函数

二、函数概念
1 函数定义 定义：设 x和 y是两个变量, D 是一个给定 的数集. 如果对于每个数 x D , 变量 y 按 照一定法则,总有唯一确定的数值与之对应, 则称 y 是 x 的函数, 记作 y f ( x ) . 定义域
因变量
自变量
当x0 D 时, 称 f ( x0 )为函数在点 x0 处的函数值. 函数值的全体组成的数集:
余切函数
y cot x
cos x sin x
D x x k , k 0, 1, 2,.... , R f R
正割函数
1 y sec x cos x
y sec x
D x x k , k 0, 1, 2,.... , R f (, 1] [1, ) 2
注意: 通常我们所说的周期是指最小正周期. 例如,sin x , cos x 都是以2 为周期的周期函数.
2 x , 0 x 1 例3. 已知函数 y f ( x) 1 x , x 1 1 ). f ( ) 写出 f (x) 的定义域及值域, 并求 f ( 1 及 t 2
y cos x
2
2
3 2
y
1
3 2

1
O

2

2
x
它的定义域为 ,，以 2 为周期的偶函数（图形关于 y 轴对称）。图形在两直线 y 1与 y 1 之间，即 cos x 1 。
正切函数
y tan x
sin x cos x
D x x k , k 0, 1, 2,.... , R f R 2
偶函数:
奇函数:
① D 关于原点对称;
② x D, f ( x ) f ( x ).
例2 讨论函数
f ( x ) ln( x 1 x 2 )
2
的奇偶性.
解: 因为 f ( x ) ln( x 1 x )
( x 1 x )( x 1 x ) ln x 1 x 1 2 ln ln( x 1 x ) f ( x ) 2 x 1 x
解: f (x) 的定义域 D [0 , ) 值域
y
y2 x
y 1 x
f ( D ) [ 0 , )
1 2
f (1 )2 2

2
O
f(1 ) t
1 1 , 0 t 1 t 2 , t 1 t
1
x
四、反函数
y f ( x) , x D 的反函数记成
y f ( x) , x f ( D)

2.区间
a, b R
且 a b. 开区间: { x a x b}. 记作
o
(a , b).
a 闭区间: { x a x b}. 记作 [a, b].
b b
x x
半开区间: { x a x b}. 记作 [a , b). 半开区间: { x a x b}. 记作 (a, b]. 以上区间称为有限区间.
o
a
[a , ) { x a x }. ( , b ) { x x b}.
o
a o
x
上述两区间称为无限区间. 全体实数记为 ( , ). 3.邻域: a 的 邻域:a , R 且 0,
U (a , )
b
x
U (a ) { x a x a } { x x a }.
O
x
(d) 对数函数
y log a x (a 0, a 1)
它的定义域为 0, ， 图像在 y 轴的右侧，且 都经过点 1, 0。 当 0 a 1时，log a x 为 减函数； 当 a 1 时，log a x 为增函数。
y
(a 1)
O
x
1
(0 a 1)
C
y
它的定义域为
y C
,
O
x
(b) 幂函数 y x ( 0)
它的定义域随 的取 值不同而不同，但在
y
y x 2 y x 3 y x2
yx
0,中都有定义。 图像都经过点 1, 1 。
在第一象限内， 当 0 时，x 为增函数； 当 0 时，x 为减函数。
W { y y f ( x ), x D }
称为函数的值域. 两要素: 定义域与对应法则. 用途: 判断两个函数是否相同. x 例如, f ( x ) 1, g( x ) 是否为同一个函数?
x
因为定义域不同, 故不是同一个函数.
定义域: 自变量所能取的值使算式有意义 的一切实数值的集合.


中心
a 的 去心邻域:
0 U (a ) { x 0 x a }
a
a
a
半径
x
4.常量与变量 常量: 在某过程中数值保持不变的量. 变量: 在某过程中数值变化的量. 例如, 加热密闭容器的气体, 分子个数和体积 ——常量; 温度和压力——变量. 注意： 常量与变量是相对“过程”而言 的. 表示方法： 常量 —— a , b, c 等; 变量 —— x , y, t 等.
1
直接函数与反函数的图形关于y x对称.
y
Q(b, a )
yx y f ( x)
O
x
五、复合函数
1、复合函数
设 y u, u 1 x ,
2
y 1 x
2
定义 设函数 y f ( u) 的定义域为 D f , 而函数
u ( x ) 的值域为 Z , 若 Z D , 则称函数 f y f [( x )] 为 x 的复合函数.
[ 2] 1
y
3 2 1
0.5 1 0.5 [0.5] 1
2.7 3 0.3 [2.7] 3 3 3 0 [3] 3
3 3 0 [3] 3
。 。 。 3 2 1 。 O 1 2 3 4 x 。 1 。 2 。 3
对数函数: y log a x 三角函数:
( a 0, a 1), y ln x .
y sin x, y cos x y arcsin x
等.
反三角函数:
等.
我们将常数函数、幂函数、指数函数、对数函 数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。
( a)
常数函数 y C
合构成. 例如,
x y cot , 2
可由
x y u , u cot v , v 构成. 2
第二节 初等函数
一、基本初等函数
二、初等函数 三、双曲函数与反双曲函数 四、 小结
一、基本初等函数
幂函数: 指数函数:
y x ,
是常数.
ya
x
x y e . ( a 0, a 1),
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成
一个复合函数的;
例如, 函数 y arcsin u 的定义域内, 所以不能复合. 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复
2
2 u 2 x 的值域不在 y arcsin u, u 2 x ,
区间
ID
单调增加:
x1 , x2 I , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
单调增少: x1 , x2 I ,
3．函数的奇偶性
设函数
f ( x ) 在数集 D 上有定义,
① D 关于原点对称;
② x D, f ( x ) f ( x ).
y x
1
y x 1
O
1
x
(c) 指数函数
y a (a 0, a 1)
x
它的定义域为 , ， 图像在 x 轴的上方，且 都经过点 0, 1。 当 0 a 1 时，a x 为 减函数； 当 a 1 时，a x 为增函数。
y
(0 a 1)
1
(a 1)
例如,
y 1 x2
D :[1,1]
列表法、 图象法. 函数的表示法:公式法、 例1
2 ln 下列函数中与函数 x 相同的有: 1 2 (a ) ln x; (b) ln x; 2 (c ) ln x ; ( d ) ln x ;
答 (d ).
例
1 求函数 y 4 x 的定义域 . ln( x 1)
2
解
由负数不能开偶次方, 得
4 x2 0
x [2, 2 ]
由对数函数的定义域, 得
x 1 0 x (1, )
由分母不能为零, 得
ln ( x 1) 0 x 2
综上所述,该函数的定义域为 D = ( 1, 2 )
2. 几个特殊的函数
(1) 符号函数
(e) 三角函数
正弦函数（Sine Function）
y sin x
2
2
3 2
y
1
3 2

1
O

2

2
x
它的定义域为 ,，以 2 为周期的奇函数（图形关于原 点对称）。图形在两直线 y 1与 y 1 之间，即 sin x 1 。
余弦函数（Cosine Function）
x0
o -M
X
X
x 无界
设函数 f ( x ) 在区域 有界: X D, M 0,
上有定义, x X 使得 f ( x ) M ;