2017年江苏省南京市建邺区中考数学二模试卷及答案详解
2017年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷及答案详解
2017年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分）1．（2分）下列实数中，无理数是（）A．2B．﹣C．3.14D．2．（2分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a4÷a2＝a2D．（a2）4＝a6 3．（2分）不透明的布袋中有2个红球和3个白球，所有球除颜色外无其它差别，某同学从布袋里任意摸出一个球，则他摸出红球的概率是（）A．B．C．D．4．（2分）某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（）A．5，7B．6，7C．8，6D．8，75．（2分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，AC∥OB，则∠BOC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．（2分）如图，△ABC中，点C在y＝的图象上，点A、B在y＝的图象上，若∠C＝90°，AC∥y轴，BC∥x轴，S△ABC＝8，则k的值为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．8．（2分）2017南京国际马拉松于4月16日在本市正式开跑，本次参赛选手共12629人，将12629用科学记数法表示为．9．（2分）分解因式：a3﹣2a2+a＝．10．（2分）计算：﹣＝．11．（2分）设x1，x2是方程x2﹣4x+3＝0的两根，则x1+x2＝．12．（2分）将点A（2，﹣1）向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位得到点A′，则点A′的坐标是．13．（2分）如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针旋转到△COD的位置，则旋转角为．14．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，将△AED沿直线DE翻折，点A落在点P处，且DP⊥BC，则∠EDP＝°．15．（2分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为．16．（2分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，半径为1的⊙O分别与AB、AC相切于E、F两点，BG是⊙O的切线，切点为G，则BG的长为．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（6分）先化简，再求代数式的值：，其中m＝1．18．（7分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．19．（7分）某学校以随机抽样的方式开展了“中学生喜欢数学的程度”的问卷调查，调查的结果分为A（不喜欢）、B（一般）、C（比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级，图1、图2是根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图．（1）C等级所占的圆心角为°；（2）请直接在图2中补全条形统计图；（3）若该校有学生1000人，请根据调查结果，估计“比较喜欢”的学生人数为多少人．20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若CD＝CE，求证：AC⊥BD．21．（7分）运动会上，甲、乙、丙三位同学进行跳绳比赛，通过“手心手背”游戏决定谁先跳，规则如下：三个人同时各用一只手随机出示手心或手背，若其中有一个人的手势与另外两个不同，则此人先进行比赛，若三个人手势相同，则重新决定，那么通过一次“手心手背”游戏，甲同学先跳绳的概率是多少？22．（6分）如图，已知点P为∠ABC内一点，利用直尺和圆规确定一条过点P的直线，分别交AB，BC于点E，F，使得BE＝BF，（不写作法，保留作图痕迹）23．（7分）如图，用细线悬挂一个小球，小球在竖直平面内的A、C两点间来回摆动，A点与地面距离AN＝14cm，小球在最低点B时，与地面距离BM＝5cm，∠AOB＝66°，求细线OB的长度．（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.40，tan66°≈2.25）24．（7分）某水果店销售樱桃，其进价为40元/千克，按60元/千克出售，平均每天可售出100千克，经调查发现，这种樱桃每降价1元/千克，每天可多售出10千克，若该水果店销售这种樱桃要想每天获利2240元，每千克樱桃应降价多少元？25．（9分）已知一元二次方程x2﹣4mx+4m2+2m﹣4＝0，其中m为常数．（1）若该一元二次方程有实数根，求m的取值范围；（2）设抛物线y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4的顶点为M，点O为坐标原点，当m变化时，求线段MO长度的最小值．26．（12分）今年暑假，小勇、小红打算从城市A到城市B旅游，他们分别选择下列两种交通方案：方案一：小勇准备从城市A坐飞机先到城市C，再从城市C坐汽车到城市B，整个行程中，乘飞机所花的时间比汽车少用3小时，如图所示，城市A、B、C在一条直线上，且A、C两地的距离为2400km，飞机的平均速度是汽车的8倍．方案二：小红准备坐高铁直达城市B，其离城市A的距离y2（km）与出发时间x（h）之间的函数关系如图2所示．（1）AB两地的距离为km；（2）求飞机飞行的平均速度；（3）若两人同时出发，请在图2中画出小勇离城市A的距离y1与x之间的函数图象，并求出y1与x的函数关系式．27．