2010北大附属中学2010届高三数学教案：第五讲——函数性质
高中数学教案：函数基本概念与性质
高中数学教案：函数基本概念与性质一、函数基本概念函数在高中数学中是一个非常重要的概念，它贯穿于整个数学学科，也是日常生活、科学和工程等领域中的基础工具。
本篇教案旨在介绍函数的基本概念与性质，帮助学生更好地理解和应用函数。
1. 函数的定义与表示方式函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素（称为自变量）映射到另一个集合中的一个元素（称为因变量）。
函数的定义可以用不同的表示方式来描述，最常见的方式是使用符号表示，例如f(x)表示函数f中自变量为x。
另外，还可以使用图表、表格和公式等方式来表示函数。
2. 自变量、因变量与定义域在函数中，自变量是独立变量，其取值不受其他变量的影响；因变量是依赖变量，其取值由自变量决定。
函数的定义域是指自变量的取值范围，决定了函数可以接受的输入值。
3. 函数图像与坐标平面函数的图像是自变量和因变量之间的关系在坐标平面上的几何表示。
常用的坐标平面是笛卡尔坐标平面，由水平的x轴和垂直的y轴组成。
函数图像可以通过绘制关键点、连线以及应用平移、伸缩等变换来实现。
二、函数的性质函数的性质对于深入理解和应用函数具有重要作用。
下面我们将介绍一些常见的函数性质。
1. 单调性函数的单调性指函数在定义域内的增减趋势。
如果函数的值随着自变量的增加而单调增加，我们称之为函数是递增的；如果函数的值随着自变量的增加而单调减少，我们称之为函数是递减的。
2. 奇偶性函数的奇偶性描述了函数图像的对称性。
如果函数满足f(x) = f(-x)，则函数是偶函数；如果函数满足f(x) = -f(-x)，则函数是奇函数；如果函数既不满足偶函数的条件，也不满足奇函数的条件，我们称之为非奇非偶函数。
3. 周期性函数的周期性是指函数图像在坐标平面上以一定形式重复出现的特性。
如果存在一个正数T，对于任意实数x，有f(x + T) = f(x)，则函数具有周期T。
周期性函数在数学和物理学中有广泛的应用，例如三角函数。
4. 初等函数初等函数是指可以用一些基本运算和基本函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）通过有限次的运算得到的函数。
高中数学教案：函数的基本性质
高中数学教案：函数的基本性质一、函数的定义和表达形式函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个数集之间的一种特殊关系。
具体地说，如果存在一个规则将一个数集中的每个元素和另一个数集中的唯一一个元素对应起来，那么这个规则就称为函数。
函数可以用多种形式来表示。
常见的函数表达形式有两种：算式表示和图像表示。
在算式表示中，函数可以用一个显式的算式来表示，例如 f(x) = 2x + 1。
这个算式表示了一个线性函数，在给定x的值时，可以求出f(x)的值。
在图像表示中，函数可以用图像的方式来表达，例如将函数的所有点绘制在坐标系中形成的曲线。
图像表示可以直观地展示函数的性质和规律。
二、函数的定义域和值域函数的定义域是指函数中自变量（通常用x表示）的取值范围。
在定义域内，函数是有意义的，而在定义域外，函数没有定义。
例如，对于函数 f(x) = 1/x，由于0不在其定义域内，所以当x等于0时，函数没有定义。
函数的值域是指函数的所有可能的输出值的集合。
值域可以通过分析函数的定义域和图像来确定。
对于函数 f(x) = 2x + 1，可以发现随着x的取值增加，f(x)也会增加，因此函数的值域是所有实数。
三、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的性质，它与函数的定义域和图像有关。
如果函数满足以下性质：对于定义域内的任意x，都有f(-x) = f(x)，那么这个函数就是偶函数。
如果函数满足以下性质：对于定义域内的任意x，都有f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数。
如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，那么它就是一个既非偶函数也非奇函数的普通函数。
通过观察函数的图像或利用性质判定，可以确定一个函数是否为偶函数或奇函数。
例如，函数 f(x) = x^2 是一个偶函数，而函数 f(x) = x^3 是一个奇函数。
四、函数的单调性函数的单调性描述了函数在定义域内的增减规律。
如果函数在定义域内的任意两个数x1和x2满足x1 < x2时有f(x1) < f(x2)，那么这个函数就是递增函数。
高中数学教案：函数的概念与基本性质
高中数学教案：函数的概念与基本性质函数的概念与基本性质一、导入在高中数学课程中，函数是一个非常重要的概念。
它不仅在数学本身具有广泛的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。
了解函数的概念以及掌握其基本性质，对于理解和运用数学知识都有着至关重要的意义。
本教案旨在帮助学生深入理解函数的概念，并掌握函数的基本性质。
二、函数的定义1. 函数的概念：函数是两个集合之间元素间对应关系的特殊类型。
通俗来说，就是将自变量映射到因变量上。
2. 函数符号表示：通常我们用f(x)来表示一个函数，其中f为函数名，x为自变量。
三、函数图像与解析式1. 函数图像：通过绘制函数对应关系中所有点所构成的图形而得到，可以直观地反映出自变量与因变量之间关系的规律。
2. 解析式：也称作方程式或表达式，在数学中用符号和式子来描述一个函数。
四、常见类型的函数及其性质1. 线性函数：- 定义：线性函数描述了自变量和因变量之间的成正比关系，通常以y=kx+b的形式表示。
- 性质：线性函数的图像是一条直线，且斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b则决定了直线与y轴的交点。
2. 幂函数：- 定义：幂函数是自变量的某个非负指数次方和一个常数之积。
- 性质：幂函数分为奇数次幂函数和偶数次幂函数两类，其图像形状和对称性取决于是否为奇偶次幂。
3. 指数函数：- 定义：指数函数描述了以某个常数为底，自变量为指数的指数值和一个常量之积。
