人教A版高中数学必修4《2.1.2 向量的几何表示》_13
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选修 1－1 第一章 常用逻辑用语 1．1 命题及其关系 1．2 充分条件与必要条件 1．3 简单的逻辑联结词 1．4 全称量词与存在量词 小结 复习参考题 第二章 圆锥曲线与方程 2．1 椭圆 探究与发现 为什么截口曲线是椭圆 信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆 2．2 双曲线 2．3 抛物线
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必修 1 第一章 集合与函数概念 1．1 集合 1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数 第三章 函数的应用 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 必修 2 第一章 空间几何体 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图
选修 1－2 第一章 统计案例
1．1 回归分析的基本思想及其初步应用 1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用 实习作业 小结 复习参考题 第二章 推理与证明 2．1 合情推理与演绎证明 阅读与思考 科学发现中的推理 2．2 直接证明与间接证明 小结 复习参考题
选修 2-3 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 探究与发现 子集的个数有多少 1.2 排列与组合
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根保通据护过生高管产中线工资敷艺料设高试技中卷术资配，料置不试技仅卷术可要是以求指解，机决对组吊电在顶气进层设行配备继置进电不行保规空护范载高与中带资负料荷试下卷高总问中体题资配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，.卷编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试5写交卷、重底保电要。护气设管装设备线置备4高敷动调、中设作试电资技，高气料术并中课3试中且资件、卷包拒料中管试含绝试调路验线动卷试敷方槽作技设案、，术技以管来术及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
向量背景及基本概念人教A版必修课件
(4)相等向量一定是平行向量，平行向量不一 定是相等向量．
典题例证技法归纳
题型探究 题型一 向量的有关概念
例1 判断下列命题是否正确，不正确的说 明理由： (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同 或相反； (3)若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b； (4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平 行； (5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同 或相反； (6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向 量是相等向量．
(2)向量的表示方法
①几何表示法：常用一条有向线段表示向量． 符号表示：以__A_为___起__点___、__B__为__终__点____的
有向线段，记作A→B.
(注意起点、终点顺序) ②用字母表示：向量可 用字母 a、b、c 等表示(印刷时用黑体 a、b、c，
书写时用→a 、→b 、→c )．
想一想 2.有向线段与向量有何区别和联系？ 提示：
B→C，A→O，F→E. 4 分
(3)与 a 共线的向量有E→F，B→C，O→D，F→E，C→B，
D→O，A→O，D→A，A→D.
6分
(4)与 a 相等的向量有E→F，D→O，C→B；
与 b 相等的向量有D→C，E→O，F→A；
与 c 相等的向量有F→O，E→D，A→B 8 分
名师微博 注意两个向量相等必须满足大小相等，方向 相同. 【名师点评】向量的模是用向量的长度定义 的，共线向量是用向量的方向定义的，而相 等向量是用向量的方向和长度共同定义的， 解决本题要弄清这三个概念的联系与区别．
变式训练 2.如图所示，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平 行四边形． (1)写出与向量E→D相等的向量；
高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念教案2 新人教A版必修4
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、三维目标
1、知识与技能
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系
（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、过程与方法
引导发现法与讨论相结合。
这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。
体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。
3、情感目标与价值观
通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。
二、教学重点及难点
1重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等
2难点：向量的概念和共线向量的概念。
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人教A版高中数学教材目录(必修+选修)必修1第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5 函数y=Asin(ωx+ψ) 的图象1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式2abba+≤小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证法三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质思考题二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二选修4-1 几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组探究与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａnα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-4 坐标系与参数方程引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告选修4-5 不等式选讲引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6 初等数论初步引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程1.一次同余方程2.大衍求一术五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数论在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7 优选法与试验设计初步引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一、附录二、附录三选修4-9 风险与决策引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告附录。
向量概念公开课导学案答案
B．两向量相等，其长度不一定相等
C．向量的大小与有向线段起点无关 D．两个向量相等，则它们的起点和终点都相同 2．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点， 则( B )
→ → A.AB与AC共线 → → C.AD与AE相等
金品质•高追求
→ → B.DE与CB共线 → → D.AD与BD相等
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跟踪训练 4．一架飞机从A点向西北飞行200 km到达B点，再从B点
向东飞行100 2 km到达C点，再从C点向东偏南30°飞行50 2
km到达D点．问D点在A点的什么方向？D点距A点多远？
解析：由|BC|＝100 2 ，知C在A的正北方向，
|AC|＝100 2 . 又由|CD|＝50 2 ，∠ACD＝60°
相同
D．若a与b平行同向，且|a|＞|b|，则a＞b 解析：A正确． B不正确．共线向量包括方向相同和相反． C不正确．共起点长度相等的向量方向不一定相同． D不正确．向量不能比较大小． 答案：A 点评：共线向量包括同向和反向，向量相等指向量的大 小相等方向相同，0与任意向量共线． 返回 金品质•高追求 我们让你更放心！
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平 面 向 量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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1．通过再现物理学中学过的力、位移等概念与向量之 间的联系，在类比抽象过程中引入向量概念，并建立学生学 习向量的认知基础． 2．理解向量的有关概念：向量的表示法、向量的模、 单位向量、相等向量、共线向量．
人教版A版高中数学必修4：2.2.1 向量加法运算及其几何意义(10)
O
A
B
讲授新课
例1. 已知向量a,b，求作向量a b .
