2012年河北衡水高考信息卷(金考卷系列)理数(4)

2012年河北衡水高考信息卷（金考卷系列）理数（4）一、选择题 1 ．复数i i+-11(i 为虚数单位)的共轭复数的虚部为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．i2 ．已知函数)62cos(2)(π-=x x f ,下面四个结论中正确的是（ ）A ．函数)(x f 的最小正周期为π2B ．函数)(x f 的图象关于直线3π=x 对称C ．函数)(x f 的图象是由x y 2cos 2=的图象向右平移6π个单位得到D ．函数)6(π-x f 是奇函数3 ．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若)(4,4123122-+++==n n a a a S S ,则=5a （ ）A ．27B ．81C ．243D ．729边界),4 ．如图,目标函数y axz-=的可行域为四边形OACB(含若)5432(，是该目标函数的最优解,则a 的取值范围是A ．)125310(--，B ．)103512(--，C ．)512103(，D ．)103512(，- 5 ．设定义域为R 函数()f x 满足()(4),f x f x -=-+且当2x >时,()f x 单调递增,如果124x x +<且12(2)(2)4x x --<,则12()()f x f x +的值（ ）A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负6 ．函数)ln(x x y -=与x x y ln =的图象关于（ ）A ．直线x y =对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．原点对称7 ．已知函数xx x f sin )(=,判断下列三个命题的真假:①1)(<x f ;②0=x 为)(x f 的一个极大值点;③当)2,0(π∈x 时,)(x f 没有极值点.其中真命题的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8 ．设函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈,若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点,则下列图象不可能．．．为()y f x =的图象是DBA9 ．已知椭圆1422=+myx的离心率21<e ,则m 的取值范围为 （ ）A ．43<<mB ．83<<mC ．43<<m 或3164<<m D ．8>m 或43<<m10．某市要对2500名教师的年龄进行调查,现从中随机抽出100名教师,已知抽到的教师年龄都在)45,20[岁之间,根据调查结果得出教师的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示,利用这个残缺的频率分布直方图估计该市在)30,25[的人数是（ ）A ．500B ．750C ．250D ．60011．已知P 是ABC ∆所在平面内任意一点,G 是ABC ∆所在平面内一定点,且PG PC PB PA 3=++,则G 是ABC ∆的 （ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心12．过抛物线x y42=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点,它们到直线2-=x 的距离之和等于5,则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在二、填空题 13．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于N M ,两点,以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点,则双曲线的离心率等于___________.14．在正方体1111D C B A ABCD -中,过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ,交1CC 于F ,则面EBFD 1与底面1111D C B A 所成的二面角的最大值为_____________.15．已知直线0=++c by ax 与圆1:22=+y x O 相交于B A ,两点,且3||=AB ,以B A ,为切点的两条切线的夹角为____________.16．设)(1x f-是函数)1ln()(2++=x x x f 的反函数,则使1)(1>-x f成立的x 的取值范围为________________.三、解答题17．已知向量)sin ,(sin B A m =,)cos ,(cos A B n =,C n m 2sin =⋅,且A 、B 、C 分别为ABC ∆的三边a 、b 、c 所对的角. (Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)若A sin ,C sin ,B sin 成等差数列,且18)(=-⋅AC AB CA ,求c 边的长.18．甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是32和43.假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响.(1)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击,问:乙恰好射击4次后;被中止射击的概率是多少; (2)若共有三个目标靶,甲先对一目标射击,若甲没有射中,则乙再对目标补射,若乙射中,则二人对第二目标射击,若乙也没有射中,则停止射击.问:共射中两个目标的概率,并求射中目标靶的期望.19．已知等差数列{}n a 满足：{}n a a a a ,26,7753=+=的前n 项和为n S 。

（1）求n a 及n S ； （2）令)(11*2N n a b n n∈-=，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

20．已知四棱锥ABCD P -的底面为直角梯形,⊥︒=∠PA DAB DC AB ,90,//底面A B C D ,且M ,1=是PB 的中点.(1)判断在PD 上是否存在一点E ,使面⊥ABE 面PCD ,并说明理由; (2)求面AMC 与面BMC 所成的二面角的大小; (3)求点D 到面MAC 的距离.21．已知点()0,1A 、()0,1B -，P 是一个动点，且直线P A 、P B 的斜率之积为12-。

（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设()2,0Q ，过点()1,0-的直线l 交C 于M 、N 两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式Q M Q N λ⋅≤恒成立，求λ的最小值。

