与线段AB相交，则实数k 的取值范围是______________．解析：易知直线l：y＝kx＋１的方程恒过点P（0,１），如图，∵k PA＝—４，k PB＝—错误!，∴实数k的取值范围是（—∞，—４]∪错误!.答案：（—∞，—４]∪错误!8．若直线l：错误!＋错误!＝１（a＞0，b＞0）经过点（１,２），则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l：错误!＋错误!＝１（a＞0，b＞0）可知直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值，即求a＋b的最小值．由直线经过点（１,２）得错误!＋错误!＝１．于是a＋b＝（a＋b）·错误!＝３＋错误!＋错误!，因为错误!＋错误!≥２错误!＝２错误!错误!，所以a＋b≥３＋２错误!，故直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为３＋２错误!.答案：３＋２错误!9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为３，分别求满足下列条件的直线l 的方程：（１）过定点A（—３,４）；（２）斜率为错误!.解：（１）设直线l的方程为y＝k（x＋３）＋４，它在x轴，y轴上的截距分别是—错误!—３,３k＋４，由已知，得（３k＋４）错误!＝±6，解得k１＝—错误!或k２＝—错误!.故直线l的方程为２x＋３y—6＝0或8x＋３y＋１２＝0．（２）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝错误!x＋b，它在x轴上的截距是—6b，由已知，得|—6b·b|＝6，所以b＝±１．所以直线l的方程为x—6y＋6＝0或x—6y—6＝0．１0．已知直线l的方程为（m２—２m—３）x＋（２m２＋m—１）y＋6—２m＝0．（１）求实数m的取值范围；（２）若直线l的斜率不存在，求实数m的值；（３）若直线l在x轴上的截距为—３，求实数m的值；（４）若直线l的倾斜角是４５°，求实数m的值．解：（１）当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m２—２m—３＝0，解得m＝—１或m＝３；令２m２＋m—１＝0，解得m＝—１或m＝错误!.所以实数m的取值范围是（—∞，—１）∪（—１，＋∞）．（２）由（１）易知，当m＝错误!时，方程表示的直线的斜率不存在．（３）依题意，有错误!＝—３，所以３m２—４m—１５＝0，所以m＝３或m＝—错误!，由（１）知所求m＝—错误!.（４）因为直线l的倾斜角是４５°，所以斜率为１．由—错误!＝１，解得m＝错误!或m＝—１（舍去）．所以直线l的倾斜角为４５°时，m＝错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·无锡期末）过点（２,３）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB（O为坐标原点）面积最小时，直线l的方程为________________．解析：设直线l的斜率为k，且k＜0，所以直线l的方程为y—３＝k（x—２），即kx—y＋３—２k ＝0．令x＝0，得y＝３—２k，所以B（0，３—２k）；令y＝0，得x＝２—错误!，所以A错误!.则△AOB 的面积为S＝错误!（３—２k）错误!＝错误!错误!≥错误!错误!＝１２，当且仅当—错误!＝—４k，即k＝—错误!时等号成立，所以直线l的方程为３x＋２y—１２＝0．答案：３x＋２y—１２＝0２．已知曲线y＝错误!，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y′＝错误!＝错误!，因为e x＞0，所以e x＋错误!≥２错误!＝２（当且仅当e x＝错误!，即x＝0时取等号），所以e x＋错误!＋２≥４，故y′＝错误!≥—错误!（当且仅当x＝0时取等号）．所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为错误!，切线的方程为y—错误!＝—错误!（x—0），即x＋４y—２＝0．该切线在x轴上的截距为２，在y轴上的截距为错误!，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝错误!×２×错误!＝错误!.答案：错误!３．已知直线l：kx—y＋１＋２k＝0（k∈R）．（１）证明：直线l过定点；（２）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（３）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：（１）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋２）＋１，故无论k取何值，直线l总过定点（—２,１）．（２）直线l的方程为y＝kx＋２k＋１，则直线l在y轴上的截距为２k＋１，要使直线l不经过第四象限，则错误!解得k≥0，故k的取值范围是错误!.（３）依题意，直线l在x轴上的截距为—错误!，在y轴上的截距为１＋２k，所以A错误!，B（0,１＋２k）．又—错误!＜0且１＋２k＞0，所以k＞0．故S＝错误!|OA||OB|＝错误!×错误!×（１＋２k）＝错误!错误!≥错误!（４＋４）＝４，当且仅当４k＝错误!，即k＝错误!时，取等号．故S的最小值为４，此时直线l的方程为x—２y＋４＝0．。

2019-2020年高考数学大一轮复习 9.9曲线与方程学案理苏教版

2019-2020年高考数学大一轮复习 9.9曲线与方程学案理苏教版导学目标：了解曲线的方程与方程的曲线的对应法则．自主梳理1．曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程．曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．求曲线方程的常用方法：(1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)参数法．自我检测1．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程为______________．2．一动圆与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是__________________________________________________________________．3．已知A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是______________________．4．若M 、N 为两个定点且MN ＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹方程为________．5．(xx·江西改编)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是__________________．探究点一直接法求轨迹方程例1 动点P 与两定点A (a,0)，B (－a,0)连线的斜率的乘积为k ，试求点P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．变式迁移1 已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为______________．探究点二定义法求轨迹方程例2 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．变式迁移2 在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为____________________________________．探究点三相关点法(代入法)求轨迹方程例3 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N . 求线段QN 的中点P 的轨迹方程．变式迁移3 已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P是AB 上一点，且AP →＝22PB →.求点P 的轨迹C 的方程．分类讨论思想例 (14分) 过定点A (a ，b )任作互相垂直的两直线l 1与l 2，且l 1与x 轴交于点M ，l 2与y 轴交于点N ，如图所示，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．多角度审题要求点P 坐标，必须先求M 、N 两点，这样就要求直线l 1、l 2，又l 1、l 2过定点且垂直，只要l 1的斜率存在，设一参数k 1即可求出P 点坐标，再消去k 1即得点P 轨迹方程．【答题模板】解 (1)当l 1不平行于y 轴时，设l 1的斜率为k 1，则k 1≠0.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k 1， [2分]l 1的方程为y －b ＝k 1(x －a )， ①[4分] l 2的方程为y －b ＝－1k 1(x －a )，②[6分]在①中令y ＝0，得M 点的横坐标为x 1＝a －b k 1， [8分]在②中令x ＝0，得N 点的纵坐标为y 1＝b ＋ak 1， [10分]设MN 中点P 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－b 2k1，y ＝b 2＋a2k 1，消去k 1，得2ax ＋2by －a 2－b 2＝0 (x ≠a2)． ③[12分](2)当l 1平行于y 轴时，MN 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2，其坐标满足方程③. 综合(1)(2)知所求MN 中点P 的轨迹方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0. [14分] 【突破思维障碍】引进l 1的斜率k 1作参数，写出l 1、l 2的直线方程，求出M 、N 的坐标，求出点P 的坐标，得参数方程，消参化为普通方程，本题还要注意直线l 1的斜率是否存在．【易错点剖析】当AM ⊥x 轴时，AM 的斜率不存在，此时MN 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2，易错点是把斜率不存在的情况忽略，因而丢掉点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2.1．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x ，y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明可以省略．(2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P (x ，y )却随另一动点Q (x ′，y ′)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ′，y ′表示为x 、y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法．(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x 、y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．2．本节易错点：(1)容易忽略直线斜率不存在的情况；(2)利用定义求曲线方程时，应考虑是否符合曲线的定义．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是_________________________________________________________________．2．已知A 、B 是两个定点，且AB ＝3，CB －CA ＝2，则点C 的轨迹方程为______________．3．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹方程为____________．4．(xx·淮安模拟)如图，圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2，0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是________．5．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上的动点，作PD ⊥y 轴，D 为垂足，则PD 中点的轨迹方程为____________．6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于______．7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为______________．8．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知抛物线y 2＝4px (p >0)，O 为顶点，A ，B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于点M ，求点M 的轨迹方程．10．(14分)(xx·宁夏、海南)已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的一点，OPOM＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．11．(14分)在平面直角坐标系xOy 中，有一个以F 1(0，－3)和F 2(0，3)为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，且OM →＝OA →＋OB →.求：(1)点M 的轨迹方程；(2)|OM →|的最小值．学案53 曲线与方程答案自我检测1．8x 2－2y －1＝0 2.双曲线的右支 3.y 2－x 248＝1(y ≤－1)4．x 2＋y 2＝95．(－33，0)∪(0，33)解析 C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意，则－33<m <0或0<m <33.综上知－33<m <0或0<m <33. 课堂活动区例1 解题导引 ①在判断含参数的方程所表示的曲线类型时，不能仅仅根据方程的外表草率地作出判断；②由于已知条件中，直线PA 、PB 的斜率存在，因此轨迹曲线应除去A 、B 两点；③一般地，方程x 2A ＋y 2B＝1所表示的曲线有以下几种情况：1° A >B >0，表示焦点在x 轴上的椭圆； 2° A ＝B >0，表示圆；3° 0<A <B ，表示焦点在y 轴上的椭圆； 4° A >0>B ，表示焦点在x 轴上的双曲线； 5° A <0<B ，表示焦点在y 轴上的双曲线； 6° A ，B <0，无轨迹．解设点P (x ，y )，则k AP ＝y x －a ，k BP ＝yx ＋a.由题意得y x －a ·y x ＋a＝k ，即kx 2－y 2＝ka 2.∴点P 的轨迹方程为kx 2－y 2＝ka 2(x ≠±a )．(*)(1)当k ＝0时，(*)式即y ＝0，点P 的轨迹是直线AB (除去A 、B 两点)．(2)当k ≠0时，(*)式即x 2a 2－y 2ka2＝1，①若k >0，点P 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线(除去A 、B 两点)．②若k <0，(*)式可化为x 2a 2＋y 2－ka2＝1. 1° 当－1<k <0时，点P 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆(除去A 、B 两点)；2° 当k ＝－1时，(*)式即x 2＋y 2＝a 2，点P 的轨迹是以原点为圆心，|a |为半径的圆(除去A 、B 两点)；3° 当k <－1时，点P 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆(除去A 、B 两点)．变式迁移1 y 2＝－8x解析由题意：MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )， NP →＝(x －2，y )， ∵|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，∴42＋02·x ＋2＋y 2＋(x －2)·4＋y ·0＝0，移项两边平方，化简得y 2＝－8x .例2 解题导引 (1)由于动点M 到两定点O 1、O 2的距离的差为常数，故应考虑是否符合双曲线的定义，是双曲线的一支还是两支，能否确定实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转化；(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．解如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)、O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有MO 1＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有MO 2＝r ＋2. ∴MO 2－MO 1＝3<4.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y27＝1 (x <0)．变式迁移2 16x 2a 2－16y 23a 2＝1 (x >a4)解析 ∵sin C －sin B ＝12sin A ，由正弦定理得到AB －AC ＝12BC ＝12a (定值)．∴A 点轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为a4，焦距为BC ＝a .∴虚半轴长为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42＝34a ，由双曲线标准方程得为16x 2a 2－16y 23a 2＝1(x >a 4)．例3 解题导引相关点法也叫坐标转移(代入)法，是求轨迹方程常用的方法．其题目特征是：点A 的运动与点B 的运动相关，且点B 的运动有规律(有方程)，只需将A 的坐标转移到B 的坐标中，整理即可得点A 的轨迹方程．解设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，则点N 的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)． ∵N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 1＋2y －y 1＝2. ① 又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2， ∴y －y 1x －x 1＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0. ② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1.③又点Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，∴x 21－y 21＝1.④③代入④，得动点P 的轨迹方程是2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.变式迁移3 解设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )，所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为AB ＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1. ∴点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.课后练习区1．以F 1、O 为焦点的椭圆 2．双曲线的一支解析 A 、B 是两个定点，CB －CA ＝2<AB ，所以点C 轨迹为双曲线的一支． 3．x 2＋y 24＝1解析设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9， ① 又AC →＝2CB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ， ②代入①式整理可得x 2＋y 24＝1.4．椭圆解析设抛物线的焦点为F ，因为A 、B 在抛物线上，所以由抛物线的定义知，A 、B 到F 的距离AF 、BF 分别等于A 、B 到准线l 的距离AM 、BN (如图所示)，于是AF ＋BF ＝AM ＋BN .过O 作OR ⊥l ，由于l 是圆O 的一条切线，所以四边形AMNB 是直角梯形，OR 是中位线，故有AF ＋BF ＝AM ＋BN ＝2OR ＝8>4＝AB .根据椭圆的定义知，焦点F 的轨迹是一个椭圆．5.x 24＋y 29＝1解析设PD 中点为M (x ，y )，则P 点坐标为(2x ，y )，代入方程x 216＋y 29＝1，即得x 24＋y 29＝1.6．4π解析设P (x ，y )，由题知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4，可知圆的面积为4π.7．(x －10)2＋y 2＝36 (y ≠0) 解析方法一直接法．设A (x ，y )，y ≠0，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2， ∴CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋y 24＝3. 化简得(x －10)2＋y 2＝36，∵A 、B 、C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0. 方法二定义法．如图所示，设A (x ，y )，D 为AB 的中点，过A 作AE ∥CD 交x 轴于E ，则E (10,0)．∵CD ＝3，∴AE ＝6， ∴A 到E 的距离为常数6.∴A 的轨迹为以E 为圆心，6为半径的圆，即(x －10)2＋y 2＝36.又A 、B 、C 不共线，故A 点纵坐标y ≠0.故A 点轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36 (y ≠0)．8．y 2＝8x9．解设M (x ，y )，直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b . 由OM ⊥AB 得k ＝－x y.设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由y 2＝4px 及y ＝kx ＋b 消去y ，得k 2x 2＋x (2kb －4p )＋b 2＝0，所以x 1x 2＝b 2k2.消去x ，得ky 2－4py ＋4pb ＝0，所以y 1y 2＝4pbk. (6分)由OA ⊥OB ，得y 1y 2＝－x 1x 2，所以4pb k ＝－b 2k2，b ＝－4kp .故y ＝kx ＋b ＝k (x －4p )． (10分)用k ＝－xy 代入，得x 2＋y 2－4px ＝0 (x ≠0)． (12分) AB 斜率不存在时，经验证也符合上式．故M 的轨迹方程为x 2＋y 2－4px ＝0 (x ≠0)．(14分)10．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a 、c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝3，又∵b 2＝a 2－c 2，∴b ＝7，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1. (4分)(2)设M (x ，y )，其中x ∈[－4,4]，由已知OP 2OM 2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋112x 2＋y2＝λ2，整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[－4,4]． (5分)①当λ＝34时，化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)．轨迹是两条平行于x 轴的线段．(7分)②当λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，其中x ∈[－4,4]．当0<λ<34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分．当34<λ<1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分；当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆． (14分)11．解 (1)椭圆的方程可写为y 2a 2＋x 2b 2＝1，其中a >b >0，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝33a＝32得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，所以曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1(0<x <1,0<y <2)． (3分)y ＝21－x 2(0<x <1)，y ′＝－2x1－x2. 设P (x 0，y 0)，因为P 在C 上，有0<x 0<1，y 0＝21－x 20，y ′|x ＝x 0＝－4x 0y 0，得切线AB 的方程为y ＝－4x 0y 0(x －x 0)＋y 0.(6分)设A (x,0)和B (0，y )，由切线方程得x ＝1x 0，y ＝4y 0.由OM →＝OA →＋OB →得点M 的坐标为(x ，y )，由x 0，y 0满足C 的方程，得点M 的轨迹方程为1x 2＋4y2＝1(x >1，y >2)．(10分)(2)|OM →|2＝x 2＋y 2，y 2＝41－1x2＝4＋4x 2－1，所以|OM →|2＝x 2－1＋4x 2－1＋5≥4＋5＝9，当且仅当x 2－1＝4x 2－1，即x ＝3时，上式取等号．故|OM →|的最小值为3. (14分)2019-2020年高考数学大一轮复习第10章概率学案文新人教版一、随机事件及其概率 1．事件的分类 2．频率与概率(1)在相同的条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．【拓展延伸】频率与概率的区别频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．二、事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )B ⊇A(或A ⊆B )相等关系若B ⊇A ，且A ⊇B ，那么称事件A 与事件B 相等A ＝B 并事件 (和事件) 某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)A ∪B(或A ＋B )交事件(积事件) 某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)A ∩B (或AB ) 互斥事件若A ∩B 为不可能事件，那么称事件A 与事件B 互斥A ∩B ＝∅对立事件若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件【拓展延伸】 1.并(和)事件的三层含义①事件A 发生，事件B 不发生；②事件A 不发生，事件B 发生；③事件A ，B 都发生．即事件A ，B 至少有一个发生． 2．互斥事件的三种情形①事件A 发生且事件B 不发生；②事件A 不发生且事件B 发生；③事件A 与事件B 都不发生．三、概率的几个基本性质 1．概率的取值范围：0≤P (A )≤1. 2．必然事件的概率：P (E )＝1. 3．不可能事件的概率：P (F )＝0. 4．概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．5．对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )．【拓展延伸】概率加法公式的推广1．当一个事件包含多个结果时要用到概率加法公式的推广，即P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )． 2．P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝1－P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝1－P (A 1)－P (A 2)－…－P (A n )．注意涉及的各事件要彼此互斥．[基础能力提升]1．下列说法正确的是( ) ①事件发生的频率与概率是相同的； ②随机事件和随机试验是一回事；③在大量重复试验中，概率是频率的稳定值； ④两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生． A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④【解析】由概率与频率的关系可知①错误，③正确，因为随机试验与随机事件不同，故②错误，所以选B. 【答案】 B2．一个人做掷骰子(均匀的正方体形状的骰子)游戏，在他连续掷5次都掷出奇数点朝上的情况下，掷第6次，奇数点朝上的概率是( )A.12 B ．13C.16D.14【解析】由于每次试验出现哪个结果是等可能的，故掷第6次，奇数点朝上的概率为12.【答案】 A3．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为( )A ．①B ．②C ．③D ．④【解析】至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生． ∴②中两事件是对立事件．【答案】 B4．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.5【解析】 “抽到的不是一等品”与事件A 是对立事件， ∴所求概率P ＝1－P (A )＝0.35. 【答案】 C1．一个技巧——从集合角度理解互斥和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的，集合彼此的交集为空集，事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．2．两种方法——解决互斥事件的概率(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算． (2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )求解，即运用逆向思维(正难则反)．(文)第二节古典概型 [基础知识深耕]一、基本事件的特点1．任何两个基本事件是互斥的．2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．【方法技巧】古典概型中基本事件的探求方法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．二、古典概型 1．定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．有限性试验中所有可能出现的基本事件只有有限个等可能性每个基本事件出现的可能性相等 2．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.【方法技巧】巧用集合中的元素个数求古典概型的概率从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故P (A )＝A I ＝mn.[基础能力提升]1．下面关于古典概型的说法正确的个数为( ) ①我们所说的试验都是古典概型；②“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”； ③掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件； ④从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】依据“有限性和等可能性”可知①②③④均错误．【答案】 A2．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有( )A ．(男，女)，(男，男)，(女，女)B ．(男，女)，(女，男)C ．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D ．(男，男)，(女，女)【解析】由基本事件的特点可知，该问题的所有可能基本事件为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．【答案】 C3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A.16B ．12 C.13 D.23【解析】甲、乙、丙三名同学站成一排，有6个基本事件，其中甲站在中间的基本事件有2个，故所求概率为P ＝26＝13.【答案】 C4．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．【解析】从1,2,3,4中随机取两个数，不同的结果为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共有6个基本事件．满足一个数是另一个数两倍的取法有{1,2}，{2,4}共两种，∴所求事件的概率P ＝26＝13.【答案】 131．一个判断标准——古典概型的判断试验结果有限且等可能．2．两种常用方法——古典概型计数法 (1)列举法；(2)树状图法．第三节几何概型 [基础知识深耕]一、几何概型 1．定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； (2)等可能性：每个试验结果发生的可能性是均等的【拓展延伸】古典概型与几何概型的异同点几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个是有限的，一个是无限的，基本事件可以抽象为点．对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关．二、几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.【拓展延伸】在几何概型中，如果A 是随机事件，(1)若A 是不可能事件，则P (A )＝0肯定成立；如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积和体积都是0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件，因此由P (A )＝0不能推出A 是不可能事件．(2)若A 是必然事件，则P (A )＝1肯定成立；如果一个随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一个单点，则它出现的概率是1，但它不是必然事件，因此由P (A )＝1不能推出A 是必然事件．[基础能力提升]1．下列说法正确的是( )①在一个正方形区域内任取一点的概率是零．②几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等． ③在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形． ④随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①②③④【解析】由几何概型的特征可知①②③④均正确．【答案】 D2．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是( ) A.35 B.45 C.25 D.15【解析】试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P ＝25.【答案】 C图10313．如图1031，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) A.14 B ．13C.12D.23【解析】 “点Q 取自△ABE 内部”记为事件M ，由几何概型得P (M )＝S △ABE S 矩形ABCD ＝12·|AB |·|AD ||AB |·|AD |＝12.【答案】 C4．如图1032所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撤300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为________．图1032 【解析】由几何概型得S 椭圆4×6＝300－96300，即S 椭圆＝16.32. 【答案】 16.321．一个区别——古典概型同几何概型的区别区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个． 2．三种转化——长度型、面积型及体积型几何概型(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．。

