专题47 三角形中的旋转综合问题(解析版)

合集下载

2020-2021备战中考数学——初中数学旋转的综合压轴题专题复习附答案解析

2020-2021备战中考数学——初中数学旋转的综合压轴题专题复习附答案解析一、旋转1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．2．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF，设CE＝a，CF＝b．（1）如图1，当a＝42时，求b的值；（2）当a＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值；（3）如图3，请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式．【答案】（1）422）b＝8；（3）ab＝32．【解析】试题分析：（1）由正方形ABCD的边长为4，可得AC＝2，∠ACB＝45°．再CE＝a＝2∠CAE＝∠AEC，从而可得∠CAF的度数，既而可得 b=AC；（2）通过证明△ACF∽△ECA，即可得；（3）通过证明△ACF∽△ECA，即可得.试题解析：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝42，∠ACB＝45°．∵CE＝a＝42，∴∠CAE＝∠AEC＝452︒＝22.5°，∴∠CAF＝∠EAF－∠CAE＝22.5°，∴∠AFC＝∠ACD－∠CAF＝22.5°，∴∠CAF＝∠AFC，∴b=AC＝CF＝42；（2）∵∠FAE＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FAC＋∠CAE＝45°，∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠FAC ＝∠AEC．又∵∠ACF＝∠ECA＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴AC CFEC CA=，∴42442=，∴CF＝8，即b＝8．（3）ab＝32．提示：由（2）知可证△ACF∽△ECA，∴∴AC CFEC CA=，∴4242a=，∴ab＝32．3．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF⊥BD 交BC 于F，连接DF，G 为DF 中点，连接EG，CG.(1) 求证：EG=CG；(2) 将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转 45∘,如图②所示,取DF 中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3) 将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).【答案】解：（1）CG=EG（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG．证明：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴ AG=CG．在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴ MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴ AG=EG∴ EG=CG．（3）（1）中的结论仍然成立．【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG;试题解析：解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴，同理，在Rt△DEF中，，∴CG=EG；（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG；连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，如图所示：在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DC=DC，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG，在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG，在矩形AENM中，AM=EN.，在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG，（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG。

几何综合(解析版)--中考数学抢分压轴题秘籍(全国通用)

几何综合--中考数学抢分秘籍（全国通用）几何综合问题在中考中以填空题和解答题的形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中多考查面积平分、面积最值和几何变换的综合问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、圆、锐角三角函数、勾股定理、图形变换的性质和二次函数的最值等相关知识，以及分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①几何图形中的线段最值问题②探究图形面积的分割问题；③探究图形面积的最值问题.右图为几何综合问题中各题型的考查热度.题型1：线段最值问题①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题解题模板：1.（2021秋•白云区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出符合题意的图形，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，利用勾股定理即可求得结论．【解答】解：由题意，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，如图，由对称性可知：圆心O在AC上．AC＝＝4．∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥EC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°．∴△OEC为等腰直角三角形．∴OC＝OE＝．∴CG＝OC﹣OG＝﹣1．∴AG＝AC﹣CG＝4﹣（﹣1）＝3+1．故选：C．【点评】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，连接OE，利用切线的性质得到OE⊥EC是解题的关键．【变式1-1】（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．【分析】（1）要证明EF＝DE，只要证明△DME≌△ENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以得到△DME≌△ENF的条件，从而可以证明结论成立；（2）根据勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的长，然后即可得到GE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECM＝45°，∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）解：如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝，∵AF∥CD，∴△DGC∽△FGA，∴，∴，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AC＝AG+GC，∴AG＝，CG＝，∴GE＝GC﹣CE＝＝；如图2所示，同理可得，FN＝BN，∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AF∥CD，∴△GAF∽△GCD，∴，即，解得，AG＝4，∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE＝，∴GE＝GA+AE＝5．综上所述：GE的长为：，5．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2.（2022春•广陵区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是4．【分析】过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，根据菱形的性质得到AB＝BC，BO 平分∠ABC，AO⊥BD，再判断△ABC为等边三角形得到∠ABC＝∠ACB＝60°，则∠OBC＝30°，所以PH＝BP，则MP+PB＝MP+PH，所以MP+PH的最小值为MN的长，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出MN即可．【解答】解：过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，BO平分∠ABC，AO⊥BD，∵AB＝AC＝10，∴AB＝AC＝BC＝10，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠OBC＝30°，∴PH＝BP，∴MP+PB＝MP+PH，当M、P、H共线时，MP+PH的值最小，即MP+PH的最小值为MN的长，∵AM＝2，∴CM＝10﹣2＝8，在Rt△MNC中，∵∠MCN＝60°，∴CN＝CM＝4，∴MN＝CN＝4，即MP+PB的最小值为4．故答案为：．【点评】本题考查了胡不归问题：利用垂线段最短解决最短路径问题，把PB转化为PH是解决问题的关键．也考查了菱形的性质和等边三角形的性质．【变式2-1】（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sin A＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为．【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，首先得出BD＝4，AD＝3，根据sin∠ABD＝，得EP＝，则PC+PB的最小值为PC+PE的最小值，即求CH的长，再通过等积法即可解决问题．【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵sin A＝＝，AB＝5，∴BD＝4，由勾股定理得AD＝，∴sin∠ABD＝，∴EP＝，∴PC+PB＝PC+PE，即点C、P、E三点共线时，PC+PB最小，∴PC+PB的最小值为CH的长，＝，∵S△ABC∴4×4＝5×CH，∴CH＝．∴PC+PB的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，垂线段最短、勾股定理等知识，将PC+PB的最小值转化为求CH的长，是解题的关键．3.（2022秋•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的纵坐标为．【分析】根据已知条件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E （0，2），求得直线EC的解析式为y＝x+2，解方程组即可得到结论．【解答】解：∵∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解，得，∴P（，），故答案为：．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．【变式3-1】（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x 轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为（﹣，0）．【分析】在BC上截取BH＝3，可证四边形BHEF是平行四边形，可得BF＝EH，由对称性可得DE＝D'E，则四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，由EF和BD是定值，则当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF 的周长有最小值，即当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，利用待定系数法可求HD'解析式，即可求解．【解答】解：在BC上截取BH＝3，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'H交AO于点E，∴BH＝EF＝3，BC∥AO，∴四边形BHEF是平行四边形，∴BF＝EH，∵点D与点D'关于x轴对称，∴DE＝D'E，点D'坐标为（0，﹣4），∵四边形BDEF的周长＝EF+BF+BD+DE，∴四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，∵EF和BD是定值，∴当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，∴当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，∵点B（﹣4，6），∴点H（﹣1，6），设直线D'H的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线D'H的解析式为y＝﹣10x﹣4，∴当y＝0时，x＝﹣，∴点E（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质等知识，确定点E的位置是解题的关键．4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE＝1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是．【分析】根据题意得出作EF∥AC且EF＝，连接DF交AC于M，在AC上截取MN＝，此时四边形BMNE的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：作EF∥AC且EF＝，连接DF交AC于M，在AC上截取MN＝，延长DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，作出点E关于AC的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN平移至E′F′处，则四边形MNE′F′为平行四边形，则当BM+EN＝BM+FM＝BF′时四边形BMNE的周长最小，由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得FQ＝EQ＝1，∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，∴＝，∴＝，解得：PQ＝，∴PC＝，由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝＝．故答案为．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出M，N的位置是解题关键．【变式4-1】如图，已知四边形ABCD四个顶点的坐标为A（1，3），B（m，0），C（m+2，0），D（5，1），当四边形ABCD的周长最小时，m的值为．【分析】因为AD，BC的长度都是固定的，所以求出AB+CD的长度就行了．问题就是AB+CD什么时候最短．把D点向左平移2个单位到D′点；作D′关于x轴的对称点D″，连接AD″，交x轴于P，从而确定C点位置，此时AB+CD最短．设直线AD″的解析式为y＝kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得m的值．【解答】解：将C点向左平移2单位与B重合，点D向左平移2单位到D′（3，1），作D′关于x轴的对称点D″，根据作法知点D″（3，﹣1），设直线AD″的解析式为y＝kx+b，则，解得k＝﹣2，b＝5．∴直线AD″的解析式为y＝﹣2x+5．当y＝0时，x＝，即B（，0），m＝．故答案为：．【点评】考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是熟悉关于x轴的对称点，两点之间线段最短等知识．题型2：面积平分问题解题模板：技巧精讲1：利用中线平分图形面积的方法2.利用对称性平分图形面积的方法5.（1）问题提出：如图（1），在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为AC上一点且AD＝2，过点D作直线DE交△ABC于点E，使得△ABC被分成面积相等的两部分，则DE的长为2．（2）类比发现：如图（2），五边形ABOCD，各顶点坐标为：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C （4，0），D（4，2）请你找出一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD分为面积相等的两部分，求出该直线对应的函数表达式．（3）如图（3），王叔叔家有一块四边形菜地ABCD，他打算过D点修一条笔直的小路把四边形菜地ABCD 分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物，已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝200米，∠BAD ＝90°过点D是否存在一条直线将四边形ABCD的面积平分？若存在，求出平分该四边形面积的线段长：若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1中，取AC的中点F，连接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，连接DE交BF于O．证明DE平分△ABC的面积，利用平行线分线段成比例定理求出CE即可解决问题．（2）如图2中，连接AO、AC，作BE∥AO交x轴于E，DF∥AC交x轴于F，EF的中点为M，则直线AM平分五边形ABCOD的面积，求出点M的坐标即可解决问题．（3）先求出四边形ABCD的面积，即可得出四边形ABQD的面积，从而求出QM，再用平行线分线段成比例定理求出BM，即可得出DM，最后用勾股定理即可．【解答】解：（1）如图1中，取AC的中点F，连接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，连接DE交BF 于O．∵AF＝FC，＝S△BFC，∴S△AFB∵BD∥EF，＝S△BDF，∴S△BDE＝S△BOE，∴S△DFO＝S四边形ABED，∴S△ECD∴DE平分△ABC的面积，∵AC＝8，AD＝2，∴AF＝CF＝4，DF＝2，∵EF∥BD，∴＝，∴＝，∴CE＝4，∴DE＝＝＝2，故答案为2．（2）如图2中，连接AO、AC，作BE∥AO交x轴于E，DF∥AC交x轴于F，EF的中点为M，则直线AM平分五边形ABCOD的面积，∵直线AO的解析式为y＝x，∴直线BE解析式为y＝x+2，∴点E坐标（﹣，0），∵直线AC的解析式为y＝﹣4x+16，∴直线DF的解析式为y＝﹣4x+18，∴点F坐标为（，0）∴EF的中点M坐标为（，0），∴直线AM的解析式为：y＝x﹣4．（3）如图3中，连接BD，AC交于点O．在BC上取一点Q，过Q作QM⊥BD，∵AB＝AD＝200、BC＝CD＝200，∴AC是BD的垂直平分线，在Rt△ABD中，BD＝AB＝200，∴DO＝BO＝OA＝100，在Rt△BCO中，OC＝＝300，＝S△ABD+S△CBD＝BD×（AO+CO）＝×200×（100+300）＝80000，∴S四边形ABCD∵在一条过点D的直线将筝形ABCD的面积二等分，＝S四边形ABCD＝40000，∴S四边形ABQD＝×BD×OA＝20000，∵S△ABD＝BD×QM＝×200×QM＝100QM＝S四边形ABQD﹣S△ABD＝20000，∴S△QBD∴QM＝100，∵QM∥CO．∴＝，∴＝，∴BM＝，∴DM＝BD﹣BM＝，在Rt△MQD中，DQ＝＝＝．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中线，几何作图，勾股定理，等积问题等知识，解题的关键是把多边形转化为三角形是解决问题的关键，记住三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．【变式5-1】（2022•江北区模拟）新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．解决问题：（1）①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是三角形的中线；②如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，DC上，连接EF，与AD交于＝S△DGF，则EF是（填“是”或“不是”）△ABC的一条二分线．点G．若S△AEG（2）如图2，四边形ABCD中，CD平行于AB，点G是AD的中点，射线CG交射线BA于点E，取EB 的中点F，连接CF．求证：CF是四边形ABCD的二分线．（3）如图3，在△ABC中，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED＝∠A，EF是四边形ABDE的一条二分线，求DF的长．【分析】（1）①由平面图形的二分线定义可求解；②由面积的和差关系可得S△BEF＝S△ABD＝S△ABC，可得EF是△ABC的一条二分线；＝S△CEF，由AB∥DC，G是AD的中点，证明△CDG≌△EAG，所（2）根据EB的中点F，所以S△CBF＝S△CEF，所以S四边形AFCD＝S△CBF，可得CF是四边形ABCD的二分线；以S四边形AFCD＝S△DEC＝S△ABE，可得S△HED＝（3）延长CB使BH＝CD，连接EH，通过全等三角形的判定可得S△BEHS四边形ABDE，即可得DF＝DH＝．【解答】解：（1）∵三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；∴三角形的中线是三角形的二分线，故答案为三角形的中线②∵AD是BC边上的中线＝S△ACD＝S△ABC，∴S△ABD＝S△DGF，∵S△AEG+S△AEG＝S四边形BDGE+S△DGF，∴S四边形BDGE＝S△ABD＝S△ABC，∴S△BEF∴EF是△ABC的一条二分线故答案为：是（2）∵EB的中点F，＝S△CEF，∴S△CBF∵AB∥DC，∴∠E＝∠DCG，∵G是AD的中点，∴DG＝AG，在△CDG和△EAG中，∴△CDG≌△EAG（AAS），＝S△DCG，∴S△AEG＝S△CEF，∴S四边形AFCD＝S△CBF，∴S四边形AFCD∴CF是四边形ABCD的二分线．（3）如图，延长CB使BH＝CD，连接EH，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED＝∠A，∵BC＝7∴BD+CD＝7∴BD+BH＝7＝HD∵∠BED＝∠A，∠BED+∠DEC＝∠A+∠ABE∴∠ABE＝∠CED，且AB＝CE＝7，∠A＝∠C∴△ABE≌△CED（ASA）＝S△EDC，∴AE＝CD，BE＝DE，∠AEB＝∠EDC，S△ABE∴AE＝BH，∵∠CBE＝∠CEB∴∠AEB＝∠EBH∴∠EBH＝∠EDC，且BE＝DE，BH＝CD∴△BEH≌△DEC（SAS）、＝S△DEC，∴S△BEH＝S△DEC＝S△ABE，∴S△BEH＝S四边形ABDE，∴S△HED∵EF是四边形ABDE的一条二分线，＝S四边形ABDE＝S△HED，∴S△DEF∴DF＝DH＝【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，理解新定义是本题的关键．【变式5-2】（2021•西安一模）问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；问题探究（2）如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由；解决问题（3）如图③，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当点D是BC的中点时，AD将△ABC分成面积相等的两部分，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一般，可求出AD的长度；（2）根据同底等高的三角形面积相等，再减去相等的部分，就可以得出△AOM与△BON的面积相等；（3）连接AB，过点O作AB的平行线，交CA的延长线于点F，交OA于点G，则△OBG的面积等于△AFG的面积，则四边形OACB的面积转化为△BCF的面积，取CF的中点P，求出点P的坐标，即可求出直线BP的表达式．【解答】解：（1）如图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝，∵点D为BC的中点，∴AD＝BC＝．＝S△BON，理由如下：（2）S△AOM＝S△ABM﹣S△AOB，S△BON＝S△ABN﹣S△AOB，由图可知，S△AOM如图②，过点M作MD⊥AB于点D，过点N作NE⊥AB于点E，∴MD∥NE，∠MDE＝90°，又∵MN∥DE，∴四边形MDEN是矩形，∴MD＝NE，＝，S△ABN＝，∵S△ABM＝S△ABN，∴S△ABM＝S△BON．∴S△AOM（3）存在，直线BP的表达式为：y＝x+4．如图③，连接AB，过点O作OF∥AB，交CA的延长线于点F，交OA于点G，＝S△AFG，由（2）的结论可知，S△OBG＝S△BCF，∴S四边形OACB取CF的中点P，作直线BP，直线BP即为所求．∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），∴线段AB所在直线表达式为：y＝﹣x+4，线段AC所在直线的表达式为：y＝3x﹣12，∴直线OF的表达式为：y＝﹣x，联立，解得，∴F（3，﹣3），∵点P是CF的中点，∴P（，），∴直线BP的表达式为：y＝x+4．【点评】主要考查了勾股定理，中点的性质，面积转化以及待定系数法求一次函数表达式等内容，熟练掌握勾股定理的内容，中点性质的应用，作出辅助线，进行面积的转化是解答本题的关键．题型3：面积最值问题6.（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为8．得到BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，求得GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8﹣x，所以S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．【解答】解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴△AMB∽△CGB，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，∵ED＝DC，∠EHD＝∠DGC，∠HED＝∠GDC，∴△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，＝＝＝，∴S△BDE当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．故答案为8．【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．；【变式6-1】（1）如图①，若BC＝6，AC＝4，∠C＝60°，求△ABC的面积S△ABC；（2）如图②，若BC＝a，AC＝b，∠C＝α，求△ABC的面积S△ABC（3）如图③，四边形ABCD，AC＝m，BD＝n，对角线AC交于O点，他们所成锐角为β，求四边形ABCD ．的面积S四边形ABCD【分析】（1）过A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根据三角形面积公式求出即可；（2）过A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根据三角形面积公式求出即可；（3）过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，解直角三角形求出AE、CF，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：（1）如图①，过A作AM⊥BC于M，则∠AMC＝90°，∵∠C＝60°，AC＝4，∴AM＝AC×sin60°＝4×＝2，∵BC＝6，＝×BC×AM＝×6×2＝6；∴△ABC的面积S△ABC（2）如图②，过A作AM⊥BC于M，则∠AMC＝90°，∵∠C＝α，AC＝b，∴AM＝AC×sinα＝b×sinα＝b sinα，∵BC＝a，＝×BC×AM＝×a×b sinα＝ab sinα；∴△ABC的面积S△ABC（3）如图3，过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，BD＝n，OA+OC＝m，∵AC、BD夹角为β，∴AE＝OA•sinβ，CF＝OC•sinβ，＝S△ABD+S△BDC∴S四边形ABCD＝BD•AE+BD•CF＝BD•（AE+CF）＝BD•（OA•sinβ+OC•sinβ）＝BD•AC•sinβ＝mn sinβ．＝mn sinβ．即四边形ABCD的面积S四边形ABCD【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的面积的应用，此题比较难，解题时关键要找对思路，即原四边形的高已经发生了变化，只要把高求出来，一切将迎刃而解．【变式6-2】如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB﹣BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式；（3）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，证出∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG，得出∠DCG＝∠DAE＝90°，证出∠DCG+∠DCB＝180°，即可得出结论；（2）分情况讨论：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，则AC∥EK∥AD，证明△ADE∽△BEH，由相似三角形的性质得出＝，求出BH＝，S＝正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积，即可得出结果；②当点E在BC边上时，S＝△DEC的面积＝4﹣x；（3）由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；由勾股定理求出BD，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAE＝90°，∵∠DCB＝90°，∴∠DCG+∠DCB＝180°，∴点G在直线BC上；（2）解：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，如图1所示：则AC∥EK∥AD，∴∠HEK＝∠EHB，∠DEK＝∠EDA，∵∠EHB+∠BEH＝90°，∠EDA+∠AED＝90°，∠HEK+∠DEK＝90°，∴∠EDA＝∠BEH，∠AED＝∠EHB，∴△ADE∽△BEH，∴＝，即＝，∴BH＝，S＝正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积＝2×2﹣×2×x﹣×（2﹣x）×＝；②当点E在BC边上时，S＝△DEC的面积＝×2×（4﹣x）＝4﹣x；（3）解：由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；∵BD＝＝＝2，∴BF+FG＝2BD＝4，∴点F运动的路径长为4．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、平行线的判定与性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．1．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BCD＝60°，连接BD，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且AE＝BF，连接DE、DP、EF．（1）如图①，当点E是边AB的中点时，求∠EDF的度数；（2）如图②，当点E是边AB上任意一点时，∠EDF的度数是否发生改变？若不改变，请证明；若发生改变，请说明理由；（3）若点P是线段BD上一动点，求PF+DP的最小值．【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝60°，可证△ABD，△BCD 是等边三角形，由等边三角形的性质可证DE＝DF，∠EDF＝60°，可得结论；（2）证明△ADE≌△BDF（SAS），根据全等三角形的性质得∠ADE＝∠BDF，由角的和差即可得∠EDF ＝∠ADB＝60°；（3）过点P作PG⊥AD于点G，连接PF，过点F作FG′⊥AD于点G′，交BD于点P′，可得GP＝DP•sin60°＝DP，则PF+DP＝PF+GP，当点F、P、G三点共銭，且FG⊥AD时，PF+GP有最小值，最小值为FG′的长，过点D作DH⊥BC于点H，则DH＝FG'，PF+DP的最小值即为DH的长，由△BDC是等边三角形可得DH＝CD•sin60°＝3，即可求得PF+DP的最小值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，边长为6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD，△BCD是等边三角形，∵点E是边AB的中点，AE＝BF，∴点F是边BC的中点，∴∠ADE＝∠BDE＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴∠EDF＝∠BDE+∠BDF＝60°；（2）∠EDF的度数不改变，证明：△ABD，△BCD是等边三角形，∴AD＝BD，∠DAB＝∠DBC＝60°，∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴∠ADE＝∠BDF，∴∠EDF＝∠ADB＝60°；（3）如图，过点P作PG⊥AD于点G，连接PF，过点F作FG′⊥AD于点G′，交BD于点P′，∵∠ADB＝60°，∴GP＝DP•sin60°＝DP，∴PF+DP＝PF+GP，∴当点F、P、G三点共銭，且FG⊥AD时，PF+GP有最小值，最小值为FG′的长，过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴DH＝FG'，∴PF+DP的最小值即为DH的长，∵DH⊥BC，△BDC是等边三角形，∴DH＝CD•sin60°＝3，∴PF+DP的最小值为3．【点评】本题考查了四边形的综合应用，掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，最短路径等知识，添加恰当辅助线构造构造在直角三角形是解本题的关键．2．（2022•连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．【分析】（1）先证明四边形DBCE是平行四边形，再由BE⊥DC，得四边形DBCE是菱形；（2）作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，可得PM+PN＝PM+PN'，即知MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，可得DH＝DB•sin∠DBC＝，即可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∵E在AD的延长线上，∴DE∥BC，∴四边形DBCE是平行四边形，∵BE⊥DC，∴四边形DBCE是菱形；（2）解：作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，如图：由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，∴PM+PN＝PM+PN'，∴当P、M、N'共线时，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，∵DE∥BC，∴MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，∴DH＝DB•sin∠DBC＝2×＝，∴PM+PN的最小值为．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及菱形的判定，等边三角形性质及应用，对称变换等，解题的关键是掌握解决“将军饮马”模型的方法．3．（2014•海南）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x 轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF＝PM2最小．【解答】方法一：解：（1）∵对称轴为直线x＝2，∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k．将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：，解得，∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5．（2）当a＝1时，E（1，0），F（2，0），OE＝1，OF＝2．设P（x，﹣x2+4x+5），如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN＝x，ON＝﹣x2+4x+5，∴MN＝ON﹣OM＝﹣x2+4x+4．S四边形MEFP＝S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME＝（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE＝（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x•（﹣x2+4x+4）﹣×1×1＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+∴当x＝时，四边形MEFP的面积有最大值为，把x＝时，y＝﹣（﹣2）2+9＝．此时点P坐标为（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3．令y＝﹣x2+4x+5＝3，解得x＝2±．∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF＝PM2最小．设直线PM2的解析式为y＝mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：，解得：m＝，n＝﹣，∴y＝x﹣．当y＝0时，解得x＝．∴F（，0）．∵a+1＝，∴a＝．∴a＝时，四边形PMEF周长最小．方法二：（1）略．（2）连接MF，过点P作x轴垂线，交MF于点H，有最大值时，四边形MEFP面积最大．显然当S△PMF当a＝1时，E（1，0），F（2，0），∵M（0，1），∴l MF：y＝﹣x+1，设P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣t+1），＝（P Y﹣H Y）（F X﹣M X），∴S△PMF＝（﹣t2+4t+5+t﹣1）（2﹣0）＝﹣t2+t+4，∴S△PMF最大值为，∴当t＝时，S△PMF＝EF×MY＝×1×1＝，∵S△MEF的最大值为+＝，∴S四边形MEFP∴P（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+4x+5＝0，解得：x＝2±，∵点P在第一象限，∴P（2+，3），PM、EF长度固定，当ME+PF最小时，PMEF的周长取得最小值，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1），∵四边形MEFM1为平行四边形，∴ME＝M1F，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1），∴M2F＝M1F＝ME，当且仅当P，F，M2三点共线时，此时ME+PF＝PM2最小，∵P（2+，3），M2（1，﹣1），F（a+1，0），∴K PF＝K M1F，∴，∴a＝．【点评】本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称﹣最短路线的性质．试题计算量偏大，注意认真计算．4．（2021•靖江市校级一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，若AE＝2，则求EF的长．（请从“线段的长度或线段的位置关系”的方向设计条件及问题，并解答）【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3＝EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．【解答】若AE＝2．则求EF的长．解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝3＝EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得：EF＝＝＝2．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．5．（2012•新密市自主招生）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF＝4，则△DEF面积的最大值为．【分析】首先过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，由菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，即＝DE•FG）＝﹣（x﹣2）2+，可求得AD＝CD＝4，∠FDG＝60°，然后设AE＝x，即可得S△DEF然后根据二次函数的性质，即可求得答案．【解答】解：过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°，∴AD＝CD＝4，∠ADC＝180°﹣∠BAD＝120°，∴∠FDG＝180°﹣∠ADB＝60°，设AE＝x，∵AE+CF＝4，∴CF＝4﹣x；∴DE＝AD﹣AE＝4﹣x，DF＝CD﹣CF＝4﹣（4﹣x）＝x，在Rt△DFG中，FG＝DF•sin∠GDF＝x，＝DE•FG＝×（4﹣x）×x＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+，∴S△DEF∴当x＝2时，△DEF面积的最大，最大值为．故答案为：．【点评】此题考查了菱形的性质、三角函数的性质以及二次函数的最值问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与函数思想的应用．6．（2022•杭州模拟）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为等腰直角三角形，连接BD，BB′与CE的数量关系是BB'＝CE．（2）当0°＜α＜360°且a≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点E，C，D，B′为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE与B′E的数量关系．。

题型十一综合探究题类型四与旋转有关的探究题(专题训练)(解析版)