O
A
B
讲授新课
3. 加法的交换律和平行四边形法则 问题：
O
A
B
讲授新课
3. 加法的交换律和平行四边形法则 问题：
O
A
B
讲授新课
3. 加法的交换律和平行四边形法则
(1)向量加法的平行四边形法则
（对于两个向量共线不适应）
(2)向量加法的交换律：
讲授新课
例2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过
轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸A
点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向
行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航
行的速度(保留两个有效数字) ；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用江水
速度间的夹角表示, 精确到度).
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
即 a b AB BC AC，
C
A B
规定：a
0
0
a
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
即 a b AB BC AC，
C
A B
规定：a
0
0
a
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
的起点为起点，最后
D 一个向量的终点为终
A
C B
点的向量，即为这n 个向量的和向量.
讲授新课
探究：
(1)两向量的和与两个数的和有什么关系？
人教A版高中数学必修4《 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》_18
2.1.1 向量的几何表示教材分析本节内容是数学必修 4 第二章第一节的第一课,主要介绍了向量的概念与几何表示,概念较多但难度不大.学生可以根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念.结合图形、实物理解有向线段、零向量、单位向量、平行向量.本教案重点使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别,然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量.了解向量的实际背景.理解平面向量的概念和向量的几何表示．本节课的教学重点是了解向量的实际背景.理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念．通过本节课的学习让学生明白向量不同于数量.它是一种新的量.在概念的理解学习上要充分发挥几何图形的直观的特点.使学生在感性认识的基础上建立概念.并理解概念的实质．课时分配本节内容用1课时的时间完成.主要讲解向量的概念、向量的几何表示．教学目标重点: 通过对位移、力等实力的分析理解平面向量的有关概念、向量的几何表示和符号表示.理解零向量、平行向量.．难点：向量和矢量的区别、向量和有向线段间的关系、平行向量的理解．知识点：向量与矢量、有向线段、零向量、单位向量、平行向量.能力点：培养用联系的观点.类比的方法研究向量.教育点：通过学生对向量与数量的识别能力的训练.培养学生认识客观事物的数学本质的能力.自主探究点：生活中的向量.考试点：正确理解向量的表示、单位向量、零向量与平行向量的概念.并能区别.易错易混点：向量与矢量、零向量与零、a与a.拓展点：物理中的向量．教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、新课引入问题1：1.在物理中.位移与距离是同一个概念吗？为什么？问题2：现实世界中有各种各样的量.如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等.在数学上.为了正确理解、区分这些量.我们引进向量的概念. 【设计意图】引人向量的概念． 【设计说明】学生回答． 二、探究新知探究一：向量的物理背景与概念 探究概念思考1：在物理中.怎样区分作用于同一点的两个力？思考2：物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力的方向分别如何？受力的大小分别与哪些因素有关？思考3：在如图所示的弹簧中.被拉长或压缩的弹簧的弹力方向如何？在弹性限度内.弹力的大小与什么因素有关？【设计意图】让学生通过思考发现：力不只有大小.还有方向． 【设计说明】让学生通过思考讨论．思考4：力既有大小、又有方向.在物理学中称为矢量.你还能指出哪些物理量是矢量吗？ 【设计意图】引出向量的概念． 【设计说明】让学生通过思考讨论．向量：既有大小、又有方向的量叫做向量;思考5：数学中.把既有大小.又有方向的量叫做向量.把只有大小.没有方向的量称为数量.那么年龄、身高、体重、面积、体积、温度、时间、路程、数轴等是向量吗？【设计意图】加深对向量概念的理解.得出矢量的概念．【设计说明】学生思考．矢量：只有大小没有方向的量.探究（二）：向量的几何表示思考1：一条小船从A地出发.向西北方向航行15km到达B地.可以用什么方式表示小船的位移？思考2：对于一个实数.可以用数轴上的点表示；对于一个角的正弦、余弦和正切.可以用三角函数线表示；对于一个二次函数.可以用一条抛物线表示….数学中有许多量都可以用几何方式表示.你认为如何用几何方式表示向量最合适？【设计意图】引出向量的几何表示．【设计说明】学生思考．思考3：如图.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.一条有向线段由哪几个基本要素所确定？有向线段包含三要素：起点、方向、长度思考4：用有向线段AB表示向量.向量的大小和方向是如何反映出来的？用有向线段的方向表示向量的方向；用有向线段的长度表示向量的大小.思考5：有向线段AB的长度就是指线段AB的长度.也称为向量AB的长度或模.它表示向AB.两个不同的向量可以比较大小吗？量AB的大小.记作||向量不能比较大小；但向量的长度是数量.可以比较大小.【设计意图】让学生注意到向量的几何表示的注意点．【设计说明】学生思考记忆．向量的字母表示：如果表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母.向量也可以用黑体字a b c（手写体）表示.母a.b.c.…（印刷体）.或,,此时向量的模怎样表示？思考6：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？模为0的向量叫做零向量.记作0（注意和0的区别.手写时上面的不能省略）；模为1个单位的向量叫做单位向量.思考7：模为0的向量叫做零向量.记作0；模为1个单位的向量叫做单位向量.怎样理解零向量的方向？规定：零向量的方向任意.注意：单位向量只规定长度.没规定方向.所以单位向量有无数个.【设计意图】零向量、单位向量的概念．【设计说明】学生讨论探究（三）：平行向量思考1：如果两个向量所在的直线互相平行.那么这两个向量的方向有什么关系？方向相同或相反思考2：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a与b平行记作a//b.那么平行向量所在的直线一定互相平行吗？3：零向量0与向量a平行吗？规定：零向量与任意向量平行.想一想？对于向量a、b、c.若a // b. b // c.那么a // c吗？【设计意图】让学生理解平行向量的概念.注意零向量．【设计说明】学生讨论三、理解新知知识小结：1、向量是既有大小又有方向的量.可以用有向线段AB表示.其中A为起点.B为终点.2、向量的大小称为向量的长度或向量的模.长度为0的向量称为零向量记住0.长度为1的向量称为单位向量.单位向量有无数个.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.规定零向量与任意向量平行.