人教高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》测试题B卷
人教B版选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)
第一章导数及其应用测试题一、 选择题1．设 y1 x 2（ ）．，则 y'sin xA ．2x sin x (1x 2 ) cos x2x sin x(1 x 2 ) cos xsin 2xB ．sin2x2x sin x (1x 2 )2x sin x(1 x 2 )C ．sin xD ．sin x2．设 f ( x)ln x21 ，则 f ' (2) （ ）．42C ．1 D ．3A ．B ．55553．已知 f (3)2, f ' (3)2 ，则 lim2x3 f ( x) 的值为（ ）．x3x 3A ． 4B ． 0C ． 8D ．不存在4．曲线 yx 3 在点( 2,8) 处的切线方程为（）．A ． y6x 12 B ． C ． y8x10D ． y 12x 16y2x 325．已知函数 f ( x) ax 3 bx 2cx d 的图象与 x 轴有三个不一样交点(0,0), ( x 1,0) ，(x 2 ,0) ，且 f (x) 在 x1， x 2 时获得极值，则 x 1 x 2 的值为（）A ． 4B ． 5C ． 6D ．不确立6．在 R 上的可导函数 f ( x)1 x 3 1 ax2 2bx c ，当 x (0,1) 获得极大值， 当 x (1,2)32获得极小值，则 b2的取值范围是（）．a 1A ． (1,1)B ． (1,1)C ．( 1,1)D ． ( 1,1)422 42 27．函数 f ( x)1 e x (sin x cos x) 在区间 [0, ] 的值域为（ ）．22A ．[1 , 1e 2 ]B ． (1 , 1e 2 )C ． [1, e 2 ]D ． (1, e2)2 22 2aa2x 2dx （）．8．积分aA．1a2 B．1a 2 C．a2 D ．2 a24 29．由双曲线x 2 y 21，直线 y b, y b 围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体a 2 b2积为（）A．8ab2 B．8a2b C．4a2b D．4ab2 3 3 3 310．由抛物线y2 2x 与直线 y x 4 所围成的图形的面积是（）．A ．1838 16D．16 B．C．3 311．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（）．Ａ． 3 V Ｂ．3 2V Ｃ．34V D．23V二、填空题13．曲线y x3在点 (a, a 3 )( a 0) 处的切线与 x 轴、直线 x a 所围成的三角形的面积为1，则 a _________ 。
【高中数学选修2-2：第一章-导数及其应用-单元测试题
数学选修2-2第一章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1x 2在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[12，2]上的最大值是( )A.134 B.54 C ．8D ．43．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A ．[0，π2]B ．[0，π2]∪[34π，π)C ．[34π，π)D ．[π2，34π]4．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m ＞32C ．m ≤32D ．m ＜325．函数f (x )＝cos 2x －2cos 2x2的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6 6．设f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A ．1B ．0C ．3D.137．经过原点且与曲线y ＝x ＋9x ＋5相切的切线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋25y ＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋25y ＝0D ．以上皆非8．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b ＜0时，f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．既不是增函数也不是减函数9．若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( ) A ．1 s 末 B ．0 s C ．4 s 末D ．0,1,4 s 末11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎜⎛2f(x)d x 等于( )A .34B .45C .56D ．不存在12．若函数f(x)＝sin xx，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a>bB ．a<bC ．a ＝bD ．a 、b 的大小不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若f(x)＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.14．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f(x)＝x ＋sin x ，设a ＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a 、b 、c 的大小关系是________．15．已知函数f(x)为一次函数，其图像经过点(2,4)，且⎠⎜⎛01f(x)d x ＝3，则函数f(x)的解析式为________． 16．(2010·江苏卷)函数y ＝x 2(x ＞0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12分)已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．(1)求a的值；(2)若点A(x0，f(x0))在函数f(x)的图像上，求证：点A关于直线x＝1的对称点B也在函数f(x)的图像上．19．(12分)设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求常数a，b；(2)试判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．21．(12分)(2010·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x1＋x ，x ≥0，其中a >0.(1)若f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )的最小值为1，求a 的取值范围．参考答案 1.答案 A解析 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1、x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.5.答案 A解析 f (x )＝cos 2x －cos x －1，∴f ′(x )＝－2sin x ·cos x ＋sin x ＝sin x ·(1－2cos x )． 令f ′(x )>0，结合选项，选A. 6.答案 D7.答案 D 8.答案 A 9.答案 B解析 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a <0， f (x )＝0在(0,2)上恰好有一个根，故选B.10.答案 D 11.答案 C解析 数形结合，如图．⎠⎜⎛02f(x)d x ＝⎠⎜⎛01x 2d x ＋⎠⎜⎛12(2－x)d x ＝⎪⎪⎪13x 31⎪⎪⎪＋(2x －12x 2)21＝13＋(4－2－2＋12) ＝56，故选C . 12.答案 A解析 f ′(x)＝x cos x －sin xx2， 令g(x)＝x cos x －sin x ，则g ′(x)＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x.∵0<x<1，∴g ′(x)<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，故f ′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b ，故选A .13.答案 23解析 f ′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.14.答案 c<a<b解析 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f ′(x)＝1＋cos x ≥0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b.15.答案 f(x)＝23x ＋83解析 设函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，因为函数f(x)的图像过点(2,4)，所以有b ＝4－2a.∴⎠⎜⎛01f(x)d x ＝⎠⎜⎛01 (ax ＋4－2a)d x ＝[12ax 2＋(4－2a)x] |10＝12a ＋4－2a ＝1.∴a ＝23.∴b ＝83.∴f(x)＝23x ＋83.16.答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x－a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.17.解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 3310＝12－13＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标x 3＝0，x 4＝1－k ，所以S 2＝⎠⎜⎛01-k (x －x 2－kx)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 331－k＝16(1－k)3. 又S ＝16，所以(1－k)3＝12，∴k ＝1－342.18.解析 (1)由函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]单调递增，在区间[1,2)单调递减，∴x ＝1时，取得极大值，∴f ′(1)＝0. 又f ′(x)＝4x3－12x2＋2ax ， ∴4－12＋2a ＝0⇒a ＝4.(2)点A(x0，f(x0))关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(2－x0，f(x0))，f(2－x0)＝(2－x0)4－4(2－x0)3＋4(2－x0)2－1＝(2－x0)2[(2－x0)－2]2－1 ＝x40－4x30＋ax20－1＝f(x0)，∴A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上． 19.解析 f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b. (1)由极值点的必要条件可知：f ′(－2)＝f ′(4)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12－4a ＋b ＝0，48＋8a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－24.或f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b ＝3(x ＋2)(x －4) ＝3x2－6x －24， 也可得a ＝－3，b ＝－24. (2)由f ′(x)＝3(x ＋2)(x －4)．当x ＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x ＜4时，f ′(x)＜0. ∴x ＝－2是极大值点，而当x ＞4时，f ′(x)＞0， ∴x ＝4是极小值点．20.解析 a ≠0(否则f(x)＝b 与题设矛盾)， 由f ′(x)＝3ax2－12ax ＝0及x ∈[－1,2]，得x ＝0. (1)当a ＞0时，列表：f(x)在[0,2]上是减函数．则当x ＝0时，f(x)有最大值，从而b ＝3. 又f(－1)＝－7a ＋3，f(2)＝－16a ＋3，∵a ＞0，∴f(－1)＞f(2)．从而f(2)＝－16a ＋3＝－29，得a ＝2.(2)当a ＜0时，用类似的方法可判断当x ＝0时f(x)有最小值．当x ＝2时，f(x)有最大值．从而f(0)＝b ＝－29, f(2)＝－16a －29＝3，得a ＝－2.综上，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.21.解析 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2. 令 g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时， g ′(x )>0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 22.分析 解答本题，应先正确求出函数f (x )的导数f ′(x )，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．解析(1)f′(x)＝aax＋1－2(1＋x)2＝ax2＋a－2(ax＋1)(1＋x)2，∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，即a·12＋a－2＝0，解得a＝1.(2)f′(x)＝ax2＋a－2 (ax＋1)(1＋x)2，∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0.①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当0<a<2时，由f′(x)>0，解得x> 2－a a.由f′(x)<0，解得x< 2－a a.∴f(x)的单调减区间为(0, 2－aa)，单调增区间为(2－aa，＋∞)．(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1；当0<a<2，由(2)②知，f(x)在x＝2－aa处取得最小值，且f(2－aa)<f(0)＝1.综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞)．欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
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数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2， 令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又 由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝ ， 4＝ － ，所以 ＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝ ，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。
(理)选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题
