质心 质心运动定理
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物理-质心与质心运动定理
x
——动量中心系
在质质心心参位考矢系中r：C x 质心速度 υC
0drC
dt
0
质点系m的i总i 动m量C 0
质心系是零动量系
质心的运动轨迹？
——抛物线.
0 O x1
m xC x2 C
mx
二、 质心运动定理
锥体为什么会上滚？
锥体上滚是由其质（重）心下降所引起的。
令人称奇的“水往高处流”。
上坡省力，下坡费劲的“怪坡 ”
三、 质心参考系
【质心参考系】：以质心为坐标原点的参考系。
y
r2
O
y
mi
m2 ri
ri
C
rC m1 r1
m1
l
C
m2
x
O
xC
m2 m1 m2
l
m1
l
C
m2
m1l1 m2l2
l1
l2
（与坐标系无关）
质心坐标与所选坐标系有关，
但质心相对物体各部分位置是确定的.
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
y
Rdθ
dθ
R
θ
O R cos θ
y R sin θ
x
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
C 恒矢量
当质点系所受合外力为零时，其质心保持原来的 静止或匀速直线运动状态不变。 ——质心的“惯性运动”
质心的“惯性运动”与质点系动量守恒等价！
随堂练习
例：设有一枚炮弹发射的初速率为 0，发射角为 ，它飞 行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个竖直 下落，另一个水平抛出，求这两部分的着地点（忽略空气 阻力）。
(1) 直角坐标系中的质心坐标
2 质心 质心运动定理
将质心的位置矢量 rC 对时间t求导，可得出
质心运动的速度为
dri m drC i dt vC dt m
mi v i m
由此可得
mvC mi vi
上式等号右边就是质点系的总动量
p mv C
即：质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动 速度的乘积。
质心、质心运动定理
质心 质心运动定理
一．质心
当我们把一匀质薄三角板斜 向抛出时，它的空间运动很 复杂，但实际观测表明，在 薄板上有一点C仍然在作抛 物线运动。C点的运动规律 就象把薄板的质量都集中在 C点，全部的外力也象时作 用在C点一样。这个特殊点C 就是质点系统的质心。
2
质心运动定理 证明： 质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的动速度的乘积。
根据牛顿第二定律的微分形式
dp dv C F m ma C dt dt
上式表明无论质点怎样运动，质点系的总质量与质心加速 度的乘积总等于质点系所受全部外力的矢量和，这就是质 心运动定理。它对刚体同样适用。
4
高二物理竞赛课件：质心与质心运动定理
解：根据题意可知，油灰球m的黏附M过程，系统动量守恒, 设黏附后，二者的速度为v
Mv0＝(M+m)v
若要在A处使物体脱离球面，则必须满足
M mv2 / R M mg
因此，油灰的速度至少应为
v0 M m Rg / m
质心的计算：
rC
mi ri
i
m
mi xi
mi yi
mi zi
xC
方向: 沿r p方向
L
Or
v
d m
质点的角动量定理与角动量守恒定律
F
dp
r
dt F
r
dp
d (r
p)
dr
p
dr
p
v
dt
mv
0
dt
dt
dt
M
dL
——角动量定理的微分形式
dt
t
t0 Mdt L L0 ——角动量定理的积分形式
若M 0
L L0 ——角动量守恒定律
➢ 动量守恒与角动量守恒：角动量守恒，动量未必守恒。
质心与质心运动定理
质心
质心的定义：由下式决定的位置矢量
rC
所对应的
点 C，称为质点系的质心： z
rC
mi ri
i
m
C
rC
O
y
x
例，在地面上固定一个半径为R的光滑球面，球面正上方A处放 一个质量为M的滑块，一个质量为m的油灰球以水平速度v0 射向
滑块，并黏附在滑块上，问欲使二者在A处脱离球面，问油灰球 的入射速率至少为多少？
y M
ms M (s l / 2)
xC2
mM
l
由 xC1 xC2 得：
Mv0＝(M+m)v
若要在A处使物体脱离球面，则必须满足
M mv2 / R M mg
因此，油灰的速度至少应为
v0 M m Rg / m
质心的计算：
rC
mi ri
i
m
mi xi
mi yi
mi zi
xC
方向: 沿r p方向
L
Or
v
d m
质点的角动量定理与角动量守恒定律
F
dp
r
dt F
r
dp
d (r
p)
dr
p
dr
p
v
dt
mv
0
dt
dt
dt
M
dL
——角动量定理的微分形式
dt
t
t0 Mdt L L0 ——角动量定理的积分形式
若M 0
L L0 ——角动量守恒定律
➢ 动量守恒与角动量守恒：角动量守恒，动量未必守恒。
质心与质心运动定理
质心
质心的定义：由下式决定的位置矢量
rC
所对应的
点 C，称为质点系的质心： z
rC
mi ri
i
m
C
rC
O
y
x
例，在地面上固定一个半径为R的光滑球面，球面正上方A处放 一个质量为M的滑块，一个质量为m的油灰球以水平速度v0 射向
滑块，并黏附在滑块上，问欲使二者在A处脱离球面，问油灰球 的入射速率至少为多少？
