2020高考数学总复习 第十八讲 两角和与差及二倍角公式 新人教版

第十八讲 两角和与差及二倍角公式
班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－23
5
B.23
5
C ．－45
D.45
解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝45 3 ∴
32cos α＋32sin α＝453，3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝4
5
3， 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45
， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45.
答案：C
2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( )
A.
2＋33 B ．－2＋3
3 C.
2－33 D.－2＋3
3
解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α
＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－α＝－33.
而sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－13＝23，
所以原式＝－33－23＝－2＋33
. 答案：B 3．若sin α＝
55，sin β＝10
10，且α、β为锐角，则α＋β的值为( )
A ．－π4 B.π4
C ．±π4 D.π3
解析：解法一：依题意有cos α＝
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫552＝25
5， cos β＝
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫10102＝310
10， ∴cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝2
2＞0.
∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π
4
. 解法二：∵α，β都是锐角，且sin α＝55＜22
， sin β＝
1010＜22
， ∴0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π
2，
∴cos α＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫552＝25
5， cos β＝
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫10102＝310
10， sin(α＋β)＝
55×31010＋1010×255＝22
. ∴α＋β＝π
4.
答案：B
4．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝5
13，则cos C 的值是( )
A.16
65
B.5665
C.1665或56
65
D ．－1665
解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cos A ＝45＞0，cos B ＝513＞0，得0＜A ＜π
2，0
＜B ＜π2，从而sin A ＝35，sin B ＝12
13
，
所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )
＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝16
65，故选A. 答案：A
5．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( ) A ．0 B ．± 3
C ．0或 3
D ．0或± 3
解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2
θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝
－1时，有sin θ＝0；当cos θ＝12时，有sin θ＝±3
2.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ
＋1)＝0或3或－ 3.
答案：D
评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．
6．(2020·海口质检)在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
解析：sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．
答案：A
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7.
2cos10°－sin20°
sin70°
的值是________．
解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°
sin70°
＝
2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°
sin70°
＝
3cos20°
cos20°
＝ 3.
答案： 3
8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4则cos2αsin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π4＋α(α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4)＝________.
解析：∵cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α－sin 2
α
22(sin α＋cos α)
＝
(cos α－sin α)(cos α＋sin α)
2
2
(sin α＋cos α)
＝2(cos α－sin α)＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.
由cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α＝513
. ∴原式＝1013.
答案：1013
9．(1＋3tan10°)·cos40°＝________. 解析：(1＋3tan10°)cos40°＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
1＋3sin10°cos10°cos40°
＝3sin10°＋cos10°
cos10°·cos40°
＝2sin(10°＋30°)
cos10°·cos40°
＝
2sin40°cos40°cos10°＝sin80°
cos10°
＝1.
答案：1
10．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________. 解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， 即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．
∵α、β均为锐角 ∴sin β＋cos β≠0，必有cos α＝sin α ∴α＝π4.
答案：π4
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分
别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为
210，255
.
(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 解：由已知得cos α＝
210，cos β＝25
5
.∵α，β为锐角， ∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2
β＝55.
∴tan α＝7，tan β＝1
2
.
(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan α·tan β＝7＋12
1－7×
1
2＝－3.
(2)∵tan2β＝2tan β1－tan 2
β＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122
＝4
3， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β
1－tan α·tan2β
＝
7＋431－7×
43
＝－1. ∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π
4.
12．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π
2.
(1)求tan2α的值； (2)求β的值．
分析：由已知可求sin α，进而可求tan α，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cos β.
解：(1)由cos α＝17，0<α<π
2
，
得sin α＝1－cos 2
α＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫172＝
437. ∴tan α＝sin αcos α＝437×7
1＝4 3.
于是tan2α＝
2tan α1－tan 2
α＝2×431－(43)2＝－83
47
. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π
2.
又∵cos(α－β)＝13
14
，
∴sin(α－β)＝1－cos 2
(α－β)＝33
14
由β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. 所以β＝π3
.
13．已知0<β<π4<α<34π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝5
13，求sin(α＋β)的值．
解：∵π4<α<3π
4
，
∴－3π4<－α<－π4，－π2<π
4－α<0.
又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45.
又∵0<β<π4，∴3π4<3π
4＋β<π.
又∵sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4＋β＝513
，
∴cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π4＋β＝－1213，
∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2＋(α＋β)
＝－cos ⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π4－α
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×35－513×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45 ＝
3665＋2065＝5665
. 评析：三角函数的给值求值问题
解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)常见的配角技巧
α＝2·α2
；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝1
2
[(α＋β)＋(α－β)]；β
＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α.。