【设计意图】进一步理解向量的概念、几何表示、字母表示、向量的模、零向量、单位向量． 【设计说明】学生完成． 四、运用新知例1 已知飞机从A 地按北偏东30°方向飞行2000km 到达B 地.再从B 地按南偏东30°方向飞行2000km 到达C 地.再从C 地按西南方向飞行km 到达D 地. （1）画图表示向量,,AB BC CD ；（2）求飞机从A 地到达D 地的位移所对应的向量的模和方向.【设计意图】加深向量的几何表示的理解 【设计说明】．学生思考讨论.例2 如图.四边形ABCD 为正方形.△BCE 为等腰直角三角形.以图中各点为起点和终点.写出与向量AB 模相等的所有向量.答：,,,,,,,,BA BE EB A D DA BC CB CD DC uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r想一想：与向量AB 平行的非零向量有那些？ 【设计意图】加深对向量的长度的理解 【设计说明】．学生思考讨论.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识？涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1．知识：(1)向量的定义．(1)向量的几何表示、字母表示．(3)零向量、单位向量、平行向量．2．思想：数形结合的思想．教师总结:弄清向量、矢量区别与联系.学会用有向线段表示向量.注意向量的字母表示手写体．提醒学生：在学习新知时.也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识的理解.及时查缺补漏.从而更好地运用知识.解题要有目的性.加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．【设计意图】进行适时小结.让学生对这次课的学习有个系统的认识.加深学习印象．六、布置作业1．书面作业必做题： P77-78习题2.1 A组第1.2题选做题： B组第1题2．课外思考把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是？【设计意图】设计书面作业必做题.是引导学生先复习.再作业.培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置.是为了巩固学习效果；选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解；课外思考的安排.是让学生进一步理解向量的有关概念.起到让学生课下探索发现、预习新课的作用．七、教后反思1.本教案的亮点是向量的物理背景、向量的几何表示.在学生已有的物理知识背景.通过不断思考、归纳总结出向量的有关概念2.由于各校的情况不同.建议教师在使用本教案时灵活掌握.但必须在概念的理解上下足功夫．3.本节课的弱项是由于时间所限.在课堂上没有充分暴露学生的思维过程.没有很好的调动学生的积极性与主动性．八、板书设计一、知识点1．向量：既有大小又有方向的量． 数量：只有大小没有方向.．2．有向线段：带有方向的线段 3、向量的字母表示：AB .a 4、向量的长度（模）：向量的大小. 5、零向量、单位向量.6、平行向量方向相同或相反的向量. 规定：零向量与任一向量平行. 二、应用 例1例2三、课堂小结：四、课后作业必做题：1. P77-78习题2.1 A 组第1.2题选做题： B 组 第1题 2．课外思考把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是？。
人教A版高中数学必修4《2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》_40
2.1.2向量的几何表示1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P74～P76的内容，回答下列问题．(1)我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．(2)对既有大小，又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？提示：用有向线段．(3)若向量a与向量b相等，则它们应具备什么条件？提示：长度相等且方向相同．2．归纳总结，核心必记(1)向量的概念数学中，我们把像力、位移等这种既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)有向线段带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．(3)向量的表示方法①向量可以用有向线段表示．向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，记作| AB|.②用字母表示向量：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a，b，c，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，AB，CD.(4)几种特殊的向量①零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0.②单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量．思考题：(1)两个向量能比较大小吗？提示：不能．因为向量是具有方向的量．(2)向量就是有向线段，这种说法对吗？提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．[课前反思](1)向量的概念：；(2)有向线段：；(3)向量的表示方法：；(4)零向量：；(5)单位向量：；知识点：向量的有关概念练习1．(1)下列说法中正确的是()A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小[尝试解答](1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确．类题·通法解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．练一练1．(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使| AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[尝试解答](1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．②由于点B在点A正东方向处，且| AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．③由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．答案：(1)12类题·通法用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．练一练2．一辆汽车从A出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．(1)作出向量AB、BC、CD；(2)求汽车从A点到D点的位移大小|AD|.解：(1)向量AB、BC、CD如图所示．(2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线．又| AB|＝|CD|，所以在四边形ABCD中，AB綊CD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以|AD|＝|BC|＝200 km.1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．2．要重点掌握向量的三个问题(1)向量有关概念的辨析，见讲1；(2)向量的表示，见讲2；(3)相等向量与共线向量的应用，见讲3.3．