- 性质：指数函数有着特殊的增长规律，其图像在原点上方且递增。
4. 对数函数：- 定义：对数函数是指一个正实验值和底相应指数值之间的对应关系。
- 性质：对数组可以将乘法运算转化为加法运算，并且具有特殊的递减规律。
五、基本性质1. 函数定义域与值域：- 定义域：自变量取值范围，在没有限制条件时通常为实数集合。
- 值域：函数所有可能的输出值的集合，在图像上通常表现为函数曲线所覆盖的区间或点集。
2. 奇偶性：- 奇函数：满足f(-x)=-f(x)的函数，其图像关于原点对称。
高中数学函数性质教案
高中数学函数性质教案教学内容：函数的性质及应用一、教学目标：1. 知识与技能：掌握函数的性质，能够根据性质解决相关问题。
2. 过程与方法：通过案例分析、讨论和练习，培养学生归纳总结能力和问题解决能力。
3. 情感态度：激发学生对数学的兴趣，提高学生的学习积极性。
二、教学重点与难点：1. 函数的性质：奇函数、偶函数、周期函数、单调函数等；2. 函数性质的应用：解决函数相关的问题。
三、教学过程：1. 引入（5分钟）：通过一个简单的例子引入函数的性质，让学生了解函数的基本概念。
2. 探究（30分钟）：通过案例和练习，让学生自主探索函数的性质，引导学生归纳总结函数的不同性质。
3. 拓展（15分钟）：探讨函数性质在实际问题中的应用，引导学生将所学知识运用到解决具体问题中。
4. 讨论（10分钟）：让学生分享他们的解题经验和感受，促进学生之间的讨论与交流。
5. 小结与作业布置（5分钟）：总结今天的学习内容，布置相关练习作业，帮助学生巩固所学知识。
四、教学辅助手段：1. 讲义及案例题：用于引导和辅助学生学习。
2. 电子板书：用于展示相关内容，便于学生跟随。
3. 练习册：用于强化学生对知识点的掌握。
五、教学反馈及评价：1. 整堂课结束后，可以通过提问、测试等方式进行教学反馈，检查学生对知识点的理解程度。
2. 通过作业和课堂表现评价学生的学习情况，及时帮助学生解决学习中遇到的问题。
六、教学资源：1. 谷歌学术、百度学术等网络资源。
2. 相关教材和参考书籍。
七、教学策略：1. 以学生为中心，注重学生的主体性和积极性。
2. 打破传统的教学方式，采用案例教学和互动讨论。
3. 关注学生的学习兴趣和需求，不断激发学生对数学学习的热情。
八、教学效果：通过本堂课的学习，学生应能掌握函数的性质及应用，并能够应用所学知识解决相关问题。
同时，学生的归纳总结能力和问题解决能力也将得到提高。
高中数学教案：函数的定义和性质
高中数学教案：函数的定义和性质一、函数的定义和基本性质函数是高中数学中非常重要的一个概念，它在数学的各个领域中都得到了广泛的应用。
在本章中，我们将学习函数的定义以及与函数相关的一些基本性质。
1.1 函数的定义函数是两个数集之间的一种对应关系。
简言之，对于定义域中的每一个元素，函数都给出一个唯一确定的值，这个值对应于值域中的一个元素。
函数通常用符号f(x) 表示，其中 x 是定义域中的元素，f(x) 是对应于 x 的值域中的元素。
1.2 函数的表示方法有多种表示函数的方法，下面介绍两种常用的方法。
（1）集合表示法：函数可以表示为一个有序数对的集合形式，形如{(x,y)|y=f(x),x∈D}，其中 D 是定义域。
（2）公式表示法：函数可以用一个公式来表示，例如 f(x)=x^2，表示函数 f(x) 的值等于 x 的平方。
1.3 函数的基本性质在介绍函数的基本性质之前，我们先来了解一些基本术语。
（1）定义域：函数中所有可取的自变量值的集合称为定义域，通常用符号 D 表示。
（2）值域：所有函数值的集合称为值域，通常用符号 R 表示。
（3）单调性：函数在定义域上的单调性分为单调递增和单调递减两种。
（4）奇偶性：若对任意 x，有 f(-x) = f(x) 则函数称为偶函数；若对任意 x，有f(-x) = -f(x)，则函数称为奇函数。
二、函数的图像和性质2.1 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的几何表示。
横坐标表示自变量 x，纵坐标表示函数值 f(x)。
函数 f(x) 的图像常常具有一些特征，例如可导性、连续性等。
2.2 函数的可导性函数的可导性是指函数在某个点 x 处的导数存在。
导数是函数瞬时变化率的极限，是研究函数变化的重要工具。
在图像上，函数可导意味着在该点处的切线存在并且唯一。
2.3 函数的连续性连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数图像上是否有突变、断裂的现象。
函数在某一点 x 处连续的充要条件是 x 处的左极限等于右极限，并且与函数的函数值相等。
函数的性质教案8篇
函数的性质教案8篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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北大附属中学届高三数学教案：第五讲——函数性质 145397doc
北大附属中学2010届高三数学教案：第五讲——函数性质一、 知识清单：1、函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在0112（，）（，）上为减函数.2、单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。
判断函数单调性的方法：① 定义法（作差比较和作商比较）； ② 图象法；③ 单调性的运算性质（实质上是不等式性质）； ④ 复合函数单调性判断法则; ⑤ 导数法（适用于多项式函数）注：函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。