（12分）定义：当点P在射线OA上时，把的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA 上的射影值，例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P 和点B在射线OA上的射影值均为＝．（1）在△OAB中，①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形；其中真命题有A．①②B．②③C．①③D．①②③（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以O为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点．①如图2，若点B在射线OA上的射影值为，求证：直线BC是⊙O的切线；②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式．2017年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分）1．（2分）下列实数中，无理数是（）A．2B．﹣C．3.14D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、2是整数，是有理数，选项不符合题意；B、﹣是分数，是有理数，选项不符合题意；C、3.14是有限小数，是有理数，选项不符合题意；D、是无理数，选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见形式有：开方开不尽的数，如等；无限不循环小数，如0.1010010001…等；字母表示的无理数，如π等．2．（2分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a4÷a2＝a2D．（a2）4＝a6【分析】根据同底数幂的除法、乘法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可．【解答】解：∵a2+a3≠a5，∴选项A不符合题意；∵a2•a3＝a5，∴选项B不符合题意；∵a4÷a2＝a2，∴选项C符合题意；∵（a2）4＝a8，∴选项D不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法、乘法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，要熟练掌握．3．（2分）不透明的布袋中有2个红球和3个白球，所有球除颜色外无其它差别，某同学从布袋里任意摸出一个球，则他摸出红球的概率是（）A．B．C．D．【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．【解答】解：∵布袋中装有2个红球和3个白球，共5个球，从袋中任意摸出一个球共有5种结果，其中出现红球的情况有2种可能，∴是红球的概率是，故选：B．【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．4．（2分）某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（）A．5，7B．6，7C．8，6D．8，7【分析】找出7位同学投中最多的个数即为众数，将个数按照从小到大的顺序排列，找出中位数即可．【解答】解：这组数据中出现次数最多的是8个，出现了3次，∴众数为8个，这组数据重新排列为5、5、6、7、8、8、8，∴其中位数为7个，故选：D．【点评】此题考查了众数与中位数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．5．（2分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，AC∥OB，则∠BOC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC＝∠OCA＝∠AOC，得出△OAC是等边三角形，得出∠BOC＝∠AOC＝60°即可．【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，∴，∴∠AOC＝∠BOC，∵OA＝OC，AC∥OB，∴∠OAC＝∠OCA，BOC＝∠OCA，∴∠OAC＝∠OCA＝∠AOC，∴△OAC是等边三角形，∴∠BOC＝∠AOC＝60°；故选：C．【点评】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆心角性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理和等腰三角形的性质，证明△AOC是等边三角形是解题的关键．6．（2分）如图，△ABC中，点C在y＝的图象上，点A、B在y＝的图象上，若∠C＝90°，AC∥y轴，BC∥x轴，S△ABC＝8，则k的值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】设点C的坐标为（m，），则点A的坐标为（m，），点B的坐标为（km，），由此即可得出AC、BC的长度，再根据三角形的面积结合S△ABC＝8，即可求出k值，取其正值即可．【解答】解：设点C的坐标为（m，），则点A的坐标为（m，），点B的坐标为（km，），∴AC＝﹣＝，BC＝km﹣m＝（k﹣1）m，∵S△ABC＝AC•BC＝（k﹣1）2＝8，∴k＝5或k＝﹣3．∵反比例函数y＝在第一象限有图象，∴k＝5．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，设出点C的坐标，表示出点A、B的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥2．【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x﹣2≥0．【解答】解：依题意得：x﹣2≥0．解得x≥2．故答案是：x≥2．