三角形之旋转问题(北师版)(含答案)

合集下载

北师版九年级数学上册第1章特殊平行四边形中的旋转、最值、动点问题专题训练 (含答案)

(2)∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝ AC＝，∴BD＝BE－DE＝－1
6.解：(1)根据图形的对称性，本来DF和BF相等，但是“在正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段DF与BF始终相等”不正确．例如，当点F旋转到AB上时，BF最短(小于AB)，而这时DF大于AD，即DF大于BF
(2)如图②，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与DG始终相等，并以图为例说明理由．
二、最值问题
7．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为( )
A．2 B．4
∴BD，EG互相平分，∴BO＝OD，
∴点O为正方形的角平分线的交点，
∴直线EG必过正方形角平分线的交点
20.解：(1)BG＝DE，BG⊥DE，证明如下：
延长BG交DE于点H，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴△BCG≌△DCE(SAS)，
(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？
24.已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．
(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式是；
(2)如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

北师大版八年级下册数学3.2图形旋转(有关旋转图形的旋转方向、旋转中心、旋转角)(含解析)

找出旋转图形的旋转方向、旋转中心、旋转角一、选择题1、如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于( )A .120°B .90°C .60°D .30°2、如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P 的坐标为（）A．（0，1）B．（1，-1）C．（0，-1）D．（1，0）3、在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△，则其旋转中心可能是( )A .点AB .点BC .点CD .点D4、如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是( )A .（1，1）B .（1，2）C .（1，3）D .（1，4）5、在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D6、如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（）A．30°B．45°C．90°D．135°7、如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q8、如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( )A .30°B .45°C .90°D .135°二、填空题9、如图，在▱ABCD中，∠A=70°，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1= __________ ．10、分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是__________度．11、如图所示，两个全等的正方形ABCD与CDEF，旋转正方形ABCD能和正方形CDEF重合，则可以作为旋转中心的点有__________个．三、解答题12、在△ABC中，∠B+∠ACB=30°，AB=4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数．（2）求出∠BAE的度数和AE的长．13、如图，在△BDE中，∠BDE=90°，BD=4，点D的坐标是（5，0），∠BDO=15°，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为 __________ ．14、如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF=DG=1，DF=2．（1）AE= __________ ，正方形ABCD的边长= __________ ；（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上．①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长．15、如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是 __________ ．16、如图是两个等边三角形拼成的四边形．（1）这个图形是不是旋转对称图形？是不是中心对称图形？若是，指出对称中心．（2）若△ACD旋转后能与△ABC重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点共有几个？请一一指出．17、如图1，△ABC为边长为6的等边三角形，点D为AB边上的点，且AD=2BD；过D作DE∥BC交AC边于E；AH⊥BC于H，AH交于DE于点O．（1）求梯形BDEC的面积；（2）将图1中的△ADE以每秒1个单位长度的速度沿直线AH从上往下平移，直到点A与点H重合为止，设运动时间为t秒，△ADE与四边形BDEC重叠部分的面积为S，请求出S与t的函数关系，并写出相应的t的取值范围；（3）将图1中的△ADE沿直线DE向下翻折得△A′DE，连接CO：将△A′DE绕点O旋转，设直线A′O与直线BC相交于点P．问：是否存在这样的时刻，使得△CPO为等腰三角形？若存在，直接写出△A′DE绕点O旋转的方向（顺时针或逆时针）以及对应的旋转角度α的大小（0°＜α＜180°）；若不存在，请说明理由．找出旋转图形的旋转方向、旋转中心、旋转角的答案和解析一、选择题1、答案：A试题分析：利用旋转的性质计算．解：∵∠ABC=60°，∴旋转角∠CB=180°-60°=120°．∴这个旋转角度等于120°．故选：A．2、答案：B试题分析：根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．试题解析：由图形可知，对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线的交点是点（1，-1），根据旋转变换的性质，点（1，-1）即为旋转中心．故旋转中心坐标是P（1，-1）．故选B．3、答案：B试题分析：连接、、，分别作、、的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△，∴连接、、，作的垂直平分线过B、D、C，作的垂直平分线过B、A，作的垂直平分线过B，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选：B．4、答案：B试题分析：先根据旋转的性质得到点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AA′的垂直平分线，也在线段BB′的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心。

北师大版六年级数学下册《三、图形的运动》单元测试3含答案

北师大版六年级数学下册《三、图形的运动》-单元测试3一、单选题(总分：25分本大题共5小题，共25分)1.(本题5分)三角形ABC绕一点旋转90°，可以得到的图形是（）A.B.C.2.(本题5分)把图中的图形顺时针旋转90°，所得的图形是（）A.B.C.D.3.(本题5分)将图形A绕点O逆时针旋转90度，得到图形B的是（）A.B.C.4.(本题5分)如图（）个图形经过旋转后会形成圆柱．A.B.C.5.(本题5分)如图所示，阀门手柄逆时针旋转了（）A.90°B.180°C.270°二、填空题(总分：40分本大题共8小题，共40分)6.(本题5分)如图，三角形绕轴旋转一圈后得到的立体图形的体积是____立方厘米．7.(本题5分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，把这个三角形在平面内绕点C顺时针旋转90°，那么点A移动所走过的路线长是____cm．（不取近似值）8.(本题5分)把一个半圆以直径为轴旋转一周得到的空间图形是____．9.(本题5分)观察图形填空．（1）图B可以看作图A绕点O____时针旋转____得到．（2）图D可以看作图B绕点O____时针旋转____得到．（3）图C可以看作图____的轴对称图形．10.(本题5分)如图：三角形A′OB′是三角形AOB绕O顺时针旋转90度后的图形．____11.(本题5分)如图：（1）指针按顺时针方向旋转90゜，从A旋转到____．（2）指针逆时针旋转90゜，从____旋转到C．（3）时针从C到D，是按____方向旋转了90゜．（4）时针从B到A，是按____方向旋转了90゜．12.(本题5分)以长方形的一边为轴旋转一周得到圆柱，以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周可得到圆锥．____．（判断对错）13.(本题5分)从上午10：00到10：20，分针旋转了____度．三、解答题(总分：35分本大题共5小题，共35分)14.(本题7分)（1）画出这个三角形绕点O逆时针旋转90度后的图形．（2）按2：1的比画出这个三角形放大后的图形．15.(本题7分)按要求在如图的方格纸上画出图形．（1）将三角形ABC绕C点顺时针方向旋转90度．（2）按2：1的比画出平行四边形放大后的图形．16.(本题7分)动手操作①O点的位置在（____，____）．②画出三角形向右平移4格后的图形．③画出三角形按2：1放大后的图形．④画出三角形绕O点顺时针旋转90°后得到的图形．17.(本题7分)转动后会形成什么样的图形？18.(本题7分)操作：画出三角形ABC绕顶点C逆时针旋转90度后的图形．北师大版六年级数学下册《三、图形的运动》-单元测试3参考答案与试题解析1.【答案】：A;【解析】：解：根据题干分析可得：三角形ABC绕一点顺时针旋转90°，可以得到的图形是三角形ABC绕一点逆时针旋转90°，可以得到的图形是．所以符合题意的只有选项A．故选：A．2.【答案】：D;【解析】：解：根据旋转的含义及其方法可知，图中直角三角形绕点A顺时针旋转90°后，会得到图形．故选：D．3.【答案】：B;【解析】：解：将图形A绕点O逆时针旋转90度，得到图形B的是：故选：B．4.【答案】：A;【解析】：解：根据长方形、直角三角形、直角梯形及圆柱的特征，长方形经过旋转后会形成圆柱．故选：A．5.【答案】：A;【解析】：解：如图，阀门手柄逆时针旋转了90°．故选：A．6.【答案】：12.56;【解析】：解：1313×3.14×4×3=12.56（立方厘米），答：这个立体图形的体积是12.56立方厘米．故答案为：12.56．7.【答案】：π;【解析】：解：2π×2×14cm）．故答案为：π．8.【答案】：球;【解析】：解：半圆绕它的直径旋转360度形成球．故答案为：球．9.【答案】：顺;90度;顺;180度;B;【解析】：解：根据题干分析可得：（1）图B可以看作图A绕点O顺时针旋转9度得到．（2）图D可以看作图B绕点O顺时针旋转180度得到．（3）图C可以看作图B的轴对称图形．故答案为：顺；90度；顺；180度；B．10.【答案】：√;【解析】：解：由以上分析：上图三角形A′OB′是三角形AOB绕O顺时针旋转90度后的图形．故答案为：√．11.【答案】：D;B;逆时针;顺时针;【解析】：解：根据图和分析可知：（1）指针按顺时针方向旋转90゜，从A旋转到 D．（2）指针逆时针旋转90゜，从 B旋转到C．（3）时针从C到D，是按逆时针方向旋转了90゜．（4）时针从B到A，是按顺时针方向旋转了90゜．故答案为：D，B，逆时针，顺时针．12.【答案】：√;【解析】：解：以长方形的一边为轴旋转一周得到圆柱，以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周可得到圆锥．故答案为：√．13.【答案】：120;【解析】：解：如图，从上午10：00到10：20，分针旋转了120°．故答案为：120．14.【答案】：解：（1）根据题干分析，画图如下：（2）原三角形的两条直角边分别是3、2个格，扩大后的三角形的直角边分别是3×2=6个格、2×2=4个格，据此画出两条6格和4格的相交垂线段然后连线，画成三角形；画图如下：;【解析】：（1）点O就是图形旋转后的对应点，把其它两点绕点O逆时针旋转90°后，顺次连接即为所求的图形1．（2）三角形按2：1放大，只要数出两条直角边各自的格数，然后分别乘2画出，连接两边即可．15.【答案】：解：（1）将三角形ABC绕C点顺时针方向旋转90度（下图）．（2）按2：1的比画出平行四边形放大后的图形（下图）．;【解析】：（1）根据旋转的特征，三角形ABC绕点C顺时针旋转90°后，点C的位置不动，其余各部分均绕此点按相同的方向旋转相同的度数，即可画出旋转后的图形A′B′C′．（2）图上中平移四边形的底是3格，高是2格，根据图形放大或缩小的意义，按2：1的比放大后的平行四边形对应的底是6格，高是4格，对应角大小不变．16.【答案】：24;【解析】：解：①O点的位置在（2，4）．②画出三角形向右平移4格后的图形（图中A′）③画出三角形按2：1放大后的图形（图中A″）④画出三角形绕O点顺时针旋转90°后得到的图形（图中A″′）：故答案为：2，4．17.【答案】：解：根据题干分析可得，平面图形经过旋转一周可以形成几何体，长方形旋转一周，得到的是圆柱；半圆沿直径旋转一周得到的是球体；直角三角形沿一直角边旋转一周得到的是圆锥；直角梯形沿直角边旋转一周得到的是圆台．;【解析】：根据旋转的性质，长方形沿一边和直角三角形沿直角边旋转得出圆柱和圆锥出发，发展空间观念，即可得出，直角梯形沿直角边旋转一周得到的是圆台（圆柱减去了上面圆锥部分），半圆沿直径旋转一周得到的是球体．18.【答案】：解：画出三角形ABC绕顶点C逆时针旋转90度后的图形：;【解析】：根据旋转的特征，三角形ABC绕点C逆时针旋转90°后，点C的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，即可画出旋转后的图形A′B′C′．。

七年级数学三角形全等之动点问题(建等式)(北师版)(专题)(含答案)

三角形全等之动点问题（建等式）（北师版）（专题）一、单选题(共8道，每道10分)1.已知：如图，等边△ABC的边长为8，点D是BC上一点，且BD=6．动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿CA—AB—BC向终点C运动，连接AD，AP，BP．设点P运动的时间为t秒．解答下列问题：（1）当4≤t≤8时，线段AP的长可用含t的式子表示为( )A.2tB.-2t+16C.2t-8D.-2t+8答案：C解题思路：点P速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点问题的解决方法解决：1．研究基本图形，标注：2．研究动点运动状态，包括起点、终点、状态转折点、速度、时间范围，如图：3．表达线段长，建等式．由题意，点P在运动过程中有2个状态转折点，需分成3种情况：①点P在CA上，对应的时间范围：0≤t≤4；②点P在AB上，对应的时间范围：4<t≤8；③点P在BC上，对应的时间范围：8<t≤12．由题意，当4≤t≤8时，点P在线段AB上运动，如图：点P已走路程为CA+AP=2t，因此AP=2t-CA=2t-8．故选C．试题难度：三颗星知识点：动点问题2.（上接第1题）（2）当点P在AC上运动时，若某一时刻△ABP≌△BAD，则t的值为( )A.1B.2C.3D.4答案：A解题思路：当点P在CA上时，即0≤t≤4，在等边△ABC中，AB=BA=8，∠BAP=∠ABD=60°，要使△ABP≌△BAD，则需AP=BD，即8-2t=6，解得t=1．故选A．试题难度：三颗星知识点：动点问题3.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．点E是BC上一点，CE=2，连接DE．动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿DA-AB-BC向终点C运动，设点P的运动时间为t 秒．解答下列问题：（1）请你根据题意画出对应的运动状态分析图，并指出当P在DA，BC上运动时，对应的t 的取值范围分别为( )A.0≤t≤5；5<t≤8B.0≤t≤3；5≤t≤8C.0≤t≤3；3<t≤8D.0≤t≤3；3<t≤5答案：B解题思路：点P速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点问题的解决方法解决：1．研究基本图形，标注：2．研究动点运动状态，包括起点、终点、状态转折点、速度、时间范围，如图：3．表达线段长，建等式．由题意，点P在运动过程中有2个状态转折点，需分成3种情况：①点P在DA上，对应的时间范围：0≤t≤3；②点P在AB上，对应的时间范围：3<t≤5；③点P在BC上，对应的时间范围：5<t≤8．故选B．试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）当P在BC上运动时，线段BP的长可用含t的式子表示为( )A.2t-10B.2tC.-2t+10D.-2t+16答案：A解题思路：当P在BC上运动时，如图：点P已走路程为DA+AB+BP=2t，则BP=2t-DA-AB=2t-10．故选A．试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第3，4题）（3）连接AP，BP．若△ABP和△DEC全等，则此时t的值为( )秒A.2B.1或7C.1或6D.2或6答案：D解题思路：根据点P的运动状态分三种情况分析：①当点P在DA上运动时，0≤t≤3；∵AB=CD且∠A=∠C=90°，∴点A和点C，点P和点E是对应点，∴△ABP≌△CDE，∴AP=CE，即6-2t=2，解得：t=2；②当点P在AB上运动时，3<t≤5，不符合题意，舍去；③当点P在BC上运动时，5<t≤8，∵AB=CD且∠B=∠C=90°，∴点B和点C，点P和点E是对应点，∴△BAP≌△CDE，∴BP=CE，即2t-10=2，解得：t=6．综上，当t=2或6时，△ABP和△DEC全等．故选D．试题难度：三颗星知识点：动点问题6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=18，BC=12，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点以每秒a个单位的速度匀速运动，连接DP，QP．设点P的运动时间为t秒，解答下列问题：（1）根据点P的运动，对应的t的取值范围为( )A.0≤t≤4B.0≤t≤6C.0≤t≤12D.0≤t≤18答案：A解题思路：点P速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点问题的解决方法解决：①研究基本图形，标注：②研究动点运动状态，包括起点、终点、状态转折点、速度、时间范围，如图：③表达线段长，建等式．由点P的运动状态可知，对应的t的取值范围为0≤t≤4．故选A．试题难度：三颗星知识点：动点问题7.（上接第6题）（2）根据点P的运动，线段BP，PC的长可用含t的式子分别表示为( )A.at；3tB.3t；atC.12-3t；3tD.3t；12-3t答案：D解题思路：由题意，线段BP为点P已走路程，∴BP=3t，PC为点P未走路程，∴PC=12-3t．故选D．试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第6，7题）（3）若某一时刻△BPD与△CQP全等，则t的值与相应的CQ的长为( )A.t=2，CQ=9B.t=1，CQ=3或t=2，CQ=9C.t=1，CQ=3或t=2，CQ=6D.t=1，CQ=3答案：B解题思路：由题意，△BPD与△CQP全等，对应关系不明确，首先分析其对应情况，∵∠B=∠C，∴B和C是对应点，因此应分为两种情况：①△BPD≌△CQP，此时即解得②△BPD≌△CPQ，此时即解得综上：当t=1，CQ=3或t=2，CQ=9时，△BPD与△CQP全等．故选B．试题难度：三颗星知识点：动点问题。

