第八章 运输问题

一、运输问题模型及其求解思路
2、产销平衡运输问题模型的特点 从模型的建立可知：
列数为2（产地数）×3（销地数）＝6；
行数为2（产地数）+3（销地数）＝5；
再观察模型的系数矩阵：
一、运输问题模型及其求解思路
1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 200 300 150 150 200
二、确定初始基本可行解
2、最小元素法
每次找到剩下的最小运价，让其对应的
运输量尽可能的满足一个约束条件。
二、确定初始基本可行解
B1 A1 A2 B2 B3 B4 4 产量 3 7 4 3 6
3
1
11 3
3 9
3
2 6 6
10
8
1
5
A3
销量
7
4
10
5
9
20
二、确定初始基本可行解
用最小元素法求出的初始基本可行解为： x21 =3, x22 =1, x13 =4, x32 =6, x34=3, x14 =3, 其余均为0。 对应的总运费为： 3×1+1×2+4×3+6×4+3×5+3×10＝86
B4
4 0 (2) 4 4
产量
4
ui
0 1 2
A2
A3 销量 vj
6
3 13
五、运输问题的几种特殊情况
1、多个最优方案的情况：
若最优表中有非基变量的检验数为0，则为多 个最优方案的情况。 这种情况下，可将检验数为0的非基变量作为 进基变量，即可得到另一个最优方案。

五、运输问题的几种特殊情况

练习题
已知如下运价表，用表上作业法求解：
产销地 A1 A2 A3 销量 B1 6 4 7 2 B2 5 4 6 4 B3 3 7 5 3 B4 4 5 8 4 产量 4 6 3 13
初始解对应目标值为 3×3+4×1+4×2+4×4+8×3＝61
产销地 B1 6 4 7 2 3 (3) 5 4 6 B2 (2) 3 7 5 B3 3 4 5 8 4 4 B4 1 产量 ui 0 1 4
第八章 运输问题
一、运输问题模型及其求解 思路 二、确定初始基本可行解 三、最优性检验 四、方案调整 五、几种特殊情况 六、运输问题的应用
一、运输问题模型及其求解思路
1、问题的提出： 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三
个销地B1、B2、B3。 各产地的产量、各销地的销量和各产地 运往各销地每件物品的运费如下表所示。 问：应如何调运可使总运输费用最小？
直接使用线性规划单纯形法求解计算， 则无法利用这些有利条件。 人们在分析运输规划系数矩阵特征的基 础上建立了针对运输问题的表上作业法。
一、运输问题模型及其求解思路
我们关心的量均在运价表和运量表中，
故将两表和为作业表：
B1 B2 4 x11 6 x21 150 5 x22 150 x12 5 x23 200 6 x13 B3 产量 6
9
20
四、方案调整
经过一次基变换，所有ij ≥ 0，已得到最优解： x13 = 5, x14 = 2, x21 = 3, x24 = 1, x32 = 6, x34 = 3， 其它为0。 最优值： f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85

四、方案调整
闭回路调整法步骤： 1、入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽 快减少） 2、出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回 路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将 其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个 基变量出基，其它基变量都为正）
9 20
u3
三、最优性检验
根据基变量xij 的检验数ij =0 ，对应基变量 的运价cij可以分解为ui 和vj，即cij =ui+vj 。 因为位势量ui ,vj的总数为m + n 个，而限定 方程只有m+n-1个（基变量个数），所以位 势量（ ui ,vj ）有无穷多组解，其中总有一个 自由变量。 故可以任意取一个位势量赋以定值，从而确 定其它位势量的值，一般取u1 ＝0。

三、最优性检验

检验数计算如下表：
B1 A1 A2 A3 B2 B3 B4 产量 7 4 9
3 （1）
1
11
9
3
7 （10） 3 4
销量
3 10 （2） 4 3 2 8 （1） （-1） 1 10 5 （12） 6 3 6 5 6
20
三、最优性检验