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．8．（2分）2017南京国际马拉松于4月16日在本市正式开跑，本次参赛选手共12629人，将12629用科学记数法表示为 1.2629×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将12629用科学记数法表示为1.2629×104，故答案为：1.2629×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．（2分）分解因式：a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．【解答】解：a3﹣2a2+a＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2．故答案为：a（a﹣1）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．10．（2分）计算：﹣＝0．【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：原式＝2﹣2＝0．故答案为0．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．11．（2分）设x1，x2是方程x2﹣4x+3＝0的两根，则x1+x2＝4．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1+x2＝4．故答案为4．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．12．（2分）将点A（2，﹣1）向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位得到点A′，则点A′的坐标是（﹣1，3）．【分析】根据平移的性质，向左平移a，则横坐标减a；向上平移a，则纵坐标加a．【解答】解：∵A（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点A′，∴2﹣3＝﹣1，﹣1+4＝3．故答案为：（﹣1，3）．【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．13．（2分）如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针旋转到△COD的位置，则旋转角为90°．【分析】根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角，问题得解．【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，∴旋转的角度为90°．故答案为：90°．【点评】本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键．14．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，将△AED沿直线DE翻折，点A落在点P处，且DP⊥BC，则∠EDP＝45°．【分析】根据平行线的性质得到∠ADC+∠C＝180°，根据垂直的定义得到∠C+∠CDP ＝90°，根据折叠的性质得到∠ADE＝∠PDE，于是得到结论．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADC+∠C＝180°，∵DP⊥BC，∴∠C+∠CDP＝90°，∴∠ADE+∠PDE＝90°，∵将△AED沿直线DE翻折，点A落在点P处，∴∠ADE＝∠PDE，∴∠PDE＝45°，故答案为：45．【点评】本题考查了平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题），熟练掌握折叠的性质是解题的关键．15．（2分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为π．【分析】连接CF，DF，得到△CFD是等边三角形，得到∠FCD＝60°，根据正五边形的内角和得到∠BCD＝108°，求得∠BCF＝48°，根据弧长公式即可得到结论．【解答】解：连接CF，DF，则△CFD是等边三角形，∴∠FCD＝60°，∵在正五边形ABCDE中，∠BCD＝108°，∴∠BCF＝48°，∴的长＝＝π，故答案为：π．【点评】本题考查了正多边形与圆，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．16．（2分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，半径为1的⊙O分别与AB、AC 相切于E、F两点，BG是⊙O的切线，切点为G，则BG的长为．【分析】延长AO交BC于H．连接OE、OF．首先证明BH＝CH＝3，AH⊥BC，由△AOE ∽△ABH，得到＝，易知AH＝＝4，求出AE即可解决问题．【解答】解：延长AO交BC于H．连接OE、OF．∵AE、AF是切线，∴OA平分∠EAF，OF⊥AC，∵AB＝AC＝5，∴AH⊥BC，BH＝CH＝3，由△AOE∽△ABH，得到＝，易知AH＝＝4，∴＝，∴AE＝，BE＝AB﹣AE＝，∵BE，BG是⊙O切线，∴BG＝BE＝．故答案为．【点评】本题考查切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（6分）先化简，再求代数式的值：，其中m＝1．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝•＝，当m＝1时，原式＝＝﹣．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．18．