北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转单元复习题 (含答案)

北师版八年级数学下册图形的平移与旋转单元复习题（含答案）一、选择题1．(2019·河南期末)观察下面图案，在(A)(B)(C)(D)四幅图案中，能通过图案(1)平移得到的是(C)A B C D2．(2019·南阳唐河县期末)如图，△ABC经过平移得到△DEF，其中点A的对应点是点D，则下列结论不一定正确的是(D)A．BC∥EF B．AD＝BE C．BE∥CF D．AC＝EF 3．(2019·驻马店平舆县期末)如图，若图形A经过平移与下方图形拼成一个长方形，则正确的平移方式是(A)A．向右平移4格，再向下平移4格B．向右平移6格，再向下平移5格C．向右平移4格，再向下平移3格D．向右平移5格，再向下平移3格4．(2019·郑州新密市期中)下列四幅图片，是中心对称图形的是(B)A B C D5．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是(A)A．O1 B．O2 C．O3 D．O46．如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是(C) A．30°B．60°C．72°D．90°7．(2019·驻马店确山县期末)把点A(3，－4)先向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为(D)A．(0，－8) B．(6，－8) C．(－6，0)D．(0，0)8．(2019·邓州市期末)如图，∠1＝68°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3＝(D)A．78°B．132°C．118°D．112°9．(2019·南阳社旗县一模)剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(C)A B C D二、填空题10．(2018·张家界)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为15°．11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个相同的格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠部分，且组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有4种．12如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB＝3，AB＝1.将△ABO绕O点旋转90°后得到△A1B1O，则点A113．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是②．14．(2018·株洲)如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为(0，22)，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为(22，22)，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为4．15．(2019·新疆)如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为三、解答题16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°.若点A，B的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离．(不要求尺规作图)解：如图．连接AD.在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝4，∴AC＝AB2－BC2＝3.由旋转的性质，得CD＝AC＝3，∠ACD＝90°.∴AD＝AC2＋CD2＝3 2.17.(2019·宁夏)已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5，4)，B(0，3)，C(2，1)．(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)画出将A1B1C1绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为(－2，－1)．(2)如图所示，△A2B2C1即为所求．18．(2019·邓州市期末)取一副三角板按图1拼接，其中∠ACD＝30°，∠ACB＝45°.(1)如图2，三角板ACD固定，将三角板ABC绕点A按顺时针方向旋转一定的角度得到△ABC′，当∠CAC′＝15°时，请你判断AB与CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，三角板ACD固定，将三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转一定的角度(0°＜α＜180°)得到△ABC′，猜想当∠CAC′为多少度时，能使CD∥BC′？并说明理由．解：(1)AB∥CD.理由如下：∵∠BAC＝∠BAC′－∠CAC′＝45°－15°＝30°，∴∠BAC＝∠C＝30°.∴AB∥CD.(2)当∠CAC′＝75°时，能使CD∥BC′.理由如下：延长BA交CD于点E.∵∠BAC′＝45°，∴∠BAC＝75°＋45°＝120°.又∵∠BAC＝∠AEC＋∠ACD，∴∠AEC＝120°－30°＝90°.又∵∠B＝90°，∴∠B＋∠AEC＝90°＋90°＝180°.∴CD∥BC′.。

北师大版七年级下册数学第四章三角形含答案(综合题)

北师大版七年级下册数学第四章三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，一定全等的两个三角形是（）A.①与②B.①与③C.②与③D.以上答案都不对2、如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（）A.两点之间线段最短B.垂线段最短．C.两定确定一条直线D.三角形具有稳定性3、如图，△ABC≌△AED，点 E 在线段 BC 上，∠1=48º，则∠AED 的度数是（）A.66°B.65°C.62°D.60°4、下列命题中，真命题是（）A.周长相等的锐角三角形都全等B.周长相等的直角三角形都全等C.周长相等的钝角三角形都全等D.周长相等的等腰直角三角形都全等5、如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②四边形CGMH是矩形；③△EGM≌△MHA；④S△ABC +S△CDE≥S△ACE；⑤图中的相似三角形有10对．正确结论是（）A.①②③④B.①②③⑤C.①③④D.①③⑤6、下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A.∠A：∠B：∠C=3：4：5B.∠A ∠B= ∠CC.∠B=50°，∠C=40°D.a=5，b=12，c=137、以下列各组线段长为边，能组成三角形的是( )A.1cm，2cm，3cmB.2cm，3cm，8cmC.5cm，12cm，6cm D.4cm，6cm，9cm8、如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（）A. B. C. D.9、若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（）A.30°B.50°C.40°D.70°10、如图，中，于D，下列条件中：① ；②；③ ；④ ；⑤，⑥ ，一定能确定为直角三角形的条件的个数是（）A.1B.2C.3D.411、如图，，，，，则A.27°B.54°C.30°D.55°12、如图，在△ABC中，∠C=40 ° ，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于（）.A.140°B.210°C.220°D.320°13、已知m是整数，以4m＋5、2m－1、20－m这三个数作为同一个三角形三边的长，则满足条件的三角形个数有（）A.0个B.1个C.2个D.无数个14、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，点E在边AD上，AE＝1，过E、D两点的圆的圆心O在边AD的上方，直线BO交AD于点F，作DG⊥BO，垂足为G.当△ABF与△DFG全等时，⊙O的半径为（）A. B. C. D.15、如图所示，在中，，于，，则线段的长是（）A.3B.4C.8D.1二、填空题(共10题，共计30分)16、下列关于两个三角形全等的说法：①面积相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤腰相等的两个等腰三角形一定全等．其中说法正确的是________．（填写序号）17、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠ADE＝________°．18、如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点D在线段BE上．若，∠2＝30°，∠3＝55°则∠1＝________.19、已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，则x的取值范围是________ ．20、如图，中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有哪几对________21、如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是________．①BE＝CD；②∠BOD＝60º；③△BOD∽△COE．22、已知，如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD，若∠D=25°，则∠B的度数为________.23、若等腰三角形的两边长为3cm和7cm，则该等腰三角形的周长为________ cm.24、如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________ cm2.25、三角形的一边是5，另一边是1，第三边如果是整数，则第三边是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．27、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8。

北师大版2020八年级数学下册第三章图形的平移与旋转单元综合能力达标测试题(附答案)

∴∠ABO=∠A′CO=90°，
又∵∠A′OA=90°，
∴∠AOB+∠BAO=∠AOB+∠A′OC=90°，
∴∠BAO=∠A′OC，
又∵OA′=OA，
∴△A′OC≌△OAB，
∴A′C=OB，OC=AB，
∵点A的坐标为（-4，-3），
∴OB=4，AB=3，
∴OC=3，A′C=4，
又∵点A′在第二象限，
3．B
【解析】试题解析：A.平移不改变图形的形状和大小，而旋转同样不改变图形的形状和大小，故错误；
B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置，而图形的形状大小没有变化，故正确；
C.图形可以向某方向平移一定距离，而旋转是围绕中心做圆周运动，故错误；
D.在平移和旋转图形中，对应角相等，平移中对应线段相等且平行，旋转图形对应线段相等但不一定平行，故错误.
（2）请写出第（1）小题平移的过程.
22．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并写出A2的坐标；
（3）请画出△ABC以点B为旋转中心，沿逆时针旋转90°后△A3B3C3．
故选B.
4．D
【解析】【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合，
故选D．
【点睛】本题考查了旋转对称图形的性质，正确识图、理解求解方法是关键．

北师大版八年级数学下册第三章：图形的平移与旋转达标检测卷(含详细解答)

北师大版八年级数学下册第三章达标检测卷(考试时间：120分钟满分：120分)班级：________ 姓名：________ 分数：________第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(崆峒区期末)把如左图所示的海豚吉祥物进行平移，能得到的图形是（）A B C D2．观察下列四个图形，中心对称图形是（）A B C D3．把△ABC沿BC方向平移，得到△A′B′C′，随着平移距离的不断增大，△A′B′C′的面积大小变化情况是（）A．增大 B．减小 C．不变 D．不确定4．图中的两个三角形是经过什么变换得到的（）A．旋转 B．旋转与平移C．旋转与轴对称 D．平移与轴对称第4题图第5题图5．如图，四边形OABC绕点O逆时针旋转得到四边形ODEF，∠AOC＝50°，∠COD ＝60°，那么四边形OABC旋转的角度是（）A．10° B．40° C．50° D.110°6．(河南期中)在平面直角坐标系中，将△ABC各点的纵坐标保持不变，横坐标都减去3，则所得图形与原图形的关系：将原图形（）A．向上平移3个单位长度B．向下平移3个单位长度C．向左平移3个单位长度D.向右平移3个单位长度7．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△APQ，使AP平行于CB，CB，AQ的延长线相交于点D.如果∠D＝40°，则∠BAC的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°第7题图第8题图8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，使点D刚好落在斜边AB上，则n的大小为（）A．30 B．45 C．60 D．759．如图，EF∥BC，ED∥AC，FD∥AB，D，E，F为三边中点，图中可以通过平移互相得到的三角形有（）A.2 对 B ．3 对 C ．4 对 D.5对10．在平面直角坐标系中，点A(－1，m)在直线y ＝2x ＋3上，连接OA ，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°，点A 的对应点B 恰好落在直线y ＝－x ＋b 上，则b的值为（）A ．－2B ．1C ．32D ．2 第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共24分)11．(邵阳期末)如图，将Rt △ABC 绕直角顶点A 按顺时针方向旋转180°得△AB 1C 1，则旋转后BC 的对应线段为．第11题图12．平面直角坐标系中，点P 的坐标是(2，－1)，则点P 关于原点对称的点的坐标是．13．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，现有一点A(2，5)，将点A 向下平移5个单位长度，可以得到对应点的坐标A ′ ．14．五角星图形绕它的中心旋转，要与它本身完全重合，旋转角至少为．15．如图是由两个正三角形和两个等腰三角形组成的图案，图中两个阴影部分的三角形可以通过：①平移；②旋转；③轴对称中的哪些方式得到．在横线上写上答案的序号：．第15题图16．如图，将△ABC沿BC方向平移2 cm得到△DEF.如果四边形ABFD的周长是20 cm，则△ABC周长是 cm.第16题图第17题图17．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是 .18．★如图，已知直线MN∥PQ，把∠C＝30°的直角三角板ABC的直角顶点A放在直线MN上，将直角三角板ABC在平面内绕点A任意转动，若转动的过程中，直线BC与直线PQ的夹角为60°，则∠NAC的度数为．三、解答题(共66分)19．(6分)将已知△ABC的顶点A，B，C在格点上，按下列要求在网格中画图．(1)将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A1B1C；(2)画△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2.20．(8分)(南城县期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝15°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，到△ADE的位置，然后将△ADE以AD为轴翻折到△ADF的位置，连接CF，判断△ACF的形状，并说明理由．21.(8分)如图，等边△ABC与等边△A1B1C1关于某点成中心对称，已知A，A1，B 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2).(1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点C，C1的坐标．22．(8分)在平面直角坐标系中，点M的坐标为(a，－2a).(1)当a＝－1时，点M在坐标系的第象限；(直接填写答案)(2)将点M向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点N，当点N 在第三象限时，求a的取值范围．23．(10分)如图，三角形DEF是三角形ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：(1)分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；(2)若点P(a＋3b，4a－b)与点Q(2a－9，2b－9)也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．24.(12分)(鼓楼区期末)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝35°，BC＝7.线段AD由线段AC绕点A按逆时针方向旋转125°得到，△EFG由△ABC沿CB 方向平移得到，且直线EF过点 D.(1)求∠DAE的大小；(2)求DE的长．25.(14分)如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD.(1)求证：△COD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？参考答案第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(崆峒区期末)把如左图所示的海豚吉祥物进行平移，能得到的图形是（C）A B C D2．观察下列四个图形，中心对称图形是（C）A B C D3．把△ABC沿BC方向平移，得到△A′B′C′，随着平移距离的不断增大，△A′B′C′的面积大小变化情况是（C）A．增大 B．减小 C．不变 D．不确定4．图中的两个三角形是经过什么变换得到的（D）A．旋转 B．旋转与平移C．旋转与轴对称 D．平移与轴对称第4题图第5题图5．如图，四边形OABC绕点O逆时针旋转得到四边形ODEF，∠AOC＝50°，∠COD ＝60°，那么四边形OABC旋转的角度是（D）A．10° B．40° C．50° D.110°6．(河南期中)在平面直角坐标系中，将△ABC各点的纵坐标保持不变，横坐标都减去3，则所得图形与原图形的关系：将原图形（C）A．向上平移3个单位长度B．向下平移3个单位长度C．向左平移3个单位长度D.向右平移3个单位长度7．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△APQ，使AP平行于CB，CB，AQ的延长线相交于点 D.如果∠D＝40°，则∠BAC的度数为（B）A．30° B．40° C．50° D．60°第7题图第8题图8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，使点D刚好落在斜边AB上，则n的大小为（C）A．30 B．45 C．60 D．759．如图，EF∥BC，ED∥AC，FD∥AB，D，E，F为三边中点，图中可以通过平移互相得到的三角形有（B ）A.2 对 B ．3 对 C ．4 对 D.5对10．在平面直角坐标系中，点A(－1，m)在直线y ＝2x ＋3上，连接OA ，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°，点A 的对应点B 恰好落在直线y ＝－x ＋b 上，则b 的值为（D ） A ．－2 B ．1 C ．32D ．2第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共24分)11．(邵阳期末)如图，将Rt △ABC 绕直角顶点A 按顺时针方向旋转180°得△AB 1C 1，则旋转后BC 的对应线段为B 1C 1．第11题图12．平面直角坐标系中，点P 的坐标是(2，－1)，则点P 关于原点对称的点的坐标是(－2，1)．13．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，现有一点A(2，5)，将点A 向下平移5个单位长度，可以得到对应点的坐标A ′(2，0)．14．五角星图形绕它的中心旋转，要与它本身完全重合，旋转角至少为72度． 15．如图是由两个正三角形和两个等腰三角形组成的图案，图中两个阴影部分的三角形可以通过：①平移；②旋转；③轴对称中的哪些方式得到．在横线上写上答案的序号：②③．第15题图16．如图，将△ABC沿BC方向平移2 cm得到△DEF.如果四边形ABFD的周长是20 cm，则△ABC周长是16cm.第16题图第17题图17．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是2 2 .18．★如图，已知直线MN∥PQ，把∠C＝30°的直角三角板ABC的直角顶点A放在直线MN上，将直角三角板ABC在平面内绕点A任意转动，若转动的过程中，直线BC与直线PQ的夹角为60°，则∠NAC的度数为30°或90°或150°．选择、填空题答题卡一、选择题(每小题3分，共30分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分答案 C C C D D C B C B D二、填空题(每小题3分，共24分)得分：________11．__B1C1__ 12.__(－2，1)__13．__(2，0)__ 14.__72度__15．__②③__ 16.__16__17．__2 2 __ 18.__30°或90°或150°__三、解答题(共66分)19．(6分)已知△ABC的顶点A，B，C在格点上，按下列要求在网格中画图．(1)将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A1B1C；(2)画△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2.解：(1)如图，△A1B1C即为所求．(2)如图，△A2B2C2即为所求．20．(8分)(南城县期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝15°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，到△ADE的位置，然后将△ADE以AD为轴翻折到△ADF的位置，连接CF，判断△ACF的形状，并说明理由．解：由旋转的性质可知：∠BAC＝∠DAE＝15°，AC＝AE，∠CAE＝90°，由翻折的性质可知：∠FAD＝∠EAD＝15°，AF＝AE.∴AC＝AF，∠CAF＝60°，∴△ACF为等边三角形．21.(8分)如图，等边△ABC与等边△A1B1C1关于某点成中心对称，已知A，A1，B 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2).(1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点C，C1的坐标．解：(1)点A1和点B为对应点，∴对称中心为A1B的中点，∴对称中心的坐标为(0，2.5).(2)在△ABC中，AB＝2，C到AB的距离为 3 .即点C到y轴的距离为 3 ，∴点C的坐标为(－ 3 ，3)，点C1的坐标为( 3 ，2).22．(8分)在平面直角坐标系中，点M的坐标为(a，－2a).(1)当a ＝－1时，点M 在坐标系的第象限；(直接填写答案)(2)将点M 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点N ，当点N 在第三象限时，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，点M 的坐标为(－1，2), 所以M 在第二象限，所以应填“二”．(2)将点M 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点N ，点M 的坐标为(a ，－2a)，所以N 点的坐标为 (a －2，－2a ＋1). 因为N 点在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，－2a ＋1<0，解得12<a<2，所以a 的取值范围为12 <a<2.23．(10分)如图，三角形DEF 是三角形ABC 经过某种变换得到的图形，点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：(1)分别写出点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；(2)若点P(a ＋3b ，4a －b)与点Q(2a －9，2b －9)也是通过上述变换得到的对应点，求a ，b 的值．解：(1)点A 的坐标为(2，3)，点D 的坐标为(－2，－3)，点B 的坐标为(1，2)，点E 的坐标为(－1，－2)，点C 的坐标为(3，1)，点F 的坐标为(－3，－1)，对应点的横、纵坐标分别互为相反数．(2)由(1)，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b ＋2a －9＝0，4a －b ＋2b －9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，答：a 的值为2，b 的值为1.24.(12分)(鼓楼区期末)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ＝35°，BC ＝7.线段AD 由线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转125°得到，△EFG 由△ABC 沿CB 方向平移得到，且直线EF 过点 D. (1)求∠DAE 的大小； (2)求DE 的长．解：(1)∵△EFG 是由△ABC 沿CB 方向平移得到，∴AE∥CF，∴∠EAC＋∠C＝180°.∵∠C＝90°，∴∠EAC＝90°.又线段AD是由线段AC绕点A按逆时针方向旋转125°得到，即∠DAC＝125°，∴∠DAE＝35°.(2)∵△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到，∴AE∥CF，EF∥AB，∴∠AED＝∠F＝∠ABC.又∵∠DAE＝∠BAC＝35°，AD＝AC，∴△ADE≌△ACB(AAS)，∴DE＝BC＝7.25.(14分)如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD.(1)求证：△COD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？(1)证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD 是等边三角形．(2)解：当α＝150°时，△AOD 是直角三角形．理由：∵△BOC ≌△ADC ， ∴∠ADC ＝∠BOC ＝150°， ∵△COD 是等边三角形， ∴∠ODC ＝60°，∴∠ADO ＝∠ADC －∠ODC ＝90°，则△AOD 是直角三角形．(3)解：①要使OA ＝AD ，需∠AOD ＝∠ADO ， ∵∠AOD ＝360°－110°－60°－α＝190°－α， ∠ADO ＝α－60°， ∴190°－α＝α－60°， ∴α＝125°；②要使OA ＝OD ，需∠OAD ＝∠ADO. ∵∠OAD ＝180°－(∠AOD ＋∠ADO) ＝180°－(190°－α＋α－60°) ＝50°，∴α－60°＝50°， ∴α＝110°；③要使OD ＝AD.需∠OAD ＝∠AOD.∵∠AOD ＝360°－110°－60°－α＝190°－α， ∠OAD ＝180°－（α－60°）2 ＝120°－α2，∴190°－α＝120°－α2 ，解得α＝140°.综上所述，当α的度数为125°，110°或140°时， △AOD 是等腰三角形．。