高二数学(理)选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题x 轴由点A(a,0)移动至点B(b , 0)，并设F 平行于x 轴，如果力F 是质点则f (x)与g(x)满足()A. f(x) g(x) B . f (x) g (x)为常数函数 C. f(x)g(x) 0「 D . f (x)g(x)为常数函数4.函数 3y x3x 在［—1, 2］上的最小值为()A .2B . — 2C. 0D . — 4A.y 3x 4B . y 3x 2C . y 4x 3D . y 4x 59.函数 f(x) 3ax x 1有极值的充要条件是 ( )A.a 0 B .a 0 C . a 0 D .a 010 .曲线 ycosx(0 x)与坐标轴围成的面积是()2、选择题：(每小题5分，共60分) 1.若质点M 受力F 的作用沿所在位置的函数 F = F(x), a < x w b ，则F 对质点所作的功为( A. a F(x)dxbB.bF (x)dx aC . F(x)(a — b)D . F(x)(b — a)2.已知函数f(x)ax 2 c ,且f (1)=2,则a 的值为(A . 13 . f (x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若 f (x)与g(x)满足f(x) g (x),y f (x)可能为(dJ•y LOxA. 曲线A. 6x 2 In (2x 1)上的点到直线 C.D. 02x y0的最短距离是、5 B.2 .5 C.3.5曲线y x 3 3x 21在点(1, -1 )处的切线方程为 6.方程 9x 100的实根个数是 ()3xD5211 .由定积分的几何意义知 A. 4 B1 A.2 n B.4 1( .''1 — x — 1 2)dx =( 0 n — 2 C.~r 1 D.4 12 .若函数f(x)在R 上可导，且 A . e a f (a )>e b f (b ) B f(x)>f ' (X), .e b f (a )>e a f ( b ) a>b 时，下列不等式成立的是 ( )C . e b f (b )>e a f (a ) D. e a f (b )>e b f (a ) 二、填空题：（每小题5分，共20分） 13.已知R 上可导函数f （x ）的图象如图所示,2则不等式（x2x 3）f （x ） 0的解集14. 15. 垂直于直线2x+6y + 1=0且与曲线3x 若函数f （x ） 16.设点P 是曲线y = x 3+ 3x — 5相切的直线方程是 __________ . mx 1是R 是的单调函数，则实数m 的取值范围是 ________ 一 .3x -上的任意一点，P 点处切线倾斜角为，则角的取 3 值范围是—三、解答题：（六小题，共 17 .已知函数f （x ） 在点（1 , 0 ） 70分)3 2 x ax 处相切, bx c 在 x 求 a , b , c2处取得极值,并且它的图象与直线 y 3x 3的值.（10分）18.当x 0时，证明不等式1r 2成立.(10分)19.已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x 1处取得极值，讨论f(1)和f( 1)是函数f (x)的极大值还是极小值；(12分)320. (12 分)已知函数f(x) ax3—(a 2)x2 6x 3 ;2(1)当a 2时，求函数f(x)极小值；(2)试讨论曲线y f (x)与x轴公共点的个数121. （12 分）（2011 江西高考）设 f （x ） = -3x 3+32 (1)若f(x)在T ,+m上存在单调递增区间，求a 的取值范围；316⑵当0<a<2时，f(x)在［1,4］上的最小值为一 三，求f(x)在该区间上的最大值.22. (14 分)(2012 安阳高二检测)设函数 f(x) = x 2- mln x , h(x)= x 2-x + a.(1) 当a = 0时，f(x)>h(x)在(1 ,+s )上恒成立，求实数 m 的取值范围； (2) 当m = 2时，若函数k(x)= f(x)- h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数^x 2 + 2ax.a 的取值范围.高二数学选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题参考 答案：•选择题：1. B2. A3. B4. B5. D6. C7. B8. B9. C 10. C 11.B 12.D12•填空题：13. ( , 1) ( 1,1) (3,)14. y=3x-5 15. [ ,+^) 16. [0, — )[,)32 3解Q f '(x) 3x 2 2ax b f '( 2) 3( 2)2 2a( 2) b 0 12 4a b 0•解答题：17.又f '(1) 3 2a b 3 a 1,b8又 f(x)过(1,0)点,13 a 12 b 1 c 0 c 618.证明：设f x xe 1 x -x 2,贝y 2f' x e x 1 x ，令 g(x) e x 1x,则 g'(x) e x 1当x 0时，g'x e x 10，• g(x)在 0,上单调递增，而g(0) 0，••• g x g(0)0, g(x) 0在0,上恒成立， 即 f'(x)0 在 0,恒成立.二 f (x)在 0,上单 调递增，又 f(0)0^ x 彳 10, - - e 1 xx2 0,即x 0时，2e x 1 x 1 x 2 成立.219 解：f (x) 3ax 22bx 3，依题意，f (1) f ( 1) 0，即3a 2b 3 0,解得 3a 2b 3 0.a 1,b 0 . • f (x) x 33x, f :(x) 3x 23 3(x 1)(x 1).令 f (x) 0，得x1,x 1 .若x ( , 1) (1, )，则f (x)0,故f (x)在(，1)上是增函数，f (x)在(1, )上 是增函数.若x ( 1, 1)，则f (x) 0,故f(x)在(1, 1)上是减函数.所以，f( 1)2是极大 值；f(1) 2是极小值.2a 20.解：(1) f '(x) 3ax 2 3(a 2)x 6 3a(x )(x 1), f (x)极小值为 f (1)a2(2)①若a 0,则f (x) 3(x 1)2， f (x)的图像与x 轴只有一个交点；②若a 0，f (x)极大值为f(1)- 0，Q f(x)的极小值为f(Z) 0， 2 af (x)的图像与x 轴有三个交点；③若0 a 2， f (x)的图像与x 轴只有一个交点；④若a 2，则f '(x) 6(x 1)2 0， f (x)的图像与x 轴只有一个交点；⑤若a 2，由(1)知f (x)的极大值为f(2)4(- 3)230， f(x)的图像与x 轴只有一个交点；aa 44综上知，若a 0, f(x)的图像与x 轴只有一个交点；若a 0， f (x)的图像与x 轴有三个交点。
【高中数学选修2-2：第一章-导数及其应用-单元测试题
数学选修2-2第一章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1x 2在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[12，2]上的最大值是( )A.134 B.54 C ．8D ．43．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值围是( )A ．[0，π2]B ．[0，π2]∪[34π，π)C ．[34π，π)D ．[π2，34π]4．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值围是( )A ．m ≥32B ．m ＞32C ．m ≤32D ．m ＜325．函数f (x )＝cos 2x －2cos 2x2的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π66．设f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →0f x 0＋3Δx －f x 0Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A ．1B ．0C ．3D.137．经过原点且与曲线y ＝x ＋9x ＋5相切的切线方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＋25y ＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋25y ＝0D ．以上皆非8．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b ＜0时，f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．既不是增函数也不是减函数9．若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( ) A ．1 s 末 B ．0 s C ．4 s 末D ．0,1,4 s 末11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则⎠⎜⎛2f(x)d x 等于( )A .34B .45C .56D ．不存在12．若函数f(x)＝sin xx，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a>bB ．a<bC ．a ＝bD ．a 、b 的大小不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若f(x)＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.14．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f(x)＝x ＋sin x ，设a ＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a 、b 、c 的大小关系是________．15．已知函数f(x)为一次函数，其图像经过点(2,4)，且⎠⎜⎛01f(x)d x ＝3，则函数f(x)的解析式为________． 16．(2010·卷)函数y ＝x 2(x ＞0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12分)已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．(1)求a的值；(2)若点A(x0，f(x0))在函数f(x)的图像上，求证：点A关于直线x＝1的对称点B也在函数f(x)的图像上．19．(12分)设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求常数a，b；(2)试判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．21．(12分)(2010·卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x1＋x ，x ≥0，其中a >0.(1)若f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )的最小值为1，求a 的取值围．参考答案 1.答案 A解析 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1、x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32. 5.答案 A解析 f (x )＝cos 2x －cos x －1，∴f ′(x )＝－2sin x ·cos x ＋sin x ＝sin x ·(1－2cos x )． 令f ′(x )>0，结合选项，选A. 6.答案 D 7.答案 D 8.答案 A 9.答案 B解析 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a <0， f (x )＝0在(0,2)上恰好有一个根，故选B.10.答案 D 11.答案 C解析 数形结合，如图．⎠⎜⎛02f(x)d x ＝⎠⎜⎛01x 2d x ＋⎠⎜⎛12(2－x)d x ＝⎪⎪⎪13x 31⎪⎪⎪＋2x －12x 221＝13＋(4－2－2＋12)＝56，故选C . 12.答案 A解析 f ′(x)＝x cos x －sin xx 2，令g(x)＝x cos x －sin x ，则g ′(x)＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x.∵0<x<1，∴g ′(x)<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，故f ′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b ，故选A .13.答案 23解析 f ′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.14.答案 c<a<b解析 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f ′(x)＝1＋cos x ≥0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b.15.答案 f(x)＝23x ＋83解析 设函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，因为函数f(x)的图像过点(2,4)，所以有b ＝4－2a.∴⎠⎜⎛01f(x)d x ＝⎠⎜⎛01 (ax ＋4－2a)d x ＝[12ax 2＋(4－2a)x] |10＝12a ＋4－2a ＝1.∴a ＝23.∴b ＝83.∴f(x)＝23x ＋83.16.答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x－a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.17.解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 3310＝12－13＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标x 3＝0，x 4＝1－k ，所以S 2＝⎠⎜⎛01-k (x －x 2－kx)d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 331－k＝16(1－k)3. 又S ＝16，所以(1－k)3＝12，∴k ＝1－342.18.解析 (1)由函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]单调递增，在区间[1,2)单调递减，∴x ＝1时，取得极大值，∴f ′(1)＝0. 又f ′(x)＝4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝0⇒a ＝4.(2)点A(x0，f(x0))关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(2－x0，f(x0))，f(2－x0)＝(2－x0)4－4(2－x0)3＋4(2－x0)2－1 ＝(2－x0)2[(2－x0)－2]2－1 ＝x40－4x30＋ax20－1＝f(x0)，∴A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上． 19.解析 f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b. (1)由极值点的必要条件可知：f ′(－2)＝f ′(4)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12－4a ＋b ＝0，48＋8a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－24.或f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b ＝3(x ＋2)(x －4) ＝3x2－6x －24， 也可得a ＝－3，b ＝－24. (2)由f ′(x)＝3(x ＋2)(x －4)．当x ＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x ＜4时，f ′(x)＜0. ∴x ＝－2是极大值点，而当x ＞4时，f ′(x)＞0， ∴x ＝4是极小值点．