题型十一综合探究题类型四与旋转有关的探究题（专题训练）D为BC的中点，E，F分1.(2022·重庆市B卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．(1)如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；(2)如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF，求证：AM+AF=；(3)如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值．【答案】(1)解：如图1，连接CP，由旋转知，CF=CG，∠FCG=90°，∴△FCG为等腰直角三角形，∵点P是FG的中点，∴CP⊥FG，∵点D是BC的中点，BC，∴DP=12在Rt△ABC中，AB=AC==4，∴BC=∴DP=2；(2)证明：如图2，过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，∴∠AEH=90°，由旋转知，EG=EF，∠FEG=90°，∴∠FEG=∠AEH，∴∠AEG=∠HEF，∵AB=AC，点D是BC的中点，∴∠BAD=∠CAD=1∠BAC=45°，2∴∠H=90°―∠CAD=45°=∠CAD，∴AE=HE，∴△EGA≌△EFH(SAS)，∴AG=FH，∠EAG=∠H=45°，∴∠EAG=∠BAD=45°，∵∠AMF=180°―∠BAD―∠AFM=135°―∠AFM，∵∠AFM=∠EFH，∴∠AMF=135°―∠EFH，∵∠HEF=180°―∠EFH―∠H=135°―∠EFH，∴∠AMF=∠HEF，∵△EGA≌△EFH，∴∠AEG=∠HEF，∵∠AGN=∠AEG，∴∠AGN=∠HEF，∴∠AGN=∠AMF，∵GN=MF，∴△AGN≌△AMF(AAS)，∴AG=AM，∵AG=FH，∴AM=FH，∴AF +AM =AF +FH =AH；(3)解：∵点E 是AC 的中点，∴AE =12AC 根据勾股定理得，BE ==由折叠直，BE =B′E∴点B′是以点E由旋转知，EF =EG ，∴点G 是以点E 为圆心，EG 为半径的圆上，∴B′G 的最小值为B′E ―EG ，要B′G 最小，则EG 最大，即EF 最大，∵点F 在AD 上，∴点在点A 或点D 时，EF∴线段B′G2.（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC Ð=°．点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90°得到AG ，连接GC ，HB ．（1）证明：AHB AGC V V ≌；（2）如图2，连接GF ，HC ，AF 交AF 于点Q ．①证明：在点H 的运动过程中，总有90HFG Ð=°；②若4AB AC ==，当EH 的长度为多少时，AQG V 为等腰三角形？【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②当EH 的长度为2时，AQG V 为等腰三角形【分析】（1）由旋转的性质得AH=AG ，∠HAG=90°，从而得∠BAH=∠CAG ，进而即可得到结论；（2）①由AHB AGC V V ≌，得AH=AG ，再证明AEH AFG V V ≌，进而即可得到结论；②AQG V 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∠QAG=∠QGA=45°时，（b ）当∠GAQ=∠GQA=67.5°时，（c ）当∠AQG=∠AGQ=45°时，分别画出图形求解，即可．【详解】解：（1）∵线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90°得到AG ，∴AH=AG ，∠HAG=90°，∵在等腰直角三角形ABC 中，90BAC Ð=°，AB=AC ，∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG ，∴AHB AGC V V ≌；（2）①∵在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC ，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴AE=AF ，AEF V 是等腰直角三角形，∵AH=AG ，∠BAH =∠CAG ，∴AEH AFG V V ≌，∴∠AEH=∠AFG=45°，∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：90HFG Ð=°；②∵4AB AC ==，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴AE=AF=2，∵∠AGH=45°，AQG V 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∠QAG=∠QGA=45°时，如图，则∠HAF=90°-45°=45°，∴AH 平分∠EAF ，∴点H 是EF 的中点，∴12==（b）当∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∠EAH=∠GAQ=67.5°，∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠EHA=∠EAH，∴EH=EA=2；（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，V为等腰三角形．综上所述：当EH的长度为2时，AQG【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．3.（2021·四川中考真题）在等腰ABC V 中，AB AC =，点D 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），连结AD ．（1）如图1，若60C Ð=°，点D 关于直线AB 的对称点为点E ，结AE ，DE ，则BDE Ð=________；（2）若60C Ð=°，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AE ，连结BE ．①在图2中补全图形；②探究CD 与BE 的数量关系，并证明；（3）如图3，若AB AD k BC DE==，且ADE C Ð=Ð，试探究BE 、BD 、AC 之间满足的数量关系，并证明．【答案】（1）30°；（2）①见解析；②CD BE =；见解析；（3）()AC k BD BE =+，见解析【分析】（1）先根据题意得出△ABC 是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可（2）①按要求补全图即可②先根据已知条件证明△ABC 是等边三角形，再证明AEB ADC △≌△，即可得出CD BE=（3）先证明AC BC AD DE=，再证明ACB ADE △∽△，得出BAC EAD Ð=Ð，从而证明AEB ADC △≌△，得出BD BE BC +=，从而证明()AC k BD BE =+【详解】解：（1）∵AB AC =，60C Ð=°∴△ABC 是等边三角形∴∠B=60°∵点D 关于直线AB 的对称点为点E∴AB ⊥DE ，∴BDE Ð=30°故答案为：30°；（2）①补全图如图2所示；②CD 与BE 的数量关系为：CD BE =；证明：∵AB AC =，60BAC Ð=°．∴ABC V 为正三角形，又∵AD 绕点A 顺时针旋转60°，∴AD AE =，60EAD Ð=°，∵60BAD DAC Ð+Ð=°，60BAD BAE Ð+Ð=°，∴BAE DAC Ð=Ð，∴AEB ADC △≌△，∴CD BE =．（3）连接AE ．∵AB AD k BC DE ==，AB AC =，∴AC AD BC DE=．∴AC BC AD DE =．又∵ADE C Ð=Ð，∴ACB ADE △∽△，∴BAC EAD Ð=Ð．∵AB AC =，∴AE AD =，∴BAD DAC BAD BAE Ð+Ð=Ð+Ð，∴DAC BAE Ð=Ð，∴AEB ADC △≌△，CD BE =．∵BD DC BC +=，∴BD BE BC +=．又∵AC k BC=，∴()AC k BD BE =+．【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点4.（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转()090αα°<≤°，得到矩形'''AB C D [探究1]如图1，当90α=°时，点'C 恰好在DB 延长线上．若1AB =，求BC 的长．[探究2]如图2，连结'AC ，过点'D 作'//'D M AC 交BD 于点M ．线段'D M 与DM 相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB 分别交'AD ，'AC 于点P ，N （如图3），MN ，PN 存在一定的数量关系，并加以证明．【答案】[探究1]BC =；[探究2]'D M DM =，证明见解析；[探究3]2MN PN DN =×，证明见解析【分析】[探究1] 设BC x =，根据旋转和矩形的性质得出''//D C DA ，从而得出''D C B ADB D D ∽，得出比例式'''D C D B AD AB=，列出方程解方程即可；[探究2] 先利用SAS 得出''AC D DBA D D ≌，得出'DAC ADB Ð=Ð，'ADB AD M Ð=Ð，再结合已知条件得出''MDD MD D Ð=Ð，即可得出'D M DM =；[探究3] 连结AM ，先利用SSS 得出ADM ADM D D ≌，从而证得MN AN =，再利用两角对应相等得出NPA NAD D D ∽，得出PN AN AN DN=即可得出结论．【详解】[探究1]如图1，设BC x =．∵矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90°得到矩形'''AB C D ，∴点A ，B ，'D 在同一直线上．∴'AD AD BC x ===，'1DC AB AB ===，∴''1D B AD AB x =-=-．∵'90BAD D Ð=Ð=°，∴//D C DA ¢¢．又∵点'C 在DB 延长线上，∴''D C B ADB D D ∽，∴''D C AD 1x =解得1x =2x （不合题意，舍去）∴BC =[探究2] 'D M DM =．证明：如图2，连结'DD ．∵'//'D M AC ，∴'''AD M D AC Ð=Ð．∵'AD AD =，''90AD C DAB Ð=Ð=°，''D C AB =，∴()''AC D DBA SAS D D ≌．∴'D AC ADB ¢Ð=Ð，'ADB AD M Ð=Ð，∵AD AD =，''ADD AD D Ð=Ð，∴''MDD MD D Ð=Ð，∴'D M DM =．[探究3]关系式为2MN PN DN =×．证明：如图3，连结AM ．∵'D M DM =，'AD AD =，AM AM =，∴()ADM AD M SSS ¢D D ≌．∴'MAD MAD Ð=Ð，∵AMN MAD NDA Ð=Ð+Ð，'NAM MAD NAP Ð=Ð+Ð，∴AMN NAM Ð=Ð，∴MN AN =．在NAP D 与NDA D 中，ANP DNA Ð=Ð，NAP NDA Ð=Ð，∴NPA NAD D D ∽，∴PN AN AN DN=，∴2AN PN DN =×．∴2MN PN DN =×．【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．5.（2021·浙江中考真题）如图，在菱形ABCD 中，ABC Ð是锐角，E 是BC 边上的动点，将射线AE 绕点A 按逆时针方向旋转，交直线CD 于点F ．（1）当AE BC EAF ABC ，^Ð=Ð时，①求证：AE AF =；②连结BD EF ，，若25EF BD =，求ABCDn ＡＥＦ菱形ＳＳ的值；（2）当12EAF BAD Ð=Ð时，延长BC 交射线AF 于点M ，延长DC 交射线AE 于点N ，连结AC MN ，，若42AB AC ==，，则当CE 为何值时，AMN V 是等腰三角形．【答案】（1）①见解析；②825；（2）当43CE =或2或45时，AMN V 是等腰三角形．【分析】（1）根据菱形的性质得到边相等，对角相等，根据已知条件证明出BAE DAF Ð=Ð，得到ABE ADF V V ≌，由=AE AF ，CE CF =，得到AC 是EF 的垂直平分线，得到//EF BD ，CEF CBD ∽△△，再根据已知条件证明出AEF BAC V V ∽，算出面积之比；（2）等腰三角形的存在性问题，分为三种情况：当AM AN =时，ANC MAC V V ≌，得到CE=43；当NA NM =时，CEN BEA V V ≌，得到CE=2；当=MA MN 时，CEN BEA ∽△△，得到CE=45．【详解】（1）①证明：在菱形ABCD 中，//AB AD ABC ADC AD BC ，，=Ð=Ð，AE BC AE AD Q ，^\^，90ABE BAE EAF DAF \Ð+Ð=Ð+Ð=°，,EAF ABC BAE DAF Ð=Ð\Ð=ÐQ ，∴ABE ADF V V ≌（ASA），∴=AE AF ．②解：如图1，连结AC ．由①知，ABE ADF BE DF CE CF V V ≌，，\=\=，AE AF AC EF Q ，=\^．在菱形ABCD 中，//AC BD EF BD CEF CBD V V ，，∽^\\，∴25EC EF BC BD ==，设=2EC a ，则534AB BC a BE a AE a ，，===\=．AE AF AB BC EAF ABC Q ，，==Ð=Ð，∴AEF BAC V V ∽，∴22625=415AEF BAC S AE a S AB a V V æöæöç÷ç÷==ç÷ç÷èøèø，∴1168222525AEF AEF BAC ABCD S S S S V V V 菱形==´=．（2）解：在菱形ABCD 中，1122BAC BAD EAF BAD Q ，Ð=ÐÐ=Ð，BAC EAF BAE CAM ，\Ð=Ð\Ð=Ð，//C AB CD BAE AN ANC CAM Q ，，\Ð=Ð\Ð=Ð，同理，AMC NAC Ð=Ð，∴AC AM MAC ANC CN NAV V ∽，\=．AMN V 是等腰三角形有三种情况：①如图2，当AM AN =时，ANC MAC V V ≌，2CN AC \==，//AB CN CEN BEA Q V V ，∽\，142CE CN AB BE AB Q ，=\==，14433BC CE BC Q ，=\==．②如图3，当NA NM =时，NMA NAM BAC BCA Ð=Ð=Ð=Ð，12AM AC ANM ABC AN AB V V ∽，\==，24CN AC CEN BEA V V ，≌\==\，∴122CE BE BC ===．③如图4，当=MA MN 时，MNA MAN BAC BCA AMN ABC V V ，∽Ð=Ð=Ð=Ð\，1212AM AB CN AC AN AC ，\==\==，14CE CN CEN BEA BE AB QV V ∽，\==，1455CE BC \==．综上所述，当43CE =或2或45时，AMN V 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、相似三角形的判定与性质、菱形中等腰三角形的存在性问题，解决本题的关键在于画出三种情况的等腰三角形（利用两圆一中垂），通过证明三角形相似，利用相似比求出所需线段的长．6.（2020·山东中考真题）在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，ADE V 是直角三角形，∠DAE ＝90°，∠ADE ＝12∠ACB ，连接BD ，BE ，点F 是BD 的中点，连接CF ．（1）当∠CAB ＝45°时．①如图1，当顶点D 在边AC 上时，请直接写出∠EAB 与∠CBA 的数量关系是．线段BE 与线段CF 的数量关系是；②如图2，当顶点D 在边AB 上时，（1）中线段BE 与线段CF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC 底边上的高CM ，并取BE 的中点N ，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE 的中点G ，连接AG ，CG ，并把CAG V 绕点C 逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．（2）当∠CAB ＝30°时，如图3，当顶点D 在边AC 上时，写出线段BE 与线段CF 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①EAB ABC Ð=Ð，12CF BE =；②仍然成立，证明见解析；（2）BE =，理由见解析．【分析】（1）①如图1中，连接BE ，设DE 交AB 于T ．首先证明,,AD AE BD BE ==再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．②解法一：如图2﹣1中，取AB 的中点M ，BE 的中点N ，连接CM ，MN ．证明CMF BMN V V ≌（SAS ），可得结论．解法二：如图2﹣2中，取DE 的中点G ，连接AG ，CG ，并把CAG V 绕点C 逆时针旋转90°得到CBT V ，连接DT ，GT ，BG ．证明四边形BEGT 是平行四边形，四边形DGBT 是平行四边形，可得结论．（2）结论：BE ＝．如图3中，取AB 的中点T ，连接CT ，FT ．证明BAE CTF V V ∽，可得结论．【详解】解：（1）①如图1中，连接BE ，设DE 交AB 于T ．∵CA＝CB，∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠ACB＝90°，∵∠ADE＝12∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AD＝AE，90,DAEÐ=°Q45, EAB DAT ABC\Ð=Ð=Ð=°∴AT⊥DE，DT＝ET，∴AB垂直平分DE，∴BD＝BE，∵∠BCD＝90°，DF＝FB，∴CF＝12BD，∴CF＝12BE．故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝12BE．②结论不变．解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．∵∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，AM ＝BM ，∴CM ⊥AB ，CM ＝BM ＝AM ，由①得：,AD AE =设AD ＝AE ＝y ．FM ＝x ，DM ＝a ，Q 点F 是BD 的中点，则DF ＝FB ＝a+x ，∵AM ＝BM ，∴y+a ＝a+2x ，∴y ＝2x ，即AD ＝2FM ，∵AM ＝BM ，EN ＝BN ，∴AE ＝2MN ，MN ∥AE ，∴MN ＝FM ，∠BMN ＝∠EAB ＝90°，∴∠CMF ＝∠BMN ＝90°，∴CMF BMN V V ≌（SAS ），∴CF ＝BN ，∵BE ＝2BN ，∴CF ＝12BE ．解法二：如图2﹣2中，取DE 的中点G ，连接AG ，CG ，并把△CAG 绕点C 逆时针旋转90°得到CBT V ，连接DT ，GT ，BG ．∵AD ＝AE ，∠EAD ＝90°，EG ＝DG ，∴AG ⊥DE ，∠EAG ＝∠DAG ＝45°，AG ＝DG ＝EG ，∵∠CAB ＝45°，∴∠CAG ＝90°，∴AC ⊥AG ，∴AC ∥DE ，∵∠ACB ＝∠CBT ＝90°，//,AC BT \∴AC ∥BT ∥DE ，∵AG ＝BT ，∴DG ＝BT ＝EG ，∴四边形BEGT 是平行四边形，四边形DGBT 是平行四边形，∴BD 与GT 互相平分，,BE GT =∵点F 是BD 的中点，∴BD 与GT 交于点F ，∴GF ＝FT ，由旋转可得；,90,CG CT GCT =Ð=°\ GCT V 是等腰直角三角形，∴CF ＝FG ＝FT ，∴CF ＝12BE ．（2）结论：BE ＝．理由：如图3中，取AB 的中点T ，连接CT ，FT ．∵CA ＝CB ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝30°，∠ACB ＝120°，∵AT ＝TB ，∴CT ⊥AB ，tan 30CT AT \°==∴AT ，∴AB ＝，∵DF ＝FB ，AT ＝TB ，∴TF ∥AD ，AD ＝2FT ，∴∠FTB ＝∠CAB ＝30°，∵∠CTB ＝∠DAE ＝90°，∴∠CTF ＝∠BAE ＝60°，∵∠ADE ＝12∠ACB ＝60°，tan 60AE AD\°==∴AE ＝，∴AB AE CT FT==，∴BAE CTF V V ∽，∴BE BA CF CT ==，∴BE =．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．7.（2021·江苏中考真题）已知正方形ABCD 与正方形AEFG ，正方形AEFG 绕点A 旋转一周．(1)如图①，连接BG 、CF ，求CF BG的值；(2)当正方形AEFG 旋转至图②位置时，连接CF 、BE ，分别去CF 、BE 的中点M 、N ，连接MN 、试探究：MN 与BE 的关系，并说明理由；(3)连接BE 、BF ，分别取BE 、BF 的中点N 、Q ，连接QN ，AE=6，请直接写出线段QN 扫过的面积．【答案】（12）1;2MN BE MN BE ^=；（3）9p 【分析】（1）由旋转的性质联想到连接AF AC 、，证明CAF BAG D D ∽即可求解；（2）由M 、N 分别是CF 、BE 的中点，联想到中位线，故想到连接BM 并延长使BM=MH ，连接FH 、EH ，则可证BMC HMF D D ≌即可得到HF BC BA ==，再由四边形BEFC 内角和为360°可得BAC HFE Ð=Ð，则可证明BAE HFE D D ≌，即BHE D 是等腰直角三角形，最后利用中位线的性质即可求解；（3）Q 、N 两点因旋转位置发生改变，所以Q 、N 两点的轨迹是圆，又Q 、N 两点分别是BF 、BE 中点，所以想到取AB 的中点O ，结合三角形中位线和圆环面积的求解即可解答．【详解】解：（1）连接AF AC、Q 四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形,,90AB BC AG FG BAD GAE CBA AGF \==Ð=Ð=Ð=Ð=°Q AF AC 、分别平分,EAG BADÐÐ45BAC GAF \Ð=Ð=°BAC CAG GAF CAG \Ð+Ð=Ð+Ð即BAG CAFÐ=Ð且,ABC AGF D D 都是等腰直角三角形AC AF AB AG\==CAF BAG \D D ∽CF AC BG AB \==（2）连接BM 并延长使BM=MH ，连接FH 、EHM Q 是CF 的中点CM MF\=又CMB FMHÐ=ÐCMB FMH\D D ≌,BC HF BCM HFM\=Ð=Ð在四边形BEFC 中360BCM CBE BEF EFC Ð+Ð+Ð+Ð=°又90CBA AEF Ð=Ð=°3609090180BCM ABE AEB EFC \Ð+Ð+Ð+Ð=°-°-°=°即180HFM EFC ABE AEB Ð+Ð+Ð+Ð=°即180HFE ABE AEB Ð+Ð+Ð=°180BAE ABE AEB Ð+Ð+Ð=°Q HFE BAE\Ð=Ð又四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形,BC AB FH EA EF\===BAE HFE\D D ≌.BE HE BEA HEF\=Ð=Ð90HEF HEA AEF Ð+Ð=Ð=°Q 90BEA HEA BEH\Ð+Ð=°=Ð\三角形BEH 是等腰直角三角形Q M 、N 分别是BH 、BE 的中点1//,2MN HE MN HE \=190,2MNB HEB MN BE \Ð=Ð=°=1,2MN BE MN BE \^=（3）取AB 的中点O ，连接OQ 、ON ，连接AF在ABF D 中，O 、Q 分别是AB 、BF 的中点12OQ AF \=同理可得12ON AE =AF ==Q3OQ ON \==所以QN扫过的面积是以O为圆心，3为半径的圆环的面积(2239\=-=．S p p p【点睛】本题考察旋转的性质、三角形相似、三角形全等、正方形的性质、中位线的性质与应用和动点问题，属于几何综合题，难度较大．解题的关键是通过相关图形的性质做出辅助线．8.（2020•内江）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．（1）连结CQ，求证：AP＝CQ；（2）若AP=1AC，求CE：BC的值；4（3）求证：PF＝EQ．【分析】（1）证明△BAP≌△BCQ（SAS）可得结论．AC，可以假设AP＝CQ＝a，则（2）过点C作CH⊥PQ于H，过点B作BT⊥PQ于T．由AP=14PC＝3a，解直角三角形求出CH．BT，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）证明△PGB≌△QEB，推出EQ＝PG，再证明△PFG是等腰直角三角形即可．【解答】（1）证明：如图1，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°．∵四边形ABCD 是正方形，∴BA ＝BC ，∠ABC ＝90°．∴∠ABC ＝∠PBQ ．∴∠ABC ﹣∠PBC ＝∠PBQ ﹣∠PBC ，即∠ABP ＝∠CBQ ．在△BAP 和△BCQ 中，∵BA =BC ∠ABP =∠CBQ BP =BQ，∴△BAP ≌△BCQ （SAS ）．∴CQ ＝AP ．（2）解：过点C 作CH ⊥PQ 于H ，过点B 作BT ⊥PQ 于T ．∵AP =14AC ，∴可以假设AP ＝CQ ＝a ，则PC ＝3a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，∵△ABP ≌△CBQ ，∴∠BCQ ＝∠BAP ＝45°，∴∠PCQ ＝90°，∴PQ ==，∵CH ⊥PQ ，∴CH =PC ⋅CQ PQ =，∵BP ＝BQ ，BT ⊥PQ ，∴PT ＝TQ ，∵∠PBQ ＝90°，∴BT =12PQ =，∵CH ∥BT ，∴CEEB =CH BT ==35，∴CE CB =38．（3）解：结论：PF ＝EQ ，理由是：如图2，当F 在边AD 上时，过P 作PG ⊥FQ ，交AB 于G ，则∠GPF ＝90°，∵∠BPQ＝45°，∴∠GPB＝45°，∴∠GPB＝∠PQB＝45°，∵PB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∴△PGB≌△QEB，∴EQ＝PG，∵∠BAD＝90°，∴F、A、G、P四点共圆，连接FG，∴∠FGP＝∠FAP＝45°，∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF＝PG，∴PF＝EQ．9.（2020•郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①结论：△AGD≌△CED．根据SAS证明即可．②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．解直角三角形求出AT，GT，再利用相似三角形的性质求解即可．（2）①如图3中，设AD交PC于O．利用全等三角形的性质，解决问题即可．②因为∠CPA＝90°，AC是定值，推出当∠ACP最小时，PC的值最大，推出当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中）．【解析】（1）①如图2中，结论：△AGD≌△CED．理由：∵四边形EFGD是正方形，∴DG＝DE，∠GDE＝90°，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠GDE＝∠ADC，∴∠ADG＝∠CDE，∴△AGD≌△CED（SAS）．②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．∵△AGD≌△CED，CD＝CE，∴AD＝AG＝4，∵AT⊥GD，∴TG＝TD＝1，∴AT==∵EF∥DG，∴∠GHF＝∠AGT，∵∠F＝∠ATG＝90°，∴△GFH∽△ATG，∴GHAG =FGAT，=∴GH∴GH=（2）①如图3中，设AD交PC于O．∵△AGD≌△CED，∴∠DAG＝∠DCE，∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，∴∠AOP+∠DAG＝90°，∴∠APO＝90°，∴CP⊥AG．②∵∠CPA＝90°，AC是定值，∴当∠ACP最小时，PC的值最大，∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2，∴EC==∵EF＝DE＝2，∴CP＝CE+EF＝∴PC的最大值为。

备战中考数学——旋转的综合压轴题专题复习含答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；（2）如图②，当CQ在∠ACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为_____；（3）在（1）的条件下，若CD=6，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．【答案】(1)见解析（2）AD=BE+DE （3）8【解析】试题分析：（1）延长DA到F，使DF=DE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得证；（2）在AD上截取DF=DE，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得到AD=BE+DE；（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD，然后求出AD的长，再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解．试题解析：（1）证明：如图①，延长DA到F，使DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°．又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，∵CE CFACF BCEAC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，即AD+BE=DE；（2）解：如图②，在AD上截取DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°．又∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，∵CE CFACF BCEAC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD=AF+DF=BE+DE，即AD=BE+DE；故答案为：AD=BE+DE．（3）∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=45°+45°=90°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴CD=DF=DE=6．∵S△BCE=2S△ACD，∴AF=2AD，∴AD=1×6=2，∴AE=AD+DE=2+6=8．12点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，但难度不是很大，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．2．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM 上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，猜想：△CDE的形状是三角形．（2）请证明（1）中的猜想（3）设OD=m，①当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）3；②当m=2或14时，以D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形．【解析】【分析】（1）由旋转的性质猜想结论；（2）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（3）①当6＜m＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；②存在，分四种情况讨论：a）当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；b）当0≤m＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m；c）当6＜m＜10时，此时不存在；d）当m＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m=14．【详解】（1）等边；（2）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形．（3）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得：BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=23，∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4；②存在，分四种情况讨论：a）∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；b）当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°．∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°．∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴m=2；c）当6＜m＜10时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；d）当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14，∴m=14．综上所述：当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．3．如图①，在ABCD中，AB=10cm，BC=4cm，∠BCD=120°，CE平分∠BCD交AB于点E.点P从A点出发，沿AB方向以1cm/s的速度运动，连接CP，将△PCE绕点C逆时针旋转60°，使CE与CB重合，得到△QCB，连接PQ.（1）求证：△PCQ是等边三角形；（2）如图②，当点P在线段EB上运动时，△PBQ的周长是否存在最小值？若存在，求出△PBQ周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图③，当点P在射线AM上运动时，是否存在以点P、B、Q为顶点的直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.（1）（2）（3）【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析；（3）t为2s或者14s.【解析】分析：（1）根据旋转的性质，证明△PCE≌△QCB，然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质证得△BCE为等边三角形，然后根据全等三角形的性质得到△PBQ的周长为4+CP，然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可；（3）根据点的移动的距离，分类讨论求解即可.详解：（1）∵旋转∴△PCE≌△QCB∴CP=CQ，∠PCE =∠QCB，∵∠BCD=120°，CE平分∠BCD，∴∠PCQ=60°，∴∠PCE +∠QCE=∠QCB+∠QCE=60°，∴△PCQ为等边三角形.（2）存在∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=60 ，∵在平行四边形ABCD 中，∴AB∥CD∴∠ABC=180°﹣120°=60°∴△BCE为等边三角形∴BE=CB=4∵旋转∴△PCE≌△QCB∴EP=BQ，∴C△PBQ=PB+BQ+PQ=PB+EP+PQ=BE+PQ=4+CP∴CP⊥AB时，△PBQ周长最小当CP⊥AB时，CP=BCsin60°=∴△PBQ周长最小为4＋（3）①当点B与点P重合时，P,B,Q不能构成三角形②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠CPE=∠CQB，∠CPQ=∠CPB+∠BPQ=60°则：∠BPQ+∠CQB＝60°，又∵∠QPB+∠PQC+∠CQB+∠PBQ=180°∴∠CBQ=180°—60°—60°=60°∴∠QBP=60°，∠BPQ＜60°，所以∠PQB可能为直角由（1）知，△PCQ为等边三角形，∴∠PBQ=60°，∠CQB＝30°∵∠CQB＝∠CPB∴∠CPB=30°∵∠CEB＝60°，∴∠ACP＝∠APC=30°∴PA=CA=4，所以AP=AE-EP=6-4=2÷=s所以t＝212③当6＜t＜10时，由∠PBQ＝120°＞90°，所以不存在④当t＞10时，由旋转得：∠PBQ=60°，由（1）得∠CPQ=60°∴∠BPQ=∠CPQ+∠BPC=60°+∠BPC，而∠BPC＞0°，∴∠BPQ＞60°∴∠BPQ=90°，从而∠BCP=30°，所以AP=14cm所以t=14s综上所述：t为2s或者14s时，符合题意。

专题46 以正方形为基础的图形的旋转变换问题(解析版)

专题46 以正方形为基础的图形的旋转变换问题【例题精讲】根据图形回答问题：（1）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作等边三角形，试回答△ACE可看作哪个三角形怎么样旋转得到．（不用说明理由）（2）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作正方形，连接DG，M为DG中点，连接EM并延长交FG于N，连接FM，猜测FM和EM的关系，并说明理由．（3）在（2）的基础上将正方形CBGF绕C点旋转，其它条件不变，猜测FM和EM的关系，并说明理由．解：（1）将△ACE以点C为旋转中心，顺时针方向旋转60°后得到△DCB，所以可得△ACE可以由△DCB以C点为轴逆时针旋转60度得到．（2）FM△ME ，FM=ME ，连接GN 和DE ，在△DME 和△GMN 中，MDE MHG DME GMN DM MG ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，△△DME△△GMN （AAS ），△DM=MN ，DE=NG ，△FN=FG -NG=FG -DE=FC -EC=FE ，△△NFE 是等腰直角三角形，△FM△ME ，并且FM=ME （等腰三角形中线就是垂线，直角三角形中线等于斜边的一半）（3）延长EM 至N 点，使EM=MN ，连接NG 、EF 、FN ．（EC 与DM 的交点标为P ，FC 与DM 交点标为Q ）在△DME 和△GMN 中，EM MN DME GMN DM MG ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，△△DME△△GMN ．△DE=NG ，△EDM=△NGM ，△EC=NG ，△△ECF=180°-△CPQ -△CQP=180°-△DPE -△FQG=180°-（90°-△MDE ）-（90°-△FGM ）=△EDM+△FGM ，△△NGM+△FGM=△NGF ，△△ECF=△NGF ，△EC=DE=NG ，在△ECF 和△NGF 中，FC FG ECF NGF EC NG ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，△△ECF△△NGF ，△EF=NF ，△EFC=△NFG ，△△EMN=△EFC+△CFN=△NFG+△CFN=△CFG=90°，△△EFN 是等腰直角三角形，△FM△EM ，并且FM=EM 。