北师大版八年级数学下册第3章《图形的平移与旋转》单元练习题含答案解析 (15)

一、选择题1.明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化．在这个过程中，因变量是( )A．明明B．电话费C．时间D．爷爷2.下列图象中，y是x的函数的是( )A．B．C．D．3.如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是( )A．乙前4秒行驶的路程为48米B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C．两车到第3秒时行驶的路程相等D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度4.如图，下图是汽车行驶速度（千米/时）和时间（分）的关系图，下列说法中正确的个数为( )（1）汽车行驶时间为40分钟；（2）AB表示汽车匀速行驶；（3）在第30分钟时，汽车的速度是90千米/时；（4）第40分钟时，汽车停下来了．A．1个B．2个C．3个D．４个5.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数．“燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少．如下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列说法中，正确的是( )A．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多B．以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油最少C．以高于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油D．以80km/h的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升6.甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是( )A．甲车的平均速度为60km/h B．乙车的平均速度为100km/hC．乙车比甲车先到B城D．乙车比甲车先出发1h7.星期六，小亮从家里骑自行车到同学家去玩，然后返回如图是他离家的路程y(km)与时间x(min)的图象，根据图象信息，下列说法不一定正确的是( )A．小亮到同学家的路程是3kmB．小亮在同学家逗留的时间是1hC．小亮去时走上坡路，回家时走下坡路D．小亮回家时用的时间比去时用的时间少8.如图，等边三角形ABC中，AB=4，有一动点P从点A出发，以每秒一个单位长度的速度沿着折线A−B−C运动至点C，若点P的运动时间记作t秒，△APC的面积记作S，则S与t的函数关系应满足如下图象中的( )A．B．C．D．9.早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明，两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途的时间为x，两人之间的距离为y，则下列图象能大致反映y与x之间关系的是( )A．B．C．D．10.一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论：（1）摩托车比汽车晚到1h；（2）A，B两地的路程为20km；（3）摩托车的速度为45km/h，汽车的速度为60km/h；（4）汽车出发1小时后与摩托车相遇，此时距B地40千米；（5）相遇前摩托车的速度比汽车的速度快．其中正确结论的个数是( )A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题11.小明从家出发到公园，在公园锻炼一段时间后按原路返回；小明从家出发的同时，小明爸爸从公园按小明的路线返回家中．如图是两人离家的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的图象，则下列结论中正确的是．（写序号即可）①小明从家出发去公园时的速度为150米/分，小明爸爸从公园返回家中的速度为30米/分；分钟后与爸爸第一次相遇；②小明出发253③小明与爸爸第二次相遇时，离家的距离是900米；④小明按原路返回时的速度为60米/分．12.一天学生小明早上从家去学校，已知小明家离学校路程为2280米（小明每次走的路程），小明从家匀速步行了10.5分钟后，爸爸发现小明的一科作业忘带，爸爸立刻拿起小明忘带的作业匀速跑步追赶小明，追上小明后爸爸立即将作业交给小明，小明继续以原速向学校行走（假定爸爸将作业交给小明的时间忽略不计），爸爸将作业带给小明后，原地接了2分钟的电话后，立即以更快的速度匀速返回家中．小明和爸爸两人相距的路程y（米）与小明出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则爸爸到达家时，小明与学校相距的路程是米．13.王师傅从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用时间与路程的关系如图所示；下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致．请根据图象所提供的信息，解答下列问题：（1）王师傅从家门口到单位需要分钟；（2）王师傅从单位到家门口需要分钟．14.甲乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，请求出甲乙两人相距8米时，甲出发秒．15.将关系式3x+4y=12改写成y=f(x)的形式：．16.周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松，途中，她在便利店挑选一瓶矿泉水．耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园，图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是( )A．小丽在便利店时间为15分钟B．公园离小丽家的距离为2000米C．小丽从家到达公园共用时间20分钟D．小丽从家到便利店的平均速度为100米/分钟17.某校组织学生到距学校6km的光明科技馆参观．王红准备乘出租车去科技馆，出租车的收费标准如下：当里程数在3km以下（含3km)时，收费8元，超过3km，每增加1km加收1.80元，则当x≥3时，车费y(元）与出租车行驶里程数x(km)之间的关系式为．三、解答题18.某水果批发市场的香蕉的价格如表所示，若小明购买x千克（x大于40）香蕉付了y元，请写出y关于x的函数解析式．购买香蕉的量不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上每千克价格6元5元4元19.一根弹簧原长12cm，它的挂重不超过16kg，并且每挂重1kg就伸长12cm．(1) 写出挂重后弹簧长度y（cm）关于挂重x（kg）的函数关系式；(2) 求出自变量x的取值范围．20.如图①所示，甲、乙两车从A地出发，沿相同路线前往同一目的地，途中经过B地．甲车先出发，当甲车到达B地时，乙车开始出发．当乙车到达B地时，甲车与B地相距503km．设甲、乙两车与B地之间的距离为y1（km），y2（km），乙车行驶的时间为x（h），y1，y2与x的函数关系如图②所示．(1) A，B两地之间的距离为km；(2) 当x为何值时，甲、乙两车相距5km？21.如图（1）所示，在A，B两地间有一车站C，一辆汽车从A地出发经C站匀速驶往B地．如图（2）是汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系的图象．(1) 填空：a=km，AB两地的距离为km；(2) 求线段PM，MN所表示的y与x之间的函数表达式；(3) 求行驶时间x在什么范围时，小汽车离车站C的路程不超过60千米？22.某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度ℎ（米）与操控无人机的时间t （分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：(1) 图中的自变量是，因变量是．(2) 无人机在75米高的上空停留的时间是分钟．(3) 在上升或下降过程中，无人机的速度为米/分．(4) 图中a表示的数是，b表示的数是．(5) 图中点A表示．23.如图，A，B，C为⊙O上的定点，连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点M顺时针旋转90∘，交⊙O于点D，连接BD，若AB=6cm，AC=2cm，记A，M两点间的距离为x cm，B，D两点间的距离为y cm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：(1) 通过取点，画图，测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.250.47123456y/cm 1.430.660 1.31 2.59 2.76 1.660(2) 在平面直角坐标系中xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．(3) 结合画出的函数图象，解决问题：当BD=AC时，AM的长度约为cm．24.探究函数y=∣2x−2∣+x+12的图象和性质，洋洋同学根据学习函数的经验，对函数y=∣2x−2∣+x+12的图象和性质进行探究，下面是洋洋的探究过程，请补充完成：(1) 化简函数解析式：当x≥1时，y=．当x<1时，y=．(2) 根据（1）的结果，请在所给坐标系中画出函数y=∣2x−2∣+x+12的图象：（直尺画图，不用列表）(3) 观察函数图象，请写出该函数的一条性质：．25.如图1，在等腰直角△ABC中，∠A=90∘，AB=AC=3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE=AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α(0∘<α<360∘)，如图2．(1) 请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；(2) 请你在图3中，画出当α=45∘时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；(3) 若AD=1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是．答案一、选择题1. 【答案】B【知识点】常量、变量2. 【答案】B【解析】A，C，D选项中对于x的每一个确定的值，y可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义；只有B选项对于x的每一个确定的值，y有唯一的值与之对应，符合函数的定义．【知识点】函数的概念3. 【答案】C【解析】A．根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×4=48米，故A正确；B．根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到32米/秒，=4米/秒，故B正确；则每秒增加328C．由于甲的图象是过原点的直线，斜率为4，∴可得v=4t（v，t分别表示速度、时间），将v=12m/s代入v=4t得t=3s，则t=3s前，甲的速度小于乙的速度，∴两车到第3秒时行驶的路程不相等，故C错误；D．在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，∴甲的速度都大于乙的速度，故D正确．由于该题选择错误的，故选C．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系4. 【答案】C【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系5. 【答案】D【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系6. 【答案】D【解析】由图象知：=60(km/h)，故此选项正确；A．甲车的平均速度为30010−5B．乙车的平均速度为3009−6=100(km/h)，故此选项正确；C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故此选项正确；D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，故选：D．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系7. 【答案】C【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系8. 【答案】A【解析】等边三角形ABC中，AB=4，则△ABC的高ℎ=2√3，当点P在AB上运动时，S=12×AP×ℎ=12×x×2√3=√3x，图象为一次函数，x=4时，S=4√3；当点P在BC上运动时，同理可得：S=12×(8−x)×2√3，同样为一次函数．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系9. 【答案】D【解析】由题意可得，小明从家出发到妈妈发现小明的作业本落在家里这段时间，y随x的增大而增大，小明的妈妈开始给小明送作业到追上小明这段时间，y随x的增大而减小，小明妈妈追上小明到各自继续行走这段时间，y随x的增大不变，小明和妈妈分别去学校、回家的这段时间，y随x的增大而增大，故选D．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系10. 【答案】B【解析】分析图象可知：（1）4−3=1，摩托车比汽车晚到1h，正确；（2）因为汽车和摩托车分别从A，B两地去同一城市，从y轴上可看出A，B两地的路程为20km，正确；（3）摩托车的速度为(180−20)÷4=40km/h，汽车的速度为180÷3=60km/h，故（3）错误；（4）根据汽车出发1小时后行驶60km，摩托车1小时后行驶40km，加上20km，则两车行驶的距离相等，此时距B地40千米；故正确；（5）根据图形可得出两车是匀速行驶，相遇前摩托车的速度比汽车的速度快，错误．故正确的有3个．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系二、填空题11. 【答案】①②④【解析】v小明1=150010=150米/分，v 爸=150050=30米/分，故①正确．(150+30)⋅t=1500，t1=253，故②正确．第二次相遇t=30，离家距离30×(50−30)=600（米），故③错误．v小明2=60040−30=60米/分，故④正确．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系12. 【答案】270【解析】由题意知，图形的纵坐标表示为两人相距的路程，横坐标表示为小明的出发时间，从0∼10.5分钟时，小明自己走，爸爸还没有出发，∴小明的速度v1=630÷10.5=60米/分钟，从10.5∼21分钟时，爸爸开始从家出发，并在时间t=21分钟时追上小明，∴此时小明的路程为：60×21=1260米，∴爸爸的速度为v2=1260÷(21−10.5)=120米/分钟，设爸爸返回时的速度为v，根据题意得，4v+60×6=920，∴v=140米/分钟，∴等爸爸送完作业返回家时所用时间为21×60÷140=9分钟，∴等爸爸到家小明总用时：21+9+2=32，∴此时小明与学校相距的距离为：2280−32×60=360米．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系13. 【答案】7；13.4【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系14. 【答案】2，16，123【解析】由图象，得甲的速度为：8÷2=4米/秒，乙的速度为：500÷100=5米/秒，乙走完全程时甲乙相距的路程为：b=500−4(100+2)=92米，乙追上甲的时间为：a=8÷(5−4)=8秒，乙出发后甲走完全程所用的时间为：c=500÷4−2=123秒．当甲出发2秒时；甲在乙前面8米；在跑步途中，乙在甲前面8米，5t−4t=2×4+8，解得t=16，即甲出发16秒时，乙在甲前面8米；当乙到达终点，甲还在跑时，(500−8)÷4=123秒，即甲出发123秒时，甲乙相距8米．综上所述，甲乙两人相距8米，甲出发2秒、16秒或123秒．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系x15. 【答案】y=3−34【知识点】解析式法16. 【答案】A【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系17. 【答案】y=1.8x+2.6(x≥3)【解析】由题意得，所付车费为：y=1.8(x−3)+8=1.8x+2.6(x≥3)．故：y=1.8x+2.6(x≥3)．【知识点】解析式法三、解答题18. 【答案】y=4x．【知识点】解析式法19. 【答案】x，(1) y=12+12(2) 0≤x≤16．【知识点】实际问题中的自变量的取值范围、解析式法20. 【答案】(1) 20(2) 乙车的速度为：20÷16=120(km/h)，甲车的速度为：503÷16=100(km/h)，甲比乙早出发的时间为：20÷100=0.2(h)，相遇前：(20+100x)−120x=5，解得x=0.75；相遇后：120x−(20+100x)=5，解得x=1.25；答：当x为0.75或1.25时，甲、乙两车相距5km．【解析】(1) A，B两地之间的距离为20km．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系21. 【答案】(1) 240；390(2) 由图象可得，A与C之间的距离为150km，汽车的速度1502.5=60km/h，PM所表示的函数关系式为：y1=150−60x，MN所表示的函数关系式为：y2=60x−150．(3) 由y1=60得150−60x=60，解得：x=1.5，由y2=60得60x−150=60，解得：x=3.5，由图象可知当行驶时间满足：1.5h≤x≤3.5h，小汽车离车站C的路程不超过60千米．【解析】(1) 由题意和图象可得，a=1502.5×4=240km，A，B两地相距：150+240=390km．【知识点】行程问题、用函数图象表示实际问题中的函数关系22. 【答案】(1) t；ℎ(2) 5(3) 25(4) 2；15(5) 在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米【解析】(1) 横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是时间（或t），因变量是高度（或ℎ）．(2) 无人机在75米高的上空停留的时间是12−7=5分钟．(3) 在上升或下降过程中，无人机的速度75−507−6=25米/分．(4) 图中 a 表示的数是 5025=2， b 表示的数是 12+7525=15．【知识点】自变量与函数值、用函数图象表示实际问题中的函数关系23. 【答案】(1) 2.41(2) 如图所示． (3) 1.38 或 4.62 【知识点】列表法、图像法24. 【答案】(1) y =32x −12；y =−12x +32 (2)(3) 由图象可知，当 x >1 时，y 随 x 的增大而增大【解析】 (1) 化简函数 y =∣2x−2∣+x+12，当 x ≥1 时，y =2x−2+x+12=32x −12．当 x <1 时，y =−(2x−2)+x+12=−2x+2+x+12=−12x +32．【知识点】根据函数图像确定函数性质、解析式法、图像法25. 【答案】(1) CE =BD ；理由：连接 CE 和 BD ，如图 2 所示，由题意可知，△ABC 和 △ADE 都是等腰直角三角形， ∵∠EAD =∠CAB =90∘， ∴∠EAC =∠DAB ，又 ∵AE =AD ，AC =AB ， ∴△AEC ≌△ADB (SAS )， ∴CE =BD ．(2) 当 α=45∘ 时，连接 CE 和 BE ，如图所示，延长 AD 交 BC 于 F ， ∵α=45∘，△ABC 和 △ADE 都是等腰直角三角形， ∴∠BAF =∠CAF =∠EAC =45∘， ∴AF =BF =CF ，∠EAB =135∘， ∴∠EAB +∠ABC =135∘+45∘=180∘，∴AE∥BC，∵BC=√32+32=3√2，∴AF=12BC=3√22，∴S△CBE=12BC⋅AF=12×3√2×3√22=92.(3) 1【解析】(3) 如图4，当点M不在AC上时，取AC中点G，连接GM，∵M是CDʹ的中点，∴GM=12ADʹ=12AD=12，当点M在AC上时，由M是CDʹ的中点可得GM=12，∴在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，点M在以G为圆心，12长为半径的圆上，∴当点M与点E重合时AM取最小值，此时AM=AE=1．【知识点】三角形的中位线、直角三角形斜边的中线、等腰直角三角形、旋转及其性质、边角边。