20.解析 a ≠0(否则f(x)＝b 与题设矛盾)， 由f ′(x)＝3ax2－12ax ＝0及x ∈[－1,2]，得x ＝0. (1)当a ＞0时，列表：由上表知，f(x)在[－1,0]上是增函数，f(x)在[0,2]上是减函数．则当x ＝0时，f(x)有最大值，从而b ＝3.又f(－1)＝－7a ＋3，f(2)＝－16a ＋3，∵a ＞0，∴f(－1)＞f(2)．从而f(2)＝－16a ＋3＝－29，得a ＝2.(2)当a ＜0时，用类似的方法可判断当x ＝0时f(x)有最小值． 当x ＝2时，f(x)有最大值．从而f(0)＝b ＝－29, f(2)＝－16a －29＝3，得a ＝－2.综上，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.21.解析 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2. 令 g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时， g ′(x )>0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g(2)＝423，最小值为g(2)＝43.22.分析解答本题，应先正确求出函数f(x)的导数f′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域围求解．解析(1)f′(x)＝aax＋1－21＋x2＝ax2＋a－2ax＋11＋x2，∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，即a·12＋a－2＝0，解得a＝1.(2)f′(x)＝ax2＋a－2ax＋11＋x2，∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0.①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当0<a<2时，由f′(x)>0，解得x> 2－a a.由f′(x)<0，解得x< 2－a a.∴f(x)的单调减区间为(0, 2－aa)，单调增区间为(2－aa，＋∞)．(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1；当0<a<2，由(2)②知，f(x)在x＝2－aa处取得最小值，且f( 2－aa)<f(0)＝1.综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值围是[2，＋∞)．。
高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)
高二数学选修2-2导数及其应用测试题一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．设xx y sin 12-=，则='y （ ）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+-C ．x x x x sin )1(sin 22-+-D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln)(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（ ）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y5．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(- D ．)21,21(-7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为（ ）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe8．积分=-⎰-aadx x a 22（ ）．A ．241a π B ．221a πC ．2a πD ．22a π9．由双曲线12222=-by a x ，直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）A ．238ab π B ．b a 238π C ．b a 234π D ．234ab π 10．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18B ．338C ．316 D ．1611．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 12．某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界 由六段全等的正弦曲线弧)0(sin π≤≤=x x y 组成，其中 曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个 纸花瓣的面积为（ ）． A ．2336π+ B ．223312π+ C ．26π+ D ．22336π+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分。
【高中数学选修2-2：第一章-导数及其应用-单元测试题
数学选修2-2第一章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1x2在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[12，2]上的最大值是( )A.134 B.54 C ．8D ．43．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A ．[0，π2]B ．[0，π2]∪[34π，π)C ．[34π，π)D ．[π2，34π]4．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m ＞32C ．m ≤32D ．m ＜325．函数f (x )＝cos 2x －2cos 2x2的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π66．设f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx→0 错误!＝1，则f ′(x 0)等于( )A ．1B ．0C ．3D.137．经过原点且与曲线y ＝x ＋9x ＋5相切的切线方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＋25y ＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋25y ＝0D ．以上皆非8．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b ＜0时，f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．既不是增函数也不是减函数9．若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A ．1 s 末B ．0 sC ．4 s 末D ．0,1,4 s 末11．设f (x )＝错误!则错误!f(x)d x 等于( ) A .34 B .45 C .56D ．不存在12．若函数f(x)＝sinx x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sinx1x1，b ＝sinx2x2，则a ，b 的大小关系是( ) A ．a>b B ．a<bC ．a ＝bD ．a 、b 的大小不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若f(x)＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.14．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f(x)＝x ＋sin x ，设a ＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a 、b 、c 的大小关系是________．15．已知函数f(x)为一次函数，其图像经过点(2,4)，且⎠⎛01f(x)d x ＝3，则函数f(x)的解析式为________．16．(2010·江苏卷)函数y ＝x 2(x ＞0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12分)已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．(1)求a 的值；(2)若点A(x0，f(x0))在函数f(x)的图像上，求证：点A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上．19．(12分)设x ＝－2与x ＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数a ，b ；(2)试判断x ＝－2，x ＝4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．21．(12分)(2010·重庆卷)已知函数f(x)＝ax 3＋x 2＋bx(其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x 1＋x ，x ≥0，其中a >0.(1)若f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )的最小值为1，求a 的取值范围．参考答案 1.答案 A解析 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1、x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.5.答案 A解析 f (x )＝cos 2x －cos x －1，∴f ′(x )＝－2sin x ·cos x ＋sin x ＝sin x ·(1－2cos x )． 令f ′(x )>0，结合选项，选A. 6.答案 D 7.答案 D 8.答案 A 9.答案 B解析 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a <0， f (x )＝0在(0,2)上恰好有一个根，故选B. 10.答案 D 11.答案 C解析 数形结合，如图．⎠⎜⎛02f(x)d x ＝⎠⎜⎛01x 2d x ＋⎠⎜⎛12(2－x)d x ＝⎪⎪⎪13x310错误!错误! ＝13＋(4－2－2＋12) ＝56，故选C . 12.答案 A解析 f ′(x)＝xcosx －sinxx2，令g(x)＝x cos x －sin x ，则g ′(x)＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x.∵0<x<1，∴g ′(x)<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，故f ′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b ，故选A .13.答案 23解析 f ′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.14.答案 c<a<b解析 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f ′(x)＝1＋cos x ≥0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b.15.答案 f(x)＝23x ＋83解析 设函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，因为函数f(x)的图像过点(2,4)，所以有b ＝4－2a.∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01 (ax ＋4－2a)d x ＝[12ax 2＋(4－2a)x] |10＝12a ＋4－2a ＝1. ∴a ＝23.∴b ＝83.∴f(x)＝23x ＋83.16.答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.17.解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x22－x3310＝12－13＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x2，y ＝kx ，由此可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标x 3＝0，x 4＝1－k ，所以S2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x2－x331－k 0＝16(1－k)3. 又S ＝16，所以(1－k)3＝12，∴k ＝1－342.18.解析 (1)由函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]单调递增，在区间[1,2)单调递减，∴x ＝1时，取得极大值，∴f ′(1)＝0. 又f ′(x)＝4x3－12x2＋2ax ， ∴4－12＋2a ＝0⇒a ＝4.(2)点A(x0，f(x0))关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(2－x0，f(x0))，f(2－x0)＝(2－x0)4－4(2－x0)3＋4(2－x0)2－1 ＝(2－x0)2[(2－x0)－2]2－1 ＝x40－4x30＋ax20－1＝f(x0)，∴A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上． 19.解析 f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b.(1)由极值点的必要条件可知：f ′(－2)＝f ′(4)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12－4a ＋b ＝0，48＋8a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－24.或f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b ＝3(x ＋2)(x －4) ＝3x2－6x －24， 也可得a ＝－3，b ＝－24. (2)由f ′(x)＝3(x ＋2)(x －4)．当x ＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x ＜4时，f ′(x)＜0. ∴x ＝－2是极大值点，而当x ＞4时，f ′(x)＞0， ∴x ＝4是极小值点．20.解析 a ≠0(否则f(x)＝b 与题设矛盾)， 由f ′(x)＝3ax2－12ax ＝0及x ∈[－1,2]，得x ＝0. (1)当a ＞0时，列表：f(x)在[0,2]上是减函数．则当x ＝0时，f(x)有最大值，从而b ＝3. 又f(－1)＝－7a ＋3，f(2)＝－16a ＋3， ∵a ＞0，∴f(－1)＞f(2)． 从而f(2)＝－16a ＋3＝－29， 得a ＝2.(2)当a ＜0时，用类似的方法可判断当x ＝0时f(x)有最小值．当x ＝2时，f(x)有最大值．从而f(0)＝b ＝－29, f(2)＝－16a －29＝3，得a ＝－2.综上，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.21.解析 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2. 令 g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时， g ′(x )>0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 22.分析 解答本题，应先正确求出函数f (x )的导数f ′(x )，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．解析 (1)f ′(x )＝a ax ＋1－错误!＝错误!， ∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，即a·12＋a－2＝0，解得a＝1.(2)f′(x)＝错误!，∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0.①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当0<a<2时，由f′(x)>0，解得x> 2－a a.由f′(x)<0，解得x< 2－a a.∴f(x)的单调减区间为(0, 2－aa)，单调增区间为(2－aa，＋∞)．(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1；当0<a<2，由(2)②知，f(x)在x＝2－aa处取得最小值，且f(2－aa)<f(0)＝1.综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞)．。