3.偶函数⑴偶函数：)()(x f x f =-.设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点. ⑵偶函数的判定：两个条件同时满足① 定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ② 满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1)()(=-x f x f . 4. 奇函数⑴奇函数：)()(x f x f -=-.设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点.⑵奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数.②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时，1)()(-=-x f x f . 注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如()()0f x f x -±=，()1()f x f x -=±（f (x )≠0）5．反函数⑴定义：只有满足x y ←−−→唯一，函数)(x f y =才有反函数. 例如：2y x =无反函数.函数)(x f y =的反函数记为)(1y fx -=，习惯上记为)(1x fy -=.⑵.求反函数的步骤: ①将)(x f y =看成关于x 的方程,解出)(1y f x -=，若有两解，要注意解的选择；②将y x ,互换，得)(1x f y -=；③写出反函数的定义域（即)(x f y =的值域）。
函数的性质教案
函数的性质教案教案标题：函数的性质教案教学目标：1. 理解函数的定义及其基本性质。
2. 掌握函数的奇偶性、单调性、最值和周期性等性质。
3. 运用函数的性质解决实际问题。
教学重点：1. 函数的奇偶性和单调性。
2. 函数的最值。
3. 函数的周期性。
教学器材：1. 教材：包括函数性质的相关章节。
2. 教师准备的教案和课件。
3. 学生每人一本教材。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 引导学生回顾函数的基本定义，并与学生分享函数在日常生活中的应用。
2. 提出问题：你知道函数除了定义外还有哪些性质？步骤二：讲解函数的奇偶性和单调性（15分钟）1. 奇偶性的定义和判断方法：a. 函数f(x)为奇函数，当且仅当对于任意x，有f(-x) = -f(x)。
b. 函数f(x)为偶函数，当且仅当对于任意x，有f(-x) = f(x)。
2. 单调性的定义和判断方法：a. 函数f(x)在区间[a, b]上严格单调递增，当且仅当对于任意x1，x2 ∈ [a, b]，且x1 < x2时，有f(x1) < f(x2)。
b. 函数f(x)在区间[a, b]上严格单调递减，当且仅当对于任意x1，x2 ∈ [a, b]，且x1 < x2时，有f(x1) > f(x2)。
3. 通过例题演示如何判断函数的奇偶性和单调性。
步骤三：讲解函数的最值（10分钟）1. 最值的定义：函数f(x)在区间[a, b]上的最大值和最小值分别记作f(max)和f(min)。
2. 最值的求解方法：a. 对于定义域为闭区间的函数，可通过求解端点和关键点处的函数值来确定最值。
b. 对于定义域为开区间的函数，可通过求解关键点处的函数值来确定最值。
3. 通过例题演示如何求解函数的最值。
步骤四：讲解函数的周期性（10分钟）1. 周期性的定义：函数f(x)在定义域上存在正实数T，使得对于任意x，有f(x+T) = f(x)。
2. 周期性的判断方法：通过判断函数图像的重复性来确定周期。
高中数学教案函数的基本概念和性质
高中数学教案函数的基本概念和性质高中数学教案：函数的基本概念和性质函数是数学中非常重要的一个概念，它在各个学科和实际生活中都有着广泛的应用。
本教案将介绍函数的基本概念和性质，帮助学生全面理解和掌握函数的本质和运用。
一、函数的引入和定义函数最早是由数学家高斯引入的，它描述了两个数集之间的一种特殊关系。
通常情况下，我们将函数表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。
x的取值范围称为定义域，而y的取值范围称为值域。
函数可以用图像、映射、表格或公式等形式来表示。
二、函数的图像和性质函数的图像是将函数的各个取值与对应的值域点在坐标系中标出所得到的图形。
根据函数图像的不同形态，可以得出函数的性质。
其中，常见的函数类型有线性函数，二次函数，指数函数和对数函数等。
不同的函数类型有其独特的特点和变化规律，对于理解和应用函数非常重要。
三、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域反映了函数的取值范围。
对于函数来说，每一个自变量都有且只有一个对应的因变量。
2. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数在布尔对称轴上是否对称。
其中，奇函数满足f(-x) = -f(x)，而偶函数则有f(-x) = f(x)。
3. 单调性：函数的单调性揭示了函数随自变量变化时的增减规律。
函数可以是增函数、减函数或常函数。
4. 极值：函数的极值指的是函数在其定义域内达到的最大值或最小值。
极大值对应局部最大值，极小值对应局部最小值。
5. 零点：函数的零点是指函数取值为0的自变量值。
寻找函数的零点对于解方程和求解实际问题具有重要意义。
四、函数的应用函数在实际生活中具有广泛的应用价值，例如在经济学、物理学、生物学等领域中。
通过函数，我们可以分析和描述事物之间的数学关系，进而解决实际问题。
函数的应用包括但不限于以下几个方面：1. 函数建模：将实际问题抽象成函数，利用函数的性质进行问题建模和求解。
2. 函数图像分析：通过观察函数的图像，分析函数的特点、极值、零点等，并进行数据的预测与实际意义的探讨。
《函数的性质》教案
《函数的性质》教案函数的性质教案一、知识综述1. 什么是函数？函数是一种数学概念，将一个自变量值域中的数值映射到另一个因变量值域中的唯一数值。
通常用$f(x)$或$y=f(x)$表示函数。
2. 函数的性质有哪些？- 定义域与值域：定义域是使函数有意义的自变量取值范围；值域是函数实际上取到的因变量所有值的集合。
- 奇偶性：若有$f(-x)=f(x)$，则函数为偶函数；若有$f(-x)=-f(x)$，则函数为奇函数；若都不成立，则函数为非奇非偶函数。
- 单调性：若$x_1< x_2$时，$f(x_1)\leq f(x_2)$，则函数为单调不减；若$x_1< x_2$时，$f(x_1)\geq f(x_2)$，则函数为单调不增；若都不成立，则函数为既不单调不减也不单调不增。
- 周期性：若$f(x+T)=f(x)$，则函数有周期$T$。