高考数学一轮复习第九章平面解析几何第8节曲线与方程课件理

过点 P 作直线 l 和垂线，垂足为 Q，且Q→P·Q→F＝F→P·F→Q，则动
点 P 的轨迹 C 的方程为(
)
A．x2＝4y
B．y2＝3x
C．x2＝2y
D．y2＝4x
(3)在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，A(－2,0)， B(2,0)，点 P 为动点，且直线 AP 与直线 BP 的斜率之积为－34，则动点 P 的轨迹 C 的方程为__________．
即xy11＝＝2－－y.x，
∵点 R(x1，y1)在直线 y＝2x－4 上， ∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即 y＝2x.
[答案] B
5．已知 FPF 中点的轨迹方程是(
)
A．x2＝2y－1
B．x2＝2y－116
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(
)
(2)f(x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要
条件．(
)
(3)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线．(
)
(4)方程 y＝ x与 x＝y2 表示同一曲线．(
(3)设 P 点的坐标为(x，y)． ∵A(－2,0)，B(2,0)，直线 AP 与直线 BP 的斜率之积为－ 34， ∴x＋y 2·x－y 2＝－34(x≠±2)．化简整理得 P 点的轨迹 C 的方程为x42＋y32＝1(x≠±2)． [答案] (1)D (2)A (3)x42＋y32＝1(x≠±2)
[解] 由已知得圆 M 的圆心为 M(－1,0)，半径 r1＝1；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝3.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.

