高数课件3

利用微分中值定理, 得
1 arctan x2 arctan x1 ( x2 x1 ) 2 1 1 ( x1 , x2 ), 1, arctan x2 arctan x1 2 1 x2 x1 ,
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微分中值定理
Lagrange公式可以写成下面的各种形式:
中值定理(mean value theorem)
第三章 微分中值定理与导数的应用
因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 化率, 可借助导数来研究函数. 但每一点
的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,
导数来研究函数的全部性态, 还需架起新 的“桥梁 ”.
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第一节
微分中值定理
泰 勒 罗尔定理 推 公 拉格朗日中值定理 式 广 第 柯西中值定理 三 小结 思考题 作业 节
由条件,则 f ( x1 ) f ( x2 ), 即在区间I中任意两
点的函数值都相等,所以, f ( x ) C .
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0
微分中值定理
例2 证明 arcsin x arccos x
( 1 x 1). 2 证 设 f ( x ) arcsin x arccos 0, x [1,1] x 0 0 1 1 f ( x ) ( ) 0. 由推论 2 2 1 x 1 x f ( x ) C , x [1,1] 又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即 C . arcsin x arccos x . 2 2 说明 欲证 x I , f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0, 且 x0 I , 使 f ( x0 ) C0 .
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微分中值定理
推论 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零 ,
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数 .
证 在区间I上任取两点 1 , x2 ( x1 x2 ), x 由拉氏定理,有
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
零点定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0.
即为方程的小于1的正实根.
10微分中值定理来自证明方程 x 5 5 x 1 0 有且仅有一个小于1 的正实根.
(2) 唯一性 设另有 x1 (0,1), x1 x 0 , 使 f ( x1 ) 0. f ( x )在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条件.
c0 c1 x cn x
n
f ( x)
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微分中值定理
证 设
设常数c0 , c1 ,, cn满足条件 cn c1 c0 0. 试证方程 2 n1 . c0 c1 x cn x n 0在(0,1)内存在一个实根
cn n1 c1 2 f ( x ) c0 x x x , 2 n1 f ( x )在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且
可导,且
对b a也成立.
拉格朗日中值公式
微分中值定理
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微分中值定理
f (b) f (a ) (b a ) f ( ) 在微分学中占有
极重要的地位.它表明了函数在两点处的函数值 与导数间的关系. 利用它研究函数 （1）单调性 （2）某些等式与不等式的证明.
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微分中值定理
例1
f ( ) 0. f ( x ) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1). 如, 在[1,3]上连续,在( 1,3)内可导,且 f ( 1) f ( 3) 0,
f ( x ) 2( x 1), 取 1, (1 ( 1,3)) f ( ) 0.
M m 证 f ( x )在[a, b]有最大值 和最小值 . (a ) 若 M m. 则 f ( x ) M . 得 f ( x ) 0. (a , b),都有 f ( ) 0.
(b) 若 M m. 所以最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a ), 则在 (a, b) 内至少存在一点 , 使
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微分中值定理
例3
设常数c0 , c1 ,, cn满足条件 cn c1 c0 0. 试证方程 2 n1
c0 c1 x cn x n 0
在(0,1)内存在一个实根 .
分析
注意到:
cn n1 c1 2 ( c0 x x x ) 2 n1
f (0) 0 f (1)
罗尔定理
在(0,1)内至少存在一个实根, 使得f ( ) 0,
即 c0 c1 cn n 0
即x 为所求实根 .
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微分中值定理
拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日中值定理 若函数f ( x )满足 : (1) 在闭区间[a, b] 上连续;
y y y
1
O
x , 0 x 1 f ( x ) | x | , x [1 , 1] f ( x) 0, x 1
1
O
x
1
x
O
f ( x) x , x [0 ,1]
1
x
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微分中值定理
例1
对函数f ( x ) x 3 4 x 2 7 x 10, 在[1,2]上 验证罗尔定理的正确性. 证 (1) 定理的假设条件满足
至少存在一个 (在 x0 , x1 之间), 使得 f ( ) 0. ( x ) 5( x 4 1) 0, ( x (0,1))矛盾,故假设不真! 但 f 为唯一实根.
结论：罗尔定理还指出 对可导函数 f(x), 在方程, f (x)=0的两实根之间, 至少存在方程 f ( x ) 0 的一个实根.
( )
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第三章 微分中值定理与导数的应用
微分中值定理
连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直 于x轴的切线 .
下面的明显的
几何事实:
⌒ 在一条光滑的平面曲线段AB上, 至少有 有水平的切线 f ( ) 0
B
一点处的切线 与连接此曲线两端点的弦 AB
平行.
B
A A
O
y f (a ) f (b) C
(1) f (b) f (a ) f ( )(b a ).当a b时也成立 .
(2) f ( x x ) f ( x ) f ( )x, 在x和x x之间.
(3) y f ( x x ) x (0 1).
增量y的精确表达式.
证明不等式
f (b) f (a ) f ( )( b a ) (a , b)
arctan x2 arctan x1 x2 x1 , ( x1 x2 ).
如果f(x)在某区间上可导,要分析函数 在该区间上任意两点的函数值有何关系, 通常就想到微分中值定理. 证 记 f ( x ) arctan x , 在[ x1 , x2 ]上,
函数的 驻点(Stationary point), 稳定点, 临界点(Critical point).
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微分中值定理
罗尔定理 若函数f ( x )满足 : (1) 在闭区间a, b]上连续 (2) 在开区间 a , b)内可导 [ ; ( ; (3) f (a ) f (b),则在开区间 a, b)内至少存在一点 , ( 使得 f ( ) 0.
f ( ) M . [a , b], 有 f ( x ) f ( ),
由费马引理, f ( ) 0.
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微分中值定理
罗尔定理 若函数f ( x )满足 : (1) 在闭区间a, b]上连续 (2) 在开区间 a , b)内可导 [ ; ( ; (3) f (a ) f (b), 则在开区间 a, b)内至少存在一点 , ( 使得 f ( ) 0. 注 (1) 定理条件不全具备,结论不一定成立.
(2) 在开区间(a, b)内可导;
则在开区间a, b)内至少存在一点 , 使得 (
f (b) f (a ) f ( )( b a )
注 结论亦可写成 f (b) f (a ) f ( ). ba
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微分中值定理
y
几何解释:
A
O
C
y f ( x)
B
D
a
1
2 b x
y f ( x)
a
1
2 b x
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微分中值定理
罗尔 Rolle,(法)1652-1719
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔定理 若函数f ( x )满足 :
[ ; (1) 在闭区间a, b]上连续 ( ; (2) 在开区间 a , b)内可导
(3) f (a ) f (b),
则在开区间 a, b)内至少存在一点 , 使得 (
分析 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件 的函数. 将f (b) f (a ) f ( )(b a )式变为 f (b) f (a ) f ( ) 0, 定理的结论就转化为函数 ba f (b) f (a ) g( x ) f ( x ) x, ba 在区间 a, b)内有点 , 使g( ) 0的问题, 化为 (
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) 0
f ( x0 x ) f ( x0 ) 若 x 0, 0; x f ( x0 x ) f ( x0 ) 若 x 0, 0; x
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微分中值定理
罗尔定理肯定了 的存在性, 没必要知道 究竟等于什么数, 只要知道 存在即可.