2020-2021学年北师大版八年级下册数学 3.2图形的旋转同步习题(含解析)

3.2图形的旋转同步习题一．选择题1．下列图形中，不是旋转对称图形的是（）A．正三角形B．等腰梯形C．正五边形D．正六边形2．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（）A．B．C．D．3．把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（）A．36°B．72°C．90°D．108°4．如图，把△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，则下列结论错误的是（）A．BD＝OB B．AB＝CD C．∠AOC＝∠BOD D．∠A＝∠C5．如图，在△ABC中，∠B＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，则∠CB′C′的度数为（）A．50°B．60°C．80°D．100°6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B 的对应点为E，连接BE，下列四个结论：①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；其中一定正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．②③④7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D是边BC上一点（点D不与点B，点C重合），将AC绕点A顺时针旋转至AC1，AC1交BC于点H，且AD平分∠CAC1，若DC1∥AB，则点B到线段AD的距离为（）A．2B．C．4D．38．如图，将△ABC绕A点逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，若∠CDE＝90°，则∠BCD 的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．150°9．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，将△ABC绕点A旋转，使得点C的对应点C′落在AB上，则∠BB′C′的度数为（）A．12°B．15°C．25°D．30°10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点D是BC上的一点，BD＝1，点P是AC上的一个动点，连接DP，将线段DP绕点D顺时针旋转90°得到线段BQ，连接BQ，则线段BQ长的最小值是（）A．1B．2C．D．二．填空题11．如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．若点B 恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为°．12．如图，Rt△ABC和Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°．B，C，E三点共线，Rt△ABC不动，将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°），当DE∥BC 时，α＝．13．如图，等边△ABC，边长为4，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边在右侧作等边△ADE，取AC中点F，连接EF，当EF的值最小时，BD＝．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M 是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点P在AC边上，以点P为中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到△DEF，DE交边AC于G，当P为中点时，AG：DG的值为．三．解答题16．如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，连接AD，把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，其中D，E是对应点，若∠CAD＝18°，求∠EAC的度数．17．如图，P是等边△ABC内的一点，且P A＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．（1）求点P与点Q之间的距离；（2）求∠BPC的度数；（3）求△ABC的面积．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．分别画出下列图形．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0）；（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3．参考答案一．选择题1．解：A、正三角形旋转120°，可以与原图形重合，是旋转对称图形，不合题意；B、等腰梯形，不是旋转对称图形，符合题意；C、正五边形旋转72°，可以与原图形重合，是旋转对称图形，不合题意；D、正六边形旋转60°，可以与原图形重合，是旋转对称图形，不合题意；故选：B．2．解：根据旋转的定义，A，B，C中的三角形绕一点旋转一次不能得到另一三角形，不符合题意，选项D符合题意．故选：D．3．解：五角星可以被中心发出的射线分成5个全等的部分，因而旋转的角度是360°÷5＝72°，故选：B．4．解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，∴∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，OB＝OD，∵∠BOD≠90°，∴BD≠OB．故选：A．5．解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，∴AB＝AB′，∠C′B′A＝∠B，∴∠AB′B＝∠B，∵∠B＝50°，∴∠C′B′A＝∠AB′B＝50°，∴∠CB′C′＝180°﹣∠C′B′A﹣∠AB′B＝80°，故选：C．6．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①错误，③正确；∴∠ACD＝∠BCE，∴∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，∴∠A＝∠EBC，故④正确；∵∠A+∠ABC不一定等于90°，∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②错误．故选：C．7．解：如图，过点B作BF⊥AD于F，过点A作AE⊥BC于E，∵AB＝AC＝10，BC＝16，AE⊥BC，∴CE＝BE＝8，∠C＝∠ABC，∴AE＝＝＝6，∵将AC绕点A顺时针旋转至AC1，∴AC＝AC1，∵AD平分∠CAC1，∴∠CAD＝∠C1AD，在△ACD和△AC1D中，，∴△ACD≌△AC1D（SAS），∴∠C＝∠C1，∵DC1∥AB，∴∠C1＝∠HAB，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∠DAB＝∠DAC1+∠HAB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB＝DB＝10，∴DE＝BD﹣BE＝2，∴AD＝＝＝2，∵S△ABD＝×BD×AE＝×AD×BF，∴10×6＝2×BF，∴BF＝3，故选：D．8．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，∴∠CAE＝60°，∠E＝∠ACB，∴∠CAE+∠CDE＝360°﹣（∠ACD+∠E），∵∠BCD＝360°﹣∠ACB﹣∠ACD＝360°﹣（∠ACD+∠E），∴∠BCD＝∠CDE+∠CAE＝60°+90°＝150°，故选：D．9．解：由旋转的性质可知，∠B′AB＝∠BAC＝30°，AB＝AB′，∴∠ABB′＝∠AB′B＝（180°﹣30°）＝75°，∵∠BCB＝90°，∴∠BB′C＝90°﹣75°＝15°，故选：B．10．解：过点D作DT⊥BC交AC于点T，在DC上取一点G，使得DG＝DT，连接TG，GQ，过点B作BR⊥QG于R．∵∠TDC＝∠PDQ＝90°，∴∠PDT＝∠GDQ，在△PDT和△QDG中，，∴△PDT≌△QDG（SAS），∴∠DTP＝∠DGQ，∴点Q在射线GQ上运动，∠DGQ是定值，∵∠TDC＝∠B＝90°，∴DT∥AB，∴＝，∠DTC＝∠A，∴＝，∠DGQ＝∠A，∴DT＝DG＝，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，∴AC＝＝＝2，∴sin∠DGR＝sin∠A，∴＝，∴＝，∴BR＝，根据垂线段最短可知，当BQ与BR重合时，BQ的值最小，最小值为．故选：D．二．填空题11．解：∵∠BAC＝105°，∴∠B+∠C＝75°，∵AB′＝CB′，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∴∠C＝25°，故答案为：25．12．解：如图1，当DE位于BC的上方，∵DE∥BC，∴∠D＝∠BCD，∵∠E＝45°，∠DCE＝90°，∴∠D＝90°﹣∠E＝45°，∴∠BCD＝45°，∴α＝∠ACD＝45°，如图2，当DE位于BC的下方，∵DE∥BC，∴∠E＝∠BCE＝45°，∴α＝∠ACB+∠BCE+∠ECD＝90°+45°+90°＝225°，∴当DE∥BC时，α＝45°或225°．故答案为：45°或225°．13．解：如图，连接CE，∵点F是AC的中点，∴AF＝CF＝2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD，∠ABD＝∠ACE＝60°，∴点E在∠ACB的外角的角平分线上运动，∴当EF⊥CE时，EF有最小值，∴∠CFE＝30°，∴CE＝CF＝1，∴BD＝1，故答案为1．14．解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为：3．15．解：设BC＝x，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AB＝2x，AC＝x，∵点P是AC中点，∴PC＝P A＝x，由旋转得，DP＝DF＝AC＝x，DG＝DE＝AB＝x，根据勾股定理得，PG＝＝＝x，∴AG＝AP﹣PG＝x﹣x，∴＝＝．故答案为．三．解答题16．解：∵把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，∴∠DAE＝60°，∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝42°．17．解：（1）连接PQ，如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∵△QCB是△P AB绕点B逆时针旋转得到的，∴△QCB≌△P AB，∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ＝PB＝4；（2）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，而32+42＝52，∴PC2+PQ2＝CQ2，∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，∵△PBQ是等边三角形，∴∠BPQ＝60°，∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；（3）如图2，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H，∵∠BPC＝150°，∴∠CPH＝30°，∴CH＝PC＝，PH＝HC＝，∴BH＝4+，∴BC2＝BH2+CH2＝+（4+）2＝25+12，∵S△ABC＝BC2，∴S△ABC＝（25+12）＝+9．18．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．（2）如图，△A2B2C2即为所求作．（3）如图，△A3B3C3即为所求作．。