本节课要注意两个区别(1)向量与数量①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向．②数量可以比较大小，向量不能比较大小．(2)向量与有向线段①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．课下能力提升题组1向量的有关概念1．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是()A．汽车的速度大于摩托车的速度B．汽车的位移大于摩托车的位移C．汽车走的路程大于摩托车走的路程D．以上都不对解析：选C速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A，B错；汽车走的路程为240 km，摩托车走的路程为90 km，故C正确．2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：选C由题图可知三向量方向不同，但长度相等．3．下列命题：①若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；②若向量AB是单位向量，则向量BA也是单位向量；③以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确．因为| AB|＝|BA|，所以当AB是单位向量时，BA也是单位向量，故②正确．因为向量AP是单位向量，故|AP|＝1，所以点P是以A为圆心的单位圆上的一点；反过来，若点P是以A为圆心的单位圆上的任意一点，则因为|AP|＝1，所以向量AP是单位向量，故③正确．题组2向量的表示4．一个人先向东行进了5千米，而后又向西行进了3千米，那么这个人总共() A．向东行进了8千米 B．向东行进了2千米C．向东行进了5千米 D．向西行进了3千米解析：选B记向东方向为正，则向东行进了5千米为＋5千米，向西行进了3千米为－3千米，则＋5＋(－3)＝＋2，表示向东行进了2千米．5．如图，在矩形ABCD中，可以用一条有向线段表示的向量是()A．DA和BCB．DC和ABC．DC和BCD．DC和DA解析：选B DC和AB方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一条有向线段表示．6.在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)| OA|＝3，点A在点O的正西方向；(2)| OB|＝32，点B在点O北偏西45°方向；(3)求出|AB|的值．。
人教版高中数学高一A版必修4 第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念
第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念1．丰富多彩的背景，引人入胜的内容．教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了平面向量的有关知识．学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示．向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．最后介绍了平面向量的应用．2．教学的最佳契机，全新的思维视角．向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的．反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系，向量应用的优越性也是非常明显的．全新的思维视角，恰当的教与学，使得向量不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机．3．本章充分体现出新教材特点．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容，注重向量运算与数的运算的对比，特别注意知识的发生过程．对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论．这一章中的一些例题，教科书不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法．解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题．对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力．向量的坐标实际上是把点与数联系起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题．4作者：赵勇，永安三中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖整体设计教学理念新的课程标准要求我们创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程，获得知识、能力、情感的全面发展．本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变．教学目标1．通过力的分析等实例，了解向量的实际背景；理解向量的概念．2．理解向量的几何表示；掌握零向量、单位向量、平行向量等概念；3．理解相等向量和共线向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量．教学重点、难点1．通过学生自主探究，并在教师的引导下，使学生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等是本节课的重点．2．难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解．学情和教材分析《向量》是高中数学新教材必修四第二章第1节．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具．向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用．所以，向量是高考必考的重点内容，又因为其抽象性，它还是学生在学习中的一个难学内容．本节内容是向量一章的第一节课，因此，是十分关键、重要的一节课．教学准备多媒体课件教学过程导入新课位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如图1，如何由点A确定点B的位置？图1一种常用的方法是，以A为参照点，用B点A点之间的方位和距离确定B点的位置．如，B点在A点东偏南45°，30千米处．这样，在A点与B点之间，我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置．有向线段AB就是A点与B点之间的位移．位移简明地表示了位置之间的相对关系．像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我们本章要研究的向量．推进新课新知探究本章引言中，我们知道，位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？图2请大家阅读课本2.1.1向量的物理背景与概念；2.1.2向量的几何表示．并回答下面问题： (1)什么是向量？向量和数量有何不同？ (2)向量如何表示？(3)什么是零向量和单位向量？ (4)什么是平行向量？待学生阅读完后，老师总结并展示课件： 1．什么是向量？向量和数量有何不同？(数量：只有大小，没有方向的量) 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？ 数量有：质量、身高、面积、体积 向量有：重力、速度、加速度提问：角度，海拔，温度是向量吗？ 2．向量如何表示？