5.2_平面向量基本定理及坐标表示练习题
2020年高考数学一轮复习专题5.2平面向量的基本定理练习(含解析)
5.2 平面向量的坐标运算一、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1）， |a |a ＋b 3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .考向一 坐标运算【例1】（1）已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为．(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝ 【答案】（1）(2,0) （2）-2【解析】（1） 设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0. （2）由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.【举一反三】1.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 D【解析】 由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b时，取“＝”．故选D.2．已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________. 【答案】 －23【解析】 点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ →＝2PM →＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．又PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.3.已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43【解析】 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.考向二 平面向量在几何中 的运用【例2】已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1 【答案】 A【解析】 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，则x 2＋(y ＋2)2＝1， 即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.故选A. 【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．O :10l x ky -+=22:4C x y +=, A B OM OA OB =+M C k =2-1-01考向三 向量中的坐标【例3】给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______. 【答案】2【解析】解法1（ 考虑特值法） 当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=， 当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>， 于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形， ∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+= 猜想x y +的最大值是2.解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则1(1,0),((cos ,sin )2A B C αα-.于是OC xOA yOB =+可化为：1(cos ,sin )(1,0)(,22x y αα=+-，∴1cos ,2sin .x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1）解法2 函数法求最值由方程组（1）得：cos ,.x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，又0120α≤≤， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法3 不等式法求最值由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-，∴211()33xy x y =+-， 由0,0x y >>，及x y +≥2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号. ∴max () 2.x y +=思考方向三 考虑向量的数量积的运算 解法4 两边点乘同一个向量∵,OC xOA yOB =+∴,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法5 两边平方法∵,OC xOA yOB =+∴22(),OC xOA yOB =+∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y +=思考方向四 考虑平行四边形法则过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OM CN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-， 且||,||.OM x MC y == 解法6 利用正弦定理sin sin sin OM MC OCOCM COM OMC==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60x y αα+=++，∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y += 解法7 利用余弦定理222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y += 【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．【答案】6【解析】 方法一 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°， 所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23， 所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.2.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝.【答案】 52【解析】 由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)， ∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)， ∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)， 又∵P 为CD 的中点，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 【答案】 (－3，－5)【解析】 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 【答案】 1【解析】 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.3.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝. 【答案】 －2或6【解析】 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.4. 已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为． 【答案】 (3,3)【解析】 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．5.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝.【答案】 4【解析】 ∵向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，∴a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，∵(a －2b )∥(2a ＋b )，∴(8－2x )(x ＋1)－(16＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2＝0，即－52x 2＋40＝0，又∵x >0，∴x ＝4.6．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为． 【答案】 3【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连结CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.7.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (2,0)，D (0,2)，F (3,1)，P (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤α≤π2，即AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)． ∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，∴λ＝18(3sin α－cos α)，μ＝14(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝12sin α－12cos α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4.∵－π2≤α≤π2，∴－3π4≤α－π4≤π4.∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4≤12.8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．【答案】5【解析】如图所示，①设点O 为正六边形的中心， 则AO →＝AB →＋AF →.当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连结OP ， 则AP →＝AO →＋OP →， ∵OP →与FB →共线，∴存在实数t ，使得OP →＝tFB →， 则AP →＝AO →＋tFB →＝AB →＋AF →＋t (AB →－AF →) ＝(1＋t )AB →＋(1－t )AF →，∴此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点为P ，则AP →＝52AO →＝52()AB →＋AF →＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，为最大值．9.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________． 【答案】2133【解析】 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎨⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，① 直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP →|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133. 10.已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 【解析】 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.11在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______． 【答案】102【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ.∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102， 当且仅当x ＝y 时取等号， ∴5λ＋3μ的最大值为102. 12.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【答案】 (－1,0)【解析】 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)， 又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)， ∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。
第5章第2节 平面向量基本定理及坐标表示练习和答案
A．－3
B．3
C．1
D．－1
14. 如图，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，若 AC AM BD ，则λ＋μ＝( )
A.4
B.5
C.15
D．2
3
3
8
15. 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ，它们的夹角为2π.如图所示，点 C 在以 O 为
3
圆心的圆弧 AB 上运动．若 OC xOA yOB ，其中 x，y R，则 x＋y 的最大值为
n 1 AC AB ＝(1－n)A→B＋nA→C.
5
5
又
AP
m
AB
2 5
AC
，∴
1 n m,
n 5
2 5
,
解得
n 2, m 1.
12.D
【 解 析 】 设 OP3 ＝ (x ， y) ， 则 由 OP3 ∥a 知 x ＋ y ＝ 0 ， 于 是 OP3 ＝ (x ， － x) ． 若
.
16. 在△ABC 中，点 D 满足 BD DC ，当点 E 在线段 AD 上移动时，若 AE AB AC ，
则 t ( 1)2 2 的最小值是
.
1. C. 2. B． 3. A． 4. A. 5. D． 6. A. 7. BC． 8. ABC
第 2 节 平面向量基本定理及坐标表示
OP3 OP1 (1 )OP2 ， 则 有 (x ， － x) ＝ λ(3,1) ＋ (1 － λ)( － 1,3) ＝ (4λ － 1,3 － 2λ) ， 即 4 -1 x, 3 2 x, 所以 4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选 D.
13. B
【解析】以点 A 为坐标原点，分别以 AB ， AD 的方向为 x 轴，y 轴的正方向，建立平面直
平面向量基本定理及坐标表示 测验(含答案)
2．3平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1.设,1e 2e 是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（ ）A.1e ，2eB.1e +2e ，2eC.1e ，22eD.1e ，1e +2e2.已知,1e 2e 不共线，a =1λ1e +2e ，b =41e +22e ，并且a ，b 共线，则下列各式正确的是（ ）A. 1λ=1， B. 1λ=2， C. 1λ=3， D. 1λ=43.设AB =a +5b ，BC =-2a +8b ，CD =3a -3b ，那么下列各组的点中三点一定共线的是（ ）A. A ，B ，C B.A ，C ，D C.A ，B ，D D.Ｂ，Ｃ，Ｄ4.下列说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量. Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ①②③ （ ）5.已知AM 是△ABC 的BC 边上的中线，若AB ＝a ，AC ＝b ，则AM ＝ （ ）Ａ.21（a －b ） Ｂ.－21（a －b ） Ｃ.－21（a ＋b ） Ｄ.21（a ＋b ） 6.已知ABCDEF 是正六边形，AB ＝a ，AE ＝b ，则BC ＝ （ ）Ａ．21（a －b ） Ｂ．－21（a －b ） Ｃ．a ＋21b Ｄ.21（a ＋b ） 7.若向量a ＝（x+3，x 2－3x －4）与AB 相等，已知A （1，2）和B （3，2），则x 的值为A 、－1 B 、－1或4 C 、4 D 、1或－4 （ ）8.设i 、j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且j i OA 24+=， j i OB 43+=，则△OAB 的面积等于（ ）A 、15 B 、10 C 、7.5 D 、59.己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5)且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =,则P 点坐标为( )A 、(－2,11)B 、()3,34C 、(32,3) D 、(2,－7) 10.已知O 为原点，A,B 点的坐标分别为（a ，0），（0，a ），其中常数a ＞0，点P 在线段AB上,且AP ＝t AB （0≤t≤1），则OA ·OP 的最大值为（ ）A 、a B 、2a C 、3a D 、a 2 二、填空题11.如果31e +42e ＝a ，21e +32e ＝b ，其中a ，b 为已知向量，则1e ＝ ，2e ＝12.已知,1e 2e 是同一平面内两个不共线的向量，且AB ＝２1e +ｋ2e ，CB ＝1e +３2e，CD ＝２1e －2e ，如果A,B,D 三点共线，则ｋ的值为13.已知点A （－1，5），若向量AB 与向量a ＝（2，3）同向，且AB ＝3a ，则点B 的坐标为_________14.平面上三个点，分别为A （2，－5），B （3，4），C （－1，－3），D 为线段BC 的中点，则向量DA 的坐标为__________三、解答题15.已知：1e 、2e 是同一平面内不共线的向量，当ｋ为何值时，向量a ＝４1e +２2e ，b ＝ｋ1e ＋2e共线？16.已知：1e 、2e 是同一平面内不共线的向量，当ｋ为何值时，向量a ＝ｋ1e +2e 与b ＝1e ＋ｋ2e 共线？17、已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，||43OA =，60xOA ∠=，求向量OA 的坐标.18、已知点A （－1，2），B （2，8）及13AC AB =，13DA BA =-，求点C 、D 和CD 的坐标.19、已知平行四边形ABCD 的一个顶点坐标为A （－2，1），一组对边AB 、CD 的中点分别为M （3，0）、N （－1，－2），求平行四边形的各个顶点坐标.20、已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）及OP =OA +t AB ，求：（1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限?（2）四边形OABP 能否构成平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由.答案：1----10:CBCCD D ADAD11、7923,44a b a b +-－ 12、－8 13、B （5，14） 14、DA ＝11(1,)2- 15、k=2 16、k=1± 17、解：设点A （ｘ，ｙ），则ｘ＝｜OA ｜cos 60＝43cos 60＝23，ｙ＝｜OA ｜sin 60＝43sin 60＝6，即A （23，6），所以OA ＝（23，6）、18、解：设C （ｘ1，ｙ1），D （ｘ2，ｙ2），由题意可得AC ＝（ｘ1＋1，ｙ1－2），(3,6)AB =，DA ＝（－1－ｘ2，2－ｙ2），BA ＝（－3，－6） ∵13AC AB =，13DA BA =-，∴（ｘ1＋1，ｙ1－2）＝13（3，6）＝（1，2） （－1－ｘ2，2－ｙ2）＝－13（－3，－6）＝（1，2），则有 111122x y +=⎧⎨-=⎩和221122x y --=⎧⎨-=⎩，解得1104x y =⎧⎨=⎩和2220x y =-⎧⎨=⎩、 ∴C 、D 的坐标分别为（0，4）和（－2，0）、因此CD ＝（－2，－4）、19、解：设其余三个顶点的坐标为B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），D （x 3，y 3）、因为M 是AB 的中点，所以3=221x +-，0=211y +， 解得x 1=8，y 1=－1、设MN 的中点O '（x 0，y 0），则x 0=2)1(3-+=1，y 0=2)2(0-+=－1，而O '既是AC 的中点，又是BD 的中点，所以x 0=22x x A +，y 0=22y y A +， 即1=222x +-，－1=212y +、 解得x 2=4，y 2=－3、同理解得x 3=－6，y 3=－1、所以B （8，－1），C （4，－3），D （－6，－1）、20、解：（1）OP =OA +t AB =（1+3t ，2+3t ）、若P 在x 轴上，只需2+3t =0，所以t =－32、若P 在y 轴上，只需1+3t =0，所以t =－31、 若P 在第二象限，只需⎩⎨⎧>+<+，，032031t t ∴－32＜t ＜－31、 （2）因为OA =（1，2），PB =（3－3t ，3－3t ），若OABP 为平行四边形，则OA =PB 、由于⎩⎨⎧=-=-233133t t ，无解，故四边形OABP 不能构成平行四边形、。