- 对称性：若$f(x)$关于直线$x=a$对称，则函数关于直线$x=a$对称。
- 极值与最值：若$f(x)$在$x_0$处取得最大值或最小值，则$x_0$为极值点，$f(x_0)$为极值；若$f(x)$在定义域内的某个区间内的取值最大或最小，则这个值为最大值或最小值。
二、思考题1. $y=x^2-1$和$f(x)=|x-1|$的奇偶性分别是什么？2. $y=\frac{1}{x}$是否有奇偶性？单调性？3. 有函数$f(x)$，其定义域为$[-1,1]$，且$f(-1)=f(1)$。
若$f(x)$单调，它的奇偶性是什么？三、结语本教案对函数的性质做了基本介绍，并提供了相关思考题供同学们探讨。
熟练掌握函数的性质对于学习高等数学及其应用非常重要。
高中数学函数性质的教案
高中数学函数性质的教案
教学内容：函数的性质
教学目标：
1.了解函数的定义，了解函数的性质；
2.能够判断一个函数是奇函数还是偶函数；
3.能够判断一个函数的周期性。
教学重点：
1.函数的定义；
2.奇函数与偶函数的判断；
3.函数的周期性。
教学难点：
1.如何判断函数的奇偶性；
2.如何判断函数的周期性。
教学过程：
一、引入：通过实景图片或实例引入函数的概念，让学生了解函数的定义及其作用。
二、理解：讲解函数的定义及性质，让学生对函数有一个全面的认识。
三、实例分析：通过几个具体的函数实例，让学生判断这些函数是奇函数还是偶函数，同时判断这些函数的周期性。
四、练习：让学生自行解答几道函数性质相关的题目，巩固所学知识。
五、总结：总结本课内容，强调函数的性质对数学问题的解决的重要性。
六、作业布置：布置相关作业，让学生进一步巩固所学内容。
七、反馈：下节课进行作业批改及学生问题解答，及时纠正学生的错误认识。
教学工具：投影仪、实例图片、幻灯片、黑板白板等。
教学评估：
1.学生能够准确判断函数的奇偶性；
2.学生能够准确判断函数的周期性；
3.学生能够解决相关的函数性质问题。
教案函数的概念和性质
教案函数的概念和性质函数是高中数学中一个重要的概念，它在数学中具有广泛的应用。
本文将介绍教案函数的概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的概念在数学中，函数是一个非常重要的概念，它描述了一个集合和另一个集合之间的关系。
简单来说，函数就是将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素上。
具体来说，设A和B为两个非空集合，如果对于A中的每一个元素a，都存在B中唯一的元素b与之对应，那么我们就称这种对应关系为函数。
记作f：A→B，其中f表示函数的名称，A为定义域，B为值域。
函数的输入为定义域内的元素，输出为值域内的元素。
二、函数的性质函数具有多种性质，本节将介绍函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等常见性质。
1. 定义域和值域函数的定义域是指能使函数有意义的输入值的集合。
在函数中，不是所有的值都能使函数有意义，因此定义域限制了函数的输入范围。
值域是函数所有可能的输出值的集合。
在函数中，输出值是由输入值确定的，定义域的不同对应不同的值域。
2. 单调性如果函数的值随着自变量的增大而增大，或者随着自变量的减小而减小，我们就称该函数为增函数；如果函数的值随着自变量的增大而减小，或者随着自变量的减小而增大，我们就称该函数为减函数。
函数的单调性是通过函数图像上函数曲线的斜率来判断的，当函数的曲线向上倾斜时，函数为增函数，向下倾斜时，函数为减函数。
3. 奇偶性如果对于函数中的任意一个自变量x，函数关于原点(0,0)对称，即f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数；如果对于函数中的任意一个自变量x，函数关于原点(0,0)对称，即f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
奇偶性可以通过函数的解析式进行判断，如果函数的解析式中只有奇次幂的项，那么该函数为奇函数；如果函数的解析式中只有偶次幂的项，那么该函数为偶函数。
三、函数的应用函数在实际问题中有广泛的应用，以下是几个常见的应用实例。
1. 物理学中的运动问题函数在描述各种运动问题中起着重要作用。
高中数学函数的性质教案
高中数学函数的性质教案
课题：函数的性质
教学内容：介绍函数的奇偶性、周期性和单调性等性质
教学目标：
1. 了解函数的奇偶性、周期性和单调性等性质的定义；
2. 能够通过图像或公式判断函数的奇偶性、周期性和单调性；
3. 能够应用函数的性质解决实际问题。
教学重点和难点：
重点：函数的奇偶性、周期性和单调性等性质的理解和判断；
难点：如何灵活运用函数的性质解决实际问题。
教学准备：
1. 教师准备课件和相关教学资料；
2. 学生准备笔记本和书写工具。
教学步骤：
1. 导入：通过展示一些函数的图像或公式，让学生观察并讨论函数的特点；
2. 引入：介绍函数的奇偶性、周期性和单调性等性质的定义；
3. 探究：通过几个例题，引导学生判断函数的奇偶性、周期性和单调性；
4. 强化：让学生自主解决一些函数的性质问题，并分享解题思路；
5. 运用：设计一些实际问题，让学生运用函数的性质解决问题；
6. 总结：总结本节课学习的重点和难点，强化函数的性质的掌握。
教学延伸：
1. 让学生在课后练习更多的函数性质题目，巩固所学知识；
2. 鼓励学生到生活中寻找函数的应用，培养实际解决问题的能力。
教学反馈：
通过课堂练习和作业检查，评估学生对函数性质的掌握情况，及时纠正错误。
高中数学教案：函数的性质与图像
高中数学教案：函数的性质与图像函数的性质与图像导言：函数是高中数学学习中的重要内容，也是日常生活中广泛应用的概念。
通过研究函数的性质和图像，我们可以更好地理解数学与实际问题之间的联系，并能够运用数学知识解决现实中的各种问题。
本教案将详细介绍函数的性质与图像，并提供相关示例和练习，以帮助同学们更好地掌握这一知识。
一、函数的性质1. 定义域：一个函数定义了输入到输出之间的对应关系，而定义域则表示输入值所能取到的范围。
我们通常使用符号表示定义域，并结合具体例子进行说明。
例如：若有函数 f(x) = √(x+2)，则定义域为x ≥ -2。
2. 值域：函数在定义域内所有可能输出值所形成的集合称为值域。