选修2-2《导数及其应用》测试题
人教B 版选修2-2《导数及其应用》测试题 姓名 得分 一．选择题：（只有一个结论正确，每小题4分,共60分） 1．曲线123-+=x x y 在点P （－1，－1）处的切线方程是 （ ）A ．1-=x yB ．2-=x yC ．x y =D ．1+=x y2. 曲线f (x )= x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y = 4x －1，则P 0点的坐标为 （ ） A ．（1，0） B ．（2，8） C ．（1，0）和（－1，－4） D ．（2，8）和（－1，－4）3．已知函数x x y 33-=，则它的单调递减区间是 ( ) A.)0,(-∞ B.)1,1(- C. ),0(+∞ D.)1,(--∞及),1(+∞4．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝ ( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 25. .设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ( )A ．2B ． 2-C ． 12-D.126已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝ ( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．27. 下列求导运算正确的是 （ ）xx x D e C x x B x x x A x x sin 2)cos (.log 3)3(.2ln 1)(log .11)1(.2322-='='='+='+ 8. 函数)2ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是 （ ）），和（∞+-+∞---∞2)21,1(.),2(.)21,1(.)1,(.D C B A 9. 设)()(),()(),()(,sin )(112010x f x f x f x f x f x f x x f n n '='='==+， ，)(N n ∈则=')(2005x f （ ） x D x C x B x A cos .cos .sin .sin .--10．已知函数y = f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则000()()limh f x h f x h h→+--= ( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．011. 设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))((0,0x f x P 处切线的倾角的取值范围为]4,0[π，则P 点到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 （ ）ab D ab C aB aA21,0[.]2,0[.]21,0[.]1,0[- 12．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝ ( ) A ．26B ．29C ．212D ．215二.填空题：（每小4分,共20分）13.若过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________． 14.设函数f (x )＝x (e x＋1)＋12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．15.函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 16.如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示， 给出下列判断：(1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增； (2) 函数y=f(x)在区间（-1/2，3）内单调递减；(3) 函数y=f(x)在区间（-2，2）内单调递增；(4) 当x= -1/2时，函数y=f(x)有极大值; (5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值;则上述判断中正确的是 .三.解答题：17.求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝log 2(2x 2＋3x ＋1)．18.设x x a x f ln 6)5()(2+-=，其中R a ∈，曲线)(x f 在点（1，f(1)）处切线与y 轴交于点（0,6）. (1)确定a 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间.19.若函数xe xf x=)(在c x =处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值.20.已知二次函数f (x )满足：①在x =1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x +y =0平行． ⑴求f (x )的解析式；⑵求函数g (x )=f (x 2)的单调递增区间.21.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值。
选修2-2第一单元导数及其应用测试题含解析人教版
选修2-2第一单元导数及其应用测试题（含解析人教版）时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝⎛⎭⎫1，－32 处的切线的倾斜角为( ) A ．－1 B ．45° C ．－45° D ．135°[答案] D[解析] y ′＝x －2，所以斜率k ＝1－2＝－1，因此倾斜角为135°.故选D. 2．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋3x ′＝1＋3x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x )′＝3x ·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x [答案] B[解析] ⎝⎛⎭⎫x ＋3x ′＝1－3x2，所以A 不正确； (3x )′＝3x ln3，所以C 不正确；(x 2cos x )′＝2x cos x ＋x 2·(－sin x )，所以D 不正确；(log 2x )′＝1x ln2，所以B 对．故选B. 3．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图像大致为( )[答案] A[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.4．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－1或a >2D ．a <－3或a >6[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6.因为f (x )既有极大值又有极小值，所以Δ>0，即4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0，解得a >6或a <－3.故选D.5．(2014·山东理，6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4[答案] D [解析] 如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x ，y ＝x 3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8. ∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得S ＝⎠⎛02(4x －x 3)dx ＝(2x 2－x 44)|20＝8－4＝4.6．(2014·黄山模拟)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln22 D ．ln2[答案] B[解析] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.7．(2013·北师大附中高二期中)函数y ＝ln xx 的导数为( )A ．y ′＝1xB ．y ′＝ln x －1x 2C ．y ′＝－1x 2D ．y ′＝1－ln xx2[答案] D[解析] y ′＝(ln x )′·x －(ln x )·x ′x 2＝1－ln xx2. 8．函数f (x )＝x 3－2x ＋3的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝8的位置关系是( ) A ．相切B ．相交且过圆心C ．相交但不过圆心D ．相离[答案] C[解析] 切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.圆心到直线的距离为12＝22<22，所以直线与圆相交但不过圆心．故选C.9．f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由图可知，当b >x >a 时，f ′(x )>0，故在[a ，b ]上，f (x )为增函数．且又由图知f ′(x )在区间[a ，b ]上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D.10．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2[答案] D[解析] ∵y ′＝12e x2，∴在点(4，e 2)处的切线方程为y ＝12e 2x －e 2，令x ＝0得y ＝－e 2，令y ＝0得x ＝2， ∴围成三角形的面积为e 2.故选D.11．(2014·天门市调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.12．(2013·泰安一中高二段测)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B ) [答案] A[解析] 由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin(π2－B )>0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )>f (cos B )，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．经过点(2,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程为______________．[答案] x ＋y －2＝0[解析] 设切点为⎝⎛⎭⎫x 0，1x 0，则1x 0x 0－2＝－1x 20，解得x 0＝1，所以切点为(1,1)，斜率为－1，直线方程为x ＋y －2＝0.14．若函数f (x )＝ax 2－1x 在(0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x 2≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立．∴a ≥0.15．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)， 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0，f (1)<0，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)<0，f (1)>0，∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316.16．(2014·泉州实验中学期中)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－3，－2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ， 又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－2，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)． 因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．19．(本题满分12分)求定积分⎠⎛－11f (x )d x ，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －1 (x ≤0)x 2 (x >0).[解析] ⎠⎛－11 f (x )d x ＝⎠⎛－10 f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x＝⎠⎛－11 (sin x －1)d x ＋⎠⎛01x 2d x＝(－cos x －x )|0－1＋13x 3|10 ＝cos1－2＋13＝cos1－53.20．(本题满分12分)已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．[解析] 依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . 若f (x )在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上有f ′(x )≥0.恒成立．∵f ′(x )≥0⇔t ≥3x 2－2x ，由于g (x )＝3x 2－2x 的图象是对称轴为x ＝13，开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.而当t ≥5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0， 即f (x )在(－1,1)上是增函数． 故t 的取值范围是t ≥5.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R . (1)若f (x )在x ＝3处取得极值，求常数a 的值； (2)若f (x )在(－∞，0)上为增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)． 因f (x )在x ＝3处取得极值，所以f ′(3)＝6(3－a )(3－1)＝0，解得a ＝3. 经检验知当a ＝3时，x ＝3为f (x )的极值点． (2)令f ′(x )＝6(x －a )(x －1)＝0得x 1＝a ，x 2＝1.当a <0时，若x ∈(－∞，a )∪(1，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，a )和(1，＋∞)上为增函数．当0≤a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．当a ≥1时，若x ∈(－∞，1)∪(a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)和(a ，＋∞)上为增函数，从而f (x )在(－∞，0)上为增函数． 综上可知，当a ≥0时，f (x )在(－∞，0)上为增函数． 22．(本题满分14分)设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a >0)．(1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．[解析] (1)f ′(x )＝a e x －1a ex ，当f ′(x )>0，即x >－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增； 当f ′(x )<0，即x <－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)．所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12.故a ＝2e 2，b ＝12.。
