高考高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测15

考点15导数及其应用 ►导数的概念与运算 ►导数几何意义的运用 ►导数的应用 ►利用导数的几何意义 ►利用导数探讨函数的单调性 ►利用导数求函数的极值勤最值 经典易错题会诊 命题角度 1导数的概念与运算 1．（典型例题）设f 0(x)=sinx,f 1(x)=f’0(x),f 2(x)=f’1(x),…,f n+1(x)=f’n (x),n ∈N,则f 2005(x) ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx [考场错解] 选A [专家把脉] 由f’1(x)=f’0(x)=(sinx)’=cosx,f2(x)=(cosx)’=-sinx,f3(x)=(-sinx)’=-cosx,f4(x)=(-cosx)’=sinx,…,f2005(x)=f’2004(x)=…=f0(x0=sinx 前面解答思路是正确的，但在归纳时发生了错误。

因f4(x)=f0(x)=f8(x0=…=f2004(x),所以f2005(x)=f1(x)=cosx. [对症下药] 选C 2．（典型例题）已知函数f(x)在x=1处的导数为3，f （x ）的解析式可能为 （ ） A ．f （x ）=(x-1)3+32(x-1) B ．f(x)=2x+1 C ．f()=2(x-1)2 D ．f(x)-x+3 [考场错解] 选B ∵f(x)=2x+1,∴f ’(x)=(2x+1)’=2x+1|x=1=3. [专家把脉] 上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为（2x+1）’=2x+1.正确的是（2x+1）’=2,所以x=1时的导数是2，不是3。

[对症下药] 选A ∵f(x)=(x-1)3+3(x-1)f ’(x)=3(x-1)2+3,当 x=1时,f ’(1)=3 3.(典型例题) 已知f(3)=2f ’(3)=-2，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为 （ ）A ．-4B ．0C ．8D ．不存在 [考场错解] 选D ∵x →3,x-3→0 ∴3)(32lim3--→x x f x x 不存在。

[专家把脉] 限不存在是错误的，事实上，求0型的极限要通过将式子变形的可求的。

[对诊下药] 选C3)(32lim3--→x x f x x =326)]3()([3lim 3-+---→x xf x f x=32]3)3()(32[lim 3-=---→x f x f x .8)2(32)3('32]3)3()([lim 3=-⨯-=-=--→f x f x f x4．（05，全国卷）已知函数f(x)=e -x(cosx+sinx),将满足f ’(x)=0的所有正数x 从小到大排成数列；（2）记S n 是数列{x n f(x n )}的前项和。

求∞→n limnS S S n+++ 21[考场错解] ∵f ’(x)=e-x(cosx+sinx)’+(e-x)’(cosx+sinx)=e-x(-sinx+cosx)+e-x(cosx+sinx)=2e -xcosx令f ’(x)=0,x=n π+2π（n=1，2，3，…）从而x n =n π+2π。

f(x n )=e-( n π+2π)(-1)n²)()(1n n x f x f +=-e 2π-. ∴数列{f(x n )}是公比为q=-e -π的等比数列。

[专家把脉] 上面解答求导过程中出现了错误，即（e-x ）’=e-x 是错误的，由复合函数的求导法则知（e-x ）’=e -x (-x)’=-e -x才是正确的。

[对诊下药]（1）证明：f ’(x)=(e-x)’(cos+sinx)+e -x (cosx+sinx)’=-e -x (cosx+sinx)+e -x (-sinx+cos)=-2e -xsinx.令f ’(x)=0得-2e -xsinx=0，解出x=n π,(n 为整数，从而x n =n π(n=1,2,3,…)，f(x n )=(-1)ne-n ππ-+-=e x f x f n n )()(1,所以数列|f(xn)|是公比q=-e -π的等比数列，且首项f(x 1)=-e -π(2)S n =x 1f(x 1)+x 2f(x 2)+…+x n f(x n )=nq(1+2q+…+nq n-1) aS n =πq(q+2q 2+…+nq n)=πq(q q n --11-nq n )从而S n =q q -1π(qq n --11-nq n) 2232221)1()1()1(2)1(q q q q n q q q n S S S n nn -+----=++++πππ∵|q|=e -π<1 ∴∞→n lim q n =0,∴∞→n lim2221)1()1(ππππe e q q n Sn S S +--=+++专家会诊1．理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数f(x)在x=a 处可导，则)(')()(lima f ax a f x f n =--∞→ 的运用。

2．复合函数的求导，关键是搞清复合关系，求导应从外层到内层进行，注意不要遗漏3．求导数时，先化简再求导是运算的基本方法，一般地，分式函数求导，先看是否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数求导先化为和或差形式；多项式的积的求导，先展开再求导等等。