同样，结合实例讲解可以帮助理解该概念。
例如：给定函数 f(x) = x^2，则值域为{y | y ≥ 0}。
3. 单调性：一个函数在其定义域内可能呈现单调递增或单调递减两种趋势。
讲解时可以借助直观图像进行说明。
例如：函数 f(x) = x^2 在定义域内呈现单调递增的特点。
4. 奇偶性：奇偶性是指一个函数在定义域内关于坐标轴的对称性。
通过观察函数的图像，我们可以判断其奇偶性。
例如：函数 f(x) = x^3 是奇函数，而函数 g(x) = x^2 是偶函数。
5. 周期性：周期函数是指在定义域上以固定间隔重复出现相同形状的图像。
周期可以通过观察图像得到。
例如：正弦函数 f(x) = sin(x) 具有周期为2π。
二、函数的图像1. 直线函数的图像：直线函数是最简单的一种函数形式，其图像可由两个点确定。
教学中需注意讲解与解题技巧，并引导同学们练习相关题目。
例如：给定直线方程 y = 3x + 2，我们可以选择两个点，并绘制出该直线的完整图像。
2. 平方函数与开方函数的图像：平方和开方是常见的数学运算，对应着平方函数（二次曲线）与开方函数(反比例曲线)。
通过示例分析帮助理解这两种类型曲线的特点。
例如：给定平方根公式y = √x 和开方函数 y = 1/x，我们可以绘制出它们在特定定义域内的图像。
高中数学教案函数性质
高中数学教案函数性质一、函数的定义和性质回顾1. 函数的定义：函数是一个对应关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
2. 函数的性质：- 定义域：函数的输入值的集合。
- 值域：函数的输出值的集合。
- 自变量和因变量：函数中的输入值和输出值。
- 奇函数和偶函数：关于原点对称的函数。
- 单调递增函数和单调递减函数：函数在定义域内递增或递减。
- 周期函数：函数值在一个固定间隔内重复。
二、函数性质的探究1. 定义域和值域的确定：- 通过函数的定义和表达式，确定函数的定义域和值域。
- 举例让学生练习确定不同函数的定义域和值域。
2. 函数的奇偶性质：- 通过函数的图像或表达式，判断函数的奇偶性质。
- 让学生练习判断各种函数的奇偶性质。
3. 函数的单调性质：- 通过导数或函数的图像，判断函数在定义域内的单调性。
- 给出函数的导数，让学生推断函数的单调性。
4. 函数的周期性质：- 通过函数的定义和图像，判断函数的周期性质。
- 让学生找出给定函数的周期，并画出函数的多个周期。
三、综合练习1. 给出多个函数的表达式或图像，让学生判断函数的性质。
2. 设计实际应用问题，让学生运用函数的性质进行解答。
四、课堂讨论和总结1. 引导学生分析函数性质的重要性和应用价值。
2. 总结本节课学习到的函数性质，加深学生的理解。
五、作业布置1. 练习题目：让学生练习函数性质的判断和运用。
2. 思考题目：设计探究性问题，让学生思考并提出自己的观点。
通过以上教学内容，学生可以更深入地理解函数的性质，提升对函数的认识和运用能力。
高中数学教案：函数的性质与应用
高中数学教案：函数的性质与应用一、函数的性质与应用介绍函数是数学中一种重要的概念，它描述了两个数集之间的关系。
在高中数学中，我们学习了函数的性质与应用。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等，而函数的应用则包括函数建模、函数求极值、函数图像的分析等。
本文将会详细介绍函数的性质与应用，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
二、函数的性质1. 定义域和值域在函数的定义中，我们将自变量的取值范围称为函数的定义域，函数的值的范围称为函数的值域。
对于给定的函数，我们需要确定它的定义域和值域，以便正确地进行函数的运算和分析。
在确定定义域和值域时，我们需要考虑变量的实际意义和限制条件，并根据问题的要求进行合理的设定。
2. 单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减性质。
对于一个递增函数，随着自变量的增大，函数值也随之增大；而对于一个递减函数，函数值则随着自变量的增大而减小。
我们可以通过求函数的导数来判断函数的单调性，具体方法是求导后观察导函数的符号。
3. 奇偶性在函数的定义域内，有些函数具有奇偶性。
对于一个奇函数，当自变量取相反数时，函数值也呈现对称性质；而对于一个偶函数，当自变量取相反数时，函数值不发生变化。
我们可以通过分析函数的表达式来判断函数的奇偶性。
三、函数的应用1. 函数建模函数建模是将实际问题转化为数学函数的过程。
通过函数建模，我们可以将复杂的问题简化为数学模型，并用函数来描述问题的特征和规律。
在函数建模中，我们需要通过观察实际问题的背景和要求，找到与之相关的变量，并建立它们之间的函数关系。
2. 函数求极值函数求极值是指在给定的定义域上，寻找函数的最大值和最小值。
通过求导数，我们可以找到函数的临界点，然后通过一些方法判断这些临界点是极大值还是极小值。
函数求极值在实际问题中有广泛的应用，比如在优化问题中需要找到满足某些条件的最优解。
3. 函数图像的分析函数图像的分析是对函数图像的形状、特征以及相关性质进行研究。
高中数学教案：函数的性质和变换
高中数学教案：函数的性质和变换一、引言函数是高中数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的关系，并且在实际问题中具有广泛的应用。
理解函数的性质和变换对于学生掌握数学思维和解决问题至关重要。
本教案将介绍函数的基本性质以及常见的函数变换，帮助学生深入理解函数概念，并能够灵活运用于实际问题中。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有可以作为自变量输入的实数集合，值域是函数所有可能的输出值的集合。
理解函数的定义域和值域有助于学生确定函数的适用范围和范围。
2. 增减性和最值：函数的增减性是指函数随着自变量的增大或减小而变化的趋势。
学生需要学会通过求导或利用函数图像来确定函数的增减性，并且找出函数的最大值和最小值。
3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像关于 y 轴对称时的性质。
学生可以通过判断函数关于原点对称、判断函数的符号变化或直接计算来确定函数的奇偶性。