高考理科数学(选修2-2) 第一章导数及其应用 本章达标测评【含答案】
第一章本章达标测评一、单选题1．一个物体的运动方程为s(t)= 1-t+t ²，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是 ( ) A ．5米／秒 B.6米／秒 C ．7米／秒 D ．8米／秒 2．下列求导运算正确的是 ( ) A ．B ．C ．(χ²cos χ)’=-2χsin χD ．3．已知函数f(χ)=2In 3χ+8χ+1，则值为 ( )A.10 B ．-10 C.-20 D ．20 4．若，则实数a 等于 ( )A.-1B.1 C ． D ． 5．已知函数,χ∈R ，若f(χ)+9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．B ． C.D ．6．已知函数为偶函数，若曲线y=f(χ)的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于 ( )χχ=)'n 11(1)'e (+=x e x x 211)'1(x x x -=+xf x f oim∆-∆-→∆)1()21(l χ⎰=+2π02)cos (sin dx x a x 3-3mx x x f 332421)(+-=23≥m 23>m 23≤m 23<m x ae x e x f -+=)(23A ．In 2B ．21n 2C ．2D ． 7．已知函数是函数的导函数，则的图象大致是 ( )8．若曲线y=In （χ+a ）的一条切线为y=e χ+b ，其中a ，b 为正实数，则的取值范围是 ( )A ．B ． C. D ．[2，e)9．若函数χ在(1，+∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞ ,1)D.(-∞,1] 10.若a>2，则方程在(0，2)上恰好有 ( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根2xf x x x f ',cos 241)(+=)(x f )('x f 2++b ea ),22(+∞+ee [)+∞,e [)+∞,2na x x f 1221)(-=012331=+-ax x11.若函数，且0<χ₁<χ₂<1，设，，则a,b 的大小关系是( )A ．a>bB ．a<bC ．a=bD ．a 、b 的大小不能确定12．设函数f ’(χ)是函数f(χ)(χ∈ R)的导函数，若f(χ)-f( -χ)= 2χ³，且当x>0时，f ’(χ)>3χ²，则不等式f(χ)-f(χ-1)>3χ²-3χ+1的解集为 ( )A ．(-∞,2)B ．C ．D ．（2，+∞）二．填空题13．若曲线y=a χ²-1n(x+1)在点(1，b)处的切线平行于x 轴，则a=____． 14.定义1：若函数f(χ)在区间D 上可导，即f ’(χ)存在，且导函数f ’(χ)在区间D 上也可导，则称函数f(χ)在区间D 上存在二阶导数，记作f ’(χ)，即f ’(χ)=[f ’(χ)]’．定义2：若函数f(χ)在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ’(χ)>0恒成立，则称函数f(χ)在区间D 上为凹函数． 已知函数f(χ)=χ³-+1在区间D 上为凹函数，则χ的取值范围是_________ ．15.要数一个圆锥形漏斗，其母线的长为20 cm ，要使体积最大，则高为____． 16.函数y=χ²(χ>0)的图象在点（，a ）处的切线与χ轴的交点的横坐标为，其中k ∈N*，若a ₁=16，则a ₁+a ₃+a ₅，的值是_______三．解答题x x x f sin )(=11sin xx a =22sin x x b =),21(+∞)21,(-∞223x k a2k1+k a17．已知函数．(1)求函数在区间[1，e]上的最大值、最小值；(2)求证：在区间[1，+∞）上，函数的图象在函数的图象的下方.18.设函数=(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在区间（-1，1）内单调递增，求k 的取值范围．19.已知函数=χIn χ，g （χ）=（-χ²+a χ-3）(a 为实数)． (1)当a=5时，求函数y=g （χ）的图象在χ=1处的切线方程；(2)若关于x 的方程g(χ)=在上有两个不相等的实数根，求实数anxx x f 1221)(+=)(x f )(x f 332)(x x g =)(x f )0(≠k kx xe )(x f )(x f )(x f xe )(2xf x e ⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1的取值范围．20.设=xIn χ-a χ²+（2a-1）χ，a ∈R ． (1)令g （χ）=，讨论g(χ)的单调性；(2)已知在χ=1处取得极大值，求实数a 的取值范围.21.经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经成为整个电商行业的大型集体促销盛宴，为庆祝“双十一”网购狂欢节，某厂商决定对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P （万件）与促销费用菇（万元）满足（其中0<χ≤a ，a 为正常数）．已知生产该批产品P 万件还需投入成本( 10+2P)万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元／件，假定厂)(x f )('x f )(x f 123+-=x p )204(p+家的生产能力完全能满足市场的销售需求．(1)将该产品的利润，y （万元）表示为关于促销费用χ（万元）的函数; (2)促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？22.已知函数=χ³+（1-a ）χ²-a(a+2)x+b ，a ，b ∈R. (1)若函数在区间（-1，1）上不单调，求a 的取值范围； (2)令，若对任意χ₁∈[-1,1]，存在χ₂∈[0，2]，使得f ’(χ₁) +2aχ₁=g(χ₂)成立，求a 的取值范围．第一章本章达标测评 一、选择题1．C 由题知s ’(t)= - 1+2t ’s ’(4)=7，故选C ．2．DA 项，;)(x f )(x f 31619)(-=x x g 2)1(1)'11(nx x nx -=B 项，C 项，D 正确，故选D ． 3．C，,故选C ．4.B ,=0-（-1）+a=2，a=1，故选B ．5.A,f ’(χ)=2χ³-6χ²，令，f ’(χ)=0，得χ=0或χ=3． 易知χ=3是函数的最小值点，所以函数f(χ)的最小值为f( 3)= 3m-．因为不等式f(χ)+9≥0恒成立，即f(χ)≥-9恒成立，所以3m-≥-9，解得m ≥，故选A ．6．A 因为f(χ)是偶函数，所以f(χ)=f(-x ），即 ，解得a=1．所以f(χ)=，所以f ’(χ)=，设切点的横坐标为χₒ，则.设t=，则，解得t=2，即，所以χₒ=In 2，故选A ．x xe x e x xe +=)'(x x x x x x sin 2cos 2)'cos 2(-=836)('+=x x f 20)1('22)1()21(0lim 2)1()21(0lim-=-∆--∆-→∆-=∆-∆-→∆f x f x f x x f x f x ⎰=+202)cos (sin πdx x a x 2020sin 2020)cos (cos sin ππππ⎰⎰+-=+xa x xds a xdx 22722723)(x ae x ae x e --+-+x e x e -+x e x e --230)0('0=--=x e x e x f )0(0>t x e 231==t t 20=x e7．A 由于f(χ)=，f ’(χ)= ,f ’(-χ)=-f ’(χ),故f ’(χ)为奇函数，其图象关于原点对称， 排除B 和D ，又当时，排除C ．故选A ．8.C 由题意得，设切点为（χₒ，y ₒ），则有解得b=ae-2，b>0,,，当且仅当a=1时，等号成立，故选C ．9．D 由题意知f ’(χ)=。
选修2-2人教版第一章--导数与应用测试(含答案)
第一章 导数与应用姓名：__________班级：__________一、选择题1.函数)22(9323<<---=x x x x y 有 （ ）A.极大值5，极小值－27；B. 极大值5，极小值－11； C .极大值5，无极小值； D .极小值－27，无极大值. 2.直线y x =与曲线y 围成的平面图形的面积是. （ ）A ．14 B ．2 C ．1 D ．123.设,35,3)21,0(4)(24最小值为的最大值为≤≤>+-=x a b ax ax x f 则a 、b 值依次为 （ ）A ．31 , 3 B ．3 , 31 C ．—31, 3 D ．—31, —3 4.曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．29e 2Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e 5.若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞-6.函数x x x x f cos sin cos )(23-+=上最大值等于 （ ）A ．274 B ．278 C ．2716 D ．27327.函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 （ ）A.)3,3(-B.)11,4(-C. )3,3(-或)11,4(-D.不存在8.函数1,(10)()cos ,(0)2x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．32 B ． 1 C ． 2 D ．12 9.在1[,2]2x ∈上，函数2()f x x Px q =++与33()22x g x x=+在同一点取得相同的最小值，那么()f x 在1[,2]2x ∈上的最大值是（ ）A ．134B ．4C ．8D ．5410.函数=)(x f 12+-x x 的最大值为（ ）A ．2-B ．22-C ．3-D ．33- 11.函数f(x)=)(sin 2R x x x ∈-π的部分图象是 （ ）A. B. C. D.12.已知函数2()f x x bx =+的图像在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()n N *∈的前n 项和为n S ，则2009S 的值为（ ） A ．20072008 B ．20082009 C ．20092010 D ．20102011 13.设c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 时取得极大值，当)2,1(∈x 时取得极小值，则12--a b 的取值范围为（ ）A ．)4,1(B ．)1,21(C ．)21,41(D ．)1,41(14.设定义域为R 的函数x x x f 2)(2-=，则关于x 的方程2)()(31)(23+-=x f x f x g ，能让)(x g 取极大值的x 个数为（ ） A.2 B.3 C.５ D.７ 二、填空题15.30|2|x dx -⎰=_____________16.已知某质点的位移s 与移动时间t 满足224t s t e-=⋅，则质点在2=t 的瞬时速度是 ；17.设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ=__________ 18.已知函数f （x ）是以2为周期的偶函数，且当)10(log ,12)(,)1,0(2f x f x x则时-=∈的值为19.已知x x x f cos sin )(1+=，记'21()()f x f x =,'32()()f x f x =,…,)()('1x f x f n n -=)2*,(≥∈n N n ,则122009()()()444f f f πππ+++= ．三、解答题20.已知()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两相等实根，若)('x f 为)(x f 的导函数，且()22f x x '=+ （1）求()f x 的解析式．（2）求函数()y f x =与函数241y x x =--+所围成的图形的面积．21.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥 面工程费用为(2x 万元。
人教版选修2-2第一章导数及(含定积分)其应用测试题
人教版高二数学选修2-2第一章导数及其应用（含定积分）测试题（时间120分钟，分值150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上) 1．已知32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 2、()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定3、y = ） A ．23xB ．213x C ．12- D 4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭6、关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ D ）A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数D ．在区间()(),02,-∞⋃+∞内，)(x f 为增函数 7、曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(1,4)--D.(1,0)和(1,4)--8、已知函数)(x f y =的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是x y 21=+2,则(1)(1)f f '+等于( ）A.1B.52C.3D.09、函数())0f x x =>的导数是（ ） AB C D10．下列结论中正确的是（ ）A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值C ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值D ．如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值 11、积分=-⎰-a adx x a 22（ ）． A ．241a π B ．221a π C ．2a π D ．22a π12、由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18B ．338C ．316 D ．16二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知a 为实数，()()()24f x x x a =--，且()10f '-=，则a =___________． 14、函数x y x e =-上某点的切线平行于x 轴，则这点的坐标为__________． 15、在曲线323610y x x x =++-的切线中，斜率最小的切线方程是____________． 16、已知='+=)0(,cos sin )(f x x xe x f x 则__________ 三、解答题（共70分） 17、（10分）、求曲线y =在点18,4⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程．18、（12分）求定积分 =-+-⎰dx x x 40|)3||1(| ____________。