高考数学一轮总复习 52平面向量基本定理及向量的坐标表示课后强化作业 新人教B版
高考数学一轮总复习 52平面向量基本定理及向量的坐标表示课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D[解析] ∵a ＝(1，k )，b ＝(2,2)， ∴a ＋b ＝(3，k ＋2)， ∵(a ＋b )∥a ，∴1·(k ＋2)＝3k ，∴k ＝1，∴a ＝(1,1)， ∴a ·b ＝2＋2＝4.(理)(2013·荆州质检)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n ＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12[答案] C[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.2．(文)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 [答案] B[解析] AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.(理)(2013·广州综合测试二)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( )A ．－32B ．－14C.12D.32[答案] A[解析] 依题意得，AB →＝(3,1)，由AB →∥OC →得3(m ＋1)－m ＝0，m ＝－32，选A.3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形[答案] C[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， ∴四边形ABCD 为梯形．4．(文)(2012·天津文，8)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－2，则λ＝( )A.13B.23C.43 D ．2 [答案] B[解析] 由题意，BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝CA →＋AP →＝－AC →＋λAB →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝3λ－4＝－2，∴λ＝23.用模与夹角都已知的AC →，AB →来表示BQ →，CP →是解题关键，(AC →，AB →看作一组基底)．另外本题可以将向量坐标化去解答．(理)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14 D ．1[答案] A[解析] 本题考查向量的线性运算．据已知N 为AM 的中点，可得AN →＝12AM →＝λAB →＋μAC →，整理得AM →＝2λAB →＋2μAC →，由于点M 在直线BC 上，故有2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝12.5．已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP →＝xAB →＋yAD →，则“0≤x ≤12，0≤y ≤23”的概率是( )A.13 B.23 C.14 D.12[答案] A [解析]根据平面向量基本定理，点P 只要在如图所示的区域AB 1C 1D 1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的12×23＝13，故所求的概率是13.6．(文)(2013·安庆二模)已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．双曲线C ．圆D ．椭圆[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λAC →.则x a ＋b ＝λ(a ＋y b )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，1＝λy⇒xy ＝1，故选B.(理)如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝⎛⎭⎫12，12 B.⎝⎛⎭⎫23，23 C.⎝⎛⎭⎫13，13 D.⎝⎛⎭⎫23，12[答案] C[解析] 设CF →＝λCD →，∵E 、D 分别为AC 、AB 的中点， ∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ(12a －b )＝⎝⎛⎭⎫12λ－1a ＋(1－λ)b ， ∵BE →与BF →共线，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝⎛⎭⎫12a －b ＝13a ＋13b ，故x ＝13，y ＝13. 二、填空题7．(文)(2014·金山中学月考)已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝(cos x ，－3)，且a ∥b ，则tan x ＝________.[答案] －13[解析] ∵a ∥b ，∴sin x cos x ＝1－3，∴tan x ＝－13.(理)已知a ＝(2，－3)，b ＝(sin α，cos 2α)，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，若a ∥b ，则tan α＝________. [答案] －33[解析] ∵a ∥b ，∴sin α2＝cos 2α－3，∴2cos 2α＝－3sin α，∴2sin 2α－3sin α－2＝0， ∵|sin α|≤1，∴sin α＝－12，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴cos α＝32，∴tan α＝－33. 8．已知G 是△ABC 的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，AE →＝αAB →，AF →＝βAC →，则1α＋1β＝________.[答案] 3[解析] 连结AG 并延长交BC 于D ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，设EG →＝λGF →，∴AG →－AE →＝λ(AF →－AG →)，∴AG →＝11＋λAE →＋λ1＋λAF →，∴13AB →＋13AC →＝α1＋λAB →＋λβ1＋λAC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ α1＋λ＝13，λβ1＋λ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧1α＝31＋λ，1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3. 9．(文)(2013·烟台调研)在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则(AB →＋AC →)·AD →的值为________．[答案] 4[解析] 由题意可知，AD ＝12BC ＝222＝2，(AB →＋AC →)·AD →＝2AD →·AD →＝2|AD →|2＝4.(理)在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则4x ＋y 的最小值为________．[答案] 94[解析]如图所示，由题意知AD →＝12(AB →＋AC →)，AE →＝12AD →，又M ，E ，N 三点共线，所以AE →＝λAM →＋(1－λ)AN →(其中0<λ<1)， 又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，所以14(AB →＋AC →)＝λx AB →＋(1－λ)yAC →，因此有⎩⎪⎨⎪⎧4λx ＝1，4(1－λ)y ＝1，解得x ＝14λ，y ＝14(1－λ)，令1λ＝t ，∴t >1， 则4x ＋y ＝1λ＋14(1－λ)＝t ＋t4(t －1)＝(t －1)＋14(t －1)＋54≥94，当且仅当t ＝32，即λ＝23时取得等号．三、解答题10．(文)已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tOB →，求 (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．[解析] (1)OP →＝OA →＋tOB →＝(t ＋2,3t －1)． 若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13；若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13.(2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)．若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解． ∴ 四边形OABP 不可能为平行四边形．同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OP AB 为平行四边形．(理)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵α＝π4，∴b ＝(22，22)，a ·b ＝322，∴|m |＝(a ＋t b )2＝5＋t 2＋2t a ·b ＝t 2＋32t ＋5＝(t ＋322)2＋12， ∴当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.(2)由条件得cos π4＝(a －b )·(a ＋t b )|a －b ||a ＋t b |，∵|a －b |＝(a －b )2＝6，|a ＋t b |＝(a ＋t b )2＝5＋t 2，(a －b )·(a ＋t b )＝5－t ，∴5－t 65＋t 2＝22，且t <5， ∴t 2＋5t －5＝0，∴存在t ＝－5±352满足条件.能力拓展提升一、选择题11．平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足(AB →－BC →)·(AD →－CD →)＝0，则三角形ABC是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] (AB →－BC →)·(AD →－CD →) ＝(AB →－BC →)·(AD →＋DC →) ＝(AB →－BC →)·AC →＝(AB →－BC →)·(AB →＋BC →) ＝|AB →|2－|BC →|2＝0， 故|AB →|＝|BC →|，即△ABC 是等腰三角形．12．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －(1＋22)b B ．－2a ＋(1＋22)b C ．－2a ＋(1－22)b D.2a ＋(1－22)b [答案] B [解析]根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°，以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形，由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1,0)，B (0,0)，C (0,1)，D (22，1＋22)，∴AB →＝(－1,0)，AC →＝(－1,1)，AD →＝(22－1,1＋22)，令AD →＝λAB →＋μAC →，则有⎩⎨⎧－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝1＋22.∴AD →＝－2a ＋(1＋22)b . 13.(2013·济宁模拟)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A ．1B. 2C. 3 D ．2[答案] B[解析] 方法一：以O 为原点，向量OA →，OB →所在直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设〈OA →，OC →〉＝θ，θ∈[0，π2]，则OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(cos θ，sin θ)．∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ.∴x ＋y ＝cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋π4)，又θ＋π4∈[π4，3π4]，∴x ＋y 的最大值为 2.方法二：因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2＝1≥(x ＋y )22.所以x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝22时等号成立． 二、填空题14．(2013·广东江门质检)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a－2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值是________．[答案] －1[解析] ∵A 、B 、D 三点共线，∴AB →与BD →共线， ∵AB →＝2a ＋p b ，BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ， ∴存在实数λ，使2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∵a 与b 不共线，∴λ＝1，p ＝－1. 三、解答题 15.(2013·天津一模)如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足P A →＋2PB →＋3PC →＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点．令CP →＝p ，试用p 表示PQ →.[解析] 设P A →＝a ，PB →＝b ，由已知条件得3CP →＝P A →＋2PB →，即3p ＝a ＋2b ， 设PQ →＝λCP →(λ为实数)，则PQ →＝λ3(a ＋2b )．设AQ →＝μAB →(μ为实数)， 又PQ →＝P A →＋AQ →＝P A →＋μAB →＝P A →＋μ(PB →－P A →) ＝(1－μ)a ＋μb ，由平面向量基本定理知⎩⎨⎧λ3＝1－μ，2λ3＝μ.解得λ＝1，因此PQ →＝λCP →＝p .16．(文)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c ＝2b ，向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A ，32，n ＝(1，sin A ＋3cos A )，且m 与n 共线．(1)求角A 的大小； (2)求ac的值．[解析] (1)∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1.∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6. ∴2A －π6＝π2.∴A ＝π3.(2)由余弦定理及c ＝2b 、A ＝π3得，a 2＝⎝⎛⎭⎫c 22＋c 2－2·c 2·c cos π3， a 2＝34c 2，∴a c ＝32.(理)设a 、b 是不共线的两个非零向量，(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值；(3)设OM →＝m a ，ON →＝n b ，OP →＝αa ＋βb ，其中m 、n 、α、β均为实数，m ≠0，n ≠0，若M 、P 、N 三点共线，求证：αm ＋βn＝1.[解析] (1)∵AB →＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b . 而BC →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－2a －4b ＝－2AB →，∴AB →与BC →共线，且有公共端点B ，∴A 、B 、C 三点共线． (2)∵8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，∴存在实数λ使得 (8a ＋k b )＝λ(k a ＋2b )⇒(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0，∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0.⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，∴k ＝2λ＝±4.(3)证法1：∵M 、P 、N 三点共线，∴存在实数λ，使得MP →＝λPN →，∴OP →＝OM →＋λON →1＋λ＝m1＋λa ＋λn1＋λb ， ∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝m1＋λ，β＝λn1＋λ∴αm ＋βn ＝11＋λ＋λ1＋λ＝1. 证法2：∵M 、P 、N 三点共线，∴OP →＝xOM →＋yON →且x ＋y ＝1， 由已知可得：xm a ＋yn b ＝αa ＋βb ， ∴x ＝αm ，y ＝βn ，∴αm ＋βn＝1.考纲要求了解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．补充材料1．证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a ，b ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则向量a 与b 共线(平行)． (2)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ∥b . (3)对于向量a ，b ，若|a ·b |＝|a |·|b |，则a 与b 共线． 要注意向量平行与直线平行是有区别的．2．用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．3．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 备选习题1．已知两不共线向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则下列说法不正确的是( ) A ．(a ＋b )⊥(a －b ) B ．a 与b 的夹角等于α－β C ．|a ＋b |＋|a －b |>2D ．a 与b 在a ＋b 方向上的射影相等 [答案] B[解析] 注意到|a |＝|b |＝1，因此(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )；注意到α－β未必属于(0，π)，因此a ，b 的夹角未必等于α－β；由三角形法则可知，|a ＋b |＋|a －b |2>1，于是有|a ＋b |＋|a －b |>2；结合三角形法则及一个向量在另一个向量上的射影的意义可知，a ，b 在a ＋b 方向上的射影相等．综上所述，其中不正确的说法是B ，选B.2．在平面直角坐标系中，O 为原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( )[答案] A[解析] OC →＝λa ＋μb ＝(3λ＋μ，λ＋3μ)， 令OC →＝(x ，y )，则x －y ＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ) ＝2(λ－μ)≤0，∴点C 对应区域在直线y ＝x 的上方，故选A.3．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10[答案] C[解析] ∵AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝0，∴AC ⊥BD ， 又|AC →|＝5，|BD →|＝25， ∴S ＝12×5×25＝5.4．(2013·哈尔滨质检)已知平面向量a ＝(2m ＋1,3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( )A.1027B ．2 2 C.52 D.52或2 2 [答案] B[解析] 据题意a ∥b 则m (2m ＋1)－3×2＝0，解得m ＝－2或m ＝32，当m ＝32时a ＝(4,3)，b ＝(2，32)，则a ＝2b ，此时两向量同向，与已知不符，故m ＝－2，此时b ＝(2，－2)，故|b |＝2 2.5.(2013·铜陵一模)如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9[答案] D[解析] 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图所示，因为∠A ＝60°，菱形的边长为2，所以D (1，3)，B (2,0)，C (3，3)．因为M 为DC 的中点，所以M (2，3)，设N (x ，y )，则N 点的活动区域为四边形ABCD 内(含边界)，则AM →·AN →＝(2，3)·(x ，y )＝2x ＋3y ，令z ＝2x ＋3y ，得y ＝－23x ＋z3，由线性规划知识可知，当直线经过点C 时，直线y ＝－23x ＋z3的截距最大，此时z 最大，所以最大值为z ＝2x ＋3y ＝2×3＋3×3＝6＋3＝9.故选D.6．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －1)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝2[答案] D[解析] ∵A 、B 、C 三点构不成三角形， ∴A 、B 、C 三点在同一条直线上，∴存在实数λ，使OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴(k ＋1，k －1)＝(2－λ，－2λ－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝2－λ，k －1＝－2λ－1，解之得k ＝2. [点评] 由于三点A 、B 、C 构不成三角形，∴A 、B 、C 共线，∴AB →与AC →共线，∴存在λ，使AC →＝λAB →，解λ、k 的方程可得k 值．。