2、位势法

闭回路法的缺点：当变量个数较多时，寻找 闭回路以及计算两方面都容易出错。
B2 x12 x22 150
B3 x13 x23 200
产量 200 300
运量表
一、运输问题模型及其求解思路
据题意，可建立线性规划模型： Min f = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）

三、最优性检验
B1
A1 A2 3 （1） 1 3 11
B2
3 （2） 9 2
B3
4
B4 10
3 8
产量ai
7 4 9 20
ui
0 -1 -5
1 （-1） （1） A3 7 4 10 5 6 3 （10） （12） 3 6 5 6 销量bj vj 2 9 3 10
检验数计算总结
1、闭回路法计算式： ij = (闭回路上的奇数顶点运价之和) - (闭回 路上的偶数顶点运价之和)
位势法：设产地Ai对应的位势量为ui ，销地 Bj对应的位势量为vj， 检验数ij =cij –ui-vj。

三、最优性检验
B1 B2 11 9 3 7 3 v1 4 6 6 v2 5 v3 6 v4 10 3 4 1 2 1 5 3 8 B3 B4 10 3 产量 ui
A1
A2
3
7
4
u1
u2
A3 销量 vj

2、位势法计算式： ij = cij - ui – vj

四、方案调整
B1 B2 B3 10 4+1 8 1-1 （-1） +1 3-1 B4
产量
7 4 9 20
3 11 最小偶点原则， 3 A1 （1） （2） 确定出基变量和 1 2 调整量 9 A
2
3
（1）
A3
7
4 （10）
5 6 （12） 最小检验数
二、确定初始基本可行解
为保证基变量的个数有m+n-1个，注意： 1、每次填完数，只能划去一行或一列，只有 最后一个格子例外。 2、用最小元素法时，可能会出现基变量个数 还差两个以上但只剩下一行或一列的情况， 此时不能将剩下行或列按空格划掉，应在剩 下的空格中标上0。（退化的基本可行解）

二、确定初始基本可行解

三、最优性检验
B1 A1 A2 A3 销量

B2 11 3
B3 10 4
B4 3
产量 7 4
3
1
3 7 3
9
4
2
1 10
8
5
6
6 5 6
3
9 20
若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
三、最优性检验
如果规定作为起始顶点的非基变量xij为第 1 个顶点，其闭回路上的其他顶点依次为第 2 个顶点、第 3 个顶点……，那么就有该非基 变量的检验数： ij = (闭回路上的奇数顶点运价之和) - (闭回 路上的偶数顶点运价之和) 最优标准：所有检验数≥0

三、最优性检验
每一个非基变量都有唯一的闭回路
B1 A1 A2 3 11

B2 3
B3 10 4
B4 3
产量
7 4
1
3 7 3
9
4
2
1 10
8
5
A3
销量
6
6 5 6
3
9
20
三、最优性检验
观察x24的闭回路： 若让第一个顶点非基变量x24的取值变为1， 为了保持产销平衡，其闭回路上的顶点运量 都要调整，基数顶点+1，偶数顶点-1。 上述调整使总的运输费用发生的变化为 8 – 10 + 3 – 2 ＝ -1 ，这就说明原方案还不是最优 方案，需要进行调整。

四、方案调整
即求=Min{xij闭回路上的偶数顶点的xij}= xpq。那么确定xpq为出基变量，为调整量； 3、换基调整：对闭回路的奇数顶点运量调整 为：xij+，对各偶数顶点运量调整为：xij-， 特别 xpq-=0，xpq变为非基变量。 重复以上步骤，直到所有检验数均非负，即 得到最优解。
B1 A1 A2 B2 B3 B4 5 产量 3 8 3 3 6
3
1
11 3
3 9
3
2 6 6
10
8
0
5
A3
销量
7
4
10
5
9
20
二、确定初始基本可行解
B1 A1 A2 B2 B3 B4 4 产量 0 4 4 3 3