多尺度可视化的小世界网络

多尺度小世界网络的可视化摘要有很多在信息可视化领域下研究的网络是”小世界”网络。

这些网络起先出现在对社会网络的研究并且证明是与其他应用领域相关的模型，如软件逆向工程和生物学。

此外，很多这些网络实际上都有多尺度性质：它们可以看做是一组一组的小世界网络。

我们描述一个设计好的用来识别小世界网络里最弱边的度量标准，从而开发出一个简单的低成本的过滤程序（将一个图分割成很小的并且高度关联的部件）。

我们通过一个基于语义缩放的网络交互式的导航来展示这个度量标准是如何被开发的。

一旦网络分解为一系列的子网层次，用户可以很容易地找到演员群的集体和其子团体，从而了解他们的动态。

关键词:小世界网络，多尺度图，聚类度量，语义缩放。

1．小世界网络小世界现象是第一次被Milgram 提出来的，他是研究社会网络结构的。

他进行了一次如今众所周知的实验，每个志愿者将一封信寄给给一个他们认为最有可能将这封信传递给其‘接受者’的朋友，然后他的朋友再把信寄给他认为更接近这名‘接受者’的朋友（‘接受者’是一名工作在波士顿股票经纪人）。

最终，大部分信件都寄到了这名股票经纪人手中，每封信平均经手6．2次到达。

（Milgram认为世界上任意两个人之间建立联系，最多只需要6个人）这个结果表明：所有的信件都可以以这种方式交付，通过一条平均由六个人组成的路径。

这个理论经常引用为“六度分隔”准则。

这种网络的研究获得了重生并且被Watts和Strongatz 推广到很多其他的领域。

小世界网络的典型特点主要停留在两个结构参数上:1.平均的路径长度2、节点的聚簇索引。

大致上，小世界网络使得结点的子集高度聚集，而结点与结点之间只有几步的距离。

更确切的说，在一个小世界网络中的平均路径长度与一个随机图形（拥有相同的边界号码）的路径长度相比，它的结点的聚簇索引平均更大。

很多重要的现实世界的例子是小世界网络。

这些已经被Watts 在观察神经网络时发现了。

小世界网络在这个领域的应用已经被Kashuringagan更深的讨论了。

Adamic 表明小世界的性质适用于从web上提取的站点对应的网络。

来自逆向软件工程的图形为小世界网络提供了进一步的例子。

一个关于小世界网络的著名的例子是从互联网电影数据库获得的。

下边表格中的数据显示了一些网络的小世界的性质。

IMDB的例子包含在演员和电影的IMDB数据库的一小部分。

从一个特定的演员x，我们在删除所有连接x（同时删除x）与这些演员的边之前，可以找到所有其他的与x一起演出的男演员和女演员（有超过35个演员的电影都将被丢弃）。

两个演员如果出演同一部电影就会被一条边连起来（但不是和x，否则这个图就已经完善了）。

最终的图包含419个演员相互之间有5651条边相连。

这个图在Figure 1中说明。

在同一部电影中演出的演员组看做一个小团体（子图拥有最大数量的边：完全子图）并且以一个深蓝色的圆盘表示。

Graph Clusteringindex Ave Path Length Random graph （same number ofnodes and edges）IMDB 0.9666 3.2043 0.0243 2.6694“ResynAssistant“0.9518 3.2847 0.1942 1.8195Mac OS 9 0.3875 2.8608 0.0179 3.3196Web 0.1078 3.1 2.3e-4 -.edu sites 0.156 4.062 0.0012 4.048表一是一些小世界网络的例子显示了它们的群集索引相应的值和平均路径长度。