高考数学大一轮复习 9.9曲线与方程学案理苏教版

学案53 曲线与方程导学目标：了解曲线的方程与方程的曲线的对应法则．自主梳理1．曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程．曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．求曲线方程的常用方法：(1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)参数法．自我检测1．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程为______________．2．一动圆与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是__________________________________________________________________．3．已知A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是______________________．4．若M 、N 为两个定点且MN ＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹方程为________．5．(2011·江西改编)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是__________________．探究点一直接法求轨迹方程例1 动点P 与两定点A (a,0)，B (－a,0)连线的斜率的乘积为k ，试求点P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．变式迁移1 已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为______________．探究点二定义法求轨迹方程例2 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．变式迁移2 在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为____________________________________．探究点三相关点法(代入法)求轨迹方程例3 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N . 求线段QN 的中点P 的轨迹方程．变式迁移3 已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P是AB 上一点，且AP →＝22PB →.求点P 的轨迹C 的方程．分类讨论思想例 (14分) 过定点A (a ，b )任作互相垂直的两直线l 1与l 2，且l 1与x 轴交于点M ，l 2与y 轴交于点N ，如图所示，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．多角度审题要求点P 坐标，必须先求M 、N 两点，这样就要求直线l 1、l 2，又l 1、l 2过定点且垂直，只要l 1的斜率存在，设一参数k 1即可求出P 点坐标，再消去k 1即得点P 轨迹方程．【答题模板】解 (1)当l 1不平行于y 轴时，设l 1的斜率为k 1，则k 1≠0.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k 1， [2分]l 1的方程为y －b ＝k 1(x －a )， ①[4分] l 2的方程为y －b ＝－1k 1(x －a )，②[6分]在①中令y ＝0，得M 点的横坐标为x 1＝a －b k 1， [8分]在②中令x ＝0，得N 点的纵坐标为y 1＝b ＋ak 1， [10分]设MN 中点P 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－b 2k1，y ＝b 2＋a2k 1，消去k 1，得2ax ＋2by －a 2－b 2＝0 (x ≠a2)． ③[12分](2)当l 1平行于y 轴时，MN 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2，其坐标满足方程③. 综合(1)(2)知所求MN 中点P 的轨迹方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0. [14分] 【突破思维障碍】引进l 1的斜率k 1作参数，写出l 1、l 2的直线方程，求出M 、N 的坐标，求出点P 的坐标，得参数方程，消参化为普通方程，本题还要注意直线l 1的斜率是否存在．【易错点剖析】当AM ⊥x 轴时，AM 的斜率不存在，此时MN 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2，易错点是把斜率不存在的情况忽略，因而丢掉点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2.1．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x ，y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明可以省略．(2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P (x ，y )却随另一动点Q (x ′，y ′)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ′，y ′表示为x 、y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法．(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x 、y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．2．本节易错点：(1)容易忽略直线斜率不存在的情况；(2)利用定义求曲线方程时，应考虑是否符合曲线的定义．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是_________________________________________________________________．2．已知A 、B 是两个定点，且AB ＝3，CB －CA ＝2，则点C 的轨迹方程为______________．3．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹方程为____________．4．(2011·淮安模拟)如图，圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2，0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是________．5．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上的动点，作PD ⊥y 轴，D 为垂足，则PD 中点的轨迹方程为____________．6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于______．7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为______________．8．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知抛物线y 2＝4px (p >0)，O 为顶点，A ，B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于点M ，求点M 的轨迹方程．10．(14分)(2009·宁夏、海南)已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的一点，OPOM＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．11．(14分)在平面直角坐标系xOy 中，有一个以F 1(0，－3)和F 2(0，3)为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，且OM →＝OA →＋OB →.求：(1)点M 的轨迹方程；(2)|OM →|的最小值．学案53 曲线与方程答案自我检测1．8x 2－2y －1＝0 2.双曲线的右支 3.y 2－x 248＝1(y ≤－1)4．x 2＋y 2＝95．(－33，0)∪(0，33)解析 C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意，则－33<m <0或0<m <33.综上知－33<m <0或0<m <33. 课堂活动区例1 解题导引 ①在判断含参数的方程所表示的曲线类型时，不能仅仅根据方程的外表草率地作出判断；②由于已知条件中，直线PA 、PB 的斜率存在，因此轨迹曲线应除去A 、B 两点；③一般地，方程x 2A ＋y 2B＝1所表示的曲线有以下几种情况：1° A >B >0，表示焦点在x 轴上的椭圆； 2° A ＝B >0，表示圆；3° 0<A <B ，表示焦点在y 轴上的椭圆； 4° A >0>B ，表示焦点在x 轴上的双曲线； 5° A <0<B ，表示焦点在y 轴上的双曲线； 6° A ，B <0，无轨迹．解设点P (x ，y )，则k AP ＝y x －a ，k BP ＝yx ＋a.由题意得y x －a ·y x ＋a＝k ，即kx 2－y 2＝ka 2.∴点P 的轨迹方程为kx 2－y 2＝ka 2(x ≠±a )．(*)(1)当k ＝0时，(*)式即y ＝0，点P 的轨迹是直线AB (除去A 、B 两点)．(2)当k ≠0时，(*)式即x 2a 2－y 2ka2＝1，①若k >0，点P 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线(除去A 、B 两点)．②若k <0，(*)式可化为x 2a 2＋y 2－ka2＝1. 1° 当－1<k <0时，点P 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆(除去A 、B 两点)；2° 当k ＝－1时，(*)式即x 2＋y 2＝a 2，点P 的轨迹是以原点为圆心，|a |为半径的圆(除去A 、B 两点)；3° 当k <－1时，点P 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆(除去A 、B 两点)．变式迁移1 y 2＝－8x解析由题意：MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )， NP →＝(x －2，y )， ∵|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，∴42＋02·x ＋2＋y 2＋(x －2)·4＋y ·0＝0，移项两边平方，化简得y 2＝－8x .例2 解题导引 (1)由于动点M 到两定点O 1、O 2的距离的差为常数，故应考虑是否符合双曲线的定义，是双曲线的一支还是两支，能否确定实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转化；(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．解如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)、O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有MO 1＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有MO 2＝r ＋2. ∴MO 2－MO 1＝3<4.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y27＝1 (x <0)．变式迁移2 16x 2a 2－16y 23a 2＝1 (x >a4)解析 ∵sin C －sin B ＝12sin A ，由正弦定理得到AB －AC ＝12BC ＝12a (定值)．∴A 点轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为a4，焦距为BC ＝a .∴虚半轴长为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42＝34a ，由双曲线标准方程得为16x 2a 2－16y 23a 2＝1(x >a 4)．例3 解题导引相关点法也叫坐标转移(代入)法，是求轨迹方程常用的方法．其题目特征是：点A 的运动与点B 的运动相关，且点B 的运动有规律(有方程)，只需将A 的坐标转移到B 的坐标中，整理即可得点A 的轨迹方程．解设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，则点N 的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)． ∵N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 1＋2y －y 1＝2. ① 又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2， ∴y －y 1x －x 1＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0. ② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1.③又点Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，∴x 21－y 21＝1.④③代入④，得动点P 的轨迹方程是2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.变式迁移3 解设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )，所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为AB ＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1. ∴点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.课后练习区1．以F 1、O 为焦点的椭圆 2．双曲线的一支解析 A 、B 是两个定点，CB －CA ＝2<AB ，所以点C 轨迹为双曲线的一支． 3．x 2＋y 24＝1解析设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9， ① 又AC →＝2CB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ， ②代入①式整理可得x 2＋y 24＝1.4．椭圆解析设抛物线的焦点为F ，因为A 、B 在抛物线上，所以由抛物线的定义知，A 、B 到F 的距离AF 、BF 分别等于A 、B 到准线l 的距离AM 、BN (如图所示)，于是AF ＋BF ＝AM ＋BN .过O 作OR ⊥l ，由于l 是圆O 的一条切线，所以四边形AMNB 是直角梯形，OR 是中位线，故有AF ＋BF ＝AM ＋BN ＝2OR ＝8>4＝AB .根据椭圆的定义知，焦点F 的轨迹是一个椭圆．5.x 24＋y 29＝1解析设PD 中点为M (x ，y )，则P 点坐标为(2x ，y )，代入方程x 216＋y 29＝1，即得x 24＋y 29＝1.6．4π解析设P (x ，y )，由题知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4，可知圆的面积为4π.7．(x －10)2＋y 2＝36 (y ≠0) 解析方法一直接法．设A (x ，y )，y ≠0，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2， ∴CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋y 24＝3. 化简得(x －10)2＋y 2＝36，∵A 、B 、C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0. 方法二定义法．如图所示，设A (x ，y )，D 为AB 的中点，过A 作AE ∥CD 交x 轴于E ，则E (10,0)．∵CD ＝3，∴AE ＝6， ∴A 到E 的距离为常数6.∴A 的轨迹为以E 为圆心，6为半径的圆，即(x －10)2＋y 2＝36.又A 、B 、C 不共线，故A 点纵坐标y ≠0.故A 点轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36 (y ≠0)．8．y 2＝8x9．解设M (x ，y )，直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b . 由OM ⊥AB 得k ＝－x y.设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由y 2＝4px 及y ＝kx ＋b 消去y ，得k 2x 2＋x (2kb －4p )＋b 2＝0，所以x 1x 2＝b 2k2.消去x ，得ky 2－4py ＋4pb ＝0，所以y 1y 2＝4pbk. (6分)由OA ⊥OB ，得y 1y 2＝－x 1x 2，所以4pb k ＝－b 2k2，b ＝－4kp .故y ＝kx ＋b ＝k (x －4p )． (10分)用k ＝－xy 代入，得x 2＋y 2－4px ＝0 (x ≠0)． (12分) AB 斜率不存在时，经验证也符合上式．故M 的轨迹方程为x 2＋y 2－4px ＝0 (x ≠0)．(14分)10．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a 、c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝3，又∵b 2＝a 2－c 2，∴b ＝7，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1. (4分)(2)设M (x ，y )，其中x ∈[－4,4]，由已知OP 2OM 2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋112x 2＋y2＝λ2，整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[－4,4]． (5分)①当λ＝34时，化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)．轨迹是两条平行于x 轴的线段．(7分)②当λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，其中x ∈[－4,4]．当0<λ<34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分．当34<λ<1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分；当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆． (14分)11．解 (1)椭圆的方程可写为y 2a 2＋x 2b 2＝1，其中a >b >0，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝33a＝32得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，所以曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1(0<x <1,0<y <2)． (3分)y ＝21－x 2(0<x <1)，y ′＝－2x1－x2. 设P (x 0，y 0)，因为P 在C 上，有0<x 0<1，y 0＝21－x 20，y ′|x ＝x 0＝－4x 0y 0，得切线AB 的方程为y ＝－4x 0y 0(x －x 0)＋y 0.(6分)设A (x,0)和B (0，y )，由切线方程得x ＝1x 0，y ＝4y 0.由OM →＝OA →＋OB →得点M 的坐标为(x ，y )，由x 0，y 0满足C 的方程，得点M 的轨迹方程为1x 2＋4y2＝1(x >1，y >2)．(10分)(2)|OM →|2＝x 2＋y 2，y 2＝41－1x 2＝4＋4x 2－1，所以|OM →|2＝x 2－1＋4x 2－1＋5≥4＋5＝9，当且仅当x 2－1＝4x 2－1，即x ＝3时，上式取等号．故|OM →|的最小值为3. (14分)。

2019届高三理科数学苏教版一轮复习教学课件：第九章第9节曲线与方程

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核心考点互动探究
考点一|直接法求轨迹方程
【例 1】动点 P 与两定点 A(a,0)，B(－a,0)连线的斜率的乘积为 k，试求点 P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．
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考点一|直接法求轨迹方程
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自测练习
x2 2 4．设 P 为双曲线－y ＝1 上一动点，O 为坐标原点，M 为线 4 段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是________．
解析：设 M(x，y)，则 P(2x,2y)，代入双曲线方程得 x2－4y2＝1，即为所求．
答案：x2－4y2＝1
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若此方程组无解，则两曲线无交点．
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自测练习
[自测练习]
两条直线 1．方程 x2＋xy＝x 的曲线是____________ ．
解析：方程变为 x(x＋y－1)＝0， ∴x＝0 或 x＋y－1＝0. 故方程表示直线 x＝0 或直线 x＋y－1＝0.
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知识梳理
二、求动点的轨迹方程的一般步骤 1．建系——建立适当的坐标系． 2．设点——设轨迹上的任一点 P(x，y)． 3．列式——列出动点 P 所满足的关系式． 4．代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x，y 的方程式，并化简． 5．证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．

高考(新课标)数学(理)一轮复习教师用书§9.5 曲线与方程 Word版含解析

§曲线与方程．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程(，)＝的实数解建立了如下的关系：()；()．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．．求曲线方程的一般步骤()建立适当的，用有序实数对(，)表示曲线上的坐标；()写出的点的集合：＝{()}；()用表示条件()，列出方程(，)＝；()化方程(，)＝为形式；()说明以化简后的方程的为坐标的都在曲线上．注：步骤()可以省略不写，如有特殊情况，可以作适当说明，另外，也可以根据情况省略步骤()．．求曲线的轨迹方程的常用方法()直接法：直接利用条件建立，之间的关系(，)＝.也就是：建系设点、列式、代换、化简、证明，最后的证明可以省略，必要时加以说明．()定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．()待定系数法：已知所求的曲线类型，先根据条件设出曲线方程，再由条件确定其待定系数．()相关点法：动点(，)依赖于另一动点(，)的变化而变化，并且(，)又在某已知曲线上，首先用，表示，，再将，代入已知曲线得到要求的轨迹方程．()交轨法：动点(，)是两动直线(或曲线)的交点，解决此类问题通常是通过解方程组得到交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求的轨迹方程．()参数法：当动点(，)的坐标之间的关系不易找到，可考虑将，均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得方程(，)＝.()、()两种方法本质上也是参数法，只不过是多参数的参数方程或是隐性式的参数方程．自查自纠．()曲线上点的坐标都是这个方程的解()以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．()坐标系任意一点()适合条件()坐标()最简()解点方程(＋－)(－)＝表示的曲线是( )．两条直线．两条射线．两条线段．一条直线和一条射线解：原方程化为或－＝，∴＋－＝(≥)或＝.故选.方程＋＝表示的曲线是( )解：原方程可化为：①②③④分别作出它们的图象，可知选项符合条件，故选.已知点(－，)，(，)，(，)，动圆与直线切于点，过，与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为()．－＝(>) ．－＝(<－)．＋＝(>) ．－＝(>)解：由题可知，－＝－＝，由双曲线的定义可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，由＝，＝，知＝.∴点的轨迹方程为－＝(>)．故选.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是．解：由角平分线定义和绝对值定义知＝，即－＝.故填－＝.已知△的顶点(，)，(，)，边上的中线长＝，则顶点的轨迹方程为．解法一：直接法．设(，)，则，∴＝＝，化简得(－)＋＝，由于，，三点构成三角形，∴不能落在轴上，即≠.∴顶点的轨迹方程为(－)＋＝(≠)．解法二：定义法．如图所示，设(，)，为的中点，过作∥交轴于点.∵＝，∴＝，＝，则(，)．∴顶点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，即(－)＋＝.又，，三点构成三角形，∴点的纵坐标≠，∴顶点的轨迹方程为(－)＋＝(≠)．故填(－)＋＝(≠)．。