y M
ms M (s l / 2)
xC2
mM
l
由 xC1 xC2 得：
3-3 质心 质心运动定律
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点: r 连续分布的质点 r = c
∫
r rdm m
质点系的 动
：
v v P = m vC
质心运动定律
dv v ex vd C v F =m = maC t
13
v m ri i
m
m
v r2
rc
c v
v r1 m1
o
mi r r rc = ∑ ri m i
z
x
mi m : 总质量， 权重 m
r r 即：质心位矢 rc 是各质点位矢 ri
的加权平均。 的加权平均。
3
质心在直角系的计算公式 r r r r r N ∑ m r ri = xi i + yi j + zi k r i =1 i i rc = N u N r r N r M r r r ∑ mi xi i + ∑ mi yi j + ∑ mi yi k r i =1 i =1 rc = xc i + yc j + zc k = i =1 m
xc =
∑
N
i =1
m i xi m
z
r r1
m1
m2
yc =
∑ ∑
N
i =1
m i yi m
O x
r r2
r r c
C (xc, yc, zc )
r mN rN
y
zc =
i =1
m i zi m
4
离散质点系： 离散质点系：
v rC =
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点 r rc =
3-4质心 质心运动定理 动量守恒定律
v2 m2
设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量
火箭飞行
设火箭开始飞行的速度为零， 设火箭开始飞行的速度为零，质量为 M0 ，燃 料烧尽时， 料烧尽时，火箭剩下的质量为 M ，此时火箭能达 到的速度是
M0 dm v = ∫M0 u = u ln m M
M
火箭的 质量比
多级火箭
vn = ∑ ui ln Ni
上述结果表明，两小孩在纯内力作用下， 上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们 共同的质心相遇。 共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定 律求出
动量守恒定律
例 一质量m = 50kg 的人站在一条质量为 m2 = 200kg， 1 的船的船头上。开始时船静止， 长度 l = 4m 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） 。（假定水的阻力不计 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） 解： 设 cb 表示 船本身的质心
α = 1800 θ
v2 0 因 tgθ = =1,θ = 45 , 所以 v1
α =1350
v3及 v2都成 1350 且三者都在同一平面内 即 v1和
动量守恒定律
例题3-10 质量为 1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 质量为m 的两个小孩， 例题 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为 。问他们将 在何处相遇？ 在何处相遇？
(d m)(v u)
火箭飞行
由于火箭不受外力的作用， 由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不 变。根据动量受恒定律
mv = (m + d m)(v + d v) + (d m)(v u)
化简
dm d v = u m dm ∫v1 d v = ∫m1 u m m v2 v1 = u ln 1 m2
设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量
火箭飞行
设火箭开始飞行的速度为零， 设火箭开始飞行的速度为零，质量为 M0 ，燃 料烧尽时， 料烧尽时，火箭剩下的质量为 M ，此时火箭能达 到的速度是
M0 dm v = ∫M0 u = u ln m M
M
火箭的 质量比
多级火箭
vn = ∑ ui ln Ni
上述结果表明，两小孩在纯内力作用下， 上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们 共同的质心相遇。 共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定 律求出
动量守恒定律
例 一质量m = 50kg 的人站在一条质量为 m2 = 200kg， 1 的船的船头上。开始时船静止， 长度 l = 4m 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） 。（假定水的阻力不计 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） 解： 设 cb 表示 船本身的质心
α = 1800 θ
v2 0 因 tgθ = =1,θ = 45 , 所以 v1
α =1350