2020版七年级数学下册第四章三角形试题(新版)北师大版及参考答案

第四章三角形1.应用三角形的三边关系的方法技巧(1)已知三角形的两边长求第三边的范围,解答这类问题的关键是求两边之和、两边之差,第三边大于两边之差小于两边之和.【例】若三角形的两边长分别为6 cm,9 cm,则其第三边的长可能为( )A.2 cmB.3 cmC.7 cmD.16 cm【标准解答】选C.设第三边长为xcm.由三角形三边关系定理得9-6<x<9+6,解得3<x<15.(2)已知三条线段,判断以这三条线段为边能否构成三角形,解答的关键是只求两较短边之和,与最长边去比较.【例】下列长度的三条线段,不能组成三角形的是( )A.3,8,4B.4,9,6C.15,20,8D.9,15,8【标准解答】选A.分析各选项:A.∵3+4<8∴不能构成三角形;B.∵4+6>9∴能构成三角形;C.∵8+15>20∴能构成三角形;D.∵8+9>15∴能构成三角形.(3)在解决三角形中线段比较大小的问题时,我们经常会用到三角形的“三边关系定理”来解决问题,它是我们初中阶段经常用于比较线段大小的重要依据.【例】如图,点P是△ABC内任意一点,试说明PB+PC<AB+AC.【标准解答】延长BP交AC于点D,在△ABD中,PB+PD<AB+AD ①,在△PCD中,PC<PD+CD ②,①+②得PB+PD+PC<AB+AD+PD+CD,即PB+PC<AB+AC.1.下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )A.1,1,2B.3,4,5C.1,4,6D.2,3,72.如果一个三角形的两边长分别为2和5,则第三边长可能是( )A.2B.3C.5D.83.某同学手里拿着长为3和2的两个木棍,想要找一个木棍,用它们围成一个三角形,那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是( )A.1,3,5B.1,2,3C.2,3,4D.3,4,54.各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个.5.如图,△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点G,若S△ABC=12,则图中阴影部分面积是.2.求一个角的度数的方法(1)当所求角是一个三角形的内角时,可先求出这个三角形另外两个内角的度数,再根据三角形内角和定理计算.【例】如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=40°,∠AOB=75°.则∠C等于( )A.40°B.65°C.75°D.115°【标准解答】选B.∵∠A=40°,∠AOB=75°.∴∠B=180°-∠A-∠AOB=180°-40°-75°=65°,∵AB∥CD,∴∠C=∠B=65°.(2)当所求角是一个三角形的外角时,可利用三角形外角的性质结合三角形的内角和定理计算. 【例】将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB的度数为( )A.75°B.95°C.105°D.120°【标准解答】选C.∵∠ACO=45°-30°=15°,∴∠AOB=∠A+∠ACO=90°+15°=105°.(3)当条件中含有平行线时,可利用平行线的性质将其转化为其他易求的角.【例】如图,已知l1∥l2,∠A=40°,∠1=60°,则∠2的度数为( )A.40°B.60°C.80°D.100°【标准解答】选D.如图,方法一:∵l1∥l2,∴∠1=∠ABC=60°,∴∠2=∠A+∠ABC=60°+40°=100°;方法二:∵l1∥l2,∴∠2=∠3.∵∠1=∠4=60°,∠A=40°.∴∠2=∠3=∠A+∠4=60°+40°=100°.1.一副三角板如图叠放在一起,则图中∠α的度数为( )A.75°B.60°C.65°D.55°2.如图,AB∥CD,AE交CD于C,∠A=34°,∠DEC=90°,则∠D的度数为( )A.17°B.34°C.56°D.124°3.如图,在△ABC中,∠B,∠C的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC= ( )A.118°B.119°C.120°D.121°4.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是三条边上的点,EF∥AC,DF∥AB,∠B=45°,∠C=60°.则∠EFD= ( )A.80°B.75°C.70°D.65°5.如图,在△ABC中,∠A=80°,点D是BC延长线上一点,∠ACD=150°,则∠B= °.6.如图,已知,l1∥l2,C1在l1上,并且C1A⊥l2,A为垂足,C2,C3是l1上任意两点,点B在l2上.设△ABC1的面积为S1,△ABC2的面积为S2,△ABC3的面积为S3,小颖认为S1=S2=S3,请帮小颖说明理由.3.确定全等三角形的对应边、对应角的方法(1)在全等三角形中找对应边和对应角,关键是先找出对应顶点,然后按对应顶点字母的顺序记两个三角形全等,再按顺序写出对应边和对应角.(2)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;对应边所对的角是对应角.两条对应边所夹的角是对应角.(3)全等三角形中的公共边是对应边,公共角是对应角,对顶角是对应角.(4)最大边是对应边,最小边是对应边,最大角是对应角,最小角是对应角.【例】如图,△ABC≌△DEF,点A与点D是对应顶点,则BC的对应边是,∠BAC的对应角是.【标准解答】因为点A与点D是对应顶点,对应顶点所对的边是对应边,所以BC的对应边是EF;又因为以对应点为顶点的角是对应角,所以∠BAC的对应角是∠EDF.答案:EF ∠EDF如图所示,∠1=∠2,∠B=∠D,△ABC和△AED全等应表示为( )A.△ABC≌△AEDB.△ABC≌△EADC.△ABC≌△ADED.△ABC≌△DEA4.全等三角形(1)判定基本思路:在证明两个三角形全等时,往往题目中已知某些边或角的条件,常根据以下思路来寻找三角形全等的条件.(2)常见的全等三角形的基本模型:①平移变换型②轴对称变换型③旋转变化型【例1】已知:如图,E,F在AC上,AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B.求证:AE=CF.【标准解答】∵AD∥CB,∴∠A=∠C,∵AD=CB,∠D=∠B,∴△ADF≌△CBE,∴AF=CE,∴AE=CF.【例2】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E.AD⊥CE于点D. 求证:△BEC≌△CDA.【标准解答】∵BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,∴∠BEC=∠CDA=90°,在Rt△BEC中,∠BCE+∠CBE=90°,在Rt△BCA中,∠BCE+∠ACD=90°,∴∠CBE=∠ACD,在△BEC和△CDA中,∠BEC=∠CDA,∠CBE=∠ACD,∵BC=AC,∴△BEC≌△CDA.1.如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )A.CB=CDB.∠BAC=∠DACC.∠BCA=∠DCAD.∠B=∠D=90°2.如图,B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,则DF= .3.在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P.求证:PB=PC,并直接写出图中其他相等的线段.4.已知:如图,AB∥CD,E是AB的中点,CE=DE.求证:(1)∠AEC=∠BED.(2)AC=BD.5.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC,延长AD到E点,使DE=AB.求证:(1)∠ABC=∠EDC.(2)△ABC≌△EDC.6.如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于点E,求证:AD=CE.5.尺规作图用尺规作图作出图形的三个步骤:(1)分析图形,明确作图顺序.(2)选择合适的基本作图.(3)验证所作图形是否符合要求.【例1】如图所示,已知线段AB,∠α,∠β,分别过A,B作∠CAB=∠α,∠CBA=∠β.(不写作法,保留作图痕迹)【标准解答】如图所示:.【例2】作图题(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)已知:(如图)线段a和∠α,求作:△ABC,使AB=AC=a,∠A=∠α.【标准解答】如图所示:1.画△ABC,使其两边为已知线段a,b,夹角为β.(要求:用尺规作图,写出已知、求作;保留作图痕迹;不在已知的线、角上作图;不写作法)2.如图1,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上的一点,BD>CD,将△ABC沿AD剪开,拼成如图2的四边形ABDC′.(1)四边形ABDC′具有什么特点?(2)请同学们在图3中,用尺规作一个以MN,NP为邻边的四边形MNPQ,使四边形MNPQ具有上述特点(要求:写出作法,但不要求证明).跟踪训练答案解析第四章三角形1.应用三角形的三边关系的方法技巧【跟踪训练】1.【解析】选 B.如果满足较小的两条线段之和大于最长的线段,那么这三条线段就能组成三角形.因为1+1=2,1+4<6,2+3<7,而3+4>5.2.【解析】选C.设第三边长为x,则由三角形三边关系定理得5-2<x<5+2,即3<x<7.故选C.3.【解析】选C.设他所找的这根木棍长为x,由题意得:3-2<x<3+2,∴1<x<5,∵x为整数,∴x=2,3,4.4.【解析】∵各边长度都是整数、最大边长为8,∴三边长可以为:1,8,8;2,7,8;2,8,8;3,6,8;3,7,8;3,8,8;4,5,8;4,6,8;4,7,8;4,8,8;5,5,8;5,6,8;5,7,8;5,8,8;6,6,8;6,7,8;6,8,8;7,7,8;7,8,8;8,8,8;故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个.答案:205.【解析】由中线性质,可得AG=2GD,则S△BGF=S△CGE=S△ABG=×S△ABD=××S△ABC=×12=2,∴阴影部分的面积为4.答案:42.求一个角的度数的方法【跟踪训练】1.【解析】选A.如图,∵∠1=60°,∠2=45°,∴∠α=180°-45°-60°=75°.2.【解析】选C.∵AB∥CD,∴∠DCE=∠A=34°,∵∠DEC=90°,∴∠D=90°-∠DCE=90°-34°=56°.3.【解析】选C.∵∠A=60°,∠ABC=42°,∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=78°.∵∠B,∠C的平分线为BE,CD,∴∠FBC=∠ABC=21°,∠FCB=∠ACB=39°,∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°.4.【解析】选B.∵EF∥AC,∴∠EFB=∠C=60°,∵DF∥AB,∴∠DFC=∠B=45°,∴∠EFD=180°-60°-45°=75°.5.【解析】∵∠ACD=∠A+∠B,∠A=80°,∠ACD=150°, ∴∠B=70°.答案:706.【解析】∵直线l1∥l2,∴△ABC1,△ABC2,△ABC3的底边AB上的高相等,∴△ABC1,△ABC2,△ABC3这3个三角形同底,等高,∴△ABC1,△ABC2,△ABC3这些三角形的面积相等.即S1=S2=S3.3.确定全等三角形的对应边、对应角的方法【跟踪训练】【解析】选C.由于∠1=∠2,∠B=∠D,所以点C与点E,点B与点D是对应点,故应表示为△ABC≌△ADE,所以选C.4.全等三角形【跟踪训练】1.【解析】选C.A、添加CB=CD,根据SSS,能判定△ABC≌△ADC,故A选项不符合题意;B、添加∠BAC=∠DAC,根据SAS,能判定△ABC≌△ADC,故B选项不符合题意;C、添加∠BCA=∠DCA时,不能判定△ABC≌△ADC,故C选项符合题意;D、添加∠B=∠D=90°,根据HL,能判定△ABC≌△ADC,故D选项不符合题意;故选C.2.【解析】∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF,∵BE=CF,∴BC=EF,∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF,∴DF=AC=6.答案:63.【解析】在△ABF和△ACE中,∴△ABF≌△ACE(SAS),∴∠ABF=∠ACE(全等三角形的对应角相等),∴BF=CE(全等三角形的对应边相等),∵AB=AC,AE=AF,∴BE=CF,在△BEP和△CFP中,∴△BEP≌△CFP(AAS),∴PB=PC,∵BF=CE,∴PE=PF,∴图中相等的线段为PE=PF,BE=CF.4.【证明】(1)∵AB∥CD,∴∠AEC=∠ECD,∠BED=∠EDC,∵CE=DE,∴∠ECD=∠EDC,∴∠AEC=∠BED.(2)∵E是AB的中点,∴AE=BE,在△AEC和△BED中,∴△AEC≌△BED(SAS),∴AC=BD.5.【证明】(1)在四边形ABCD中,∵∠A=∠BCD=90°,∴∠B+∠ADC=180°.又∵∠ADC+∠EDC=180°,∴∠ABC=∠EDC.(2)连接AC.∵在△ABC和△EDC中∴△ABC≌△EDC.6.【证明】∵AE∥BD,∴∠EAC=∠ACB, ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠EAC,在△ABD和△CAE中,∴△ABD≌△CAE,∴AD=CE.5.尺规作图【跟踪训练】1.【解析】已知:线段a,b和∠β.求作:△ABC,使BC=a,AC=b,∠C=β(也可以使任意两边分别等于a和b,夹角为β).2.【解析】(1)四边形ABDC′中,AB=DC′,∠B=∠C′(或四边形ABDC′中,一组对边相等,一组对角相等).(2)作法:①延长NP;②以点M为圆心,MN为半径画弧,交NP的延长线于点G;③以点P为圆心,MN为半径画弧,以点M为圆心,PG为半径画弧,两弧交于点Q;④连接MQ,PQ;⑤四边形MNPQ是满足条件的四边形.。

七年级数学三角形全等之动点问题(框架)(北师版)(专题)(含答案)

三角形全等之动点问题（框架）（北师版）（专题）一、单选题(共11道，每道9分)1.已知：如图，AB=16cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向点B运动．设点P 运动的时间为t秒，请解答下列问题：（1）运动状态分析图如下：空缺处依次所填正确的是( )A.①1cm/s；②A；③BB.①2cm/s；②B；③AC.①2cm/s；②A；③BD.①2cm/s；②A；③P答案：C解题思路：点A速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点问题的解决方法解决：①研究基本图形，标注：②研究动点运动状态，包括起点，终点，状态转折点，速度，时间范围，如图：③表达线段长，建等式．根据运动状态分析，选C．试题难度：三颗星知识点：动点问题2.（上接第1题）（2）用含t的式子表达线段AP，PB长分别为( )cm．A.t；16-tB.t；16-2tC.2t；16-tD.2t；16-2t答案：D解题思路：由1题可知，线段AP为已走路程，故AP=2t，PB为未走路程，故BP=16-2t．故选D．试题难度：三颗星知识点：动点问题3.（上接第1，2题）（3）点P出发____秒到达AB的中点．( )A.2B.4C.5D.8答案：B解题思路：点P到达AB中点，即AP=8建等式得，2t=8解得t=4故选B．试题难度：三颗星知识点：动点问题4.已知：如图，AB=18cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向点B运动，动点Q 从点B出发，沿BA以1cm/s的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间为ts，请解答下列问题：（1）运动状态分析图如下空缺处依次所填正确的是( )A.①9s；②18s；③0≤t≤9B.①9s；②9s；③0≤t≤18C.①9s；②18s；③0≤t≤18D.①18s；②9s；③0≤t≤9答案：A解题思路：点P，Q的速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点问题的解决方法解决：①研究基本图形，标注：②研究动点运动状态，包括起点，终点，状态转折点，速度，时间范围，如图：③表达线段长，建等式．根据运动状态分析，选A．试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第4题）（2）用含t的式子表达线段AP，QB长分别为( )cm．A.18-2t；2tB.t；18-tC.t；2tD.2t；t答案：D解题思路：由4题可知，线段AP为点P已走路程，故AP=2t，BQ为点Q已走路程，故BQ=t．故选D．试题难度：三颗星知识点：动点问题6.（上接第4，5题）（3）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6cm，则此时t的值为( )A.4B.6C.8D.9答案：A解题思路：由4，5题可知，当P，Q相遇时，AB+BQ=AB，即：2t+t=18，解得t=6，因此，在P，Q相遇之前，即：0≤t<6，PQ=6，即：2t+t=18-6，解得t=4．(符合题意)故选A．试题难度：三颗星知识点：动点问题7.已知：如图，在直角三角形ABC中，AB=6 cm，BC=4 cm．点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿AB-BC向点C运动，设点P运动的时间为ts，请回答下列问题：（1）运动状态分析图如下：空缺处依次所填正确的是( )A.①6s；②4s；③0≤t≤10B.①3s；②2s；③0≤t≤3C.①3s；②2s；③0≤t≤5D.①3s；②5s；③0≤t≤5答案：C解题思路：点P速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点问题的解决方法解决：①研究基本图形，标注：②研究动点运动状态，包括起点，终点，状态转折点，速度，时间范围，如图：③表达线段长，建等式．根据运动状态分析，选C．试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第7题）（2）在点P运动的过程中，当△BCP的面积为时，对应的t的值为( )A.2sB.1sC.sD.s答案：A解题思路：有状态转折，根据状态转折点进行分类：（1）点P在AB上时，即：0≤t≤3，画图，可得：AP=2t，BP=6-2t，当△BCP的面积为时，即：，解得：t=2；（2）点P在BC上时，不符合题意，舍去．故选A．试题难度：三颗星知识点：动点问题9.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=9厘米．点P从点A出发，沿AB边向终点B以1厘米/秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向终点C以2厘米/秒的速度移动，连接PQ．如果P，Q两点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒，请回答下列问题：（1）运动状态分析图如下：空缺处依次所填正确的是( )A.①6s；②9s；③0≤t≤6B.①6s；②4.5s；③0≤t≤6C.①3s；②4.5s；③0≤t≤4.5D.①6s；②4.5s；③0≤t≤4.5答案：D解题思路：点P，Q速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点问题的解决方法解决：①研究基本图形，标注：②研究动点运动状态，包括起点，终点，状态转折点，速度，时间范围，如图：③表达线段长，建等式．根据运动状态分析，选D．试题难度：三颗星知识点：动点问题10.（上接第9题）（2）用含t的式子表达线段BP，BQ的长分别为( )厘米．A.t；9-2tB.t；2tC.6-t；2tD.6-t；9-2t答案：C解题思路：由9题可知，AP为点P已走路程，故AP=t，∴BP=6-tBQ为点Q已走路程，故BQ=2t．故选C．试题难度：三颗星知识点：动点问题11.（上接第9，10题）（3）当△BPQ为等腰直角三角形时，t=( )A.1秒B.2秒C.3秒D.4秒答案：B解题思路：由9，10题可知，△BPQ为等腰直角三角形，∠B=90°，只需BP=BQ，即6-t=2t，解得t=2．故选B．试题难度：三颗星知识点：动点问题。

难点解析北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转综合练习试题(含详解)