【范文】高考数学(理科)一轮复习曲线与方程学案含答案

高考数学（理科）一轮复习曲线与方程学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案55 曲线与方程导学目标：了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系．自主梳理．曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线c上的点与一个二元方程f＝0的实数解建立了如下的关系：__________________都是这个方程的______．以这个方程的解为坐标的点都是________________，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．平面解析几何研究的两个主要问题根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；通过曲线的方程研究曲线的性质．3．求曲线方程的一般方法求曲线的方程，一般有下面几个步骤：建立适当的坐标系，用有序实数对表示________________________；写出适合条件p的点m的集合P＝____________；用坐标表示条件p，列出方程f＝0；化方程f＝0为________；说明以化简后的方程的解为坐标的点都在________．自我检测．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A与点P 连线中点的轨迹方程是A．y＝2x2B．y＝8x2c．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋12．一动圆与圆o：x2＋y2＝1外切，而与圆c：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是A．双曲线的一支B．椭圆c．抛物线D．圆3．已知直线l的方程是f＝0，点m不在l上，则方程f－f＝0表示的曲线是A．直线lB．与l垂直的一条直线c．与l平行的一条直线D．与l平行的两条直线4．若m、N为两个定点且|mN|＝6，动点P满足Pm→•PN→＝0，则P点的轨迹是A．圆B．椭圆c．双曲线D．抛物线5．若曲线c1：x2＋y2－2x＝0与曲线c2：y＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是A．B．∪c．[－33，33]D．∪探究点一直接法求轨迹方程例1 动点P与两定点A，B连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．变式迁移1 已知两点m、N，点P为坐标平面内的动点，满足|mN→||mP→|＋mN→•NP→＝0，则动点P的轨迹方程为______________．探究点二定义法求轨迹方程例2 已知两个定圆o1和o2，它们的半径分别是1和2，且|o1o2|＝4.动圆m与圆o1内切，又与圆o2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心m的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．变式迁移2 在△ABc中，A为动点，B、c为定点，B－a2，0，ca2，0，且满足条件sinc－sinB＝12sinA，则动点A的轨迹方程是A.16x2a2－16y215a2＝1B.16y2a2－16x23a2＝1c.16x2a2－16y215a2＝1的左支D.16x2a2－16y23a2＝1的右支探究点三相关点法求轨迹方程例3 如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程．变式迁移3 已知长为1＋2的线段AB的两个端点A、B 分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且AP→＝22PB →.求点P的轨迹c的方程．分类讨论思想的应用例过定点A任作互相垂直的两直线l1与l2，且l1与x轴交于点m，l2与y轴交于点N，如图所示，求线段mN的中点P的轨迹方程．多角度审题要求点P坐标，必须先求m、N两点，这样就要求直线l1、l2，又l1、l2过定点且垂直，只要l1的斜率存在，设一参数k1即可求出P点坐标，再消去k1即得点P轨迹方程．【答题模板】解当l1不平行于y轴时，设l1的斜率为k1，则k1≠0.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－1k1，l1的方程为y－b＝k1，①l2的方程为y－b＝－1k1，②在①中令y＝0，得m点的横坐标为x1＝a－bk1，[4分] 在②中令x＝0，得N点的纵坐标为y1＝b＋ak1，[6分] 设mN中点P的坐标为，则有x＝a2－b2k1，y＝b2＋a2k1，消去k1，得2ax＋2by－a2－b2＝0．③[8分]当l1平行于y轴时，mN中点为a2，b2，其坐标满足方程③.综合知所求mN中点P的轨迹方程为2ax＋2by－a2－b2＝0.[12分]【突破思维障碍】引进l1的斜率k1作参数，写出l1、l2的直线方程，求出m、N的坐标，求出点P的坐标，得参数方程，消参化为普通方程，本题还要注意直线l1的斜率是否存在．【易错点剖析】当Am⊥x轴时，Am的斜率不存在，此时mN中点为a2，b2，易错点是把斜率不存在的情况忽略，因而丢掉点a2，b2.．求轨迹方程的常用方法：直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明可以省略．定义法：运用解析几何中一些常用定义，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P却随另一动点Q的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．2．本节易错点：容易忽略直线斜率不存在的情况；利用定义求曲线方程时，应考虑是否符合曲线的定义．一、选择题．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果m是线段F1P的中点，则动点m的轨迹是B．椭圆c．双曲线的一支D．抛物线2．已知A、B是两个定点，且|AB|＝3，|cB|－|cA|＝2，则点c的轨迹为A．双曲线B．双曲线的一支c．椭圆D．线段3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，Ac→＝2cB→，则点c的轨迹是A．线段B．圆c．椭圆D．双曲线4．如图，圆o：x2＋y2＝16，A，B为两个定点．直线l 是圆o的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是A．双曲线B．椭圆c．抛物线5．已知F1、F2是椭圆x24＋y23＝1的两个焦点，平面内一个动点m满足|mF1|－|mF2|＝2，则动点m的轨迹是A．双曲线B．双曲线的一个分支c．两条射线D．一条射线二、填空题6．已知两定点A，B，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于______．7．已知△ABc的顶点B，c，AB边上的中线长|cD|＝3，则顶点A的轨迹方程为______________．8．平面上有三点A，B0，y2，c，若AB→⊥Bc→，则动点c的轨迹方程为__________．三、解答题9．已知抛物线y2＝4px，o为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足oA⊥oB，如果om⊥AB于点m，求点m的轨迹方程．10．已知椭圆c的中心为平面直角坐标系xoy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.求椭圆c的方程；若P为椭圆c上的动点，m为过P且垂直于x轴的直线上的一点，|oP||om|＝λ，求点m的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．11．在平面直角坐标系xoy中，有一个以F1和F2为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线c，动点P在c上，c在点P处的切线与x轴，y轴的交点分别为A，B，且om→＝oA→＋oB→.求：点m的轨迹方程；|om→|的最小值．学案55 曲线与方程自主梳理．曲线上的点的坐标解曲线上的点 3.曲线上任意一点m的坐标{m|p} 最简形式曲线上自我检测．c 2.A 3.c 4.A5．B [c1：2＋y2＝1，c2：y＝0或y＝mx＋m＝m．当m＝0时，c2：y＝0，此时c1与c2显然只有两个交点；当m≠0时，要满足题意，需圆2＋y2＝1与直线y＝m 有两交点，当圆与直线相切时，m＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意，则－33<m<0或0<m<33.综上知－33<m<0或0<m<33.]课堂活动区例1 解题导引①在判断含参数的方程所表示的曲线类型时，不能仅仅根据方程的外表草率地作出判断；②由于已知条件中，直线PA、PB的斜率存在，因此轨迹曲线应除去A、B两点；③一般地，方程x2A＋y2B＝1所表示的曲线有以下几种情况：°A>B>0，表示焦点在x轴上的椭圆；2°A＝B>0，表示圆；3°0<A<B，表示焦点在y轴上的椭圆；4°A>0>B，表示焦点在x轴上的双曲线；5°A<0<B，表示焦点在y轴上的双曲线；6°A，B<0，无轨迹．解设点P，则kAP＝yx－a，kBP＝yx＋a.由题意得yx－a•yx＋a＝k，即kx2－y2＝ka2.∴点P的轨迹方程为kx2－y2＝ka2．当k＝0时，式即y＝0，点P的轨迹是直线AB．当k≠0时，式即x2a2－y2ka2＝1，①若k>0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线．②若k<0，式可化为x2a2＋y2－ka2＝1.°当－1<k<0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；2°当k＝－1时，式即x2＋y2＝a2，点P的轨迹是以原点为圆心，|a|为半径的圆；3°当k<－1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆．变式迁移1 y2＝－8x解析由题意：mN→＝，mP→＝，NP→＝，∵|mN→||mP→|＋mN→•NP→＝0，∴42＋02•x＋22＋y2＋•4＋y•0＝0，移项两边平方，化简得y2＝－8x.例2 解题导引由于动点m到两定点o1、o2的距离的差为常数，故应考虑是否符合双曲线的定义，是双曲线的一支还是两支，能否确定实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转化；求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程．解如图所示，以o1o2的中点o为原点，o1o2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由|o1o2|＝4，得o1、o2．设动圆m的半径为r，则由动圆m与圆o1内切，有|mo1|＝r－1；由动圆m与圆o2外切，有|mo2|＝r＋2.∴|mo2|－|mo1|＝3<4.∴点m的轨迹是以o1、o2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74.∴点m的轨迹方程为4x29－4y27＝1．变式迁移2 D [∵sinc－sinB＝12sinA，由正弦定理得到|AB|－|Ac|＝12|Bc|＝12a．∴A点轨迹是以B，c为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为a4，焦距为|Bc|＝a.∴虚半轴长为a22－a42＝34a，由双曲线标准方程得为16x2a2－16y23a2＝1的右支．]例3 解题导引相关点法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法．其题目特征是：点A的运动与点B的运动相关，且点B的运动有规律，只需将A的坐标转移到B的坐标中，整理即可得点A的轨迹方程．解设动点P的坐标为，点Q的坐标为，则点N的坐标为．∵N在直线x＋y＝2上，∴2x－x1＋2y－y1＝2.①又∵PQ垂直于直线x＋y＝2，∴y－y1x－x1＝1，即x－y＋y1－x1＝0.②联立①②解得x1＝32x＋12y－1，y1＝12x＋32y－1.③又点Q在双曲线x2－y2＝1上，∴x21－y21＝1.④③代入④，得动点P的轨迹方程是2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.变式迁移3 解设A，B，P，AP→＝22PB→，又AP→＝，PB→＝，所以x－x0＝－22x，y＝22得x0＝1＋22x，y0＝y.因为|AB|＝1＋2，即x20＋y20＝2，所以1＋22x2＋[y]2＝2，化简得x22＋y2＝1.∴点P的轨迹方程为x22＋y2＝1.课后练习区．B [如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a．连接mo，由三角形的中位线可得|F1m|＋|mo|＝a，则m的轨迹为以F1、o为焦点的椭圆．] 2．B [A、B是两个定点，|cB|－|cA|＝2<|AB|，所以点c轨迹为双曲线的一支．]3．c [设c，A，B，则a2＋b2＝9，①又Ac→＝2cB→，所以＝2，即a＝3x，b＝32y，②代入①式整理可得x2＋y24＝1.]4．B [设抛物线的焦点为F，因为A、B在抛物线上，所以由抛物线的定义知，A、B到F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离Am、BN，于是|AF|＋|BF|＝|Am|＋|BN|.过o作oR⊥l，由于l是圆o的一条切线，所以四边形AmNB是直角梯形，oR是中位线，故有|AF|＋|BF|＝|Am|＋|BN|＝2|oR|＝8>4＝|AB|.根据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆．]5．D [因为|F1F2|＝2，|mF1|－|mF2|＝2，所以轨迹为一条射线．]6．4π解析设P，由题知有：2＋y2＝4[2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得2＋y2＝4，可知圆的面积为4π.7．2＋y2＝36解析方法一直接法．设A，y≠0，则Dx2，y2，∴|cD|＝x2－52＋y24＝3.化简得2＋y2＝36，∵A、B、c三点构成三角形，∴A不能落在x轴上，即y≠0.方法二定义法．如图所示，设A，D为AB的中点，过A作AE∥cD交x轴于E，则E．∵|cD|＝3，∴|AE|＝6，∴A到E的距离为常数6.∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即2＋y2＝36.又A、B、c不共线，故A点纵坐标y≠0.故A点轨迹方程为2＋y2＝36．8．y2＝8x解析AB→＝2，－y2，Bc→＝x，y2.∵AB→⊥Bc→，∴AB→•Bc→＝0，得2•x－y2•y2＝0，得y2＝8x.9．解设m，直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b.由om⊥AB得k＝－xy.设A、B两点坐标分别为、，由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，得k2x2＋x＋b2＝0，所以x1x2＝b2k2.消去x，得ky2－4py＋4pb＝0，所以y1y2＝4pbk.由oA⊥oB，得y1y2＝－x1x2，所以4pbk＝－b2k2，b＝－4kp.故y＝kx＋b＝k．用k＝－xy代入，得x2＋y2－4px＝0．AB斜率不存在时，经验证也符合上式．故m的轨迹方程为x2＋y2－4px＝0．0．解设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3，又∵b2＝a2－c2，∴b＝7，所以椭圆c的方程为x216＋y27＝1.设m，其中x∈[－4,4]，由已知|oP|2|om|2＝λ2及点P在椭圆c上可得9x2＋11216x2＋y2＝λ2，整理得x2＋16λ2y2＝112，其中x∈[－4,4]．①当λ＝34时，化简得9y2＝112，所以点m的轨迹方程为y＝±473．轨迹是两条平行于x轴的线段．②当λ≠34时，方程变形为x211216λ2－9＋y211216λ2＝1，其中x∈[－4,4]．当0<λ<34时，点m的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分．当34<λ<1时，点m的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分；当λ≥1时，点m的轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆．1．解椭圆的方程可写为y2a2＋x2b2＝1，其中a>b>0，由a2－b2＝33a＝32得a2＝4b2＝1，所以曲线c的方程为x2＋y24＝1．y＝21－x2，y′＝－2x1－x2.设P，因为P在c上，有0<x0<1，y0＝21－x20，y′|x＝x0＝－4x0y0，得切线AB的方程为y＝－4x0y0＋y0.设A和B，由切线方程得x＝1x0，y＝4y0.由om→＝oA→＋oB→得点m的坐标为，由x0，y0满足c的方程，得点m的轨迹方程为1x2＋4y2＝1．|om→|2＝x2＋y2，y2＝41－1x2＝4＋4x2－1，所以|om→|2＝x2－1＋4x2－1＋5≥4＋5＝9，当且仅当x2－1＝4x2－1，即x＝3时，上式取等号．故|om→|的最小值为3.。

