第4节 质心与质心运动定理
物理-质心与质心运动定理
x
——动量中心系
在质质心心参位考矢系中r：C x 质心速度 υC
0drC
dt
0
质点系m的i总i 动m量C 0
质心系是零动量系
质心的运动轨迹？
——抛物线.
0 O x1
m xC x2 C
mx
二、 质心运动定理
锥体为什么会上滚？
锥体上滚是由其质（重）心下降所引起的。
令人称奇的“水往高处流”。
上坡省力，下坡费劲的“怪坡 ”
三、 质心参考系
【质心参考系】：以质心为坐标原点的参考系。
y
r2
O
y
mi
m2 ri
ri
C
rC m1 r1
m1
l
C
m2
x
O
xC
m2 m1 m2
l
m1
l
C
m2
m1l1 m2l2
l1
l2
（与坐标系无关）
质心坐标与所选坐标系有关，
但质心相对物体各部分位置是确定的.
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
y
Rdθ
dθ
R
θ
O R cos θ
y R sin θ
x
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
C 恒矢量
当质点系所受合外力为零时，其质心保持原来的 静止或匀速直线运动状态不变。 ——质心的“惯性运动”
质心的“惯性运动”与质点系动量守恒等价！
随堂练习
例：设有一枚炮弹发射的初速率为 0，发射角为 ，它飞 行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个竖直 下落，另一个水平抛出，求这两部分的着地点（忽略空气 阻力）。
(1) 直角坐标系中的质心坐标
高二物理竞赛课件：质心与质心运动定理
Mv0＝(M+m)v
若要在A处使物体脱离球面，则必须满足
M mv2 / R M mg
因此，油灰的速度至少应为
v0 M m Rg / m
质心的计算：
rC
mi ri
i
m
mi xi
mi yi
mi zi
xC
方向: 沿r p方向
L
Or
v
d m
质点的角动量定理与角动量守恒定律
F
dp
r
dt F
r
dp
d (r
p)
dr
p
dr
p
v
dt
mv
0
dt
dt
dt
M
dL
——角动量定理的微分形式
dt
t
t0 Mdt L L0 ——角动量定理的积分形式
若M 0
L L0 ——角动量守恒定律
➢ 动量守恒与角动量守恒：角动量守恒，动量未必守恒。
质心与质心运动定理
质心
质心的定义：由下式决定的位置矢量
rC
所对应的
点 C，称为质点系的质心： z
rC
mi ri
i
m
C
rC
O
y
x
例，在地面上固定一个半径为R的光滑球面，球面正上方A处放 一个质量为M的滑块，一个质量为m的油灰球以水平速度v0 射向
滑块，并黏附在滑块上，问欲使二者在A处脱离球面，问油灰球 的入射速率至少为多少？
y M
ms M (s l / 2)
xC2
mM
l
由 xC1 xC2 得：
质心 质心运动定理
d 1M m = 0.8m
x
r r r
人人地
人人船
船地
r x x
人地
2
2
r l
人船
r d
船地
x2 x2 l d 返回2 5
第 2章
质点和质点系动力学
1. 牛顿运动定律 惯性系 质心运动定理 2. 动量定理 动量守恒定律 3. 角动量定理 角动量守恒定律 4. 功能原理和机械能守恒定律
1
三、质心运动定理 1. 质心位置
m 1 r1
l1 rc
l2
r2
m2
rc
m i ri m i
O
xrc
xmcmii xi i源自ycjzc kxc
m1 x1 m2 x2 m1 m2
m1 xc x1 m2 x2 xc
m1l1 m2l2 杠杆原理
y
r
dm
O
z
x
r dm
rc
m
xdm