八年级数学下册第三章图形的平移与旋转综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图在平面直角坐标系中，点N与点F关于原点O对称，点F的坐标是（3，2），则点N的坐标是（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（﹣2，3）D．（2，3）2、下列说法正确的是（）A．能够互相重合的两个图形成轴对称B．图形的平移运动由移动的方向决定C．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为120°，那么它不是中心对称图形D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形3、点P(－3，1)关于原点对称的点的坐标是（）A．(－3，1) B．(3，1) C．(3，－1) D．(－3，－1)4、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5、如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（2，0），连接AB，点D为AB的中点，将点D 绕着点A旋转90°得到点D的坐标为（）A．（﹣2，1）或（2，﹣1）B．（﹣2，5）或（2，3）C．（2，5）或（﹣2，3）D．（2，5）或（﹣2，5）6、古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7、如图，E是正方形ABCD中CD边上的点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转，得到△ABF．下列角中，是旋转角的是（）A．∠DAE B．∠EAB C．∠DAB D．∠DAF8、下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．9、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．10、下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝6，将△ABC绕点C顺时针旋转30°得到△A′B′C，A、B分别与A′、B′对应，CA′交AB于点M，则CM的长为 ___．2、如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =28°，若以点C 为旋转中心，将△ABC 逆时针旋转到△DEC 的位置，点B 在边DE 上，则旋转角的度数是_______．3、若点(),5A n 与点()1,B m -关于原点对称，则n m +的值为______．4、如图，已知三角形ABC 的面积为12，将三角形ABC 沿BC 平移到三角形A ′B ′C ′，使B ′和C 重合，连接AC ′交A ′C 于D ，D 是AC′的中点，则三角形C ′DC 的面积为______．5、如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB ，∠A ＝90°，点O 为坐标原点，点B 在x 轴上，点A 的坐标是（1，1）．若将△OAB 绕点O 顺时针方向依次旋转45°后得到△OA 1B 1，△OA 2B 2，△OA 3B 3，…，可得A 10），A 2（1，﹣1），A 3（0），…则A 2021的坐标是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy 中，点P 为一定点，点P 和图形W 的“旋转中点”定义如下：点Q 是图形W 上任意一点，将点Q 绕原点顺时针旋转90°，得到点Q '，点M 为线段PQ '的中点，则称点M 为点P 关于图形W 的“旋转中点”．（1）如图1，已知点()0,4A ，()2,0B -，()0,2C ，①在点()0,3H ，()1,1G ，()2,2N 中，点是点A 关于线段BC 的“旋转中点”； ②求点A 关于线段BC 的“旋转中点”的横坐标m 的取值范围；（2）已知()2,0E ，()0,2F ，()4,0G ，点(),0D t ，且⊙D 的半径为2．若OEF 的内部（不包括边界）存在点G 关于⊙D 的“旋转中点”，求出t 的取值范围．2、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC ．（1）将△ABC 向下平移6个单位，得111A B C △，画出111A B C △；（2）画出△ABC 关于y 轴的对称图形222A B C △；（3）连接122,,A A C ，并直接写出△A 1A 2C 2的面积．3、如图，在平面直角坐标系中、ABC 的顶点坐标分别为A (4，6)，B (5，2)，C (2，1)（1）在图中画出ABC 关于点O 的中心对称图形A B C '''，并写出点A '，点B '，点C '的坐标；（2）求A B C '''的面积．4、如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为()3,5A -、()2,1B -、()1,3C -．（1）画出将ABC 关于点O 对称的图形111A B C △；（2）写出点1A 、1B 、1C 的坐标．5、如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分A （﹣3，2），B （﹣1，3），C （﹣2，1）．将△ABC 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到△A ′B ′C ′，点A ，B ，C 的对应点分别为A ′、B ′、C ′．（1）根据要求在网格中画出相应图形；（2）写出△A ′B ′C ′三个顶点的坐标．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据点F点N关于原点对称，即可求解．【详解】解：∵F点与N点关于原点对称，点F的坐标是（3，2），∴N点坐标为（﹣3，﹣2）．故选：A【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握若两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数是解题的关键．2、D【分析】根据图形变换的意义和性质作答．【详解】解：A、一个图形沿着某条直线翻折后能够与另一个图形重合，则两个图形关于某条直线成轴对称，错误；B、图形的平移运动由移动的方向和距离决定，错误；C、如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它也有可能有一个旋转角为180度，所以它有可能是中心对称图形，错误；D、如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180度，那么它一定是中心对称图形，正确；【点睛】本题考查图形变换的应用，熟练掌握轴对称、平移、中心对称的定义和性质是解答关键．3、C【分析】据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），然后直接作答即可．【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点P（-3，1）关于原点O中心对称的点的坐标为（3，-1）．故选：C．【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．4、D【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5、C分顺时针和逆时针旋转90°两种情况讨论，构造全等三角形即可求解．【详解】解：设点D绕着点A逆时针旋转90°得到点D1，分别过点D，D1作y轴的垂线，分别交y轴于点C、E，如图：根据旋转的性质得∠DAD1=90°，AD1=AD，∴∠AED1=∠ACD=90°，∴∠D1+∠EAD1=90°，∠EAD1+∠DAC=90°，∴∠D1=∠DAC，∴△AD1E≌△DAC，∴CD=AE，ED1=AC，∵A（0，4），B（2，0），点D为AB的中点，∴点D的坐标为（1，2），∴CD=AE=1，ED1=AC=AO-OC=2，∴点D1的坐标为（2，5）；设点D绕着点A顺时针旋转90°得到点D2，同理，点D2的坐标为（-2，3），综上，点D绕着点A旋转90°得到点D的坐标为（-2，3）或（2，5），故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，全等三角形的判定和性质，根据平面直角坐标系确定出点D1和D2的位置是解题的关键．6、C【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．7、C【分析】根据“旋转角是指以图形在作旋转运动时，一个点与中心的旋转连线，与这个点在旋转后的对应点与旋转中心的连线，这两条线的夹角”，由此问题可求解．【详解】解：由题意得：旋转角为∠DAB或∠EAF，【点睛】本题主要考查旋转角，熟练掌握求一个旋转图形的旋转角是解题的关键．8、C【分析】结合选项根据轴对称图形（把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称）与中心对称图形（指把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称）的概念求解即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选：C．【点睛】题目主要考查轴对称和中心对称图形的识别，深刻理解轴对称与中心对称图形的概念是解题关键．9、D【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：D．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．10、B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A ．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．二、填空题1、6【分析】根据旋转的性质可得，30ACA '∠=︒，所以60BCM ∠=︒，由题意可得：60B ∠=︒，BCM 为等边三角形，即可求解．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴60B ∠=︒，由旋转的性质可得，30ACA '∠=︒，∴60BCM ACB ACM ∠=∠-∠=︒，∴BCM 为等边三角形，∴6CM BC ==，故答案为：6【点睛】此题考查了直角三角形的性质，旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是灵活掌握相关基本性质进行求解．2、56°【分析】直接利用旋转的性质得出EC =BC ，进而利用三角形内角和定理得出∠E =∠ABC =62°，即可得出∠ECB 的度数，得出答案即可．【详解】解：∵以点C 为旋转中心，将△ABC 旋转到△DEC 的位置，点B 在边DE 上，∴EC =BC ，∵∠ACB =90°，∠A =28°，∴∠E =∠ABC =62°，∴∠EBC =62°，∴∠ECB =180°-62°-62°=56°，∴则旋转角的度数是56°．故答案为：56°．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，得出∠E =∠ABC 的度数是解题关键．3、-4【分析】根据关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数解答．【详解】解：由点(),5A n 与点()1,B m -关于原点对称，可得n ＝1，5m =-，∴=15=4n m +--故答案为：﹣4．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特征：横坐标和纵坐标都互为相反数．4、6【分析】由平移的性质可得BC CC '=，则==12ABC ACC S S '△△，同理可得1==62ACD CDC ACC S S S ''=△△△．【详解】解：由平移的性质可得BC CC '=，∴==12ABC ACC S S '△△（等底同高），∵D 是AC '的中点，∴AD DC '=， ∴1==62ACD CDC ACC S S S ''=△△△，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了平移的性质，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握平移的性质．5、()【分析】根据题意得：A 10），A 2（1，﹣1），A 3（0），()()()(()456781,1,,1,1,,1,1A A A A A --- ，…，由此发现，旋转8次一个循环，再由202182525÷= ，即可求解．【详解】解：根据题意得：A 10），A 2（1，﹣1），A 3（0，()()()(()456781,1,,1,1,,1,1A A A A A --- ，…，由此发现，旋转8次一个循环， ∵202182525÷= ，∴A 2021的坐标是() ．故答案为：()【点睛】本题主要考查了图形的旋转，明确题意，准确得到规律是解题的关键．三、解答题1、（1）①点(0,3)H 为点A 关于线段BC 的“旋转中点”②01m ≤≤；（2）t 的取值范围20t -<＜或-4-2t ＜＜．【分析】（1）①分别假设点H G N ，，为点A 关于线段BC 的“旋转中点”，求出点Q （旋转之前的点），查看点Q 是否在线段BC 即可；②设点A 关于线段BC 的“旋转中点”的坐标为(),m n ，按照题意，逆向思维找到点Q ，根据点Q 在线段BC 上，求解即可；（2）设旋转中点M 的坐标为(),m n ，则应满足()()2222222422244t n t m n t m -≤-≤+⎧⎪-≤-≤⎨⎪--+-=⎩，找到点Q '，线段Q F '的中点为M ，再将点Q '逆时针旋转90︒，得到点Q ，点Q 应该在使得点(),M m n 在OEF 的内部（不包括边界），求解即可．【详解】解：（1）①假设点()0,3H 为点A 关于线段BC 的“旋转中点”， (),Q x y '，则点()0,3H 为线段AQ '的中点，即002432x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，即()0,2Q '，将Q '绕原点逆时针旋转90︒得到点Q ，可得点Q 的坐标为()2,0Q -，此时点Q 在线段BC 上，符合题意；假设点()1,1G 为点A 关于线段BC 的“旋转中点”， (),Q x y '，则点()1,1G 为线段AQ '的中点，即012412x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得22x y =⎧⎨=-⎩，即()2,2Q '-，将Q '绕原点逆时针旋转90︒得到点Q ，可得点Q 的坐标为()2,2Q ，此时点Q 不在线段BC 上，不符合题意；假设点()2,2N 为点A 关于线段BC 的“旋转中点”， (),Q x y '，则点()2,2N 为线段AQ '的中点，即022422x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩，即()4,0Q '，将Q '绕原点逆时针旋转90︒得到点Q ，可得点Q 的坐标为()0,4Q ，此时点Q 不在线段BC 上，不符合题意；综上所得，点()0,3H 为点A 关于线段BC 的“旋转中点”，②设点A 关于线段BC 的“旋转中点”M 的坐标为(),m n ，(),Q x y '，则点(),M m n 为线段AQ '的中点，即0242x m y n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得224x m y n =⎧⎨=-⎩即()2,24Q m n '-，将Q '逆时针旋转90︒得到点Q ，可得点Q 的坐标为()24,2Q n m -+，由题意可知点Q 在线段BC 上，即2240022n m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，解得01m ≤≤；（2）设OEF 的内部（不包括边界）存在点G 关于⊙D 的“旋转中点”，为(),M m n ，(),Q x y '，则点(),M m n 为线段GQ '的中点，即4202x m y n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得242x m y n=-⎧⎨=⎩即()24,2Q m n -'，将Q '逆时针旋转90︒得到点Q ，可得点Q 的坐标为()2,24Q n m --，由题意可知点Q 在⊙D 上，即()()2222222422244t n t m n t m -≤-≤+⎧⎪-≤-≤⎨⎪--+-=⎩，解得13m n ≤≤⎧⎪⎨⎪⎩∴0≤2n +t≤2或-2≤2n +t≤0，∴222t t n --≤≤或222t t n +--≤≤，设EF 解析式为y kx b =+把坐标代入得，220b k b =⎧⎨+=⎩，解得21b k =⎧⎨=-⎩， ∴EF 解析式为2y x =-+，由题意可得：点(),M m n 在OEF 的内部（不包括边界）， ∴200m n m n +⎧⎪⎨⎪⎩＜＞＞， ∴0＜n ＜2，又∵2222t t n +--≤≤-， ∴02222t t ⎧->⎪⎪⎨-⎪-<⎪⎩，解得20t -<＜， ∵222t t n +--≤≤， ∴2+0222t t ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩， -4-2t ＜＜，∴t 的取值范围20t -<＜或-4-2t ＜＜．【点睛】此题考查了坐标系点坐标的旋转变换，涉及了不等式组的求解，新概念的理解，解题的关键是理解点P 和图形W “旋转中点”的概念，并掌握点绕原点顺时针或逆时针旋转90︒后的坐标公式．绕原点旋转90︒的坐标公式：点(),x y 绕原点顺时针转90︒后坐标为(),y x -，逆时针转旋转90︒坐标为(),y x -．2、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，7【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到111A B C △；（2）依据轴对称的性质，即可得到222A B C △；（3）依据割补法进行计算，即可得到△A 1A 2C 2的面积．【详解】（1）如图所示，111A B C △即为所求；（2）如图所示，222A B C △即为所求；（3）如图所示，△A 1A 2C 2即为所求作的三角形，△A 1A 2C 2的面积＝3×6－12×2×3－12×2×6－12×1×4＝18－3－6－2＝7．【点睛】本题考查作图−平移变换，轴对称变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．3、（1）点A'的坐标为（-4，-6），点B'的坐标为（-5，-2），点C'的坐标为（-2，-1），画图见解析；（2）13 2【分析】（1）先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点A'，点B'，点C'的坐标，然后描出点A'，点B'，点C'，最后顺次连接点A'，点B'，点C'即可；（2）根据A B C'''的面积等于其所在的长方形面积减去周围三个三个小三角形面积求解即可．【详解】解：（1）∵A B C'''是△ABC关于原点对称的中心对称图形， A(4，6)，B(5，2)，C(2，1)，∴点A'的坐标为（-4，-6），点B'的坐标为（-5，-2），点C'的坐标为（-2，-1）；∴如图所示，A B C'''即为所求；（2）由图可知11113352514132222A B C S '''=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△ ．【点睛】本题主要考查了画中心对称图形，关于原点对称的点的坐标特征，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征．4、（1）见解析；（2）()13,5A -，()12,1B -，()11,3C -．【分析】（1）直接利用关于点O 对称的性质得出对应点位置，顺次连接各个对应点，即可；（2）根据对应点位置直接写出坐标，即可．【详解】解：（1）如图所示，（2）()13,5A -，()12,1B -，()11,3C -．【点睛】本题考查了利用中心对称变换在坐标系中作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．5、（1）见解析；（2）(1,1)A '-，(3,0)'B ，(2,2)C '-【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A '，B ′，C '即可．（2）根据平面直角坐标系写出A '，B ′，C '的坐标．【详解】解：（1）如图，△A B C '''即为所求，（2）根据平面直角坐标系可得：(1,1)A '-，(3,0)'B ，(2,2)C '-．【点睛】本题考查作图-平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．。

六年级下册数学单元测试-3.图形的运动北师大版(含答案)

六年级下册数学单元测试-3。

图形的运动一、单选题1.将下面图案点O顺时针方向旋转90度，得到的图案是（）。

A. B. C. D.2.平行四边形绕两条对角线的交点至少旋转（）才会与原图形重合.A. 45°B. 90°C. 180°D. 360°3.以AB为轴快速旋转后形成的图形是（）。

A. B. C. D.4.如图：正三角形ABC怎样运动得到正三角形ADE？（）A. 平移B. 旋转C. 轴对称二、判断题5.图形经过旋转后与原图形的形状和大小都不同。

（）6.这幅图可以通过旋转的得到（）7.把图形顺时针旋转90°，它的形状没有改变。

（）8.旋转就是绕一个点或一条轴做的圆周运动。

（）三、填空题9.这幅画用到了________原理。

10.下图中，三角形A向右平移________格，就得到三角形B；梯形A向上平移________格，就得到梯形B。

11.如下图，将三角形ABC沿直线BC向右平移3厘米，得到三角形EDF。

如果BC=5厘米，那么DF=________厘米，CF=________厘米，DC=________厘米。

12.请在括号里填上“平移”或者“旋转”。

________四、解答题13.请按要求做一做．（1）量一量：三角形ABC中，顶点C在顶点B的________偏________°方向．（2）画出三角形ABC绕顶点B按顺时针方向旋转90°后的图形．（3）画出新图形向右平移5格后的图形．（4）画出平移后的图形按2：1扩大后的图形．五、作图题14.根据要求画一画，移一移。

