二项式定理第一课时教学设计

二项式定理第一课时教学设计

广西北海市第五中学蒙旭芬

一、教材分析：

1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重，难点）。

教学目标：

1、知识目标：通过对二项式定理的学习，使学生理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。级中学教科书《数学第二册（下A）》的第十章第四节，它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块，也是初中学习的多项式乘法。它所研究的是一种特殊的多项式——二项式幂的展开式。它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联系，利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。因此，二项式定理起着承上启下的作用，是本章教学的一个重点。本小节约需3个课时，本节课是第一课时。

【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。（根据以上分析

2、能力目标：在学

3、情感目标：通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的简洁美，进一步结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。

一、教学重点，难点，关键：

重点：

（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。

（2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。

（3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。

难点：

（1）二项展开式的规律的理解和掌握。

（2）“二项式系数”和“系数”的区别。

突破难点的关键：（1）利用组合数及性质分析“杨辉三角”中各数的关系；（2）利用组合的知识归纳二项式系数；（3）充分利用二项展开式的规律。

二、教法、学法分析数学是一门培养人的思维发展的重要学科。因此，在教学中让学生自己发现规律、总结规律是最好的途径。正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。”本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，也可利用组合的有关知识加以分析，归纳，通过对二项式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析，猜想，归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察，联想，归纳能力。不仅重视知识的结果，而且注重了知识的发生，发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学理念，培育了本节课内容最佳的“知识生长点”，这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。

三、教学手段

制作多媒体课件，以增加课堂容量及知识的直观性，从而提高学生学习的兴趣，使学生进一步加深对定理，概念的理解。

四、教学过程设计

【复习引入：】

复习回顾：

[提问]初中学过的完全平方公式是什么？

你能写出（a+b）3，（a+b）4的展开式吗？

设计意图：通过复习旧知识，自然引入，在这里设计了层层递进多项式展开的问题，目的是为了让学生了解知识发生，发展的过程，激发学生在认知的冲突，让学生明白二项式展开实质上是多项式的乘法。

思路一：提问：（1）以（a+b）2＝a2+2ab+b2为例，展开式中各项字母的形式是什么？展开式项的系数又是什么？有几项？

（2）展开式中各项的系数与展开式中各项的次数有没有关系？

（3）你能猜想（a+b）3、（a+b）4……（a+b）n展开式的形式吗？观察下面等式：

（a+b）＝a+b

（a+b）2＝a2+2ab+b2

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab3+b4

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

【设计意图：】由特殊的二项式来分析猜想一般的二项式展开式，培养学生由特殊到一般的思维方式，培养学生大胆探索的精神和创新精神。

（1）展开式中各项是幂的形式，可按a（或b）的降幂排成：

（2）展开式中各项系数的规律：将上式中展开式的系数列成表如下：

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

…………

发现：

发现每行两端都是1，后一行其它各数是上一行肩上二数之和。再从一个数等于另二数之和联想到结合数及其性质：于是各项系数可写成表中形式：由此猜想展开式的各项系数：

【设计意图：】学生对各项是什么形式不难猜到，但对二项式系数不易想到，通过“杨辉三角”中的数字规律，联想到组合数及性质，进而可用组合数来表示表中的数，从而猜想各项系数为，让学生的思维从特殊到一般，由迷茫到大悟，使学生深深体会到数学内在的和谐，对称美。在此，适时对学生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感和学习数学的热情，思路二：观察下式：（a+b）4＝（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）

由多项式乘法知，其展开式的每一项是由4个括号各取一项相乘而得，故每一项都是形式，即各项系数是由相同的项合并而成的，有几项其系数就是几，故含a4的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b）而得，即C40a4，系数为：C40含a3b的项只能由3个括号取a，余下的1个括号取b而得，即C41a3b，系数为：C41；含a2b2的项只能由2个括号取a，余下的2个括号取b而得，即C42a2b2，系数C42为；含的ab3的项只能由1个括号取a，余下的3个括号取b而得，即C43a3b，系数为C43，含b4的项只能由4个括号都取b而得，即C44b4，系数为C44；从而可得：

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

提问：的展开式怎么写呢？引导学生回答：可以对b分类：：不取b，得取1个b，取得2个b，得…………取k个b，得…………取n－1个b，得取n个b，得将这n+1个式子相加，可得二项式定理

（a+b）n＝C n0a n b0+ C n1a n-1b1+ C n2a n-2b2+……+ C n k a n-k b k+……+ C n n a0b n（n≥k,n,k∈N+）