二项式定理教学案设计

《二项式定理》教案设计

一、教学目标

1.知识与技能：

(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.

(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.

2.过程与方法：

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3. 情感、态度与价值观：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．

二、教学重点、难点

重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理．

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.

三、教学过程

（一）提出问题，引入课题

引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：2222)(b ab a b a ++=+，

?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？

【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.

（二）引导探究，发现规律

1、多项式乘法的再认识．

问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？

问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备.

2、3)(b a +展开式的再认识

探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：

(1) 合并同类项之前展开式有多少项？

(2) 展开式中有哪些不同的项？

(3) 各项的系数为多少？

(4) 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？

探究2：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式.

【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考，分析

各项的形式、项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有

“法”可依．

(三) 形成定理，说理证明

探究3：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式．

)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理

证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理

可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k

n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -，

它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个

b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

【设计意图】通过仿照3)(b a +、4)(b a +展开式的探究方法，由学生类比得出n b a )(+的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．

(四) 熟悉定理，简单应用

二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）

1. 项数：共有+n １项.

2. 次数：字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0；字母b 按升幂排列，次数由0递增到n ．

各项的次数都等于n ．

3. 二项式系数: 依次为n n k n n n n C C C C C ,,,,,,210 ，这里),,1,0(n k C k n ⋅⋅⋅=称为二项式系数.

4. 二项展开式的通项: 式中的k k n k n b a

C -叫做二项展开式的通项. 用1+k T 表示. 即通项为展开式的第+k １项: 1+k T =k k n k n b a C - 变一变 （1）n b a )(- （2）n x )1(+

例. 求6)12(x

x -的展开式. 思考1：展开式的第３项的系数是多少？

思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？

思考3：你能否直接求出展开式的第３项？

【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．

(五) 课堂小结与反思，课后作业

小结与反思（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）

1. 公式： )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+--

2. 思想方法：1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程.

作业

巩固型作业：课本36页习题1.3 A 组 1、2、3

思维拓展型作业：二项式系数n

n k n n n n C C C C C ,,,,,,210 有何性质．