5.2-平面向量基本定理及坐标表示练习题
平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b＝( )A．(6,3) B．(－2，－6)C．(2,1) D．(7,2)2．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )．A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线3．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )．A．(－2，－4) B．(－3，－6)C．(－4，－8) D．(－5，－10)4. 设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|AB→|＝2|AP→|，则点P的坐标为( )A．(3,1) B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1) D．无数多个5.若向量AB=（1,2），BC=（3,4），则AC=( )A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2)二、填空题6. 设a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.7．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a＋1b的值为________．8．设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．9．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b. 10．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．三、解答题11．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD→的坐标．12．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．13．已知向量OA →＝(3,4)，OB →＝(6，－3)，O C →＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C能构成三角形，求实数m 满足的条件．14．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求 (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由2013高考题精选1.（安徽理科第13题、文科14题）已知向量,a b 满足()()a b a b +2⋅-=-6，且1a =，2b =，则a 与b 的夹角为 .2.（北京理科第10题）已知向量)1,3(=a ，)1,0(-=b ，)3,(k c =.若b a 2-与c 共线，则=k ___________________。
高一数学平面向量基本定理与坐标表示练习题(解析版)
平面向量基本定理与坐标表示一、单选题1．已知点()3,6A ，()2,5B ，则向量AB 的坐标是（ ）A ．()1,1B ．()1,1--C ．()5,11D ．()6,30【答案】B【分析】利用向量的终点坐标减去起点坐标即得.【详解】点()3,6A ，()2,5B ，则向量AB ()()23,561,1=--=--,故选：B.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，属简单题，一般的，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标. 2．如图，在55⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足a xb yc =+，则x y +=（）A ．0B ．1C ．5D ．7【答案】D【分析】建立坐标系，可得,,a b c 的坐标，再由a xb yc =+建立方程求解即可．解：将向量,,a b c 放入如图所示的坐标系中，每个小正方形的边长为1，则()()()1,3,1,1,2,4a b c ==-=-，a xb yc =+，()()()1,31,12,4x y ∴=-+-，即1234x y x y =-⎧⎨=-+⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩， 7x y ∴+=..故选：D.【点睛】本题主要考查向量的分解，利用向量的坐标运算是解决本题的关键．3．已知平面向量(1,)a m =，()0,2b =，若(3)b a mb ⊥-，则实数m =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【分析】根据向量垂直则数量积为零，结合向量的坐标运算计算即可.【详解】因为(3)b a mb ⊥-，所以(3)0b a mb ⋅-=，即23a b mb ⋅=，又(1,)a m =，()0,2b =，故324m m ⨯=，解得0m =.4．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB a =，AD b =，E 为BF 的中点，则AE =（ ）A ．4255a b +B ．2455a b +C ．4233a b +D ．2433a b + 【答案】A【分析】设BE m =，过点E 作EH AB ⊥于点H ，根据题中条件，得到45AH AB =，25HE AD =，再由平面向量的线性运算，即可得出结果.【详解】设BE m =，由题意，可得22AE BF BE m ===，在Rt ABE △中，可得2245AB m m m =+=， 过点E 作EH AB ⊥于点H ，则2255BE AE EH AB m⋅===，且//EH AD ， 所以()22254525AH m m ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以45AH AB =，25HE AD =， 因此42425555AE AH HE AB AD a b =+=+=+. 故选：A.二、多选题5．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°【答案】ACD【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确； 对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a a b a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=， 故23||()32cos ,2||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】 本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.6．已知向量(),3a m =，()2,4b =-，若()a b a +⊥，则（ ） A ．1m =或3m =-B ．1m =-或3m =C ．2a b +=或10a b +=D ．2a b +=或26a b += 【答案】AC【分析】根据向量垂直的坐标表示，由题中条件求出m ，再由向量模的坐标表示，求出a b +，即可得出结果.【详解】因为向量(),3a m =，()2,4b =-，所以()2,1b m a +=+-，若()a b a +⊥，则()()2130m m +⨯+-⨯=，即2230m m +-=，解得1m =或3m =-，故A 正确，B 错； 当3m =-时，()()22212b m a +=++-= 当1m =时，()()222110a b m +=++-=故C 正确，D 错.故选：AC.三、填空题7．若向量a =(-1，x )与b =(-x ，2)平行且方向相同，x =_____； 【答案】2 【分析】根据向量平行的坐标表示可得答案.【详解】因为向量a =(-1，x )与b =(-x ，2)平行且方向相同，所以()120x x -⨯--⋅=，解得x =2（2-舍去）， 故答案为：2.8．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c m =．若()//2c a b +，则m =__________．【答案】2【分析】先求得2a b +的坐标，然后根据()//2c a b +求解.【详解】因为向量()1,2a =，()2,2b =-，所以()24,2a b +=，又(),1c m =．且()//2c a b +，所以24m =，解得2m =，故答案为：2．四、解答题9．已知向量()6,2a =，()3,b k =-，当k 为何值时，（1）//a b ；（2）a b ⊥；（3）a 与b 的夹角为钝角.【答案】（1）1-；（2）9；（3）9k <且1k ≠-.【分析】（1）可得()6230k -⨯-=；（2）由0a b ⋅=可求出；（3）由0a b ⋅<，且,a b 不共线，即可求出,.【详解】（1）//a b ，()6230k ∴-⨯-=，解得1k =-；（2）a b ⊥，()6320a b k ∴⋅=⨯-+=，解得9k =；（3）a 与b 的夹角为钝角，0a b ⋅<,且,a b 不共线，()63201a b k k ⎧⋅=⨯-+<∴⎨≠-⎩，解得9k <且1k ≠-. 10．如图所示，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，点M 为边BC 的中点，点N 在边CD 上.（1）若点N 为线段CD 上靠近D 的三等分点，求AM AN ⋅的值;（2）若8AM AN ⋅=，求此时点N 的位置.【答案】（1）5；（2）点(2,2)N 为线段CD 上靠近C 的三等分点.【分析】（1）以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系，写出各点坐标，由向量数量积的坐标表示计算； （2）设(,2)N a ，[]0,3a ∈，由数量积的坐标表示列式求解．【详解】（1）如图建系，则(3,1)M ，(1,2)N(3,1)AM =，(1,2)AN =325AM AN =⋅+=（2）设(,2)N a ，[]0,3a ∈，则(,2)AN a =832AM AN a =⋅=+解得2a =因此，此时点(2,2)N 为线段CD 上靠近C 的三等分点。
平面向量的基本定理及坐标表示 练习 含答案
平面向量的基本定理及坐标表示1．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A BC D2.已知向量a,b ,且AB =a+2b 5BC ,=-a +6b 7CD ,=a-2b,则一定共线的三点是( )A.A 、B 、DB.A 、B 、CC.B 、C 、DD.A 、C 、D3.已知平行四边形ABCD 中DA ,=a DC ,=b ,其对角线交点为O,则OB 等于( ) A.12a +bB.a 12+bC.12(a +b )D.a +b4.已知OA =a OB ,=b ,C 为AB 上距A 较近的一个三等分点,D 为CB 上距C 较近的一个三等分点,则用a ,b 表示OD 的表达式为( ) A.4+59a b B +7169a b . C. +32a b D. +43a b5.已知P 是△ABC 所在平面内的一点,若CB PA PB λ=+,其中λ∈R ,则点P 一定在( )A.△ABC 的内部B.AC 边所在的直线上C.AB 边所在的直线上D.BC 边所在的直线上 6.在△ABC 中AB ,=c AC ,=b ,若点D 满足2BD DC =,则AD 等于( ) A.23b 13+ c B.53c 23-b C.23b 13- c D.13b 23+c7.在△ABC 中,设AB =m AC ,=n ,D 、E 是边BC 上的三等分点,即BD=DE=EC,则AD = AE ,= .8．设为内一点，且满足，则为的（ ）A 外心B 内心C 重心D 垂心9.已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且CD =4DB ,CD =r AB +s AC ,则3r+s 的值为 .12,e e 1212e e e e +-和1221326e e e e --和4122122e e e e ++和212e e e +和O ABC ∆0AO BO CO ++=O ABC ∆10.计算下列各题:(1)3(3a -b )+4(b -2a );14(2)[(a +2b )+3a 13(6-a -12b )];(3)()(λμ+a +b )()(λμ--a -b ).11.已知M 是△ABC 的重心,设MA =a MB ,=b ,用a 、b 表示AC 、BC .12.已知a ,b 是两个不共线的非零向量,若a 与b 起点相同,则实数t 为何值时,a ,t b 13(,a +b )三向量的终点共线?13.(1)在△ABC 中,D 为BC 边上的中点. 求证:12()AD AB AC =+. (2)求证:G 为△ABC 重心,O 为平面内不同于G 的任意一点,则13()OG OA OB OC =++.平面向量的基本定理及坐标表示1．B 2. A 3. C 4.A 5.B 6. A 7. 23m n AD += 23n m AE += 8． C 9. 8510. (1) a +b (2)32a b +(3) 22b a λμ+ 11. 2AC a b =-- 82C a b =--12. 解:由已知,存在唯一实数λ,使a -t b [λ=a 13(-a +b )],化简得23(1)λ-a =3()t λ-b .由于a ,b 不共线,故 233100t λλ-=,⎧⎨-=,⎩ 解得 3212t λ=,⎧⎨=,⎩ 即12t =时,三向量的终点共线. 13.(1)证法一:AD AB BD AD AC CD =+,=+, 又D 为中点,∴BD CD +=0.∴2AD AB AC =+,即12()AD AB AC =+. 证法二:延长AD 至E,使DE=AD.∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形.∴AE AB AC =+.又AE AD DE AD DE =+,=, ∴12()AD AB AC =+. (2)证明:∵OG OB BG =+,OG OA AG OG OC CG =+,=+,又∵G为△ABC的重心,∴AG CG++=0.∴OG OG OG OA OB OC ++=++,即13()OG OA OB OC=++.。
高考数学一轮复习 专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示(测)
专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示一、填空题1．已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )，若a ∥b ，则3a ＋2b ＝【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是【解析】因为a 与b 方向相反，所以b ＝ma ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0， ∴m ＝－2，x ＝m ＝－2.3．已知在平行四边形ABCD 中，AD ＝(2,8)，AB ＝(－3,4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM ＝中，有AC ＝AB ＋AD ，AM ＝12AC ，所以AM ＝(AB ＋AD )的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝5．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝(3,7)，AB ＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO 的坐标为 AC ＝AB ＋AD ＝．∴OC ＝12AC ＝∴CO|OC |，若OC ＝OA ＋OB ，则|OC |，又OC ＝OA ＋OB ，所以7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若 PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.【解析】AQ ＝PQ －PA ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC ＝2AQ ＝2(－3,2)＝(－6,4)．PC ＝PA ＋AC ＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝3(－2,7)＝(－6,21)．8．已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示，若AC ＝λAB ＋μAD ，则λμ＝________.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC ＝(2，－2)，AB ＝(1,2)，AD ＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.9．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．【解析】P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．10．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ＝λAM ＋μAN ，则λ＋μ＝________.设BA，BC ＝为基底表示向量EF ，DF ，CD .解：EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－CD ＝CF ＋FD ＝－的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为上运动．若OC ＝x OA ＋y OB ，其中。
5.2 平面向量的基本定理及坐标表示