v3及 v2都成 1350 且三者都在同一平面内 即 v1和
动量守恒定律
例题3-10 质量为 1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 质量为m 的两个小孩， 例题 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为 。问他们将 在何处相遇？ 在何处相遇？
(d m)(v u)
火箭飞行
由于火箭不受外力的作用， 由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不 变。根据动量受恒定律
mv = (m + d m)(v + d v) + (d m)(v u)
化简
dm d v = u m dm ∫v1 d v = ∫m1 u m m v2 v1 = u ln 1 m2
大学物理-质心质心运动定律
角动量守恒条件
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
3_9质心 质心运动定律
xc 0 yc0
m2 x20 1.5m m1 m2 m1 y10 1.9m m1 m2
3m
B 0 4m x
F2
3-9 质心 质心运动定律 由质心运动定律
dvx Fx F1 (m1 m2 ) dt dvy Fy F2 (m1 m2 ) dt
根据初始条件t=0时，v=0，对 上式积分得：
对质量连续分布的物体： 1 1 1 z y y d m xC x d m C C m' m' m'
zd m
说明 对密度均匀、形状对称的物体，质 心在其几何中心．
3-9 质心 质心运动定律
二 质心运动定律
rC
n
mi ri
i 1
n
y
m2
r2
m ri i
再对时间 t 求一阶导数，得 m 'aC
n
d( pi )
i 1
n
根据质点系动量定理
d( pi )
i 1
dt
ex F
dvC m' m' aC dt
dt
ex F
作用在系统上的合外力等于系统的总 质量乘以质心的加速度——质心运动定律
3-9 质心 质心运动定律
ex F
dvC m' m' aC dt
质心运动定律与牛顿第二定律在形式上完全相同， 相当于系统的质量全部集中于系统的质心，在合外力 的作用下，质心以加速度运动。 说明： 1）坐标系的选择不同，质心的坐标也不同； 2）对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物 体的几何中心处； 3）质心不一定在物体上，例如圆环的质心在圆环的 轴心上；
2-1 质心 质心运动定理
Ch2 运动的守恒量和守恒定律§2-1质点系的内力外力质心质心运动定理§2-1 质心质心运动定理动量守恒定律1、质点系的内力和外力质心质心的位置例：任意三角形的每个顶点有一质量m 的小球，求/r m r M =∑G Gz yOΔm ir微元分割！例3-7 求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
3、质心运动定理质心运动定理G G G G G d v1 G m 1 a1 = m 1 = F1 外 + f 12 + f 13 + " + f 1 n , dt G G G G G d v2 G m 2a2 = m 2 = F2 外 + f 21 + f 23 + " + f 2 n , dt G G G G G d vn G = Fn外 + f n 1 + f n 2 + " + f n ( n − 1) , m nan = m n dt G G G G 由于内力 f12 + f 21 = 0," , f in + f ni = 0, ...由牛顿第二定律:""∴G ∑ m i ai =G ∑ F i外11/18中国矿业大学（北京）质心运动定理G ∑ m i ai =G ac =G ∑ F i外 G ∑ m i aiG ac =G ∑ Fi外∑m∑m=G ∑ Fi外 Mi∑G G Fi外 = M a ci质心运 动定理不管物体质量如何分布，也不管外力作用在物体 什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全都集 中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质 点的运动一样。
12/18 中国矿业大学（北京）补充例题1例1 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用 绳彼此拉对方。
开始时静止，相距为l。
问他们将在何 处相遇？m2m1Ox20x10x13/18中国矿业大学（北京）补充例题1解：可直接由质心运动定律求出。
初始静止时，小孩系统的质 心位置： m 1 x 10 + m 2 x 20 1 xc = m1 + m 2m2C xcx10m1∑G G G Fi外 = M a c ⇒ a c = 0O x20x质心位置，在过程中应该始终保持静止。
4.4 质心 质心运动定理
解根据火箭速度公式,在第一级火箭燃料耗尽时 达到的速度为 v1 uln N1
大学物理 第三次修订本
17
第4章 冲量和动量
在第二级火箭燃料耗尽时, 火箭主体的 速度达到了v2 , 由公式得
v v0 uln
M0 M
v2 v1 uln N 2
在第三级火箭燃料耗尽时, 火箭主体最后 达到的速度为v, 应满足
