2011《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》专题训练一

2011《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》专题训练一一、选择题1、从集合{1，2，3，…，10}中选出5个数，组成此集合的子集，若这5个数中的任何两个数的和都不等于11，则这样的子集共有A .10个B ．16个C ．20个D ．32个2、如图22 -1-4，A 、B 、C 、D 为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连接起来，则不同的修筑方案共有A ．8种B ．12种C ．16种D .20种3、如图22 -1-3，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数最多为A ．180B ．240C ．360D ．4204、已知集合M={ -3，-2，-1，0，1，2}，P (a ，b )表示平面上的点(,a b M ∈)，则P 可表示不在直线y x =上的点的个数为A ．19B ．25C ．30D ．365、若三角形的三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b 、c ，且满足4b c ≤≤，则这样的三角形有A ．10个B ．14个C ．15个D ．21个6、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有A ．24个B ．28个C .36个D ．48个7、从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数是A ．85B .56C ．49D ．288、一圆周上有9个点，以这9个点为顶点作三个三角形，当这三个三角形的边互不相交时，我们把它称为一种构图，则满足这样条件的构图共有A .3种B .6种C .9种D ．12种9、将三个分别标有A ，B ，C 的小球随机地放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，若编号为1的盒子内有球，则不同放法的种数为A .27B .37C ．64D ．8110、锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同，从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为 A.891 B.2591 C.4891 D.609111、用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有A .6个B .9个C .18个D ．36个二、填空题12、4名学生报名参加数学、生物、英语三项比赛，每人限报一项，报名方法有 __________种；若每个项目均有人参赛，则报名方法有________种（用数字作答）．13、在空间直角坐标系Oxyz 中有8个点：1P (1，1，1)、2P (-1，1，1)、…、7P （-1，-1，-1）、8P （1，-1，-1）（每个点的横、纵、竖坐标都是1或-1），以其中4个点为顶点的三棱锥一共有_______个（用数字作答）．14、某校举行乒乓球赛，若采用单淘汰制从20名选手中决出冠军，则要进行____场比赛．15、从-1，0，1，2这四个数中选三个数作为函数2()f x ax bx c =++的系数，则可组成____个不同的二次函数，其中偶函数有____个（用数字作答）．16、甲、乙等五名医生被分配到四川灾区A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名医生，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位的分法共有____种（用数字作答）．17、如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有____个18、将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第i 个数为i a (i =l ，2，…，6)，若1a ≠1，3a ≠3，5a ≠5，5a <3a < 1a ，则不同的排列方法有____种（用数字作答）．19、用n 种不同的颜色为下列两块广告牌着色（如图22 -1-2甲、乙），要求①②③④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色．(1)若n =6，则为甲图着色的不同方法共有____种；(2)若为乙图着色时共有120种不同的方法，则n =____.20、如图22 -1 -1所示，在A ，B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通今发现A ，B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有____种．以下是答案一、选择题1、D 解析 先把数字分成5组：｛l ，10}，{2，9}，{3，8}，{4，7}，{5，6}，因为选出的5个数中，任何两个数的和都不等于11，所以这5个数必须来自上面5组中的各一个，故共可组成52 = 32个这样的子集．2、C 解析 修筑方案可分为两类，一类是“折线型”，用三条公路把四个村庄连在一条曲线上(如图()22l 11D --，A B C D ---），有44A 种方案；另一类是“星型”，以某一个村庄为中心，用三条公路发散状连接其他三个村庄(如图()22112D --，A B A C A D ---，，），有4种方案．故共有12 +4=16种方案．选C ．