高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》单元检测卷含解析
⾼中数学选修2-2第⼀章《导数及其应⽤》单元检测卷含解析选修2-2第⼀章《导数及其应⽤》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(⾮选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)⼀、选择题(本⼤题共12个⼩题，每⼩题5分，共60分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的) 1.已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的⼤⼩关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定2．任⼀作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是()A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t3．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点处的切线⽅程为( )A ．y ＝－4x －1B ．y ＝4x －1C ．y ＝4x －11D ．y ＝－4x ＋74．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜⾓为α，则⾓α的取值范围是( )A.0，π2B.0，π2∪2π3，πC.2π3，πD.0，2π35．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)6．下列等式成⽴的是( )A ．?ba 0d x ＝b －aB ．?b a x d x ＝12C ．?1－1|x |d x ＝2?10|x |d xD ．?b a (x ＋1)d x ＝?b a x d x7．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最⼤值为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．若函数f (x )＝a sin x ＋13cos x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( ) A.33 B ．－33 C.36 D ．－369．已知?20 f (x )d x ＝3，则?20[f (x )＋6]d x 等于( )A ．9B ．12C ．15D ．1810．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有⼤于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－1311．函数f (x )＝x 1－x的单调增区间是( ) A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)12．某银⾏准备新设⼀种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正⽐，⽐例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银⾏吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银⾏可获得最⼤利益( )A ．0.012B ．0.024C ．0.032D ．0.036第Ⅱ卷(⾮选择题共90分)⼆、填空题(本⼤题共4个⼩题，每⼩题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是__________．14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R)，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为________．15.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的⾯积的最⼤值是________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表⽰过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜⾓均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．②f (x )的极值点有且只有⼀个．③f (x )的最⼤值与最⼩值之和等于零．其中正确命题的序号为________．三、解答题(本⼤题共6个⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤)17．(本⼩题满分10分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．(本⼩题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值． (1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )。
【高中数学选修2-2：第一章-导数及其应用-单元测试题
【高中数学选修2-2：第一章-导数及其应用-单元测试题数学选修2-2第一章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1x 2在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[12，2]上的最大值是( )A.134 B.54 C ．8D ．43．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A ．[0，π2]B ．[0，π2]∪[34π，π)x＝1的对称点B也在函数f(x)的图像上．19．(12分)设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求常数a，b；(2)试判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．21．(12分)(2010·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．22．(12分)已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋1－x1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．参考答案 1.答案 A解析 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1、x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.5.答案 A解析 f (x )＝cos 2x －cos x －1，∴f ′(x )＝－2sin x ·cos x ＋sin x ＝sin x ·(1－2cos x )． 令f ′(x )>0，结合选项，选A. 6.答案 D 7.答案 D 8.答案 A 9.答案 B解析 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a <0， f (x )＝0在(0,2)上恰好有一个根，故选B. 10.答案 D 11.答案 C解析 数形结合，如图．⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x ＝ ⎪⎪⎪13x 310⎪⎪⎪＋(2x －12x 2)21＝13＋(4－2－2＋12) ＝56，故选C . 12.答案 A解析 f ′(x)＝x cos x －sin xx 2，令g(x)＝x cos x －sin x ，则g ′(x)＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x.∵0<x<1，∴g ′(x)<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，故f ′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b ，故选A .13.答案 23解析 f ′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.14.答案 c<a<b解析 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f ′(x)＝1＋cos x ≥0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b.15.答案 f(x)＝23x ＋83解析 设函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，因为函数f(x)的图像过点(2,4)，所以有b ＝4－2a.∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01 (ax ＋4－2a)d x＝[12ax 2＋(4－2a)x] |10＝12a ＋4－2a ＝1.∴a ＝23.∴b ＝83.∴f(x)＝23x ＋83.16.答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.17.解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 3310＝12－13＝16. 又⎩⎨⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标x 3＝0，x 4＝1－k ，所以S2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx)d x ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－k 2x 2－x 331－k 0＝16(1－k)3. 又S ＝16，所以(1－k)3＝12，∴k ＝1－342.18.解析 (1)由函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]单调递增，在区间[1,2)单调递减，∴x ＝1时，取得极大值，∴f ′(1)＝0. 又f ′(x)＝4x3－12x2＋2ax ， ∴4－12＋2a ＝0⇒a ＝4.(2)点A(x0，f(x0))关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(2－x0，f(x0))，f(2－x0)＝(2－x0)4－4(2－x0)3＋4(2－x0)2－1 ＝(2－x0)2[(2－x0)－2]2－1 ＝x40－4x30＋ax20－1＝f(x0)，∴A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上． 19.解析 f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b. (1)由极值点的必要条件可知：f ′(－2)＝f ′(4)＝0，即⎩⎨⎧12－4a ＋b ＝0，48＋8a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－24.或f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b ＝3(x ＋2)(x －4) ＝3x2－6x －24， 也可得a ＝－3，b ＝－24. (2)由f ′(x)＝3(x ＋2)(x －4)．当x ＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x ＜4时，f ′(x)＜0. ∴x ＝－2是极大值点，而当x ＞4时，f ′(x)＞0， ∴x ＝4是极小值点．20.解析 a ≠0(否则f(x)＝b 与题设矛盾)，由f′(x)＝3ax2－12ax＝0及x∈[－1,2]，得x＝0.(1)当a＞0时，列表：x (－1,0) 0 (0,2)f′(x) ＋0 －f(x) 增极大值b 减由上表知，f(x)在[－1,0]上是增函数，f(x)在[0,2]上是减函数．则当x＝0时，f(x)有最大值，从而b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，∵a＞0，∴f(－1)＞f(2)．从而f(2)＝－16a＋3＝－29，得a＝2.(2)当a＜0时，用类似的方法可判断当x＝0时f(x)有最小值．当x＝2时，f(x)有最大值．从而f(0)＝b＝－29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－2.综上，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.21.解析(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b.因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2.令 g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时， g ′(x )>0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 22.分析 解答本题，应先正确求出函数f (x )的导数f ′(x )，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．解析 (1)f ′(x )＝aax ＋1－2(1＋x )2＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2， ∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，即a ·12＋a －2＝0，解得a ＝1. (2)f ′(x )＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2，∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0.①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当0<a<2时，由f′(x)>0，解得x> 2－a a.由f′(x)<0，解得x< 2－a a.∴f(x)的单调减区间为(0, 2－aa)，单调增区间为(2－aa，＋∞)．(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1；当0<a<2，由(2)②知，f(x)在x＝2－aa处取得最小值，且f(2－aa)<f(0)＝1.综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞)．。
(完整版)高中数学选修2-2第一章导数测试题
f
－13
59 ＝－ 27<0，f(1)
＝－ 1<0，故函数 f(x)的图象与 x 轴仅有一个交点，且交点横坐标在
－∞，－
1 3
内，故选
A.