(1)几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．图3 注：以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB →，线段AB 的长度记作|AB →|(读为模)； (2)也可以表示为a ，b ，c ，…，大小记作：|a|、|b|、|c |、…说明一：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置．所以数学中的向量也叫自由向量．如图4：它们都表示同一个向量．图4练习：向量AB →和BA →是同一个向量吗？为什么？ 不是，方向不同．探究：向量就是有向线段吗？有向线段就是向量吗？ 说明二：有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向．向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向．图5有向线段AB →、CD →是不同的．图6向量AB →、CD →是同一个向量． 3．什么是零向量和单位向量？零向量：长度为0的向量，记为0； 单位向量：长度为1的向量．注：零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的． 向量之间的关系： 4．什么是平行向量？方向相同或相反的非零向量叫平行向量． 注：1.若是两个平行向量，则记为a ∥b .2．我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a . 练习：判断下列各组向量是否平行？图7向量的平行与线段的平行有什么区别？ 练习：已知下列命题：(1)向量AB →和向量BA →长度相等；(2)方向不同的两个向量一定不平行；(3)向量就是有向线段；(4)向量0＝0；(5)向量AB →大于向量CD →.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B例1试根据图8中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移，并求出A 地至B 、C 两地的实际距离(精确到1 km)．图8请同学们阅读课本2.1.3相等向量与共线向量，并回答问题：什么是相等向量和共线向量？待学生回答后，老师总结并展示课件： 5．什么是相等向量和共线向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量．a ＝b ＝c A 1B 1→＝A 2B 2→＝A 3B 3→＝A 4B 4→图9注：1.若向量a ，b 相等，则记为a ＝b ；2．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．平行向量也叫共线向量．注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上． 练习：判断下列命题是否正确：(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；(2)若|a|＝|b |，则a ＝b ；(3)若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；(4)平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(5)若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；(6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中不正确命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C练习：下列说法正确的是( ) A ．若|a|>|b|，则a>b B ．若|a |＝0，则a ＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ∥b ，则a ＝bE ．若a ＝b ，则|a|＝|b |F ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量G ．若a ＝0，则－a ＝0 答案：EG例2如图10，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的向量．图10解：OA →＝CB →＝DO →， OB →＝DC →＝EO →， OC →＝AB →＝ED →＝FO →.练习：如图11，EF 是△ABC 的中位线，AD 是BC 边上的中线，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：图11(1)与向量CD →共线的向量有________个，分别是________________________________；(2)与向量DF →的模一定相等的向量有________个，分别是______________________；(3)与向量DE →相等的向量有________个，分别是__________．答案：(1)7 DC →、DB →、BD →、FE →、EF →、CB →、BC → (2)5 FD →、EB →、BE →、EA →、AE →(3)2 CF →、FA →课堂小结 通过本节课的学习，要求大家能够理解向量的概念；掌握向量的几何表示；理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用．作业习题2.1A 组2,5设计思路1．首先先对本节课教材内容进行分析2．教材内容的安排和处理根据我所教学生的特点，我对教材进行了如下处理，先由物理中的位置关系导入新课，然后提出问题，并要求学生带着问题去阅读课本，最后由老师总结，并对概念进行概念辨析，以加大学生的思维的深度，拓宽了学生的视野，实现本节课难点的突破，整堂课充分发挥学生的主导作用．3．教法“问题是数学的灵魂，也是学好数学的必然手段”，本节课总体上以问题串的形式，设计为七问五练．着重抓四个知识点，突出学生的“主导地位”．并通过多媒体课件的演示，直观展示向量的有关内容，激发学生的兴趣．4．学法指导以问题为载体，通过提问、阅读、归纳，练习的过程，掌握思考、讨论、交流的学习方法，并体验探究和发现的乐趣．。
人教A版数学必修4 课件 平面向量
始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图
形是( B )
A．一条线段
B．一条直线
C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为 1 的圆
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
3.判断下列各命题的真假：
（1）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；
（2）向量 a 与向量b 平行，则 a 与 b 的方向相同或 相反；
A
D
F
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
B
C E
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
A
D
F
B
C E
解：(1) D E E F F C A F D A D B
FDCEEB
( 2 ) D E F C A F F D C E E B
(3)DE∥FC∥AF∥AC FD∥CE∥EB∥CB
A（起点）
(1)几何表示法：有向线段（起点、方向、长度 ）
(2)字母表示法： a , b , AB
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
【即时训练】
下列说法正确的是（ D） A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以 比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小.