xc m
2
杠杆原理 http://210.44.195.12/dxwl/kpcl/kpcl9.htm
古希腊科学家阿基米德：“假如给我一个支点，我就能把地球挪动！” 阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出杠杆原理 他把杠杆实际应用中的一些经验知识 当作“不证自明的公理” 逻辑论证杠杆原理：
dt
F 外ma cmaFc
质心的运动只与系统所受的合外力相关。
4
例题
已知：质量m=50kg的人从质量 M=200kg 长 l = 4m 的船头行至船 尾 问：船行d =？
0
x2 x1 xcx1 x2
xc
Mx1 mx2 M m
M x 1 m x 2 M m
大学物理-质心质心运动定律
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
高二物理竞赛质心与质心运动定理课件
x 1.5103 N
§4-1 动量守恒定律
[例]质量为m的人由小车一端走向另一端，小
车质量为M、长为 l ，求人和车各移动了多
少距离?(不计摩擦)
解： 水平方向上车和人系统动量守恒
设分车别和为人V和相对v 地 面速度
MV mv 0
m v
V
M
即
V
m
v
M
X x
§4-1 动量守恒定律
mi ri
i
m
x
mi zi
zc
i
m
zc
zdm m
§4-1 动量守恒定律
[例]证明一匀质杆的质心位置C在杆的中点
解：设杆长为l，质量为m，单位长度质量为
建立如图的坐标系
取线元dx
l 2
质量 dm dx m dx
dm l 2
O x dx x
l
xC
1 m
xdm 1
l
m
l2 m
xdx 0
R sinRd
yC 0 R 2R
m R
y
dl
R d
O
x
质心不在铁丝上，但相对于铁丝的位置是确
定的
yC
ydl
m
§4-1 动量守恒定律
人相对于车的速度为
v'
v
V
M
m
v
M
V
m
v
M
设人在时间 t 内走到另一端
l t v'dt M m t v dt M m x
v
0
M0
M
x M l M m
V
M
X
l
x
m M
m
质心运动定理讲解
质心运动定理讲解
质心运动定理指的是质点系的质心以恒定的速度沿着直线运动，
且其所受合外力等于其质量与加速度的积。
这个定理结合了牛顿第二
定律和质点系的质心公式，表达了质心运动的关键性质。
牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量乘以加速度。
对于质点系，可以将其看成一个由若干个质点组成的系统。
此时，质
点系的质心可以看作是其所有质点质量之和的加权平均值。
因此，如
果我们知道了质点系受到的合外力，就可以计算出质点系的总加速度，从而推导出质心的运动规律。
具体来说，如果质点系受到的合外力为F，质点系的质量为M，
质心的速度为v，则根据牛顿第二定律有F=Ma。
又根据质点系的质心
公式，有Mv=Σmivi，其中Σmivi表示所有质点的质量与速度之积之和。
这里我们假设质点系并不发生转动，因此质心的速度与角速度均
为常数。
将上述两个式子联立，可以得到Mv=F/a，也就是质心的加速度与外力和质点系质量之比相等。
因此，质心的运动可以看成是一个受到
恒定加速度的匀加速直线运动，其速度随时间线性增加。
总之，质心运动定理给出了描述质点系运动的一个关键性质。
通
过计算质心的加速度，我们可以推导出质心的运动规律，从而了解整
个质点系的运动情况。
质心运动定律
质心运动定律
质心运动定律指的是质点系统的质心在受到外力的作用下运动
的规律。
根据牛顿第二定律，质心所受的合外力等于质点系统的总质量乘以质心的加速度。
