【全国百强校】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

哈师大附中高二下学期期末考试理科数学试题一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求定义域得集合A，再根据交集定义求结果.详解：因为，所以所以选B.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 对于任意实数以下四个命题正确的是（）A. 若则B.C. 若则D. 若则【答案】A【解析】分析：根据不等式性质判断命题真假.可举反例说明命题不成立.详解：因为同向不等式可相加，所以若则，因为c=0时，所以B错；因为，所以C错；因为，所以D错；选A.点睛：本题考查不等式性质，考查基本论证能力.3. 已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（）A. 甲命中个数的极差是29B. 乙命中个数的众数是21C. 甲的命中率比乙高D. 甲命中个数的中位数是25【答案】D【解析】分析：根据茎叶图计算极差、众数、平均数、中位数，再作出判断.详解：因为甲命中个数的极差是37-8=29，乙命中个数的众数是21, 甲命中个数的平均数比乙高，甲命中个数的中位数是23，所以选D.点睛：本题考查极差、众数、平均数、中位数，考查基本求解能力.4. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在上不是单调递增函数.故选D.5. 为了研究某班学生的脚长（单位：cm）和身高（单位：cm）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为.已知，，.该班某学生的脚长为24cm，据此估计其身高为（）A. cmB. cmC. cmD. cm【答案】C【解析】由已知 ,选C.【名师点睛】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．6. 下列四个命题:①命题“若，则”的逆否命题为:“若，则”；②“”是“”的充分不必要条件；③若原命题为真命题，则原命题的否命题一定为假命题；④对于命题,使得.则,均有.其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】对于①，命题“若，则”的逆否命题是“，则”正确；对于②，的解为或，是的充分不必要条件，正确；对于③，原命题为真命题，则原命题的否命题不一定为假命题，错误；对于④，对于命题，则，故正确，正确命题的个数是，故选B.7. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A. 45B. 50C. 55D. 60【答案】B【解析】试题分析：频率为，人数为人.考点：频率分布直方图.8. 若是圆的弦,的中点是,则直线的方程是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：先根据中点与圆心连线垂直PQ得斜率，再根据点斜式得方程.详解：因为的中点与圆心连线垂直PQ，所以,所以直线的方程是,选B.点睛：本题考查圆中弦中点性质，考查基本求解能力.9. 执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：先根据流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值,再结合选择项的函数判断得结果.详解：因为由流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值,又因为为奇函数，恒大于零，恒非负，满足函数为非奇函数且有小于零的函数值,所以选C.点睛：本题考查流程图以及函数奇偶性、函数值域等性质，考查基本求解能力.10. 函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】,构造函数,,故当时,即,排除两个选项.而,故排除选项.所以选D.11. 学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话.甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”.已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确.根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是( )A. 甲和乙B. 乙和丙C. 丁和戊D. 甲和丁【答案】D【解析】假设参加演讲比赛的是甲和乙,只有丙说话不正确,故排除选项.假设乙和丙参加演讲,则乙丙两人都说错了,故排除选项.假设丁和戊参加演讲,则丁戊两人多说错了,故排除选项.本题选.12. 设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当.若，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设，判断的奇偶性和单调性，得出的范围．详解：设，则，∴是偶函数．当.，∴在上是增函数，∵，∴即，∴，即．故选：A．点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，考查导数的应用以及函数恒成立问题以及转化思想，关键是构造函数并分析函数的单调性．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13. 计算__________.【答案】8【解析】分析：根据微积分基本定理求定积分.详解：点睛：本题考查利用微积分基本定理求定积分，考查基本求解能力.14. 已知复数z满足(i−1)(z−)=2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为__________.【答案】【解析】分析：先根据复数乘除法则求z，再根据共轭复数概念得结果.详解：因为(i−1)(z−)=2i，所以因此z的共轭复数为点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为15. 已知实数x，y满足，则的最大值为__________.【答案】14【解析】分析：画出可行域，平移直线，即可得到最大值.详解：画出可行域如图所示，可知当目标函数经过点时取得最大值，最大值为即答案为14.点睛：本题考查利用线性规划解决实际问题，属中档题.16. 已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题双曲线的离心率，若“”为假命题，“”为真命题，则的取值范围是__________.【答案】【解析】分析：根据椭圆的性质，可求出命题方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题时，实数的取值范围；根据双曲线的性质，可得命题双曲线的离心率为真命题时，实数的取值范围；进而结合“”为假命题，“”为真命题即命题中有且只有一个为真命题，得到答案．.....................