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
【易错点拨】 两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且 方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向 量之间只有相等关系，没有大小之分，对于向
高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.1.1平面向量的背景及其基本概念》课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法 要充分理解与向量有关的概念， 明白它们各自所表示 的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关 键．
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【变式 1】 下列说法正确的是(
)．
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 解析 A 中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，∴A
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解析 (1)错误．由|a|＝|b|仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它 们方向的关系． (2)错误.0 的模|0| ＝0. (3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意 移动的． (4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可， → 、CD → 必须在同一直线上． 并不要求两个向量AB 答案 (3)
不能漏掉“→”．
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2．共线向量 (1)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相 同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中 “共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义． (2)共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同且模不 等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．这样，也就找到 了共线向量与相等向量的关系， 即共线向量不一定是相等向量， 而相等向量一定是共线向量． (3)如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行 向量．
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【变式 3】 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E、F、D 分 别是 AC、AB、BC 的中点． → (1)写出与EF共线的向量； → (2)写出与EF的模相等的向量； → 相等的向量． (3)写出与EF
人教a版必修4学案：2.1平面向量的实际背景及基本概念(含答案)
回顾归纳 对于命题判断正误题， 应熟记有关概念， 看清、 理解各命题， 逐一进行判断， 有时对错误命题的判断只需举一反例即可． 变式训练 1 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意|a|＝|b|，且 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； (4)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反．
第二章 § 2.1
平面向量
平面向量的实际背景及基本概念
自主学习
知识梳理 1．向量的概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如速度、位移、力等． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等． 注意：数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 2．向量的几何表示 (1)有向线段：带有________的线段叫做有向线段，其方向是由________指向________， → 以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB. 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它 的终点就唯一确定． → → → (2)向量的有关概念：向量AB的________，也就是向量AB的长度(或称模)，记作|AB|.长 度为______的向量叫做零向量，记作 0.长度等于______个单位的向量，叫做单位向量． (3)向量的表示法： ①几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向； ②字母表示：用一个小写的英文字母表示，或用表示向量的有向线段的 ________ 和 ______的字母表示． (4)平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量 a 与 b 平行， 通常记为 a∥b.规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量 a，都有 0∥a. 3．相等向量与共线向量 (1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量 a 与 b 相等，通常 记为 a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起 点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量． (2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫 共线向量． 自主探究 谈谈你对平行向量、共线向量、相等向量这三个概念的认识．
人教版数学必修四 平面向量的实际背景及基本概念 说课
• 4．从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素 （方向、大小）及向量可以平移的特点．
• 学习新课之前，我先介绍两个预备知识。
• 预备知识1：如果由你来简略介绍实数，你准备介绍什么？按 照什么顺序介绍？
• 请看投影.同学们思考的基本线索可能是：什么是实数→几何 表示→特殊的实数→简单的相互关系等．）
• 反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的 重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性 质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通 过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．
• 如果采用全新的思维视角，恰当的教与学，可以使得向量不仅 生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.