2022年九年级数学复习专题---图形的变换(平移、翻折、旋转)综合问题题

2022年中考数学复习专题---图形的变换（平移、翻折、旋转）综合题班级：___________姓名：___________学号：___________1．综合与实践问题情境：综合与实践课上，同学们以“三角形纸片的折叠与旋转“为主题展开数学活动，探究有关的数学问题．动手操作：已知：三角形纸片ABC 中，6120AB AC BC BAC ==∠=︒，，.将三角形纸片ABC 按如下步骤进行操作：第一步：如图1，折叠三角形纸片ABC ，使点C 与点A 重合，然后展开铺平，折痕分别交BC AC ，于点D E ，，连接AD ，易知AD CD =．第二步：在图1的基础上，将三角形纸片ABC 沿AD 剪开，得到ABD ∆和ACD ∆.保持ABD ∆的位置不变，将ACD ∆绕点D 逆时针旋转得到FDG ∆(点F G ，分别是A C ，的对应点)，旋转角为()0360αα︒<<︒问题解决：（1）如图2，小彬画出了旋转角0120α︒<<︒时的图形，设线段FG AC ，交于点P ，连接AG DP ，.小彬发现DP 所在直线始终垂直平分线段AG .请证明这一结论；（2）如图3，小颖画出了旋转角90α=︒时的图形，设直线AF 与直线CG 相交于点O ，连接CF 判断此时COF ∆的形状，说明理由；（3）在ACD ∆绕点D 逆时针旋转过程中，当FG BC ⊥时，请直接写出B F ，两点间的距离．2．如图，△ABC 中，已知∠C=90°，∠B=60°，点D 在边BC 上，过D 作DE ⊥AB 于E ．（1）连接AD ，取AD 的中点F ，连接CF ，EF ，判断△CEF 的形状，并说明理由（2）若．把△BED 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m=3．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，30AB ABD =∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小明在图1中发现AEDF=_________．将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，连接,AE DF ，如图2所示，发现AEDF=_________．（2）小亮同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，连接,AE DF ，旋转至如图3所示位置，请问探究（1）中的结论是否仍然成立?并说明理由．拓展延伸：（3）在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，AE 的长为____________．4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 平分ACB ∠．P 为边BC 上一动点，将DPB 沿着直线DP 翻折到DPE ，点E 恰好落在CDP 的外接圆O 上．（1）求证：D 是AB 的中点．（2）当60BDE ∠=︒，BP =DC 的长．（3）设线段DB 与O 交于点Q ，连结QC ，当QC 垂直于DPE 的一边时，求满足条件的所有QCB ∠的度数．5．如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点,F E ，使OF=2OA ，OE 2OD =，连接EF ，将FOE ∆绕点O 按逆时针方向旋转角α得到F OE ''∆，连接,AE BF ''（如图2）．（1）探究AE '与BF '的数量关系，并给予证明；（2）当30α=︒时，求证：AOE '为直角三角形．6．如图，在△ABC 中，AB =∠B =45°，∠C =60°．（1）求BC 边上的高线长．（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将△AEF 折叠得到△PEF ． ①如图2，当点P 落在BC 上时，求∠AEP 的度数． ②如图3，连结AP ，当PF ⊥AC 时，求AP 的长．7．如图1，点C 在线段AB 上，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形BCMN ，连结AM 、BD ．（1）AM与BD的关系是：________．（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α(如图2)．(1) 中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）在(2)的条件下，连接AB、DM，若AC=4，BC=2，求AB2+DM2的值．8．已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；（不用证明）（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．9．如图，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．(1)如图，当BP=BA时，∠EBF=______°，猜想∠QFC =______°；(2)如图，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明．(3)已知线段AB＝BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．10．我们知道，直角坐标系是研究“数形结合”的重要工具．请探索研究下列问题：（1）如图1，点A 的坐标为（-5，1），将点A 绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转90°，得对应点A '，若反比例函数(0)k y x x=>的图像经过点A '，求k 的值．（2）将（1）中的(0)ky x x =>的图像绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转45°，如图2，旋转后的图像与x 轴相交于点B ，若直线x =C 与点D ，求△BCD 的面积．（3）在（2）的情况下，半径为6的M 的圆心M 在x 轴上，如图3，若要使△BCD 完全在M 的内部，求M 的圆心M 横坐标xm 的范围（直接写出结果，不必写详细的解答过程）．11．对于平面直角坐标系xOy 中的点A 和点P ，若将点P 绕点A 逆时针旋转90︒后得到点Q ，则称点Q 为点P 关于点A 的“垂链点”，图1为点P 关于点A 的“垂链点”Q 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(0,0)，点P 关于点A 的“垂链点”为点Q ；①若点P 的坐标为(2,0)，则点Q 的坐标为________； ②若点Q 的坐标为(2,1)-，则点P 的坐标为________；（2）如图2，已知点C 的坐标为(1,0)，点D 在直线113y x =+上，若点D 关于点C 的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D 的坐标；（3）如图3，已知图形G 是端点为(1,0)和(0,2)-的线段，图形H 是以点O 为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M 为图形G 上的动点，点N 为图形H 上的动点，若存在点(0,)T t ，使得点M 关于点T 的“垂链点”恰为点N ，请直接写出t 的取值范围．12．如图，正比例函数y ＝12x 与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点A ，将正比例函数y ＝12x 向上平移6个单位，交y 轴于点C ，交反比例函数图象于点B ，已知AO ＝2BC ．（1）求反比例函数解析式；（2）作直线AB ，将直线AB 向下平移p 个单位，恰与反比例函数图象有唯一交点，求p 的值．13．综合与实践：问题情境：（1）如图，点E 是正方形ABCD 边CD 上的一点，连接BD 、BE ，将DBE ∠绕点B 顺针旋转90︒，旋转后角的两边分别与射线DA 交于点F 和点G ．①线段BE 和BF 的数量关系是______．②写出线段DE 、DF 和BD 之间的数量关系．并说明理由；操作探究：（2）在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 是菱形ABCD 边CD 所在直线上的－点，连接BD 、BE ，将DBE ∠绕点B 顺时针旋转120︒，旋转后角的两边分别与射线DA 交于点F 和点G ．①如图，点E 在线段DC 上时，请探究线段DE 、DF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图，点E在线段CD的延长线上时，BE交射线DA于点M，若2==，直接写出线段FM和AGDE DC a的长度．14．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝4．固定△ABC不动，将△DEF 进行如下操作：(1)操作发现如图①，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连接DC，CF，FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，那么它的面积大小是否变化呢?如果不变化，请求出其面积．(2)猜想论证如图②，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．(3)拓展探究如图③，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，求sinα翻折问题姓名：___________班级：___________学号：___________1．如图将矩形纸片ABCD 沿AE 翻折，使点B 落在线段DC 上，对应的点为F ．（1）求证：EFC DAF ∠=∠；（2）若3tan 4AE EFC =∠=，求AB 的长．2．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2,AD 是BC 边上的中线，将A 点翻折与点D 重合，得到折痕EF ，求:CE AE 的值.3．如图，点A ，M ，N 在O 上，将MN 沿MN 折叠后，与AM 交于点B ．（1）若70MAN ∠=︒，则ANB ∠=________°；（2）如图1，点B 恰好是翻折所得MN 的中点， ①若MA MN =，求AMN ∠的度数；②若tan MAN ∠=tan AMN ∠的值；（3）如图2，若222AB BN MN +=，求MBAB的值．4．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝m ，点E 是边BC 上一点，BE ＝1，连接AE ，沿AE 翻折△ABE 使点B 落在点F 处．（1）连接CF ，若CF ∥AE ，求m 的值；（2）连接DF ，若65≤DF ，求m 的取值范围．5．如图1，一张矩形纸ABCD ，ABa AD=，点,E F 分别在边,CD AB 上，且AE EF =，把ADE 沿AE 翻折得到AGE ．（1）如图1，若1AD =．（Ⅰ）当AD DE =时，AFE ∠=_____度；（Ⅱ）当//AG EF 时，求AF 的长度．（2）若直线EG 与边AB 交于点H ，当2AH FH =时，求a 的最小值．6．如图，在折纸游戏中，正方形ABCD 沿着BE ，BF 将BC ，AB 翻折，使A ，C 两点恰好落在点P ．（1）求证：45EBF ∠=︒．（2）如图，过点P 作//MN BC ，交BF 于点Q ． ①若5BM =，且10MP PN ⋅=，求正方形折纸的面积． ②若12QP BC =，求AM BM的值．7．如图，在ABC 中，12,120AC BC ACB ==∠=︒，点D 是AB 边上一点，连接CD ，以CD 为边作等边CDE △．（1）如图1，若45CDB ∠=︒，求等边CDE △的边长；（2）如图2，点D 在AB 边上移动过程中，连接BE ，取BE 的中点F ，连接,CF DF ，过点D 作DG AC ⊥于点G ． ①求证：CFDF ．②如图3，将CFD 沿CF 翻折得CFD '，连接BD '，求出BD '的最小值．8．在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 是边BC 上一动点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对应点为点B '．（1）如图，设BE x =，BC =E 从B 点运动到C 点的过程中． ①AB CB ''+最小值是______，此时x =______； ②点B '的运动路径长为．（2）如图，设35BE a =，当点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上时，求a 的值．9．如图1，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CD 边的垂直平分线EH 交BD 于点E ，连接AE ，CE ．（1）过点A 作//AF EC 交BD 于点F ，求证：AF BF =；（2）如图2，将ABE △沿AB 翻折得到'ABE △．①求证：'//BE CE ；②若'//AE BC ，1OE =，求CE 的长度．10．如图，矩形ABCD 中，已知6AB =．8BC =，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ．将ABE △沿直线AE 翻折，点B 的对应点为点B '，延长AB '交直线CD 于点M ．（1）如图1，若点B '恰好落在对角线AC 上，求BE CE的值．（2）如图2．当点E 为BC 的中点时，求DM 之长．（3）若32BE CE =，求sin DAB '∠．11．【基础巩固】（1）如图①，ABC ACD CED α∠=∠=∠=，求证：ABC CED ∽△△．【尝试应用】（2）如图②，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E ，F 分别为边,AD AB 上两点，将菱形ABCD 沿EF 翻折，点A 恰好落在对角线DB 上的点P 处，若2PD PB =，求AE AF的值．【拓展提高】（3）如图③，在矩形ABCD 中，点P 是AD 边上一点，连接,PB PC ，若2,4,120PA PD BPC ==∠=︒，求AB 的长．12．如图，在ABC 中，60B ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，AB CE =．（1）如图1，将ABD △沿AD 翻折到AFD ，AF 交CE 于点G ，探索线段AB 、AG 、CG 之间有何等量关系，并加以证明；（2）如图2，H 为直线BC 上任意一点，连接AH ，将AH 绕点A 逆时针旋转60°到AH '，连接CH '，若BD =，求CH '的最小值．13．如图，在矩形ABCD 中，12BC AB =，F 、G 分别为AB 、DC 边上的动点，连接GF ，沿GF 将四边形AFGD 翻折至四边形EFGP ，点E 落在BC 上，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O（1）GF 与AE 之间的位置关系是：______，GF AE 的值是：______，请证明你的结论；（2）连接CP ，若3tan 4CGP ∠=，GF =CP 的长14．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点P 在矩形的边CD 上由点D 向点C 运动.沿直线AP 翻折ADP ∆，形成如下四种情形，设DP x =，ADP ∆和矩形重叠部分（阴影）的面积为y .（1）如图4，当点P 运动到与点C 重合时，求重叠部分的面积y ；（2）如图2，当点P 运动到何处时，翻折ADP ∆后，点D 恰好落在BC 边上？这时重叠部分的面积y 等于多少？15．如图1，ABC 中，AB AC =，点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上，连接DE 、DC ，DE 交AC 于点G ，且DE DC =．（1）找出一个与BDE ∠相等的角；（2）若AB =mAD ，求DG GE的值（用含m 的式子表示）；（3）如图2，将ABC 沿BC 翻折，若点A 的对应点A '恰好落在DE 的延长线上，求BE EC的值．16．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，连接AD．（1）如图1，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当时，求AE的值．（2）如图2，在AC上取一点E，使得CE=13AC，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′交BC于点F，求证：DF=CF．。

2024年中考数学-押江苏南京卷第25-26题(二次函数的综合、三角形旋转问题)(解析版)

押江苏南京卷第25-26题押题方向一：二次函数的综合3年江苏南京卷真题考点命题趋势2023年江苏南京卷第26题二次函数的综合从近年江苏南京中考来看，二次函数的综合的考查，难度较大，综合性比较强；预计2024年江苏南京卷还将继续重视对二次函数的综合问题的考查。

2022年江苏南京卷第26题二次函数的综合2021年江苏南京卷第26题二次函数的综合1．（2023·江苏南京·中考真题）已知二次函数223(y ax ax a =-+为常数，0)a ≠．（1）若0a <，求证：该函数的图象与x 轴有两个公共点．（2）若1a =-，求证：当10x -<<时，0y >．（3）若该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x -<<<，则a 的取值范围是3a >或1a <-．【分析】（1）证明240b ac ->即可解决问题．（2）将1a =-代入函数解析式，进行证明即可．（3）对0a >和0a <进行分类讨论即可．【解答】证明：（1）因为22(2)43412a a a a --⨯⨯=-，又因为0a <，所以40a <，30a -<，所以24124(3)0a a a a -=->，所以该函数的图象与x 轴有两个公共点．（2）将1a =-代入函数解析式得，2223(1)4y x x x =-++=--+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，开口向下．则当10x -<<时，是AB 上的动点，连接EF ，G 是EF 上一点，且GFk EF=（k 为常数，0k ≠），分别过点F 、G 作AB 、EF 的垂线相交于点P ，设AF 的长为x ，PF 的长为y ．(1)若12k =，4x =，则y 的值为________；(2)求y 与x 之间的函数表达式；(3)在点F 从点A 到点B 的整个运动过程中，若线段CD 上存在点P ，则k 的值应满足什么条件？直接写出k 的取值范围．两点．（1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．即1410 93410 a aa a+-->⎧⎨---<⎩，解得a<0；②如图，当0a>时，当=1x -时，14y a =+-∴当3x =时，93y a =--解得45a >，综上，a 的取值范围为a<【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（一、二次函数的图象1.二次函数2ax y =（0≠a ）的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是坐标原点.当0>a 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0<a 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点.2.二次函数()2m x a y -=（0≠a ）的图象的顶点坐标是（m，0），对称轴是直线m x =.图象的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，抛物线开口向下.3.二次函数()k m x a y +-=2（0≠a ）的图象的顶点坐标是（m，k），对称轴是直线m x =.图象的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，抛物线开口向下.4.二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象是一条抛物线，它de 对称轴是直线2bx a=-，顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当0>a 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当0<a 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点.二、二次函数的图象与系数的关系二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的系数与图象的关系（1）a 的符号由抛物线c bx ax y ++=2的开口方向决定：0>⇔a 开口向上，0>⇔a 开口向上；（2）b 的符号由抛物线c bx ax y ++=2的对称轴的位置及a 的符号共同决定：对称轴在y 轴左侧b a ,⇔同号，对称轴在y 轴右侧b a ,⇔异号；（3）c 的符号由抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点的位置决定：与y 轴正半轴相交0>⇔c ，与y 轴正半轴相交0<⇔c 三、二次函数的图象与几何变换1.二次函数的平移（1）平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；②保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位（2）平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．2.二次函数图象的对称（1）关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；（2）关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；（3）关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4.关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．1．已知二次函数()244y x a x a =-++（a 为常数且4a ≠）．(1)求证：不论a 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点(2)设该二次函数的图象与x 轴的两个交点分别记为A 、B ，线段AB （含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为9．①直接写出a 的取值范围；②若a 为负整数，则函数()244y x a x a =-++的图像与函数y x b =+的图像的交点个数随b 的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的b 的取值范围．第二种情况：4b <-时，函数(2y x a =-+第三种情况：直线y x b =+经过(),0a 时，则第四种情况：当4b a -<<-时，有2个交点，如图示：当直线y x b =+与函数()244y x a x =-++联立直线y x b =+与函数()24y x a =-++得()244y x b y x a x a =+⎧⎨=-++-⎩，∴()2340x a x b a -+++=，由()2Δ3a =+∴第五种情况：21094a ab -+=时，直线第七种情况：当21094a ab -+>时，有2个交点，如图示：综上，当4a <时，当4b <-时，函数()244y x a x a =-++的图像与函数当4b =-时，函数()244y x a x a =-++的图像与函数当4b a -<<-或21094a ab -+≥时，函数当=-b a 时，函数()244y x a x a =-++的图像与函数当21094a a ab -+-<<时，函数(2y x =-中曲线AB 为反比例函数图像的一部分，BC 为一次函数图像的一部分．(1)求y 与x 之间的函数表达式；(2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w (万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大?最大年利润是多少?(说明：年利润=年销售利润-研发费用)(1)求证：该函数的图像与x 轴总有两个公共点；(2)若该函数图像与x 轴的两个交点坐标分别为()(),0,0x x ₁，₂，且2x x =-₁₁，求证²0a b +=；(3)若()1,A k y ，()26,B y ，()14,C k y +都在该二次函数的图像上，且212y y <<，结合函数的图像，直接写出k 的取值范围．或此时B 的横坐标小于0，不符合题意，舍去；当20k +>，即2k >-时，∵212y y <<，∴画出草图，如下：∴6262k k k k >⎧⎨+->+-⎩，解得6k >；或∴466242622k k k k k k +<⎧⎪-->+--⎨⎪--<+⎩，解得12k <<，综上，12k <<或6k >．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式等知识，明确题意，合理分类讨论，画出函数图象，数形结合列出不等式组是解答第（3）的关键．4．在二次函数221y x mx m =++-中．(1)求证：不论m 取何值，该函数图像与x 轴总有两个公共点(2)当03x ≤≤时，y 的最小值为3-，则m 的值为________．(3)当0m <时，点()2,A n a -，()4,B b ，(),C n a 都在这个二次函数的图象上，且1a b m <<-．则n 的取值范围是________．5．若一次函数y mx n =+与反比例函数k y x=同时经过点(,)P x y 则称二次函数2y mx nx k =+-为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =-与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m <<，并且一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x =存在“共享函数”2()(10)2024y m t x m t x =++--，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．（m 为常数）．(1)求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．(2)不论m 为何值，该函数的图象经过的定点坐标是．(3)在22x -≤≤的范围中，y 的最大值是2，直接写出m 的值．为常数）．(1)若4m =，3n =，求该函数图像与x 轴的两个交点之间的距离；(2)若函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个交点，将该函数的图像向右平移()0k k >个单位长度得到新函数y '的图象，且这两个函数图象与x 轴的四个交点中任意相邻两点之间的距离都相等．①若函数2y x mx n =++的图象如图所示，直接写出新函数y '的表达式；②若函数2y x mx n =++的图象经过点()1,3，当1k =时，求m n ，的值．押题方向二：三角形的旋转3年江苏南京卷真题考点命题趋势2023年江苏南京卷第27题三角形的旋转从近年江苏南京中考来看，三角形的旋转的考查，难度较大，常常与全等和相似三角形结合一起考查，综合性比较强；预计2024年江苏南京卷还将继续重视对三角形的旋转的综合问题的考查。

2023年中考数数学高频考点提升练习三角形动点问题综合(含解析)

2023年中考九年级数数学高频考点提升练习--三角形动点问题综合1．如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=3厘米，CB=2厘米．动点P从点C出发，沿CB方向以1厘米/秒的速度向B运动，动点Q从点B同时出发，沿BC方向以1厘米/秒的速度向C运动．当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，以CP为一边向上作正方形CPDE，过点Q作QF∥AB，交AC于点F．设点P的运动时间为t秒，正方形CPDE和梯形AFQB重合部分的面积为S平方厘米．（1）当t=秒时，点P于点Q重合；（2）当t=秒时，点D在QF上；（3）当点P在Q、B两点之间（不包括Q、B两点）时，求S与t之间的函数关系式．2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD△BC于D，点E、F分别从B、C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似；（2）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3：5，若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；（3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围．3．如图，直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴分别交于A、B两点，OA=8，OB=6.动点P从O点出发，沿路线O→A→B以每秒2个单位长度的速度运动，到达B点时运动停止.（1）则A点的坐标为，B两点的坐标为；（2）当点P在OA上，且BP平分△OBA时，则此时点P的坐标为；（3）设点P的运动时间为t秒（0≤t≤4），△BPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并直接写出当S=8时点P的坐标.4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，ΔDEF为直角三角形？请说明理由．5．如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE△x轴于E点，求OP−DE的值；（3）如图3,已知点F坐标为(−2,−2),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时,作Rt△FGH,始终保持△GFH=90△,FG与y轴负半轴交于点G(0,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,0)，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m−n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值. 6．如图（1）如图1，点E在四边形ABCD的边BC上，EA＝ED，且△AED＝△B＝△C．判断AB、BC、CD三边的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在线段BC上，CD ＝3，点E是AC边上一动点，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，当AE的值为多少时，线段BF有最小值？并求出线段BF的最小值．7．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿线段AB以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿折线B﹣C﹣A以每秒2cm的速度运动．其中一点停止则另一点也随之停止，设运动时间为t秒．（1）①直接写出t的取值范围：；②当点P运动到AB中点时，连结PQ，PC，BQ，求证：△CPQ△△ABQ；（2）当△BPQ是直角三角形时，求t的值．8．已知△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D为直线BC上的一动点(点D不与点B、C重合)，以AD为边作△ADE，使∠DAE=90∘，AD=AE，连接CE．发现问题：如图1，当点D在边BC上时，（1）请写出BD和CE之间的位置关系为，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：．（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，(1)中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC=6，CE= 2，求线段ED的长．9．如图，P、Q分别是边长4cm为的等边ΔABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，分别沿AB，BC边运动，点P到点B停止，点Q到点C停止.社运动时间为t秒，他们的速度都为1cm/s.（1）连接AQ，CP相交于M，在点P，Q的运动过程中∠CMQ的大小是否变化？若变化，说明理由；若不变，求出它的度数；（2）当t取何值时，ΔPBQ是直角三角形.10．如图所示，点B坐标为(6，0)，点A坐标为(6，12)，动点P从点O开始沿OB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，动点Q从点B开始沿BA以每秒2个单位长度的速度向点A移动，如果P，Q分别从O，B同时出发，用t（秒）表示移动的时间(0<t≤6)．（1）用含t的式子来表示BP=．AQ=．（2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似？（3）若四边形OPQA的面积为y，试写出y与t的函数关系式，并求出t取何值时，四边形OPQA的面积最小？（4）在y轴上是否存在点E，使点P、Q在移动过程中，以B、E、Q、P为顶点的四边形的面积是一个常数？若存在请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A，B的坐标分别为（0，0），（6，0），点D是x轴上的一个动点，连接CD，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）点C的坐标为，△CDE为三角形；（2）当点D在线段AB上运动时，四边形CDBE的周长是否存在最小值？若存在，求出四边形CDBE的周长最小值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当△BDE是直角三角形时，请直接写出点D的坐标．12．如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA 上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过秒后，点P与点Q第一次在△ABC的AC边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）13．如图，点A坐标是(0，0)，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是；四边形CEAF面积＝．（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．（3）过点B作BP平行于CF交EC于点P．当t＝▲ 时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．14．如图1，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为t(s)．（1）当运动时间为t秒时，则BQ的长为cm，BP的长为cm．（用含t的式子表示）（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形；（3）如图2，连接AQ，CP相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ的大小会变化吗？若变化，请说明理由．若不变，请直接写出它的度数．15．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M 是BC上的一点，BM=1cm，CM=2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM=cm．（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB=AD=a，CB= CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD=∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示）（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD=CD，∠ADC=60°，∠ABC=75°，AB=2√2，BC=2，求四边形ABCD的面积．16．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0<t<5）后，ΔCQP的面积为Scm2．（1）在P、Q两点移动的过程中，ΔCQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（2）当运动时间为多少秒时，ΔCPQ与ΔCAB相似．答案解析部分1．【答案】（1）1（2）34（3）解：点P 与点Q 重合时，由（1）知t =1；当点D 在AB 上时，如下图所示：此时DP =CP =BQ =t ，∵∠DPB =∠ACB =90°，∠DBP =∠ABC ，∴△DBP ∽△ABC ，∴DP PB =CA CB =32，∴PB =23DP =23t ，∵CP +PB =CB ，∴t +23t =2，解得t =65， ∴CE =65．∵QF ∥AB ，∴∠FQC =∠ABC ，又∠FCQ =∠ACB =90°，∴△FQC ∽△ABC ，∴CQ CB =CF CA ，即2−652=CF 3， ∴CF =65，∴t =65时，点E 与点F 重合；当点P 到达B 点时，此时t =2．当点P 在Q 、B 两点之间（不包括Q 、B 两点）时，其运动过程可分析如下：①当1<t≤65时，如下图所示，此时重合部分为梯形GDPQ．则PQ=CP+BQ−CB=2t−2，PD=t，由△FQC∽△ABC得：CF=32CQ=32×(2−t)=3−32t，∴EF=CF−CE=3−32t−t=3−52t，∵QF∥AB，∴∠A=∠EFG，又∠ACB=∠FEG=90°，∴△ABC∽△FGE，∴FE CA=EG CB，∴EG=23EF=23×(3−52t)=2−53t，∴DG=ED−EG=t−(2−53t)=83t−2，∴S梯形GDPQ=12(PQ+DG)⋅DP=12(2t−2+83t−2)⋅t=73t2−2t，∴S=73t2−2t；②当65<t<2时，如下图所示，此时重合部分为一个多边形．则CP=BQ=t，CQ=BP=2−t，易知△ABC∽△FQC∽△MBP∽△MND，可得CF=32CQ=32(2−t)=3−32t，MP=32BP=32(2−t)=3−32t，∴DM=DP−MP=t−(3−32t)=52t−3，∴DN=23DM=23×(52t−3)=53t−2，∴S=S正方形EDPC−S△CFQ−S△MDN=CP2−12CF⋅CQ−12DM⋅DN=t2−12(3−32t)⋅(2−t)−12(52t−3)⋅(53t−2)=−116t2+8t−6；综上，当点P在Q、B两点之间（不包括Q、B两点）时，S与t之间的函数关系式为：S={73t2−2t(1<t≤65)−116t2+8t−6(65<t<2)．2．【答案】（1）解：如图1中，点F在AC上，点E在BD上时，①当CFCE=CDAC时，△CFE△△CDA，∴5t16−4t=810，∴t= 64 41，②当CFCE=ACCD时，即5t16−4t= 108，∴t=2，当点F在AB上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似，综上所述，t= 6441s或2s时，△EFC和△ACD相似．（2）解：不存在．理由：如图2中，当点F在AC上，点E在BD上时，作FH△BC 于H，EF交AD于N．∵CF=5t．BE=4t，∴CH=CF•cosC=4t，∴BE=CH，∵AB=AC，AD△BC，∴BD=DC，∴DE=DH，∵DN△FH，∴EDDH=ENNF=1，∴EN=FN，∴S△END=S△FND，∴△EFD被AD分得的两部分面积相等，同法可证当点F在AB上，点E在CD上时，△EFD被AD分得的两部分面积相等，∴不存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3：5．（3）解：①如图3中，当以EF为直径的△O经过点A时，△O与线段AC有两个交点，连接AE，则△EAF=90°．由ACEC=cosC= 45，可得1016−4t=45，∴t=78，∴0≤t＜78时，△O与线段AC只有一个交点．②如图4中，当△O与AC相切时，满足条件，此时t= 6441．③如图5中，当△O与AB相切时，cosB= BFBE，即45=20−5t4t，解得t= 10041．④如图6中，△O 经过点A 时，连接AE ，则△EAF=90°．由cosB= AB AE = 45 ，即 104t = 45 ，t= 258， ∴258＜t≤4时，△O 与线段AC 只有一个交点．综上所述，当△O 与线段AC 只有一个交点时，0≤t ＜ 78 或 6441 或 10041 或 258＜t≤4 3．【答案】（1）（8，0）；（0，6）（2）（3，0）（3）解：∵OA=8，v=2，∴t=8÷2=4，∴P 从O 运动到A 的时间为4秒，∴当0≤t≤4时，P 在线段OA 上运动.OP=2t ，PA=8－OP=8－2t ，S=S △BAP = 12 •PA•OB= 12•（8-2t ）•6=24－6t. 当S=8时，8=24－6t ，解得：t= 83 ，∴OP=2t =2× 83 = 163 ，∴P （ 163，0）.答：S= 24－6t （0≤t≤4），当S=8时，P （ 163，0）.4．【答案】（1）解：能．理由如下：在ΔDFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=4t，∴DF=2t，又∵AE=2t，∴AE=DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE//DF，又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，即40−4t=2t，解得t=20 3．∴当t=203秒时，四边形AEFD为菱形．（2）解：①当∠DEF=90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF//AD，∴∠ADE=∠DEF=90°，∵∠A=60°，∴∠AED=30°，∴AD=12AE=t，又AD=40−4t，即40−4t=t，解得t=8；②当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，在RtΔAED中∠A=60°，∴∠ADE=90°−∠A=30°，∴AD=2AE，即40−4t=4t，解得t=5．③若∠DFE =90°，则E 与B 重合，D 与A 重合，此种情况不存在．综上所述，当t =8或5秒时，ΔDEF 为直角三角形．5．【答案】（1）解：过C 作CM△x 轴于M 点，如图1，∵CM△OA ，AC△AB ，∴△MAC+△OAB= 90° ,△OAB+△OBA= 90°则△MAC=△OBA在△MAC 和△OBA 中 {∠CMA =∠AOB =90∠MAC =∠OBA AC =BA∘则△MAC△△OBA(AAS)则CM=OA=2,MA=OB=4,则点C 的坐标为(−6,−2)；（2）解：过D 作DQ△OP 于Q 点,如图2,则OP−DE=PQ,△APO+△QPD= 90° ，△APO+△OAP= 90° ，则△QPD=△OAP ，在△AOP 和△PDQ 中 {∠AOP =∠PQD =90∘∠QPD =∠OAP AP =PD则△AOP△△PDQ(AAS)∴OP−DE=PQ=OA=2；（3）解：结论②是正确的，m+n=−4，如图3,过点F 分别作FS△x 轴于S 点,FT△y 轴于T 点,则FS=FT=2，△FHS=△HFT=△FGT ，在△FSH 和△FTG 中 {∠FSH =∠FTG =90∘∠FHS =∠FGT FS =FT则△FSH△△FTG(AAS)则GT=HS ，又∵G(0,m),H(n,0),点F 坐标为(−2,−2)，∴OT═OS=2，OG=|m|=−m ，OH=n ，∴GT=OG−OT=−m−2，HS=OH+OS=n+2，则−2−m=n+2，则m+n=−4.6．【答案】（1）解：AB ，BC ，CD 三边的数量关系是：AB+CD ＝BC ，理由如下：∵△AEB+△AED ＝△BED ，△EDC+△C ＝△BED ，且△AED ＝△C ，∴△AEB ＝△EDC ，在△ABE 和△ECD 中，{∠B =∠C ∠AEB =∠EDC AE =ED，∴△ABE△△ECD （AAS ），∴AB ＝EC ，BE ＝DC ，∴AB+CD ＝BE+EC ＝BC ；（2）解：如图，过D 作BD 垂线B'D 且使得B'D ＝BD ，连接B'E ，∵△EDF ＝△B'DB ＝90°，∴△BDF+△B'DF ＝△B'DF+△B'DE ，∴△BDF ＝△B'DE ，在△B'DE 与△BDF 中，{B ′D =BD ∠BDF =∠B ′DE DE =DF，∴△B'DE△△BDF （SAS ），∴BF ＝B'E ，∵点到直线垂线段最短，∴B'E△AC 时，B'E 取最小值，过点B'作B'G△AC 交AC 于G ，∵△C ＝△CDB'＝△CGB'＝90°，∴四边形CDB'G 为矩形，∴B'G ＝CD ＝3，CG ＝B'D ＝BD ＝8﹣3＝5，∴BF 取最小值时AE ＝AG ＝AC ﹣CG ＝1，BF 最小值为B'G ＝3．7．【答案】（1）0≤t≤7；解：②证明：如图1中，由题意点P 运动到AB 的中点时，t ＝5， ∴CQ ＝5×2﹣8＝2， ∵△ACB ＝90°，PA ＝PB ，∴PC ＝PA ＝PB ＝5， ∴△PCQ ＝△A ， ∵QC AQ =24=12 ， CP AB =12， ∴QC AQ =CP AB ， ∴△QCP△△CAB ，（2）解：①如图2中，当PQ△AC 时，△PQB ＝△C ＝90°，∵PQ△AC ，∴BQ BC =BP AB，∴2t 8=10−t 10，解得： t =207； ②如图3中，当△QPB ＝90°时，∵△QPB ＝△ACB ＝90°，△B ＝△B ，∴△BPQ△△BCA ，∴PB BC =BP BA， ∴10−t 8=2t 10，解得： t =5013；综上所述，满足条件的t 的值为： 207 或 5013. 8．【答案】（1）BD△CE ；BC=CD+CW 尝试探究：（2）解： BD ⊥CE 成立，数量关系不成立，关系为 BC =CE −CD ．理由：如图2中，由 (1) 同理可得，∵∠BAC =∠DAE =90∘ ，∴∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD即 ∠BAD =∠CA E ，∴ 在 △ABD 和 △ACE 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∵△ABD △ △ACE(SAS) ，∴BD =CE ， ∠ACE =∠ABC ，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =45∘ ，∴BD =BC +CD ，即 CE =BC +CD ， ∠ACE +∠ACB =90∘ ， ∴BC =CE −CD ； BD ⊥CE ；拓展延伸：（3）解：如图3中，由 (1) 同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90∘，∴∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，即∠BAD=∠EAC，易证△ABD△ △ACE(SAS)，∴BD=CE=2，∠ACE=∠ABD=135∘，∴CD=BC+BD=BC+CE=8，∵∠ACB=45∘∴∠DCE=90∘，在Rt△DCE中，由勾股定理得DE2=DC2+CE2=82+22=68，∴DE=2√17．9．【答案】（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，△B=△PAC=60°，∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，∴AP=BQ，在△APC和△BQA中{AP＝BQ∠PAC＝∠B AC＝AB，∴△APC△△BQA（SAS），∴△BAQ=△ACP，∴△CMQ=△CAQ+△ACP=△BAQ+△CAQ=△BAC=60°，∴在P、Q运动的过程中，△CMQ不变，△CMQ=60°；（2）∵运动时间为ts，则AP=BQ=t，∴PB=4-t，①当△PQB=90°时，∵△B=60°，∴PB=2BQ，∴4-t=2t，解得t=4 3，②当△BPQ=90°时，∵△B=60°，∴BQ=2PB ，∴t=2（4-t ），解得 t =83， ∴当t 为 43 s 或 83s 时，△PBQ 为直角三角形 10．【答案】（1）6-t ；12-2t（2）解：当 ∠BPQ =∠BOA 时，即 PQ//OA ，则 △BPQ ∼△BOA ， ∴BP BO =BQ BA ，即 6−t 6=2t 12，解得： t =3 ；当 ∠BPQ =∠A 时，则 △BPQ ∼△BAO ，∴BP BA =BQ BO ，即 6−t 12=2t 6，解得： t =65； ∴当 t =65秒或3秒时，以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与 △AOB 相似（3）解： y =S △OAB −S △BPQ =12×6×12−12×2t ×(6−t)=t 2−6t +36=(t −3)2+27 ，∵a =1 ，∴t =3 时，y 有最小值是27；（4）解：存在，理由如下：当E 在y 轴负半轴上时，以B 、Q 、E 、P 为顶点不能形成四边形；当E 在y 轴正半轴上时，设 E(0，m) ，∴以B 、Q 、E 、P 为顶点的四边形的面积=梯形 BQEO 的面积- △OPE 的面积，即 12×6×(m +2t)−12×m ×t =(6−12m)t +3m ，当以B 、Q 、E 、P 为顶点的四边形的面积是一个常数，则 6−12m =0 ，解得： m =12 ，∴点E 的坐标为 (0，12) ；11．【答案】（1）（3，3 √3 ）；等边（2）解：存在，理由如下：∵△ABC 为等边三角形，∴△ACD+△DCB=60°，∵△DCE为等边三角形，∴△BCE+△DCB=60°，∴△ACD=△BCE，在△ACD和△BCE中，{CA＝CB∠ACD＝∠BCECD＝CE，∴△ACD△△BCE（SAS）∴AD=BE，∴四边形CDBE的周长=CD+DB+BE+CE=CD+DB+AD+CE=6+2CD，当CD最小时，四边形CDBE的周长存在最小值，由垂线段最短可知，CD△AB时，CD最小，CD的最小值为3 √3，∴四边形CDBE的周长最小值为6+6 √3，此时点D的坐标为（3，0）（3）解：由（2）可知，△ACD△△BCE，∴BE=AD，∴△DBE=120°或60°，不能为90°，如图②，△DEB=90°时，△DBE=60°，∴△BDE=30°，∴DB=2BE，∵BE=AD，∴AD=AB=6，此时，点D的坐标为（-6，0），如图③，当△BDE=90°时，△ADC=90°-60°=30°，∵△CAD=60°，∴△ACD=90°，又△ADC=30°，∴AD=2AC=12，此时，点D的坐标为（12，0），综上所述，当△BDE是直角三角形时，点D的坐标为（-6，0）或（12，0）．12．【答案】（1）解：①全等，理由如下：∵t=1秒，∴BP=CQ=1×1=1厘米，∵AB=6cm，点D为AB的中点，∴BD=3cm.又∵PC=BC−BP，BC=4cm，∴PC=4−1=3cm，∴PC=BD.∴△BPD≅△CQP；②假设△BPD≅△CQP，∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≅△CQP，∠B=∠C，则BP=CP=2，BD=CQ=3，∴点P，点Q运动的时间t=BP1=2秒，∴v Q=CQ t=32=1.5cm/s；（2）2413．【答案】（1）FC；4（2）解：∵△CDE△△CBF，∴EC＝FC，△DCE＝△BCF，∵△DCE+△ECB＝90°，∴△BCF+△ECB＝90°，即△ECF＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形，当t＝1时，DE＝1，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE＝√DE2+CD2＝√12+22＝√5，∴EF＝√2CE＝√2× √5＝√10，∵Q为EF中点，∴CQ＝12EF＝12×√10＝√102；（3）解：t＝（√5+1）s∵BP△CF，△ECF＝90°，∴△BPC＝90°，∴点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，设BC的中点为G，连接AG，如图2所示：当点P在AG上时，AP最短，此时，PG＝BG＝1，在Rt△ABG中，由勾股定理得AG＝√AB2+BG2＝√22+12＝√5，∴AP＝AG﹣PG＝√5﹣1，∵BC△DE，∴△AEP＝△GCP，∵GC＝GP，∴△GCP＝△GPC，∵△GPC＝△APE，∴△AEP＝△APE，∴AP＝AE＝√5﹣1，∴E （0，1﹣ √5 ），∴DE ＝2﹣（1﹣ √5 ）＝ √5 +1，∴t ＝（ √5 +1）s ，故答案为：（ √5 +1）s ；设CE 的解析式为：y ＝kx+b （k≠0），将C （2，2）、E （0，1﹣ √5 ）代入解析式得： {2k +b =2b =1−√5，解得： {k =√5+12b =1−√5，∴CE 的解析式为：y ＝ √5+12x+1﹣ √5 ，令y ＝0，x ＝3﹣ √5 ，∴K （3﹣ √5 ，0），∴BK ＝2﹣（3﹣ √5 ）＝ √5 ﹣1，∴BK AB ＝ √5−12， ∴点K 是线段AB 的黄金分割点．14．【答案】（1）t ；（3-t ）（2）解：由（1）得：AP =BQ =tcm ，BP =(3−t)cm ，①如图1，当∠PQB =90°时，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =60°，∴∠BPQ =30°，∴PB =2BQ ，即3−t =2t ，解得：t =1，②如图2，当∠BPQ =90°时，∵∠B=60°，∴∠BQP=30°，∴BQ=2BP，即t=2(3−t)，解得：t=2，∴当t=1或t=2时，△PBQ为直角三角形；（3）解：不变，∠CMQ=60°．15．【答案】（1）√102（2）解：∵AD⊥CD，CB=CD，AB⊥BC，∴将△BCP绕点C旋转后得到△DCM，此时BC与DC重合，∴△BCP△△DCM，∴△DCM=△PCB，BP=DM，PC=CM，∵∠PCB+∠QCD=∠PCQ，∴∠DCM+∠QCD=∠PCQ，∴∠QCM=∠PCQ，∵PC=CM，QC=QC，∴△QCP△△QCM，∴PQ=QM，∴△APQ的周长=AQ+AP+PQ= AQ+AP+QM= AQ+AP+DQ+DM= AQ+AP+DQ+BP=AD+AB，∵AB=AD=a，∴△APQ的周长=2a；（3）解：如图3，连接BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E△BE；{AD=CD∠CDB=∠ADB′BD=B′D∴△BCD△△B′AD∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A，∵△ABC=75°，△ADC=60°，∴△BAB′=135°∴△B′AE=45°，∵B′A=BC=2∴B′E=AE= √2，∴BE=AB+AE=2 √2+ √2= 3√2，∴BB′=√(√2)2+(3√2)2=2√5∵等边△DBB′，∴BB′上的高= =2√5×√32=√15，∴.SΔABB′=12⋅AB⋅B′E=12×2√2×√2=2∴SΔBDB′=12×2√5×√15=5√3，∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A=S△BDB′-S△ABB′= =5√3−2；16．【答案】（1）解：在矩形ABCD中，∵AB=6cm，BC=8cm，∴AC=10cm，AP=2tcm，PC=(10−2t)cm，CQ=tcm，过点P作PH⊥BC于点H，则PH=35(10−2t)cm根据题意，得12t•35(10−2t)=3.6，解得：t1=2，t2=3，∴ΔCQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3．（2）解：如图1，当∠PQC=90∘时，PQ⊥BC，∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，QC=t，PC=10−2t，∴ΔPQC△ ΔABC，∴PCAC=CQBC，即10−2t10=t8，解得t=4013（秒）如图2，当∠CPQ=90∘时，PQ⊥AC，∵∠ACB=∠QCP，∠B=∠QPC，∴ΔCPQ△ ΔCBA，∴CPBC=CQAC，即10−2t8=t10，解得t=257（秒）综上所述，t为4013秒与257时，ΔCPQ与ΔCBA相似．。