11.C 当 1≤x≤2 时， f′(x)≥0，则 f(2)≥f(1)；
而当 0≤x≤1 时， f′(x)≤0，则 f(1)≤f(0)，
从而 f(0)＋f(2)≥2f(1)．
sinx
|π20＝1，
0
π M<N，不满足条件 M>N，则 S＝M＝4.
n 15.n＋1
解析： f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，得 m＝ 2， a＝1.
则
f( x)＝ x2＋x， f
1 n
＝n
1 n＋ 1
11 ＝ n－ n＋1，
其和为
11－12
＋
12－13
＋
13－
1 4
＋…＋
11 n－n＋ 1
20．解： (1)由条件得
a×102＋15001× 10－ bln1＝ 19.2
，
a×
202＋
101 50 ×
20－
bln2＝
35.7
解得 a＝－ 1100，b＝1，
则
f(
x)＝－
1x020＋
101 50 x－
x ln10(x≥
10)．
(2)由题意知
T(x)
＝f
(x)－
x＝－
1x020＋5510x－
16．已知函数 f(x)＝12mx2＋lnx－2x 在定义域内是增函数，则实数 m 的取值范围为 ________．
三、解答题 (写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共 70 分)
高中数学选修2-2第1章《导数及其应用》单元测试题[1](可编辑修改word版)
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25 yyO xOx选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试题一、选择题：(每小题有且只有一个答案正确，每小题 5 分，共 50 分) 1. 下列结论中正确的是（ ）A. 导数为零的点一定是极值点B. 如果在 x 0 附近的左侧 f '(x ) > 0 ，右侧 f '(x ) < 0 ，那么 f (x 0 ) 是极大值C. 如果在 x 0 附近的左侧 f '(x ) > 0 ，右侧 f '(x ) < 0 ，那么 f (x 0 ) 是极小值D. 如果在 x 0 附近的左侧 f '(x ) < 0 ，右侧 f '(x ) > 0 ，那么 f (x 0 ) 是极大值2. 已知函数 f (x ) = ax 2 + c ,且 f '(1) =2,则 a 的值为（）A ．1B ．C ．－1D ．03.f (x ) 与g (x ) 是定义在 R 上的两个可导函数，若 f (x ) 与 g (x ) 满足 f '(x ) = g '(x ) ，则 f (x ) 与 g (x ) 满足()A.f (x ) =g (x )B ． f (x ) - g (x ) 为常数函数C ． f (x ) = g (x ) = 0D ． f (x ) + g (x ) 为常数函数4. 函数 y = x 3 - 3x 在[－1，2]上的最小值为（）A ．2B ．－2C ．0D ．－45. 设函数 y =f (x ) 在定义域内可导， y = f (x ) 的图象如图 1 所示，则导函数 y = f '(x ) 可能为（）图 1ABC D6．方程 x 3 - 6x 2 + 9x - 10 = 0 的实根个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．07. 曲线 y = ln(2x -1) 上的点到直线2x - y + 8 = 0 的最短距离是 （）A.B ． 2 3C ． 3D ．0 8.曲线 y = cos x (0 ≤ x ≤ 2 5) 与坐标轴围成的面积是（） A ．4B ．C ．3D ．229.设 p : f (x ) = e x + ln x + 2x 2 + mx + 1在(0,+∞) 内单调递增， q : m ≥ -5 ，则 p 是 q 的（）A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件5 5yOxyOxyOxn 1 2 n 0-1C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 设曲线 y = xn +1(n ∈ N *) 在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x ,则 x ⋅ x⋅ ⋅ x的值为（ ）1 A.B ．n1 n +1nC ．n +1D ．1二、填空题：(每小题 5 分，共 25 分)11．若 f (x ) = e - 1 x，则lim t →0 f (1- 2t ) - f (1)t=.12． ⎰2(3x 2+ k )dx = 10,则k =；⎰83xdx =.13. 由曲线 y = x 2 + 2 与 y = 3x ， x = 0 ， x = 2 所围成的平面图形的面积为.14. 已 知 R 上 可 导 函 数 f (x ) 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 不 等 式(x 2 - 2x - 3) f '(x ) > 0 的 解集.15. 已知二次函数 f (x ) = ax 2 + bx + c 的导数为 f '(x ) ， f '(0) > 0 ，对于任意实数 x ，有 f (x ) ≥ 0 ，则f (1) f '(0)最小值为 .三、解答题：(共 75 分) 16．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = x 3 - 3x 2 - 9x + 11（1） 写出函数 f (x ) 的递减区间；（2） 讨论函数 f (x ) 的极大值或极小值，如有试写出极值；17．（本小题满分 12 分）当 x > 0 时，证明不等式e x > 1 + x + 1x 2 成立.218．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c 在 x = -2 处取得极值,并且它的图象与直线 y = -3x + 3在点( 1 , 0 ) 处相切, 求 a , b , c 的值.19．（本小题满分 12 分）如图所示，等腰三角形△ABC的底边 AB= 6 ，高CD=3，点 E 是线段 BD 上异于 B、D 的动点，点 F 在BC 边上，且EF⊥AB，现沿 EF 将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记 BE=x，V（x）表示四棱锥 P-ACEF的体积。
人教高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》测试题B卷
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》测试题B 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）1．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1) ( )A ． －1B ．－2C ．8D ．02．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04p轾犏犏臌，，则点P 横坐标的取值范围为( )A ．1-1-2轾犏犏臌，B ．[]-1,0C ．[]0,1D ．1,12轾犏犏臌3.函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R4．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－2,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)5. f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则 ( ) A ．f (x )=g (x )B ．f (x )－g (x )为常数函数C ．f (x )=g (x )=0D ．f (x )+g (x )为常数函数6．函数f (x )＝x 3－3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）A ．1，－1B ．3，-17C ．1，－17D ．9，－197．已知1()sin cos f x x x =+，1()n f x +是()n f x 的导函数，即21()()f x f x ¢=，32()()f x f x ¢=，…，1()()n n f x f x +¢=，n ∈*N ，则2014()f x = ( )A ．sin cos x x +B ．sin cos x x -C ．sin os x c x -+D ．sin os x c x --8．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．2129．已知点P 是曲线2ln y x x =-上的一个动点，则点P 到直线l ：2y x =-的距离的最小值为( ) A ．1B ．2C ．22D ．310.设f(x)＝13x 3＋12a x 2＋2bx ＋c ，当x ∈(0,1)时取得极大值，当x ∈(1,2)时取得极小值，则b －2a －1的取值范围为( ) A.(1,4) B.(12，1) C.(14，12) D.( 14，1) 二．填空题（每小题6分, 共24分）11.函数y ＝－23x 3＋(a ＋1a )x 2－2x ＋4(a<－1)的递减区间为 .12．3239x --ò= .13．已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m ＝________.14. 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f '(n )的最小值是________． 三、解答题（共计76分）15．（本题满分12分） 设函数32()2f x x x x =-+-（x ∈R ）． (Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； (Ⅱ）求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值与最小值.16.（本题满分12分）设函数3221()23,0 1.3f x x ax a x b a =-+-+<< ⑴求函数()f x 的单调区间、极值.⑵若当[]1,2x a a ?+时，恒有()f x a ¢£，试确定a 的取值范围.．17．（本题满分12分）某汽运集团公司生产一种品牌汽车，上年度成本价为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5万辆．本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售．设本年度成本价比上年度降低了x (0<x <1)，本年度出厂价比上年度降低了0.9x .(1)若本年度年销售量比上年度增加了0.6x 倍，问x 在什么取值范围时，本年度的年利润比上年度有所增加？(2)若本年度年销售量y 关于x 的函数为y ＝2 011·259307()34289x x -++，则当x 为何值时，本年度年利润最大？18．（本题满分12分）已知函数()1ln ().f x ax x a R =--? (1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数；(2）若函数()f x 在1x =处取得极值，对(0,)x ∀∈+∞,()2f x bx ?恒成立， 求实数b 的取值范围.19．（本题满分14分）已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数，设e 为自然对数的底数． (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值； (3)当a ＝－1时，试推断方程|f (x )|＝ln x x ＋12是否有实数解．20. （本题满分14分）已知函数.()()()21212ln 2f x ax a x x a R =-++∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和处的3x =切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设，若()22g x x x =-对任意(]10,2x ∈，均存在(]10,2x ∈，使得()()12f x g x <高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》测试题A 卷答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分） 1. 【答案】C【解析】∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.2. 【答案】 A【解析】22y x ¢=+因为切线倾斜角的范围是0,4p轾犏犏臌，所以斜率的范围是[]0,1即0221x ??∴112x-＃-. 3. 【答案】 A 【解析】因为()1ef x x¢=+，由()0f x ¢>得x e >-。
人教新课标版数学高二人教数学B版选修2-2练习第一章《导数及其应用》测试