5．2 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使_______________________________．我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．2．向量的夹角(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ， OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)．(2)向量夹角θ的范围是_______________．a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________．(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________．3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ．则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为________．显然，i ＝__________， j ＝__________，0＝__________．4．平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝___________________________________________．(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝___________________________________________．(3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________．(4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b的充要条件是____________________．自查自纠： 1．a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底2．(1)非零 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a ⊥b3．(1)互相垂直 (2)(x ，y ) (x ，y ) (x ，y ) (1，0) (0，1) (0，0)4．(1)(x 1±x 2，y 1±y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) (3)(λx ，λy ) (4)x 1y 2－x 2y 1＝0在△ABC 中，已知A (2，1)，B (0，2)，BC →＝(1，－2)，则向量AC →＝ ( )A ．(0，0)B ．(2，2)C ．(－1，－1)D ．(－3，－3) 解：因为A (2，1)，B (0，2)，所以AB →＝(－2，1)．又因为BC →＝(1，－2)，所以AC →＝AB →＋BC →＝(－2，1)＋(1，－2)＝(－1，－1)．故选C ．(2017·杭州模拟)已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是 ( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 1＋e 2解：因为4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，所以3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，又作为一组基底的两个向量一定不共线，所以它们不能作为一组基底．故选B ．(2018·北京朝阳高三一模)已知平面向量 a ＝(x ，1)，b ＝(2，x －1)且a ∥b ，则实数x 的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 解：由a ＝(x ，1)，b ＝(2，x －1)且a ∥b ，可以得到x (x －1)＝2，即(x －2)(x ＋1)＝0，所以x ＝－1或x ＝2．故选D ．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(－2，3)， b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________．解：由题意可得，－2×3＋3m ＝0，所以m ＝2．故填2．在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则实数λ＋μ＝________．解法一：因为AC →＝AB →＋BC →，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12BC →，BN →＝BC →＋CN →＝BC →－12AB →，所以由AC →＝λAM →＋μBN →有⎩⎨⎧1＝λ－12μ，1＝12λ＋μ，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85． 解法二：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点，AB →方向为x 轴正方向，AD →方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则AC →＝(2，2)，AM →＝(2，1)，BN →＝(－1，2)．由AC →＝λAM →＋μBN →有⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，λ＋μ＝85．故填85．类型一 向量共线充要条件的坐标表示(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．解：由题可得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)，所以4λ－2＝0，即λ＝12．故填12．(2)已知平面向量a ＝(2m ＋1，3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( )A ．1027B ．2 2C ．52D ．52或2 2解：根据题意a ∥b 知m (2m ＋1)－3×2＝0，解得m ＝－2或m ＝32．当m ＝32时，a ＝(4，3)，b ＝⎝⎛⎭⎫2，32，则a ＝2b ，此时两向量同向，与已知不符，故m ＝－2，此时b ＝(2，－2)，故|b |＝22．故选B ．点 拨：两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②a ∥b (a ≠0)，当且仅当唯一一个实数λ，使b ＝λa ．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．(1) (2017·郑州月考)已知向量a ＝ (1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角 θ＝________．解：由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，所以cos 2θ＝12，所以cos θ＝22或cos θ＝－22，又θ为锐角，所以θ＝45°．故填45°．(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)， OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 的取值范围是________．解：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，所以1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1． 故填{k |k ∈R ，且k ≠1}．类型二 平面向量基本定理及其应用(1)如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若 OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．解法一：以λOA →和μOB →为邻边作平行四边形OB 1CA 1，如图，则OC →＝OB 1→＋OA 1→．因为OA →与OB →的夹角为120°， OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°，在Rt △OB 1C 中，|OC →|＝23，所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，即λ＋μ＝6． 解法二：以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1，0)，C (23cos30°，23sin30°)，B (cos120°，sin120°)．即A (1，0)，C (3，3)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32．由OC →＝λOA →＋μOB →＝λ(1，0)＋μ⎝⎛⎭⎫－12，32＝⎝⎛⎭⎫λ－12μ，32μ，即⎝⎛⎭⎫λ－12μ，32μ＝(3，3)，得⎩⎨⎧λ－12μ＝3，32μ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧μ＝2，λ＝4， 即λ＋μ＝6．故填6．(2)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________．解：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则 AC →＝(2，－2)，AB →＝(1，2)，AD →＝(1，0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3．故填 －3．点 拨：应用平面向量基本定理应注意：①平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量；②选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来；③强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等；④在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．(1)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，且a ＋2b ≠0，所以存在唯一的实数μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0．因为a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝0，1－2μ＝0， 解得λ＝μ＝12．故填12．(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________．解：设i ，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－i －3j ＝(－λ＋6μ)i ＋(λ＋2μ)j ，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12．所以λμ＝4．故填4．类型三 求向量的坐标已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．解：因为在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，所以DC →＝2AB →．设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )， AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y )＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2，4)．故填(2，4)．点 拨：平面向量坐标运算的技巧：①向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；②解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解．已知三点A (a ，0)，B (0，b )，C (2，2)，其中a >0，b >0．(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值；(2)若A ，B ，C 三点共线，试求1a ＋1b 的值．解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA →＝BC →，即(a ，0)＝(2，2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2－b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2． 故a ＝2，b ＝2．(2)因为AB →＝(－a ，b )，BC →＝(2，2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →， 所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ， 因为a >0，b >0， 所以1a ＋1b ＝12．类型四 向量坐标的应用(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为 ( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3解法一：以点A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标系，依题意得，A (0，0)，B (1，0)．因为AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以D ⎝⎛⎭⎫－12，32，且直线CD 的倾斜角为30°，所以直线CD 的方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎫x ＋12，即y ＝33(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x ＋2），x ＝1，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，所以点C 的坐标为(1，3)．因为点E 为边CD 上的动点，故可设E ⎝⎛⎭⎫t ，33（t ＋2），－12≤t ≤1，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫t ，33（t ＋2），BE →＝⎝⎛⎭⎫t －1，33（t ＋2），所以AE →·BE →＝t (t －1)＋⎣⎡⎦⎤33（t ＋2）2＝43⎝⎛⎭⎫t ＋182＋2116，所以当t ＝－18时，AE →·BE →取最小值，为2116．图(1) 图(2)解法二：易知DC ＝3，∠CAD ＝60°，设DE ＝x (0≤x ≤3)，则AE →·BE →＝(AD →＋DE →)·(BA →＋AD →＋DE →)＝1×1×cos60°＋12＋0＋x ×1×cos150°＋0＋x 2＝⎝⎛⎭⎫x －342＋2116≥2116．解法三：如图(2)，取AB 的中点F ，连接EF ，则AE →·BE →＝EA →·EB →＝(EF →＋F A →)·(EF →－F A →)＝EF →2－ F A →2＝EF →2－14．可知当且仅当|EF →|最小时AE →·BE →取最小值，分别过F ，B 作CD 的垂线，垂足分别为H ，G ，当点E 与H 重合时，EF 取到最小值，易知EF 为梯形DABG 的中位线，由已知得|BG |＝32，|AD |＝1，则|HF |＝|EF |＝12(|BG |＋|AD |)＝54．故AE →·BE →的最小值为2116．故选A ．点 拨：向量的坐标运算，往往能降低推理的难度，与向量相关的最值、范围问题，可优先考虑坐标运算．用向量法解决平面几何相关问题的步骤是：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如长度、距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系，从而解决问题．(2017·安徽联考)在边长为1的正△ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于 ( )A ．16B ．29C ．1318D ．13解法一：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫0，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32，AE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32，AD →·AE →＝－16×16＋⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＝1318．解法二：取BC 中点O ，则AD →·AE →＝(AO →＋OD →)·(AO →＋OE →)＝AO →2－OE →2＝34－136＝1318．解法三：如图，|AB →|＝|AC →|＝1，〈AB →，AC →〉＝60°．因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →＝AB →·AC →－13AB →·BC →＋13BC →·AC →－19BC →2＝1×1×cos60°－13×1×1×cos120°＋13×1×1×cos60°－19＝12＋16＋16－19＝1318．故选C ．1．对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础．(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R ，e 1，e 2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸．(4)如果e 1，e 2是同一平面内的一组基底，且λ1e 1＋λ2e 2＝0(λ1，λ2∈R )，那么λ1＝λ2＝0．2．对两向量夹角的理解两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角．若起点不同，则应通过平移，使其起点相同．3．向量的坐标表示向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标．两个向量相等，当且仅当其坐标相同．4．向量坐标的应用向量具有代数和几何的双重特征，如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是 ( )A ．a ＝(1，2)，b ＝(0，0)B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3，5)C ．a ＝(3，2)，b ＝(9，6)D ．a ＝⎝⎛⎭⎫－34，12， b ＝(3，－2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B ．2．设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝ ( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解：因为a ∥b ，所以2×6－4x ＝0，解得x ＝3．故选B ．3．(2017·抚州模拟)若向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，1)，c ＝(4，2)，则c ＝ ( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b解法一：设c ＝m a ＋n b ，则(4，2)＝(m －n ，m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝4，m ＋n ＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1， 所以c ＝3a －b ．解法二：代入验证法．对于A ，3a ＋b ＝3(1，1)＋(－1，1)＝(2，4)≠c ，故A 不正确；同理选项C 、D 也不正确；对于B ，3a －b ＝(4，2)＝c ，故B 正确．故选B ．4．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为 ( )A ．(－8，1)B ．⎝⎛⎭⎫－1，－32 C ．⎝⎛⎭⎫1，32 D ．(8，－1) 解：设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)， 而12MN →＝12(－8，1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32．所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－32．故选B ． 5．如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ，b 如图，则向量a －b 可表示为 ( )A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解：由图易知a －b ＝－3e 2＋e 1＝e 1－3e 2．故选C ．6．(2018·浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3解：不妨设e ＝(1，0)，b ＝(x ，y )，则由b 2－4e ·b ＋3＝0⇒(x －2)2＋y 2＝1，再由a 与e 的夹角为π3可知，所求为如图两条射线上的点到圆上的点距离的最小值，即为2sin60°－1＝3－1．故选A ． 7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________． 解：若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则 2e 1－e 2＝k (e 1＋λe 2)＝k e 1＋λk e 2，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λk ＝－1， 解得λ＝－12．故填－12．8．(2018·山东菏泽高三一模)已知在△ABC 中，D 为边BC 上的点，且BD ＝3DC ，点E 为AD 的中点，BE →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________．解：BE →＝BD →＋DE →＝BD →－12AD →＝BD →－12(AB →＋BD →)＝12BD →－12AB →＝12×34BC →－12AB →＝38BC →－12AB →＝38(AC →－AB →)－12AB →＝－78AB →＋38AC →．又BE →＝mAB →＋nAC →，所以mAB →＋nAC →＝－78AB→＋38AC →．又因为AB →与AC →不共线，所以m ＝－78，n ＝38，所以m ＋n ＝－12．故填－12． 9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．求：(1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a ＝(1，0)，b ＝(2，1)， 所以a ＋3b ＝(7，3)，故|a ＋3b |＝72＋32＝58．(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7，3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13．此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝⎛⎭⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7，3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．10．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P在第三象限内？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由． 