（1）画出三角形AOB绕点O顺时针旋转90°后得到的图形C。

（2）画出图形C向右平移5格后得到的图形D。

参考答案一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】将绕点O顺时针方向旋转90度，得到的图案是。

故答案为：C。

【分析】画旋转图形的方法：把图形的每个点与旋转中心连接，再量出题目要求旋转的角度，最后依次连接，进行选择合适的图形。

北师大版八年级(上)数学《三角形内角和定理》同步练习4(含答案)

7.5 三角形内角和定理4一、七彩题:1．（一题多解）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠BCD•的度数．2．（巧题妙解题）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别等于32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°就断定零件不合格．请你运用三角形有关知识说明零件不合格的原因．二、知识交叉题:3．（科内交叉题）如图所示，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD 相交于点F，•∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，求∠BDC和∠BFD的度数．4．（科内交叉题）如图，已知BE，CE分别是△ABC的内角∠ABC，外角∠ACD的平分线，若∠A=50°，你能求出∠E吗？若∠A= ，则∠E是多少？三、实际应用题5．在足球比赛中，球员越接近球门，射门角度（射球点与球门两边A，B 间的夹角）•就越大，如图所示，你如何证明．四、经典中考题6．（黄冈，3分）如图所示，∠1大于∠2的是（）7．（浙江，3分）如图所示，AB∥CD，∠1=110°，∠ECD=70°，∠E的大小是（）A．30°B．40°C．50°D．60°五、探究学习:1．（旋转变换题）如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．（1）三角尺旋转了多少度？（2）连接CD，试判断△CBD的形状；（3）求∠BDC的度数；2．（阅读理解题）关于三角形内角和定理的证明，•小马和小虎又各自找到了一种“创新”证法．如图1，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．图1 图2 图3小马的证法：如图2，延长BC到点D，则∠ACD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．因为∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），所以∠A+∠B+∠ACB=180°．小虎的证法：如图3，过点A作AD⊥BC于点D，则∠1+∠B=90°，∠2+∠C=90°（直角三角形的两锐角互余），所以（∠1+∠2）+∠B+∠C=180°，即∠BAC+∠B+∠C=•180°．你认为他们的证法对吗？说说你的看法，请给出一种你认为比较简单且正确的证法．3.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，∠BAD>∠CAD，求证：AB>AC．参考答案一、1．解法一：如图1，延长ED交BC于点F，因为AB∥DE，所以∠BFE=∠B=80°（两直线平行，内错角相等），所以∠DFC=100°，所以∠BCD=∠CDE-∠DFC=140°-•100°=40°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．图1 图2解法二：如图2，过点C作CF∥DE，所以∠DCF=180°-∠CDE=180°-140•°=40°（两直线平行，同旁内角互补）．因为AB∥DE，所以AB∥CF（•平行于同一条直线的两条直线互相平行），所以∠BCF=∠ABC=80°（两直线平行，内错角相等），所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=80°-40°=40°．2．解：如答图，延长CD交AB于E．因为∠C=21°，∠A=90°，所以∠BED=∠A+•∠C=90°+21°=111°．又因为∠CDB=∠B+∠BED，∠B=32°．所以∠CDB=32°+111°=143°≠148°，•故零件不合格．点拨：本题的巧妙之处在于通过作辅助线，•两次利用“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和”，迅速求出∠CDB的值，然后与148°相比较，得出零件不合格．三、3．解：因为∠BDC是△ADC的一个外角，所以∠BDC=∠A+∠ACD．又因为∠A=62°，∠ACD=35°，所以∠BDC=∠A+∠ACD=62°+32°=97°．在△BDF中，∠ABE=20•°，•∠BDC=97°．所以∠BFD=180°-20°-97°=63°．4．解：因为∠ECD是△BCE的外角，所以∠ECD=∠EBC+∠E．因为BE，CE•分别平行∠ABC，∠ACD，所以∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD．所以12∠ACD=12∠ABC+∠E，•所以∠ACO=•∠ABC+2∠E．又因为∠ACD是△ABC的外角．所以∠ACD=∠A+∠ABC．所以∠A+•∠ABC=•∠ABC+2∠E．所以∠A=2∠E，所以∠E=12∠A=12×50°=25°，若∠A=α，则∠E=12α．三、5．证明：如图，延长AD交BC于E，因为∠BEA>∠C，∠ADB>∠BEA，•所以∠ADB>∠C．四、6．C7．B 点拨：因为AB∥CD，所以∠EDF=∠1=∠110°，因为∠ECD=70°，所以∠EDF=∠ECD+∠E，110°=70°+∠E，所以∠E=40°．五、探究学习1．解：（1）三角板旋转的度数为180°-30°=150°．（2）因为CB=BD，所以△CBD为等腰三角形，（3）因为∠DBE为△CBD的外角，所以∠DBE=∠BCD+∠BDC，又因为△CBD•为等腰三角形，所以∠BCD=∠BDC．所以2∠BDC=∠DBE=30°，所以∠BDC=15°．点拨：这是一类动手操作题．在操作过程中要注意发现规律，•要有把现实模型抽象为数学问题，从而进一步解决问题的能力．2．解：他们两人的证法都不对，•因为小马所使用的“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”与小虎所用“直角三角形的两锐角互余”都是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能逆过来证明三角形的内角和定理，这是犯了“循环证明”的错误．证明：如图，过点A作DE∥BC，因为DE∥BC，所以∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，•又因为点D，A，E在同一条直线上，所以∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，所以∠BAC+∠B+∠C=180°，即三角形的内角和是180°．点拨：一定要清楚三角形内角和定理及其两个推论之间的关系，不要乱用定理．3.证明：如图所示，在BD上找一点E，使DE=DC．因为AD⊥BC，所以在△ADE•与△ADC中,90,AD ADADE ADCDE DC=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，所以△ADE≌△ADC，所以∠C=∠AED．又因为∠AED是△ABE的一个外角，所以∠AED>∠B，所以∠C>∠B，所以AB>AC．。

2021年北师大新版八年级(下)《第3章+图形的平移与旋转+》名校试题套卷(1)【附答案】

2021年北师大新版八年级（下）《第3章图形的平移与旋转》名校试题套卷（1）一、选择题（共10小题）1．如图，图形旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的最小角度是（）A．45°B．90°C．180°D．360°2．下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是（）A．B．C．D．3．数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．小明的画法如下：①将含30°角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含30°角的三角尺的最短边紧贴：②将含30°角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则b∥a．小明这样画图的依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等4．如图，小慧用如图的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下列给出的四个图形中，符合胶滚滚出的图案是（）A．B．C．D．5．如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．B．C．D．（0，﹣4）6．某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（）A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元7．定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转β角度，这样的图形运动叫作图形的f（a，β）变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，△A1B1C1就是△ABC 经f（1，180°）变换后所得的图形，若△ABC经f（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经f（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经f（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推，△A n﹣1B n﹣1C n﹣1，经f（n，180°）变换后得△A n B n∁n，则点A2018的坐标是（）A．B．C．D．8．如图，长方形ABCD中，AB＝6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2，…，以此类推，第n次平移将长方形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n沿A n﹣1B n﹣1的方向向右平移5个单位，得到长方形A n B n∁n D n（n＞2），则AB n长为（）﹣1A．5n+6B．5n+1C．5n+4D．5n+39．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．10．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O 旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD ＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共10小题）11．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，旋转角为°．13．如图长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，EF＝HG＝LK＝IJ＝3，则空白部分的面积是．14．如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为度．15．若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则（m﹣n）2019＝．16．将点Q（﹣2，3）向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点Q′，则点Q′的坐标为．17．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为．18．平面直角坐标系中，将点A（3，﹣2）向右平移2个单位长度，那么平移后对应的点A'的坐标是．19．如图，香港特别行政区区徽由五个相同的花瓣组成，它是以一个花瓣为“基本图案”通过连续四次旋转所组成，这四次旋转中，旋转角度最小是度．20．如图，在方格纸中，图形②可以看作是图形①经过若干次图形变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由图形①得到图形②的变化过程：．三、解答题（共10小题）21．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，连接BD，求△ABC平移的距离和BD的长．22．如图，△AEC绕A点顺时针旋转60°得△APB，∠P AC＝20°，求∠BAE．23．小区规划一个长70m、宽30m的长方形草坪上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与AB平行，另一条与BC平行，场地其余部分种草，甬道的宽度为xm．（1）用含x的代数式表示草坪的总面积S；（2）如果每一块草坪的面积都相等，且甬道的宽为1m，那么每块草坪的面积是多少平方米？（精确到0.1）24．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90”后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求点B绕原点O逆时针旋转90°的路径长．25．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点），（1）在图1中，图①经过一次变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；（2）在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点（填“A”或“B”或“C”）；（3）在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④．26．思考下列哪些图形可以经过复制自己拼成图一（可以翻折或旋转）例如选择C就可以经过复制自己拼成图一，如图二所示，请模仿图二，另选两个完成下面两图．27．直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点Q（x+2，y）关于原点对称，试求x+2y的值．28．如图，已知△ABC和△AEF中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∠EAB＝25°，∠F＝57°；（1）请说明∠EAB＝∠F AC的理由；（2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；（3）求∠AMB的度数．29．以点A为圆心的圆可表示为⊙A．如图所示，⊙A是由⊙B怎样平移得到的？对应圆心A、B的坐标有何变化？30．在如图所示的方格纸中，每个小正方形方格的边长都为1，△ABC的三个顶点在格点上．（1）画出△ABC的AC边上的高，垂足为D；（标出画高时，你所经过的两个格点，用M、N表示）；（2）画出将△ABC先向右平移1格，再向下平移2格得到的△A1B1C1；（3）连接AA1、BB1，则AA1、BB1的关系是；（4）求平移后，线段BC所扫过的部分所组成的封闭图形的面积．2021年北师大新版八年级（下）《第3章图形的平移与旋转》名校试题套卷（1）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．如图，图形旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的最小角度是（）A．45°B．90°C．180°D．360°【解答】解：∵360°÷4＝90°，∴旋转的最小角度是90°．故选：B．2．下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是（）A．B．C．D．【解答】解：只有D的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到；故选：D．3．数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．小明的画法如下：①将含30°角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含30°角的三角尺的最短边紧贴：②将含30°角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则b∥a．小明这样画图的依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等【解答】解：利用平移的性质得到∠1＝∠2＝60°，所以a∥b．故选：A．4．如图，小慧用如图的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下列给出的四个图形中，符合胶滚滚出的图案是（）A．B．C．D．【解答】解：根据旋转的性质和胶滚上的图案可知，横向状态转为正立状态，胶滚滚出的图案是．故选：A．5．如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．B．C．D．（0，﹣4）【解答】解：作BH⊥y轴于H，如图，∵△OAB为等边三角形，∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，∴BH＝OH＝2，∴B点坐标为（2，2），∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，∴点B′的坐标是（﹣2，﹣2）．故选：C．6．某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（）A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元【解答】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为＝12米、5米，∴地毯的长度为12+5＝17米，地毯的面积为17×2＝34平方米，∴购买这种地毯至少需要80×34＝2720元．故选：C．7．定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转β角度，这样的图形运动叫作图形的f（a，β）变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，△A1B1C1就是△ABC 经f（1，180°）变换后所得的图形，若△ABC经f（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经f（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经f（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推，△A n﹣1B n﹣1C n﹣1，经f（n，180°）变换后得△A n B n∁n，则点A2018的坐标是（）A．B．C．D．【解答】解：根据定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转β角度，这样的图形运动叫作图形的f（a，β）变换，可知：△ABC经f（1，180°）变换后得△A1B1C1，则A1的坐标为（﹣，﹣）；△A1B1C1经f（2，180°）变换后得△A2B2C2，则A2的坐标为（﹣，）；△A2B2C2经f（3，180°）变换后得△A3B3C3，则A3的坐标为（﹣，﹣）；△A3B3C3经f（4，180°）变换后得△A4B4C4，则A4的坐标为（﹣，）；△A4B4C4经f（5，180°）变换后得△A5B5C5，则A5的坐标为（﹣，﹣）；依此类推，发现规律：A n纵坐标为：（﹣1）n•；当n为奇数时，A n的横坐标为：﹣，当n是偶数时，A n的横坐标为：﹣．当n＝2018时，是偶数，∴A2018的横坐标为：﹣，纵坐标为，∴点A2018的坐标是（﹣，）．故选：B．8．如图，长方形ABCD中，AB＝6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2，…，以此类推，第n次平移将长方形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n沿A n﹣1B n﹣1的方向向右平移5个单位，得到长方形A n B n∁n D n（n＞2），则AB n长为（）﹣1A．5n+6B．5n+1C．5n+4D．5n+3【解答】解：每次平移5个单位，n次平移5n个单位，即AA n的长为5n，加上AB的长即为AB n的长．AB n＝5n+AB＝5n+6，故选：A．9．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形，故本选项合题意意；故选：D．10．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O 旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：连接OB、OC，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点O是△ABC的中心，∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE，∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正确；∴S△BOD＝S△COE，∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝××42＝，所以③正确；作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，∴DE＝OE，∴S△ODE＝•OE•OE＝OE2，即S△ODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误；∵BD＝CE，∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，∴△BDE周长的最小值＝4+2＝6，所以④正确．故选：C．二、填空题（共10小题）11．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为（﹣2，3）．【解答】解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，所以：点（2，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，旋转角为40°．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，∴∠B＝90°﹣20°＝70°，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，点D在AB边上，∴BC＝CD，∠BCD＝180°﹣70°×2＝40°，∴旋转角为40°．故答案为：40．13．如图长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，EF＝HG＝LK＝IJ＝3，则空白部分的面积是153．【解答】解：空白部分面积实际上是一个长为（20﹣3），宽为（12﹣3）的新矩形，面积＝（20﹣3）（12﹣3）＝153，故答案是：15314．如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为72度．【解答】解：五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为＝72度．15．若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则（m﹣n）2019＝﹣1．【解答】解：∵若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，∴m＝﹣3，n＝﹣2，则（m﹣n）2019＝（﹣3+2）2019＝﹣1．故答案为：﹣1．16．将点Q（﹣2，3）向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点Q′，则点Q′的坐标为（﹣3，1）．【解答】解：Q′的横坐标为﹣2﹣1＝﹣3；纵坐标为3﹣2＝1；∴点Q′的坐标为（﹣3，1）．故答案填：（﹣3，1）．17．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为10．【解答】解：根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则AD＝1，BF＝BC+CF＝BC+1，DF＝AC，又∵AB+BC+AC＝8，∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC＝10．故答案为：10．18．平面直角坐标系中，将点A（3，﹣2）向右平移2个单位长度，那么平移后对应的点A'的坐标是（5，﹣2）．【解答】解：根据题意，从点A平移到点A′，点A′的纵坐标不变，横坐标是3+2＝5，故点A′的坐标是（5，﹣2）．故答案为：（5，﹣2）．19．如图，香港特别行政区区徽由五个相同的花瓣组成，它是以一个花瓣为“基本图案”通过连续四次旋转所组成，这四次旋转中，旋转角度最小是72度．【解答】解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成，∴旋转角度是360°÷5＝72°，∴这四次旋转中，旋转角度最小是72°．20．如图，在方格纸中，图形②可以看作是图形①经过若干次图形变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由图形①得到图形②的变化过程：图形①绕D点顺时针旋转90°，并向下平移3个单位得到图形②．【解答】解：由图形①得到图形②的变化过程：图形①绕D点顺时针旋转90°，并向下平移3个单位得到图形②．故答案为：图形①绕D点顺时针旋转90°，并向下平移3个单位得到图形②．三、解答题（共10小题）21．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，连接BD，求△ABC平移的距离和BD的长．【解答】解：∵△DCE由△ABC平移而成，∴△ABC平移的距离为：BC＝2，∴CD＝CB＝CE，∴∠BDE＝90°，又∵∠E＝∠ACB＝60°，∴AC∥DE，∴BD⊥AC，∴△BED是直角三角形，∵BE＝4，DE＝2，∴BD＝＝2．22．如图，△AEC绕A点顺时针旋转60°得△APB，∠P AC＝20°，求∠BAE．【解答】解：根据旋转的性质可得△ABP≌△ACE，AC与AB是对应边，∠BAC＝∠BAP+∠P AC＝60°，∵∠P AC＝20°，∴∠CAE＝∠BAP＝40°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝100°．23．小区规划一个长70m、宽30m的长方形草坪上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与AB平行，另一条与BC平行，场地其余部分种草，甬道的宽度为xm．（1）用含x的代数式表示草坪的总面积S；（2）如果每一块草坪的面积都相等，且甬道的宽为1m，那么每块草坪的面积是多少平方米？（精确到0.1）【解答】解：（1）S＝70×30﹣（70x+2×30x﹣2x2）＝2x2﹣130x+2100；（2）当x＝1时，S＝2×12﹣130×1+2100＝1972m2所以每一块草坪的面积为1972÷6≈328.7m2答：每一块草坪的面积约是328.7m2．24．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90”后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求点B绕原点O逆时针旋转90°的路径长．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）如图，点B绕原点O逆时针旋转90°的路径长为＝．25．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点），（1）在图1中，图①经过一次平移变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；（2）在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A（填“A”或“B”或“C”）；（3）在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④．【解答】解：（1）图①经过一次平移变换可以得到图②；（2）图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A；（3）如图．26．思考下列哪些图形可以经过复制自己拼成图一（可以翻折或旋转）例如选择C就可以经过复制自己拼成图一，如图二所示，请模仿图二，另选两个完成下面两图．【解答】解：如图三所示，选择E就可以经过复制自己拼成图一；如图四所示，选择F 就可以经过复制自己拼成图一；27．直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点Q（x+2，y）关于原点对称，试求x+2y的值．【解答】解：根据题意，得（x2+2x）+（x+2）＝0，y＝﹣3．∴x1＝﹣1，x2＝﹣2（不符合题意，舍）．∴x＝﹣1，y＝﹣3∴x+2y＝﹣7．28．如图，已知△ABC和△AEF中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∠EAB＝25°，∠F＝57°；（1）请说明∠EAB＝∠F AC的理由；（2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；（3）求∠AMB的度数．【解答】解：（1）∵∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∴△ABC≌△AEF，∴∠C＝∠F，∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC﹣∠P AF＝∠EAF﹣∠P AF，∴∠BAE＝∠CAF＝25°；（2）通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；（3）由（1）知∠C＝∠F＝57°，∠BAE＝∠CAF＝25°，∴∠AMB＝∠C+∠CAF＝57°+25°＝82°．29．以点A为圆心的圆可表示为⊙A．如图所示，⊙A是由⊙B怎样平移得到的？对应圆心A、B的坐标有何变化？【解答】解：由平面直角坐标系可知，点A的坐标为（﹣2，﹣4），点B的坐标为（2，6），则圆心A向右移动4个单位，再向上移动10个单位得到圆心B，圆心A的横坐标加4得到圆心B的横坐标，圆心A的纵坐标加10得到圆心B的纵坐标．30．在如图所示的方格纸中，每个小正方形方格的边长都为1，△ABC的三个顶点在格点上．（1）画出△ABC的AC边上的高，垂足为D；（标出画高时，你所经过的两个格点，用M、N表示）；（2）画出将△ABC先向右平移1格，再向下平移2格得到的△A1B1C1；（3）连接AA1、BB1，则AA1、BB1的关系是AA1∥BB1，AA1＝BB1；（4）求平移后，线段BC所扫过的部分所组成的封闭图形的面积．【解答】解：（1）如图，点D即为所求；（2）如图，△A1B1C1即为所求；（3）∵△ABC由△A1B1C1平移而成，∴AA1∥BB1，AA1＝BB1；（4）线段BC所扫过的部分所组成的封闭图形的面积＝S平行四边形B1C1CB＝2×2＝4．。