（7分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并把解集在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得x≤1，由②得x＞﹣2，故不等式组的就为﹣2＜x≤1．把解集在数轴上表示出来为：【点评】此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．同时考查了在数轴上表示不等式的解集．19．（7分）某学校以随机抽样的方式开展了“中学生喜欢数学的程度”的问卷调查，调查的结果分为A（不喜欢）、B（一般）、C（比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级，图1、图2是根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图．（1）C等级所占的圆心角为126°；（2）请直接在图2中补全条形统计图；（3）若该校有学生1000人，请根据调查结果，估计“比较喜欢”的学生人数为多少人．【分析】（1）用360°乘以C等级百分比可得；（2）根据A等级人数及其百分比求得总人数，由各等级人数之和等于总人数求得C等级人数即可补全统计图；（3）用总人数1000乘以样本中C等级所占百分比可得．【解答】解：（1）C等级所占的圆心角为360°×（1﹣10%﹣23%﹣32%）＝126°，故答案为：126；（2）∵本次调查的总人数为20÷10%＝200（人），∴C等级的人数为：200﹣（20+46+64）＝70（人），补全统计图如下：（3）1000×＝350（人），答：估计“比较喜欢”的学生人数为350人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若CD＝CE，求证：AC⊥BD．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，由平行线证出∠ABC＝∠DCE，∠BAC＝∠ACD，∠ACB＝∠DEC，由AAS证明△ABC≌△DCE即可；（2）由（1）得：△ABC≌△DCE，得出AC＝DE，证出四边形ACED是平行四边形，得出AD＝CE，证出AD＝CD，因此四边形ABCD是菱形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE，∠BAC＝∠ACD，∵DE∥AC，∴∠ACB＝∠DEC，在△ABC和△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（AAS）；（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DCE；∴AC＝DE，∵AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD＝CE，∵CD＝CE，∴AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．【点评】本题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．21．（7分）运动会上，甲、乙、丙三位同学进行跳绳比赛，通过“手心手背”游戏决定谁先跳，规则如下：三个人同时各用一只手随机出示手心或手背，若其中有一个人的手势与另外两个不同，则此人先进行比赛，若三个人手势相同，则重新决定，那么通过一次“手心手背”游戏，甲同学先跳绳的概率是多少？【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲同学先跳绳的情况数，即可求出所求．【解答】解：设用A表示手心，B表示手背，画树状图如下：所有等可能的情况有8种，其中（甲A，乙B，丙B）和（甲B，乙A，丙A）满足题意，则P＝＝，则甲同学先跳绳的概率是．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件；概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（6分）如图，已知点P为∠ABC内一点，利用直尺和圆规确定一条过点P的直线，分别交AB，BC于点E，F，使得BE＝BF，（不写作法，保留作图痕迹）【分析】①截取BM＝BN，②作平行四边形PMNG．直线EF即为所求．（也可以作∠B 的平分线，过P作角平分线的垂线即可）【解答】解：①截取BM＝BN，②作平行四边形PMNG．直线EF即为所求．（也可以作∠B的平分线，过P作角平分线的垂线即可）【点评】本题考查基本作图，解题的关键是理解题意，灵活应用基本作图解决问题，属于中考常考题型．23．（7分）如图，用细线悬挂一个小球，小球在竖直平面内的A、C两点间来回摆动，A点与地面距离AN＝14cm，小球在最低点B时，与地面距离BM＝5cm，∠AOB＝66°，求细线OB的长度．（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.40，tan66°≈2.25）【分析】设细线OB的长度为xcm，作AD⊥OB于D，证出四边形ANMD是矩形，得出AN＝DM＝14cm，求出OD＝x﹣9，在Rt△AOD中，由三角函数得出方程，解方程即可．【解答】解：设细线OB的长度为xcm，作AD⊥OB于D，如图所示：∴∠ADM＝90°，∵∠ANM＝∠DMN＝90°，∴四边形ANMD是矩形，∴AN＝DM＝14cm，∴DB＝14﹣5＝9cm，∴OD＝x﹣9，在Rt△AOD中，cos∠AOD＝，∴cos66°＝＝0.40，解得：x＝15，∴OB＝15cm．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解此题关键是把实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到三角形中，根据线段之间的转换列方程即可．注意实际问题要入进．24．（7分）某水果店销售樱桃，其进价为40元/千克，按60元/千克出售，平均每天可售出100千克，经调查发现，这种樱桃每降价1元/千克，每天可多售出10千克，若该水果店销售这种樱桃要想每天获利2240元，每千克樱桃应降价多少元？