二项式定理第一课时教学设计

二项式定理第一课时教学设计广西北海市第五中学蒙旭芬一、教材分析：1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重，难点）。

教学目标：1、知识目标：通过对二项式定理的学习，使学生理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。

并理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。

还会区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。

级中学教科书《数学第二册（下A）》的第十章第四节，它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块，也是初中学习的多项式乘法。

它所研究的是一种特殊的多项式——二项式幂的展开式。

它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联系，利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。

因此，二项式定理起着承上启下的作用，是本章教学的一个重点。

本小节约需3个课时，本节课是第一课时。

【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。

他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。

在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。

（根据以上分析2、能力目标：在学3、情感目标：通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的简洁美，进一步结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。

一、教学重点，难点，关键：重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。

（2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。

（3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。

难点：（1）二项展开式的规律的理解和掌握。

（2）“二项式系数”和“系数”的区别。

突破难点的关键：（1）利用组合数及性质分析“杨辉三角”中各数的关系；（2）利用组合的知识归纳二项式系数；（3）充分利用二项展开式的规律。

二、教法、学法分析数学是一门培养人的思维发展的重要学科。

因此，在教学中让学生自己发现规律、总结规律是最好的途径。

正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。

”本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，也可利用组合的有关知识加以分析，归纳，通过对二项式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析，猜想，归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察，联想，归纳能力。

不仅重视知识的结果，而且注重了知识的发生，发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学理念，培育了本节课内容最佳的“知识生长点”，这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。

三、教学手段制作多媒体课件，以增加课堂容量及知识的直观性，从而提高学生学习的兴趣，使学生进一步加深对定理，概念的理解。

四、教学过程设计【复习引入：】复习回顾：[提问]初中学过的完全平方公式是什么？你能写出（a+b）3，（a+b）4的展开式吗？设计意图：通过复习旧知识，自然引入，在这里设计了层层递进多项式展开的问题，目的是为了让学生了解知识发生，发展的过程，激发学生在认知的冲突，让学生明白二项式展开实质上是多项式的乘法。

思路一：提问：（1）以（a+b）2＝a2+2ab+b2为例，展开式中各项字母的形式是什么？展开式项的系数又是什么？有几项？（2）展开式中各项的系数与展开式中各项的次数有没有关系？（3）你能猜想（a+b）3、（a+b）4……（a+b）n展开式的形式吗？观察下面等式：（a+b）＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab3+b4（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4【设计意图：】由特殊的二项式来分析猜想一般的二项式展开式，培养学生由特殊到一般的思维方式，培养学生大胆探索的精神和创新精神。

（1）展开式中各项是幂的形式，可按a（或b）的降幂排成：（2）展开式中各项系数的规律：将上式中展开式的系数列成表如下：1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1…………发现：发现每行两端都是1，后一行其它各数是上一行肩上二数之和。

再从一个数等于另二数之和联想到结合数及其性质：于是各项系数可写成表中形式：由此猜想展开式的各项系数：【设计意图：】学生对各项是什么形式不难猜到，但对二项式系数不易想到，通过“杨辉三角”中的数字规律，联想到组合数及性质，进而可用组合数来表示表中的数，从而猜想各项系数为，让学生的思维从特殊到一般，由迷茫到大悟，使学生深深体会到数学内在的和谐，对称美。

在此，适时对学生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感和学习数学的热情，思路二：观察下式：（a+b）4＝（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）由多项式乘法知，其展开式的每一项是由4个括号各取一项相乘而得，故每一项都是形式，即各项系数是由相同的项合并而成的，有几项其系数就是几，故含a4的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b）而得，即C40a4，系数为：C40含a3b的项只能由3个括号取a，余下的1个括号取b而得，即C41a3b，系数为：C41；含a2b2的项只能由2个括号取a，余下的2个括号取b而得，即C42a2b2，系数C42为；含的ab3的项只能由1个括号取a，余下的3个括号取b而得，即C43a3b，系数为C43，含b4的项只能由4个括号都取b而得，即C44b4，系数为C44；从而可得：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4提问：的展开式怎么写呢？引导学生回答：可以对b分类：：不取b，得取1个b，取得2个b，得…………取k个b，得…………取n－1个b，得取n个b，得将这n+1个式子相加，可得二项式定理（a+b）n＝C n0a n b0+ C n1a n-1b1+ C n2a n-2b2+……+ C n k a n-k b k+……+ C n n a0b n（n≥k,n,k∈N+）【设计意图：】本环节以问题为中心，由浅入深地引导学生大胆猜想。