三、函数的常见变换1. 平移变换：平移变换是指将函数图像在平面内进行上下左右的平移。
平移变换可以通过改变函数的公式中的常数项来实现。
例如，函数 y = f(x) 可以通过 y =f(x - a) + b 的形式进行平移，其中 a 和 b 分别代表横轴和纵轴平移的距离。
2. 伸缩变换：伸缩变换是指将函数图像在平面内进行纵向或横向的拉伸或压缩。
伸缩变换可以通过改变函数的公式中的系数来实现。
例如，函数 y = f(x) 可以通过y = af(bx) 的形式进行伸缩，其中 a 和 b 分别代表纵向和横向伸缩的倍数。
3. 翻转变换：翻转变换是指将函数图像关于坐标轴翻转的变换。
翻转变换可以通过改变函数的公式中的符号来实现。
例如，将函数 y = f(x) 进行关于 x 轴或 y 轴翻转可以分别表示为 y = -f(x) 或 y = f(-x)。
4. 复合变换：复合变换是指将多个变换按照一定顺序进行组合，以实现更复杂的函数变换。
学生需要通过具体的例子来理解复合变换的概念，并能够熟练运用复合变换的性质进行函数的变换。
高中数学函数的性质教案
高中数学函数的性质教案教案标题：高中数学函数的性质教案教学目标：1. 理解函数的定义和基本概念。
2. 掌握函数的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
3. 能够应用函数的性质解决实际问题。
教学重点：1. 函数的定义和基本概念。
2. 函数的性质及其应用。
教学难点：1. 函数的性质的理解和应用。
2. 实际问题的转化为函数的性质求解。
教学准备：1. 教材：高中数学教材。
2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔、教学PPT等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用一个简单的实际问题引入函数的概念，例如：小明每天骑自行车上学，他的速度是否是一个函数？为什么？2. 引导学生思考函数的定义，并板书函数的定义。
二、概念讲解（15分钟）1. 通过教学PPT或者板书，讲解函数的定义和基本概念，包括自变量、因变量、定义域、值域等。
2. 通过示例让学生理解函数的概念，例如：y = 2x + 3，判断它是否是一个函数，求出它的定义域和值域。
三、函数的性质（30分钟）1. 函数的单调性：a. 定义单调递增和单调递减函数，并用图像表示。
b. 通过例题让学生判断函数的单调性，并解释原因。
c. 练习题让学生巩固单调性的判断和求解方法。
2. 函数的奇偶性：a. 定义奇函数和偶函数，并用图像表示。
b. 通过例题让学生判断函数的奇偶性，并解释原因。
c. 练习题让学生巩固奇偶性的判断和求解方法。
3. 函数的周期性：a. 定义周期函数，并用图像表示。
b. 通过例题让学生判断函数的周期性，并解释原因。
c. 练习题让学生巩固周期性的判断和求解方法。
四、应用实例（20分钟）1. 给出一些实际问题，例如：小明每天骑自行车上学，他的速度是否是一个函数？为什么？等等。
2. 引导学生将实际问题转化为函数的性质求解，例如：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最大值和最小值。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结函数的性质及其应用。
函数的性质教案
函数的性质教案函数是数学中的重要概念，它在数学领域和其他学科中有着广泛的应用。
了解函数的性质对于学习和理解数学是至关重要的。
本教案将介绍函数的一些主要性质，帮助学生深入了解函数的本质和特点。
一、函数的定义函数是一种数学关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用符号表示为：f: X → Y其中，X是输入的集合，Y是输出的集合。
对于集合X中的每个元素x，在函数f的映射下都会得到唯一的输出值f(x)。
二、函数的性质1. 定义域和值域函数的定义域是指输入集合中可以取得有效值的范围。
在数学上，我们通常用一个不等式或者一组条件来表示定义域。
值域是指输出集合中函数可以取得的有效输出值的范围。
2. 单调性函数的单调性描述了函数在定义域上的增减规律。
如果函数在定义域上单调递增，那么对于定义域中的任意两个不同的元素x1和x2，有f(x1) < f(x2)。
如果函数在定义域上单调递减，那么对于定义域中的任意两个不同的元素x1和x2，有f(x1) > f(x2)。
3. 奇偶性函数的奇偶性描述了函数的对称性质。
如果对于定义域中的任意元素x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对于定义域中的任意元素x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
4. 周期性周期函数是一种具有重复性质的函数。
如果存在一个正数T，使得对于定义域中的任意元素x，有f(x+T) = f(x)，则函数为周期函数，T 称为函数的周期。
5. 零点和极值点函数的零点是指函数在定义域中满足f(x) = 0的点。
函数的极值点是指函数在定义域中取得最大或最小值的点。
三、函数的应用函数的性质在数学中有广泛的应用，同时也在其他领域中发挥重要作用。
1. 物理学中的运动学函数在物理学中，运动学函数描述了物体的运动状态。
通过研究运动学函数的性质，可以推导出物体的速度、加速度、位移等重要参数。
2. 经济学中的供求函数在经济学中，供求函数描述了市场上商品的供给和需求关系。
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北大附属中学2010届高三数学教案：第五讲——函数性质一、 知识清单：1、函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在0112 （，）（，）上为减函数.2、单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。
判断函数单调性的方法： ① 定义法（作差比较和作商比较）； ② 图象法； ③ 单调性的运算性质（实质上是不等式性质）； ④ 复合函数单调性判断法则; ⑤ 导数法（适用于多项式函数）注：函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。