苏教版高三数学一轮复习---9.9 曲线与方程

§9.9曲线与方程2020高考会这样考 1.考查曲线方程的概念；2.考查直接法、定义法、相关点法求轨迹方程；3.和向量、平面几何知识相结合求动点轨迹，并研究轨迹的有关性质．复习备考要这样做 1.理解坐标法研究解析几何问题的基本思想，会根据条件求曲线的轨迹方程；2.掌握常用的几种求轨迹方程的方法．1．曲线与方程如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．[难点正本疑点清源]求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点P (x ，y )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．1．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2－6，则点P 的轨迹方程是__________．答案 y 2＝x解析 PB →＝(3－x ，－y )，P A →＝(－2－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(3－x )(－2－x )＋y 2＝x 2－x －6＋y 2＝x 2－6，∴y 2＝x .2．已知两定点A (－2,0)、B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________．答案 4π解析设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆．即轨迹所包围的面积等于4π.3．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是__________________．答案一条直线和一条射线解析原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0 (x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．4．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是______________．答案 2x －y ＋5＝0解析由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.5．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为__________．答案抛物线解析依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线.题型一直接法求轨迹方程例1 已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设Q 是曲线C 上任意一点，求Q 到直线l ：x ＋2y －12＝0的距离的最小值．思维启迪：设动点坐标，列式化简即可．解 (1)设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )，由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.∴点P 的轨迹方程是椭圆C ：x 24＋y 23＝1.(2)由几何性质意义知，l 与平行于l 的椭圆C 的切线l ′的距离等于Q 与l 的距离的最小值．设l ′：x ＋2y ＋D ＝0.将其代入椭圆方程消去x ，化简得：16y 2＋12Dy ＋3(D 2－4)＝0.∴Δ＝144D 2－192(D 2－4)＝0⇒D ＝±4， l ′和l 的距离的最小值为|12－4|5.∴点Q 与l 的距离的最小值为855.探究提高 (1)用直接法求轨迹方程的步骤：建系，设点，列方程化简．其关键是根据条件列出方程来．(2)求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上．如图所示，过点P (2,4)作互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解设点M 的坐标为(x ，y )， ∵M 是线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )． ∴P A →＝(2x －2，－4)，PB →＝(－2,2y －4)．由已知P A →·PB →＝0，∴－2(2x －2)－4(2y －4)＝0，即x ＋2y －5＝0.∴线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0. 题型二定义法求轨迹方程例2 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．思维启迪：利用两圆内、外切的充要条件找出点M 满足的几何条件，结合双曲线的定义求解．解如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)、O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有MO 1＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有MO 2＝r ＋2. ∴MO 2－MO 1＝3.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－32)．探究提高求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹方程是________．答案 y 2＝x解析由已知：MF ＝MB .由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．其轨迹方程为y 2＝x . 题型三相关点法求轨迹方程例3 设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．思维启迪：点N 的运动依赖于点P ，可以通过P 、M 、N 三点坐标关系探求点N 的轨迹方程．解设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )， ∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)，∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0. 由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x y 0＝12y. ∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x . 探究提高 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP →＝22PB →，求点P 的轨迹C 的方程．解设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )，所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )，得x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y .因为AB ＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.利用参数法求轨迹方程典例：(14分)已知抛物线y 2＝4px (p >0)，O 为顶点，A 、B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于M 点，求点M 的轨迹方程．审题视角 (1)点M 的运动是由A 点的运动引起的，而A 的变动又和OA 的斜率有关．(2)若OA 的斜率确定，A 的坐标确定，M 的坐标也确定，所以可选OA 的斜率为参数．规范解答解设点M 的坐标为(x ，y )，直线OA 的方程为y ＝kx ，[1分]显然k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1kx .[2分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4px ，解得A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫4p k 2，4p k ，类似地可得B 点的坐标为(4pk 2，－4pk )，[6分]从而知当k ≠±1时，k AB ＝4p ⎝⎛⎭⎫1k ＋k 4p ⎝⎛⎭⎫1k 2－k 2＝11k －k.故得直线AB 的方程为y ＋4pk ＝11k－k (x －4pk 2)，即⎝⎛⎭⎫1k －k y ＋4p ＝x ，① [9分]直线OM 的方程为y ＝－⎝⎛⎭⎫1k －k x .② [10分] 可知M 点的坐标同时满足①②，由①及②消去k 得4px ＝x 2＋y 2，即(x －2p )2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)，[12分]当k ＝±1时，容易验证M 点的坐标仍适合上述方程．故点M 的轨迹方程为(x －2p )2＋y 2＝4p 2(x ≠0)，它表示以点(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆．[14分]温馨提醒 (1)本题通过引入参数、用参数法求解较为简捷．但很多考生找不到破解问题的切入口，无从入手．(2)个别考生由于参数选取不恰当，造成计算繁杂冗长，难以求出最终结论．(3)应用参数法求轨迹方程时，首先要选择恰当的参数，参数必须能刻画动点的运动变化，而且与动点坐标有直接的内在联系．如果需要，还应顾及消去参数的方便，选定参数之后，即可当作已知数，运用轨迹条件，求出动点的坐标，即得轨迹的参数方程，消去参数即得轨迹的普通方程．方法与技巧求轨迹的方法 (1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x 、y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程．(3)代入法(相关点法)：当所求动点M 是随着另一动点P (称之为相关点)而运动．如果相关点P 所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．失误与防范1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应法则．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是下列图中的________．(填序号)答案 ③解析由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分． 2．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是______________．答案 x 29－y 216＝1 (x >3)解析如图，AD ＝AE ＝8， BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1 (x >3)．3．动点P 为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1 (a >b >0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为________．答案直线解析如图所示，设三个切点分别为M 、N 、Q .∴PF 1＋PF 2＝PF 1＋PM ＋F 2N ＝F 1N ＋F 2N ＝F 1F 2＋2F 2N ＝2a ， ∴F 2N ＝a －c ，∴N 点是椭圆的右顶点，∴CN ⊥x 轴，∴圆心C 的轨迹为直线．4．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是________．答案直线解析设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．5．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是______________．答案 x 24a 2＋y 24b 2＝1解析由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上，则有⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1.6．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是_________．答案 x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)解析设P (x ，y )，因为△MPN 为直角三角形， ∴MP 2＋NP 2＝MN 2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得，x 2＋y 2＝4. ∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2，∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)．7．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方程是____________．答案 x 2a 2＋4y 2b2＝1解析设MN 的中点P (x ，y )，则点M (x,2y )在椭圆上， ∴x 2a 2＋(2y )2b 2＝1，即x 2a 2＋4y 2b 2＝1. 二、解答题(共27分)8．(13分)已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，求点P 的轨迹方程．解 ∵RA →＝AP →，∴R ，A ，P 三点共线，且A 为RP 的中点，设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则由RA →＝AP →，得(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝x －1－y 1＝y，即x 1＝2－x ，y 1＝－y ，将其代入直线y ＝2x －4中，得y ＝2x ，∴点P 的轨迹方程为y ＝2x .9．(14分)(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M为PD 上一点，且MD ＝45PD .(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上， ∴x 2＋(54y )2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝4125×41＝415. B 组专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为____________．答案 x 2－y 28＝1 (x >1) 解析设另两个切点为E 、F ，如图所示，则PE ＝PF ，ME ＝MB ，NF ＝NB .从而PM －PN ＝ME －NF ＝MB －NB ＝4－2＝2<MN ，所以P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8.故方程为x 2－y 28＝1 (x >1)．2．有一动圆P 恒过定点F (a,0) (a >0)且与y 轴相交于点A 、B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为__________．答案双曲线解析设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，由于△ABP 为正三角形，∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R .而R ＝PF ＝(x －a )2＋y 2，∴|x |＝32·(x －a )2＋y 2.整理得：(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，即(x ＋3a )212a 2－y 24a2＝1.∴点P 的轨迹为双曲线．3．点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点作∠F 1PF 2外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是________．答案圆解析如图，延长F 2M 交F 1P 延长线于N .∵PF 2＝PN ，∴F 1N ＝2a .连结OM ，则在△NF 1F 2中，OM 为中位线，则OM ＝12F 1N ＝a .∴M 的轨迹是圆．4．设P 是圆x 2＋y 2＝100上的动点，点A (8,0)，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于M 点，则点M 的轨迹为__________．答案椭圆解析如图，设M (x ，y )，由于l 是AP 的垂直平分线，于是AM ＝PM ，又由于10＝OP ＝OM ＋MP ＝OM ＋MA ，即OM ＋MA ＝10，也就是说，动点M 到O (0,0)及A (8,0 )的距离之和是10，故动点M 的轨迹是以O (0,0)、A (8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．5．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是 x 2＋y 2－8x ＋10＝0，若由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．答案 x ＝32解析设P (x ，y )，由圆O ′的方程为(x －4)2＋y 2＝6及已知AP ＝BP ，故OP 2－AO 2＝O ′P 2－O ′B 2，则OP 2－2＝O ′P 2－6，∴x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6.∴x ＝32，故动点P 的轨迹方程是x ＝32. 6. 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P 的轨迹方程是____________．答案 y 2＝23x －19解析过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A1D 1于H ，连结PH 、PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由PH 2－PM 2＝1，得x 2＋1－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19. 二、解答题(共28分)7．(14分)如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N .求线段QN 的中点P 的轨迹方程．解设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x1，y 1)，则N 点的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)．∵点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 1＋2y －y 1＝2， ① 又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2.∴y －y 1x －x 1＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0， ②由①、②联立，解得⎩⎨⎧ x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1.又Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，∴x 21－y 21＝1，即⎝⎛⎭⎫32x ＋12y －12－⎝⎛⎭⎫12x ＋32y －12＝1，整理得2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0，这就是所求动点P 的轨迹方程．8．(14分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1 (k ≠0)，与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2k ，－1， ∴RP →·RQ →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝⎛⎭⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4 ＝4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号， ∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.。

高考数学大一轮复习 9.6双曲线教师用书理苏教版-苏教版高三全册数学试题

§9.6双曲线1．双曲线定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<F1F2时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>F1F2时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质X围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)的关系 [知识拓展] 巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1 (mn <0)．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )1．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为__________________________________________________________________．答案5解析由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.2．(2013·某某改编)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离d ＝________.答案255解析双曲线的顶点(2,0)到渐近线y ＝±12x 的距离d ＝25＝255.3．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2解析与双曲线x 24－y 216＝1有相同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－y 216λ＝1.由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14，则a 2＝1，b 2＝4.又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.4．(2014·)设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．答案 x 2－y 2＝1解析由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2，a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.题型一双曲线的定义及标准方程例1 (1)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为__________． (2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．思维点拨解(2)时，考虑定义法．答案 (1)y 22－x 24＝1(2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 (1)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点M (2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2.所以双曲线方程为y 22－x 24＝1.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B . 根据两圆外切的条件，得MC 1－AC 1＝MA ，MC 2－BC 2＝MB ，因为MA ＝MB ，所以MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2，即MC 2－MC 1＝BC 2－AC 1＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于C 1C 2.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．思维升华求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a 、b 、c 的方程并求出a 、b 、c 的值与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ (λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．(1)(2014·某某改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为____________．(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．答案 (1)x 25－y 220＝1 (2)x 242－y 232＝1解析 (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，所以－2c ＋10＝0.所以c ＝5.由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝20.故双曲线方程为x 25－y 220＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则|PF 1－PF 2|＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.题型二双曲线的几何性质例2 (1)(2013·某某改编)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________． (2)(2014·某某改编)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k＝1与曲线x 225－k－y 29＝1的________相等．思维点拨 (1)依题意可求出a 、c 的值．(2)分别表示出两方程对应的a 、b 、c 的值比较即可．答案 (1)62(2)焦距解析 (1)F 1F 2＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1.∵AF 2＋AF 1＝4，AF 2－AF 1＝2a ， ∴AF 2＝2＋a ，AF 1＝2－a . 在Rt△F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴AF 21＋AF 22＝F 1F 22，即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2， ∴a ＝2，∴e ＝c a＝32＝62. (2)因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋9－k ＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为225－k ＋9＝234－k ，离心率为34－k 25－k，故两曲线只有焦距相等．思维升华 (1)求双曲线离心率或离心率X 围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的X 围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或a 2化为e 的关系式，进而求解．(2)方程x 2a 1－y 2b 1＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1，当a 1＋b 1＝a 2＋b 2时焦距相等．当a 1b 1＝a 2b 2时渐近线相同．(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为x 2a 2－y 2b2＝0.(1)(2013·课标全国Ⅰ改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为________．(2)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为________．答案 (1)y ＝±12x (2)2解析 (1)由e ＝c a ＝52知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)，由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k .所以b a ＝12.即渐近线方程为y ＝±12x .(2)如图，∵FB →＝2FA →， ∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴b a＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(b a)2＝4，∴e ＝2. 题型三直线与双曲线的位置关系例3 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，某某数k 的取值X 围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，某某数k 的值．解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k2>0，解得－2<k <2且k ≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值X 围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|. ∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2，即(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2，且k ≠±1， ∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值X 围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值X 围．解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2>0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2<0，x A x B ＝－91－3k 2>0，解得33<k <1. ∴当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点． (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k2.∴AB 的中点P 的坐标为(32k 1－3k 2，21－3k 2)．设直线l 0的方程为y ＝－1kx ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0. ∴m <－22.∴m 的取值X 围为(－∞，－22)．忽视“判别式”致误典例：(14分)已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？易错分析由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．规X 解答解设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．[3分] 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .[5分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0)．① [8分]∴x 0＝x 1＋x 22＝k 1－k2－k2. 由题意，得k 1－k2－k2＝1，解得k ＝2.[10分] 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[13分]∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[14分]温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验.方法与技巧双曲线标准方程的求法(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n＝1 (mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1 (AB <0)，这种形式在解题时更简便； (2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ (λ≠0)，据其他条件确定λ的值．失误与防X1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.A 组专项基础训练 (时间：45分钟)1．(2013·改编)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为________．答案 y ＝±2x解析由e ＝3，知c ＝3a ，则b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±bax ，y ＝±2x .2．(2013·某某改编)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1的________相等．答案焦距解析双曲线C 1、C 2的焦距均为2sin 2θ＋cos 2θ＝2.3．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________．答案3解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a，故AB ＝2b 2a ，依题意得2b2a＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 4．(2014·某某改编)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为________．答案x 24－y 212＝1解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b )．由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴a －42＋－b 2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16.而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.5．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值X 围是________．答案 (1,2)解析由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a)，E (a,0)，∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a)·(－c －a ，－b 2a)>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1， ∴e ∈(1,2)．6．(2014·)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．答案x 23－y 212＝1 y ＝±2x 解析设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ (λ≠0)，将点(2,2)代入上式，得λ＝－3， ∴C 的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .7．(2014·某某)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足PA ＝PB ，则该双曲线的离心率是________．答案52解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm3b －a)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bma ＋3b)，所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m9b 2－a2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为PA ＝PB ，所以PC ⊥l ，所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52. 8．(2013·某某)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1＋PF 2＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________．答案3解析不妨设PF 1>PF 2，则PF 1－PF 2＝2a ，又∵PF 1＋PF 2＝6a ， ∴PF 1＝4a ，PF 2＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴F 1F 2＝23a ， ∴双曲线C 的离心率e ＝23a2a＝ 3.9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积．(1)解 ∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 ∵点M (3，m )在双曲线上， ∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m ) ＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0， ∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上． (3)解 12F MF S＝12×43×|m |＝6. 10．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值X 围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋361－3k2＝361－k2>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1，故k 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. B 组专项能力提升 (时间：30分钟)1．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是________．答案3＋1解析因为MF 1的中点P 在双曲线上，PF 2－PF 1＝2a ， △MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a＝23－1＝3＋1.2．(2013·某某改编)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使A 1B 1＝A 2B 2，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值X 围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤233，2 解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角X 围是大于30°且小于等于60°，即ta n 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2. 3．设过双曲线x 2－y 2＝9左焦点F 1的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若PQ ＝7，则△F 2PQ 的周长为________．答案 26解析如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧PF 2－PF 1＝2a ，QF 2－QF 1＝2a ，将两式相加得PF 2＋QF 2－PQ ＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为PF 2＋QF 2＋PQ＝4a ＋PQ ＋PQ ＝4×3＋2×7＝26.4．(2013·某某)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案 44解析由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且PQ ＝QA ＋PA ＝4b ＝16，由双曲线定义，得PF －PA ＝6，QF －QA ＝6. ∴PF ＋QF ＝12＋PA ＋QA ＝28，因此△PQF 的周长为PF ＋QF ＋PQ ＝28＋16＝44.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．答案 53解析由定义，知PF 1－PF 2＝2a . 又PF 1＝4PF 2，∴PF 1＝83a ，PF 2＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.6．已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234. (1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连结BP 交椭圆于点M ，连结PA 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1.(2)由(1)得A (－5,0)，B (5,0)，AB ＝10，设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点， ∴P 点坐标为(2x 0－5,2y 0)．将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2025＋y 29＝1，2x 0－5225－4y29＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0.解之，得x 0＝－52或x 0＝5(舍去)．∴y 0＝332.由此可得M (－52，332)，∴P (－10,33)．当P 点坐标为(－10,33)时，直线PA 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)，即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y29＝1，得2x 2＋15x ＋25＝0. ∴x ＝－52或－5(舍去)，∴x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴．∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×332＝15 3.。

高考数学大一轮复习第二节曲线与方程课件理苏教版

2．曲线的交点
设曲线 C1 的方程为 F1(x，y)＝0，曲线 C2的方程为 F2(x，
F1x，y＝0， y)＝0，则 C1，C2 的交点坐标即为方程组 F2x，y＝0 的
实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．
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1．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．
－12(x，y)＝－x2，－2y，
即 P 点坐标为－x2，－2y，又 P 在椭圆上，则有
－ax22 2＋－b22y2＝1，即4xa22＋4yb22＝1.
答案：4xa22＋4yb22＝1
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[课堂练通考点] 1．(2014·洛阳模拟) 设过点 P(x，y)的直线分别与 x 轴的正半
故存在四边形 OANB 为矩形，直线 l 的方程为 y＝±2x－2. [类题通法] 代入法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法，其题目特征是：点 P 的运动与点 Q 的运动相关，且点 Q 的运动有规律(有方程)，只需将 P 的坐标转移到 Q 的方程中，整理即可得 P 的轨迹方程．
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第二节曲线与方程
1．曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
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本例中圆 M，N 方程分别变为“圆 M：(x＋4)2＋y2＝2；圆 N：(x－4)2＋y2＝2”其余条件不变，求 C 的方程.

苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第九章解析几何第六节双曲线教案理解析版

１．双曲线的定义平面内与两个定点F１，F２的距离的差的绝对值等于非零常数（小于F１F ２）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M||MF１—MF２|＝２a}，F１F２＝２c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0．（１）当２a＜F１F２时，P点的轨迹是双曲线；（２）当２a＝F１F２时，P点的轨迹是两条射线；（３）当２a＞F１F２时，P点不存在．２．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）图形性质范围x≤—a或x≥a，y∈R y≤—a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A１（—a,0），A２（a,0）顶点坐标：A１（0，—a），A２（0，a）渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（１，＋∞）a，b，c的关系c２＝a２＋b２实虚轴线段A１A２叫做双曲线的实轴，它的长A１A２＝错误!；线段B１B２叫做双曲线的虚轴，它的长B１B２＝错误!；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长[小题体验]１．双曲线x２—５y２＝１0的焦距为________．解析：∵双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１，∴a２＝１0，b２＝２，∴c２＝a２＋b２＝１２，c＝２错误!，故焦距为４错误!.答案：４错误!２．双曲线２x２—y２＝8的实轴长为________．解析：双曲线２x２—y２＝8的标准方程为错误!—错误!＝１，实轴长为２a＝４．答案：４３．已知双曲线错误!—错误!＝１的右焦点为（３,0），则该双曲线的离心率等于________．解析：∵右焦点为（３,0），∴c＝３．∴a２＝c２—b２＝9—５＝４，∴a＝２，∴e＝错误!＝错误!.答案：错误!１．双曲线的定义中易忽视２a＜F１F２这一条件．若２a＝F１F２，则轨迹是以F１，F２为端点的两条射线，若２a＞F１F２，则轨迹不存在．２．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a＞0，b＞0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈（１，错误!）；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝错误!；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e∈（错误!，＋∞）．３．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a２＝b２＋c２，而在双曲线中c２＝a２＋b２.４．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±错误!，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±错误!.[小题纠偏]１．设P是双曲线错误!—错误!＝１上一点，F１，F２分别是双曲线左、右两个焦点，若PF１＝9，则PF２等于________．解析：由题意知PF１＝9＜a＋c＝１0，所以P点在双曲线的左支，则有PF２—PF１＝２a＝8，故PF＝PF１＋8＝１7．２答案：１7２．若a＞１，则双曲线错误!—y２＝１的离心率的取值范围是________．解析：由题意得双曲线的离心率e＝错误!.即e２＝错误!＝１＋错误!.因为a＞１，所以0＜错误!＜１，所以１＜１＋错误!＜２，所以１＜e＜错误!.答案：（１，错误!）３．离心率为错误!，且经过（—错误!，２）的双曲线的标准方程为________．解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为错误!—错误!＝１．则有错误!解得错误!所以所求双曲线的标准方程为x２—错误!＝１．当双曲线焦点在y轴上时，设方程为错误!—错误!＝１．则有错误!解得错误!所以所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：x２—错误!＝１或错误!—错误!＝１错误!错误![题组练透]１．若方程错误!＋错误!＝１（k∈R）表示双曲线，则k的取值范围是________．解析：依题意可知（k—３）（k＋３）＜0，解得—３＜k＜３．答案：（—３,３）２．已知双曲线C：错误!—错误!＝１的离心率e＝错误!，且其右焦点为F２（５,0），则双曲线C的标准方程为________．解析：因为所求双曲线的右焦点为F２（５,0）且离心率为e＝错误!＝错误!，所以c＝５，a＝４，b ２＝c２—a２＝9，所以所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１３．若以F１（—错误!，0），F２（错误!，0）为焦点的双曲线过点（２,１），则该双曲线的标准方程为________．解析：依题意，设题中的双曲线方程是错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0），则有错误!解得a２＝２，b２＝１．因此该双曲线的标准方程是错误!—y２＝１．答案：错误!—y２＝１４．（２0１9·苏锡常镇调研）已知双曲线Γ过点（２，错误!），且与双曲线错误!—y２＝１有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为________．解析：依题意，设所求双曲线的标准方程为错误!—y２＝λ，将点（２，错误!）的坐标代入，得１—３＝λ，∴λ＝—２，∴所求双曲线的方程为错误!—y２＝—２，其标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１[谨记通法]求双曲线标准方程的一般方法（１）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线错误!—错误!＝１有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为错误!—错误!＝λ（λ≠0）．（２）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．错误!错误![典例引领]１．设F１，F２分别是双曲线错误!—错误!＝１的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F１AF２＝90°且AF１＝３AF２，则双曲线的离心率为________．解析：因为∠F１AF２＝90°，故AF错误!＋AF错误!＝F１F错误!＝４c２，又AF１＝３AF２，且AF１—AF２＝２a，故１0a２＝４c２，故错误!＝错误!，故e＝错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·海门中学检测）已知双曲线x２—错误!＝１的两个焦点为F１，F２，P为双曲线右支上一点．若PF１＝错误!PF２，则△F１PF２的面积为________．解析：由双曲线的定义可得PF１—PF２＝错误!PF２＝２a＝２，解得PF２＝6，故PF１＝8，又F１F２＝１0，由勾股定理可知三角形PF１F２为直角三角形，因此S△PF１F２＝错误!PF１·PF２＝２４．答案：２４[由题悟法]应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．[即时应用]１．设F１，F２分别为双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得PF１＋PF２＝３b，PF１·PF２＝错误!ab，则该双曲线的离心率为________．解析：由题设条件得PF１＋PF２＝３b，由双曲线的定义得|PF１—PF２|＝２a，两个式子平方相减得PF１·PF２＝错误!，则错误!＝错误!ab，整理得（３b—４a）·（３b＋a）＝0，即错误!＝错误!，所以e＝错误!＝错误!.答案：错误!２．设双曲线错误!—错误!＝１的左、右焦点分别为F１，F２，过F１的直线l交双曲线左支于A，B 两点，则BF２＋AF２的最小值为________．解析：由双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１，得a＝２，由双曲线的定义可得AF２—AF１＝４，BF２—BF１＝４，所以AF２—AF１＋BF２—BF１＝8．因为AF１＋BF１＝AB，当AB是双曲线的通径时，AB最小，所以（AF２＋BF２）min＝AB min＋8＝错误!＋8＝１0．答案：１0错误!错误![锁定考向]双曲线的几何性质是高考命题的热点．常见的命题角度有：（１）求双曲线的离心率或范围；（２）求双曲线的渐近线方程；（３）双曲线性质的应用．[题点全练]角度一：求双曲线的离心率或范围１．（２0１8·海安高三质量测试）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±错误!x，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意知错误!＝错误!，即b２＝３a２，所以c２＝a２＋b２＝４a２，所以e＝错误!＝２．答案：２２．（２0１7·全国卷Ⅰ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A（a,0），设点M，N在渐近线y＝错误!x，即bx—ay＝0上，则圆心A到此渐近线的距离d＝错误!＝错误!.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝错误!，即错误!＝错误!，所以e＝错误!＝错误!.答案：错误!角度二：求双曲线的渐近线方程３．（２0１9·徐州调研）若双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为错误!，则双曲线C的渐近线方程为________．解析：∵双曲线C的离心率为错误!，∴e＝错误!＝错误!，则c２＝１0a２＝a２＋b２，得b２＝9a２，即b＝３a，则双曲线C的渐近线方程为y＝±错误!x＝±３x.答案：y＝±３x角度三：双曲线性质的应用４．已知点F１，F２分别为双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若错误!的最小值为9a，则双曲线的离心率为________．解析：在双曲线中，P为右支上一点，则PF１＝PF２＋２a，则错误!＝错误!＝PF２＋错误!＋４a≥２错误!＋４a＝8a（当且仅当PF２＝２a时取等号），因为已知错误!min＝9a，故PF２≠２a，在双曲线右支上点P 满足（PF２）min＝c—a，则c—a＞２a，即c＞３a，故e＞３，又由错误!≥9a，即错误!≥9a可得e≤２或e≥５，综上可得，e≥５，故当错误!取最小值9a时，e＝５．答案：５[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略（１）求双曲线的离心率（或范围）．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式（或不等式），解方程（或不等式）即可求得．（２）求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．（３）求双曲线的方程．依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．（４）求双曲线焦点（焦距）、实虚轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解．[演练冲关]１．（２0１9·通州模拟）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点都在双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）上，若双曲线的焦点在正方形的外部，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：由题意，可设正方形与双曲线的某个交点为A（m，m），则双曲线错误!—错误!＝１，可得m ２＝错误!＜c２，即c２b２—c２a２＞a２b２，又c２＝b２＋a２，化简可得c４—３c２a２＋a４＞0，即e４—３e２＋１＞0，又e＞１，解得e＞错误!，故该双曲线的离心率的取值范围是错误!.答案：错误!２．（２0１8·无锡调研）双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为错误!，焦点到渐近线的距离为３，则C的实轴长等于________．解析：因为e＝错误!＝错误!，所以c＝错误!a，设双曲线的一条渐近线方程为y＝错误!x，即ax—by ＝0，焦点为（0，c），所以错误!＝b＝３，所以a＝错误!＝错误!，所以a２＝１6，即a＝４，故２a＝8．答案：8３．（２0１8·盐城二模）已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y＝错误! x与双曲线相交于A，B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为________．解析：由题意可知，双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c,0），联立错误!整理得（9b２—１6a２）x２＝9a２b２，即x２＝错误!，∴A与B关于原点对称，设A错误!，B错误!，则错误!＝错误!，错误!＝错误!，∵AF⊥BF，∴错误!·错误!＝0，即（x—c）（—x—c）＋错误!x×错误!＝0，整理得c２＝错误!x２，∴a２＋b２＝错误!×错误!，即9b４—３２a２b２—１6a４＝0，∴（b２—４a２）（9b２＋４a２）＝0，∵a＞0，b＞0，∴9b２＋４a２≠0，∴b２—４a２＝0，故b＝２a，∴双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±２x.答案：y＝±２x４．已知双曲线x２—错误!＝１的左顶点为A１，右焦点为F２，P为双曲线右支上一点，则错误!·错误!的最小值为________．解析：由题可知A１（—１,0），F２（２,0）．设P（x，y）（x≥１），则错误!＝（—１—x，—y），错误!＝（２—x，—y），错误!·错误!＝（—１—x）（２—x）＋y２＝x２—x—２＋y２＝x２—x—２＋３（x２—１）＝４x２—x—５．因为x≥１，函数f（x）＝４x２—x—５的图象的对称轴为x＝错误!，所以当x＝１时，错误!·错误!取得最小值—２．答案：—２一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·滨湖月考）已知双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，实轴长为１２，则该双曲线的标准方程为________________．解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，实轴长为１２，∴当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为错误!—错误!＝１，a＞0，b＞0，此时错误!解得a＝6，b＝４，∴双曲线方程为错误!—错误!＝１．当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为错误!—错误!＝１，a＞0，b＞0，此时错误!解得a＝6，b＝9，∴双曲线方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１２．已知双曲线x２＋my２＝１的虚轴长是实轴长的２倍，则实数m的值是________．解析：依题意得m＜0，双曲线方程是x２—错误!＝１，于是有错误!＝２×１，m＝—错误!.答案：—错误!３．若双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为错误!，则其渐近线方程为________．解析：由条件e＝错误!，即错误!＝错误!，得错误!＝错误!＝１＋错误!＝３，所以错误!＝错误!，所以双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.答案：y＝±错误!x４．（２0１8·苏州高三暑假测试）双曲线错误!—y２＝１（m＞0）的右焦点与抛物线y２＝8x的焦点重合，则m＝________.解析：因为双曲线的右焦点为（错误!，0），抛物线的焦点为（２,0），所以错误!＝２，解得m＝３．答案：３５．（２0１9·常州一中检测）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线错误!—y２＝１（m＞0）的一条渐近线方程为x—错误!y＝0，则实数m的值为________．解析：∵双曲线错误!—y２＝１（m＞0）的渐近线方程为x±my＝0，已知其中一条渐近线方程为x—错误!y＝0，∴m＝错误!.答案：错误!6．（２0１8·苏北四市摸底）已知双曲线x２—错误!＝１（m＞0）的一条渐近线方程为x＋错误!y＝0，则实数m＝________.解析：双曲线x２—错误!＝１（m＞0）的渐近线为y＝±mx，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x＋错误!y＝0，所以m＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．双曲线错误!—错误!＝１的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为________．解析：由渐近线互相垂直可知错误!·错误!＝—１，即a２＝b２，即c２＝２a２，即c＝错误!a，所以e ＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·常州期末）双曲线错误!—错误!＝１的右焦点与左准线之间的距离是________．解析：因为a２＝４，b２＝１２，所以c２＝１6，即右焦点为（４,0），又左准线为x＝—错误!＝—１，故右焦点到左准线的距离为５．答案：５３．（２0１8·南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0）的一条渐近线与直线y＝２x＋１平行，则实数a＝________.解析：由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±错误!x.因为一条渐近线与直线y＝２x＋１平行，所以错误!＝２，解得a＝１．答案：１４．已知直线l与双曲线C：x２—y２＝２的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A（x１，x１），B（x２，—x２），所以AB中点坐标为错误!，所以错误!２—错误!２＝２，即x１x２＝２，所以S△AOB＝错误!OA·OB＝错误!|错误!x１|·|错误!x２|＝x１x２＝２．答案：２５．（２0１8·镇江期末）双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．解析：由题意c—错误!＝２a，即错误!２—２·错误!—１＝0，e２—２e—１＝0，解得e＝１±错误!.又因为双曲线的离心率大于１，故双曲线的离心率为１＋错误!.答案：１＋错误!6．（２0１9·连云港调研）渐近线方程为y＝±２x，一个焦点的坐标为（错误!，0）的双曲线的标准方程为________．解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±２x，∴设双曲线方程为x２—错误!＝λ（λ≠0），∵一个焦点的坐标为（错误!，0），∴（错误!）２＝λ＋４λ，解得λ＝２，∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１7．（２0１9·淮安模拟）已知双曲线错误!—错误!＝１的一个焦点与圆x２＋y２—１0x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于错误!，则该双曲线的标准方程为________．解析：将圆x２＋y２—１0x＝0化成标准方程，得（x—５）２＋y２＝２５，则圆x２＋y２—１0x＝0的圆心为（５,0）．∴双曲线错误!—错误!＝１的一个焦点为F（５,0），又该双曲线的离心率等于错误!，∴c＝５，且错误!＝错误!，∴a２＝５，b２＝c２—a２＝２0，故该双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１8．已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，点P在双曲线的右支上，且PF１＝４PF２，则双曲线的离心率e的最大值为________．解析：由双曲线定义知PF１—PF２＝２a，又已知PF１＝４PF２，所以PF１＝错误!a，PF２＝错误!a，在△PF１F２中，由余弦定理得cos∠F１PF２＝错误!＝错误!—错误!e２，要求e的最大值，即求cos∠F１PF２的最小值，因为cos∠F１PF２≥—１，所以cos∠F１PF２＝错误!—错误!e２≥—１，解得e≤错误!，即e的最大值为错误!.答案：错误!9．已知双曲线的中心在原点，焦点F１，F２在坐标轴上，离心率为错误!，且过点（４，—错误!），点M（３，m）在双曲线上．（１）求双曲线的方程；（２）求证：错误!·错误!＝0；（３）求△F１MF２的面积．解：（１）因为e＝错误!，则双曲线的实轴、虚轴相等．所以可设双曲线方程为x２—y２＝λ.因为双曲线过点（４，—错误!），所以１6—１0＝λ，即λ＝6．所以双曲线方程为x２—y２＝6．（２）证明：设错误!＝（—２错误!—３，—m），错误!＝（２错误!—３，—m）．所以错误!·错误!＝（３＋２错误!）×（３—２错误!）＋m２＝—３＋m２，因为M点在双曲线上，所以9—m２＝6，即m２—３＝0，所以错误!·错误!＝0．（３）因为△F１MF２的底边长F１F２＝４错误!.由（２）知m＝±错误!.＝错误!×４错误!×错误!＝6．所以△F１MF２的高h＝|m|＝错误!，所以S△F１MF２１0．（２0１8·启东中学检测）已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F１，F２，一条渐近线方程为２x＋y＝0，且焦点到这条渐近线的距离为１．（１）求此双曲线的方程；（２）若点M错误!在双曲线上，求证：点M在以F１F２为直径的圆上．解：（１）依题意得错误!解得错误!故双曲线的方程为错误!—x２＝１．（２）证明：因为点M错误!在双曲线上，所以错误!—错误!＝１．所以m２＝错误!，又双曲线错误!—x２＝１的焦点为F１（0，—错误!），F２（0，错误!），所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!２—（错误!）２＋m２＝错误!—５＋错误!＝0，所以MF１⊥MF２，所以点M在以F１F２为直径的圆上．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线错误!—错误!＝１的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．解析：∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x，y轴对称，若夹角在x轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为３0°，１５0°，斜率为±错误!，故错误!＝错误!.∵c２＝a２＋b２，∴错误!＝错误!，即e２—１＝错误!，解得e＝错误!.若夹角在y轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为60°，１２0°，斜率为±错误!，故错误!＝错误!.同理可求得e＝２．综上，e＝错误!或２．答案：错误!或２２．（２0１8·南通中学高三数学练习）已知点F是双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．解析：由题意得F（—c,0），A错误!，B错误!，E（a，0）．因为△ABE是锐角三角形，所以错误!·错误!＞0，即错误!·错误!＝错误!·错误!＞0．整理，得３e２＋２e＞e４.所以e３—e—２e—２＝e（e＋１）（e—１）—２（e＋１）＝（e＋１）２（e—２）＜0，解得0＜e＜２．又e＞１，所以e∈（１,２）．答案：（１,２）３．已知椭圆C１的方程为错误!＋y２＝１，双曲线C２的左、右焦点分别是C１的左、右顶点，而C２的左、右顶点分别是C１的左、右焦点，O为坐标原点．（１）求双曲线C２的方程；（２）若直线l：y＝kx＋错误!与双曲线C２恒有两个不同的交点A和B，且错误!·错误!＞２，求k的取值范围．解：（１）设双曲线C２的方程为错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0），则a２＝４—１＝３，c２＝４，再由a２＋b２＝c２，得b２＝１，故双曲线C２的方程为错误!—y２＝１．（２）将y＝kx＋错误!代入错误!—y２＝１，得（１—３k２）x２—6错误!kx—9＝0．由直线l与双曲线C２交于不同的两点，得错误!所以k２＜１且k２≠错误!.１设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!.所以x１x２＋y１y２＝x１x２＋（kx１＋错误!）（kx２＋错误!）＝（k２＋１）x１x２＋错误!k（x１＋x２）＋２＝错误!.又因为错误!·错误!＞２，即x１x２＋y１y２＞２，所以错误!＞２，即错误!＞0，解得错误!＜k２＜３．２由１２得错误!＜k２＜１，故k的取值范围为错误!∪错误!.。