中考压轴全等三角形问题综合(解析版)

中考压轴：全等三角形问题综合（解析版）一、单选题1．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，D90，AD8，BC6，分别以点A，C1为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若2点O是AC的中点，则CD的长为（）A．4 2 B．6 C．210 D．8【标准答案】A【思路点拨】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF=FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF=BC=3，等量代换得到FC=AF=3，利用线段的和差关系求出FD=AD-AF=1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．【详解详析】解：如图，连接FC，∵点O是AC的中点，由作法可知，OE垂直平分AC，∴AF=FC．∵AD∥BC，∴∠FAO=∠BCO．在△FOA与△BOC中，FAO＝BCOO A＝OC ，AOF＝COB∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF=BC=6，∴FC=AF=6，FD=AD-AF=8-6=2．在△FDC中，∵∠D=90°，∴CD2+DF2=FC2，∴CD2+22=62，∴CD=42．故选：A．【名师指导】本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．2．如图，如图正方形ABCD内一点E，满足△CDE为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线GH AF，交AB于点G，交CD于点H．以下结论：①AFC105；AE EH 2②GH2EF；③2CE EF EH；④，其中正确的有（）3A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④【标准答案】A【思路点拨】根据等边三角形的性质求出CDE，然后求出ADE30，再根据等腰三角形的性质求出DAE75，然后求出BAF15，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出AFC105，判断出①正确，过点H作HK AB，可得HK=AD，根据等角的余角相等求出ÐBAF=ÐKHG，再利用“角角边”证明ABF和DHKG，然后根据全等三角形对应边相等可得AF=GH，再根据等边三角形的性质，点E是AF的中点，从而得到GH2EF，判断出②正确；再求出ÐCEF=ÐCEH=45°，过点F作FM CE于M，过点H作HN^CE于N，解直角三角形分别用MF、CN表示出CE，可以得到MF=CN，再表示出CE，即可判AE定③正确；设MF=CN=x，表示出EF、EH，然后求出的值，判断出④错误．EH【详解详析】解：CDE为正三角形，CDE60，\ÐADE=90°-60°=30°，Q AD=DE=CD，1\ÐDAE=ÐDEA=(180°-30°)=75°，2\ÐBAF=90°-75°=15°，\ÐAFC=90°+15°=105°，故①正确；过点H作HK AB，则HK=AD，Q GH^AF，\ÐBAF+ÐAGE=90°，又QÐAGE+ÐKHG=90°，\ÐBAF=ÐKHG，在ABF和DHKG中，ìïÐBAF=ÐKHGïïïíÐB=ÐHKG=90°，ïïïHK=ABïî\DABF@DHKG(AAS)，\AF=GH，CDE为正三角形，点E在CD的垂直平分线上，根据平行线分线段成比例定理，点E是AF的中点，AF2EF，\GH=2EF，故②正确；Q GH^AF，ÐDEA=75°，\ÐDEH=90°-75°=15°，\ÐCEH=60°-15°=45°，\ÐCEF=90°-45°=45°，过点F作FM CE于M，过点H作HN^CE于N，则MF=EM，NH=EN，CDE是等边三角形，DCE60，\ÐECF=90°-60°=30°，\CM=3MF，NH=3CN，\CE=3MF+MF=3CN+CN，\MF=CN，2 2\CE=EF+EH，2 2，故③正确；2CE EF EHAE EFEH2MF3CN×3===，故④错误．EH 2 3综上所述，正确的结论是①②③．故选：A．【名师指导】本题考查了四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判断与性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键．3．（2021·广东福田·一模）如图，在矩形ABCD中，AD2AB，BAD的平分线交BC于点E．DH AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AD AE；②AED CED；③OE OD；④BH HF；⑤BC CF2HE，其中正确=的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【标准答案】D【思路点拨】（1）由角的平分线的性质和平行线的性质可证AB BE，再结合勾股定理加以判断；（2）在（1）的基础上，结合等腰三角形的性质，通过计算加以判断；（3）可通过在△DOH和△EOH 中计算有关角度加以判断；（4）通过证明△BEH 与HDF能否全等加以判断；（5）在上述判断的基础上，结合线段的和或差加以判断．【详解详析】解：（1）∵AE 平分BAD，1∴BAE DAE BAD45． 2∵AD//BC，∴DAE AEB45．∴AEB BAE45．∴AE 2AB．AB BE．∵AD 2AB，∴AD AE．故①正确；（2）∵AD=AE,∠EAD=45°，1∴ADE AED 1804567.5． 2∴CED 1804567.567.5．∴AED CED．故②正确；BAEDAE（3）在△ABE 和AHD中，ABE AHD，AE ADAAS∴△ABE≌△AHD．∴BE DH．∴AB BE AH HD．∵AB AH，1∵AHB1804567.5，OHE AHB（对顶角相2等），∴∠OHE67.5∠AED．∴OE OH．∵DHO9067.522.5，ODH67.54522.5，∴DHO ODH．∴OH OD．∴OE OD OH．故③正确；（4）∵∠EBH9067.522.5，∴∠EBH∠OHD．EBH OHD22.5在△BEH和HDF中，BE DH ，AEB HDF45∴△BEH≌△HDF ASA．∴BH HF，HE DF．故④正确；（5）∵HE AE AH BC CD，BC CF BC CD∴DFBC CDHEBC CDHE HE HE2HE．故⑤正确．故选：D．【名师指导】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．对第一个结论的判断很重要，它是判断后续结论的基础；同时，紧紧围绕“由未知看需知，最后靠拢已知”的分析思路，寻找到解决问题的方法，应成为一种必备的能力．4．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF AE交CB的延长线于F，下列结论正确的有：（）10①AP FP；②AE AO；③若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为236；④CE EF EQDE．A．4个B．3个C．2个D．1个【标准答案】B【思路点拨】连接OE、AF，①利用四点共圆证明∠AFP＝∠ABP＝45°即可；②设BE＝EC＝a，求出AE，OA即可解决问题；③利用相似三角形的性质计算求得正方形ABCD的面积为48；④利用相似三角形的性质证明即可．【详解详析】解：如图，连接OE、AF∵四边形ABCD是正方形，∴AC BD，OA=OC=OB=OD，∴BOC=90，∵PF AE，∴APF=ABF=90，∴A，P，B，F四点共圆，∴AFP=ABP=45，∴PAF=PFA=45，∴PA=PF，故①正确，设BE=EC=a，则由勾股定理可得：AE5a，OA OC OB OD2a，AE AO 5a 2a 10 2 102∴ ，即 AEAO ，故②正确，根据对称性可知， OPE ≌OQE ，1 ∴ SOEQS2，四边形OPEQ2 ∵OB OD ，BEEC ，∴CD2OE ，OE / /CD ，∴ OEQ ∽CDQEQ OE 12， DQ 2EQ∴DQ CD ∴ S ODQ 2SOEQ4，S CDQ4SOEQ8 ，∴ S CDO 12， ∴ S 正方形ABCD 4S CDO48，故③错误，∵EPF =DCE 90，PEFDEC ，∴EPF ∽ECD ， EF PE ∴ ， ED EC∵ EQPE ，∴CE • EF ＝EQ • DE ，故④正确，故选 B 【名师指导】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，并灵活运用所学知识解决问题． 5．如图，正方形 ABCD 的边长为 2 ，点 E 从点 A 出发沿着线段 AD 向点 D 运动(不与点 A ， D 重合)，同时点 F 从点 D 出发沿着线段 DC 向点C 运动(不与点 D ，C 重合)，点 E 与点 F 的运动速度相同． BE 与 AF 相交于点G ， H 为 BF 中点、则有下列结论：①BGF 是定值；② FB 平分AFC ；5 ③当 E 运动到 AD 中点时，GH ； 212④当 AG BG 6 时，四边形GEDF 的面积是其中正确的是（ A ．①②④ ）B ．①②③ D ．②③④C ．①③④ 【标准答案】C 【思路点拨】根据题意很容易证得△BAE ≌△ADF ，即可得到AF=BE ，利用正方形内角为90°，得出AF ⊥BE ，即可判断①；②假设 BF 平分∠AFC ，则角平分线的性质得到 BG=BC ，则 BG=AB ，又由 ∠BGA =90°，得到 AB ＞BG ，由此即可判断②；③先利用勾股定理求出 BF 的长，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解；④根据△BAE ≌△ADF ，即可得到 S 四边形2S VABG ，然后根据时，得到AG GBAG22 AG GB GB 6，再2 AGGB 6GEDF1 2 1 AG GB ． 2由 AG2BG 2 AB24 即可得到2AG GB 2 ，则 S VABG 【详解详析】证明：∵E 在 AD 边上(不与 A ，D 重合)，点 F 在 DC 边上(不与 D ，C 重合)，又∵点 E ，F 分别同时从 A ，D 出发以相同的速度运动， ∴AE=DF ，∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB DA ，BAE D 90o 在△BAE 和△ADF 中，AE DFBAE ADF 90 ， AB DA∴△BAE ≌△ADF(SAS)，∴∠1=∠2， ∵23 90 ∴13 90∴BGF 90，即AGB 90 ，o即∠BGF 是定值，故①正确；假设 BF 平分∠AFC ， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC ⊥FC ，BC=AB ∵BG ⊥AF ， ∴BG=BC ， ∴BG=AB ，又∵∠BGA =90°， ∴AB ＞BG ， ∴假设不成立， ∴②不正确；③当 E 运动到 AD 中点时，则 F 运动到 CD 中点， 1∴CFCD 1，2∴ 2 2 ， BF BC CF5∵∠BGF =90°，H 为 BF 的中点1 5∴GHBF ，故③正确； 2 2④∵△BAE ≌△ADF ， ∴ S △BAE =S △ADF ∴S SABG,GEDF 四边形 2∴当 AG GB 6 时，AG GB AG22 AGGB GB6，2 ∵ AG 2 BG 2 AB 24 ， 2AG GB2 ，11 ∵ S VABG AGGB ，221∴S = 故④正确； GEDF 四边形 2 故选 C ．【名师指导】考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在DC边上，且CE＝2DE，连接AE交BD于点G，过点D作DF⊥AE，连接OF并延长，交DC于点P，过点O作OQ⊥OP分别交AE、AD于点N、H，交BA的延长线于点Q，现给出下列结论：①∠AFO5＝45°；②OG＝DG；③DP2＝NH•OH；④sin∠AQO＝；其中正确的结论有（）5A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④【标准答案】D【思路点拨】①由“ASA”可证△ANO≌△DFO，可得ON＝OF，由等腰三角形的性质可求∠AFO＝45°；②由“AAS”可证△OKG≌△DFG，可得GO＝DG；AH HN③通过证明△AHN∽△OHA，可得，进而可得结论DP2＝NH•OH；HO AHOG AG 5④由外角的性质可求∠NAO＝∠AQO，由勾股定理可求AG，即可求sin∠AQO＝＝．5 【详解详析】∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝DO＝CO＝BO，AC⊥BD，∵∠AOD＝∠NOF＝90°，∴∠AON＝∠DOF，∵∠OAD+∠ADO＝90°＝∠OAF+∠DAF+∠ADO，∵DF⊥AE，∴∠DAF+∠ADF＝90°＝∠DAF+∠ADO+∠ODF，∴∠OAF＝∠ODF，∴△ANO≌△DFO（ASA），∴ON＝OF，∴∠AFO＝45°，故①正确；如图，过点O作OK⊥AE于K，∵CE＝2DE，∴AD＝3DE，DE DF 1 ∵tan∠DAE＝∴AF＝3DF，，AD AF 3∵△ANO≌△DFO，∴AN＝DF，∴NF＝2DF，∵ON＝OF，∠NOF＝90°，1∴OK＝KN＝KF＝FN，2∴DF＝OK，又∵∠OGK＝∠DGF，∠OKG＝∠DFG＝90°，∴△OKG≌△DFG（AAS），∴GO＝DG，故②正确；∵∠DAO＝∠ODC＝45°，OA＝OD，∠AOH＝∠DOP，∴△AOH≌△DOP（ASA），∴AH＝DP，∵∠ANH＝∠FNO＝45°＝∠HAO，∠AHN＝∠AHO，∴△AHN∽△OHA，AH HN∴，HO AH∴AH2＝HO•HN，∴DP2＝NH•OH，故③正确；∵∠NAO+∠AON＝∠ANQ＝45°，∠AQO+∠AON＝∠BAO＝45°，∴∠NAO＝∠AQO，∵OG＝GD，∴AO＝2OG，∴AG＝ 2 2 ＝5OG，AO OGOG 5∴sin∠NAO＝sin∠AQO＝，故④正确，AG 5故选：D．【名师指导】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质是解题关键．7．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM 上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE ＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（）12x 2x 3x 8xA．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣x 4 x 1 x 1 x 4【标准答案】A【思路点拨】作点F作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB ＝2x，然后证得△FGC∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解．【详解详析】作点F作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；∴∠BDE＝∠FEG，在△DBE与△EGF中，BFGEBDE FEG，DE EF∴△DBE≌△EGF（AAS），∴EG＝DB，FG＝BE＝x，∴EG ＝DB ＝2BE ＝2x ， ∴GC ＝y ﹣3x ， ∵FG ⊥BC ，AB ⊥BC ， ∴FG ∥AB ， ∴△FGC ∽△ABC ， ∴CG ：BC ＝FG ：AB ，x y 3x 即＝，． 4 y 12x ∴y ＝﹣x 4故选 A ．【名师指导】本题考查了三角形全等的判定和性质及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．8．如图，△ACD 和△AEB 都是等腰直角三角形，CAD EAB 90 ．四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的有（）①ACE 以点 A 为旋转中心，逆时针方向旋转90后与△ADB 重合， ②ACE 以点 A 为旋转中心，顺时针方向旋转 270后与△DAC 重合，③沿 AB 所在直线折叠后，ACE 与ADE 重合， ④沿 AD 所在直线折叠后，△ADB 与ADE 重合，⑤ACE 的面积等于△ABE 的面积．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【标准答案】B 【思路点拨】由△ACD 和△AEB 都是等腰直角三角形，∠CAD ＝∠EAB ＝90°，易证得△ACE ≌△ADB ，即可得①正确；又由四边形 ABCD 是平行四边形，易证得△EAC ≌△EAD ，即可得 △ACE ≌△ADB ≌△ADE ，即可判定③④正确；由平行四边形的中心对称性，可得②错误，1 1 1 1 1又由S△ACE＝S△ADB＝AD×BH＝AD•AC＝AC2，S△ABE＝AE•AB＝AB2，AB＞AC，即22 2 2 2可判定②错误．继而求得答案．【详解详析】解：①∵△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，∴AE＝AB，AC＝AD，∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ADB中，AE AB∵EACBAD，AC AD∴△ACE≌△ADB（SAS），∴△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°（旋转角为∠EAB＝90°）后与△ADB重合；故①正确；②∵平行四边形是中心对称图形，∴要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，故②错误；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝45°，∴∠EAC＝∠BAC+∠CAD＝135°，∴∠EAD＝360°﹣∠EAC﹣∠CAD＝135°，∴∠EAC＝∠EAD，在△EAC和△EAD中，AE AB∵EACEAD，AC AD∴△EAC≌△EAD（SAS），∴沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合；故③正确；④∵由①③，可得△ADB≌△ADE，∴沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合，故④正确；⑤过B作BH⊥AD，交DA的延长线于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BH＝AC，∵△ACE≌△ADB，1 1 1∵S△ACE＝S△ADB＝AD×BH＝AD•AC＝AC2，2 2 21 1∴S△ABE＝AE•AB＝AB2，AB＞AC，2 2∴S△ABE＞S△ACE；故⑤错误．故选：B．【名师指导】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、折叠的性质以及旋转的性质．注意数形结合思想的应用，证得△ACE≌△ADB≌△ADE是解此题的关键．9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝6，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF．若∠EFD＝90°，则线段AE的长为（）A．2 B．1 C． 3 D． 5【标准答案】D【思路点拨】延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE x，首先证明DQ DE x2，利用勾股定理构建方程即可求解．【详解详析】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE x，四边形 ABCD 是平行四边形，DQ / /BC ，Q BEF ,AFEB,AFQBFE ，QFA ≌EFB(AAS) ， AQBEx,QF EF ， EFD 90, DF QE ，DQ DEx 2 ，AEBC, BC / / AD ，AE AD,AEB EAD 90，AE 2 DE 2 AD 2 AB 2 BE 2 ， (x 2) 24 6x ，2 解得： x 1, x 3（舍去）1 2 BE1，AE AB 2 BE 2 615故选：D ．，【名师指导】本题考查了平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是：掌握相关知识点，添加辅助线、构造全等三角形来解决问题． 10．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC=∠DAE =90°，AB=AC ，AD=AE ，点 C ，D ，E 在同一条直线上，连接 B ，D 和 B ，E ．下列四个结论：①BD=CE ， ②BD ⊥CE ，③∠ACE+∠DBC=30°，2 AB 2 ．2 2AD④BE其中，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【标准答案】B【思路点拨】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；②由三角形ABD与三角形ACE全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．【详解详析】解：如图，①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，AB＝ACBAD＝CAEA D＝AE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，故①正确；②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°，∴∠BDC=90°，∴BD⊥CE，故②正确；③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC=45°，故③错误；④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得BE2=BD2+DE2，∵△ADE为等腰直角三角形，∴AE=AD，∴DE2=2AD2，∴BE 2=BD2+DE2=BD2+2AD2，在Rt△BDC中，BD BC，而BC2=2AB2，∴BD2<2AB2，2 AB2∴BE 2 2AD故④错误，综上，正确的个数为2个．故选：B．【名师指导】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题111．如图，在平面直角坐标系中，点Q是一次函数y x4的图象上一动点，将Q绕点2C2,0顺时针旋转90到点P，连接PO，则PO PC的最小值_________．【标准答案】213．【思路点拨】1取D(2，-2)，连接CD、DQ，作C′点与点C关于直线y x4对称，连接QC′，则由题2意可得△OCP≌△DCQ，CP=CQ=C′Q，所以当且仅当C′、Q、D共线时PO+PC=DQ+CQ=DQ+C′Q=DC′为最小．【详解详析】解：如图，取D(2，-2)，则CD⊥x轴，即CD⊥OC且CD=OC=2，连结DQ，依题CQ顺时针旋转90得到CP，∴∠QCP=90°且CQ=CP，OC DC 2在△OCP 和△DCQ 中， OCP 90 DCP DCQCP CQ∴△OCP ≌△DCQ(SAS)，∴OP=DQ ，1 作 C ′点与点 C 关于直线 y x 4对称，则有 CQ=C ′Q ， 2∴CP=CQ=C′Q ，故 PO+PC=DQ+CQ=DQ+C ′Q ≥DC ′，当且仅当 C ′、Q 、D 共线时取等，由题意可以得到 A 、B 坐标分别为（0，4）、（8，0）设 C ′坐标为（x ，y ），则由 AC ′=AC ，BC ′=BC 可得： 2 y 4 20 2 x 2 x 8 y 2 36 22 24 解之可得 C ′为（2，0）（与 C 同，舍去）或（，）， 5 52 2 22 24 2 ∴DC ′=2 5 5 2 2 12 34 2325 = = 2 13 5 5 5 ∴ PO PC 的最小值为 2 13 ．故答案为 2 13 ．【名师指导】本题考查一次函数的综合应用，方程组思想，一元二次方程的解法，构造全等三角形与轴对称把 PO+PC 转化成 DQ+C ′Q 是解题关键．12．如图，平行四边形OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，点 D(3, 2) 在对角线OB 上，反比k 15 例函数 y (k 0,x 0) 的图像经过 C 、D 两点，已知平行四边形OABC 的面积是，则点 B x 2的坐标为___．9【标准答案】2,3【思路点拨】过点B作BE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，过点C作CG⊥x轴，垂足15为G，则BE∥DF∥CG，根据平行四边形的性质，证明△COG≌△BAE，S△OAB= ，根据427反比例函数的性质，证明S△OCG=S△BAE=S△DOF=3，确定S△OEB= ，证明△ODF∽△OBE，根4据相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．【详解详析】过点B作BE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则BE∥DF∥CG，∵四边形OABC是平行四边形，∴OC=AB，BC∥OA，∴CG=BE，∴△COG≌△BAE，∴S△OCG=S△BAE15∵平行四边形OABC的面积是，215∴S△OAB=，4k∵点D(3,2)在对角线OB上，反比例函数y(k0,x0)的图像经过C、D两点，x∴S△OCG=S△BAE=S△DOF=3，DF=2,OF=3，27∴S△OEB=，4∵BE∥DF，∴△ODF∽△OBE，DF BE 2742∴=3，32 2 3∴ ， BE 即 BE=3，OF OE 2 3∴ ∴ ，， 3 2 3OE 9 即 OE= ， 29 ∴点 B 的坐标为（，3）． 29 故答案为：（，3）． 2【名师指导】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，坐标与线段的关系，三角形的全等，灵活构造辅助线，活用性质，证明三角形的相似是解题的关键．13．如图，在 Rt △ABC 中，∠BAC =90°，分别以 A ，B 为旋转中心，把边 AC ，BA 逆时针旋转 60°，得到线段 AE ，BD ，连接 BE ，CD 相交于点 P ，已知 AB=3，AC=2 3 ，∠APB =120°，则 PA+PB+PC 的大小为________．【标准答案】 39【思路点拨】连接 AD=CE ，利用旋转的性质得到△ABD 和△ACE 是等边三角形，可推出∠DAC=∠EAB ，利用 SAS 证明△ADC ≌△ABE ，利用全等三角形的性质可证得∠AEB=∠ACD ，可得到 ∠APF =60°，在 PE 上截取 PF=PA ，可推出△APF 是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠PAF =60°；再证明∠EAF=∠PAC ，可推出△AFE ≌△APC ，由此可证得 AP+BP+CP=BE ；过点 E 作 EG ⊥BA ，交 BA 的延长线于点 G ，利用勾股定理求出 GE ，AG 的长，从而可求出 BG 的长，然后利用勾股定理求出 BE 的长，进而即可求解．【详解详析】连接 AD ，CE ，∵分别以A，B为旋转中心，把边AC，BA逆时针旋转60°，得到线段AE，BD，∴AB=BD，AE=AC，∠ABD=∠EAC=60°，∴△ABD和△ACE是等边三角形，∴∠DAC=∠EAB=90°+60°=150°，在△ADC和△ABE中AB BD∵DACEAB，AE AC∴△ADC≌△ABE（SAS）∴∠AEB=∠ACD，∵∠APB=120°，∴∠APF=60°，在PE上截取PF=PA，∴△APF是等边三角形，∴∠PAF=60°，∴∠EAF+∠BAP=150°-60°=90°，∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，∴∠EAF=∠PAC，∵AE=AC，∠AEB=∠ACD，∴△AFE≌△APC，∴PC=FE∴AP+BP+CP=PF+BP+FE=BE过点E作EG⊥BA，交BA的延长线于点G，∵∠GAE=180°-150°=30°，∵AE=AC=23，2 2∴GE=3，AG2333，∴BG=AB+AG=3+3=6，2∴BE 6 2 339，∴AP+BP+CP= 39 ．故答案为： 39 ．【名师指导】本题主要考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题的关键．14．黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与 5 1 原线段的比，其比值等于．如图，在正方形 ABCD 中，点 G 为边 BC 延长线上一动 2点，连接 AG 交对角线 BD 于点 H ，△ADH 的面积记为 S ，四边形 DHCG 的面积记为 S ．如 1 2S 1 S 2果点 C 是线段 BG 的黄金分割点，则的值为___． 3- 5 7 3 5 【标准答案】【思路点拨】或． 22 由 AD ∥BC ，得△DHG 的面积＝△AHB 的面积，再由△AHB ≌△CHB （SAS ），得出 S ＝ 2S 1 S 2 AD GB△GBH 的面积，然后证△ADH ∽△GBH ，得＝( ) 2 ，分两种情况：①点 C 是线段 BG 5 1 的黄金分割点，BC ＞CG ，则 BC ＝ 3 5 BG ；②点 C 是线段 BG 的黄金分割点，BC ＜CG ， 2则 BC ＝ BG ；分别求解即可． 2【详解详析】解：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ，AD ∥BC ，∠ABH ＝∠CBH ＝45°，∴△ABD 的面积＝△AGD 的面积，又∵BH ＝BH ，∴△AHB ≌△CHB （SAS ），∴△AHB 的面积＝△DHG 的面积，∴S ＝△GBH 的面积，2 ∵AD ∥BC ，∴△ADH ∽△GBH ，S1 S2AD GB∴＝（）2，分两种情况：①点C是线段BG的黄金分割点，BC＞CG，5 1则AD＝BC＝BG，2S1 ADGB 5 1 3-5∴＝（）2＝（）2＝；S2 2 2②点C是线段BG的黄金分割点，BC＜CG，3- 5则AD＝BC＝BG，2S1 ADGB 3- 5 73 5∴＝（）2＝（）2＝；S2 2 2综上所述，如果点C是线段BG的黄金分割点，S1 3- 5 73 5则的值为或；S2 2 23- 5 73 5故答案为：或．2 2【名师指导】本题考查了黄金分割的定义、正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握黄金分割的定义和相似三角形的判定与性质是解题的关键．15．如图，在Rt ABC中，ABC90，AB5，BC8，点P是射线BC上一动点，连接AP，将ABP沿AP折叠，当点B的对应点B落在线段BC的垂直平分线上时，BP的长等于__________．5【标准答案】或10．2【思路点拨】①如图1，当点P在线段BC上时，②如图2，当点P在BC的延长线上时，过A，C分别作AD∥BC，CD∥AB两线交于D，得到四边形ABCD是矩形，求得AD=BC=8，过B′作B′F⊥BC于F，反向延长FB′交AD于E，根据勾股定理即可得到结论．【详解详析】解：①如图 1，当点 P 在线段 BC 上时，过 A ，C 分别作 AD ∥BC ，CD ∥AB 两线交于 D ，则四边形 ABCD 是矩形，∴AD=BC=8，过 B′作 B′F ⊥BC 于 F ，反向延长 FB′交 AD 于 E ，则 AD ⊥EF ，∵点 B'落在线段 BC 的垂直平分线上，1∴AE=BF= BC=4，2 ∵将△ABP 沿 AP 折叠得到△AB′P ，∴AB′=AB=5，PB=PB′，∴EB′=3， ∴B′F=2，∴PF=4-PB ，∵ PB '2PF 2 B ' F 2 ， ∴ BP 2 (4 BP) 2 2 ， 2 5 解得： BP . 