最后的两列表明相同的统计资料对于随机图有相同的结点和边数。

“Resyn Assistant”网是一个与用来设计化学成分可视化的一个JAVA API关联的图。

结点与java 类相对应，线则连接了类内部的属性和方法，以及同其他类的关联。

Mac OS9 的例子包含一个图：结点对应于头文件而边对应于头文件的物理序列。

证据表明：许多在软件逆向工程中研究的图都可以在小世界网络中找到。

就我们的知识而言，从可视化的角度来看小世界网络的结构特性还没有得到充分利用。

对小世界网络的大部分的研究精力集中在提供理论模型。

对于基于度的分布的小世界网络的很多关键类的定义已经提出了。

最近，算法方面已经引起了很大的注意，强调定义小世界网络分布式算法的可能性。

2.交互可视化的小世界网络当处理一个社会网络的常规任务时在于确定连接演员的链接的模式。

这些模型经常对应于社会团体-----演员集体相互之间紧密相连。

此外，他们可能表明社会地位------演员团体以相同的方式链接到整个社会系统。

其他更直观的问题可能是“是否有一团体与其他所有的团体都有连接？”或者一般来讲“这些团体是以一种特殊的方式组织的吗？”，等等。

一旦一个组被确定，除非这组中的演员相互之间认识，去明白这个特殊的组是如何组织的才有意义，这个小组便成了一个社会网络即：小世界网络。

这些问题在第一阶段大部分可以通过肉眼观察解决。

我们的工作重点放在了对小世界性质的运用来支持可视化进程。

当开发出一个小世界网络后，用户很有可能视觉上忽略各个部件之间的高度连接并且直观的讲注意力集中在各个“小团体网络”的连接上。

这个方案与Scheneiderman 的想法一致。

这个Figture 1支持这个叙述。

我们呈现的这个技术使得我们能够计算出一个小世界网络的分解部分以及它在可视化之前的高度连接的部分并且能够提供给用户一个网络的抽象视图。

这种做法，从某种意义上来说，实行了Schneiderman 提出的过滤阶段。

当处理大型网络时，它可以给用户提供非常有价值的帮助我们将会看到，对一个结构化参数的边的简单的计算可以引导我们对一个小世界网络的高度关联的部分进行有效的划分。

应用用权值并且丢弃低值的边将图分成一个个的小部件（可以用经典算法捕捉）。

因此，基于一个简单并且有效的结构化参数，可以将结点归为一个聚集，从而将网络的平均的组织，变成一个部件。

2.1 多尺度的网络通过对上述案例的研究可以得到以下结论。

很多网络不仅是小世界网络，而且他们内部高度相连的部分也是小世界网络。

因此，小世界网络也可以分解成几个层次的小世界网络（很明显，这个层次的最低级别可能不是小世界网络，而仅仅是一个小团体）。

这观点是由Adamic 从web 中导出来的网络得出的。

对一个由153，127个网址的网络的平均路径长度和聚簇索引的计算使得Adamic 可以表明一个网址是小世界网络。

网站.edu 的子集是与这个网络孤立的，并且已经被证明是小世界网络。

这种现象已经通过从IMDB 中提取的几个子网证实了。

我们认为网络上的相关的信息可以从一个分层的部分推断出来。

更重要的是分层可以有效的用来导航网络。

3.网络模块和之间的边缘强度就像之前所说的，我们的技术需要我们对每个网络的边计算一个值。

我们定义的度量标准首先引入以及概括了瓦特介绍的结点的聚簇索引。

给定一个网络中的结点v ，它的聚簇索引(是通过首先计算出连接结点v 的邻接点的边数r(N(v))---(出度)以及采取比例)： C(v)=r(N(v))/(k(k-1)/2)（结点的聚簇索引）来定义的(在这里k 指的是v 的邻接点的个数，请注意分母计算有k 个结点的小团体(完全子图)的边数)。

而图G 的聚簇索引计算公式如下：N v c v C v G /)()(∑= (其中N 表示图G 中结点的个数)小世界网络就是那些拥有高聚簇索引,同时又有较小的路径长度，与有相同结点和边数的随机图相比。

Watts 讨论了一些产生图的模型，同时对这两个属性很满意。

尽管小世界网络的类图非常大，但这也不能说明所有信息可视化中的图是小世界网络。

通过我们对一系列的例子集合的研究，我们有这样一个假设许多信息可视化中重要的例子都是小世界网络。

现在我们将问题转向定义一条边的聚簇索引。

给定一条边(u,v)，它的强度是通过将结点u和结点v划分为三个部分来计算的。

其中M(u)是结点u的邻接点的集合而不是结点v的邻接点的集合。

M(v)与之类似。

W(u v)表示u 和v结点的共同的邻接点的集合。

r(A,B)表示连接结合A中的结点与集合B中结点的边数。

比率：s(A B)=r(A, B) / |A|·|B| 计算了连接集合A和B中相互连接结点的边数，占所有可能连接结点的边数的比例。

现在看来，所有连接子集M(u),M(v)或者W(u,v)的边，是一个连接边(u,v)的长度为4的环(如图)。

注意，所有长度为4的环都是以这种方式连接的。

最后我们定义比率：|W(u, v)|/(| M(u)| + |W(u, v)| + |M(v)|)计算了长度为3的环(包括边(u，v))所占的比例。

注意，在集合M(u,v)中有多少结点，就有多少这样的环。

边的强度，是通过下边的公式来计算的：s(M(u), W(u, v)) + s(W(u, v), M(v)) + s(W(u, v))+ s(M(u), M(v)) + |W(u, v)|/(| M(u)| + |W(u, v)| + | M(v)|)（注意：we need to put s(A) = 2r(A)/(|A|·(|A|-1) when computingthe proportion of edges connecting a set to itself）3.1 摒弃弱边一条边的强度指标可以被解释为这条边对其邻边的衔接度的贡献的一个度量标准。

相反，如果边是一个地峡连接在网络中不相交的邻区那么它的值为0。

因此，导致群之间弱连接的边可以被辨别并且被过滤掉。

这种过滤进程在于消除小于给定阈值τ的边。

这个操作将会得到一个最大的没有连接的子图的集合{h1,h2,h3,....hq},与初始图的聚簇集相对应(每个相连的部件被认为是一个集)。

然后我们通过将H1看成一个新的更高层次的图的结点来计算熵图。

如果在原来的图Hi和Hj上至少存在一条边，则在这两个高级别的结点Hi和Hj之间有一条边。

Figure2说明了这个过程。

图(a)代表了一张力矢量布局算法画的图。

在图(b),弱边使用虚线绘制。

最终的熵图在(c)图显示。

这个过程可以递归地调用，最终得到一个层次聚类(..)。

图3描述了在从IMDB 中提取网络的例子中应用该技术产生的熵图。

我们可视化的技术依靠这种聚类算法。

与选择阈值有关的技术问题在第五部分得到解决。

图3.从表一中的网络中得到的熵图。

演员们被组织到一个更强或者更弱独立的社区中，所有的组都连接着一个核心小组。

3.2层次划分这个技术可以通过递归调用熵图的每个部件的度量而得到充分的利用。

注意这技术因网络的多尺度性质而有意义。

也就是说，较大的组件可以进一步使用相同的技术来分解，这可以根据需要重复(停止条件可以按照图的大小来定制并且直到其保留小世界性质)。