解：(1)依题意，得AB →＝(3，3)，所以OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )，即P (1＋3t ，2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13；若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＜0， 所以t ＜－23． (2)因为OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )，若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2． 此方程无解．故四边形OABP 不可能成为平行四边形． 11．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．解：如图所示，令A (－1，0)，B (3，0)，C (1，－5)，D (x ，y )．(1)若四边形ABCD 1为平行四边形， 则AD 1→＝BC →，且AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2，y ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5． 所以D 1(－3，－5)．(2)若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD 2→，且AB →＝(4，0)，CD 2→＝(x －1，y ＋5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋5＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－5． 所以D 2(5，－5)．(3)若四边形ACBD 3为平行四边形，则AD 3→＝CB →，且AD 3→＝(x ＋1，y )，CB →＝(2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2，y ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5． 所以D 3(1，5)．综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1，5)．如图所示，在△ABC 中，点M 是AB的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用基底a ，b 表示向量AE →＝________．解：易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知，存在实数m ，满足AE →＝mAN →＋ (1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a ．由C ，E ，M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b ．所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b ．由于a ，b为基底，所以⎩⎨⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45． 所以AE →＝25a ＋15b ．故填25a ＋15b ．5．2 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使_______________________________．我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．2．向量的夹角(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ， OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)．(2)向量夹角θ的范围是_______________．a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________．(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________．3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ．则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为________．显然，i ＝__________， j ＝__________，0＝__________．4．平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝___________________________________________．(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝___________________________________________．(3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________．(4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是____________________．自查自纠： 1．a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底2．(1)非零 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a ⊥b3．(1)互相垂直 (2)(x ，y ) (x ，y ) (x ，y ) (1，0) (0，1) (0，0)4．(1)(x 1±x 2，y 1±y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) (3)(λx ，λy ) (4)x 1y 2－x 2y 1＝0在△ABC 中，已知A (2，1)，B (0，2)，BC →＝(1，－2)，则向量AC →＝ ( )A ．(0，0)B ．(2，2)C ．(－1，－1)D ．(－3，－3) 解：因为A (2，1)，B (0，2)，所以AB →＝(－2，1)．又因为BC →＝(1，－2)，所以AC →＝AB →＋BC →＝(－2，1)＋(1，－2)＝(－1，－1)．故选C ．(2017·杭州模拟)已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是 ( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 1＋e 2解：因为4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，所以3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，又作为一组基底的两个向量一定不共线，所以它们不能作为一组基底．故选B ．(2018·北京朝阳高三一模)已知平面向量 a ＝(x ，1)，b ＝(2，x －1)且a ∥b ，则实数x 的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 解：由a ＝(x ，1)，b ＝(2，x －1)且a ∥b ，可以得到x (x －1)＝2，即(x －2)(x ＋1)＝0，所以x ＝－1或x ＝2．故选D ．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________．解：由题意可得，－2×3＋3m ＝0，所以m ＝2．故填2．在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则实数λ＋μ＝________．解法一：因为AC →＝AB →＋BC →，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12BC →，BN →＝BC →＋CN →＝BC →－12AB →，所以由AC →＝λAM →＋μBN →有⎩⎨⎧1＝λ－12μ，1＝12λ＋μ，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85． 解法二：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点，AB →方向为x 轴正方向，AD →方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则AC →＝(2，2)，AM →＝(2，1)，BN →＝(－1，2)．由AC →＝λAM →＋μBN →有⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，λ＋μ＝85．故填85．类型一 向量共线充要条件的坐标表示(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．解：由题可得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)，所以4λ－2＝0，即λ＝12．故填12．(2)已知平面向量a ＝(2m ＋1，3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( )A ．1027B ．2 2C ．52D ．52或2 2解：根据题意a ∥b 知m (2m ＋1)－3×2＝0，解得m ＝－2或m ＝32．当m ＝32时，a ＝(4，3)，b ＝⎝⎛⎭⎫2，32，则a ＝2b ，此时两向量同向，与已知不符，故m ＝－2，此时b ＝(2，－2)，故|b |＝22．故选B ．点 拨：两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②a ∥b (a ≠0)，当且仅当唯一一个实数λ，使b ＝λa ．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．(1) (2017·郑州月考)已知向量a ＝ (1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角 θ＝________．解：由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，所以cos 2θ＝12，所以cos θ＝22或cos θ＝－22，又θ为锐角，所以θ＝45°．故填45°．(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)， OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 的取值范围是________．解：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，所以1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1． 故填{k |k ∈R ，且k ≠1}．类型二 平面向量基本定理及其应用(1)如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若 OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．解法一：以λOA →和μOB →为邻边作平行四边形OB 1CA 1，如图，则OC →＝OB 1→＋OA 1→．因为OA →与OB →的夹角为120°， OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°，在Rt △OB 1C 中，|OC →|＝23，所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，即λ＋μ＝6． 解法二：以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1，0)，C (23cos30°，23sin30°)，B (cos120°，sin120°)．即A (1，0)，C (3，3)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32．由OC →＝λOA →＋μOB →＝λ(1，0)＋μ⎝⎛⎭⎫－12，32＝⎝⎛⎭⎫λ－12μ，32μ，即⎝⎛⎭⎫λ－12μ，32μ＝(3，3)，得⎩⎨⎧λ－12μ＝3，32μ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧μ＝2，λ＝4， 即λ＋μ＝6．故填6．(2)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________．解：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则 AC →＝(2，－2)，AB →＝(1，2)，AD →＝(1，0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3．故填 －3．点 拨：应用平面向量基本定理应注意：①平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量；②选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来；③强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等；④在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．(1)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，且a ＋2b ≠0，所以存在唯一的实数μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0．因为a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝0，1－2μ＝0， 解得λ＝μ＝12．故填12．(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________．解：设i ，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－i －3j ＝(－λ＋6μ)i ＋(λ＋2μ)j ，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12．所以λμ＝4．故填4．类型三 求向量的坐标已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．解：因为在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，所以DC →＝2AB →．设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )， AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y )＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2，4)．故填(2，4)．点 拨：平面向量坐标运算的技巧：①向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；②解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解．已知三点A (a ，0)，B (0，b )，C (2，2)，其中a >0，b >0．(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值；(2)若A ，B ，C 三点共线，试求1a ＋1b 的值．解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA →＝BC →，即(a ，0)＝(2，2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2－b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2． 故a ＝2，b ＝2．(2)因为AB →＝(－a ，b )，BC →＝(2，2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →， 所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ， 因为a >0，b >0， 所以1a ＋1b ＝12．类型四 向量坐标的应用(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为 ( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3解法一：以点A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标系，依题意得，A (0，0)，B (1，0)．因为AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以D ⎝⎛⎭⎫－12，32，且直线CD 的倾斜角为30°，所以直线CD 的方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎫x ＋12，即y ＝33(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x ＋2），x ＝1，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，所以点C 的坐标为(1，3)．因为点E 为边CD 上的动点，故可设E ⎝⎛⎭⎫t ，33（t ＋2），－12≤t ≤1，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫t ，33（t ＋2），BE →＝⎝⎛⎭⎫t －1，33（t ＋2），所以AE →·BE →＝t (t －1)＋⎣⎡⎦⎤33（t ＋2）2＝43⎝⎛⎭⎫t ＋182＋2116，所以当t ＝－18时，AE →·BE →取最小值，为2116．图(1) 图(2)解法二：易知DC ＝3，∠CAD ＝60°，设DE ＝x (0≤x ≤3)，则AE →·BE →＝(AD →＋DE →)·(BA →＋AD →＋DE →)＝1×1×cos60°＋12＋0＋x ×1×cos150°＋0＋x 2＝⎝⎛⎭⎫x －342＋2116≥2116．解法三：如图(2)，取AB 的中点F ，连接EF ，则AE →·BE →＝EA →·EB →＝(EF →＋F A →)·(EF →－F A →)＝EF →2－ F A →2＝EF →2－14．可知当且仅当|EF →|最小时AE →·BE →取最小值，分别过F ，B 作CD 的垂线，垂足分别为H ，G ，当点E 与H 重合时，EF 取到最小值，易知EF 为梯形DABG 的中位线，由已知得|BG |＝32，|AD |＝1，则|HF |＝|EF |＝12(|BG |＋|AD |)＝54．故AE →·BE →的最小值为2116．故选A ．点 拨：向量的坐标运算，往往能降低推理的难度，与向量相关的最值、范围问题，可优先考虑坐标运算．用向量法解决平面几何相关问题的步骤是：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如长度、距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系，从而解决问题．(2017·安徽联考)在边长为1的正△ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于 ( )A ．16B ．29C ．1318D ．13解法一：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫0，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32，AE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32，AD →·AE →＝－16×16＋⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＝1318．解法二：取BC 中点O ，则AD →·AE →＝(AO →＋OD →)·(AO →＋OE →)＝AO →2－OE →2＝34－136＝1318．解法三：如图，|AB →|＝|AC →|＝1，〈AB →，AC →〉＝60°．因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →＝AB →·AC →－13AB →·BC →＋13BC →·AC →－19BC →2＝1×1×cos60°－13×1×1×cos120°＋13×1×1×cos60°－19＝12＋16＋16－19＝1318．故选C ．1．对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础．(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R ，e 1，e 2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸．(4)如果e 1，e 2是同一平面内的一组基底，且λ1e 1＋λ2e 2＝0(λ1，λ2∈R )，那么λ1＝λ2＝0．2．对两向量夹角的理解两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角．若起点不同，则应通过平移，使其起点相同．3．向量的坐标表示向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标．两个向量相等，当且仅当其坐标相同．4．