最新人教版高中数学选修2-1第一章《量词》课后导练

课后导练
基础达标
1.下列存在性命题中假命题的个数是( )
①有的实数是无限不循环小数 ②有些三角形不是等腰三角形 ③有的菱形是正方形
A.0
B.1
C.2
D.3 答案：A
2.下列存在性命题中真命题的个数是（ ）
①∃x ∈R ,x≤0 ②至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数 ③∃x ∈{x|x 是无理数},x 2是无理数
A.0
B.1
C.2
D.3 答案：D
3.下列全称命题中假命题的个数是（ ）
①2x+1是整数(x ∈R ) ②对所有的x ∈R ,x ＞3 ③对任意一个x ∈Z ,2x 2+1为奇数
A.0
B.1
C.2
D.3 答案：C
4.下列命题为存在性命题的是（ ）
A.偶函数的图象关于y 轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在实数大于等于3
答案：D
5.下列命题正确的是( )
A.对于实数q<1,方程x 2+2x+q=0有实数根
B.有一个实数大于0或小于0
C.不存在一个实数其相反数是它本身
D.四边形的两条对角线互相垂直，则四边形为正方形
答案：A
6.（1）命题“∀x ∈R ，x 2-x+3>0”的否定是________________.
（2）命题“∃x ∈R ，x 2+1<0”的否定是________________.
答案：(1)x ∈R ,x 2-x+3≤0 (2)x ∈R ,x 2+1≥0
7.命题“有理数的平方仍是有理数”用符号“∀”写成全称命题为________________. 答案：x ∈{有理数}，x 2∈{有理数}
8.(预测题)下列叙述正确的命题序号是________________.
①∀x,y ∈N ,如果x +y 2=0,则x=0且y=0 ②设P(x):2x >x 2,则P(4)是真命题 ③“每一个向量都有方向”是命题 ④若P(x):sinx>cosx 为真命题，则x ∈(4π,4
3π) 答案：①③
9.用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题.
(1)实数的平方大于等于0;
(2)存在一对实数,使2x+3y+3＜0成立;
(3)勾股定理.
解：（1）x ∈R ,x 2≥0.
(2)(x,y),x ∈R ,y ∈R ,2x+3y+3＜0.
(3)a 、b 、c 为直角三角形的三条边，c 为斜边，a 2+b 2=c 2.
10.命题“三角形的三个内角中，至少有一个角不小于60°”是全称命题吗？若是，判断它的真
假.
解析:是全称命题，且为真命题，可用反证法证明：在△ABC 中，假设三角内角均小于60 °，则∠A+∠B+∠C ＜180 °，这与内角和定理矛盾.
综合运用
11.命题“存在实数k<0，使方程x 2+(2k+1)x+k=0必有两相异实根”是存在性命题吗？若是，判断其真假.
解析：是存在性命题，且是真命题，因为任意实数k ，Δ=（2k+1）2-4k=4k 2+1＞0恒成立，方程恒有两根，且k ＜0时，两根之积为负，所以必有两相异实根.
12.已知f(x)=ax 2
+bx+c 的图象过点(-1,0),是否存在常数a 、b 、c,使不等式x≤f(x)≤212
x +对一切实数x 均成立?
解:∵f(x)的图象过点（-1，0），
∴a-b+c=0.
∵x≤f(x)≤2
12
x +对一切x ∈R 均成立， ∴当x=1时也成立，
即1≤a+b+c≤1,
故有a+b+c=1.
∴b=
21,c=2
1-a. ∴f(x)=ax 2+21x+21-a. 故应x≤ax 2+21x+21-a≤212
x +对一切x ∈R 成立. 即⎪⎩
⎪⎨⎧≥+--≥-+-02)21(,02
12122a x x a a x ax 恒成立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≤∆≤∆⇒02100021a a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->≤--≤--⇒.
021,0,0)21(81,0)21(441a a a a a a ∴a=4
1. ∴c=21-a=4
1. ∴存在一组常数：a=41,b=21,c=4
1.
使不等式x≤f(x)≤2
12
x +对一切实数x 均成立. 13.(2005辽宁高考,7)在R 上定义运算⊗:x ⊗y=x(1-y),若不等式(x-a) ⊗(x+a)<1对∀x ∈R 成立.求a 的取值范围？
解析：（x-a ）⊗(x+a)＜1
⇔(x-a)［1-(x+a)］＜1
⇔-x 2+x+a 2-a-1＜0
⇔x 2-x-a 2+a+1＞0.
∵不等式对任意实数x 成立，
∴Δ=1-4（-a 2+a+1）＜0,
∴-21＜a ＜2
3. 拓展探究
14.已知ａ>0,函数ｆ(x)=ａx-bx 2.
(1)当b>0时,若对任意x ∈R 都有ｆ(x)≤1,证明ａ≤2b ；
(2)当b>1时,证明对任意x ∈［0,1］,|ｆ(x)|≤1的充要条件是b-1≤ａ≤2b .
证明：（1）依题意设对任意x ∈R 都有f(x)≤1,
∵f(x)=-b(x-b a 2)2+b
a 42
, ∴f(b a 2)=b
a 42
≤1. ∵a ＞0,b ＞0,
∴a≤2b .
(2)必要性：对任意x ∈［0,1］.
|f(x)|≤1⇒f(x)≥-1,
∴f(1)≥-1,
即a-b≥-1.
∴a≥b -1.
对任意x ∈［0,1］,|f(x)|≤1f(x)≤1,
∵b ＞1.
可以推出f(b 1
)≤1,
即a·b 1
-1≤1.
∴a≤2b .
∴b-1≤a≤2b.
充分性：∵b＞1,a≥b-1,对任意x∈［0,1］,
可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1,即ax-bx2≥-1,
∵b＞1,a≤2b,对任意x∈［0，1］，可以推出ax-bx2≤2b x-bx2≤1,
即ax-bx2≤1.
∴-1≤f(x)≤1.
综上，当b＞1时，对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2b.。