3.偶函数⑴偶函数：)()(x f x f =-.设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点.⑵偶函数的判定：两个条件同时满足 ① 定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=xy 在)1,1[-上不是偶函数.② 满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1)()(=-x f x f .4. 奇函数⑴奇函数：)()(x f x f -=-.设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点.⑵奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数.②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时，1)()(-=-x f x f .注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如()()0f x f x -±=，()1()f x f x -=±（f (x )≠0）5．反函数⑴定义：只有满足x y ←−−→唯一，函数)(x f y =才有反函数.例如：2yx=无反函数.函数)(x f y =的反函数记为)(1y fx -=，习惯上记为)(1x fy-=.⑵.求反函数的步骤: ①将)(x f y =看成关于x 的方程,解出)(1y f x -=，若有两解，要注意解的选择；②将y x ,互换，得)(1x f y -=；③写出反函数的定义域（即)(x f y =的值域）。
⑶.在同一坐标系，函数)(x f y =与它的反函数)(1x fy -=的图象关于x y =对称.[注]：一般地，1(3)(3)f x f x -+≠+的反函数.1(3)fx -+是先()f x 的反函数，在左移三个单位.(3)f x +是先左移三个单位，在()f x 的反函数.6函数性质之间的关系 .⑴单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数. ⑵如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.⑶设函数y = f （x ）定义域，值域分别为X 、Y . 如果y = f （x ）在X 上是增（减）函数，那么反函数1()y fx -=在Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同.⑷一般地，如果函数)(x f y =有反函数，且()f a b=，那么a b f =-)(1. 这就是说点（b a ,）在函数)(x f y =图象上，那么点（a b ,）在函数)(1x fy -=的图象上.注：1.函数f (x )的反函数f -1(x )的性质与f (x )性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f -1(x )的问题化归为函数f (x )的问题是处理反函数问题的重要思想。
2.设函数f (x )定义域为A ，值域为C ，则① f -1[f (x )]=x ,(x ∈A)②f [f -1(x )]=x ,(x ∈C) 课前练习1.讨论函数21)(x x f -=的单调性。
2．函数112-=x y 在定义域上的单调性为( )（A ）在()1,∞-上是增函数，在()+∞,1上是增函数;（B ）减函数; （C ）在()1,∞-上是减函数，在()+∞,1上是减函数;（D ）增函数3．已知函数f (x ), g (x )在 R 上是增函数，求证：f [g (x )]在 R 上也是增函数。
4．判断下列函数的奇偶性： ①xx x x f -+-=11)1()(,②2211)(x x x f --=,③22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩ 5．求函数 211x y --= （-1≤ x < 0）的反函数 6．已知23()1x f x x +=-，函数y=g(x )图象与1(1)y f x -=+的图象关于直线y = x 对称，求g(11)的值。
7．若函数()y f x =的图象经过)1,0(-，那么(4)y f x =+的反函数图象经过点( ) (A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(- 8．设()124+-=x x x f ，则()=-01f________.9．函数),(1R x mx y ∈+=与)(2R n n x y ∈-=互为反函数的充要条件是___________.10．若点)41,2(既在函数b ax y +=2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =__，b =___典型例题EG1．已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，且1)a ≠（1） 求函数()()f x g x +定义域（2） 判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由.变式1：已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[1,2]a a -.则a = ，b = 变式2：函数|3||4|92-++-=x x xy 的图象关于 （ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线0=-y x 对称EG2、已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.