• 建议教学时，可以渗透在具体内容中，不必作抽象讲解， 以避免空洞说教．
• §2.1是《平面向量》的最基本内容，教材首先从学生熟知的力、位 移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了 平面向量的有关知识.
• 这节课将直接影响到我们对向量的进一步研究和学习，如向量间 关系、向量的加法、减法以及乘法等运算，还有向量的坐标运算 等．
• 基于以上分析，具体教学时，需要设计一个能让学生开展概括活 动的过程，引导他们经历从具体事例（位移、力、速度等）中领 悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表 示，类比数的集合认识“向量的集合”，类比直线（段）的基本关 系认识向量的基本关系．
• 要使学生从中体会到学情分析】从§2.1内容上看，“平面向量的实际背景及基本概念”概 念多但不难理解，但从“概念的形成”的角度看，本节内容，重要的 不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是获得数学研究对象、 认识数学新对象的基本方法，蕴含了用数学的观点刻画和研究现实 事物的方法和途径，这是一个带有“本源”性质的过程．
人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》教案_14
向量的几何表示教学设计1.教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学4》（人教A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”第一课时。
平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用。
一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法基础。
所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，其教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、渗透研究方法、构建研究蓝图”的大气。
由于是第一课时，所以笔者重点在于章引言，向量概念的引入，向量的表示，零向量、单位向量和平行向量的教学，不讲相等向量和共线向量。
2.教学目标设置课堂教学目标如下.（1）从如何由A点确定B点的位置，速度既有大小和方向抽象出向量的概念并与数量区分；（2）经历从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，掌握向量的几何表示、符号表示，模的表示，感受类比的思想，体会数学的实用性、表达的简洁美；（3）理解从大小看：零向量、单位向量，从方向看：平行向量；（4）体会认识新的数学概念基本思路：1.归纳共性；2.抽象定义；3.符号表示；4.认识特殊；5.研究一般；进而提高提出问题、研究问题的能力；3.学生学情分析（1）在物理学中，已经知道速度，力，位移等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；（2）如何作力的图示；（3）已经经历并了解实数的形成过程；（4）对实际生活中的一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向；（5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而解决问题。
但是，高一学生在思维辨析方面还比较薄弱，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析。
高中数学必修四人教版2.1.2向量的几何表示6ppt课件
问题提出
1、位移和距离这两个量有什么不同？ o
B
1500米
2000米
A
位移既有大小又有方向 距离只有大小没有方向
问题提出
2.现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面 积、体积、温度等，在数学上，为了正确理解、区分这些量，我们引 进向量的概念.
例2、已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2km到达B地，再从B地按南偏东 30°方向飞行2km到达C地，再从C地按西南方向飞行 km到达D地. （ 1 ）画图表示向量 ； (1cm 表示 1km) 2 uuu r uuu r uuu r （B 2）求飞机从 A地到达D地的位移所对应的向量的模和方向 . B C ,CD A ,
B.1 C .2 D.2
例1.试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用 向量表示A地至B、C两地的位移，并求出A地至B、 C两地的实际距离(精确到1km).
(1) AB表示A到B地的位移， 且 | AB | 216km;
(2) AC表示A到C地的位移， 且 | AC | 350km.
1:8000000
五、向量之间的关系：
1. 什么是平行向量？ 方向相同或相反的非零向量叫平行向量.
注： 1）若是两个平行向量，则记为 a // b 2）我们规定,零向量与任一向量平行，即对任意向量 ，
都有
a
0 // a
练习.判断下列各组向量是否平行？
a b
①
a b
B
A C
A B C
②
③
④
向量的平行与线段的平行有什么区别?