因此，质心的运动可以看做是一个单独的质点在受力下的运动。
质心运动定律有以下几个特点：
1.质心的运动是质点系统中所有质点运动的平均化结果。
2.质心的运动状态与质点系统中的相对位置、互相作用力等无关。
3.质心的运动方向与受力方向相同或相反，具体取决于系统所受的合外力方向。
质心运动定律在工程、物理、天文学等领域有着广泛的应用。
例如，在火箭发射时，需要控制火箭的质心位置以保证火箭的稳定性。
在天文学中，质心运动定律常常被用于研究行星、恒星等天体的运动规律。
- 1 -。
质心与质心运动定理
xc
mi xi
i 1
N
m
同理对 y 和 z 分量
m1
l1
r1
rc
l2
m2
r2
m1 (rc r1 ) m2 (r2 rc )
m1l1= m2l2
m1 r1 m2 r2 rc m1 m 2
O
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
质心运动定理
一 、质心(center of mass)
N个粒子系统，可定义质量中心
z
mi
rc
ri
y
rc
m i ri
N i 1 N
mi
i 1
m i ri
N i 1
x
m
1.质心位置与坐标系的选择有关，但质 心相对质点系是一个特定的位置。 2.外力作用在质心上，质点系内各质点 的运动状态相同
dt
dt
1.内力不改变质心的运动状态，但可以改变各质点的运动状态 如炮弹爆炸时，质心轨迹为抛物线
2.质点系所受合外力为零，则动量守恒，此时质心的速度不变
i
质心的运动只与系统所受的合外力相关
drc d ri 质点系的总动量 m m i v i dt dt dv c dP总 mv c mi v i m P总
m ac F
F外 mac
rc
xc
r dm m xdm
m
Z
Y
r
O
X
dm
例： 一均匀直杆，质量为M，长为L, 求其质量中心
解：1、建立坐标系 2、取微元dx dm=dx, 坐标为x
0
4_3质心 质心运动定理
系统动量守恒 , 即
pN
2 12 ν
1
pe + p ν + p N = 0
又因为
pν
pe ⊥ pν
∴ pN = ( p + p )
2 e
22
代入数据计算得
p N = 1 .36 × 10
kg m s
pe α = arctan = 61.9° pν
第四章动量定理与动量守恒定律 4 – 3 质心 质心运动定理
第四章动量定理与动量守恒定律 4 – 3 质心 质心运动定理
令:
为质点的总
质量, 并令 则有
m = ∑mi
d2rc m 2 = F(e) dt
rc
∑m r =
m
i i
质心运动方程
rc 质心 我们把前式定义的位置矢量 的矢端处的几何点C, 称为质点系的质量中心, 简称质心. 1) 离散分布的质点系的质心位置(直角坐标
第四章动量定理与动量守恒定律 4 – 3 质心 质心运动定理 两体问题 质量分别为m1和m2的两个相互作用的质点组成的 质量分别为 质点系, 就是所谓两体问题 两体问题. 质点系 就是所谓两体问题 两质点在惯性系K 两质点在惯性系 中速度分别是 v 和 v , 在质心 1 2 系C中速度是 v1′ 和 v2′ , 于是两质点的相对速度 u为: 中速度是 由于是质心系. u = v1 v2 = v1 v2 由于是质心系 ′ ′ 两式联立, m v1 + m2v2 = 0 两式联立 解得 1 m2u mu ′ ′ 1 v1 = , v2 = m + m2 m + m2 1 1
系)
rc → xc
∑m x , y = ∑m y , z = ∑m z =
质心 质心运动定理
y
d
C 0.64R
dm
x
解: 建坐标系如图
取 dl
o
M M Rd d dm dl R
x R cos y R sin
M d 0.