考场思维训练1 函数f(x)=x3+ax2+3x-9.已在f(x)在x=-3时取得极值，则a= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5答案： D 解析：∵f ′(x)=3x 2+2ax+3.令f ′(x)=0.即3x 2+2ax+3=0有一根x=-3, ∴3(-3)2-6a+3=0,得a=5.2 函数f(x)=x3-8x,则函数f(x)在点x=2处的变化率是 （ ） A ．2 B ．-2 C ．4 D ．-4答案： C 解析：∵f ′(x)=3x 2-8. ∴x=2时的变化率是f ′(2)=3³22-8=4. 3 满足f(x)=f’(x)的函数是 （ ） A ．f(x)=1-x B ．f(x)=x C ．f(x)=0 D ．f(x)=1答案： C 解析：f(x)=0,0′=0, ∴f(x)=f ′(x). 4 已知f(x)=ln|2x|, 则f’(x)= ( )A.x 1B. x21 C.||1x D. |2|1x答案： A 解析：当x>0时，f(x)=ln(2x), ∴f ′(x)=c ∴f ′(x)= xx 1)2(21=-∙-. 5已知函数f(x)=ln(x-2)-)0(22≠a a ax 为常数且(1)求导数f’(x) 答案： f ′(x)=).2(21>∙--x axx (2)解不等式:f’(x)>0 答案：令f ′(x)=).2(021>>--x axx 即.440202022a a x x a x x x +=∆=-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+>的（i ）当a ≤-1时，x 2+2x-a>恒成立，∴x>2.(ii)当a>-1时，02,02>-+>∆a x x 的解集为{x|x>1111-+-<-+a x a 或} ∴当-1<a ≤8时，.2,211>∴≤-+x a 当a>8时，11-+a >2, ∴x>11-+a .综合得，当a ≤8时，f ′(x)>0的解集为（2，+∞）. 当a>8时，f ′(x)>0的解集为（11-+a ，+∞）.命题角度 2导数几何意义的运用1.(典型例题)曲线y=x 3在点(1,1)的切线与x 轴、直线x=2所围成的三角形面积为_________. [考场错解] 填2 由曲线y=x 3在点（1，1）的切线斜率为1，∴切线方程为y-1==x-1,y=x.所以三条直线y=x,x=0,x=2所围成的三角形面积为S=21×2×2=2。

[专家把脉] 根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数，上面的解答显然是不知道这点，无故得出切线的斜率为1显然是错误的。

[对症下药] 填38。

∵f ’(x)=3x 2当x=1时f ’(1)=3.由导数的几何意义知，曲线在点（1，1）处的斜率为3。

即切线方程为y-1=3(x-1) 得y=3x-2. 联立⎩⎨⎧=-=223x x y 得交点（2，4）。

又y=3x-2与x 轴交于（32，0）。

∴三条直线所围成的面积为S=21×4×（2-32）=38。

2．（典型例题）设t ≠0,点P （t,0）是函数f(x)=x 3+ax 与g(x)=bx 3+c 的图像的一个公共点，两函数的图像在P 点处有相同的切线。

（1）用t 表示a 、b 、c ；（2）若函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求t 的取值范围。

[考场错解] （1）∵函数f(x)=x 3+ax 与g(x)=bx 2+c 的图像的一个公共点P(t,0).∴f(t)=g(t)⇒t 3+at=bt 2+c. ①又两函数的图像在点P 处有相同的切线，∴f ’(t)=g ’(t)⇒3t 3+a=2bt. ②由①得b=t,代入②得a=-t 2.∴c=-t 3.[专家把脉] 上面解答中得b=t 理由不充足，事实上只由①、②两式是不可用t 表示a 、b 、c ，其实错解在使用两函数有公共点P ，只是利用f(t)=g(t)是不准确的，准确的结论应是f(t)=0，即t 3+at=0，因为t ≠0,所以a=-t 2.g(t)=0即bt 2+c=0,所以c=ab又因为f(x)、g(x)在（t,0）处有相同的切线，所以f ’(t)=g;(t).即3t 2+a=2bt, ∵a=-t 2, ∴b=t.因此c=ab=-t 2²t=-t 3.故a=-t 2,b=t,c=-t 3(2)解法1 y=f(x)-g(x)=x 3-t 2x-tx 2+t 3y ’=3x 2-2tx-t 2=(3x+t)(x-t).当y ’=(3x+t)(x-t)<0时,函数y=f(d)-g(x)单调递减。

由y ’<0,若t<0,则t<x<-3t,若t>0,则-3t <x<t.则题意，函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，则（-1，3）⊂（-3t ,t ）或（-1，3）⊂（t ，-3t ）所以t ≥3或-3t ≥3。

即t ≤-9或t ≥3。

又当-9<t<3时，函数y=f(x0-g(x)在（-1，3）上单调递增，所以t 的取值范围（-∞，-9）∪（3，+∞）解法2 y=f(x)-g(x)=x 3-t 2x-tx 2+t 3,y ’=3x 2-3tx-t 2=(3x+t)(x-t).∵函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，且y ’=(3x+t)(x-t)≤0在(-1,3)上恒成立， ∴⎩⎨⎧≤-+≤--+-⎩⎨⎧≤≤=-=0)3)(9(0)1)(3(0|'0|'31t t t t y y x x 即 解得 t ≤-9或t ≥3.3.(典型例题)已知函数f(x)=ax 3+bx 2-3x 在x=±1处有极值。