第一章第六课时二项式定理

注意：
•展开式中的项数、次数(a、b各自次数）
•每一项的系数规律
分析归纳，引出定理
小 结
2. 列出上述各展开式的系数： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
分析归纳，引出定理
3.这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数 字相加 得到.你能写出第五行的数字吗？ (a+b)5= a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 1 2 1 C0 C 4.计算： = ， = ， = 4 6 C4 ， 4 4 3 C4 = 4 ， 1 = C4 . 用这些组合数表 4 示(a+b)4的展开式是：
（3）、展开式的第3项二项式系数是多少？
实战演练 2.已知二项式探求展开式中的特殊项） 实战演练（
第三项的二项式系数
解: (2 x
3 6
1
1 1 2 1 5 2 4 )6 C60 (2 x )6 C6 (2 x ) ( ) C6 (2 x ) ( ) x x x
1 x ) C (2 x ) (
概念理解

r=0, 1, …, n; (n∈N*)
0 n 1 n1 2 n 2 2 3 n3 3 (a b) n Cn a Cn a b Cn a b Cn a b Cnr a nr b r Cnnb n （a）二项式展开式的项数、次数的规律是什么？
实战演练（ 实战演练 2.已知二项式探求展开式中的特殊项）
1 6 已知二项式（ 2 x ) x （4）、求展开式的常数项。
解: Tr 1 C (2 x )
r 6
6 r
1 r r 6 r ( ) C6 2 (1)r ( x )62r x
根据题意， 6 2r 则常数项为 T4
而上式各项均为64的倍数, 3
2n2
8n 9(n N*)能被64整除.
点评：利用二项式定理证明整除（或求余数）问题，通常把底数拆
4. 二项展开式定理和二项展开式的性质的综合应用 实战演练 (3. 二项展开式定理综合应用---求近似值) .(求近似值)
[例6] 求0.9986的近似值，使误差小于0.001 [解析]
0 n 1 n1 2 n 2 2 3 n3 3 r n r r n n (a b) n Cn a Cn a b Cn a b Cn a b Cn a b Cn b
注:
r=0, 1, …, n;
(1)公式左边叫作二项式，右边叫作(a+b)n的 二项展开式；
n个
的展开式中an-rbr的系数是在n个
括号中，恰有r个括号中取b(其余
括号中取a)的组合数
C
r n
.那么，
我们能不能写出(a+b)n的展开式？
引出定理，总结特征
(a+b) n=
0 n n 1 r nr r n n Cn a C1 a b C a b C n n nb
1 x ) C (2 x ) (
3 4 6 2
C (2 x ) (
3
1 x
) C (2 x ) (
4 5 6
1 x
) C (
5 6 6
1 x
)6
60 12 1 64 x 192 x 240 x 160 2 3 x x x
3 2
（1）、展开式的第3项是多少？ （2）、展开式的第3项系数是多少？
（1）项数：有n+1项 （2）次数：各项的次数都为n 字母a按降幂排列，次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
（b）二项式展开式中哪一项最有代表性？
二项展开式的通项：Tr 1
C a b , r 0,1,2,, n
r n nr r
（c）展开式中那些组合数 C r (r＝0，1，2，…n)称为二 n 项式系数。那它是不是等于展开式的系数呢？
1 1 x 4 2 x
n
实战演练（ 实战演练 2.已知二项式探求展开式中的特殊项） 解:(1)
T1 T10 C ( x )
T2 T
T3
11
C
1 n
x
0 n
n
n 1
1 4 2 x
T21 C
2 n
x
n2
1 4 2 x
第三项的系数
实战演练（ 实战演练 2.已知二项式探求展开式中的特殊项）
（利用通项公式来求解）
1 解: T T C 2 2 x 4 240x 3 2 1 6 x