章末质量评估(一)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为( )．A ．－135°B ．45°C ．－45°D ．135°解析 y ′＝x －2，所以斜率k ＝1－2＝－1，因此，倾斜角为135°. 答案 D2．下列求导运算正确的是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1＋3x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1－3x 2，所以A 不正确；(3x )′＝3x ln 3，所以C 不正确；(x 2cosx )′＝2x cos x ＋x 2·(－sin x )，所以D 不正确；(log 2x )′＝1x ln 2，所以B 正确．故选B. 答案 B 3．|sin x |d x 等于( )．A ．0B ．1C ．2D ．4解析 |sin x |d x ＝sin x d x ＋(－sin x )d x ＝()－cos x ⎪⎪⎪π＋cosx ⎪⎪⎪2ππ＝1＋1＋1＋1＝4. 答案 D4．函数y ＝1＋3x －x 3有( )．A ．极小值－1，极大值1B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－2，极大值2D ．极小值－1，极大值3解析 y ′＝－3x 2＋3，令y ′＝0得，x ＝1或x ＝－1， ∴f (1)＝3，f (－1)＝－1. 答案 D 5．函数f (x )＝x 2x －1( )．A ．在(0,2)上单调递减B ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增C ．在(0,2)上单调递增D ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减 解析 f ′(x )＝2x (x －1)－x 2(x －1)2＝x 2－2x(x －1)2＝x (x －2)(x －1)2. 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2.∴x ∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f ′(x )>0. x ∈(0,1)∪(1,2)时，f ′(x )<0. 答案 B6．函数y ＝x 4－4x ＋3在区间[－2,3]上的最小值为( )．A ．72B ．36C ．12D ．0解析y′＝4x3－4，令y′＝0,4x3－4＝0，x＝1，当x<1时，y′<0；当x>1时，y′>0得y极小值＝y|x＝1＝0，而端点的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，得y min＝0.答案 D7．一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(力单位：N，位移单位：m)作用力下，沿与力F(x)相同的方向由x＝5 m直线运动到x＝10 m处做的功是()．A．925 J B．850 J C．825 J D．800 J解析W＝F(x)d x＝(3x2－2x＋5)d x＝(x3－x2＋5x)⎪⎪105＝(1 000－100＋50)－(125－25＋25)＝825 (J)．答案 C8．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()．A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析因为f(x)有极大值和极小值，所以导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)有两个不等实根，所以Δ＝4a2－12(a＋6)＞0，得a＜－3或a＞6.答案 D9．已知f(x)的导函数f′(x)图象如右图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的()．解析∵x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数；同理f(x)在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．答案 A10．由直线y＝x，y＝－x＋1及x轴围成平面图形的面积为()．解析画出图形，由定积分定义可知选C.答案 C11．设曲线y＝x n＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则log2 010x1＋log2 010x2＋…＋log2 010x2 009的值为( )．A ．－log 2 0102 009B ．－1C ．(log 2 0102 009)－1D ．1解析 ∵y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1.所以log 2 010x 1＋log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009 ＝log 2 010(x 1·x 2·…·x 2 009)＝log 2 010⎝ ⎛⎭⎪⎫12·23·…·2 0092 010＝log 2 01012 010＝－1. 答案 B12．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 ( ) A.14 B.13 C.12D.23解析 面积为(t 2－x 2)d x ＋ (x 2－t 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3⎪⎪ t 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x ⎪⎪1t ＝43t 3－t 2＋13， 下面求函数f (t )＝43t 3－t 2＋13在(0,1)上的最小值．f ′(x )＝4t 2－2t ，在⎝⎛⎭⎪⎫0，12上f ′(t )<0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上f ′(t )>0，所以f (t )＝43t 3－t 2＋13在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，所以当t ＝12时，f (t )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫123－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋13＝14.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值为________． 解析 f ′(x 0)＝3x 20＝3，∴x 0＝±1. 答案 ±114．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线的方程为________． 解析 由于y ′＝1x ，∴k ＝y ′|x ＝e ＝1e ，故切线的方程为y －1＝1e (x －e)，故y ＝1ex . 答案 1e x －e y ＝015．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________． 解析 由y ′＝3x 2＋2x －5>0得x <－53，或x >1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35，(1，＋∞)16．若(x －k )d x ＝32，则实数k 的值为________．解析 ∫10(x －k )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－k x ⎪⎪⎪10＝12－k ＝32，∴k ＝－1. 答案 －1三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程． 解 (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a . ∵f (x )在x ＝3处取得极值，∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3.∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.(2)A点在f(x)上，由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，f′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y＝16.18．(10分)给定函数f(x)＝x33－ax2＋(a2－1)x和g(x)＝x＋a2x.(1)求证：f(x)总有两个极值点；(2)若f(x)和g(x)有相同的极值点，求a的值．(1)证明因为f′(x)＝x2－2ax＋(a2－1)＝[x－(a＋1)]·[x－(a－1)]，令f′(x)＝0，解得x1＝a＋1，x2＝a－1.当x<a－1时，f′(x)>0；当a－1<x<a＋1，f′(x)<0.所以x＝a－1为f(x)的一个极大值点．同理可证x＝a＋1为f(x)的一个极小值点．所以f(x)总有两个极值点．(2)解因为g′(x)＝1－a2x2＝(x－a)(x＋a)x2.令g′(x)＝0，则x1＝a，x2＝－a.因为f(x)和g(x)有相同的极值点，且x1＝a和a＋1，a－1不可能相等，所以当－a＝a＋1时，a＝－1 2；当－a＝a－1时，a＝1 2.经检验，当a＝－12和a＝12时，x1＝a，x2＝－a都是g(x)的极值点．19．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－1与x＝2处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－2,3]，不等式f (x )＋32c <c 2恒成立，求c 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意得⎩⎨⎧ f ′(－1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎨⎧3－2a ＋b ＝0，12＋4a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－6.∴f (x )＝x 3－32x 2－6x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－3x －6. 令f ′(x )<0，解得－1<x <2； 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >2. ∴f (x )的减区间为(－1,2)，增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)． (2)由(1)知，f (x )在(－∞，－1)上单调递增； 在(－1,2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增． ∴x ∈[－2,3]时，f (x )的最大值即为 f (－1)与f (3)中的较大者． f (－1)＝72＋c ，f (3)＝－92＋c . ∴当x ＝－1时，f (x )取得最大值． 要使f (x )＋32c <c 2，只需c 2>f (－1)＋32c ， 即2c 2>7＋5c ，解得c <－1或c >72. ∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞.20．(10分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43. (1)求函数的解析式．(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围． 解 f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝12a －b ＝0，f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )283－43f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <283.。
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高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》测试题B 卷
考试时间：100分钟，满分：150分
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）
1．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1) ( )
A ． －1
B ．－2
C ．8
D ．0
2．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04
p 轾犏犏臌，，则点P 横坐标的取值范围为( )
A ．1-1-2轾犏犏臌
， B ．[]-1,0 C ．[]0,1 D ．1,12轾犏犏臌
3.函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)和(0，＋∞) D ．R
4．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )．
A ．(－2,2)
B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C ．(－3,6)
D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
5. f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则 ( )
A ．f (x )=g (x )
B ．f (x )－g (x )为常数函数
C ．f (x )=g (x )=0
D ．f (x )+g (x )为常数函数 6．函数f (x )＝x 3－3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）
A ．1，－1
B ．3，-17
C ．1，－17
D ．9，－19
7．已知1()sin cos f x x x =+，1()n f x +是()n f x 的导函数，即21()()f x f x ¢=，32()()f x f x ¢=，…，1()()n n f x f x +¢=，n ∈*
N ，则2014()f x = ( ) A ．sin cos x x + B ．sin cos x x - C ．sin os x c x -+ D ．sin os x c x --
8．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )
A ．0
B ．26
C ．29
D ．212
9．已知点P 是曲线2ln y x x =-上的一个动点，则点P 到直线l ：2y x =-的距离的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．22
D ．3。