2②如图 2，当点 P 在 BC 的延长线上时，过 A ，C 分别作 AD ∥BC ，CD ∥AB 两线交于 D ，则四边形 ABCD 是矩形，∴AD=BC=8，过 B′作 B′F ⊥BC 于 F ，反向延长 FB′交 AD 于 E ，则 AD ⊥EF ，∵点 B'落在线段 BC 的垂直平分线上，1 ∴AE=BF= BC=4，2 ∵将△ABP 沿 AP 折叠得到△AB′P ，∴AB′=AB=5，PB=PB′，∴EB′=3， ∴B′F=8，∴PF=PB-4，∵ PB '2PF 2 B ' F 2 ， ∴ BP (BP 4) 2 2 8 2 .解得：BP=10；5 综上所述，BP 的长等于或 10， 25故答案为：或10．2【名师指导】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质、勾股定理，线段的垂直平分线的性质，作出恰当的辅助线是解题的关键．16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交8于点G，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：①AF DE；②DG；③HD//BG；5④ABG DHF．其中正确的结论有________．（请填上所有正确结论的序号）【标准答案】①④【思路点拨】证明△ADF≌△DCE，再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到∠DGF=90°，可判断①，再利用三角形等积法AD×DF÷AF可算出DG，可判断②；再证明∠HDF=∠HFD=∠BAG，求出AG，DH，HF，可判定ABG DHF，可判断④；通过AB≠AG，得到∠ABG和∠AGB 不相等，则∠AGB≠∠DHF，可判断③.【详解详析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∵E和F分别为BC和CD中点，∴DF=EC=2，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC，∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠EDC+∠AFD=90°，∴∠DGF=90°，即DE⊥AF，故①正确；1∵AD=4，DF=CD=2，2∴AF= 2 2 ，422 54 5∴DG=AD×DF÷AF=，故②错误；5∵H为AF中点，1∴HD=HF=AF=5，2∴∠HDF=∠HFD，∵AB∥DC，∴∠HDF=∠HFD=∠BAG，8 5∵AG= 2 2 ，AB=4，AD DG5AB AB45AG∴，DH HF 5 DF∴ABG DHF，故④正确；∴∠ABG=∠DHF，而AB≠AG，则∠ABG和∠AGB不相等，故∠AGB≠∠DHF，故HD与BG不平行，故③错误；故答案为：①④.【名师指导】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的高，直角三角形斜边中线定理，知识点较多，有一定难度，解题时注意利用线段关系计算相应线段的长.17．如图，把矩形ABCD沿EF对折，使B与D重合，折痕EF交BD于G，连AG，若7tan AGE，BF8，P为DG上一个动点，则PF PC的最小值为________ 3【标准答案】10【思路点拨】先根据折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质可得EF BD,BG DG,DE BF，EG FG，从而可得点E与点F关于BD对称，再根据两点之间线段最短得出PF PC的最小值为CE的长，过点A作AH BD于点H，根据平行线的性质、正切三角函数可得GH AH 7tan GAH，从而设GH7a,AH3a，再根据平行线分线段成比例定理分别3可求出AE的长，然后利用正切三角函数值可求出AB的长，从而可得CD的长，由此即可得出答案．【详解详析】如图，连接PE、CE，过点A作AH BD于点H由折叠的性质可知，BG DG,BGE DGE90四边形ABCD是矩形AD BC,AB CD,AD//BC,BAD ADC90EDG FBGEDGFBG在△DEG和BFG中，DG BGDGE BGFDEGBFG(ASA)DE BF8，EGFG点E与点F关于BD对称，即BD垂直平分EFPE PFPF PC PEPC由两点之间线段最短可知，当C,P,E三点共线时，PE PC取得最小值，最小值为CEAH BD，即AHG90AH//EGGAH AGE7tan AGE3GH AH 7在Rt AHG中，tan GAH3设 AH 3a(a 0) ，则GH7aAG AH BGDG2 GH4a2点 G 是矩形 ABCD 对角线的交点BG DG AG 4a ， DHDG HG (47)aAH//EGDG DE4a 8 ，即HG AE7a AE 解得 AE2 7AD DE AE 82 7tan ADH AH 3a 3在 RtADH 中，DH (4 7)a 4 7AB AB AD 8 2 7在 Rt △ABD 中， tanADBAB 382 7 4 7解得 AB6CDAB6在 Rt △CDE 中， 2 2 22 CE DECD8 610则 PF PC 的最小值为 10故答案为：10．【名师指导】本题是一道较难的综合题，考查了矩形的性质、正切三角函数、平行线分线段成比例定理、折叠的性质等知识点，利用折叠的性质、两点之间线段最短得出 PF PC 取得最小值时，点P 的位置是解题关键．18．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E ，F 分别为 BC ，CD 边的中点，连接 AE ，BF 1交于点 P ，连接 PD ，则下述结论：①AE ⊥BF ；②tan ∠DAP ＝；③DA ＝DP ；④FD ＝FP 2 中，一定成立的有_____．【标准答案】①③【思路点拨】连接AF，根据正方形的性质和已知条件证明Rt ABE Rt BCF，进而可以判断①；结合①证明A、P、F、D四点共圆，根据圆周角定理可以判断③，根据锐角三角函数可以判断②，根据DA DP，只有当DA AP时，FD FP，进而可以判断④．【详解详析】解：连接AF，E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，ADCF BE，2，DF在ABE和BCF中，AB BCABE C，BE CFRt ABE Rt BCF(SAS)，BAE CBF，又BAE BEA90，CBF BEA90，BPE APF90，AE BF，故①正确；APF90，ADF APF180，A、P、F、D四点共圆，AFD DPA，DAF DPF，DAB APF90，BAEDAF，DAP DPA ，DA DP，故③正确；DAP DPA AFD，ADtan DAP tan AFD2，故②错误；DFDA DP，只有当DA AP时，FD FP，故④不一定正确．故①③．故答案为：①③．【名师指导】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．19．如图，在四边形ABCD中，B C45，P是BC上一点，PA PD，APD90，AB CD______．BC2【标准答案】2【思路点拨】通过等腰直角三角形构建一线三等角模型求解即可．【详解详析】解：如图所示，分别过A、D作AE BC于E，DF BC于F∴AEP DFP90∴APE PAE 90,DPF PDF 90∵APD 90∴∠APE ∠DPF90∴APE DPF ,PAEDPF在△AEP与△DFP中APEDPFPA PDPAE DPF∴△AEP △DPFASA∴AE PF，PE DFC 45,FDC C45,DF FC PE,在Rt△ABE 中，B45∴ 2 2AB BE AE 2BE2AE同理可得：CD 2CF 2DFAB CD 2BE 2CF 2BECF2BECF 2∴BC BE PE PFCF22故答案为：．2【名师指导】本题考察特殊的直角三角形，灵活运用一线三等角模型及特殊直角三角形三边关系是解题的关键．20．如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M，N不重合）PQ MN,NE平分MNP，交PM于点E，交PQ于点F．PF PE___________________．(1)PQ PMMQ(2)若PN 2 PM MN，则___________________．NQ5 1【标准答案】12【思路点拨】(1)过E作GE MN于G，可得NGE90，根据圆周角的性质可得MPN90，又NE平分MNP，根据角平分线的性质可得PE GE；由PNE MNE，PNE PEN90，MNE QFN90，且QFN PFE，根据“等角的余角相等”可得PEN PFE，再根据等腰三角形的性质“等角对等边”可得PE PF，即有GE PF；由PQ MN，GE MN，EM GE可得GE//PQ，从而可得在PMQ中有，将EM PM PE、PE GE、GE PFPM PQPM PF PF PF PE代入可得，，既而可求得的值．PM PQ PQ PM【详解详析】(1)如图所示，过E作GE MN于G，则NGE90，∵MN为半圆的直径，∴MPN90，又∵NE平分MNP，NGE90,∴PE GE．∵NE平分MNP，∴PNE MNE，∵EPN FQN90，∴PNE PEN90,MNE QFN90,又QFN PFE，∴PNE PEN90,MNE PFE90，又∵PNE MNE，∴PEN PFE，∴PE PF,又∵PE GE，∴GE PF．∵PQ MN，GE MN，∴GE//PQ，EMGE ∴在 PMQ中， , PMPQ又∵ EMPMPE ,PM PE GE∴， PM PQPM PE GE PM PF PF∴将GEPF ， PEPF ，代入PF PEPM PF PF ∴得， , PM PQ PM PQ1， PQ PM PM PMPF PE即1．PQ PM（2）∵PNQ MNP ， NQPNPM ，∴NPQ ∽NMP ，PNQN ∴ ， MNPN∴ PN ∵ PN2QN MN ，PM MN ，2∴ PM QN ，MQ MQ∴， NQ PMMQ PM ∵cosM， PMMNMQ PM ∴ ∴ ， NQ MN MQ NQ NQMQ NQMQNQ 2 MQNQ∴ NQ2MQ 2MQ NQ ，即1 ， 2MQ NQ设 x ，则 x 5 12 x 10，5 1 解得： x，或 x 0（舍去）， 22MQ 5 1∴， NQ故答案为：【名师指导】25 1． 2本题综合考查了圆周角的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例的性质等知识．(1)中解题的关键是利用角平分线的性质和等腰三角形的性质求得GE PF，EM GEPE PF，再通过平行线分线段成比例的性质得到，进行等量代换和化简后即可PM PQ得解．三、解答题21．如图，在ABC中，AC BC12,ACB120，点D是AB边上一点，连接CD，以CD 为边作等边△CDE．（1）如图1，若CDB45，求等边△CDE的边长；（2）如图2，点D在AB边上移动过程中，连接BE，取BE的中点F，连接CF,DF，过点D作DG AC于点G．①求证：CF^DF．②如图3，将CFD沿CF翻折得CFD，连接BD，求出BD的最小值．【标准答案】（1）62；（2）①见详解；②BD的最小值为6【思路点拨】（1）过点C作CH⊥AB于点H，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠A＝∠B＝30°，AH＝BH＝63，CH=6，由∠CDB＝45°，可得CD＝2CH，进而即可求解；（2）①延长BC到N，使CN=BC，由“SAS”可证△CEN≌△CDA，可得EN=AD，∠N=∠A1＝30°，由三角形中位线定理可得CF∥EN，CF=EN，可得∠BCF＝∠N＝30°，可证DG=CF，2DG∥CF，即可证四边形CFDG是矩形，可得结论；②由“SAS”可证△EFD≌∠BFD'，可得BD'=DE=CD，则当CD取最小值时，BD有最小值，即可求解．【详解详析】解：（1）如图1，过点C作CH⊥AB于点H，。

三角形常见模型综合(解析版) -- 中考数学专题训练

三角形常见模型综合中考直击本考点是中考五星高频考点，难度中等及中等偏上，在全国各地市的中考试卷中都有考查。

1(2022年鄂尔多斯中考试卷第14题)如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC=5，AD= 10，BE=132，则AB的长是．【模型】倍长中线类模型：∥+中点→三角形全等【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF=BC=5，BE=EF，由勾股定理可求AB的长．【解答】解：如图，延长BE交AD于点F，∵点E是DC的中点，∴DE=CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE，∵∠FED=∠BEC，∴△BCE≌△FDE(ASA)，∴DF=BC=5，BE=EF，∴BF=2BE=13，在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB=12．故答案为：12．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键。

教材方位三角形常见模型是解决中考数学问题的有效“捷径”，因为各个模型总结了不同类题的问题特征，并且给予了问题的解决方向，熟悉模型能有效提高做题速度，节约考试时间。

本考点是中考五星高频考点，难度中等或较大，个别还会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考查。

技法指引全等常见模型：①K型图：图形条件与结论辅助线注意事项条件：AC=BC,AC⊥BC 结论：分别过点A、B作ADK型图可以和等腰直角三角板结合，也可以和正方12△ADC ≌△CEB (AAS )⊥l ,BE ⊥l形结合K 型全等模型变形--三垂定理：如图，亦有△ADC ≌△CEB (AAS )总结：当一个直角放在一条直线上时，常通过构造K 型全等来证明边相等，或者边之间的数量关系②手拉手：模型名称几何模型图形特点具有性质全等型手拉手AD =AEAB =AC ∠BAC =∠DAE连结BD 、CE ①△ABD ≌△ACE②△AOB ∽△HOC ③旋转角相等(即∠1=∠2=∠3)④A 、B 、C 、D四点共圆⑤AH 平分∠BHE③倍长中线：基本图形辅助线条件与结论应用环境延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE条件：△ABC ，AD =BD结论：△ABD ≌△CED (SAS )①倍长中线常和△三边关系结合，考察中线长的取值范围②倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题相似常见模型：①A 字图：变型当DE ⎳BC 时，△ADE ∾△ABC 性质：①AD AB =AE AC=DE BC ②AD DB =AE EC当∠ADE =∠ACB 时△ADE ∽△ACB 性质：AD AC =AE AB=DEBC3②8字图：AB CD =JA JC=JBJD 变型③一线三等角常用结论：1.易得△左∽△右；2.如图②，当DE =DF 时，△BDE ≌△CFD ；3.中点型“一线三等角”中，可得三个三角形两两相似如右图，若∠1=∠2=∠3，且BD =DC ，则△1∽△2∽△一般地：当动点E 运动到底边的中点时，CF 有最大值组合常见模型：①知2得1：②勾股定理面积应用：当AB ∥CD 时△AOB ∽△DOC 性质：AB CD =OA OD =OBOC当∠A =∠C 时△AJB ∽△CJD 性质：AB CD =JA JC=JBJD ①AD 为角平分线；②DE ∥AB ；③AE=ED 若以上3个条件中有2个成立，则剩余的那个就会成立。

2024 河北数学中考备考重难专题：三角形、四边形综合题旋转问题(课件)

点击跳转几何画板
1
例题图②
(2)如解图①，连接OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，∠BOC＝90°，OC＝ 1 BD，
2
∴BD＝4 2，∴OC＝2 2 . ∵OP＝1，∠BOC＝90°， ∴CP＝ OP2 OC 2 12 (2 2)2 3 ；
解图①
例（2022河北逆袭卷）如图①，在正方形ABCD中，AB＝4，O是对角线BD
2024中考备考重难专题课件
三角形、四边形综合题
旋转问题
河北数学
课件说明
一、课件设计初衷基于老师在总复习过程中对重难题型有较大的需求，以及纸质图书和板书展示二次函数图象与几何图形
等重难点效果不佳而设计重难专题课件. 在制作过程中结合课件能使题图动态化且分步骤展示的特性，有助于学生题图结合梳理题意，理解平面图形的变化过程. 二、课件亮点 1.依据区域考情，针对性选题
三角面积
正切比求线段比，勾股定理
形
(3)分类讨论思想：点Q分别落在
AD、CD、BC延长线上时
典例精讲
例（2022河北逆袭卷）如图①，在正方形ABCD中，AB＝4，O是对角线BD
的中点，P是平面内一点，且OP＝1. 说明P在以点O为圆心，1 (1)点P到AB的最小距离是____1____；为半径的圆上(线圆最值)
CF=CF′ CE=CE′
∠FCE=∠FCE′
CF CF CE CE
∠FCF′=∠CEE′
△CEE′∽△CFF′
练习题图①
(1)证明：由旋转的性质可得： CE＝CE′，CF＝CF′，∠ECE′＝∠FCF′＝α， ∴ CE CE ，
CF CF
∴△CEE′∽△CFF′；

2023年九年级数学中考复习：旋转(面积问题)综合压轴题(Word版,含答案)

2023年九年级数学中考复习：旋转（面积问题）综合压轴题1．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3，你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将∠PBC绕点B逆时针旋转90°，得到∠P'BA，连接P P'，求出∠APB的度数．思路二：将∠APB绕点B顺时针旋转90°，得到∠C P'B，连接P P'，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．2．如图，已知在∠ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将∠ABD绕点A旋转，得到∠AC D，连接D E．(1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D E；(2)当DE＝D E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．(3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，∠D EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）AC BD相交于点O，3．如图，平行四边形ABCD中，,1,5AB AC AB BC⊥==,BC AD于点E，F．将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交,(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形；(2)证明：在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；(3)在旋转过程中，当AC 绕点O 顺时针旋转多少度时，四边形BEDF 是菱形，请给出证明．4．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至''CE FD ，旋转角为α．(1)当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离为____________，旋转角α=____________︒；(2)如图2，G 为BC 的中点，且090α︒<<︒，求证：GD E D ''=；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．5．将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转()090αα︒<<︒．如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．(1)若AMC 是等腰三角形，则旋转角α的度数为______．(2)在旋转过程中，连接AP ，CE ，求证：AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．(3)在旋转过程中，CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．6．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图∠，在四边形ABCD中，AD CDADC∠=︒，2∠=︒，60=，120ABCAB=，1BC=．【问题提出】(1)如图∠，在图∠的基础上连接BD，由于AD CD=，所以可将DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到DAB'，则BDB'的形状是_______；【尝试解决】(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积；【类比应用】(3)如图∠，等边ABC的边长为2，BDC是顶角120∠=︒的等腰三角形，以D为顶BDC点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求AMN的周长．7．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．。

2023年九年级数学中考专题：旋转综合压轴题(倍长中线法)

2023年九年级数学中考专题：旋转综合压轴题（倍长中线法）1．（1）阅读理解：如图1，在ABC 中，若3AB =，5AC =．求BC 边上的中线AD 的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ．利用全等将边AC 转化到BE ，在BAE 中利用三角形三边关系即可求出中线AD 的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线AD 的取值范围是___________；（2）问题解决：如图2，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DM DN ⊥．DM 交AB 于点M ，DN 交AC 于点N ．求证：BM CN MN +>；（3）问题拓展：如图3，在ABC 中，点D 是BC 的中点，分别以AB AC ，为直角边向ABC 外作Rt ABM 和Rt ACN △，其中90BAM NAC ∠=∠=︒，AB AM =，AC AN =，连接MN ，请你探索AD 与MN 的数量与位置关系，并直接写出AD 与MN 的关系．2．（1）如图1，在ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，AD 是BC 边上的中线，延长AD 到点E 使DE ＝AD ，连接CE ，把AB ，AC ，2AD 集中在ACE 中，利用三角形三边关系可得AD 的取值范围是；（2）如图2，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且DE ⊥DF ，求证：BE ＋CF ＞EF ；（3）如图3，在四边形ABCD 中，∠A 为钝角，∠C 为锐角，∠B ＋∠ADC ＝180°，DA ＝DC ，点E ，F 分别在BC ，AB 上，且∠EDF ＝12∠ADC ，连接EF ，试探索线段AF ，EF ，CE 之间的数量关系，并加以证明．3．（1）阅读理解：如图①，在ABC 中，若85AB AC ＝，＝，求BC 边上的中线AD 的取值范围．可以用如下方法：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180得到EBD △，在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______；（2）问题解决：如图②，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +＞；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠︒＝，CB CD ＝，100BCD ∠︒＝，以C 为顶点作一个50︒的角，角的两边分别交AB AD 、于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE DF EF ，，之间的数量关系，并说明理由．4．如图，在锐角ABC ∆中，60A ∠=︒，点D ，E 分别是边,AB AC 上一动点，连接BE 交直线CD 于点F ．(1)如图1，若AB AC >，且,BD CE BCD CBE =∠=∠，求CFE ∠的度数；(2)如图2，若=AB AC ，且=BD AE ，在平面内将线段AC 绕点C 顺时针方向旋转60°得到线段CM ，连接MF ，点N 是MF 的中点，连接CN ．在点D ，E 运动过程中，猜想线段,,BF CF CN 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．5．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC 的边BC 到D ，使DC ＝BC ，过D 作DE ∥AB 交AC 延长线于点E ，求证：△ABC ≌△EDC ．【理解与应用】如图2，已知在△ABC 中，点E 在边BC 上且∠CAE ＝∠B ，点E 是CD 的中点，若AD 平分∠BAE ．（1）求证：AC ＝BD ；（2）若BD ＝3，AD ＝5，AE ＝x ，求x 的取值范围．6．如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8，求AC 边上的中线BD 的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD 至E ，使DE ＝BD ，连接CE ，可证得△CED ≌△ABD ．①请证明△CED ≌△ABD ；②中线BD 的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以AB ，BC 为直角边向△ABC 外作等腰直角三角形ABM 和等腰直角三角形BCN ，其中，AB ＝BM ，BC ＝BN ，∠ABM ＝∠NBC ＝∠90°，连接MN ．请写出BD 与MN 的数量关系，并说明理由．7．已知ABC 中，（1）如图1，点E 为BC 的中点，连AE 并延长到点F ，使=FE EA ，则BF 与AC 的数量关系是________．（2）如图2，若AB AC =，点E 为边AC 一点，过点C 作BC 的垂线交BE 的延长线于点D ，连接AD ，若DAC ABD ∠=∠，求证：AE EC =．（3）如图3，点D 在ABC 内部，且满足AD BC =，BAD DCB ∠=∠，点M 在DC 的延长线上，连AM 交BD 的延长线于点N ，若点N 为AM 的中点，求证：DM AB =．8．在△ABM 中，AM ⊥BM ，垂足为M ，AM ＝BM ，点D 是线段AM 上一动点．（1）如图1，点C 是BM 延长线上一点，MD ＝MC ，连接AC ，若BD ＝17，求AC 的长；（2）如图2，在（1）的条件下，点E 是△ABM 外一点，EC ＝AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF ＝∠CEF ．（3）如图3，当E 在BD 的延长上，且AE ⊥BE ，AE ＝EG 时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）9．已知：等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △中，AB AC =，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=︒．（1）如图1，延长DE 交BC 于点F ，若68BAE ∠=︒，则DFC ∠的度数为；（2）如图2，连接EC 、BD ，延长EA 交BD 于点M ，若90AEC ∠=︒，求证：点M 为BD 中点；（3）如图3，连接EC 、BD ，点G 是CE 的中点，连接AG ，交BD 于点H ，9AG =，5HG =，直接写出AEC △的面积．10．（1）阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8．求AC 边上的中线BD 的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．11．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD到M，使得DM＝AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．12．如图，点P是∠MON内部一点，过点P分别作P A∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（P A≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD 交PB于点F．（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO ＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）．13．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE ＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；∠BAD，试问线段（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝12EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．14．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________；（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN．求证：BM＋CN＞MN；（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM 和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．15．如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别是AC ，AB 上的动点，且AE ＝CD ，BD 交CE 于点P ．（1）如图1，求证：∠BPC ＝120°；（2）点M 是边BC 的中点，连接P A ，PM ，延长BP 到点F ，使PF ＝PC ，连接CF ，①如图2，若点A ，P ，M 三点共线，则AP 与PM 的数量关系是．②如图3，若点A ，P ，M 三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．16．（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．17．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ．求证：AB ＝CD ．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．18．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC △≌EDB △的理由是______．（2）求得AD 的取值范围是______．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】⊥，求证：（3）如图2，在ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM DNBM CN MN+>．。