R sin 0 M
xc
x dm
M
R cos 0 M
说明: 质点系动量等于总质量与质心速度的积
dP 质点系动量定理 F外 d t
2. 质心的加速度及其动力学规律
质点系动量 P mv c 说明: (1)质心运动状态只取决于外力，与内力无关 (2)若 F外 0 则 ac 0 vc 常矢量
dvc F外 m mac dt
质心 质心运动定理
一、 质心(the center of mass) 质心位矢 坐标
xc
rc
mi r i m
i i
z
mi
mx
ri
rc
r1
m1
m2
yc
m mi y i
o
y
m
i i
zc
mz m
x
对于质量连续分布的系统 rc
rdm m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
M
d 0
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass) 1. 质心的速度 dri m dr i miv i d mi ri c d t ( ) vc m dt m m dt mv c mi v i P 质点系动量 P mv c
质心质心运动定理
第五章质心刚体质心运动定理ca m F v v =合外质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。
牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。
特殊的质点系——刚体m1l5.1.2 质点系动力学量的分解质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。
在质心系中质心静止==c c v r v v常矢量质心系中的运动图象各质点从质心四面散开，或向质心八方汇聚。
质心成为一个运动中心，运动时时刻刻是“各向同性的”。
质点系的动量质点系的动量等于质心的动量c p p v v =质点系相对质心的动量总是为零0=′=′∑ii i v m p vv 质点系中各质点m i 相对质心的运动),(i i v r ′′v v m iO Ci r ′v ir v Cr v 在任一参考系中质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系核反应中的资用能质点系的角动量i c i i c i v v v r r r ′+=′+=v v v v v v ,∑×=iii i v m r L v v v ∑∑∑∑′×′+×⎟⎠⎞⎜⎝⎛′+⎟⎠⎞⎜⎝⎛′×+⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=i i i i c i i i i i i c c i i c v m r v r m v m r v m r L v v v v v v v v v ∑′×′=′×=′+=ii i i c c c c v m r L v m r L L L L vv v v v v v v v , ,质点系的角动量可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和同一参考点质心为参考点m iOCi r ′v ir v Cr v 其中5.1.3 质心参考系质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力ci a m v −在质心系中质点系的动能定理和角动量定理质心系中质点系的动量恒为零，质点系的动量定理不必考虑。
质心运动定理讲解
质心运动定理讲解
质心运动定理是物理学中的一个重要定理，它描述了一个物体的质心在外力作用下的运动规律。
质心是一个物体的所有质点的平均位置，它是一个重要的物理量，可以用来描述物体的运动状态。
根据质心运动定理，一个物体的质心在外力作用下的运动规律可以用以下公式表示：
F = ma
其中，F表示物体所受的外力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
这个公式表明，一个物体所受的外力越大，它的加速度就越大，质心的运动速度也就越快。
质心运动定理的应用非常广泛，它可以用来解释很多物理现象。
例如，当一个物体受到一个施加在它上面的力时，它的质心会向着力的方向运动。
这个现象可以用质心运动定理来解释，因为当一个物体受到外力时，它的质心会受到相同的力，从而产生加速度，导致质心运动。
质心运动定理还可以用来解释物体的旋转运动。