2
所以，第三项为240x；第三项二项式 系数为15；第三项系数为240。
显然二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数 就是一个组合数，与a、b无关； 系数就是除未知数外 的所有数，与a、b有关。
4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 (a+b)4= C0 a C a b C a b C ab C 4 4 4 4 4b 4
杨辉三角
爱 国 教 育
1
1 2
1
1
1
1 4
3
6
3
1
4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
用组合的知识求展开式各项系数 因为（a+b）4= (a b)(a b)(a b)(a b)
在4个括号中，都不取b ，系数为
0 C4
恰有1个括号中取b ，系数为 C1 4 ； 2 恰有2个括号中取b ，系为 C 4 ； 恰有3个括号中取b ，系数为 C 3 ； 4 4 4个括号中都取b ，系数为 C 4 ；
总结规律
a b)( a b) (a b) 对于（a+b）n= (
点评： n 1 2 2 3 3 n n 由 (1 x) 1 Cn x Cn x Cn x Cn x 知，当x的绝对值与1相 x 2 , x3 ,, x n 等项的绝对值就会更小，因此在 比很小且n足够大时， 精确度允许的范围之内可以忽略不计．因此可以使用近似计算公 式 (1 x)n 1 nx ， 在使用这个公式时，要注意按问题对精确度 的要求，来确定对展开式中各项的取舍．
2
1 1 1 2 前三项的系数分别为 1, C n , C n 成等差数列。 2 4
C
1 n
1 2 1 Cn 4
n 9n 8 0
2
n 8, n 1(舍)
实战演练（ 实战演练 2.已知二项式探求展开式中的特殊项） 解:
1 r r 4 4 r r 8 r 1 Tr 1 C8 ( x ) 4 ( ) C8 x 2 2 x
(2)定理中的a,b仅仅是一种符号，它可以是任意 的数或式子什么的，只要是两项相加的n次幂，就 能运用二项式定理展开。
(3) 二项式定理强调必须是两项和的n次方，如果是 差的n次必须转化成和的形式，再利用定理展开！
实战演练（1.定义的考查） 1 4 例1、求二项式 ( x x ) 的展开式。 解:
实战演练(3. 二项展开式定理综合应用---整除性问题)
[例5] (1) 9192除以100的余数是几? (2) 求证: 32n+28n 9(nN*)能被64整除.
(2)证明 : 32 n 2 8n 9 9n 1 8n 9 (8 1) n 1 8n 9 (C 8
某一项的系数不同于这一项的二项式系数 某一项的系数是指除了未知数外的所有数，而这一项的二项式 系数是指组合数C r n
实战演练（2.已知二项式探求展开式中的特殊项）
1 6 已知二项式（ 2 x ) 的展开式如下： 例2、 x
(2 x
3 6
1
1 1 2 1 5 2 4 )6 C60 (2 x )6 C6 (2 x ) ( ) C6 (2 x ) ( ) x x x
（ n N ）,这个公式表示的定理叫做二项式定 理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式 ， r 二项式系数 ， 其中 C（ r=0,1,2,……,n ）叫做 n r nr r Cn a b 叫做二项展开式的通项， 通项是指展开式的第 r+1 项， 展开式共有n+1 个项.
概念理解 (n∈N*)
0, r 3
3 3 T31 C6 2 160
二项展开式的通项公式，其中含有a，b，n，r，T 五个 量，显然，知道其中的几个或他们的某些关系，可以求另 外的几个．如求特定项、特定项系数等。
实战演练（ 实战演练 2.已知二项式探求展开式中的特殊项）
例3、已知 的二项展开式中，前 三项系数成等差数列， （1）求n； （2）求二项式展开式所有有理项的二项 式系数和；
0 n 1 n 1
C
1 n 1
8 C
n
2 n 1
8
n 1
C
n 1 n 1
8 C
2
n n 1
8 1) 8n
0 n 1 1 n 2 n 1 n 1 2 Cn 8 C 8 C 8 C 8 1 n 1 n 1 n 1
3 4 6 2
C (2 x ) (
3
1 x
) C (2 x ) (
4 5 6
1 x
) C (
5 6 6
1 x
)6
60 12 1 64 x 192 x 240 x 160 2 3 x x x
3 2
思考：你能否不求展开 式直接求展开式的第3 项系数？
根据题意，
r 3
3 4 r Z 4
r一定是4的倍数， 0