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.9 曲线与方程教案(含解析)-人教版高三全册数学教案

§9.9曲线与方程考情考向分析以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主．题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在填空题中出现．1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤3．几种常见的求轨迹方程的方法(1)直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这个等式，化简得曲线的方程，这种方法叫做直接法．(2)定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或能利用平面几何知识分析得出这些条件．(3)相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0，y 0可用x ，y 表示，则将点Q 的坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程，这种方法称为相关点法(或代换法)．概念方法微思考1．f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件吗？提示是．如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，则曲线C 上的点的坐标满足f (x ，y )＝0，以f (x ，y )＝0的解为坐标的点也都在曲线C 上，故f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．2．曲线的交点与方程组的关系是怎样的？提示曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × )(3)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) 题组二教材改编2．[P64T10]已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹方程是________．答案 y 2＝x解析由已知MF ＝MB ，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．3．[P64T9]设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心的轨迹方程为________．答案 x 2＝8y －84．[P64T8]设P 为曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．答案 x 2－4y 2＝1解析设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则x 0＝2x ，y 0＝2y ，代入x 204－y 20＝1，得x 2－4y 2＝1. 题组三易错自纠5．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是________．答案一条直线和一条射线解析原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．6．到定点(0,7)和到定直线y ＝－7的距离相等的点的轨迹方程是________．答案 x 2＝28y7．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是__________．答案 x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析连结OP ，则OP ＝2，∴P 点的轨迹是去掉M ，N 两点的圆，∴方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．题型一定义法求轨迹方程例1已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．解由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以PM ＋PN ＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4>2＝MN .由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．思维升华定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程． (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．跟踪训练1在△ABC 中，BC ＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且BD －CD ＝22，则顶点A 的轨迹方程为______________．答案x 22－y 22＝1(x >2)解析以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点．则BE ＝BD ，CD ＝CF ，AE ＝AF . 所以AB －AC ＝22<4，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，所以b ＝2，所以轨迹方程为x 22－y 22＝1(x >2)．题型二直接法求轨迹方程例2已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． (1)证明由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)解设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1或x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．跟踪训练2在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，已知△F 1PF 2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．由题意，可得PF 2＝F 1F 2，即a －c2＋b 2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca －1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12，所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c ，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c ，代入直线方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y .于是AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ， BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫85y －335x ·3x ＝－2.化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x>0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)．题型三相关点法求轨迹方程例3如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M . (1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．解 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,22]，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0，∴y 1,2＝－2y 0±4y 20＋64x 02x 0，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22，可得M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8x，y ＝－y0x 0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8x ，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．思维升华“相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f x ，y ，y 1＝gx ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．跟踪训练3如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性，得B (x 0，－y 0)，设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)． ①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)． ②由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)． ③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209. ④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．题型四参数法求轨迹方程例4(2018·苏州调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M (1，－3)，N (5,1)，若点C 的坐标满足OC →＝tOM →＋(1－t )ON →(t ∈R )，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)在x 轴上是否存在一点P (m,0)(m ≠0)，使得过点P 任意作一条抛物线y 2＝4x 的弦，并以该弦为直径的圆都经过原点？若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由． (1)证明由OC →＝tOM →＋(1－t )ON →(t ∈R )，可知点C 的轨迹是直线MN ， ∴点C 的轨迹方程为y ＋31＋3＝x －15－1，即y ＝x －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，得x 2－12x ＋16＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝6±25， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16， ∴OA →·OB→＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4) ＝2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝2×16－4×12＋16＝0， ∴OA ⊥OB .(2)解假设存在这样的点P ，由已知弦所在直线斜率不为0，故设弦所在直线为x ＝ky ＋m ，代入y 2＝4x ，得y 2－4ky －4m ＝0，设弦端点D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则y 3,4＝4k ±16k 2＋16m 2＝2k ±2k 2＋m ，∴y 3＋y 4＝4k ，y 3y 4＝－4m ，由已知OD →⊥OE →，∴x 3x 4＋y 3y 4＝0， ∴y 234×y 244＋y 3y 4＝m 2－4m ＝0，解得m ＝0(舍去)或m ＝4， ∴存在点P (4,0)满足条件，设弦DE 的中点为M (x ，y )，则x ＝x 3＋x 42， ①＝ky 3＋4＋ky 4＋42＝k y 3＋y 4＋82＝2k 2＋4，y ＝y 3＋y 42＝2k ，②由①②消去k 得y 2＝2x －8，这就是所求圆心的轨迹方程．思维升华利用参数法求轨迹方程：一是选择合适的参数(可以是单参数，也可以是双参数)；二是建立参数方程后消掉参数，消参数的方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．跟踪训练4设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F (0,1)，长轴和短轴的长度之比为t . (1)求椭圆的方程；(2)设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右侧部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且OPOQ＝t t 2－1，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解 (1)设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，ab ＝t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝t 2t 2－1，b 2＝1t 2－1.所以椭圆方程为t 2(t 2－1)x 2＋(t 2－1)y 2＝t 2. (2)设点P (x ，y )，Q (x 1，y 1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧t2t 2－1x 21＋t 2－1y 21＝t 2，y 1＝tx 1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12t 2－1，y 1＝t2t 2－1.由OP OQ ＝t t 2－1和OP OQ ＝|x ||x 1|，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t22，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t2，y ＝－t22，其中t >1.消去t ，得点P 的轨迹方程为x 2＝22y ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x >22和x 2＝－22y ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x <－22. 其轨迹为抛物线x 2＝22y 在直线x ＝22右侧的部分和抛物线x 2＝－22y 在直线x ＝－22左侧的部分． 1．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且PA ＝1，则点P 的轨迹方程是________________．答案 (x －1)2＋y 2＝2 解析如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连结MA ，PM ，则MA ⊥PA ，且MA ＝1，又∵PA ＝1，∴PM ＝MA 2＋PA 2＝2，即PM 2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.2．已知点O (0,0)，A (1,2)，动点P 满足|OP →＋AP →|＝2，则P 点的轨迹方程是________________．答案 4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0解析设P 点的坐标为(x ，y )，则OP→＝(x ，y )，AP →＝(x －1，y －2)，OP →＋AP →＝(2x －1,2y －2)．所以(2x －1)2＋(2y －2)2＝4，整理得4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0.3．在平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹方程是________．答案 x ＋2y －5＝0解析设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴化简得x ＋2y －5＝0.4．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是________________．答案 32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)解析设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x ，y －b ＝－2y ，即a ＝32x >0，b ＝3y >0.由题意得，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．5．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是______________．答案 y 2－x 248＝1(y ≤－1)解析由两点间距离公式，可得AC ＝13，BC ＝15，AB ＝14，因为A ，B 都在椭圆上，所以AF ＋AC ＝BF ＋BC ，AF －BF ＝BC －AC ＝2<14，故F 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的下支．由c ＝7，a ＝1⇒b 2＝48，F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)．6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________．答案 4π解析设P (x ，y )，由PA ＝2PB ，得x ＋22＋y 2＝2x －12＋y 2，∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．即轨迹所包围的图形的面积等于4π.7．直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点连线的中点的轨迹方程是______________．答案 x ＋y ＝1(x ≠0且x ≠1)解析直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴的交点为A (a,0)，B (0，2－a )，设AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.因为a ≠0且a ≠2，所以x ≠0且x ≠1.8．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是______________．答案x 24＋y 23＝1(y ≠0)解析设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，垂足分别为A 1，B 1，O 1，则AA 1＋BB 1＝2OO 1＝4，由抛物线定义得AA 1＋BB 1＝FA ＋FB ，所以FA ＋FB ＝4>2，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，其方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．9.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB ＝30°，则点P 的轨迹是________．答案椭圆解析可构造如图所示的圆锥．母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆．10．如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是____________．答案 x 24a 2＋y 24b2＝1解析由于OQ →＝PF 1—→＋PF 2—→，又PF 1—→＋PF 2—→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，即P点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.11.如图，抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (2,1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程；(2)若∠APB 的平分线垂直于y 轴，求证：直线AB 的斜率为定值． (1)解由已知可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)．因为点P (2,1)在抛物线上，所以22＝2p ×1，解得p ＝2.故抛物线的方程为x 2＝4y .(2)证明由题意知k AP ＋k BP ＝0，所以y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝0.所以x 214－1x 1－2＋x 224－1x 2－2＝0，所以x 1＋24＋x 2＋24＝0，所以x 1＋x 2＝－4.所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 214－x 224x 1－x 2＝x 1＋x 24＝－1.所以直线AB 的斜率为定值．12.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM →＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．解 (1)设M (x ，y )，则D (x,0)，由DM →＝12DP →知，P (x,2y )， ∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，轨迹C 为椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝24k 2±－24k 22－41＋4k 236k 2－421＋4k 2，∴x 1＋x 2＝24k21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k1＋4k 2.∵四边形OAEB 为平行四边形，∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2，又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝24k21＋4k 2，y ＝－6k1＋4k 2，消去k ，得x 2＋4y 2－6x ＝0，由(*)中Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0，得k 2<15，∴0<x <83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎪⎫0<x <83. 13．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是________．①x ＋y ＝5；②x 2＋y 2＝9； ③x 225＋y 29＝1； ④x 2＝16y . 答案 ②解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.①中，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；②中，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；③中，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；④中，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．14．设点P (x ，y )是曲线a |x |＋b |y |＝1(a >0，b >0)上的动点，且满足x 2＋y 2＋2y ＋1＋x 2＋y 2－2y ＋1≤22，则a ＋2b 的取值范围为________．答案 [2，＋∞)解析设F 1(0，－1)，F 2(0,1)，则满足x 2＋y ＋12＋x 2＋y －12＝22的点P 的轨迹是以F 1(0，－1)，F 2(0,1)为焦点的椭圆，其方程为x 21＋y 22＝1.曲线a |x |＋b |y |＝1(a >0，b >0)为如图所示的菱形ABCD ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1b . 由于x 2＋y ＋12＋x 2＋y －12≤22，所以菱形ABCD 在椭圆上或其内部，所以1a ≤1，1b ≤2，即a ≥1，b ≥22. 所以a ＋2b ≥1＋2×22＝2. 15．已知过点A (－3,0)的直线与x ＝3相交于点C ，过点B (3，0)的直线与x ＝－3相交于点D ，若直线CD 与圆x 2＋y 2＝9相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为______________．答案 x 29＋y 294＝1(y ≠0) 解析设点M (x ，y )，C (3，m )，D (－3，n )，则直线CD 的方程为(m －n )x －6y ＋3(m ＋n )＝0，因为直线CD 与圆x 2＋y 2＝9相切，所以3|m ＋n |m －n 2＋36＝3，所以mn ＝9，又直线AC 与BD 的交点为M ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y x ＋3＝y －m x －3，y x －3＝y －n x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6y x ＋3，n ＝－6y x －3，所以－36y 2x 2－9＝9，所以点M 的轨迹方程为x 29＋y 294＝1(y ≠0)． 16．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离的积等于常数a 2(a 2>4)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是________．答案 ②③解析因为原点O 到两个定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)的距离的积是4，又a 2>4，所以曲线C 不过原点，即①错误；设动点P 在曲线C 上，因为F 1(－2,0)，F 2(2,0)关于原点对称，所以PF 1·PF 2＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为12F PF S ＝12PF 1·PF 2sin∠F 1PF 2≤12PF 1·PF 2＝12a 2，即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，即③正确．。