变式1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. R x x y ∈=,)21(变式2：函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是 （ ）A.2a ≤B.2a ≥-C.22a -≤≤D.2a ≤-或2a ≥ 设计意图：考察函数奇偶性与单调性的关系 EG3、已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩，求(1)f ，(3)f -，(1)a +的值变式1：设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________变式2：已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 A.(0,1) B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)7变式3：设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧--+14)1(2x x11x x <≥ 则使得f （x ）≥1的自变量x 的取值范围为 A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］ C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］EG4、试着举几个满足“对定义域内任意实数a ，b ，都有()()()f a b f a f b += ”的函数例子. 变式1：设函数f （x ）的定义域是N *，且()()()f x y f x f y xy +=++，(1)1f =，则f （25）= _______________.变式2：设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意121,[0,]2x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=（1）设(1)2f =，求11(),()24f f（2）证明()f x 是周期函数.变式3：设函数()y f x =定义在R 上，对任意实数m 、n ，恒有()()()f m n f m f n +=且当0,0()1x f x ><< （1）求证：f （0）=1，且当x ＜0时，f （x ）＞1； （2）求证：f （x ）在R 上递减；（3）设集合A ={（x ，y ）|f （x 2）·f （y 2）＞f （1）}，B ={（x ，y ）|f （ax －y +2）=1， a ∈R }，若A ∩B =∅，求a 的取值范围. 变式4：已知函数321()33f x x x x a=-+++．（1）求()f x 的单调减区间；（2）若()f x 在区间[]3,4-上的最小值为73，求a 的值．EG5、已知函数()ln f x x ax =-()a ∈R .(Ⅰ) 求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当a >0时，求函数()f x 在[1,2]上最小值.变式1：函数()sin ln f x x x =+的导函数()f x '= .；变式2： 函数]2,0[cos sin π在与x y x y ==内的交点为P ，它们在点P 处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积为 变式3：已知函数xx x x f 3231)(23+-=（R x ∈）的图象为曲线C ．（1）求过曲线C 上任意一点的切线斜率的取值范围；（2）若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横 坐标的取值范围； 实战演练1、()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件 2、在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( )A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数3、函数2log (4)(0)y x x =+>的反函数是（ ）A ．24(2)x y x =+>B ．24(0)x y x =+>C ．24(2)x y x =->D ．24(0)x y x =->4、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．[)2+，∞C ．(]02，D ．1⎡⎤⎤-⎣⎦⎦5、设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为（A ）1,3 （B ） 1,1- （C ）1,3- （D ） 1,1,3-6、定义在R 上的函数f (x )既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期.若将方程f (x )=0在闭区[-T ,T ]上的根的个数记为n ,则n 可能为 (A)0 (B)1 (C)3 (D)57、函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为（ ） Ａ．(0)+∞， Ｂ．(19]， Ｃ．(01)， Ｄ．[9)+∞，8、对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数； 命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②9、设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则有（B ）A ．132()()()323f f f << B ．231()()()323f f f << C ．213()()()332f f f << D ．321()()()233f f f <<10、已知f(x)为R 上的减函数，则满足f(|x1|)<f(1)的实数x 的取值范围是A （－1，1）B （0，1）C （－1，0）（0，1）D （－，－1）（1，＋） 16、若函数f(x)的反函数为f )(1x -,则函数f(x-1)与f )1(1--x 的图象可能是二、填空1、函数()y f x =的图象与函数3l o g (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称，则()f x =_________。