当一个物体旋转时，它的质心也会随着旋转，但是质心的运动速度和旋转速度是不同的。
这个现象可以用质心运动定理来解释，因为当一个物体旋转时，它的质心会受到向心力的作用，从而产生向心加速度，导致质心运动。
质心运动定理是物理学中一个非常重要的定理，它可以用来解释很多物理现象。
通过理解和应用质心运动定理，我们可以更好地理解物体的运动规律，从而更好地掌握物理学知识。
质心与质心运动定律
质心与质心运动定律一、质心1. 定义我们先来回顾一下牛顿第二定律:是对单个质点而言的,由于质点系内各质点的运动情况各不相同,加速度也各不相同,并不能简单的等效于 (M是体系的总质量),但对质点系而言,确实存在一个特殊点C,而使成立,这个ac是该特殊点C的加速度.这个特殊点称为质心.2. 质心的位置如果将质点系各质点参量记为mi 、ri、vi、xi、yi、zi……，质点系质心记为C则对于由两个质点构成的简单质点系，质心在它们连线上，将这两个质点的质量分别记为m1和m2，间距记为l，那么质心与两者的间距依次为：二、质心运动定律1.质心动量定理：外力对体系的冲量等于质心动量的增量。
2.质心运动定律：体系总质量与质心加速度的乘积等于外力的矢量和，或者说，在诸外力作用下，体系质心的加速度等于质量为体系总质量的质点在这些外力共同作用下的加速度。
对一个质点系而言，同样可以应用牛顿第二定律。
三、习题1.试求匀质三角形板的质心位置。
答案：三条中线的焦点：即几何中的重心2. 试求匀质三角形框架的质心位置。
答案：三边中点构成的小三角形的内心。
3. 一轻弹簧两端各系有质量分别为m和2m的物块，用系于质量为m的物块上的细线悬挂在支点O上，如图。
今将细线突然剪断，求该瞬时体系质心的加速度。
答案：g。
4. 用质心运动定理解：长为l、总质量为m的柔软绳索盘放在水平台面上。
用手将绳索的一端以恒定速率vo向上提起，求当提起高度为x时手的提力F。
5. 如图所示，用劲度系数为k的轻弹簧连接质量分别为m1、m2的木块，放在光滑的水平面上。
让第一个木块紧靠竖直墙，在第二个木块的侧面上施加水平压力，将弹簧压缩l长度。
撤去这一压力后，试求系统质心可获得的最大加速度值和最大速度值。
多说两句：体系的总动量为：质心的动能为：质点系相对质心的动能为：质点系的总动能为：（克尼希定理）☆在使用质心参照系时要特别主要克尼希定理的使用！。
03-4质心和质心运动定理
牛顿定律只适用于质点
v v F = ma
由于质点系中各质点的运动情况各不相同， 由于质点系中各质点的运动情况各不相同，加速度也 不尽相同， 不尽相同，所以质点系的运动情况不能简单地等效成
v v F外 = mac
但对质点系而言， 但对质点系而言，确 实存在一个特殊的点， 实存在一个特殊的点， 能够使上式成立
当球棒从手中抛出后， 当球棒从手中抛出后，球棒在做上抛运动的同时还在 旋转，这时球棒上各点的运动比较复杂， 旋转，这时球棒上各点的运动比较复杂，但球棒上有 一点的运动却简单得象一个质点一样， 一点的运动却简单得象一个质点一样，沿抛物线的轨 迹运动
v d v v v (m1r1 + m2r2 + L + mn rn ) = ∑ Fi外 dt 2
质点化” 如何使质点系的运动规律 “质点化”呢？
2
v v v v d m1r1 + m2r2 + L + mn rn (m1 + m2 + L + mn ) 2 ( ) = ∑ Fi外 m1 + m2 + L + mn dt
跳水者不管在空 中作多复杂的动 作，其质心仍然 是沿抛物线运动
例1 一炮弹在轨道最高点炸成质量比m1:m2=3:1的两个 一炮弹在轨道最高点炸成质量比 的两个 碎片。其中m 自由下落， 碎片。其中 1自由下落，落地点与发射点的水平距离 继续向前飞行， 同时落地。 为R0，m2继续向前飞行，与m1同时落地。不计空气阻 的落地点。 力，求m2的落地点。
这个在质点系上的特殊点是什么，它又在哪里？ 这个在质点系上的特殊点是什么，它又在哪里？
4.4 质心 质心运动定理
大学物理 第三次修订本
17
第4章 冲量和动量
在第二级火箭燃料耗尽时, 火箭主体的 速度达到了v2 , 由公式得
v v0 uln
M0 M
v2 v1 uln N 2
在第三级火箭燃料耗尽时, 火箭主体最后 达到的速度为v, 应满足
M v [(M dM )(v dv) (dM )(v dv u )]
即
M dv udM 0
v
0
积分得 v
dv u
M
dM M
0
M0
v v 0 u(ln M ln M 0 ) 0 v v 0 u ln
M0 M
12
大学物理 第三次修订本
第4章 冲量和动量