①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，
人教A版高中数学必修4《2.1.2 向量的几何表示》_38
2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教学思路： （一）一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
（二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； A B C D A(起点) B （终点）a③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小―长度称为向量的模，记作|AB|.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.（四）理解和巩固：例1 书本75页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）课堂练习：书本77页练习1、2、3题三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示；3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
人教版A版高中数学必修4：向量的几何表示_课件4
思考6：如果非零向量
uuur AB
与
uuur CD
是相反
向量，通过平移使起点A与C重合，那么
终点B与D的位置关系如何？
A
B
D
C
探究（二）：平行向量与共线向量
思考1：如果两个向量所在的直线互相平 行，那么这两个向量的方向有什么关系？
方向相同或相反
2：方向相同或相反的非零向量叫做平行 向量，向量a与b平行记作a//b，那么平行 向量所在的直线一定互相平行吗？
3：零向量0与向量a平行吗？ 规定：零向量与任一向量平行.
思考4：将向量平移，不会改变其长度和方向. 如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条
与点向O，量分a所别在作O直uuAu线r 平=a行，的OuuB直ur 线=bl，，O在uuCulr上=任c，取那一
么点A、B、C的位置关系如何？
a
b
O
c
B
7对于向量a、b、c，若a // b， b // c， 那么a // c吗？
8对于向量a、b、c，若a =b， b =c， 那么a = c吗？
理论迁移
例1 判断下列命题是否正确：
（1）若两个单位向量共线，则这两个向
量相等；
（×）
（2）不相等的两个向量一定不共线；
（× ）
（3）在四边形ABCD中，若向量与共线，
O
F
OB = DC = EO = FA
D
E
例3 如图，在△ABC中，D、E、F分
别是AB、BC、CA边上的点，已知
uuur uuur uuur uuur A D = DB, DF = BE,
求证：DuuEur
=
uuur AF
.
A
人教A版高中数学必修4《2.1.2 向量的几何表示》_67
【解析】因为点K，L分别是AB，BC的中点，所以KL∥AC，KL＝ AC，因为点M，N分别是CD，DA的中点，所以MN∥AC，MN＝ AC，所以KL∥MN，KL＝MN，所以 ＝ .【答案】
4．如图所示四边形ABCD与ABEC都是平行四边形．
图2－1－6
(1)写出与向量 共线的向量；(2)写出与向量A 相等的向量．
学生开始思考。
创设情境，激发学生的求知欲。
活动导学
把目标板书在黑板的右上角，并引领学生进行解读。
一起朗读目标。
以目标引领学习的全过程。
当堂评价
【问题导思】
1．已知向量a是非零向量，则有a>0或a<0，这种说法对吗？
【提示】错误，因为向量包含两个基本要素：模与方向．前一个要素模是数量，可以比较大小，而后一个要素方向是不能比较大小的，但可以说a≠0.
课题名称：2.1.2平面向量的几何表示
课程模块及章节：第二章第二节
教学背景分析
向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学中具有广泛的应用。理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)理解共线向量、相等向量的概念．(难点)正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
教学目标
1．知识与技能
(1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示．
(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．
(3)学会区分平行向量、相等向量和共线向量．
2．过程与方法
通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别．
3．情感、态度与价值观
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教学重点
理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念；理解向量的几何表示
教学难点：
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
教学
过程：
课堂小结
教学
反思
问题：狗能否追上兔子？
结论：狗的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：兔子逃窜的路线AC、狗追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.
（4）平行向量与共线向量的关系。
例题讲解：
例1：
例2：
平面向量的概念和向量的几何表示，向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念。
1这节课能让学生得到的最大收获是什么？
2不足之处在哪个教学环节，出现这种现象的原因是什么？下一阶段如何改进？
情景设置
学生活动
建构数学
数学应用
（3）用有向线段的起点与终点字母：
（4）向量的大小――长度称为向量的模，
记作||.
3几个特殊向量的概念：
（1）零向量
（2）单位向量
（3）平行向量
（4）相等向量
（5）共线向量
思考：（1）零向量和单位向量是从长度上定义的。它们的长度是不变的，但是方向是任意的。
ห้องสมุดไป่ตู้（2）平行向量对方向有限制，长度是任意的。
（3）相等向量对长度和方向都有要求。
向量的概念及表示教学设计
课题
向量的概念及表示
目标
1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生
活中的向量和数量的本质区别.并理解他们之
间的联系；
3．通过学生对向量与数量的识别能力的训练，
问题：同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
1向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
思考：（1）数量与向量有何区别？
（2）如何表示向量？
（3）有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
2向量的表示方法：
（1）用有向线段表示；
（2）用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；