_ A_P_ D_C_ M_ D22．已知函数1()lnsing x xxθ=+在[)1,+∞上为增函数,且(0,)θπ∈,θ为常数,1()ln()mf x m x x m Rx-=--∈.(1)求θ的值;(2)若()()y f x g x=-在[)1,+∞上为单调函数,求m的取值范围;(3)设2()eh xx=,若在[]1,e上至少存在一个x,使得000()()()f xg xh x->成立,求m的取值范围.2012年春季期河北衡水高考信息卷（金考卷系列）理数（4）参考答案一、选择题1. C2. D3. B4. B5. A6. D7. B8. 【答案】D【解析】设x e x f x F )()(=,∴)2()()()(2c bx ax b ax e x f e x f e x F x x x ++++=+'=', 又∴1-=x 为x e x f )(的一个极值点, ∴0)()1(2=+-=-'c a e F ,即c a =, ∴22244a b ac b -=-=∆,当0=∆时,a b 2±=,即对称轴所在直线方程为1±=x ; 当0>∆时,1|2|>ab ,即对称轴所在直线方程应大于1或小于-1.9. C 10. A 11. D 12. D 二、填空题 13.12+ 14.4π15.3π16. )),12(ln(+∞+三、解答题 17.解:(1))sin(cos sin cos sin B A A B B A n m +=⋅+⋅=⋅对于C B A C C B A ABC sin )sin(0,,=+∴<<-=+∆ππ,.sin C n m =⋅∴又C n m 2sin =⋅ ,.3,21cos ,sin 2sin π===∴C C C C(2)由B A C B C A sin sin sin 2,sin ,sin ,sin +=得成等差比数列,由正弦定理得.2b a c +=18,18)(=⋅∴=-⋅CB CA AC AB CA ,即.36,18cos ==ab C ab由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=,36,3634222=⨯-=∴cc c,.6=∴c18.解:(1)记“乙恰好射击4次后,被中止射击”为事件2A ,由于各事件相互独立故2113111333()4444444464P A =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=所以乙恰好射击4次后,被中止射击的概率是364.(2)甲乙二人射中目标靶的概率为111113412-⨯=,共射中两个目标的概率为111111211212121728⨯⨯=.甲乙二人射中目标靶的个数可能为0,1,2,311111111121(0),(1),(2)341212121441728p p p ξξξ==⨯===⨯===3111331(3)()121728p ξ===故分布列为ξ123p1121114412117281331172811112113314367012312144172817281728E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=19. 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列基础知识是解答好本类题目的关键.【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,因为37a =,5726a a +=,所以有 112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得13,2a d ==, 所以321)=2n+1n a n =+-（;n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n .(Ⅱ)由(Ⅰ)知2n+1n a =,所以b n =211na -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅, 所以n T =111111(1-+++-)4223nn+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1),即数列{}n b 的前n 项和n T =n 4(n+1).20.解:(1)证明: PA ⊥ 底面ABCD C D A D ⊥由三垂线定理得C D PD ⊥因面,C D 与面PAD 内两条相交直线,AD PD 都垂直,C D ∴⊥面PAD ,在PAD ∆中,取P D 的中点为E ,则,,AE PD AE CD AE ⊥⊥⊂面A B E∴存在P D 的中点E 使得面⊥ABE 面PCD (2)作A N C M ⊥,垂足为N ,连接B N在Rt PAB ∆中,AM M B =又A C C B =,A M C B M C ∴∆≅∆ B N C M ∴⊥,故A N B ∠为所求二面角的平面角C B A C ⊥ ,由三垂线定理,得C B P C ⊥ 在R t P C B ∆中,C M M B =,所以C M A M =在等腰三角形A M C 中,AN M C AC ⋅=2A N∴==又2A B=2222cos23AN BN ABANBAN BN+-∴∠==-⨯故所求的二面角的大小为2arccos()3-.(3)12221111332246 M AC D D AC M AC D AC mV V S h S h h--=⇒⋅=⋅⇒⋅=⇒=故点D到面MAC的距离为6.21.解：（1）设动点P的坐标为(),x y，则直线,PA PB的斜率分别是11,y yx x-+，由条件得1112y yx x-+?-，-------------------------------------------------------2’即()22102xy x+=动点P的轨迹C的方程为()22102xy x+=-----------------------------------6’（注：无0x¹扣1分）（2）设点,M N的坐标分别是()()1122,,,x y x y，ⅰ）当直线l垂直于x轴时，21212111,,2x x y y y==-=-=()()()1213,,3,3,QM y QN y y\=-=-=--()2211732Q M Q N y\?--=-----------------------------------------------------10’ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为()1y k x=+，由221,2(1)xyy k xìïï+=ïíïï=+ïî得()2222124220k x k x k+++-=----------------------11’22121222422,1212k kx x x xk k-∴+=-=++--------------------------------------------12’()()()2224QM QN x x y y x x x x y y\?--+=-+++又()()11221,1y k x y k x =+=+，()()()2221212124QM QNk x x k x x k \?++-+++-----------------13’()217131722212k =-<+------------------------------------------14’综上所述QN QM ⋅的最大值是217---------------------------------------------------15’λ∴的最小值为172------------------------------------------------------------------------16’22. (共15分)解:(1)由题意:211g (x )0x sin xθ'=-+≥在[)1,+∞上恒成立,即2sin 1sin x x θθ-,(0,),sin 0,xsin 10θπθθ∈∴>≥ 故-在[)1,+∞上恒成立只需sin 110,sin 1sin 102πθθθθπθ⋅-≥≥∈即,只有=,结合（，），得=(2) 由(1),得f(x)-g(x)=mx-m 2ln x x-,22mx 2x m(f(x)-g(x))=x-+',由于f(x)-g(x)在其定义域内为单调函数,则22mx 2x m 0mx 2x m 0-+≥-+≤或者在[)1,+∞上恒成立,即m )1,+∞上恒成立,故m 1m 0≥≤或者,综上,m 的取值范围是(][),01,-∞+∞(3)构造函数F(x)=f(x)-g(x)-h(x),m 2e F(x )m x 2ln x xx=---,当m 0≤时，由[]x 1,e ∈得,m 2e m x 0,2ln x 0xx-≤--<,所以在[]1,e 上不存在一个0x ,使得000f (x )g (x )h (x )->; 当m>0时,2222m 22e mx 2x m 2e(F(x ))m xxxx-++'=+-+=,因为[]x 1,e ∈,所以22e 2x 0,m x m 0,F x ))>0'-≥+>所以（（在[)1,+∞上恒成立,故F(x)在[]x 1,e ∈上单调递增,m ax 2mm 4e F(x )m e 4,m e 4>0,m >eee 1=-----只要解得,故m 的取值范围是()24e e 1,-+∞ 另法:(3)222ln ,1e x x m x +>- 令222ln (),1e x x F x x +=-[]22'22(22)ln (242)()0()1,,(1)x x x ex F x F x e x --+--=<∴-在上递减44().e e F x m =∴>。