2023年九年级中考数学复习：旋转综合题(角度问题)

2023年九年级中考数学复习：旋转综合题（角度问题）1．综合与实践如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF ，裁成一个边长为4的正方形ABCD 和一个长为4、宽为2的长方形CEFD 如图2．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为α．(1)当点D '恰好落在EF 边上时，求旋转角α（0°＜α＜90）的值；(2)如图3，G 为BC 中点，且0°＜α＜90°，求证：GD E D ''=；(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '△与CBD '△存在两次全等，请你帮助小军直接写出当DCD '△与CBD '△全等时，旋转角α的值．2．如图1，已知ABC 是等边三角形，点E 在线段AB 上，点D 在直线BC 上，且ED ＝EC ，将BCE △绕点C 顺时针旋转60°至ACF △，连接EF ．(1)证明：AB ＝DB ＋AF ．(2)如图2，如果点E 在线段AB 的延长线上，其它条件不变，线段AB ，DB ，AF 之间又有怎样的数量关系？请说明理由．3．已知∠ABC =90°，BA =BC ，在同一平面内将等腰直角∠ABC 绕顶点A 逆时针旋转（旋转角小于180°）得∠ADE ．(1)若AE //BD 如图（1），求旋转角∠BAD 度数；(2)当旋转角为60°时，延长ED 与BC 交于点F ，如图（2）．求证：AC 平分∠DAF(3)点P 是边BC 上动点，将AP 绕点A 逆时针旋转15°到AG ，如图（3）示例，设AB =BC =α，求CG 长度最小值（用含α式子表示）4．如图∠，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线,BD CE 的交点．(1)如图∠，将ADE 绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，求证：BD CE =且BD CE ⊥．(2)若8,4AB AD ==，把ADE 绕点A 旋转，∠当90EAC ∠=︒时，求PB 的长；∠旋转过程中线段BP 长的最小值是_______．5．如图，等腰Rt∠ABC 中，AB ＝AC ，D 为线段BC 上的一个动点，E 为线段AB 上的一个动点，使得CD =．连接DE ，以D 点为中心，将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接线段EF ，过点D 作射线DR ∠BC 交射线BA 于点R ，连接DR ，RF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠BDE ∠∠RDF ；（3）若AB ＝AC ＝2，P 为射线BA 上一点，连接PF ，请写出一个BP 的值，使得对于任意的点D ，总有∠BPF 为定值，并证明．6．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值叫做这条边所对角的准对（记作qad ）．如图1，在∠ABC 中，AH ∠BC 于点H ，则qad ∠BAC ＝AH BC ．当qad ∠BAC ＝35时，则称∠BAC 为这个三角形的“金角”．已知在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，∠ACE 的“金角”∠EAC 所对的边CE 在BC 边上，将∠ACE 绕点C 按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到∠A 'CE '，A 'C 交AD 边于点F ．（1）如图2，当α＝45°时，求证：∠ACF 是“金角”．（2）如图3，当点E '落在AD 边上时，求qad ∠AFC 的值．7．“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．（1）如图1，正方形ABCD 中，45EAF ∠=︒，且DE BF =，求证：EG AG =；（2）如图2，正方形ABCD 中，45EAF ∠=︒，延长EF 交AB 的延长线于点G ，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3在（2）的条件下，作GQ AE ⊥，垂足为点Q ，交AF 于点N ，连结DN ，求证：45NDC ∠=︒．8．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：（1）如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，1PA =，2PB =，3PC =，你能求出APB ∠的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将PBC 绕点B 逆时针旋转90︒，得到P BA '△，连接PP '，可求出APB ∠的度数；思路二：将PAB 绕点B 顺时针旋转90︒，得到P CB '△，连接PP '，可求出APB ∠的度数；请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；（2）如图2，若点P 是等边三角形ABC 内一点，若150APB ∠=︒，则线段PA ，PB ，PC 满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段PA ，PB ，PC 满足的等量关系．9．已知∠ABC 和∠ADE 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠DAE ＝∠BAC ．【初步感知】（1）特殊情形：如图∠，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB EC ．（填＞、＜或＝）（2）发现证明：如图∠，将图∠中∠ADE 的绕点A 旋转，当点D 在∠ABC 外部，点E 在∠ABC 内部时，求证：DB ＝EC ．【深入研究】（3）如图∠，∠ABC 和∠ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则∠CDB 的度数为；线段CE ，BD 之间的数量关系为．（4）如图∠，∠ABC 和∠ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为∠ADE 中DE 边上的高，则∠CDB 的度数为；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为．10．如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．点P从点A开始沿射线AM运动，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段P A的长为m(m≥0)，当点Q恰好落在直线l上时，点P停止运动．(1)在图∠中，当∠ACP＝20°时，求∠BQC的大小；(2)在图∠中，已知BD∠l于点D，QE∠l于点E，QF∠BD于点F，试问：∠BQF的大小是否会随着点P的运动而改变？若不会，求出∠BQF的大小；若会，请说明理由．(3)在图∠中，连接PQ，记△P AQ的面积为S，请求出S与m的函数关系式(注明m的取值范围)，并求出当m为何值时，S有最大值？最大值为多少？11．把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图∠，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图∠，设EF与BC交于点G，当EG=CG时，求点G的坐标；（4）如图∠，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．12．如图1，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将∠ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F．(1)如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P．∠求证：AE•AB＝AD•AC；∠求BF的长；(2)如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长．13．如图∠，在ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．(1)求证：BDA ∠BFE ；(2)当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD ∥BF ．(3)如图∠，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由． 14．图1是边长分别为a 和()b a b >的两个等边三角形纸片ABC 和CDE 叠放在一起（C 与C '重合）的图形．(1)操作：固定ABC ，将CDE 绕点C 按顺时针方向旋转20°，连结AD ，BE ，如图2，则ECA ∠=______度，并直接写出线段BE 与AD 的数量关系____．(2)操作：若将图1中的CDE ，绕点C 按顺时针方向旋转120°，使点B 、C 、D 在同一条直线上，连结AD 、BE ，如图3．∠线段BE 与AD 之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE 与AD 之间的数量关系；∠求APB ∠的度数．(3)若将图1中的CDE ，绕点C 按逆时针方向旋转一个角()0360αα<<︒，当α等于多少度时，BCD △的面积最大？请直接写出答案．15．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至''CE FD ，旋转角为α．(1)当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离为____________，旋转角α=____________︒；(2)如图2，G 为BC 的中点，且090α︒<<︒，求证：GD E D ''=；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．16．将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转()090αα︒<<︒．如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．(1)若AMC 是等腰三角形，则旋转角α的度数为______．(2)在旋转过程中，连接AP ，CE ，求证：AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．(3)在旋转过程中，CPN △是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．17．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图∠，在四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =．【问题提出】(1)如图∠，在图∠的基础上连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到DAB '，则BDB '的形状是_______；【尝试解决】(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD 的面积；【类比应用】(3)如图∠，等边ABC 的边长为2，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．18．如图1，在等腰三角形ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD ＝AE ，连接BE ，点M 、N 、P 分别为DE 、BE 、BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，线段NM 、NP 的数量关系是，∠MNP 的大小为；(2)探究证明：把∠ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP 、BD 、CE ，判断∠MNP 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：当∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝10，AD ＝AE ＝6时，把∠ADE 绕点A 在平面内自由旋转，如图3，请求出∠MNP 面积的最大值．19．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC 中，2AB =，点E 是ABC 内一点，连接,,AE EC BE ，分别将,AC EC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC FC ，连接,,AD DF EF ．当B ，E ，F ，D 四个点满足______时，BE AE CE ++的值最小，最小值为_______．【解法探索】(2)如图2，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，请求出当PA PB PC ++的值最小时BCP ∠的度数，并直接写出此时::PA PB PC 的值．（提示：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ）【拓展应用】(3)在ABC 中，90,30,2ACB BAC BC ︒︒∠=∠==，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，直接写出当PA PB PC ++的值最小时，::PA PB PC 的值．20．【问题背景】如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，我们可以通过把ABE △绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，容易证得：EF BE DF =+．(1)【迁移应用】如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，若B ∠、D ∠都不是直角，且180B D ∠+∠=︒，试探究EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并说明理由．(2)【联系拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒．猜想BD 、DE 、EC 满足的等量关系（直接写出结论，不需要证明）．参考答案：1．(1)30°(3)135°；315°2．(2)AB＝BD－AF；3．(1)90︒62a a-4．(2)∠855PB=2455；∠4345．（3）当4BP=，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值6．（2）237．（2）结论依然成立，8．（2）222PC PA PB=+，9．（1）=；；（3）60︒，DB CE=；（4）90︒，2AM BD CD+=10．（1）∠BQC＝70°．（2）∠BQF的大小不会随点P的运动而改变，始终为一定值，此定值为60°．（3）当m 23S311．（1）E（4，13；（2）60°；（3）13(4,)3G；（4）点H不在此抛物线上．12．(1)；52102310+13．(3)∠MPN的值为定值，30°．14．(1)40，BE＝AD(2)∠存在∠60°(3)当α＝150°或330°时，BCD△的面积最大15．(1)1，30(3)能，α为135︒或315︒16．(1)60°或15°(3)能，30α∠=︒或60︒17．(1)等边三角形(3)418．(1)MN ＝NP ，∠MNP ＝60°；(2)△MNP 是等边三角形，(3)△MNP 面积的最大值是32．19．(1)四点共线，(2)PA PB PC ++的值最小时45BCP ∠=，此时)::2:2:1PA PB PC = (3)::4:2:1PA PB PC =20．(1)EF BE DF =+，(2)222DE BD EC =+。

2024年中考数学高频考点专题复习——旋转综合题(含解析)

2024年中考数学高频考点专题复习——旋转综合题1．如图，△ABC 和△DEF 关于某点对称（1）在图中画出对称中心O ；（2）连结AF 、CD ，判断四边形ACDF 的形状，并说明理由．2．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位．（1）画出关于原点O 的中心对称图形；（2）在（1）的条件下，请分别写出点A 、B 、C 的对应点、、的坐标．ABC ABC 111A B C 1A 1B 1C3．如图1，图2，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 、BC 边上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），始终保持BD=CE.（1）当点D 、E 运动到如图1所示的位置时,求证：CD=AE.（2）把图1中的△ACE 绕着A 点顺时针旋转60°到△ABF 的位置（如图2），分别连结DF 、EF.①找出图中所有的等边三角形(△ABC 除外)，并对其中一个给予证明；②试判断四边形CDFE 的形状,并说明理由.4．如图，矩形中，，将矩形绕点C 顺时针旋转得到矩形 .设旋转角为，此时点恰好落在边上，连接 .（1）当恰好是中点时，此时；（2）若，求旋转角及的长.5．将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD ，连接CD 、BD ．（1）如图，若α=80°，则∠BDC 的度数为；（2）请探究∠BDC 的大小是否与角α的大小有关，并说明理由．ABCD 4BC =ABCD A B C D ''''αB 'AD B B 'B 'AD α=75AB B ︒∠='αAB6．在平面直角坐标系中，小方格都是边长为1的正方形，△ABC ≌△DEF ，其中点A 、B 、C 、都在格点上，请你解答下列问题：（1）如图（a ）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号为．（2）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；画出△ABC 绕点P （1，﹣1）顺时针旋转90°后的△A 2B 2C 2；（3）△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成中心对称吗？若成中心对称请你求出对称中心的坐标；若不成，则说明理由．7．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（将后备箱放大后如图2所示）．已知厘米，厘米，厘米．在图2中求：（1）点到的距离（结果保留根号）；（2）E 、两点的距离（结果保留根号）．ABCD ADE 60︒ADE AD E ''90AD =30DE =40EC =D 'BC E '8．如图，是等腰直角三角形，是直角三角形，，点为边中点将绕点顺时针旋转，旋转角记为，点为边的中点．（1）如图，求初始状态时的大小；（2）如图，在旋转过程中，若点构成平行四边形，请直接写出此时的值；（3）在旋转过程中，若点和点重合，请在图中画出并连接，判断此时是否有 ?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．ABC 90,ABC BDE ∠=︒ 30E ∠=︒D BC BDE D (0360)αα<<︒F BE AEC ∠,,,B D F B 'a F B ,B DE ' AE AE ED ⊥9．如图，在菱形中，，将边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．过点作于点，过点作直线于点，连接．（1）（探索发现）填空：当时， = ．的值是（2）（验证猜想）当时，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；（3）（拓展应用）在（2）的条件下，若，当是等腰直角三角形时，请直接写出线段的长．ABCD 120BAD ∠= AB A 'AB αD DF BC ⊥F B BE ⊥'B D E EF 60α= 'EBB ∠ 'EF DB 0360α<< AB =BDE ∆EF10．如图(1),在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作APCD，AC与PD 相交于点E，已知∠ABC=∠AEP= (0°< <90°).（1）求证: ∠EAP=∠EPA;（2）APCD是否为矩形?请说明理由;（3）如图(2),F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.αα11．定义：有一组邻边相等，且它们的夹角为60°的四边形叫做半等边四边形．（1）已知在半等边四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，∠BCD=120°．①如图1，若∠B=∠D ，求证：BC=CD ；②如图2，连结AC ，探索线段AC 、BC 、CD 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图3，已知∠MAC=30°，AC=10+10，点D 是射线AM 上的一个动点，记∠DCA=a ，点B 在直线AC 的下方，若四边形ABCD 是半等边四边形，且CB=CD ．问：当点D 在15°≤a≤45°的变化过程中运动时，点B 也随之运动，请直接写出点B 所经过的路径长．12．已知，把45°的直三角板的直角顶点E 放在边长为6的正方形ABCD 的一边BC 上，直三角板的一条直角边经过点D ，以DE 为一边作矩形DEFG ，且GF 过点A ，得到图1.（1）求矩形DEFG 的面积；（2）若把正方形ABCD 沿着对角线AC 剪掉一半得到等腰直角三角形ABC ，把45°的直三角板的一个45°角的顶点与等腰直角三角形ABC 的直角顶点B 重合，直三角板夹这个45°角的两边分别交CA 和CA 的延长线于点H 、P ，得到图2.猜想：CH 、PA 、HP 之间的数量关系，并说明理由；（3）若把边长为6的正方形ABCD 沿着对角线AC 剪掉一半得到等腰直角三角形ABC ，点M 是Rt △ABC 内一个动点，连接MA 、MB 、MC ，设MA+MB+MC ＝y ，直接写出的最小值.2y13．（1）观察猜想：如图①，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，∠ABC ＝∠EBD ＝90°，AB ＝BC ，BE ＝BD ，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接CD 、BF ，当点D 、B 、C 三点共线时，线段CD 与线段BF 的数量关系是，位置关系是 .（2）探究证明：在（1）的条件下，将Rt △BDE 绕点B 顺时针旋转至图②位置时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请你就图②的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图③，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，∠ABC ＝∠EBD ＝90°，BC ＝2AB ＝8，BD ＝2BE ＝4，连接AE ，点F 是AE 的中点，连结CD 、BF ，将△BDE 绕点B 在平面内自由旋转，请直接写出BF 的取值范围，14．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：（1）探究1，如图1，在等腰直角三角形ABC 中，，，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连接CD ，过点D 作BC 边上的高DE ，则DE 与BC 的数量关系是，的面积为；（2）探究2，如图2，在一般的中，，（，），将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连接CD ，请用含m ，n 的式子表示的面积，并说明理由.（3）探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，，（，，），将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连接CD ，试探究用含a ，b ，c 的式子表示的面积，要有探究过程.90ACB ∠=︒5BC =BCD Rt ABC 90ACB ∠=︒22()()BC m n m n =+--0m >0n >BCD AB AC =BC a b c =++0a >0b >0c >BCD15．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，连接NM，NP.（1）图1中，线段NM，NP的数量关系是，∠MNP的度数为；（2）把△ADE绕点A顺时针旋转到如图2所示的位置，连接MP.求证：△MNP是等边三角形；（3）把△ADE绕点A在平面内旋转，若AD＝2，AB＝5，请直接写出△MNP面积的最大值.16．（1）问题发现：如图①，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上点（点E不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为 .（2）问题探究：如图②，线段BQ＝10，C为BQ上点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC＝∠ADC＝90°，且AD ＝CD，连接DQ，求DQ的最小值；（3）问题解决：“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，AC＝600米.其中AB、BD、BC为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB+BD+BC的最大值.17．如图14-1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 2：y=与x 轴交于点B ，与直线l 1交于点c ，c点到x 轴的距离CD 为2 ，直线1交x 轴于点A(-3，0) ．（1）求直线l 1的函数表达式；（2）如图14-2，y 轴上的两个动点E 、F(E 点在F 点上方)满足线段EF 的长为，连接CE 、AF ，当线段CE+EF+AF 有最小值时，求出此时点F 的坐标，以及CE+EF+AF 的最小值；（3）如图14-3，将△ACB 绕点B 逆时针方向旋转60°，得到△BGH ，使点A 与点H 重合，点C 与点G 重合(C 、G 两点恰好关于x 轴对称)，将ABGH 沿直线BC 平移，记平移中的△BGH 为△B'G'H'，在平移过程中，设直线B'H'与x 轴交于点M ，是否存在这样的点M ，使得△B'MG'为等腰三角形？若存在，请直接写出此时点M 的坐标；若不存在，说明理由．18．如图（1）问题发现：如图1，已知点C 为线段上一点，分别以线段为直角边作两个等腰直角三角形，，连接，线段之间的数量关系为；位置关系为 .（2）拓展研究：如图2，把绕点C 逆时针旋转，线段交于点F ，则之间的关系是否仍然成立，说明理由；x AB ,AC BC 90,,ACD CA CD CB CE ︒∠===,AE BD ,AE BD Rt ACD ∆,AF BD ,AE BD（3）解决问题：如图3，已知，连接，把线段AB 绕点A 旋转，若，请直接写出线段的取值范围.19．如图1，在中， , ，点分别是的中点，连接 .（1）探索发现：图1中，的值为；的值为；（2）拓展探究若将绕点逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；（3）问题解决当旋转至三点在同一直线时，直接写出线段的长.,,90AC CD BC CE ACD BCE ︒==∠=∠=,,AB AE AD 7,5AB AC ==AE ABC 2AB AC ==120BAC ∠=︒,D E ,AC BC DE AB BC AD BE CDE C AD BECDE ,,A D E BE20．有两个形状、大小完全相同的直角三角板ABC 和CDE ，其中∠ACB ＝∠DCE ＝90°．将两个直角三角板ABC 和CDE 如图①放置，点A ，C ，E 在直线MN 上．（1）三角板CDE 位置不动，将三角板ABC 绕点C 顺时针旋转一周，①在旋转过程中，若∠BCD ＝35°，则∠ACE ＝ ▲ °；②在旋转过程中，∠BCD 与∠ACE 有怎样的数量关系？请依据图②说明理由．（2）在图①基础上，三角板ABC 和CDE 同时绕点C 顺时针旋转，若三角板ABC 的边AC 从CM 处开始绕点C 顺时针旋转，转速为12°/秒，同时三角板CDE 的边CE 从CN 处开始绕点C 顺时针旋转，转速为2°/秒，当AC 旋转一周再落到CM 上时，两三角板都停止转动．如果设旋转时间为t 秒，则在旋转过程中，当∠ACE ＝2∠BCD 时，t 为多少秒？21．我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板.把两块边长为4的等边三角形板和叠放在一起，使三角形板的顶点与三角形板的AC 边中点重合，把三角形板固定不动，让三角形板绕点旋转，设射线与射线相交于点M ，射线与线段相交于点N.ABC DEF DEF D ABC O ABC DEF O DE AB DF BC（1）如图1，当射线经过点，即点N 与点重合时，易证△ADM ∽△CND.此时，AM·CN= .（2）将三角形板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为 .其中，问AM·CN 的值是否改变？说明你的理由.（3）在（2）的条件下，设AM= x ，两块三角形板重叠面积为，求与的函数关系式.（图2，图3供解题用）22．已知抛物线（，，是常数，）的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．（1）若点，求点和点的坐标；（2）将点绕点逆时针方向旋转，点的对应点为，若，两点关于点中心对称，求点的坐标和抛物线解析式：（3）在（1）的条件下，点为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，与相交于点，过点作轴，与轴相交于点，求的最大值及此时点的坐标．DF B B DEF O α090α<< y y x 2y ax bx c =++a b c 0a ≠()14M -，x A B A B y C ()03C -，A B A B 90︒A 1A A 1A M 1A P BC P PD x BC D P PE y x E PD PE +P答案解析部分1．【答案】（1）解：对称中心O 如图所示；（2）解：∵A 与F ，C 与D 是对应点，∴AO=DO ，CO ＝FO ，∴四边形ACDF 是平行四边形．2．【答案】（1）解：如图所示：（2）解：由图可知：，，．3．【答案】（1）证明：∵△ABC 是正三角形，∴BC=CA ，∠B=∠ECA=60°.又∵BD=CE ，∴△BCD ≌△CAE.∴CD=AE.（2）解：① 图中有2个正三角形，分别是△BDF ，△AFE.由题设，有△ACE ≌△ABF ，∴CE=BF ，∠ECA=∠ABF=60°又∵BD=CE ，∴BD=CE=BF ，∴△BDF 是正三角形，∵AF=AE ，∠FAE=60°，∴△AFE 是正三角形.1(12)A -，1(33)B -，1(40)C ，② 四边形CDFE 是平行四边形.∵∠FDB=∠ABC =60°∴FD ∥EC.又∵FD=FB=EC ，∴四边形CDFE 是平行四边形.4．【答案】（1）60°（2）解：∵四边形是矩形，∴ ，∴ .由旋转的性质得，∴ ，∴ ，即旋转角为30°.作于点E.则 .5．【答案】（1）30°（2）解：无关．理由如下：由旋转变换可知：∠BAC=60°，∠CAD=α， = ， AB=AC=AD ，∴ ，，ABCD //AD BC 75CBB AB B ︒'∠=∠='CB CB ='75CB B CBB ︒∠'=∠='180757530BCB ︒︒︒︒∠--='=αB E BC '⊥122AB B E CB '='==()1180602ADB α∠=︒-+︒⎡⎤⎣⎦1202α︒-()11802ADC α∠=︒-()11202ADB α︒∠=-∴∠BDC=∠ADC-∠ADB= - =30° ，∴∠BDC 的大小与ɑ的度数无关．6．【答案】（1）②（2）解：如图（3）解：如图所示：△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成中心对称图形，对称中心的坐标为：（1，0）．7．【答案】（1）解：过点作，垂足为点H ，交于点F ．由题意得（厘米），．∵四边形是矩形，∴ ，．在中，又∵ ，，∴ ．∴ （厘米）答：点到的距离是（厘米）．（2）解：连结、、．()11802α︒-()11202α︒-D 'D H BC '⊥AD 90AD AD =='60DAD ∠='︒ABCD AD BC 90AFD BHD ∠'=∠='︒Rt AD F ∆'sin 90sin 60D F AD DAD ︒=⋅∠=⋅='''40CE =30DE =70FH=70)D H D F FH ='++'=D 'BC ()70+AE AE 'EE '由题意得，．∴ 是等边三角形．∴ ．∵四边形是矩形，∴ ．在中，，，∴（厘米）答：E 、两点的距离是厘米．8．【答案】（1）解：∵∠BED ＝30°，△BDE 是直角三角形，∴∠EBD ＝90°－∠BED ＝60°．又∵D 是BC 的中点，∴DE 是BC 的垂直平分线．∵BE ＝CE ，∠BEC ＝60°，∴△BCE 是等边三角形．∴BC ＝BE ．∵△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝90°，∴AB ＝BC ．∴BE ＝AB ．∵AB ⊥BC ，DE ⊥BC ，∴AB ∥DE ，∴∠ABE ＝∠BED ＝30°．∴∠BAE ＝∠BEA ＝ (180°－∠ABE)＝75°．∴∠AEC ＝∠BAE ＋∠BEC ＝135°．（2）解：∵四边形BDFB ＇是平行四边形，∠FB ＇D ＝60°∴B ＇F ∥BD ，∴∠B D B ＇＝∠FB ＇D ＝60°AE AE ='60EAE ∠='︒AEE ∆'EE AE '=ABCD 90ADE ∠=︒Rt ADE ∆90AD =30DE =AE ===E '12即＝60°．（3）解：△B ＇DE 如图所示，AE ⊥DE 不成立，理由如下：DE 与AB 相交于点G ，假设AE ⊥DE ，则△AEG ∽△DBG ，设BG ＝a ，∠BDG ＝30°，∴DG ＝2a ，BD ＝ a ，AB ＝2 BD ＝ a ．∴AG ＝AB －BG ＝（－1）a ，B ＇D ＝BD ＝a ．∴DE ＝＝3a．∴GE ＝DE －DG＝3a －2a ＝a ．∴ ，．∴ 与假设矛盾．∴AE ⊥DE 不成立．9．【答案】（1）30（2）解：当时，（1）中的结论仍然成立．证明：如图1，连接．a tan 30B D＇AG DG ==1GE a GB a ==AG GE DG GB≠0360α<< BD，，．，．．．，即．，，．．，（3）解：线段的长为或．连接，交于点．，，，，∵DE=BE ，∠DEB=90°，∴∠EDB=∠EBD=45°，．，∠B′EB=90°，，．，．．'AB AD AB == 1'(180)9022AB B αα∴∠=︒-=︒-1'[180(120)]3022AB D αα∠=︒-︒-=︒+'180''180(90)(306022EB B AB D AB B αα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒+=︒'30EBB ∴∠=︒11(180)3022CBD ABC BAD∠=∠=︒-∠=︒ 'EBB CBD ∴∠=∠'''EBB FBB CBD FBB ∴∠+∠=∠+∠'DBB EBF ∠=∠cos BF DBF BD ∠== cos ''BE EBB BB ∠=='BF BE BD BB ∴='DBB FBE ∆∆∽''EF BE DB BB ∴==EF 3+3-AC BD O AC DB ⊥ 1602BAO BAD ∠=∠=︒sin OB AB BAO ∴=⋅∠=2BD OB ∴==sin DE BE BD DBE ∴==⋅∠=='AB AD AB == 1'(180)9022AB B αα∴∠=︒-=︒-1'[180(120)]3022AB D αα∠=︒-︒-=︒+'180''180(90)(306022EB B AB D AB B αα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒+=︒'30EBB ∴∠=︒'tan '2EB BE EBB ∴=⋅∠==分两种情况：如图，，∵∠B′BE=∠DBF=30°，∴cos ∠B′BE=cos ∠DBF=，又∵∠B′BE+∠EBD=∠EBD+∠DBF ，∴∠B′BD=∠EBF ，∴△B′BD ∽△EBF ，∴ ，．如图，．①''2B D DE BE =+=+EB FB B B DB ='=EB FB EF B B DB B D '='2)3EF D '∴==+=②''2B D DE B E =-=∵∠B′BE=∠DBF=30°，∴cos ∠B′BE=cos ∠DBF=，又∵∠B′BE-∠FBB′=∠DBF-∠FBB′，∴∠B′BD=∠EBF ，∴△B′BD ∽△EBF ，∴ ，．综上所述，线段的长为或．10．【答案】（1）证明：(1)在△ABC 和△AEP 中,∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP, ∠ACB=∠APE,在△ABC 中,AB=BC. ∠ACB=∠BAC,∠EPA=∠EAP,（2）解： APCD 是矩形.四边形APCD 是平行四边形,AC=2EA,PD=2EP.由(1)知, ∠EPA=∠EAP.EA=EP ，进而AC=PDAPCD 是矩形.（3）解：EM=ENEA=EP, ∠EPA=90° - ∠EAM=180°-∠EAP =180°-∠EPA= 180°-(90°-)=90°+ 由(2)知, ∠CPB=90°,F 是BC 的中点, FP=FB,∠FPB=∠ABC= ，∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90° -+ =90°+ ∠EAM=∠EPN∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN ，EB FB B B DB ='=EB FB EF B B DB B D '='2)3EF B D ∴===-'EF 33 ∴∴∴ ∴∴∴ ∴12α∴12α12α∴∴α∴12αα12α∴∠AEP-∠AEN =∠MEN-∠AEN,即∠MEA=∠NEP.△EAM ≌△EPN,EM=EN.11．【答案】（1）解：①证明：连结AC ，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=60°，∠C=120°，∴∠B+∠D=180°，且∠B=∠D ，∴∠B=∠D=90°，∵AB=AD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC （HL ），∴BC=DC ；②解：延长CB ，使得CD=BE ，∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，∴∠ABC+∠D=180°，且∠ABC+∠ABE=180°，∴∠D=∠ABE ，又∵AB=AD∴△ABE ≌△ADC ，∴AE=AC，∴∴∴∠BAE=∠DAC ，∴∠EAC=∠BAE+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=60°，∴△ACE 是等边三角形，∴AC=CE=CB+BE=CB+CD（2）解：如图，设∠ACD=15°，∠DCD‘=30°，作CM ⊥AD ，D‘H ⊥AC ，由旋转图形的特点可知，CB=CD ，CB‘=CD’，∠BCB'=DCD‘=30°，∴△∠BCB'≌△DCD‘，BB'=DD’，设D'H=x ，由勾股定理得：， HC=x，则，解得x=10，即D'H=10，得，AD’=20，在Rt △AMC 中，∵，∠DAC=30°，∴，AM=（，-5，，∴DD’为D 点的运动路程，则BB‘的运动路程也为10 .12．【答案】（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC ＝∠DCE ＝90°，∵四边形DEFG 是矩形，∴∠AGD ＝∠GDE ＝90°，∴∠DCE ＝∠AGD ＝90°，∠ADC ＝∠GDE ＝90°，∴∠ADC ﹣∠ADE ＝∠GDE ﹣∠ADE ，∴∠EDC ＝∠ADG ，∵∠EDC ＝∠ADG ，∠DCE ＝∠AGD ＝90°，∴△ECD ∽△AGD ，∴ ，∴DG•DE ＝DC•DA ＝6×6＝36，∴矩形DEFG 的面积＝DG•DE ＝36；（2）解：，证明：把△BAP 绕着点B 顺时针旋转90°得到△BCK ，连接KH ，由旋转得△BAP ≌△BCK ，∴BK ＝BP ，∠PBA ＝∠KBC ，∠BCK ＝∠BAP ＝，∴∠HCK ＝＝，∴由勾股定理得，，∵∠PBE ＝45°，∴∠PBA+∠ABE ＝45°，∵∠PBA ＝∠KBC ，∴∠KBC+∠ABE ＝45°，∵∠ABC ＝90°，∴∠HBK ＝45°，∵∠PBE ＝45°，∴∠HBK ＝∠PBE ＝45°，∵BK ＝BP ，∠HBK ＝∠PBE ，BH ＝BH ，∴△BHP ≌△BHK （SAS ），CD DE DG DA=222CH PA HP +＝18045135︒-︒=︒BCK BCA ∠-∠1354590︒-︒=︒222CH PA KH +＝∴HK ＝HP ，∵ ，∴ ；（3）解：把△BMC 绕着点B 顺时针旋转60°得到△BKN ，连接MK ，BN ，NC ，由旋转得，△BMC ≌△BKN ，∴MC ＝KN ，BM ＝BK ，∵BM ＝BK ，∠MBK ＝60°，∴△BKM 是等边三角形，∴MK ＝BM ，∴MA+MB+MC ＝AM+MK+KN ，当A ，M ，K ，N 四点共线时，AN 就是所求的MA+MB+MC 的最小值，过N 作NQ ⊥AB 交AB 的延长线于Q ，∵ ，∠BQN ＝90°，∴QN ＝BN•sin30°＝6× ＝3，BQ ＝BN•cos30°＝，∴AQ ＝AB+BQ ＝，在Rt △AQN 中，由勾股定理得，，∴ 的最小值为 .13．【答案】（1）CD=2BF ；BF ⊥CD（2）解：BF ⊥CD ，CD=2BF 成立，证明：∵△ABC 与△DBE 都是等腰直角三角形，∴AB=BC ，DB=EB ，∠ABC=∠DBE=90°，222CH PA KH +＝222CH PA HP +＝180906030NBQ ∠︒-︒-︒=︒＝126=6+(222226372AN AQ QN +=++=+＝2y 72+如图②，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBG ，点E 、F 的对应点分别是G 、H ，连BH ，则△ABE ≌△CBG ，BE=BG ，AE=CG ，BF=BH ，∠FBH=∠EBG=90°，AF=CH ，EF=GH ， ∴BF ⊥BH ，∵AF=EF ，∴CH=GH ，∵∠DBE=90°，∴∠DBE+∠EBG=180°，∴D 、B 、G 三点共线，∴BH ∥CD ，，∴BF ⊥CD ，，即CD=2BF ，∴BF ⊥CD ，CD=2BF 成立；（3）14．【答案】（1）DE=BC ；12.5（2）解：过点D 作BC 边上的高DE ，如图，∵∠ABC+∠A=90°，∠ABC+∠DBE=90°，∴∠A=∠DBE ，又∵∠ACB=∠E=90°，AB=BD ，∴ ，∴，12BH CD =12BF CD =13BF ≤≤ACB BED ≌BC DE =又 .∴ 的面积为：.（3）解：作于G ，过点D 作BC 边上的高DE ，如图，由（2）同理，可证，∴ ，又，∵AB=AC ，，∴ .∴ 的面积为： .15．【答案】（1）NM=NP ；60°（2）证明：由旋转得：∠BAD=∠CAE ，又∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，∵点M ，N ，P 分别为DE ，BE ，BC 的中点，∴MN= BD ，PN= CE ，MN ∥BD ，PN ∥CE ，∴MN=PN ，∠ENM=∠EBD ，∠BPN=∠BCE ，∴∠ENP=∠NBP+∠NPB=∠NBP+∠ECB ，∵∠EBD=∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE ，∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB=180°-∠BAC=60°，∴△MNP 是等边三角形；（322()()4mn BC m n m n =+--=BCD 221448m n 2mn mn ⨯⨯=AGB BED ≌BG DE =BC a b c =++BC a b c =++11()22BG BC a b c ==++BCD 2111()()()224a b c a b c a b c ⨯++⨯++=++121216．【答案】（1）4（2）解：如图②中，连接BD ，取AC 的中点O ，连接OB ，OD.∵∠ABD ＝∠ADC ＝90°，AO ＝OC ，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠DBC ＝∠DAC ，∵DA ＝DC ，∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°，∴∠DBQ ＝45°，根据垂线段最短可知，当QD ⊥BD 时，QD 的值最短，DQ 的最小值＝BQ ＝5 .（3）解：如图③中，将△BDC 绕点D 顺时针旋转90°得到△EDA ， ∵∠ABC+∠ADC ＝180°，∴∠BCD+∠BAD ＝∠EAD+BAD ＝180°，∴B ，A ，E 三点共线，∵DE ＝DB ，∠EDB ＝90°，∴BE ＝ BD ，∴AB+BC ＝AB+AE ＝BE ＝BD，∴BC+BC+BD ＝（ +1）BD ，∴当BD 最大时，AB+BC+BD 的值最大，∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴当BD 为直径时，BD 的值最大，∵∠ADC ＝90°，∴AC 是直径，∴BD ＝AC 时，AB+BC+BD 的值最大，最大值＝600（ +1）.17．【答案】（1）解：∵点C 的纵坐标为2 ，点c 在直线l 2：y= ∴点C(-1，2 )设l 1的表达式为y= kx+ b将A(-3，0)、C(-1，2)代入，解得故直线l 1的表达式为：y=x+3 （2）解：作点a关于y 轴的对称点A(3，0)，将点a4向上平移个单位长度得E (3，)连接E'C 交y 轴于点E ，在E下方取EF= ，则点F是所求点，将点C 、E' 的坐标代入一次函数表达式，同理可得： CE' 的函数表达式为：y= 故点E(0，)，点F(0，)CE+EF+4F 的最小值=FE+CE'= +．（3）M(5+8，0)或(5-8，0)或(-3，0)或(-19，0) x +03k bk b=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩x +18．【答案】（1）AE=BD ；AE ⊥BD（2）解：仍然成立.由题意得，∵△ACD 和△BCE 是等腰直角三角形即，∴∴ .∴∴ .（3）解：连接BD.由（2）可知，AE=BD ，在△ABD 中，且，所以即在AB 绕点A 旋转过程中，当A ，B ，D 三点在一条直线上时，或者,AE BD AE BD =⊥90ACD DCE ECB DCE DCE ︒∴∠+∠=∠+∠=+∠,,ACE DCB AC CD EC CB ∠=∠==ACE DCB∆≅∆,12AE DB =∠=∠180(4512)90EFB ︒︒︒∠=--∠+∠=AE BD⊥77AE -≤≤7AD AB ===77BD <<+77AE -<<+7AE =7AE =∴ ≤AE≤ 19．【答案】（1（2）解：无变化,理由: 由(1)知,CD=1, ,∴,∴ ,由(1)知,∠ACB=∠DCE=30°,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD ∽△BCE,∴,（3）解：线段BE 的长为或，理由如下：当点D 在线段AE 上时,如图2,过点C 作CF ⊥AE 于F,∠CDF=180°﹣∠CDE=60°,∴∠DCF=30°,∴ ,∴,7-7+CE BE ==CD CE =AC BC =CD AC CE BC ==AD AC BE BC ==1122DF CD ==CF ==在Rt △AFC 中,AC=2,根据勾股定理得, ,∴AD=AF+DF=,由(2)知, ,∴当点D在线段AE 的延长线上时,如图3,过点C 作CG ⊥AD 交AD 的延长线于G,∵∠CDG=60°,∴∠DCG=30°,∴ ,∴ ,在Rt △ACG 中,根据勾股定理得,,∴ ,由(2)知,,∴即:线段BE 的长为或.AF ==AD BE =BE ==1122DG CD ==CG ==AG =AD AG DG =-=AD BE =BE ==20．【答案】（1）①145；②∠BCD+∠ACE ＝180°，理由如下：∵∠ACE ＝∠ACB+∠BCE ，∴∠BCD+∠ACE ＝∠BCD+∠ACB+∠BCE ＝∠ACB+∠DCE ＝90°+90°＝180°；（2）解：三角板ABC 和CDE 重合之前，∠ACE ＝180°-10°t ，∠BCD ＝10°t ，依题意有180°-10°t ＝2×10°t ，解得t ＝6；三角板ABC 和CDE 重合之后，∠ACE ＝10°t-180°，∠BCD ＝360°-10°t ，依题意有10°t-180°＝2×（360°-10°t ），解得t ＝30．故当t ＝6或30秒时，有∠ACE ＝2∠BCD ．故答案为：6或30．21．【答案】（1）4（2）解：AM•CN 的值不会改变.连接BD ，在△ADM 与△CND 中，∵∠A=∠C=60°，∠DNC=∠DBN+∠BDN=30°+α，∠ADM=30°+α，∴∠ADM=∠CND ，∴△ADM ∽△CND∴ ，∴AM•CN=AD•CD=2×2=4，∴AM•CN 的值不会改变；（3）解：情形1，当0°＜α＜60°时，1＜AM ＜4，即1＜x ＜4，此时两三角形板重叠部分为四边形AD AM CN CD如图2，过D 作DQ ⊥AB 于Q ，DG ⊥BC 于G ，∴DQ=DG= ，由（2）知，AM•CN=4，得CN=，于是y=（1＜x ＜4）；情形2，当60°≤α＜90°时，AM≥4时，即x≥4，此时两三角形板重叠部分为△DPN ，如图3，过点D 作DH ∥BC 交AM 于H ，易证△MBP ∽△MHD ，∴ ，又∵MB=x-4，MH=x-2，DH=2,∴BP=，∴PN=4－，于是y= ，综上所述，1＜x ＜4时，y=；x≥4时，y= 22．【答案】（1）解：设抛物线解析式为，将点代入得，4x 21122AB AM DQ CN DG x -⋅-⋅=BP MB DH MH=282x x --4282x x x ---114284222x PN DG x x -⎛⎫⋅=--= ⎪-⎝⎭x ()214y a x =--()03C -，解得：∴抛物线解析式为当时，解得：，∵点在点的左侧，∴，；（2）解：∵，抛物线，与轴相交于，两点∴，对称轴为直线，设，则，∴∵点绕点逆时针方向旋转得到，则点一定在第四象限，如图所示，则，，∵，两点关于点中心对称，∴解得：，则∴，1a =()214y x =--0y =()2140x --=1213x x =-=，A B ()10A -，()30B ，()14M -，2y ax bx c =++x A B 0a >1x =()0A m ，()20B m -，222AB m m m=--=-A B 90︒A 'A '22BA BA m ='=-()222A m m '--，A 1A M 228m -=-3m =-()58A '-，()30A -，()50B ，将点代入得，解得：∴抛物线解析式为；（3）解：如图所示，设交于点，由（1）可得，，设直线的解析式为，将点代入得，解得所以直线的解析式为，∵抛物线解析式为，设，则，∴，∵轴，轴，由∵则是等腰直角三角形，∴()30A -，()214y a x =--1640a -=14a =()21144y x =--PE BC F ()30B ，()03C -，BC 3y kx =-()30B ，330k -=1k =BC 3y x =-()221423y x x x =--=--()223P t t t --，()0E t ，()3F t t -，223233FP t t t t t =--++=-+223PE t t =-++PD x PE y OC OB=OCB 45FDP OBC ∠=∠=︒∴也是等腰直角三角形，∴∴∴当时，取得最大值此时，即．PDF PD PF=PD PE+22323t t t t =-+-++2253t t =-++252525232168t t ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭2549248t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭54t =PD PE +498225632314416t t ⎛⎫--=--=- ⎪⎝⎭563416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

