理科数学2010-2018高考真题分类训练：专题十六不等式选讲第四十二讲不等式选讲答案

当 a 1， x ( ,1) 时， f ( x)=( a x) x+(2 x)(x a)=2( a x)(x 1)<0
所以， a 的取值范围是 [1, ) .
3．解析 （ 1）由于 [( x 1) ( y 1) (z 1)]2
( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 2[( x 1)( y 1) ( y 1)(z 1) ( z 1)(x 1)]
由 | a 2 |≥ 4 可得 a ≤ 6 或 a ≥ 2，所以 a 的取值范围是 ( , 6] [2, ) ．
3．【解析】 (1) f ( x)
1
3x, x
,
2
x 2, 1 ≤ x 1, 2
3 x, x≥ 1.
y f (x) 的图像如图所示．
(2) 由 (1)知， y f ( x) 的图像与 y 轴交点的纵坐标为 2，且各部分所在直线斜率的最大
3 (x 1)2 ( y 1)2 (z 1)2 ，
故由已知得 ( x 1)2
( y 1)2
( z 1)2
4
，
3
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当且仅当 x= 5 ， y=–1 ， z
3
3
当且仅当 x y z 时，不等式取等号，此时 122
所以 x 2 y 2 z2 的最小值为 4．
x 2 ，y 4 ， z 4 ，
3
3
3
5．【解析】（ 1）当 a 1时，不等式 f ( x) ≥ g ( x) 等价于
2
x
x | x 1|
| x 1| 4 ≤ 0 ．①
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2, x ≤ 1, 2x, 1 x 1, 2, x ≥ 1.
故不等式 f ( x) 1 的解集为 { x | x
1 }．
2
(2) 当 x (0,1) 时 | x 1| | ax 1| x 成立等价于当 x (0,1) 时 | ax 1| 1成立．
若 a ≤ 0 ，则当 x (0,1) 时 | ax 1|≥ 1；
（2）因为 a, b, c 为正数且 abc 1，故有
1 1 1. abc
( a b)3 (b c) 3 (c a)3 33 (a b)3(b c)3 (a c)3 =3( a+b)(b+c)(a+c)
3 (2 ab ) (2 bc ) (2 ac )
=24.
所以 (a b)3 (b c)3 (c a)3 24 . 2．解析 （ 1）当 a=1 时， f ( x)=| x 1| x+|x 2|(x 1) . 当 x 1时， f (x) 2( x 1)2 0 ；当 x 1 时， f ( x) 0 . 所以，不等式 f ( x) 0 的解集为 ( ,1) . （2）因为 f (a)=0 ，所以 a 1 .
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当 x 1时，①式化为 x2 3x 4 ≤ 0 ，无解； 当 1≤ x ≤ 1时，①式化为 x2 x 2 ≤ 0 ，从而 1≤ x ≤ 1；
当 x 1 时，①式化为 x2 x 4 ≤ 0 ，从而 1 x ≤ 1
17
．
2
所以 f ( x) ≥ g( x) 的解集为 { x | 1 x ≤ 1
值为 3，故当且仅当 a ≥ 3 且 b≥ 2 时， f ( x) ≤ ax b 在 [0, ) 成立，因此 a b 的
最小值为 5． 4． D ．【证明】由柯西不等式，得 ( x2 y 2 z2 )(12 2 2 22 ) ≥ (x 2 y 2 z)2 ．
因为 x 2 y 2z=6 ，所以 x 2 y2 z2 ≥ 4 ，
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专题十六 不等式选讲 第四十二讲 不等式选讲
答案部分
2019 年
1.解析 （ 1）因为 a2 b2 2ab,b2 c2 2bc, c2 a2 2ac ，又 abc 1，故有
a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca abc
所以 1 1 1 a 2 b 2 c2 . abc
若a
0 ， | ax 1| 1 的解集为 0
x
2
，所以
2 ≥ 1 ，故
0
a≤ 2．
a
a
综上， a 的取值范围为 (0, 2] ．
2．【解析】 (1) 当 a 1 时， f ( x)
2x 4, x ≤ 1, 2, 1 x ≤ 2,
2x 6, x 2.
可得 f ( x) ≥ 0 的解集为 { x | 2≤ x ≤ 3} ．
故由已知 ( x
2)2
( y 1)2
( z a)2 … (2
a)2
，
3
当且仅当 x
4 a，y
1 a，z
2a 2
时等号成立．
3
3
3
因此 (x
2) 2
(y
1)2
(z
a)2 的最小值为 (2
a)2
．
3
由题设知 (2 a) 2 … 1 ，解得 a , 3 或 a … 1 ．
3
3
2010-2018 年
1．【解析】 (1) 当 a 1 时， f ( x) | x 1| | x 1| ，即 f ( x)
所以 (x 1)2 ( y 1)2 (z
1
时等号成立．
3
1)2 的最小值为
4
.
3
（2）由于 [( x 2) ( y 1) (z a)] 2
2
2
2
( x 2) ( y 1) ( z a) 2[( x 2)( y 1) ( y 1)(z a) ( z a)( x 2)]
, 3 (x 2)2 ( y 1)2 ( z a)2 ，
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(2) f ( x) ≤ 1 等价于 | x a | | x 2 |≥ 4 ．
而 | x a | | x 2 |≥| a 2 | ，且当 x 2 时等号成立． 故 f ( x) ≤ 1 等价于 | a 2 |≥ 4 ．
17 }．
2
（ 2）当 x [ 1,1] 时， g ( x) 2 ．
所以 f ( x) ≥ g( x) 的解集包含 [ 1,1]，等价于当 x [ 1,1] 时 f ( x) ≥ 2 ．
又 f (x) 在 [ 1,1]的最小值必为 f ( 1) 与 f (1)之一，
所以 f ( 1)≥ 2 且 f (1)≥ 2 ，得 1≤ a ≤ 1．