向量坐标的应用向量具有代数和几何的双重特征，如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是 ( )A ．a ＝(1，2)，b ＝(0，0)B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3，5)C ．a ＝(3，2)，b ＝(9，6)D ．a ＝⎝⎛⎭⎫－34，12， b ＝(3，－2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B ．2．设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝ ( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解：因为a ∥b ，所以2×6－4x ＝0，解得x ＝3．故选B ．3．(2017·抚州模拟)若向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，1)，c ＝(4，2)，则c ＝ ( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b解法一：设c ＝m a ＋n b ，则(4，2)＝(m －n ，m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝4，m ＋n ＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1， 所以c ＝3a －b ．解法二：代入验证法．对于A ，3a ＋b ＝3(1，1)＋(－1，1)＝(2，4)≠c ，故A 不正确；同理选项C 、D 也不正确；对于B ，3a －b ＝(4，2)＝c ，故B 正确．故选B ．4．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为 ( )A ．(－8，1)B ．⎝⎛⎭⎫－1，－32 C ．⎝⎛⎭⎫1，32 D ．(8，－1) 解：设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)， 而12MN →＝12(－8，1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32．所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－32．故选B ． 5．如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ，b 如图，则向量a －b 可表示为 ( )A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解：由图易知a －b ＝－3e 2＋e 1＝e 1－3e 2．故选C ．6．(2018·浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3解：不妨设e ＝(1，0)，b ＝(x ，y )，则由b 2－4e ·b ＋3＝0⇒(x －2)2＋y 2＝1，再由a 与e 的夹角为π3可知，所求为如图两条射线上的点到圆上的点距离的最小值，即为2sin60°－1＝3－1．故选A ． 7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________． 解：若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则 2e 1－e 2＝k (e 1＋λe 2)＝k e 1＋λk e 2，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λk ＝－1， 解得λ＝－12．故填－12．8．(2018·山东菏泽高三一模)已知在△ABC 中，D 为边BC 上的点，且BD ＝3DC ，点E 为AD 的中点，BE →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________．解：BE →＝BD →＋DE →＝BD →－12AD →＝BD →－12(AB →＋BD →)＝12BD →－12AB →＝12×34BC →－12AB →＝38BC →－12AB →＝38(AC →－AB →)－12AB →＝－78AB →＋38AC →．又BE →＝mAB →＋nAC →，所以mAB →＋nAC →＝－78AB→＋38AC →．又因为AB →与AC →不共线，所以m ＝－78，n ＝38，所以m ＋n ＝－12．故填－12． 9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．求：(1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a ＝(1，0)，b ＝(2，1)， 所以a ＋3b ＝(7，3)，故|a ＋3b |＝72＋32＝58．(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7，3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13．此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝⎛⎭⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7，3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．10．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P在第三象限内？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由． 解：(1)依题意，得AB →＝(3，3)，所以OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )，即P (1＋3t ，2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13；若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＜0， 所以t ＜－23． (2)因为OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )，若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2． 此方程无解．故四边形OABP 不可能成为平行四边形． 11．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．解：如图所示，令A (－1，0)，B (3，0)，C (1，－5)，D (x ，y )．(1)若四边形ABCD 1为平行四边形， 则AD 1→＝BC →，且AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2，y ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5． 所以D 1(－3，－5)．(2)若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD 2→，且AB →＝(4，0)，CD 2→＝(x －1，y ＋5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋5＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－5． 所以D 2(5，－5)．(3)若四边形ACBD 3为平行四边形，则AD 3→＝CB →，且AD 3→＝(x ＋1，y )，CB →＝(2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2，y ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5． 所以D 3(1，5)．综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1，5)．如图所示，在△ABC 中，点M 是AB的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用基底a ，b 表示向量AE →＝________．解：易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知，存在实数m ，满足AE →＝mAN →＋ (1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a ．由C ，E ，M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b ．所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b ．由于a ，b为基底，所以⎩⎨⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45． 所以AE →＝25a ＋15b ．故填25a ＋15b ．。
5.2 平面向量基本定理及坐标表示 练出高分(含答案解析)
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎫1213，－513 B.⎝⎛⎭⎫－1213，－513 C.⎝⎛⎭⎫1213，513或⎝⎛⎭⎫－1213，－513 D.⎝⎛⎭⎫±1213，±513 答案 C解析 设e 为所求的单位向量， 则e ＝±a |a |＝±⎝⎛⎭⎫1213，513. 2. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14答案 A解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.3． 已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b答案 B解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ2＝λ－μ，∴⎩⎨⎧λ＝12μ＝－32，∴c ＝12a －32b .4． 在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)答案 B解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．答案 12解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.6． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．答案 12解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 即10x ＝5，解得x ＝12.7． 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________.答案 13解析 ∵OC ＝23OA →＋13OB →，∴OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，∴AC →＝13AB →，∴|AC →||AB →|＝13.三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方向相反？解 若存在实数k ，则k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)． a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若向量k a ＋b 与向量a －3b 共线，则必有(k －3)×(－4)－(2k ＋2)×10＝0，解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－103，43，所以k a ＋b ＝－13(a －3b )． 即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k 存在．9． (12分)如图所示，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →. 解 因为AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →， 所以由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得 (AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0， 所以AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又因为A ，N ，B 三点共线，C ，M ，N 三点共线， 由平面向量基本定理，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →， 所以λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0. 所以(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋2＝0，3＋3μ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1. 所以CM →＝－NM →＝MN →，CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)答案 A解析 方法一 设b ＝(x ，y )，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝35，x －2y5 x 2＋y 2＝－1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝45，x －2y ＝－15. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6，∴b ＝(－3,6)．方法二 设b ＝(x ，y )，由已知条件⎩⎨⎧x 2＋y 2＝35，y ＋2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－6，(舍去)，∴b ＝(－3,6)．方法三 ∵|a |＝5，∴1|a |a ＝⎝⎛⎭⎫15，－25，则b ＝－35⎝⎛⎭⎫1|a |a ＝(－3,6)．2． 已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)答案 C解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3． 已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A ．1B.13C.12D.23答案 D解析 过C 作CE ⊥x 轴于点E (图略)． 由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →， 即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.二、填空题(每小题5分，共15分)4． △ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p ∥q ，则角C ＝________. 答案 60°解析 因为p ∥q ，则(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合余弦定理知，cos C ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°.5． 已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.答案 2解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝3. ∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.6． 设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值是________．答案 8解析 据已知得AB →∥AC →，又∵AB →＝(a －1,1)，AC →＝(－b －1,2)， ∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝2a ＋b a ＋4a ＋2b b ＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4ab＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号，∴1a ＋2b的最小值是8.三、解答题7． (13分)已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线； (3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时a 的值． (1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4) ＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴A 、B 、M 三点共线．(3)解 当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)．又AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0， ∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2)．又|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12， 解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.。
平面向量的基本定理习题及答案
§5.2 平面向量的基本定理及坐标表示（时间：45分钟 满分：100）一、选择题(每小题7分，共35分)1．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(1＋m,1－m )，若a ∥b ，则实数m 的值为( )A ．3B ．－3C ．2D ．－22．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)3.设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b 等于( )A.⎝⎛⎭⎫32，－12或⎝⎛⎭⎫－32，12 B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫－32，－12 D.⎝⎛⎭⎫32，12或⎝⎛⎭⎫－32，－12 4.已知向量a ＝(1，－m )，b ＝(m 2，m )，则向量a ＋b 所在的直线可能为( )A ．x 轴B ．第一、三象限的角平分线C ．y 轴D ．第二、四象限的角平分线5．已知A(7,1)、B(1,4),直线ax y 21=与线段AB 交于C ,且=AC 2CB →，则实数a 等于( ) A ．2 B ．1 C.45 D.53二、填空题(每小题6分，共24分)6．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________． 7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．8．若向量a )43,3(2--+=x x x 与相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.9．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝______________.三、解答题(共41分)10．(13分)a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？11．(14分)三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n .(1)求cos A 的值；(2)求sin(A ＋30°)的值．12．(14分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos B )，向量p ＝⎝⎛⎭⎫22sin B ＋C 2，2sin A ，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．答案1.B2.C3.D4.A5.A6. 127. 128.-1 9.(－2,0)或(－2,2) 10.解 方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )． ∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13， 此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )． ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 11. 解 (1)因为m ∥n ，所以(3c －b )c －(a －b )(3a ＋3b )＝0，即a 2＝b 2＋c 2－13bc ， 又∵在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2b c cos A ，∴cos A ＝16. (2)由cos A ＝16得sin A ＝356， sin(A ＋30°)＝sin A cos 30°＋cos A sin 30° ＝356×32＋16×12＝1＋10512. 12. 证明 ∵m ∥n ，∴a cos B ＝b cos A .由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ， 即sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角，∴－π<A －B <π. ∴A ＝B .∵p 2＝9，∴8sin 2B ＋C2＋4sin 2A ＝9.∴4[1－cos(B ＋C )]＋4(1－cos 2A )＝9.∴4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12. 又∵0<A <π，∴A ＝π3.∴A ＝B ＝C . ∴△ABC 为等边三角形．。