专题47 三角形中的旋转综合问题(解析版)

专题47 三角形中的旋转综合问题1、如图，点P是∠MON内的一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，且OA＝OB．（1）求证：PA＝PB；（2）如图②，点C是射线AM上一点，点D是线段OB上一点，且∠CPD+∠MON＝180°，若OC＝8，OD＝5．求线段OA的长．（3）如图③，若∠MON＝60°，将PB绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，12秒后，PA开始绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转，PA旋转270°后停止，此时PB也随之停止旋转．旋转过程中，PA所在直线与OM所在直线的交点记为G，PB所在直线与ON所在直线的交点记为H．问PB旋转几秒时，PG＝PH？（1）证明：如图①中，连接OP．∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），∴PA＝PB．（2）如图②中，∵∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB+∠APB＝180°，∵∠CPD+∠AOB＝180°，∴∠CPD＝∠APB，∴∠APC＝∠BPD，∵PA＝PB，∠PAC＝∠PBD＝90°，∴△PAC≌△PBD（ASA），∴AC＝BD，∴OC+OD＝OA+AC+OB﹣BD＝2OA＝13，∴OA＝6.5．（3）设点P的旋转时间为t秒．①当0＜t＜12时，不存在．②当12≤t＜21时，如图3﹣1中，∠APG＝（10t﹣120）°，∠BPH＝2t°，当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此时10t﹣120＝2t，t＝15．③当21≤t＜30时，如图3﹣2中，∠APG＝180°﹣∠APA′＝180°﹣（10t﹣120）°＝（300﹣10t）°，∠BPH ＝2t，当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此时300﹣10t＝2t，t＝25．④当30≤t＜39时，如图3﹣3中，∠APG＝（10t﹣300）°，∠BPH＝2t，当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此时10t﹣300＝2t，t＝37.5，综上所述，满足条件的t的值为15s或25s或37.5s．2、（1）问题发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，CD＝2OD，AB＝2OB，连接AC交BD的延长线于点M．请求出的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC、BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．解：（1）问题发现①如图1，∵∠AOB＝∠COD＝50°，∴∠COA＝∠DOB，∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝BD，∴＝1，②∵△COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AOB＝50°，∴∠OAB+∠ABO＝130°，在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣130°＝50°，故答案为：①1；②50°；（2）类比探究如图2，＝，∠AMB＝90°，理由是：Rt△COD中，∠DOC＝90°，CD＝2DO，∴∠DCO＝30°，∴＝tan30°＝，同理得：＝tan30°＝，∴，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴，∠CAO＝∠DBO，在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）＝90°；（3）拓展延伸①点C与点M重合时，如图1，同（2）得：△AOC∽△BOD，∴∠AMB＝90°，，设BD＝x，则AC＝x，Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，BC＝x﹣2，Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝，∴AB＝2OB＝2，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴，整理得：x2﹣x﹣6＝0，∴（x﹣3）（x+2）＝0，∴x1＝3，x2＝﹣2，∴AC＝3；②点C与点M重合时，如图2，同理得：∠AMB＝90°，，设BD＝x，则AC＝x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴+（x+2）2＝，整理得x2+x﹣6＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2，∴AC＝2；综上所述，AC的长为3或2．3、已知在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0）、C（0，c），其中a、b、c满足＝0．（1）求△ABC的面积；（2）将线段BC向右平移至AD（点B对应点A，点C对应点D）．①当点M为x轴上任意点（不与原点重合），ME、CF分别平分∠CMO与∠DCM，若∠AME＝α，∠DCF＝β，试用含α的代数式表示β；②点P为线段CD上一点（不与点C、D重合），P的横坐标为t，连接BP、AC，BP交y轴于点E，交AC于点Q，若△CQE与△PQA的面积分别为S1，S2，试用含t的代数式表示S2﹣S1．解：（1）如图1中，∵＝0，又∵≥0，|b+2|≥0，（c﹣4）2≥0，∴a＝5，b＝﹣2，c＝4，∴A（5，0），B（﹣2，0），C（0，4），∴OA＝5，OB＝2，OC＝4，∴AB＝OB+OA＝2+5＝7，∴S△ABC＝•AB•OC＝×7×4＝14．（2）①如图2﹣1中，当点E在射线OB上时，α+β＝90°理由：∵CD∥AM，∴∠DCM+∠AMC＝180°，∵∠DCF＝∠DCM＝β，∠AME＝∠AMC＝α，∴α+β＝90°．当点M在线段AB上时，如图2﹣2中，α+β＝180°．理由：∵CD∥AM，∴∠DCM+∠AMC＝180°，∠DCM＝∠CMB，∵∠DCM＝2∠DCF＝2β，∠FCM＝∠DCM，∠EMC＝∠CMB，∴∠FCM＝∠EMC＝β，∴∠AMC＝180°﹣2β，∵∠AME＝∠AMC+∠EMC，∴α＝β+180°﹣2β，∴α+β＝180°．当点M在线段OA的延长线上时，如图2﹣3中，α＝β．理由：：∵CD∥AM，∴∠DCM＝∠CMB，∵∠DCF＝∠DCM，∠AME＝∠CMB，∴∠DCF＝∠AME，∴α＝β．②如图3中，设E（0，m）．由题意：P（t，4），A（5，0），B（﹣2，0），C（0，4），∴S△BCP＝S△BCE+S△ECP，∴×t×4＝×（4﹣m）×2+×（4﹣m）×t，∴m＝，∴S2﹣S1＝S△PCA﹣S△PCE′＝×t×4﹣×t×（4﹣）＝．4、如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0）．（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝15°，AD＝3，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，AD＝2，将△ABD绕点A逆时针方向旋转得到△ACE，点B，D的对应点分别为C，E．连接DE，BD的延长线与CE相交于点F．①求DE的长；②证明：BF⊥CE．（Ⅲ）如图③，将（Ⅱ）中的△ADE绕点A在平面内旋转一周，在旋转过程中点D，E的对应点分别为D1，E1，点N，P分别为D1E1，D1C的中点，请直接写出△OPN面积S的变化范围．解：（Ⅰ）∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠ABO＝45°．∴∠DAO＝∠OAB﹣∠DAB＝30°．如图①中，过点D作DG⊥OA，垂足为G．在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，∴，，∴，∴点D的坐标为．（Ⅱ）①如图②中，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE＝2，∴在Rt△DAE中，，②∵OA＝OB＝OC＝4，∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠OAB＝∠ABO＝∠ACO＝∠OAC＝45°，∴∠BAC＝90°，∵△ABD旋转得到△ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△BFC中，则有∠FBC+∠FCB＝∠FBC+∠BCA+∠ACE＝∠FBC+∠BCA+∠ABD＝∠ABC+∠BCA＝90°，∴BF⊥CE．（Ⅲ）如图③中，∵OB＝OC，PC＝PD1，NE1＝ND1，∴OP＝BD1，PN＝E1C，OP∥BD1，PN∥CE1∵BD1⊥E1C，BD1＝E1C，∴OP⊥PN，OP＝PN，∴△OPN是等腰直角三角形，∵AB＝4，AD1＝2，∴4﹣2≤BD1≤4+2，∴2﹣1≤OP≤2+1，∴△OPN面积的最小值＝（2﹣1）2＝﹣2，△OPN的面积的最大值＝+2，∴．5、问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．解：问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．问题证明：如图2中，（1）中结论成立．理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵•BD•BE＝•DE•BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．6、已知△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置．（1）如图，旋转中心是，∠DAE＝°；（2）如图，如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转动了度；（3）如果点D为BC边上的三等分点，且△ABD的面积为3，那么四边形ADCE的面积为．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，∴旋转中心是点A，∠DAE＝∠BAC＝60°；（2）∵AB和AC为对应边，∴经过上述旋转后，点M转到了AC的中点位置，如图，∴∠MAM′＝60°，∴点M转动了60°；（3）∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，∴△ABD≌△ACE，∵BD＝BC，或BD＝BC，∴CD＝2BD，或CD＝BD，∴S△ABC＝3S△ABD＝3×3＝9，或S△ABC＝S△ABD＝3×＝，∴S＝S△ABC＝9或．四边形ADCE故答案为点A，60；60；9或．7、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM＝CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋转知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大＝AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，∴MN＝2+5＝7，最大∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD＝AB+AD＝14，∴PM＝7，∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝．8、如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是，位置关系是．（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．解：（1）如图1中，延长AE交BD于H．∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，∴∠BEH+∠EBH＝90°，∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，故答案为AE＝BD，AE⊥BD．（2）结论：AE＝BD，AE⊥BD．理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠BOH+∠OBH＝90°，∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD．（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，∴EH＝DH，CH＝DE＝5，在Rt△ACH中，∵AC＝13，CH＝5，∴AH＝＝12，∴AD＝AH+DH＝12+5＝17．②当射线AD在直线AC的下方时时，作CH⊥AD用H．同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7，综上所述，满足条件的AD的值为17或7．9、如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．（1）问题发现当α＝0°时，＝；β＝°．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．解：（1）如图1中，∵∠B＝90°，BA＝BC，∴∠A＝45°，AC＝AB，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴BD＝AB，EC＝AC，∴＝，β＝45°，故答案为，45°．（2）结论：和β的大小无变化．理由：如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．∵AE＝AD，AC＝AB，∴＝＝，∴＝，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴＝＝，∠OBK＝∠OCA，∵∠BOK＝∠COA，∠BKO＝∠CAO＝45°，∴和β的大小无变化．（3）当点E在线段AB上时，S△BCE＝×4×（4﹣2）＝8﹣4，当点E在线段BA的延长线上时，S△BCE＝×4×（4+2）＝8+4．综上所述，△BCE的面积为8﹣4或8+4．10、如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个．（回答直接写序号）①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：①当∠CAE＝90°时，求PB的长；②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．（1）解：如图甲：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴①正确．②∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．∵∠CAB＝90°，∴∠ABD+∠AFB＝90°，∴∠ACE+∠AFB＝90°．∵∠DFC＝∠AFB，∴∠ACE+∠DFC＝90°，∴∠FDC＝90°．∴BD⊥CE，∴②正确．③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD+∠DBC＝45°．∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴③正确．④∵BD⊥CE，∴BE2＝BD2+DE2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④错误．故答案为①②③．（2）①解：a、如图乙﹣1中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝3．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝3，同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴＝，∴＝，∴PB＝．b、如图乙﹣2中，当点E在BA延长线上时，BE＝9．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝3，同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC，∴＝，∴＝，∴PB＝．综上，PB＝或．②解：a、如图乙﹣3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝3，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝2，∴PB＝BD+PD＝3+3．综上所述，PB长的最大值是3+3．b、如图乙﹣4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝3，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝4，∴PB＝BD﹣PD＝3﹣3．综上所述，PB长的最小值是3﹣3．11、如图1，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2．（1）请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；（2）请你在图3中，画出当α＝45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；（3）若AD＝1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是．解：（1）如图1中，连接EC，BD．结论：BD＝CE．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）．∴BD＝CE．（2）如图2中，由题意：∠CAE＝45°，∵AC＝AB，∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AE∥BC．∴△CBE的面积与△ABC的面积相等．∵△ABC的面积为4.5，∴△CBE的面积4.5．（3）如图3中，延长AM到N，使得MN＝AM，连接CN，DM．∵AM＝MN，CM＝MD，∴四边形ADNC是平行四边形，∴AD＝CN＝1，∵AC＝3，∴3﹣1≤AN≤3+1，∴2≤2AM≤4，∴1≤AM≤2，∴AM的最小值为1．故答案为1．12、综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．解决问题（1）如图①，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，连接AE、AD、BD，当△DEC绕点C继续旋转到如图②所示的位置时，他们提出S△BDC＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由；探索发现（3）如图③，勤奋小组在前两个小组的启发下，继续旋转△DEC，当B、A、E三点共线时，求BD的长；（4）在图①的基础上，写出一个边长比为1：：2的三角形（可添加字母）解：（1）如图①中，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；（2）如图②中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N．∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC．（3）如图③中，作CH⊥AD于H．∵∴AC＝CD＝AB＝2，∵B，A，E共线，∴∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝120°，∵∠EDC＝60°，∴∠EAC+∠EDC＝180°，∴A，E，D，C四点共圆，∴∠CAD＝∠CED＝30°，∠BAD＝90°，∵CA＝CD，CH⊥AD，∴AH＝DH＝AC•cos30°＝，∴AD＝2，∴BD＝＝＝2．（4）如图①中，设DE交BC于T．因为含有30°的直角三角形的三边之比为1：：2，由（1）可知△BDT，△DCT，△ECT都是含有30°的直角三角形，∴△BDT，△DCT，△ECT符合条件．。

专题48 三角形中的平移综合问题(解析版)