M v [(M dM )(v dv) (dM )(v dv u )]
即
M dv udM 0
v
0
积分得 v
dv u
M
dM M
0
M0
v v 0 u(ln M ln M 0 ) 0 v v 0 u ln
M0 M
12
大学物理 第三次修订本
第4章 冲量和动量
16
第4章 冲量和动量
例3有一个三级火箭, 第一级火箭脱落前的质量 比为 N1 , 第二级火箭刚发动时火箭的质量与第 二级火箭燃料耗尽时火箭的质量之比为 N2 , 第 三级火箭刚点燃时火箭的质量与燃料耗尽时火 箭的质量之比为N3 。 若取N1 = N2 = N3 = 7.4；各级火箭的喷射速 度都为u =2.5kms-1。不计重力影响, 求该火箭最 后达到的速度。
第4章 冲量和动量
各级火箭中燃料烧完后, 火箭的速率为
v1 u ln N1
v2 v1 u ln N 2
v3 v2 u ln N 3
若火箭粒子流的喷射速率u=2.5kms-1，每 一级的质量比分别为N1=4, N2=3, N3=2, 可得: v3=7.93kms-1。
大学物理 第三次修订本
ri
rc
mi
大学物理 第三次修订本
17
第4章 冲量和动量
在第二级火箭燃料耗尽时, 火箭主体的 速度达到了v2 , 由公式得
v v0 uln
M0 M
v2 v1 uln N 2
在第三级火箭燃料耗尽时, 火箭主体最后 达到的速度为v, 应满足
M v [(M dM )(v dv) (dM )(v dv u )]
即
M dv udM 0
v
0
积分得 v
dv u
M
dM M
0
M0
v v 0 u(ln M ln M 0 ) 0 v v 0 u ln
M0 M
12
大学物理 第三次修订本
第4章 冲量和动量
16
第4章 冲量和动量
例3有一个三级火箭, 第一级火箭脱落前的质量 比为 N1 , 第二级火箭刚发动时火箭的质量与第 二级火箭燃料耗尽时火箭的质量之比为 N2 , 第 三级火箭刚点燃时火箭的质量与燃料耗尽时火 箭的质量之比为N3 。 若取N1 = N2 = N3 = 7.4；各级火箭的喷射速 度都为u =2.5kms-1。不计重力影响, 求该火箭最 后达到的速度。
第4章 冲量和动量
各级火箭中燃料烧完后, 火箭的速率为
v1 u ln N1
v2 v1 u ln N 2
v3 v2 u ln N 3
若火箭粒子流的喷射速率u=2.5kms-1，每 一级的质量比分别为N1=4, N2=3, N3=2, 可得: v3=7.93kms-1。
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ri
rc
mi
质心与质心运动定理
xc
mi xi
i 1
N
m
同理对 y 和 z 分量
m1
l1
r1
rc
l2
m2
r2
m1 (rc r1 ) m2 (r2 rc )
m1l1= m2l2
m1 r1 m2 r2 rc m1 m 2
O
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
质心运动定理
一 、质心(center of mass)
N个粒子系统，可定义质量中心
z
mi
rc
ri
y
rc
m i ri
N i 1 N
mi
i 1
m i ri
N i 1
x
m
1.质心位置与坐标系的选择有关，但质 心相对质点系是一个特定的位置。 2.外力作用在质心上，质点系内各质点 的运动状态相同
dt
dt
1.内力不改变质心的运动状态，但可以改变各质点的运动状态 如炮弹爆炸时，质心轨迹为抛物线
2.质点系所受合外力为零，则动量守恒，此时质心的速度不变
i
质心的运动只与系统所受的合外力相关
drc d ri 质点系的总动量 m m i v i dt dt dv c dP总 mv c mi v i m P总
m ac F
F外 mac
rc
xc
r dm m xdm
m
Z
Y
r
O
X
dm
例： 一均匀直杆，质量为M，长为L, 求其质量中心
解：1、建立坐标系 2、取微元dx dm=dx, 坐标为x
0
质心和质心运动定律
质心与质心运动定律
【例题 1】一艘质量为 M = 500 kg，长为 l = 4 m 的小船 静浮在水面上，船尾站着一质量为 m = 50 kg 的人，当 人从船尾走到船头相对船停下后，求船的位移？忽略船 受到的水的阻力。
质心与质心运动定律
【解析】
以水平方向为 x 轴，取船尾为坐标原点。 人在走动过程中，人和船构成 的体系在水平方向不受外力作用， 因此质心加速度为 0 ，由于质心 初速度也为 0 ，因此质心位置不变。 人走动前质心坐标： xC 0
质心与质心运动定律
【习题 3】用质心运动定律重解[动量例题 5]
[动量例题 5]一根长为 l，质量为 m 的柔软的均匀绳子盘放在 地面上，现拎着绳子的一端以恒定的速度 v0 匀速向上提，求 当该端离地面 x 高时，拎绳的力 F。
质心与质心运动定律
【解析】
取竖直向上为 x 轴正方向，坐标原点取地面。 当绳上端离地面 x 高时，质心坐标 m x x⋅ x2 2 = xC = l m 2l dxC x dx x = = v0 质心的速度 vC = dt l dt l
m1 x1 + m2 x2 xC = m1 + m2
质心
二、质心的位置
求质心的计算方法从数学的角度来看，为一种求平 均的方法，即求带有质量权的平均。 每个质点的质量代表一定的权重，质量大，权重就 大，质量小，权重就小。
