2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版：专题跟踪检测(十九) 不等式选讲 (选修4-5) Word版含解析

专题跟踪检测（十九） 不等式选讲 （选修4-5）1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x <－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1； 当－1≤x ≤2时，显然满足题意； 当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3， 故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 2．(2018·兰州模拟)设函数f (x )＝|x －3|，g (x )＝|x －2|. (1)解不等式f (x )＋g (x )<2；(2)对于实数x ，y ，若f (x )≤1，g (y )≤1，证明：|x －2y ＋1|≤3. 解：(1)解不等式|x －3|＋|x －2|<2.①当x <2时，原不等式可化为3－x ＋2－x <2，解得x >32.所以32<x <2.②当2≤x ≤3时，原不等式可化为3－x ＋x －2<2，解得1<2.所以2≤x ≤3. ③当x >3时，原不等式可化为x －3＋x －2<2，解得x <72.所以3<x <72.由①②③可知，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 32<x <72.(2)证明：因为f (x )≤1，g (y )≤1，即|x －3|≤1，|y －2|≤1，所以|x －2y ＋1|＝|(x －3)－2(y －2)|≤|x －3|＋2|y －2|≤1＋2＝3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3时等号成立．3．(2018·开封模拟)已知函数f (x )＝|x －m |，m <0. (1)当m ＝－1时，求解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ； (2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，f (x )＝|x ＋1|，f (－x )＝|x －1|，设F (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x <1，2x ，x ≥1，G (x )＝2－x ，由F (x )≥G (x )，解得x ≤－2或x ≥0， 所以不等式f (x )＋f (－x )≥2－x 的解集为{x |x ≤－2或x ≥0}． (2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |，m <0. 设g (x )＝f (x )＋f (2x )，当x ≤m 时，g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ， 则g (x )≥－m ；当m <x <m2时，g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ，则－m2<g (x )<－m ；当x ≥m2时，g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ，则g (x )≥－m2.所以g (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－m2，＋∞， 若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空， 只需1>－m2，解得m >－2，又m <0，所以m 的取值范围是(－2,0)． 4．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.5．已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )<|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (a )－f (－b )．解：(1)①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1<－2x －2，解得x <－1；②当－1<x <－12时，原不等式可化为x ＋1<－2x －2，解得x <－1，此时原不等式无解；③当x ≥－12时，原不等式可化为x ＋1<2x ，解得x >1.综上，M ＝{x |x <－1或x >1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )>f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|>|a ＋b |，即证|ab ＋1|2>|a ＋b |2， 即证a 2b 2＋2ab ＋1>a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1>0，即证(a 2－1)(b 2－1)>0. 因为a ，b ∈M ，所以a 2>1，b 2>1，所以(a 2－1)(b 2－1)>0成立，所以原不等式成立． 6．(2018·广东五市联考)已知函数f (x )＝|x －a |＋12a(a ≠0)． (1)若不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立，求实数m 的最大值；(2)当a <12时，函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x ＋m )＝|x ＋m －a |＋12a. ∵f (x )－f (x ＋m )＝|x －a |－|x ＋m －a |≤|m |， ∴当且仅当|m |≤1时，f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立， ∴－1≤m ≤1，即实数m 的最大值为1. (2)当a <12时，g (x )＝f (x )＋|2x －1|＝|x －a |＋|2x －1|＋12a＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋12a＋1，x <a ，－x －a ＋12a ＋1，a ≤x ≤12，3x －a ＋12a －1，x >12，∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12－a ＋12a ＝－2a 2＋a ＋12a ≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <12，－2a 2＋a ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a 2＋a ＋1≥0， 解得－12≤a <0，∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，0. 7．(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|ax －5|(0＜a ＜5)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥9的解集； (2)若函数y ＝f (x )的最小值为4，求实数a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ，x ＜12，x ＋4，12≤x <5，3x －6，x ≥5，所以f (x )≥9⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，6－3x ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ＜5，x ＋4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，3x －6≥9.解得x ≤－1或x ≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)． (2)∵0<a <5，∴5a ＞1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋2)x ＋6，x <12，(2－a )x ＋4，12≤x ≤5a ，(a ＋2)x －6，x ＞5a.∵当x ＜12时，f (x )单调递减，当x >5a 时，f (x )单调递增，∴f (x )的最小值在⎣⎡⎦⎤12，5a 上取得． ∵在⎣⎡⎦⎤12，5a 上，当0＜a ≤2时，f (x )单调递增， 当2＜a ≤5时，f (x )单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ≤2，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2＜a ≤5，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫5a ＝4. 解得a ＝2.8．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R.(1)当k ＝1时，若不等式f (x )<4的解集为{x |x 1<x <x 2}，求x 1＋x 2的值； (2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值． 解：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|<4.当x >2时，原不等式可化为2x <5，∴2<x <52；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3<4，∴－1≤x ≤2. 当x <－1时，原不等式可化为－2x <3， ∴－32<x <－1；综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －32<x <52，即x 1＝－32，x 2＝52.∴x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k .当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立，∴k ≥0. 当x ≤－2或x ≥0时，∵|x ＋1|≥1，∴不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立． 当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ， 可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，∴k ≤3. 当－1<x <0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x ， ∴k <3.综上，可得0≤k ≤3，即k 的最大值为3.。