利用组合知识，充分揭示二项展开式的内涵和外延。

帮助学生建构和完善自己的认知结构，既显得合情合理，又科学严谨。

进一步强化学生的逻辑思维能力和归纳能力。

完善结论：把上述探索得到的结果叫做二项式定理，右边的多项式，共有n+1项，其中各项系数C n i（i=1,2,3……,n）叫做二项式系数，其通项公式为：T k+1=C-nk a n-k b k（k=1,2,3……n）。

说明：（1）猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全归纳法得出，需加以证明。

其证明因目前知识所限，留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。

（2）二项式定理是个恒等式，定理中字母a,b可表示数或式，其中式中a 与b是用“+”连接的。

（3）展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。

（4）通项公式表示的是第k+1项，不是第k项，且a,b位置不能对换。

（5）二项式系数为C n k，注意与项的系数的区别。

例如：（1－x）3的第二项是－C31x，其二项式系数为：C31，第二项的系数为：－C31。

【设计意图：】对定理的特点加以说明，可使学生能熟练掌握定理的特点，以便今后在应用定理解决问题时能得心应手。

应用解析：例：（1）展开baxxx⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+12,11（学生练习：）展开（a+b）5,（a+b）6（2）求展开式的第3项（3），求展开式的第3项【设计意图：】例（1）是对二项式定理的简单应用，目的在于对定理字母a,b所表示的数或式的领会及运用定理的能力；例（2），（3）二题着重于学生对通项公式的掌握，体会二项式定理的展开式中a与b位置不能对换，并注意到例（3）的结论正是例（2）展开式中的倒数第3项。

应用解析：例（4）（a+2b+3c）7，的展开式中，a2b3c2项的系数是多少。

【设计意图：】本题可先将其中的二项看成一个整体，再用二项式定理展开，进而求出其系数，这种解法体现了化归的意识，但本题如能根据二项式定理的形成过程中项的系数的探究，可得如下解法：从7个括号的2个时取“a”得，再从余下的5个括号中的3个取“2b”得，最后剩下的2个括号里取“3c”得：由分步计数原理得：通过本题的学习，有利于学生对知识的串联，累积，加工，使学生的思维有一个升华过程，从而达到举一反三的效果，加深学生对数学本质的理解。

小结思路一：由特殊的二项式来分析猜想一般的展开式思路二：根据多项式乘法，结合组合知识，通过猜想归纳得到二项式定理：（a+b）n＝C n0a n b0+ C n1a n-1b1+ C n2a n-2b2+……+ C n k a n-k b k+……+ C n n a0b n（n≥k,n,k∈N+）及通项公式：T k+1=C n k a n-k b k（k=1,2,3……n）注意事项（1），注意观察，分析，猜想，归纳（证明）的数学方法。

（b），二项式定理是个恒等式，定理中字母a,b可表示数或式，其中。

（c），展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。

（d），通项公式表示的是第k+1项，不是第k项，且a,b位置不能对换。

（e），二项式系数为C n i（i=1,2,3……n），注意与项的系数的区别。

布置作业课本作业：P109 1,(1),2(2),3(2),2，思考题：求的展开式中的系数３，研究性题：的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时x2展开式中的系数。

【设计意图：】（1），本节课从知识上学习了二项式定理及通项公式，从方法上通过二项式定理的形成过程，学会了观察，分析，猜想，归纳（证明）的数学方法，通过小结，使学生对本节课的知识脉络更加清晰。

（2），通过作业巩固所学知识，发现和弥补教学中的疏漏与不足，强化基本技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质。

五、课后反思本节课是二项式定理的第一节课，在教学中注意以下几点：1，本节课以“二项式定理”的形成过程为主线，让学生思维由特殊到一般，演绎，归纳，得出定理。

培养学生猜想，归纳，整节课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。

2，在例题，作业的配备上，我认为高中学习的特点是跨度大，思维能力要求高。

因此，在题目的设置上，加大了思维的含量，如例4，让学生体会到二项式定理形成过程中的思维方式，培养了学生的知识迁移能力，因此，我认为习题的搭配应力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，使学生体会到：数学不能生搬硬套，应该用数学的思想方法去学习数学，认识数学。