m2 m1 m1 + m2 就非常小，而 x1 所占的比重 m1 + m2 非常大，
n
将质心的速度表示式两边对时间求导数，得质心的
r ∑ mi ai
n i =1
其中
∑m a
i =1
n
M
=
r ∑ F外i
4_3质心 质心运动定理
系统动量守恒 , 即
pN
2 12 ν
1
pe + p ν + p N = 0
又因为
pν
pe ⊥ pν
∴ pN = ( p + p )
2 e
22
代入数据计算得
p N = 1 .36 × 10
kg m s
pe α = arctan = 61.9° pν
第四章动量定理与动量守恒定律 4 – 3 质心 质心运动定理
第四章动量定理与动量守恒定律 4 – 3 质心 质心运动定理
令:
为质点的总
质量, 并令 则有
m = ∑mi
d2rc m 2 = F(e) dt
rc
∑m r =
m
i i
质心运动方程
rc 质心 我们把前式定义的位置矢量 的矢端处的几何点C, 称为质点系的质量中心, 简称质心. 1) 离散分布的质点系的质心位置(直角坐标
第四章动量定理与动量守恒定律 4 – 3 质心 质心运动定理 两体问题 质量分别为m1和m2的两个相互作用的质点组成的 质量分别为 质点系, 就是所谓两体问题 两体问题. 质点系 就是所谓两体问题 两质点在惯性系K 两质点在惯性系 中速度分别是 v 和 v , 在质心 1 2 系C中速度是 v1′ 和 v2′ , 于是两质点的相对速度 u为: 中速度是 由于是质心系. u = v1 v2 = v1 v2 由于是质心系 ′ ′ 两式联立, m v1 + m2v2 = 0 两式联立 解得 1 m2u mu ′ ′ 1 v1 = , v2 = m + m2 m + m2 1 1
系)
rc → xc
∑m x , y = ∑m y , z = ∑m z =
§3-4 质心 质心运动定理 动量守恒定律
xc
x1
m1 x1 m2 x 2 m1 m2
x1
cb cb
x
Байду номын сангаас
x2 x2
d
xc xc
§3-4 质心 质心运动定理 动量守恒定律 第三章 运动守恒定律
m1 x1l-d m2 x2 m1 x1 dm2 x2 m1 ( x1 x1 ) m2 ( x2 x2 )
对于质量连续分布的物体
rc r d m / M xc x d m / M 分量形式 yc y d m / M zc z d m / M
线分布 面分布 体分布
d m dl dm dS d m dV
§3-4 质心 质心运动定理 动量守恒定律 第三章 运动守恒定律
M
m
v
解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖 直方向上的外力有重力 G和地面支持力 N ，而 且 G N ，在发射过程中 G N并不成立 （想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为 零，所以这一系统的总动量不守恒。
§3-4 质心 质心运动定理 动量守恒定律 第三章 运动守恒定律
y
x1
o
x1
cb cb
x
x2 x2
d
§3-4 质心 质心运动定理 动量守恒定律 第三章 运动守恒定律 m1 x1 m2 x2 当人站在船的左端时 c m1 m2
x
当人站在船的右端时 对船和人这一系 统，在水平方向上不 y 受外力，因而在水平 方向的质心速度不变。 又因为原来质心静止， 所以在人走动过程中 质心始终静止，因而 o 质心的坐标值不变。
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力 作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。
质心 质心运动定理
求: 它的质心位置。
y
d
C 0.64R
dm
x
解: 建坐标系如图
取 dl
o
M M Rd d dm dl R
x R cos y R sin
M d 0.
R sin 0 M
xc
x dm
M
R cos 0 M
说明: 质点系动量等于总质量与质心速度的积
dP 质点系动量定理 F外 d t
2. 质心的加速度及其动力学规律
质点系动量 P mv c 说明: (1)质心运动状态只取决于外力，与内力无关 (2)若 F外 0 则 ac 0 vc 常矢量
dvc F外 m mac dt
质心 质心运动定理
一、 质心(the center of mass) 质心位矢 坐标
xc
rc
mi r i m
i i
z
mi
mx
ri
rc
r1
m1
m2
yc
m mi y i
o
y
m
i i
zc
mz m
x
对于质量连续分布的系统 rc
rdm m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
M
d 0
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass) 1. 质心的速度 dri m dr i miv i d mi ri c d t ( ) vc m dt m m dt mv c mi v i P 质点系动量 P mv c
y
d
C 0.64R
dm
x
解: 建坐标系如图
取 dl
o
M M Rd d dm dl R
x R cos y R sin
M d 0.