2018届高三高考数学复习练习：5-2平面向量基本定理及
5-21．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．a ＝(1，2)，b ＝(0，0) B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3，5) C ．a ＝(3，2)，b ＝(9，6)D ．a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12，b ＝(3，－2) 【解析】 在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B. 【答案】 B2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为( )A ．(－8，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D ．(8，－1)【解析】 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)， 而12MN →＝12(－8，1)＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32.所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32.故选B.【答案】 B3．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.12【解析】 若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则2e 1－e 2＝k (e 1＋λe 2)＝k e 1＋λk e 2，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λk ＝－1，解得λ＝－12.故选C.【答案】 C4．已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )．由m ＝－6得a ＋b ＝(2，－4)＝－12a ，所以a ∥(a＋b )；由a ∥(a ＋b )得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.故“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．故选A.【答案】 A5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1，1)C ．(－4，6)D ．(4，－6)【解析】 由题知4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，知c ＝(4，－6)．故选D.【答案】 D6．(2018·山西联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 【解析】 依题意，设BO →＝λBC →，其中1<λ<43，则有AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC→－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，且AB →，AC →不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.故选D. 【答案】 D7．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则向量BD →的坐标为________．【解析】 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)． 【答案】 (－3，－5)8．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．【解析】 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0.∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.【答案】 129．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________．【解析】 选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底， 则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.【答案】 4310．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【解析】 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)， 又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线， ∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1，0)． 【答案】 (－1，0)11．已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．【解析】 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →. ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4，b －1＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3).12．已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．【解析】 (1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2)．点M 在第二或第三象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，解得t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2)． 因为AB →＝OB →－OA →＝(4，4)， AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →，所以A ，B ，M 三点共线.。
第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 (精练)(教师版)
第02讲 平面向量基本定理及坐标表示(精练）一、单选题1．在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则EF 等于（ ） A ．11124AB AD + B ．1134AB AD -C ．1164AB AD +D ．1143AB AD -【答案】A解：依题意DEF BEA ∽，所以13DFDE ABBE，即13DF DC =，所以()1111114343124EF ED DF BD DC AD AB AB AB AD =+=+=-+=+； 故选：A2．在梯形ABCD 中，//AB CD 且4AB CD =，点P 在边BC 上，若25AP AB AD λ=+，则实数λ=（ ） A ．45B ．25C ．415D ．320【答案】A 【详解】解：延长AD 、CB 交于点E ，则B 、P 、E 三点共线，于是可得2355AP AB AE =+， 因为//AB CD 且4AB CD =，所以43AE AD =， 所以3443225555A D A P A A D AB B =+⨯=+，故45λ=；故选：A3．如图所示，ABC 中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则BE =（ ）A ．2136BA BC +B ．1133+BA BCC ．2133+BA BCD ．1136BA BC +【答案】A因为点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点， 所以BE BD DE =+ 1223BC DA =+ 12()23BC BA BD =+- 121()232BC BA BC =+- 2136BA BC =+, 故选：A4．已知向量()()1,2,1,2a b λ=-=-，若()3a b +∥()a b -，则实数λ的值为（ ） A ．1 B ．0C ．43D ．23-【答案】A因为()()1,2,1,2a b λ=-=-，所以()32,26a b λ+=-，()2,22a b λ-=-+. 因为()3a b +∥()a b -，所以()()()222226λλ⨯+=-⨯-，解得：1λ=.故选：A5．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB ＝m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，()1222m nAO AB AC AM AN =+=+∵M ，O ，N 三点共线，则1,22m n+=即2m n += 故选： C6．直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（ ）A ．12m n+为常数 B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为12m =，2n = 【答案】B 如下图所示：由2BP PC =，可得()2AP AB AC AP -=-， 1233AP AB AC ∴=+， 若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>， 则1AB AM m =，1AC AN n=， 1233AP AM AN m n∴=+， M 、P 、N 三点共线， 12133m n ∴+=，123m n∴+=， 故A 正确； 所以12m =，2n =时，也满足123m n +=，则D 选项正确；()122255223333333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当m n =时，等号成立，C 选项成立；()1221113333n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当n =时，即m =n =时等号成立，故B 选项错误. 故选：B 二、多选题7．如图，在ABC 中，AD BE CF ，，分别是边BC CAAB ，，上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中正确的是（ ）A ．23BG BE = B ．3AB AC AG +=C ．12DG AG =D ．0GA GB GC ++=【答案】ABD 【详解】解：由三角形重心性质得2=BG GE ，所以23BG BE =，A 正确； 因为32232AB AC AD AG AG +==⨯=，B 正确；由重心性质得，12DG GA =，C 错误；因为23AB AC AG GB AG GC AD AG +=+++==， 所以GB GC AG +=，即0GA GB GC ++=，D 正确． 故选：ABD ．8．如图，在四边形ABCD 中，,,60,2,AB AD CD CB ABC AB AD ∠⊥⊥===E 为线段CD 的中点，F 为线段AB 上一动点（包括端点），且EF DA CB λμ=+，则下列说法正确的是（ ）A ．52BC =B ．若F 为线段AB 的中点，则1λμ+=C ．FC FD ⋅的最小值为154D ．μ的最大值比最小值大85【答案】ABD 【详解】解：如图1，补全图形，则在直角ABG 中，tan AG AB B =⋅∠=GD = 12CD GD ==，32CG ==，又24BG AB ==，所以52BC =，A 正确；故以点A 为坐标原点，,AB AD 方向为,x y 轴建立平面直角坐标系，如图2.所以，()()(()[]00330,0,2,0,,,,,0,0,248A B D C E F x x ⎛⎛∈ ⎝⎭⎝⎭，所以，当F 为线段AB 的中点时，()1,0F ，此时()5935,,0,3,,884EF DA CB ⎛⎫⎛-=-= ⎪ ⎪= ⎝⎭⎝⎭，故由EF DA CB λμ=+得5584μ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12μλ==，故1λμ+=，B 正确；(220000031532313448644FC F x x D x x x ⎛⎛⎫⋅=⋅-=-+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-，所以当038x =时， FC FD ⋅取得最小值23164，故C 错误； ()03935,,0,3,,884EF DA B x C⎛⎫⎛--=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝=⎭，故由EF DA CB λμ=+得03584x μ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故当00x =时，μ取得最小值min 310μ=-，02x =时，μ取得最大值max 1310μ=，故max min 85μμ-=，D 正确. 故选：ABD三、填空题9．若(1,1),(1,2)a b ==-，则与a b -同方向的单位向量是______． 【答案】 由已知(2,1)a b-=-，5a b -=， 所以与a b-同方向的单位向量是25(5a b a b-=-．故答案为：10．若A 是直线BC 外一点，D 为线段BC 的中点，3AB AC AE +=，DE x AB y AC =+，则x y +=______． 【答案】13-因为D 为线段BC 的中点，所以2AB AC AD +=， 所以113266AB AC AB AC DE AE AD AB AC ++=-=-=--， 又因为DE x AB y AC =+，所以11,66x y =-=-，所以111663x y +=--=-．故答案为：13-.11．如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，7AE ＝5AB ，AD ＝4AF ，EF 交AC 于点K ，AK OA λ=，则实数λ的值为________.【答案】－1027因为()2AK OA AO AB AD λλλ==-=-+，所以77422510AK AE AF AE AF λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭. 又E ，F ，K 三点共线，所以72110λλ--=，解得：λ＝－1027. 故答案为：－102712．已知向量(),1a m =，()4,2b n =-，0,0m n >>，若a b ∥，则14m n+的最小值___________．【答案】32a b ∥，2424m n m n ∴=-⇔+=()0,0m n >>，∴()141411813=2664442n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+++⨯=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当8n mm n=时取等号.故答案为：32.四、解答题13．如图所示，已知矩形ABCD 中，122,1,,33AB AD DM DC BN BC ====，AC 与MN 相交于点E ．(1)若MN AB AD λμ=+，求λ和μ的值； (2)用向量,AM AN 表示AE ． 【答案】(1)23λ=，13μ=-(2)1233AE AM AN =+(1)以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()()220,1,2,0,,1,2,33D B M N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以41(,),(2,0),(0,1)33MN AB AD =-==所以()41,2,33MN AB AD λμλμ⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭，所以42313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得21,33λμ==-(2)设,AE t AC AC mAM nAN ==+， 因为22,1,2,33AM AN ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2,1)AC =所以()222,12,33AC m n m n ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭．解得36,77m n ==，即3677AC AM AN =+，所以3677AE t AC t AM t AN ==+， 又因为M ，E ，N 三点共线，所以3671,779t t t +==，所以1233AE AM AN =+﹒14．如图所示，在△ABO 中，13OC OA =，12OD OB =，AD 与BC 交于点M ．设OA a =，OB b =．(1)试用向量a ，b 表示OM ；(2)在线段AC 上取点E ，在线段BD 上取点F ，使EF 过点M ，设OE OA λ=，OF OB μ=，其中λ，R μ∈．证明：12λμ+为定值，并求出该定值．【答案】(1)1255OM a b =+；(2)证明见解析，定值为5.(1)设()R,R OM ma nb m n =+∈∈，由A ，M ，D 三点共线，可知存在α（R α∈，且1α≠-），使得AM MD α=， 则()OM OA OD OM α-=-，因为12OD OB =，所以()1121OM a b ααα=+++， 由平面向量基本定理得()1121m n ααα⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩，即21m n +=，① 同理，由B ，M ，C 三点共线，可知存在β（R β∈，且1β≠-），使得CM MB β=， 则()OM OC OB OM β-=-，又13OC OA =，所以()1311OM a b βββ=+++， 由平面向量基本定理得()1,31,1m n βββ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩即31m n +=，② 由①②得15m =，25n =，故1255OM a b =+；(2)由于E ，M ，F 三点共线，则存在实数γ（R γ∈，且1γ≠-）使得EM MF γ=，即()OM OE OF OM γ-=-，于是1OE OFOM γγ+=+，又OE OA λ=，OF OB μ=， 所以111OA OB OM a b λμγλμγγγγ+==++++，由平面向量基本定理得151251λγμγγ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，消去γ，得125λμ+=，故12λμ+为定值，该定值为5.。
2025高考数学一轮复习-5.2-平面向量基本定理及坐标表示-专项训练【含答案】
6．A [如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AC 所在直线为 y 轴，建立平
面直角坐标系，则 B(1，0)，C(0，2)，因为∠DAB＝60°，所以设 D 点的坐标为(m，
m)(m≠0)．
＝(m， m)＝λ ＋μ ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝ m，
所以 ＝ .] 7．B [因为 p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0， 所以 c2－a2－b2＋ab＝0，所以 a2＋b2－c2＝ab， 所以 2ab cos C＝ab，所以 cos C＝ ， 因为 0＜C＜π，所以 C＝π. 故选 B.] 8．B [设 AB＝ ，如图，以 AC 所在直线为 x 轴，AC 的垂 直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(－1，0)，B(0，
A．π
B．π
C．π
D． π
8．在平面四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝BC＝CD，若 ＝λ ＋
μ ，则λ＋μ＝( )
A．
B．
C．
D．2
二、多项选择题 9．如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点 P， 若 ＝λ ， ＝μ ＋3μ ，则( )
A．P 为线段 OC 的中点时，μ＝
－1)，C(1，0)，D(1， )， ＝(2，0)， ＝(1，－1)， ＝(2， )，因为
＝λ ＋μ ，所以(2，0)＝λ(1，－1)＋μ(2， )，所以 + = ， 解得λ + =，
＝2 －2，μ＝2－ ，所以λ＋μ＝ .故选 B.]