详解：若命题方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题时；则解得，则命题为假命题时，或，若命题双曲线的离心率为真命题时；则即即则命题为假命题时，，或，∵“”为假命题，“”为真命题，一次命题中有且只有一个为真命题，当真假时，0，当假真时，，综上所述，实数的取值范围是：，或．故答案为：.点睛：本题考查的知识点是命题的判断与应用，综合性强，难度稍大，属于中档题．三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （1）求不等式的解集；（2）设，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）5【解析】分析：（1）分类讨论，去掉绝对值符号，然后求解，注意最后取并集；（2）利用柯西不等式可求的最大值.详解：（1）①当时，，得，∴；②当时，成立，∴；③当时，，得，∴；综上，不等式的解集为．（2）由柯西不等式，得[42＋()2＋22]·[()2＋()2＋()2]≥(x＋y＋z)2，即25≥(x＋y＋z)2. ∴－5≤x＋y＋z≤5.当且仅当时上式取等号∴当，x＋y＋z的最大值为5．点睛：本题考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，属基础题.18. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）设圆与直线的交点为，点为圆的圆心，求的面积.【答案】（1），；（2）2【解析】分析：（1）由直线的极坐标方程能求出直线的直角坐标方程，由圆的普通方程，能求出C1的极坐标方程．（2）将代入，得，从而得解得,故,即.．由圆C1的半径为2，能求出的面积．详解：（1）圆普通方程所以的极坐标方程为直线的直角坐标方程为（2）将代入,得,解得,故,即.由于圆的半径为,所以的面积为点睛：本题考查曲线的极坐标方程、直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标、直角坐标、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19. 某校为了解高二学生、两个学科学习成绩的合格情况是否有关,随机抽取了该年级一次期末考试、两个学科的合格人数与不合格人数，得到以下22列联表:学科合格人数学科不合格人数学科合格人数学科不合格人数（1）据此表格资料，能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“学科合格”与“学科合格”有关；（2）从“学科合格”的学生中任意抽取2人，记被抽取的2名学生中“学科合格”的人数为，求的数学期望.附公式与表：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)先根据卡方公式求，再对照参考数据确定可靠率，(2)先确定随机变量服从超几何分布，再根据超几何分布概率公式得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：（1）故能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“学科合格”与“学科合格”有关.（2）服从超几何分布，，，随机变量的分布列为：点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.20. 已知是函数的一个极值点.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若函数在区间内单调递增，求的取值范围.【答案】（1）递减区间，递增区间；（2）【解析】试题分析：（1）首先对函数进行求导，然后利用极值或极值点的定义知，从而求出参数的值，再令导数小于0即可求出函数的单调减区间；（2）首先求出函数的导函数，然后将已知条件“函数在区间内单调递增”等价于“在区间上恒成立”，进一步地可得在区间上，最后求出函数即可求出实数的取值范围．试题解析：（1）因为是的一个极值点，所，经检验，适合题意，所以，定义域为，，所以函数的单调递减区间为．（2），,因为函数在上单调递增，所以恒成立，即恒成立,所以,而在上,所以．考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数在研究函数的极值中的应用．21. 已知椭圆（）的两个顶点分别为和，两个焦点分别为和（），过点的直线与椭圆相交于另一点，且.（1）求椭圆的离心率；（2）设直线上有一点（）在的外接圆上，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析:求出点的坐标，根据点在椭圆上满足椭圆方程，列出一个的等式就可以求出离心率，根据离心率进行减元，把椭圆方程写出来，写出的垂直平分线的方程，直线与轴交点恰好为外接圆的圆心，得出外接圆的方程，点（）既在直线上又在的外接圆上，联立方程组求出.试题解析：（Ⅰ），且，点是点和点的中点.，，点的坐标为.代入得：，离心率.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以椭圆的方程可设为.若，则.线段的垂直平分线的方程为.直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由解得.故.【点睛】列出一个的等式就可以求出离心率，根据点在椭圆上满足椭圆方程，就可以列出等式；三角形的外接圆为三边的垂直平分线的交点，由于的中垂线为轴，所以只需求出另一边的垂直平分线与轴的交点即为外心，点即在直线上又在圆上，满足方程求出结果.22. 已知函数图象的一条切线为.（1）设函数，讨论的单调性；（2）若函数的图象恒与x轴有两个不同的交点M(，0)，N(，0)，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)先根据导数几何意义得切点坐标，代入函数解析式得，再求的导数，根据b讨论导函数零点，进而得单调性，(2)先求导数，转化为+>2，再构造函数，x∈(1，2)，利用导数易得(x)在(1，2)上单调递增，即得()>(1)=0，即()>(2−)，最后根据()=()，证得结论成立.详解：（1），设切点，则切线斜率∴，即切点，故，∴∴①当时，，∴增区间，无减区间；②当时，令，得；令，得∴增区间，减区间（2）依题意及（1）得函数，则，∴当0<x<1时，；当x>1时，，∴函数在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，∴∵函数的图象恒与x轴有两个不同的交点M(，0)，N(，0)，且当x趋近于0时，趋近于−∞，当x趋近于+∞时，趋近于−∞，∴−1−m>0，m<−1，且≠，故不妨设<，则0<<1<．要证()<0，需证>1，即+>2，当≥2时，显然成立．当1<<2时，令，x∈(1，2)，∵，∴(x)=ln x−ln(2−x)−2x+2，=+−2=>0，x∈(1，2)，∴(x)在(1，2)上单调递增，∴()>(1)=0，即()>(2−)，又由题意知()=()，∴()>(2−)．∵在(0，1)上单调递增，∈(0，1)，2−∈(0，1)，∴>2−，即+>2．综上可得，+>2，即证．点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。