R sin 0 M
xc
x dm
M
R cos 0 M
说明: 质点系动量等于总质量与质心速度的积
dP 质点系动量定理 F外 d t
2. 质心的加速度及其动力学规律
质点系动量 P mv c 说明: (1)质心运动状态只取决于外力，与内力无关 (2)若 F外 0 则 ac 0 vc 常矢量
dvc F外 m mac dt
质心 质心运动定理
一、 质心(the center of mass) 质心位矢 坐标
xc
rc
mi r i m
i i
z
mi
mx
ri
rc
r1
m1
m2
yc
m mi y i
o
y
m
i i
zc
mz m
x
对于质量连续分布的系统 rc
rdm m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
M
d 0
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass) 1. 质心的速度 dri m dr i miv i d mi ri c d t ( ) vc m dt m m dt mv c mi v i P 质点系动量 P mv c
2_9质心与质心运动定理
例3 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落 地点为xC 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相 等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水 平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解： 在爆炸的前后，质心始终
只受重力的作用，因此， 质心的轨迹为一抛物线， 它的落地点为xc 。
m1 x1 m2 x2 xC m1 m2 mx2 xC 2m
dV r 2 dz
而
r a sin z a cos , 2 dV a sin d a cos
a 1 cos d cos
3 2
r a sin
z
z a cos x
a
0 设 u cos ，则 v z dV zdV a 4 1 1 u2 udu 2 a 3 zc 0 3 V dV
x1c R
y
O
x
1 2 小圆板质量为 m1 R， 4 质心坐标为
2
3 余下的质量为 m2 R 2，质心坐标用 x 2 c表示，则 4
1 3 2 R R R 2 x2 c 2 4 0 4 2 R
R x2c 6
例2
求半径为a的均质半圆球的质心
解：如图，以球心O为原点建立坐标系.将半球体划 分为若干半径为r厚为dz的平板状薄圆，体积元为dV
令
m1r1 m2 r2 rc m1 m2
（2）n个质点系统
分量形式
xc
i
rc
mi ri
m
i
i i
i
i
m x m
i i i
i
3.3 质心 质心运动定理
i
F iX 0
PX 0
画系统 受力图 M V X m x 0
x VX X
是m相对于小车的速度
VX m M m
X
8
第3章动量与角动量
VX
m M m
t 0
XX 来自t 0V X dt
m M m
t 0
dt X
M 例3 如图 已知： , m , l ，地面光滑。 m , l mg 起初：单摆水平，静止。 求：下摆至 时，车的位移。 V
o
N
X
以此例即将说明 动量守恒和质心速度不变是同义语。 动量守恒的问题也可以利用 质心速度不变来解。 解： 法一 用动量守恒定律 选 M + m 为系统
M
Mg
4
ac
i
m iai / m i
i
t2 t1
F外 d t
P P0
dP
第3章动量与角动量
讨论
F外
1）质点系动量定理微分和积分形式： t dP m a c （ F外 ） F d t P P0
dt
2
t1
外
2) 质心的运动，该质点集中整个系统质量，并集中系统 受的外力，代替质点系整体的平动。
i
说明: 1）不太大的物体的质心与重心重合； 2）均匀分布的物体，质心在几何中心； 3）质心是位置的加权平均值，质心处不一定有质量； 4）具有可加性，计算时可分解。
2 第3章动量与角动量
例1 已知一半圆环半径为 R，质量为M。
求 它的质心位置。
解 建坐标系如图
3_3质心及质心运动定理
dm
x
在直角坐标系中，有
xc
xdm m
yc
ydm z m
zc
zdm m
3-3 质心及质心运动定理
第3章 动量与角动量
2、质心的速度
3、质心的动量
注意
drc N mi i m i 1 dt mii pi P P c mc
人与船组成的系统在人没有走时的质心
人与船组成的系统在人走到船尾时的质心
人与船（也看成是质点）组成的系统可看成 是质点系。
3-3 质心及质心运动定理
第3章 动量与角动量
y
x1
x2
x2
x1
x
人与船组成的系统在人没有走时的质心
m1 x1 m2 x2 xc m1 m2
m2 x2 m1 x1 xc m1 m2
xc
m x
i i
i
m
,
yc
m y
i i
i
m
,
zc
m z
i i
i
m
3-3 质心及质心运动定理
第3章 动量与角动量
（4）连续物体的质心： 可以认为是由许多质元组成的，以 dm 表示其中任 一质元的质量，以 r 表示其位矢，则大物体的质心 y 为：
r dm r dm rc dm m
人与船组成的系统在人走到船尾时的质心
3-3 质心及质心运动定理
第3章 动量与角动量
xc xc
x1 m2 x2 m1 x1 m2 x2 m1
) m1 ( x1 x1 ) m2 ( x2 x2
m2 d m1 (l d )
质心-质心运动定理
质心 质心运动定理
一、 质心(the center of mass)
质心位矢
rc
mir i m
坐标
xc
mi
x i
m
yc
mi
y i
m
z
ri
o x
mi
rc
m2
m1 r1
y
zc
mi zi m
对于质量连续分布的系统
rc
rdm
m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
y
d
求: 它的质心位置。 解: 建坐标系如图 取 dl
dm
dl
M
R
Rd
M
d
C dm
0.64R
o
x
x Rcos y Rsin
yc
ydm
Rsin M d
0
0.64R
M
M
xc
xdm
R cos M d
0
0
M
M
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass)
1. 质心的速度
vc drc d (
解:炮弹炸裂前后所受外力始终是重力,所以炮弹炸裂
对质心运动没有影响, m1和m2落地时, 炮弹的质心坐标
为 xc= 2R0
y
由 xc
mi xi 得
mi
o
m1x1 m2 x2 m1 m2
2R0
m1 m2 炮弹质心轨迹
x1=R0 xc=2R0
x x2=?