9．AC [ ＝ + ＝ ＋λ ＝ ＋λ(
)＝(1－λ) ＋λ .因为
2．已知点 A(1，0)，B(2，2)，向量 ＝(2，－1)，则向量 ＝( )
平面向量的基本定理及坐标表示(二) 练习 含答案
平面向量的基本定理及坐标表示1.下列说法正确的是（ ）A..平面内由单位向量组成的正交基底有只有一对，B ．相等向量的坐标相同，并且它们起点的坐标，终点的坐标都要相同C ．平面内任何两个不共线的非零向量都能作为基底向量。
D. 平面内任何两个不共线的非零向量都能作为正交基底向量2、已知i 、j 分别是与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，若a =（3,4），则a 可以用i 、j 表示为（ ）A ．→→→+=j i a 43B ．→→→-=j i a 43C ．→→→+-=j i a 43D ．→→→+=j i a 343、已知向量)3,1(=a，向量)1,2(-=b，求以下向量的坐标运算： b a += b a -= =a 3 b a 32+= 4、已知A 、B 两点的坐标，求AB ，BA 的坐标.⑴()()1,3,2,5A B -- ⑵()()0,1,3,6A B -⑶()()4,7,2,1A B - ⑷()()0,0,4,5A B -5．已知表示向量a 的有向线段始点A 的坐标，求它的终点B 的坐标： （1）)0,0(),1,2(=-=A a（2）(5,4),(3,6)A α=-=-6、下面各组的两个向量，共线的是（ ） A 、)6,4(),3,2(=-=b a B 、)6,4(),2,1(=-=d c C 、)2,3(),3,2(==f e D 、)4,6(),2,3(-=-=h g7、已知()2,8a b +=-，()8,16a b -=-，求a 和b .8、已知(,),(,)M N ---3251，且=MP MN 12，求P 点的坐标。
9、已知向量()3,2a =-，()2,1b =-，()7,4c =-，试用,a b 来表示c .10、已知平行四边形ABCD 的顶点()1,2A --，()3,1B -，()5,6C ，试求：（1）顶点D 的坐标.（2）若AC 与BD 的交点为O ，试求点O 的坐标.11.设i 、j 分别是平面直角坐标系Ox 、Oy 正方向上的单位向量,且2OA =-i +m j OB n ,=i +j 5OC ,=i -j ,若点A 、B 、C 在同一条直线上,且m=2n,则实数m 、n 的值分别是 .12、已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN与AD 交于点F ，求DF →.2 .3.3平面向量的基本定理及坐标表示1. 若向量()2,3a x =-与向量()1,2b y =+相等，则（ ）A.1,3x y ==B.3,1x y ==C.1,5x y ==-D. 5,1x y ==-2. 已知(),AB x y =，点B 的坐标为()2,1-，则OA 的坐标为（ ）A.()2,1x y -+B.()2,1x y +-C.()2 1x y ---，D.()2,1x y ++ 3. 已知()3,1a =-，()1,2b =-，则32a b --等于（ ）A.()7,1B.()7,1--C.()7 1-，D.()7,1- 4．若),1,4(),3,2(-==m b a 且a ∥b ,则m 等于（ ）A 、5B 、6C 、7D 、85. 设点()1,2A -，()2,3B ，()3,1C -且AD =2AB 3BC -，求D 点的坐标。
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1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6) C ．(2,1) D ．(7,2) 解析：2a －3b ＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)． 答案：B
2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )． A ．平行于x 轴
B ．平行于第一、三象限的角平分线
C ．平行于y 轴
D ．平行于第二、四象限的角平分线
解析 由题意得a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0,1＋x 2)，易知a ＋b 平行于y 轴． 答案 C
3．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)
解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)． 答案 C
4. 设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →|，则点P 的坐标为( )
A ．(3,1)
B ．(1，－1)
C ．(3,1)或(1，－1)
D ．无数多个 解析 设P (x ，y )，则由|AB →|＝2|AP →|，得AB →＝2AP →或AB →＝－2AP →，AB →＝(2,2)，AP →
＝(x －2，y )，即(2,2)＝2(x －2，y )，x ＝3，y ＝1，P (3,1)，或(2,2)＝－2(x －2，y )，x ＝1，y ＝－1， P (1，－1)． 答案 C
5.若向量AB
=（1,2），BC =（3,4），则AC =( )
A （4,6）
B (-4，-6)
C (-2，-2)
D (2,2) 答案 A
解析 因为AC =AB +BC
=(4,6),所以选A.
6．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )． A ．[－2,2] B ．[－2,3] C ．[－3,2] D ．[－3,3]
解析 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，所以2x ＋3y ＝z ，不等式|x |＋|y |≤1
可转化为⎩⎨⎧
x ＋y ≤1 x ≥0，y ≥0，
x －y ≤1 x ≥0，y ＜0，
－x ＋y ≤1 x ＜0，y ≥0，
－x －y ≤1 x ＜0，y ＜0，
由图可得其对应的可行域为边
长为
2，以点(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x ＋3y ＝z 过点(0，－1)时z 有最小值－3，当过点(0,1)时z 有最大值3.所以z 的取值范围为[－3,3]． 答案 D
7．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2
－cos 2
α)和b ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则
λ
m
的取值范围是( )．
A ．[－6,1]
B ．[4,8]
C ．(－∞，1]
D ．[－1,6] 解析 由a ＝2b ，得⎩⎨⎧
λ＋2＝2m ，
λ2
－cos 2
α＝m ＋2sin α.
由λ2－m ＝cos 2α＋2sin α＝2－(sin α－1)2，得 －2≤λ2－m ≤2，又λ＝2m －2，
则－2≤4(m －1)2
－m ≤2，∴⎩⎨⎧
4m 2－9m ＋2≤0，4m 2
－9m ＋6≥0.
解得14≤m ≤2，而λm ＝2m －2m ＝2－2m ，
故－6≤
λ
m
≤1，即选A.
答案 A 二、填空题
8. 设a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
解析 ∵λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)与c ＝(－4，－7)共线，
∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0，解得λ＝2. 答案 2
9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1
b
的值为________．
解析 AB →
＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1
a ＋1
b ＝1
2.
答案 12
10．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．
解析 设a ＝λb (λ＜0)，则|a |＝|λ||b |， ∴|λ|＝
|a ||b |， 又|b |＝5，|a |＝2 5. ∴|λ|＝2，∴λ＝－2.
∴a ＝λb ＝－2(2,1)＝(－4，－2)． 答案 (－4，－2)
11．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解析 由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .
又因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －
n )e 1＋(2m ＋n )e 2.
由平面向量基本定理，得⎩⎨
⎧
m －n ＝1，
2m ＋n ＝1，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＝23，n ＝－1
3.
答案
23 －1
3
12．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．
解析 由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →
，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)． 答案 (0，－2) 三、解答题
13．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →
＝13AB →，DA →＝－1
3BA →，求点C ，D 的坐标和
CD →
的坐标．
解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →
＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →
＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－1
3BA →
，所以有
⎩⎨
⎧ x 1＋1＝1，
y 1－2＝2，
和⎩⎨
⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2.
解得⎩⎨
⎧
x 1＝0，y 1＝4，
和⎩⎨
⎧
x 2＝－2，y 2＝0.
所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →
＝(－2，－4)．
14．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．
(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；
(2)若AC ＝2AB
，求点C 的坐标．
解析：(1)由已知得AB
＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，
∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥AC
. ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.
(2)∵AC ＝2AB ，
∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)， ∴⎩⎨
⎧
a －1＝4，
b －1＝－4，
解得⎩⎨
⎧
a ＝5，
b ＝－3.
∴点C 的坐标为(5，－3)．
15．已知向量OA →
＝(3,4)，OB →
＝(6，－3)，O C →
＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，
C 能构成三角形，求实数m 满足的条件．
解析 ∵AB →
＝OB →
－OA →
＝(3，－7)， AC →＝OC →－OA →
＝(2－m ，－7－m )，
又A ，B ，C 能构成三角形，故点A ，B ，C 不共线，即AB →
，AC →
不共线，
∴3×(－7－m )－(－7)×(2－m )≠0， 得m ≠－
710，故m 应满足m ≠－710
. 16．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →
＝OA →
＋tAB →
，求 (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？
(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．
解析 (1)OP →
＝OA →
＋tAB →
＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－1
3
；若P 在第二象限，则
⎩⎨
⎧
1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.
∴－23＜t ＜－13
.
(2)因为OA →
＝(1,2)，PB →
＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →
＝PB →
，
∵⎩⎨
⎧
3－3t ＝1，3－3t ＝2无解．所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。