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§9.9曲线与方程1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．( √)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( ×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( ×)(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．( ×)1．方程(x2＋y2－4)x＋y＋1＝0的曲线形状是下列中的________(填序号)．答案 ③解析由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．2．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是________．答案 2x －y ＋5＝0解析由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.3．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件PF 1＋PF 2＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是____________．答案椭圆或线段解析 ∵a ＋9a≥2a ·9a＝6.当a ＝3时，a ＋9a＝6，此时PF 1＋PF 2＝F 1F 2，P 点的轨迹为线段F 1F 2，当a ≠3时，PF 1＋PF 2>F 1F 2. 由椭圆定义知P 点的轨迹为椭圆．4．已知M (－2,0)，N (2,0)，PM －PN ＝4，则动点P 的轨迹是____________．答案射线解析 ∵MN ＝4，∴PM －PN ＝MN . ∴P 点的轨迹是射线.题型一定义法求轨迹方程例1 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．思维点拨利用两圆相切的几何性质得出M 的等量关系，结合圆锥曲线定义求方程．解如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)、O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有MO 1＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有MO 2＝r ＋2. ∴MO 2－MO 1＝3.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－32)．思维升华应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．如图所示，已知C 为圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心，点A (2，0)，P 是圆上的动点，点Q 在直线CP 上，且MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →.当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．解圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心为C (－2，0)，半径r ＝2，∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →，∴MQ ⊥AP ，点M 是线段AP 的中点，即MQ 是AP 的垂直平分线，连结AQ ，则AQ ＝QP ，∴|QC －QA |＝|QC －QP |＝CP ＝r ＝2，又AC ＝22>2，根据双曲线的定义，知点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c ＝2，a ＝1，得b 2＝1，因此点Q 的轨迹方程为x 2－y 2＝1. 题型二相关点法求轨迹方程例2 设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程．思维点拨利用重心G 的坐标与点C 的坐标的关系，代入抛物线方程．解设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax消去y 并整理得：x 2－12ax ＋16a 2＝0.∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .∵G (x ，y )为△ABC 的重心，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a 3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a .又点C (x 0，y 0)在抛物线上，∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得： (3y －4a )2＝4a (3x －12a )，即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )．又点C 与A ，B 不重合，∴x ≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )(x ≠(6±25)a )．思维升华 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f x ，y ，y 1＝gx ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．解设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )， ∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0. 由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y .∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x . 题型三直接法求轨迹方程例3 (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．思维点拨 (1)利用曲线的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系； (2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系．(1)解如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得O 1A ＝O 1M ，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴O 1M ＝x 2＋42，又O 1A ＝x －42＋y 2，∴x －42＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2，① x 1x 2＝b 2k2，②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0.③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略．如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步．求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．如图所示，A (m ，3m )和B (n ，－3n )两点分别在射线OS ，OT (点S 、T 分别在第一、四象限)上移动，且OA →·OB →＝－12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝OA →＋OB →. (1)求mn 的值；(2)求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解 (1)∵OA →·OB →＝(m ，3m )·(n ，－3n ) ＝－2mn ＝－12，∴mn ＝14.(2)设P (x ，y ) (x >0)，由OP →＝OA →＋OB →，得(x ，y )＝(m ，3m )＋(n ，－3n )＝(m ＋n ，3m －3n )．∴⎩⎨⎧x ＝m ＋n ，y ＝3m －3n ，整理得x 2－y 23＝4mn ，又mn ＝14，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 23＝1 (x >0)．它表示以原点为中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2－y 23＝1的右支．利用参数法求轨迹方程典例：(14分)(2013·福建)如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)，分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，连结OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)．(1)求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1，求直线l 的方程．思维点拨 (1)设A i 的坐标为(i,0)，则B i 的坐标为(10，i )，可用i 表示点P 的坐标，得出P 的参数方程．(2)设直线l 的斜率为k ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，寻找M ，N两点坐标之间的关系，再由面积之比即可求出k 的值．规范解答方法一解 (1)依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .[2分]设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .[6分] (2)依题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋10，x 2＝10y ，得x 2－10kx －100＝0，此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .[10分]设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k ， ①x 1·x 2＝－100， ②因为S △OCM ∶S △OCN ＝4∶1，所以S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|.又x 1·x 2<0，所以x 1＝－4x 2，③把③代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32.[12分]所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.[14分]方法二解 (1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上．证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .[2分]由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i 10x ，解得P i 的坐标为(i ，i 210)，因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .[6分] (2)同方法一：温馨提醒参数法求轨迹方程的步骤： (1)选取参数k ，用k 表示动点M 的坐标．(2)得出动点M 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝fk ，y ＝gk .(3)消去参数k ，得m 的轨迹方程． (4)由k 的范围确定x ，y 的范围.方法与技巧求轨迹的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．(3)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程．(4)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动．如果相关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．失误与防范1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应法则．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．A组专项基础训练(时间：45分钟)1．平面上动点P到定点F与定直线l的距离相等，且点F与直线l的距离为1.某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2＝2y－1，则他的建系方式是下列中的________(填序号)．答案 ③解析因为点P 的轨迹方程为x 2＝2y －1，即所求的抛物线方程为y ＝12x 2＋12，抛物线的对称轴为y 轴，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.所以该同学建系方式是③.2．已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )．则点M (x ，y )的轨迹C 的方程为________．答案x 23＋y 2＝1解析因为(a ＋3b )⊥(a －3b )，所以(a ＋3b )·(a －3b )＝0，所以a 2－3b 2＝0，所以x 2＋3y 2－3＝0，即点M (x ，y )的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.3．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且PA ＝1，则P 点的轨迹方程为________________________________________________________________________．答案 (x －1)2＋y 2＝2解析由题意知P 到圆心(1,0)的距离为2， ∴P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.4．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是__________________________________________________________________．答案x 29－y 216＝1 (x >3) 解析如图，AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1 (x >3)．5．有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a >0)且与y 轴相交于点A 、B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为________．答案双曲线解析设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，由于△ABP 为正三角形， ∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R . 而R ＝PF ＝x －a 2＋y 2，∴|x |＝32·x －a2＋y 2.整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，即x ＋3a212a2－y 24a2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线．6．设P 是圆x 2＋y 2＝100上的动点，点A (8,0)，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于M 点，则点M 的轨迹为__________．答案椭圆解析如图，设M (x ，y )，由于l 是AP 的垂直平分线，于是AM ＝PM ，又由于10＝OP ＝OM ＋MP ＝OM ＋MA ，即OM ＋MA ＝10，也就是说，动点M 到O (0,0)及A (8,0)的距离之和是10，故动点M 的轨迹是以O (0,0)、A (8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为________________．答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) 解析设A (x ，y )，则D (x 2，y2)，∴CD ＝x2－52＋y 24＝3，化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A 、B 、C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0.8．方程x 2sin 2＋cos 2－y 2cos 2－sin 2＝1所表示的曲线是__________________．答案焦点在y 轴上的椭圆解析 ∵π2<2<2π3，∴sin 2>0，cos 2<0，sin 2＋cos 2>0，cos 2－sin 2<0， ∴方程x 2sin 2＋cos 2－y 2cos 2－sin 2＝1，即x 2sin 2＋cos 2＋y 2sin 2－cos 2＝1，故方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆． 9．已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)，经过点M (33，0)的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程．解设A (x 0，y 0)，∵B (0,2)，M (33，0)，故MB →＝(－33，2)，MA →＝(x 0－33，y 0)．由于MB →＝－2MA →，∴(－33，2)＝－2(x 0－33，y 0)．∴x 0＝32，y 0＝－1，即A (32，－1)． ∵A ，B 都在曲线E 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·02＋b ·22＝1，a ·322＋b ·－12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14.∴曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1.10．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足DQ →＝23DP →.(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的点M 、N ，使OE →＝12(OM →＋ON →)(O是坐标原点)．若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，则点D 的坐标为D (x 0,0)， ∴DQ →＝(x －x 0，y )，DP →＝(0，y 0)，又DQ →＝23DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y .∵P 在圆O 上，故x 2＋y 20＝9，∴x 29＋y 24＝1. ∴点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1.(2)存在．假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在两个不重合的点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE →＝12(OM →＋ON →)，则E (1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x22＝1，y 1＋y22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式相减，得x 1－x 2x 1＋x 29＋y 1－y 2y 1＋y 24＝0.∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49， ∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0. ∴椭圆上存在点M 、N 满足OE →＝12(OM →＋ON →)，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.B 组专项能力提升 (时间：30分钟)1．已知定点A (1,0)和定直线l ：x ＝－1，在l 上有两动点E ，F 且满足AE →⊥AF →，另有动点P ，满足EP →∥OA →，FO →∥OP →(O 为坐标原点)，则动点P 的轨迹方程为________．答案 y 2＝4x (x ≠0)解析设P (x ，y )，E (－1，y 1)，F (－1，y 2)(y 1，y 2均不为零)，由EP →∥OA →⇒y 1＝y ，即E (－1，y )．由FO →∥OP →⇒y 2＝－y x，即F (－1，－y x)．由AE →⊥AF →⇒y 2＝4x (x ≠0)．2．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是________．答案直线解析设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．3．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．答案 ②③解析设P (x ，y )为曲线C 上任意一点，则由PF 1·PF 2＝a 2，得x ＋12＋y 2·x －12＋y 2＝a 2.把(0,0)代入方程可得1＝a 2，与a >1矛盾，故①不正确．当M (x ，y )在曲线C 上时，点M 关于原点的对称点M ′(－x ，－y )也满足方程，故曲线C 关于原点对称，故②正确．12F PF S V ＝12PF 1·PF 2sin∠F 1PF 2＝12a 2sin∠F 1PF 2≤12a 2，故③正确． 4．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是______________．答案 x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)解析设P (x ，y )，∵△MPN 为直角三角形， ∴MP 2＋NP 2＝MN 2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得，x 2＋y 2＝4. ∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2， ∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)．5.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是____________．答案 y 2＝23x －19解析过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连结PH 、PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由PH 2－PM 2＝1，得x 2＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19.6.如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且DM ＝2DP .当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点T (0，t )作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线C 于A 、B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y2，①因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.② 将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1，点A 、B 的坐标分别为(－32，1)，(32，1)，此时AB ＝3，当t ＝－1时，同理可得AB ＝3；当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＋y 24＝1得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.③设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得 x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|t |k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1，所以AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[4k 2t24＋k22－4t 2－44＋k 2]＝43|t |t 2＋3. 因为AB ＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3|t |，且当t ＝±3时，AB ＝2，所以AB 的最大值为2.依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径，所以△AOB 面积S 的最大值为12×2×1＝1，此时t ＝±3，相应的点T 的坐标为(0，－3)或(0，3).。

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