将 x1 = R0
代入得 x2 = 5R0
miri )
mi
dri dt
一、 质心(the center of mass)
质心位矢
rc
mir i m
坐标
xc
mi
x i
m
yc
mi
y i
m
z
ri
o x
mi
rc
m2
m1 r1
y
zc
mi zi m
对于质量连续分布的系统
rc
rdm
m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
y
d
求: 它的质心位置。 解: 建坐标系如图 取 dl
dm
dl
M
R
Rd
M
d
C dm
0.64R
o
x
x Rcos y Rsin
yc
ydm
Rsin M d
0
0.64R
M
M
xc
xdm
R cos M d
0
0
M
M
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass)
1. 质心的速度
vc drc d (
解:炮弹炸裂前后所受外力始终是重力,所以炮弹炸裂
对质心运动没有影响, m1和m2落地时, 炮弹的质心坐标
为 xc= 2R0
y
由 xc
mi xi 得
mi
o
m1x1 m2 x2 m1 m2
2R0
m1 m2 炮弹质心轨迹
x1=R0 xc=2R0
x x2=?
将 x1 = R0
代入得 x2 = 5R0
miri )
mi
dri dt
03-4质心和质心运动定理
3-2 质心和质心运动定理 ——基于整体运动的视角 基于整体运动的视角—— 基于整体运动的视角
牛顿定律只适用于质点
v v F = ma
由于质点系中各质点的运动情况各不相同， 由于质点系中各质点的运动情况各不相同，加速度也 不尽相同， 不尽相同，所以质点系的运动情况不能简单地等效成
v v F外 = mac
但对质点系而言， 但对质点系而言，确 实存在一个特殊的点， 实存在一个特殊的点， 能够使上式成立
当球棒从手中抛出后， 当球棒从手中抛出后，球棒在做上抛运动的同时还在 旋转，这时球棒上各点的运动比较复杂， 旋转，这时球棒上各点的运动比较复杂，但球棒上有 一点的运动却简单得象一个质点一样， 一点的运动却简单得象一个质点一样，沿抛物线的轨 迹运动
v d v v v (m1r1 + m2r2 + L + mn rn ) = ∑ Fi外 dt 2
质点化” 如何使质点系的运动规律 “质点化”呢？
2
v v v v d m1r1 + m2r2 + L + mn rn (m1 + m2 + L + mn ) 2 ( ) = ∑ Fi外 m1 + m2 + L + mn dt
跳水者不管在空 中作多复杂的动 作，其质心仍然 是沿抛物线运动
例1 一炮弹在轨道最高点炸成质量比m1:m2=3:1的两个 一炮弹在轨道最高点炸成质量比 的两个 碎片。其中m 自由下落， 碎片。其中 1自由下落，落地点与发射点的水平距离 继续向前飞行， 同时落地。 为R0，m2继续向前飞行，与m1同时落地。不计空气阻 的落地点。 力，求m2的落地点。
这个在质点系上的特殊点是什么，它又在哪里？ 这个在质点系上的特殊点是什么，它又在哪里？
牛顿定律只适用于质点
v v F = ma
由于质点系中各质点的运动情况各不相同， 由于质点系中各质点的运动情况各不相同，加速度也 不尽相同， 不尽相同，所以质点系的运动情况不能简单地等效成
v v F外 = mac
但对质点系而言， 但对质点系而言，确 实存在一个特殊的点， 实存在一个特殊的点， 能够使上式成立
当球棒从手中抛出后， 当球棒从手中抛出后，球棒在做上抛运动的同时还在 旋转，这时球棒上各点的运动比较复杂， 旋转，这时球棒上各点的运动比较复杂，但球棒上有 一点的运动却简单得象一个质点一样， 一点的运动却简单得象一个质点一样，沿抛物线的轨 迹运动
v d v v v (m1r1 + m2r2 + L + mn rn ) = ∑ Fi外 dt 2
质点化” 如何使质点系的运动规律 “质点化”呢？
2
v v v v d m1r1 + m2r2 + L + mn rn (m1 + m2 + L + mn ) 2 ( ) = ∑ Fi外 m1 + m2 + L + mn dt
跳水者不管在空 中作多复杂的动 作，其质心仍然 是沿抛物线运动
例1 一炮弹在轨道最高点炸成质量比m1:m2=3:1的两个 一炮弹在轨道最高点炸成质量比 的两个 碎片。其中m 自由下落， 碎片。其中 1自由下落，落地点与发射点的水平距离 继续向前飞行， 同时落地。 为R0，m2继续向前飞行，与m1同时落地。不计空气阻 的落地点。 力，求m2的落地点。
这个在质点系上的特殊点是什么，它又在哪里？ 这个在质点系上的特殊点是什么，它又在哪里？
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mxl
d 1M m = 0.8m
x
r r r
人人地
人人船
船地
r x x
人地
2
2
r l
人船
r d
船地
x2 x2 l d 返回2 5
第 2章
质点和质点系动力学
1. 牛顿运动定律 惯性系 质心运动定理 2. 动量定理 动量守恒定律 3. 角动量定理 角动量守恒定律 4. 功能原理和机械能守恒定律
1
三、质心运动定理 1. 质心位置
m 1 r1