专题48 三角形中的平移综合问题1、如图，回答下列问题（1）将△ABC沿x轴向左移一个单位长度，向上移2个单位长度，则A1的坐标为，B1的坐标为，C1的坐标为．（2）若△ABC与△A2B2C2关于x轴对称，则A2的坐标为，B2的坐标为，C2的坐标为．解：（1）A（3，0），B（﹣2，4），C（0，﹣1），将△ABC沿x轴向左移一个单位长度，向上移2个单位长度，则A1的坐标为（3﹣1，0+2），B1的坐标为（﹣2﹣1，4+2），C1的坐标为（0﹣1，﹣1+2），即：A1的坐标为（2，2），B1的坐标为（﹣3，6），C1的坐标为（﹣1，1），故答案为：（2，2），（﹣3，6），（﹣1，1）；（2）若△ABC与△A2B2C2关于x轴对称，则A2的坐标为（3，0），B2的坐标为（﹣2，﹣4），C2的坐标为（0，1），故答案为：（3，0），（﹣2，﹣4），（0，1）．2、如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标是（1，3），顶点B的坐标是（﹣2，4），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），现在将△ABC平移得到△A′B′C′，平移后点B和点A刚好重合．其中点A′，B′，C′分别为点A，B，C的对应点．（1）在图中画出△A′B′C′；（2）直接写出A′、C′点的坐标；（3）若AB边上有一点P，P点的坐标是（a，b），平移后的对应点是P′，请直接写出P′点的坐标．解：（1）△A′B′C′如图：（2）∵平移后点B和点A刚好重合，∴平移后，对应点的横坐标增加3，纵坐标减小1，又∵顶点A的坐标是（1，3），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），∴A′、C′点的坐标分别为（4，2），（1，﹣2）；（3）∵P点的坐标是（a，b），∴平移后的对应点P′的坐标是（a+3，b﹣1）．3、如图所示，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）（1）将△ABC沿x轴正方形平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，点B1坐标为；（2）将△A1B1C1沿y轴正方向平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，点C2的坐标为；（3）点P（a，b）是△ABC内一点，经过上述2次平移后对应点坐标为；△A2B2C2的面积为．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1坐标为（1，﹣4）；故答案为：（1，﹣4）；（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（2，2）；故答案为：（2，2）；（3）点P（a，b）沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移4个单位长度后，对应点的坐标为（a+3，b+4），△A2B2C2的面积为．故答案为：（a+3，b+4），．4、现有一副三角板，如图①中，∠B＝90°，∠A＝30°；图②中，∠D＝90°，∠F＝45°；图③中，将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动（移动开始时点D与点A重合）．（1）△DEF在移动的过程中，若D、E两点始终在AC边上，①F、C两点间的距离逐渐；连接FC，∠FCE的度数逐渐．（填“不变”、“变大”或“变小”）②∠FCE与∠CFE度数之和是否为定值，请加以说明；（2）△DEF在移动的过程中，如果D、E两点在AC的延长线上，那么∠FCE与∠CFE之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；（3）能否将△DEF移动至某位置，使F、C的连线与BC垂直？求出∠CFE的度数．解：（1）①F、C两点间的距离逐渐变小；连接FC，∠FCE的度数逐渐变大；故答案为：变小，变大；②∠FCE与∠CFE度数之和为定值；理由：∵∠D＝90°，∠DFE＝45°，又∵∠D+∠DFE+∠FED＝180°，∴∠FED＝45°，∵∠FED是△FEC的外角，∴∠FCE+∠CFE＝∠FED＝45°，即∠FCE与∠CFE度数之和为定值；（2）如图，∠FCE与∠CFE度数之和为定值；理由：∵∠FDE＝90°，∠F＝45°，又∵∠FDE+∠F+∠FED＝180°，∴∠FED＝45°，∵∠FEG是△FEC的外角，∴∠FCE+∠CFE＝∠FEG＝135°，即∠FCE与∠CFE度数之和为定值；（3）要使FC⊥BC，则需∠FCE＝∠A＝30°，又∵∠CFE+∠FCE＝45°，∴∠CFE＝45°﹣30°＝15°．5、操作题：（1）如图甲所示，已知△ABC，用三角尺和量角器作△ABC的：①中线AD；②角平分线BE；③高CH．（2）如图乙在方格中平移△ABC，①使点A移到点M使点A移到点N②分别画出两次平移后的三角形．解：（1）如图1所示；（2）如图2所示．6、按要求画图．（1）在图1中分别画出点A、点B到直线CD的垂线段AE、BF（2）如图2，已知三角形ABC，点D为点A的对应点，过点D作三角形ABC平移后的三角形DEF．解：（1）如图所示；（2）△DEF如图所示．7、在边长为1个单位长度的正方形格纸上建立如图的平面直角坐标系，三角形ABC的顶点都在格点上．（1）请直接写出三角形ABC各点的坐标．（2）求出三角形ABC的面积是．（3）若把三角形ABC向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到三角形A1B1C1，在图中画出三角形A1B1C1．解：（1）如图所示：A（﹣1，﹣1）；B（4，2）；C（1，3）；（2）S△ABC＝4×5﹣×2×4﹣×1×3﹣×3×5＝7．故答案为：7；（3）如图所示：△A1B1C1，即为所求．8、如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB 沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为.【解析】作AM△x轴于点M.根据等边三角形的性质得OA=OB=2，△AOB=60°，在Rt△OAM中,利用含30°角的直角三角形的性质求出OM=1，AM=3，从而求得点A的坐标为（1，3），直线OA的解析式为y=3x,当x=3时，y=33,所以点A′的坐标为（3，33），所以点A′是由点A向右平移2个单位，向上平移23个单位后得到的，于是得点B′的坐标为（4,23）.【答案】（4,23）9、在Rt△ABC中,△BAC=90°,△B=30°,线段AD是BC边上的中线,如图1,将△ADC沿直线BC平移,使点D 与点C重合,得到△FCE,如图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°＜α≤90°),连接AF,DE．(1)在旋转过程中,当△ACE=150°时,求旋转角α的度数；(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．【解析】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：△点E和点D在直线AC两侧；△点E和点D在直线AC同侧；(2)在旋转过程中,总是存在AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明．【答案】：(1)在图1中,△△BAC=90°,△B=30°,△△ACE=△BAC+△B=120°．如图2,当点E和点D在直线AC两侧时,由于△ACE=150°,△α=150°-120°=30°.当点E和点D在直线AC同侧时,由于△ACB=180°-△BAC-△B=60°,△△DCE=△ACE-△ACB=150°-60°=90°.△α=180°-△DCE=90°.△旋转角α为30°或90°;(2)四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形．△△BAC=90°,△B=30°,△AC=1BC．2又△AD是BC边上的中线,△AD=DC=1BC=AC.△△ADC为正三角形．2△当α=60°时,如图3,△ACE=120°+60°=180°.△CA=CE=CD=CF,△四边形ADEF为矩形．△当α≠60°时,△ACF≠120°,△DCE=360°-60°-60°-△ACF≠120°．显然DE≠AF．△AC=CF,CD=CE,△2△FAC+△ACF=2△CDE+△DCE=180°.△△ACF+△DCE=360°-60°-60°=240°,△△FAC+△CDE=60°.△△DAF+△ADE=120°+60°=180°.△AF△DE．又△DE≠AF,AD=EF,△四边形ADEF为等腰梯形．10、如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E 重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上的点F处.（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（2）如果AM=1，sin△DMF=53，求AB 的长. 【解析】（1）由矩形的性质得△A=△B=△C=90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得△BPQ=△AMP=△DQC ，所以△AMP△△BPQ△△CQD ；（2）先证明MD=MQ ，然后根据sin△DMF=53=MD DF DFMD=35，设DF=3x ，MD=5x ，再分别表示出AP ，BP ，BQ ，根据△AMP△△BPQ ，列出比例式解方程求解即可.解：（1）△AMP△△BPQ△△CQD.△四边形ABCD 是矩形，△△A=△B=△C=90°.由折叠的性质可知△APM=△EPM ，△EPQ=△BPQ.△△APM+△BPQ=△EPM+△EPQ=90°.△△APM+△AMP=90°，△△BPQ=△AMP.△△AMP△△BPQ.同理：△BPQ△△CQD.根据相似的传递性可得△AMP△△CQD ；（2）△AD△BC ，△△DQC=△MDQ.由折叠的性质可知△DQC=△DQM.△△MDQ=△DQM.△MD=MQ.△AM=ME ，BQ=EQ ，△BQ=MQ -ME=MD -AM. △sin△DMF=53=MD DF ，则设DF=3x ，MD=5x ，则BP=PA=PE=23x，BQ=5x -1.△△AMP△△BPQ ，△BQ AP BP AM =，即1-x 52x 32x31=，解得x=92（舍去）或x=2，△AB=6. 11、如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接DE ，将DE 绕着点E 逆时针旋转90°，得到EG ，过点G 作GF ⊥CB ，垂足为F ，GH ⊥AB ，垂足为H ，连接DG ，交AB 于I ．（1）求证：四边形BFGH 是正方形；（2）求证：ED 平分∠CEI ；（3）连接IE ，若正方形ABCD 的边长为3，则△BEI 的周长为．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠DCE ＝∠ABC ＝∠ABF ＝90°，∵GF ⊥CF ，GH ⊥AB ，∴∠F ＝∠GHB ＝∠FBH ＝90°，∴四边形FBHG 是矩形，∵ED ＝EG ，∠DEG ＝90°，∵∠DEC +∠FEG ＝90°，∠DEC +∠EDC ＝90°，∴∠FEG ＝∠EDC ，∵∠F ＝∠DCE ＝90°，∴△DCE≌△EFG（AAS），∴FG＝EC，EF＝CD，∵CB＝CD，∴EF＝BC，∴BF＝EC，∴BF＝GF，∴四边形FBHG是正方形．（2）证明：延长BC到J，使得CJ＝AI．∵DA＝DC，∠A＝∠DCJ＝90°，AI＝CJ，∴△DAI≌△DCJ（SAS），∴DI＝DJ，∠ADI＝∠CDJ，∴∠IDJ＝∠ADC＝90°，∵∠IDE＝45°，∴∠EDI＝∠EDJ＝45°，∵DE＝DE，∴△IDE≌△JDE（SAS），∴∠DEI＝∠DEJ，∴DE平分∠IEC．（3）解：∵△IDE≌△JDE，∴IE＝EJ，∵EJ＝EC+CJ，AI＝CJ，∴IE＝EC＝AI，∴△BIE的周长＝BI+BE+IE＝BI+AI+BE+EC＝2AB＝6．故答案为6．12、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C，再将△A1B1C沿CB向右平移，使点B2恰好落在斜边AB上，A2B2与AC相交于点D．（1）判断四边形A1A2B2B1的形状，并说明理由；（2）求A2C的长度．解：（1）四边形A1A2B2B1是平行四边形，理由：∵∠ACB＝∠B2C＝90°，∴B1C∥C2B2，∵再将△A1B1C沿CB向右平移，∴B1C＝C2B2，∴四边形B1B2C2C是矩形，∴B2B1∥B1C，∴B2B1∥A1A2，∵再将△A1B1C沿CB向右平移，∴A1B1∥A2B2，∴四边形A1A2B2B1是平行四边形；（2）在Rt△ABC中，BC＝＝＝3，由题意：BC＝CB1＝C2B2＝3，∴AB1＝1，∵B1B2∥BC，∴△AB1B2∽△ACB，∴，∴，∴B1B2＝，∴B1B2＝CC2＝，∴CA2＝A2C2﹣CC2＝4﹣＝．13、在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．连接QP并延长，分别交AB、CD于点M，N．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图2，已知PM＝QN；若MN的最小值为，求菱形ABCD的面积．（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，AB∥CD，∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°由旋转的性质得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠BCD＝∠DCQ，∴∠BCP＝∠DCQ，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS）；（2）解：过点C作CG⊥PQ于点G，连接AC，∵PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠PCG＝60°，PG＝QG，∴PG＝PC，∴PQ＝PC．∵PM＝QN，∴MN＝PQ＝PC，∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，∴PC＝2，BC＝2PC＝4，∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴＝4，∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC＝2×4＝8；15、四边形ABCD是正方形，PA是过正方形顶点A的直线，作DE⊥PA于E，将射线DE绕点D逆时针旋转45°与直线PA交于点F．（1）如图1，当∠PAD＝45°时，点F恰好与点A重合，则的值为；（2）如图2，若45°＜∠PAD＜90°，连接BF、BD，试求的值，并说明理由．解：（1）∵∠PAD＝45°，DE⊥AP，∴∠DAE＝∠EDA，∴AE＝DE，∴AD＝AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BF＝AE，∴＝；（2）过点B作BH⊥AP于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAH+∠DAE＝90°，又∵∠BAH+∠ABH＝90°，∴∠ABH＝∠DAE，又∵AD＝AB，∠DEA＝∠AHB＝90°，∴△ADE≌△BAH（AAS），∴AE＝BH，∵将射线DE绕点D逆时针旋转45°与直线PA交于点F，∴∠EDF＝45°，∴∠EFD＝45°＝∠ABD，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠BFH＝∠ADB＝45°，又∵BH⊥AP，∴∠FBH＝∠BFH＝45°，∴BH＝FH，∴BF＝BH＝AE，∴＝＝．16、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB边上一点，连接CD，以CD为边作等边△CDE．（1）如图1，若∠CDB＝45°，AB＝6，求等边△CDE的边长；（2）如图2，点D在AB边上移动过程中，连接BE，取BE的中点F，连接CF，DF，过点D作DG⊥AC 于点G．①求证：CF⊥DF；②如图3，将△CFD沿CF翻折得△CFD′，连接BD′，直接写出的最小值．解：（1）如图1，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CH⊥AB，∴∠A＝∠B＝30°，AH＝BH＝3，∴CH＝＝，∵∠CDH＝45°，CH⊥AB，∴∠CDH＝∠DCH＝45°，∴DH＝CH＝，CD＝CH＝；（2）①如图2，延长BC到N，使CN＝BC，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠A＝∠ABC＝30°，∠NCA＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴EC＝CD，∠ECD＝60°，∴∠NCA＝∠ECD，∴∠NCE＝∠DCA，又∵CE＝CD，AC＝BC＝CN，∴△CEN≌△CDA（SAS），∴EN＝AD，∠N＝∠A＝30°，∵BC＝CN，BF＝EF，∴CF∥EN，CF＝EN，∴∠BCF＝∠N＝30°，∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝90°，又∵DG⊥AC，∴CF∥DG，∵∠A＝30°，DG⊥AC，∴DG＝AD，∴DG＝CF，∴四边形CFDG是平行四边形，又∵∠ACF＝90°，∴四边形CFDG是矩形，∴∠CFD＝90°∴CF⊥DF；②如图3，连接BD'，∵将△CFD沿CF翻折得△CFD′，∴CD＝CD'，DF＝D'F，∠CFD＝∠CFD'＝90°，又∵EF＝BF，∠EFD＝∠BFD'，∴△EFD≌∠BFD'（SAS），∴BD'＝DE，∴BD'＝CD，∵当BD'取最小值时，有最小值，∴当CD取最小值时，有最小值，∵当CD⊥AB时，CD有最小值，∴AD＝CD，AB＝2AD＝2CD，∴最小值＝．17、（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AC＞AB）沿过点A的直线折叠，使得AB落在AC边上，折痕为AD，展开纸片（如图1）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图2）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意他的结论吗？请说明理由：（2）模型与运用：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点E，过点C作CD⊥BD，交BE 的延长线于点D．若CD＝4，求△BCE的面积．解：（1）同意，理由如下：如图2，设AD与EF交于点G，由折叠知，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．由折叠知，∠AGE＝∠DGE，∴∠AGE＝∠AGF＝90°，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF．即：△AEF为等腰三角形．（2）如图3，延长CD与BA并交于点F，由（1）知，BC＝BF，又∵BE平分∠ABC，∴BD是△CBF的中线，即FD＝CD＝4，CF＝2CD＝8，∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠AEB＝90°，∵CD⊥BD，∴∠EDC＝90°，∴∠ACD+∠CED＝90°，∵∠AEB＝∠CED，∴∠ACD＝∠ABD，∵AC＝AB，∴△CAF≌△BAE（ASA）∴BE＝CF＝8，∴S△BCE＝BE•CD＝×8×4＝16．18、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE＝BC＝，最小即：BE的最小值为．。

数学全等三角形旋转模型(讲义及答案)附解析

数学全等三角形旋转模型(讲义及答案)附解析一、全等三角形旋转模型1．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．答案：C解析：（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º， ∴∠MCN=30º+30º=60º， ∴∠MCN=∠DCE ，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN ，∠NCG=∠DCE-∠DCN ， ∴∠MCF=∠NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF ≌△NCG （ASA ）， ∴CF=CG （全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．2．我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．（1）如图①，四边形ABCD 为对直角四边形，∠B=90°，若AB 2-AD 2=4，求CD 2-BC 2的值；（2）如图②，四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=BC ，若BD 平分∠ADC ，求证：四边形ABCD 为对直角四边形；（3）在（2）的条件下，如图③，连结AC ，若35ACD ABCS S=，求tan ∠ACD 的值．答案：A解析：⑴ 4；⑵见解析；⑶tan ∠ACD 的值为3或13．【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）如图②中，作BE ⊥CD 于E ，BF ⊥DA 交DA 的延长线于F ．只要证明∠EBF=90°即可解决问题；（3）如图③中，设AD=x ，BD=y ．根据35ACD ABCSS=，构建方程即可解决问题. 【详解】解：如图①中，∵四边形ABCD为对直角四边形，∠B=90°，∴∠D=∠B=90°，∴AC2=AB2+BC2=AD2+DC2，∴CD2-BC2=AB2-AD2=4．（2）证明：如图②中，作BE⊥CD于E，BF⊥DA交DA的延长线于F．∵BD平分∠ADC，BE⊥CD，BF⊥AD，∴BE=BF，∵∠BFA=∠BEC=90°，BA=BC，BF=BE，∴Rt△BFA≌Rt△BEC（HL），∴∠ABF=∠CBE，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴ADC=360°-90°-90°-90°=90°，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD为对直角四边形．（3）解：如图③中，设AD=x，BD=y．∵∠ADC=90°，∴tan ∠ACD=xy，AC=22x y +， ∵AB=AC ，∠ABC=90°， ∴AB=BC=22•22x y +， ∵35ACD ABCS S=， ∴()22132154xy x y =+，整理得：3x 2-10xy+3y 2，∴3（x y ）2-10•xy +3=0，∴x y =3或13． ∴tan ∠ACD 的值为3或13．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．3．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．解析：（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492．【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =，点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =， BD CE ∴=， PM PN ∴=， //PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠， //PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠， 90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒， PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =，利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =，PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ， DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ， PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠， MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠， 90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒， 90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大， //DE BC ∴且DE 在顶点A 上面， MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒， 22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN = 22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大．方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大， ∴点D 在BA 的延长线上， 14BD AB AD ∴=+=， 7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大． 4．问题提出：（1）如图1，在ABC 中，AB AC BC =≠，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD BC =，90BAC ∠=︒，30DBC ∠=︒，连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒得到ACD '，连接BD '（如图2），可求出ADB ∠的度数为______．问题探究：（2）如图3，在（1）的条件下，若BAC α∠=，DBC β∠=，且120αβ+=︒，DBC ABC ∠<∠ ， ①求ADB ∠的度数．②过点A 作直线AE BD ⊥，交直线BD 于点E ，7,2BC AD ==．请求出线段BE 的长．答案：A解析：（1）30°；（2）①30︒；②73-【分析】（1）由旋转的性质，得△ABD ≌ACD '∆，则ADB AD C '∠=∠，然后证明BCD '∆是等边三角形，即可得到30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．与（1）同理证明D BC '∆为等边三角形，然后利用全等三角形的判定和性质，即可得到答案；②由解直角三角形求出3DE =【详解】解：（1）根据题意，∵AB AC BC =≠，90BAC ∠=︒， ∴ABC ∆是等腰直角三角形， ∴45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵30DBC ∠=︒， ∴15ABD ∠=︒，由旋转的性质，则△ABD ≌ACD '∆，∴ADB AD C '∠=∠，15ABD ACD '∠=∠=︒，BC CD '=， ∴60BCD '∠=︒， ∴BCD '∆是等边三角形， ∴60BD C '∠=︒，BD CD ''= ∵AB AC =，AD AD ''=， ∴ABD '∆≌ACD '∆， ∴30AD B AD C ''∠=∠=︒， ∴30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①DBC ABC ∠<∠，60120α︒︒∴<<．如图1，将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠， BAC α∠=，()111809022ABC αα︒︒∴∠=-=-，1902ABD ABC DBC αβ︒∴∠=∠-∠=--，119090180()22D CB ACD ACB αβααβ''︒︒︒∴∠=∠+∠=--+-=-+．120,αβ︒+=60D CB '︒∴∠=．,BD BC BD CD '==，,BC CD '∴=D BC '∴为等边三角形， D B D C ''∴=， AD B AD C ''∴≌， AD B AD C ''∴∠=∠，1302AD B BD C ''︒∴∠=∠=，30ADB ︒∴∠=．②如图2，由①知，30ADB ︒∠=，在Rt ADE △中，30,2ADB AD ︒∠==，3DE ∴=．BCD '是等边三角形， 7BD BC '∴==， 7BD BD '∴==，73BE BD DE ∴=-=-．【点睛】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用旋转模型进行解题．5．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝，AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．答案：C解析：（1）60BD CE ，＝；（2）452CEB BD CE ∠︒＝，＝，理由见解析；（3）CE 的长为2或2 【分析】（1）证明ACE ABD ≌，得出CE ＝BD ，AEC ADB ∠=∠，即可得出结论；（2）证明ACE ABD ∽，得出AEC ADB ∠=∠，BD =，即可得出结论；（3）先判断出BD =，再求出AB =：①当点E 在点D 上方时，先判断出四边形APDE 是矩形，求出AP ＝DP ＝AE ＝2，再根据勾股定理求出，BP ＝6，得出BD ＝4；②当点E 在点D 下方时，同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝1，BP ＝6，进而得出BD ＝BP +DP ＝8，即可得出结论．【详解】解：（1）ABC 为等腰三角形，60AC BC ACB ∠︒＝，＝，∴ABC 是等边三角形，同理可得ADE 是等边三角形6018012060BAD DAC DAC CAE BAD CAEAD AE AB ACEAC DAB ACE ABD SAS BD CEAEC ADB ADE AEC AED CEB CEB ∠+∠=∠+∠=︒∴∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴∴=∠=∠=︒-∠=︒∠=∠+∠∴∠=︒＝≌（）故答案为：60CEB BD CE ∠=︒=；．（2）45CEB BD ∠︒＝，，理由如下：在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ，90ACB ∠︒＝，45AB CAB ∴∠︒，＝，同理，45AD ADE DAE ∠∠︒，＝＝，∴AE ACAD AB=，DAE CAB ∠∠＝， EAC DAB ∴∠∠＝， ACE ABD ∴∽ ，∴BD ADCE AE==∴AEC ADB BD ∠∠＝，，点B 、D 、E 在同一条直线上:180135ADB ADE ∴∠︒-∠︒＝＝135AEC ∴∠︒＝45CEB AEC AED ∴∠∠-∠︒＝＝；（3）由（2）知，ACE ABD ∽， 2BD CE ∴＝，在Rt ABC 中，25AC ＝，2210AB AC ∴＝＝，①当点E 在点D 上方时，如图③，过点A 作AP BD ⊥交BD 的延长线于P ，DE BD ⊥，PDE AED APD ∴∠∠∠＝＝，∴四边形APDE 是矩形，AE DE ＝，∴矩形APDE 是正方形，2AP DP AE ∴＝＝＝，在Rt APB △中，根据勾股定理得，226BP AB AP -＝＝，4BD BP AP ∴-＝＝，1222CE BD ∴＝＝； ②当点E 在点D 下方时，如图④同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝2，BP ＝6，∴BD ＝BP +DP ＝8，122CE BD ∴＝＝4，综上CE 的长为22或42．【点睛】本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE 和三角形ABD 相似是关键．6．如图．四边形ABCD 、BEFG 均为正方形．（1）如图1，连接AG 、CE ，请直接写出．．．．．AG 和CE 的数量和位置关系（不必证明）．（2）将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转β角（0180β︒︒＜＜），如图2，直线AG 、CE 相交于点M ．①AG 和CE 是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：②连结MB ，求证：MB 平分AME ∠．（3）在（2）的条件下，过点A 作AN MB ⊥交MB 的延长线于点N ，请直接写出．．．．．线段CM 与BN 的数量关系．答案：A解析：（1）AG=EC ，AG ⊥EC ；（2）①满足，理由见解析；②见解析；（3）2．【分析】（1）由正方形BEFG 与正方形ABCD ，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS 得出三角形ABG 与三角形CBE 全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG ，∠BCE=∠BAG ，再利用同角的余角相等即可得证；（2）①利用SAS 得出△ABG ≌△CEB 即可解决问题；②过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而AG=EC ，可得出BP=BH ，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM 为角平分线；（3）在AN 上截取NQ=NB ，可得出三角形BNQ 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到2BN ，接下来证明BQ=CM ，即要证明三角形ABQ 与三角形BCM 全等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ANM 为等腰直角三角形得到NA=NM ，利用等式的性质得到AQ=BM ，利用SAS 可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．【详解】解：（1）AG=EC ，AG ⊥EC ，理由为：∵正方形BEFG ，正方形ABCD ，∴GB=BE ，∠ABG=90°，AB=BC ，∠ABC=90°，在△ABG 和△BEC 中，BG BE ABC EBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△BEC （SAS ），∴CE=AG ，∠BCE=∠BAG ，延长CE 交AG 于点M ，∴∠BEC=∠AEM ，∴∠ABC=∠AME=90°，∴AG=EC ，AG ⊥EC ；（2）①满足，理由是：如图2中，设AM 交BC 于O ．∵∠EBG=∠ABC=90°，∴∠ABG=∠EBC ，在△ABG 和△CEB 中，AB BC ABG CBE BG EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△CEB （SAS ），∴AG=EC ，∠BAG=∠BCE ，∵∠BAG+∠AOB=90°，∠AOB=∠COM ，∴∠BCE+∠COM=90°，∴∠OMC=90°，∴AG ⊥EC ．②过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ，∵△ABG ≌△CEB ，∴S △ABG =S △EBC ，AG=EC ， ∴12EC•BP=12AG•BH ， ∴BP=BH ，∴MB 平分∠AME ；（3）CM=2BN ，理由为：在NA 上截取NQ=NB ，连接BQ ，∴△BNQ 为等腰直角三角形，即BQ=2BN ，∵∠AMN=45°，∠N=90°，∴△AMN 为等腰直角三角形，即AN=MN ，∴MN-BN=AN-NQ ，即AQ=BM ，∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，∴∠MBC=∠BAN ，在△ABQ 和△BCM 中，AQ BM BAN MBC AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABQ ≌△BCM （SAS ），∴CM=BQ ，则CM=2BN ．【点睛】此题考查了正方形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．7．如图，ABD △和ACE △都是等边三角形．（1）连接CD 、BE 交于点P ，求∠BPD ；（2）连接PA ，判断线段PA 、PB 、PD 之间的数量关系并证明；（3）如图，等腰ABC 中AB ＝AC ，∠BAC ＝α（0＜α＜90），在ABC 内有一点M ，连接MA 、MB 、MC ．当MA ＋MB ＋MC 最小时，∠ABM ＝（用含α的式子表示）答案：D解析：（1）60BPD ∠=︒（2）PD PB PA =+，证明见详解（3）1602α︒-【分析】（1）证明()DAC BAE SAS ≅，得ADC ABE ∠=∠，就可以证明60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，证明()DBF ABP SAS ≅，得DF PA =，即可证明PD PB PA =+；（3）分别以AB 和AC 为边，向两边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，然后利用等腰三角形ADC ，求出ADC ∠的度数，即可得到ABM ∠的度数．【详解】解：（1）∵ABD △和ACE △是等边三角形，∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒，∵DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在DAC △和BAE △中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DAC BAE SAS ≅，∴ADC ABE ∠=∠，∵ADC DAB ABE BPD ∠+∠=∠+∠，∴60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）如图，在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，∵60BPD ∠=︒，PF PB =，∴PFB △是等边三角形，∴BF BP =，60FBP ∠=︒，∴DBA FBP ∠=∠，∵DBA FBA FBP FBA ∠-∠=∠-∠，∴DBF ABP ∠=∠，在DBF 和ABP △中，DB AB DBF ABP BF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DBF ABP SAS ≅，∴DF PA =，∵PD PF FD =+，∴PD PB PA =+；（3）如图，分别以AB 和AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，由（2）中的结论可得MD MA MB =+，则当D 、M 、C 三点共线时MA MB MC ++最小，即CD 的长，由（1）得ADC ABM ∠=∠，∵AD AB AC ==，60DAC α∠=︒+，∴()1806016022ADC αα︒-︒+∠==︒-， ∴1602ABM α∠=︒-，故答案是：1602α︒-．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是做辅助线构造全等三角形来进行证明求解．8．在等腰Rt ABC △中，AB AC =、90BAC ∠=︒．（1）如图1，D ，E 是等腰Rt ABC △斜边BC 上两动点，且45DAE ∠=︒，将ABE △绕点A 逆时针旋转90后，得到AFC △，连接DF ．①求证：AED AFD ≌．②当3BE =，9CE =时，求DE 的长．（2）如图2，点D 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △（E 点在直线BC 的上方），当3BD =，9BC =时，求DE 的长．答案：D解析：（1）①证明见解析；②5；（2）35或317【分析】（1）①证明∠DAE=∠DAF=45°即可利用SAS 证明全等；②由①中全等可得DE=DF ，再在Rt △FDC 中利用勾股定理计算即可；（2）连接BE ，根据共顶点等腰直角三角形证明全等，再利用勾股定理计算即可。

专题47 三角形中的旋转综合问题(解析版)

2020-2021备战中考数学——初中数学 旋转的综合压轴题专题复习附答案解析

几何综合(解析版)--中考数学抢分压轴题秘籍(全国通用)

题型十一 综合探究题 类型四 与旋转有关的探究题(专题训练)(解析版)

备战中考数学——旋转的综合压轴题专题复习含答案

专题46 以正方形为基础的图形的旋转变换问题(解析版)

2022年九年级数学复习专题---图形的变换(平移、翻折、旋转)综合问题题

2024年中考数学-押江苏南京卷第25-26题(二次函数的综合、三角形旋转问题)(解析版)

2023年中考数数学高频考点提升练习 三角形动点问题综合(含解析)

中考压轴全等三角形问题综合(解析版)

三角形常见模型综合(解析版) -- 中考数学专题训练

2024 河北数学中考备考重难专题：三角形、四边形综合题旋转问题(课件)

2023年九年级数学中考复习：旋转(面积问题)综合压轴题(Word版,含答案)

2023年九年级数学中考专题：旋转综合压轴题(倍长中线法)

2023年九年级中考数学复习：旋转综合题(角度问题)

2024年中考数学高频考点专题复习——旋转综合题(含解析)

专题47 三角形中的旋转综合问题(解析版)

专题48 三角形中的平移综合问题(解析版)

数学全等三角形旋转模型(讲义及答案)附解析

2020-2021备战中考数学——初中数学旋转的综合压轴题专题复习附答案解析

题型十一综合探究题类型四与旋转有关的探究题(专题训练)(解析版)

2023年中考数数学高频考点提升练习三角形动点问题综合(含解析)