16
第4章 冲量和动量
例3有一个三级火箭, 第一级火箭脱落前的质量 比为 N1 , 第二级火箭刚发动时火箭的质量与第 二级火箭燃料耗尽时火箭的质量之比为 N2 , 第 三级火箭刚点燃时火箭的质量与燃料耗尽时火 箭的质量之比为N3 。 若取N1 = N2 = N3 = 7.4；各级火箭的喷射速 度都为u =2.5kms-1。不计重力影响, 求该火箭最 后达到的速度。
第4章 冲量和动量
各级火箭中燃料烧完后, 火箭的速率为
v1 u ln N1
v2 v1 u ln N 2
v3 v2 u ln N 3
若火箭粒子流的喷射速率u=2.5kms-1，每 一级的质量比分别为N1=4, N2=3, N3=2, 可得: v3=7.93kms-1。
大学物理 第三次修订本
ri
rc
mi
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心并不是一个几何学或运动学概念，而是一个动
力学概念． 2.体系质心的坐标与坐标的选取有关，但质心 与体系内各个质点(质元)的相对位置与坐标的选 取无关．
3.作用在体系上的诸外力一般作用在不同的质点
上，就其作用效果而言不能等效为一个合力.但对质
心运动而言,这些外力犹如都作用在质心上． 4.将坐标原点取在质心上的平动参照系称作质心 坐标系或质心系．对于外力的矢量和为零或不受外 力作用的体系的质心参照系为惯性系，否则为非惯 性系．惯性系情况下质心的动量守恒．质心的动量 Pc MVc P m v 也就是系统的总动量 系 i i
质心位置的计算:
质点组:
mi xi x i C mi i mi ri mi yi i rC yC i mi mi i i mi zi z i C mi i
连续分布:
xdm xC dm rdm ydm rC yC dm dm zdm zC dm
即
F矢量和 MaC
称作 质心运动定理
其中
F矢量和 F 1 F 2
m1 r1 m2 r 2 rc m1 m2
加权平均值
推广：对n个质量组成的系统
rC
mi ri
m
i
i
mi ri
i
i
M
n F矢量和 F i i 1
x dx
0
l
2 ax dx
0
例：长为l总质量为m的柔软绳索放在水平台面上， 用手将绳索的一端以恒定速率v0向上提起，
求当提起高度为x时手的提力 （ x <l） 。
x
F
v0
N
x dx
o
解法一：利用物体系的动量定理
在t
x 设t时刻提起x时，体系的总动量为 P m v0 l
质心与质心运动定理
1. 质心的计算
以两质点系统为例
F 1 m1
d F矢量和＝ （m1 v1 m2 v 2 ) dt d2 ＝ 2 (m1 r1 m2 r 2 ) dt
2
r1
O
rc
m2
r2
F2
d m1 r1 m2 r 2 (m1 m2 ) 2 ( ) dt m1 m2 2 d rc d Pc M M ac 2 dt dt
以绳子(体系)为研究对象，提起x时，绳 子的质心坐标为
xc
x x l x m0 m l l
x2 m 2 2l
x
2 0
dxc x dx x d 2 xc v0 2 v0 , 2 dt l dt l dt l
F
d xc v x F m g m 2 m l dt l
质心运动定理
Fi Mac
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外 力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是 物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都 集中作用其上的一个质点的运动一样。
F矢量和 MaC
几点说明：
1.质心的位矢并不是各个质点的位矢的几何平
均值，而是它们的加权平均值.质心的性质只有
i
例: 不规则细杆质心位置的计算:
长为l 的细杆的质量分布不均匀，设线密度 ax
x为离杆的一端之距离，a为常量，求杆的质心坐
标。
解：显然
x
0lBiblioteka dxc xyc zc 0
ax
1 3 al 2 3 0 0 xc l l l 1 2 3 al dx axdx 2
t 时刻，提起
P' m l
x＋dx，体系的总动量为 F ( x dx) x
v0
由体系的动量定理：
x m ( F m g )dt P P v0 dx l l
dx m x 2 而v F v0 mg 0 l l dt
v0
N
x dx
o
解法二：利用质心运动定理
m 2 x F v0 mg l l
2
v0
N
x dx
o