l1 rc
l2
r2
m2
rc
m i ri m i
O
xrc
xmcmii xi i源自ycjzc kxc
m1 x1 m2 x2 m1 m2
m1 xc x1 m2 x2 xc
m1l1 m2l2 杠杆原理
y
r
dm
O
z
x
r dm
rc
m
xdm
xc m
2
杠杆原理 http://210.44.195.12/dxwl/kpcl/kpcl9.htm
古希腊科学家阿基米德：“假如给我一个支点，我就能把地球挪动！” 阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出杠杆原理 他把杠杆实际应用中的一些经验知识 当作“不证自明的公理” 逻辑论证杠杆原理：
dt
F 外ma cmaFc
质心的运动只与系统所受的合外力相关。
4
例题
已知：质量m=50kg的人从质量 M=200kg 长 l = 4m 的船头行至船 尾 问：船行d =？
0
x2 x1 xcx1 x2
xc
Mx1 mx2 M m
M x 1 m x 2 M m
Mx 1 mx 2 Mx1 m x 2 M x1 d m （x2l - xd2 ）
“二重物平衡时，它们离支点的距离与重量成反比。 阿基米德发明：他曾经借助杠杆和滑轮组，使停放在沙滩上的桅船顺利下水
利用杠杆原理制造远、近距离的投石器把罗马人阻于叙拉古城
外达3年之久
3
2. 质心运动定理
rcmddrctmmmimri iivddirti
mv
c
P总m i v i
m d vc dP总
dt
1 在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上相等的重量，它们将平衡 2 在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上不相等的重量，重端下倾 3 在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量，距端下倾
4 一重物的作用与几个重物的作用等效，只要重心的位置保持不变
5 相似图形的重心以相似的方式分布…… 他从这些公理出发，在“重心”理论的基础上，现了杠杆原理：
d 1M m = 0.8m
x
r r r
人人地
人人船
船地
r x x
人地
2
2
r l
人船
r d
船地
x2 x2 l d 返回2 5
第 2章
质点和质点系动力学
1. 牛顿运动定律 惯性系 质心运动定理 2. 动量定理 动量守恒定律 3. 角动量定理 角动量守恒定律 4. 功能原理和机械能守恒定律
1
三、质心运动定理 1. 质心位置
m 1 r1
l1 rc
l2
r2
m2
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m1 x1 m2 x2 m1 m2
m1 xc x1 m2 x2 xc
m1l1 m2l2 杠杆原理
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2
杠杆原理 http://210.44.195.12/dxwl/kpcl/kpcl9.htm
古希腊科学家阿基米德：“假如给我一个支点，我就能把地球挪动！” 阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出杠杆原理 他把杠杆实际应用中的一些经验知识 当作“不证自明的公理” 逻辑论证杠杆原理：
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F 外ma cmaFc
质心的运动只与系统所受的合外力相关。
4
例题
已知：质量m=50kg的人从质量 M=200kg 长 l = 4m 的船头行至船 尾 问：船行d =？
0
x2 x1 xcx1 x2
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Mx1 mx2 M m
M x 1 m x 2 M m
Mx 1 mx 2 Mx1 m x 2 M x1 d m （x2l - xd2 ）
“二重物平衡时，它们离支点的距离与重量成反比。 阿基米德发明：他曾经借助杠杆和滑轮组，使停放在沙滩上的桅船顺利下水
利用杠杆原理制造远、近距离的投石器把罗马人阻于叙拉古城
外达3年之久
3
2. 质心运动定理
rcmddrctmmmimri iivddirti
mv
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P总m i v i
m d vc dP总
dt
1 在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上相等的重量，它们将平衡 2 在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上不相等的重量，重端下倾 3 在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量，距端下倾
4 一重物的作用与几个重物的作用等效，只要重心的位置保持不变
5 相似图形的重心以相似的方式分布…… 他从这些公理出发，在“重心”理论的基础上，现了杠杆原理：