3、D 解析 本题中区域2，3，4，5地位相同（都与其他四个区域中的3个区域相邻），故应先种区域l ，有5种栽种方案，再种区域2，有4种栽种方案，接着种区域3，有3种栽种方案，种区域4时应注意：区域2与4种同色花时，区域4有1种栽种方案，此时区域5有3种栽种方案；区域2与4种不同色花时，区域4有2种栽种方案，此时区域5有2种栽种方案，故共有5 ×4 ×3×(I ×3 +2 ×2)=420种栽种方案，故选D ．4、C 解析 由分步乘法计数原理，得P 可表示6 ×6=36个平面上的点．P 在直线y x =上的充要条件是a b =，因此，若P 在直线y x =上，a 和b 必须在集合肘中取同一元素，共有6种取法，则P 不在直线y x =上的点共有36 -6=30个．5、A 解析 当b =l 时，c =4；当b =2时，c =4，5；当b =3时，c =4，5，6；当b =4时，c =4，5，6，7．故共有10个这样的三角形．选A ．6、C 解析 方法一 按十位数字分别是l ，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6 +5 +4 +3 +2 +1=36个．故选C ．方法二 按个位数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1+2 +3+4 +5 +6 +7 +8=36个．故选C ．7、C 解析 可分为两类：一类是甲、乙两人只有一人人选，选法种数为1227C C = 42，另一类是甲、乙两人都入选，选法种数为2127C C =7，所以共有42 +7=49种不同的选法，故选C ．8、D 解析 满足条件的构图要求9个点中每三个点分成一组，由于三个三角形的边互不相交，此时只能有两类构图．一类是旋转构图(如图()22 l 2l D --)；另一类是平行构图(如图()22 l 22D --)．(1)旋转构图：9个点每相邻三点为一组构成一个三角形．此时共有3种构图；(2)平行构图：任取相邻两点连成一边，两侧分别跳过3个点后，得到三角形的一个顶点，从而得到一个三角形，另外两组隔开的三个点构成两个三角形，此时共有9种构图，由分类计数原理，得满足条件的构图共有3 +9=12种，选D ．9、B 解析 当编号为1的盒子内有1个球时，有13C ×3 ×3= 27种不同的放法；当编号为1的盒子内有2个球时，有23C ×3 =9种不同的放法；当编号为1的盒子内有3个球时，有1种放法，故共有27 +9+1= 37种不同的放法．故选B ．10、C 解析 因为总的取法有415C 种，而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花牛馅汤圆、豆沙馅汤圆取到的个数分别为1、1、2；1、2、1;2、1、l ，故所求的概率为1121212116546546544154891C C C C C C C C C C ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=11、C 解析 由题意知，1，2，3中必有某一个数字使用了2次．第一步：确定哪个数字被使用了2次，有3种情况；第二步：把这2个相等的数字放在四位数不相邻的2个位置上，有3种放法；第三步：将余下的2个数字放在四位数余下的2个位置上，有2种放法．故这样的四位数共有3 ×3×2 =18个．二、填空题12、81 36 解析 第1名学生有3种报法，第2名学生有3种报法，第3名学生有3种报法，第4名学生有3种报法，由分步乘法计数原理可得共有报名方法3 ×3 ×3 ×3= 81种．若每个项目均有人参赛，则报名方法共有334336C A =种．13、58 解析 这8个点构成正方体的8个顶点，此题即转化成以正方体的8个顶点中的4个点为顶点的三棱锥一共有多少个，则共有三棱锥3414C C 58)242(14342424=+-⨯-+C C C C 个.14、19 解析 若从胜利者的角度考虑出场或轮空情况，则难以实现．若从失败者的角度考虑，抓住对应关系，则较易解决．因为每一场比赛都有一名选手被淘汰，即每一场比赛对应一个失败者，所以要决出冠军，就要淘汰19名选手，故要进行19场比赛．15、18 6 解析 一个二次函数对应着,,a b c (a ≠0)的一组取值，a 的取法有3种，b 的取法有3种，c 的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有二次函数33218⨯⨯=个．若二次函数为偶函数，则0b =，同上可知偶函数共有326⨯=个．16、72 解析 先分配甲，有4种分法；再分配乙，有3种分法；从剩余的3人中任选1人，有3种选法，这个人有2种分法；剩余2人在剩余的一个岗位上，只有1种分法，由分步乘法计数原理得共有4×3×3×2×l=72种分法．17、12 解析 当相同的数字不是1时，有13C 个；当相同的数字是1时，共有13C 13C 个，由分类加法计数原理得共有“好数”13C +13C 13C =12个．18、30 解析 分两步：(1)先排1a ，3a ，5a ，若12a =，有2种排法；若13a =，有2种排法；若14a =，有1种排法，共有5种排法；(2)再排246,,a a a ，共有336A =种排法，故不同的排列方法有5×6=30种．19、解析(1)480 对区域①②③④按顺序着色，则由分步乘法计数原理得共有6×5×4×4= 480种方法．(2)5 与第(1)问的区别在于与④相邻的区域由2块变成了3块，同样利用分步乘法计数原理，得()()()123120n n n n ---=.所以22222(3)(32)120,(3)2(3)12100.n n n n n n n n --+=-+--⨯=即所以0123,010322=+-=--n n n n （舍去），解得5,2n n ==-舍去）20、13 解析 每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态，电路不通可能是l 个或多个焊接点脱落，问题比较复杂，但电路通的情况却只有3种，即：2或3脱落或全不脱落，故满足题意的焊接点脱落的不同情况共有42-3= 13种．。