2019年北师大版九年级数学下册《第3章图形的平移与旋转》单元测试卷(含答案解析)

2019年北师大版八下数学《第3章图形的平移与旋转》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．将图中所示的图案平移后得到的图案是（）A．B．C．D．2．下列运动属于平移的是（）A．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡B．急刹车时汽车在地面上的滑动C．投篮时的篮球运动D．随风飘动的树叶在空中的运动3．下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（）A．B．C．D．4．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（）A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm5．如图，图1与图2中的三角形相比，图2中的三角形发生的变化是（）A．向左平移3个单位长度B．向左平移1个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度6．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（）A．B．C．D．7．如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°8．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．36°B．60°C．72°D．90°9．如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．OC＝OC′B．OA＝OA′C．BC＝B′C′D．∠ABC＝∠A′C′B′10．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）11．如图是一块长方形ABCD的场地，长AB＝a米，宽AD＝b米，从A、B两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为米2．12．如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3＝°．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为．14．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了．15．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A＝°．三．解答题（共6小题）16．如图所示，有一条等宽的小路穿过长方形的草地ABCD，若AB＝60m，BC＝84m，AE＝100m，则这条小路的面积是多少？17．如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．（1）求证：AD∥BC；（2）求∠DBE的度数；（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．18．已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），把△ABO向下平移3个单位再向右平2个单位后得△DEF．（1）直接写出A、B、O三个对应点D、E、F的坐标；（2）求△DEF的面积．19．（1）计算：+﹣2﹣1；（2）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是；在前16个图案中有个；第2008个图案是．20．在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数．（2）求出∠BAE的度数和AE的长．21．如图，已知AD＝AE，AB＝AC．（1）求证：∠B＝∠C；（2）若∠A＝50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？2019年北师大版八下数学《第3章图形的平移与旋转》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．将图中所示的图案平移后得到的图案是（）A．B．C．D．【分析】根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．【解答】解：通过图案平移得到必须与图案完全相同，角度也必须相同，观察图形可知C可以通过图案平移得到．故选：C．【点评】本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．2．下列运动属于平移的是（）A．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡B．急刹车时汽车在地面上的滑动C．投篮时的篮球运动D．随风飘动的树叶在空中的运动【分析】根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡，有大小变化，不符合平移定义，故错误；B、急刹车时汽车在地面上的滑动是平移，故正确；C、投篮时的篮球不沿直线运动，故错误；D、随风飘动的树叶在空中不沿直线运动，故错误．故选：B．【点评】把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．3．下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（）A．B．C．D．【分析】根据平移的性质，结合图形对小题进行一一分析，选出正确答案．【解答】解：∵只有B的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到；故选：B．【点评】本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．4．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（）A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm【分析】先根据平移的性质得DF＝AC，AD＝CF＝3cm，再由△ABC的周长为20cm得到AB+BC+AC＝20cm，然后利用等线段代换可计算出AB+BC+CF+DF+AD＝26（cm），于是得到四边形ABFD的周长为26cm．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，∴DF＝AC，AD＝CF＝3cm，∵△ABC的周长为20cm，即AB+BC+AC＝20cm，∴AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF＝20+3+3＝26（cm），即四边形ABFD的周长为26cm．故选：D．【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．5．如图，图1与图2中的三角形相比，图2中的三角形发生的变化是（）A．向左平移3个单位长度B．向左平移1个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：观察图形可得：图1与图2对应点所连的线段平行且相等，且长度是3；故发生的变化是向左平移3个单位长度．故选：A．【点评】本题考查点坐标的平移变换．关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移中，对应点的对应坐标的差相等．6．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（）A．B．C．D．【分析】此题是一组复合图形，根据平移、旋转的性质解答．【解答】解：A、B、C中只能由旋转得到，不能由平移得到，只有D可经过平移，又可经过旋转得到．故选：D．【点评】本题考查平移、旋转的性质：①平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．②旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．7．如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】根据旋转的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∠DOB＝85°，∵△DCO≌△BAO，∴∠D＝∠B＝40°，∴∠AOB＝180°﹣40°﹣110°＝30°∴∠α＝85°﹣30°＝55°故选：C．【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是正确理解旋转的性质，本题属于基础题型．8．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．36°B．60°C．72°D．90°【分析】分清基本图形，判断旋转中心，旋转次数，旋转一周为360°．【解答】解：根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是360°÷5＝72°或72°的倍数．故选C．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．9．如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．OC＝OC′B．OA＝OA′C．BC＝B′C′D．∠ABC＝∠A′C′B′【分析】根据中心对称的性质即可判断．【解答】解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确．故选：D．【点评】本题考查成中心对称两个图形的性质：对应点的连线被对称中心平分；成中心对称图形的两个图形是全等形．10．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．二．填空题（共5小题）11．如图是一块长方形ABCD的场地，长AB＝a米，宽AD＝b米，从A、B两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（ab﹣a﹣2b+2）米2．【分析】根据已知将道路平移，再利用矩形的性质求出长和宽，再进行解答．【解答】解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：（a ﹣2）米，宽为（b﹣1）米．所以草坪的面积应该是长×宽＝（a﹣2）（b﹣1）＝ab﹣a﹣2b+2（米2）．故答案为（ab﹣a﹣2b+2）．【点评】此题考查了生活中的平移，根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题关键．12．如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3＝110°．【分析】延长直线后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．【解答】解：延长直线，如图：，∵直线a平移后得到直线b，∴a∥b，∴∠5＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°，∵∠2＝∠4+∠5，∵∠3＝∠4，∴∠2﹣∠3＝∠5＝110°，故答案为：110．【点评】此题考查平移问题，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为（3，2）．【分析】根据平移的性质即可得到结论．【解答】解：∵将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点B′的坐标为（2，0），∵﹣1+3＝2，∴0+3＝3∴A′（3，2），故答案为：（3，2）【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．14．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了120°．【分析】钟表的分针匀速旋转一周需要60分，分针旋转了360°；求经过20分，分针的旋转度数，列出算式，解答出即可．【解答】解：根据题意得，×360°＝120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°是解答本题的关键．15．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A＝55°．【分析】根据旋转的性质，可得知∠ACA′＝35°，从而求得∠A′的度数，又因为∠A的对应角是∠A′，即可求出∠A的度数．【解答】解：∵三角形△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′∴∠ACA′＝35°，∠A'DC＝90°∴∠A′＝55°，∵∠A的对应角是∠A′，即∠A＝∠A′，∴∠A＝55°；故答案为：55°．【点评】此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．三．解答题（共6小题）16．如图所示，有一条等宽的小路穿过长方形的草地ABCD，若AB＝60m，BC＝84m，AE＝100m，则这条小路的面积是多少？【分析】根据勾股定理，可得BE的长，再根据路等宽，可得FD，根据矩形的面积减去两个三角形的面积，可得路的面积．【解答】解；路等宽，得BE＝DF，△ABE≌△CDF，由勾股定理，得BE＝＝80（m）S＝60×80÷2＝2400（m2）△ABE路的面积＝矩形的面积﹣两个三角形的面积＝84×60﹣2400×2＝240（m2）．答：这条小路的面积是240m2．【点评】本题考查了生活中的平移现象，先求出直角三角形的直角边的边长，再求出直角三角形的面积，用矩形的面积减去三角形的面积．17．如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．（1）求证：AD∥BC；（2）求∠DBE的度数；（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明∠ADC+∠C＝180°，即可证得AD∥BC；（2）由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠ABC的度数，又由∠DBE＝∠ABC，即可求得∠DBE的度数．（3）首先设∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°，由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得∠BEC与∠ADB的度数，又由∠BEC＝∠ADB，即可得方程：x°+40°＝80°﹣x°，解此方程即可求得答案．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，又∵∠A＝∠C∴∠ADC+∠C＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AB∥CD，∴∠ABC＝180°﹣∠C＝80°，∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF，∴∠DBE＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝40°；（3）存在．设∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°．∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠ABE＝x°+40°；∵AB∥CD，∴∠ADC＝180°﹣∠A＝80°，∴∠ADB＝80°﹣x°．若∠BEC＝∠ADB，则x°+40°＝80°﹣x°，得x°＝20°．∴存在∠BEC＝∠ADB＝60°．【点评】此题考查了平行线的性质与平行四边形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用．18．已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），把△ABO向下平移3个单位再向右平2个单位后得△DEF．（1）直接写出A、B、O三个对应点D、E、F的坐标；（2）求△DEF的面积．【分析】（1）根据点的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可以直接算出A、B、O三个对应点D、E、F的坐标；（2）把△DEF放在一个矩形中，利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可．【解答】解：（1）∵点A（1，3），B（3，1），O（0，0），∴把△ABO向下平移3个单位再向右平移2个单位后A、B、O三个对应点D（1+2，3﹣3）、E（3+2，1﹣3）、F（0+2，0﹣3），即D（3，0）、E（5，﹣2）、F（2，﹣3）；（2）△DEF的面积：3×3﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2＝4．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握平移后点的变化规律．19．（1）计算：+﹣2﹣1；（2）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是；在前16个图案中有5个；第2008个图案是．【分析】（1）根据绝对值，二次根式的性质化简原式，可得答案；（2）分析可得，图形三个一组，且依次循环；10除3的余数为1，2008除3的余数为1，故第10个图案与第2008个图案相同，都是第一个图案，即；在前16个图案中有共5组，第六组只有第一个图案；故在前16个图案中有5个．【解答】解：（1）原式＝＝2；（2）根据分析，知应分别为，5，．【点评】本题考查代数式的化简及根据图形找规律的方法．20．在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数．（2）求出∠BAE的度数和AE的长．【分析】（1）先根据三角形内角和计算出∠BAC＝150°，然后利用旋转的定义可判断旋转中心为点A，旋转角为150°；（2）根据旋转的性质得到∠DAE＝∠BAC＝150°，AB＝AD＝4，AC＝AE，利用周角定义可得到∠BAE＝60°，然后利用点C为AD中点得到AC＝AD＝2，于是得到AE＝2．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠B+∠ACB＝30°，∴∠BAC＝150°，当△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，∴旋转中心为点A，∠BAD等于旋转角，即旋转角为150°；（2）∵△ABC绕点A逆时针旋转150°后与△ADE重合，∴∠DAE＝∠BAC＝150°，AB＝AD＝4，AC＝AE，∴∠BAE＝360°﹣150°﹣150°＝60°，∵点C为AD中点，∴AC＝AD＝2，∴AE＝2．【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．21．如图，已知AD＝AE，AB＝AC．（1）求证：∠B＝∠C；（2）若∠A＝50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？【分析】（1）要证明∠B＝∠C，可以证明它们所在的三角形全等，即证明△ABE≌△ACD；已知两边和它们的夹角对应相等，由SAS即可判定两三角形全等．（2）因为△ABE≌△ACD，公共点A，对应线段CD与BE相交，所以要通过旋转，翻折两次完成．【解答】（1）证明：在△AEB与△ADC中，AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD；∴△AEB≌△ADC，∴∠B＝∠C．（2）解：先将△ADC绕点A逆时针旋转50°，再将△ADC沿直线AE对折，即可得△ADC与△AEB重合．或先将△ADC绕点A顺时针旋转50°，再将△ADC沿直线AB对折，即可得△ADC与△AEB重合．【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法．证明全等寻找条件时，要善于观察题目中的公共角，公共边．。