【分析】设每千克樱桃应降价x元，则每天销售量为（100+10x）千克，根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设每千克樱桃应降价x元，则每天销售量为（100+10x）千克，根据题意得：（60﹣40﹣x）（100+10x）＝2240，整理得：x2﹣10x+24＝0，解得：x1＝4，x2＝6．答：每千克樱桃应降价4元或6元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据总利润＝每千克利润×销售数量，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．25．（9分）已知一元二次方程x2﹣4mx+4m2+2m﹣4＝0，其中m为常数．（1）若该一元二次方程有实数根，求m的取值范围；（2）设抛物线y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4的顶点为M，点O为坐标原点，当m变化时，求线段MO长度的最小值．【分析】（1）由题意可知：△≥0，列出不等式即可求出m的范围；（2）求出用m表示M的坐标，然后可知M的坐标在直线y＝x﹣4的图象上，由集合性质即可求出OM的最小长度．【解答】解：（1）由题意可知：△＝（﹣4m）2﹣4（4m2+2m﹣4）＝﹣8m+16≥0，∴m≤2（2）y＝（x﹣2m）2+2m﹣4∴顶点M的坐标为：（2m，2m﹣4），∴点M在直线l：y＝x﹣4的图象上，当OM⊥l时，此时OM的长度最小，设直线l与x轴交于点A，与y轴点B，令x＝0和y＝0代入y＝x﹣4，∴A（4，0），B（0，﹣4）∴△AOB是等腰直角三角形，∵OM⊥l∴OM的最小值为：2【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于中等题型．26．（12分）今年暑假，小勇、小红打算从城市A到城市B旅游，他们分别选择下列两种交通方案：方案一：小勇准备从城市A坐飞机先到城市C，再从城市C坐汽车到城市B，整个行程中，乘飞机所花的时间比汽车少用3小时，如图所示，城市A、B、C在一条直线上，且A、C两地的距离为2400km，飞机的平均速度是汽车的8倍．方案二：小红准备坐高铁直达城市B，其离城市A的距离y2（km）与出发时间x（h）之间的函数关系如图2所示．（1）AB两地的距离为3000km；（2）求飞机飞行的平均速度；（3）若两人同时出发，请在图2中画出小勇离城市A的距离y1与x之间的函数图象，并求出y1与x的函数关系式．【分析】解：（1）由图象即可得到结论；（2）设飞机飞行的平均速度是vkm/h，则飞机飞行的时间为h，于是得到汽车的速度为km/h，时间为（+3）h，列方程即可得到结论；（3）根据题意即可得到结论．【解答】解：（1）由图象知，AB两地的距离为3000km；故答案为：3000；（2）∵AC＝2400km．BC＝3000﹣2400＝600km，设飞机飞行的平均速度是vkm/h，则飞机飞行的时间为h，∴汽车的速度为km/h，时间为（+3）h，∴（+3）＝600，∴v＝800，经检验v＝800是原方程的解，答：飞机飞行的平均速度是800km/h；（3）如图，当0≤x≤3，y1＝800x，当3＜x≤9时，设y1＝kx+b，代入点（3，2400），（9，3000）得，，∴，∴y1＝100x+2100，综上所述，y1＝．【点评】本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．27．（12分）定义：当点P在射线OA上时，把的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA 上的射影值，例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P 和点B在射线OA上的射影值均为＝．（1）在△OAB中，①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形；其中真命题有BA．①②B．②③C．①③D．①②③（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以O为圆心，OA为半径画圆，点B 是⊙O上任意点．①如图2，若点B在射线OA上的射影值为，求证：直线BC是⊙O的切线；②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式．【分析】（1）根据射影值的定义一一判断即可解决问题．（2）①根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，可得△BOH∽△COB，推出∠BHO ＝∠CBO＝90°，由此即可证明；②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上以及OC上方部分的情形．分两种情形考虑：当∠DOB＜90°时，当∠DOB≥90°时．【解答】解：（1）①错误．点B在射线OA上的射影值小于1时，∠OBA可以是钝角，故△OAB不一定是锐角三角形．②正确．点B在射线OA上的射影值等于1时，AB⊥OA，∠OAB＝90°，△ABC是直角三角形．③正确．B在射线OA上的射影值大于1时，∠OAB是钝角，△ABC是钝角三角形．故答案为B．（2）①如图2中，作BH⊥OC于H．∵＝，＝，OA＝OB＝OC＝1，∴＝，∵∠BOH＝∠COB，∴△BOH∽△COB，∴∠BHO＝∠CBO＝90°，∴BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线．②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上以及OC上方部分的情形．当∠DOB＜90°时，设DM＝h，∵BD＝DC，∴S△OBD＝S△ODC，∴•OB•DN＝•OC•DM，∴DN＝2h∵OD2＝DN2+ON2＝DM2+OM2，∴4h2+y2＝h2+x2，∴3h2＝x2﹣y2①，∵BD2＝CD2，∴4h2+（1﹣y）2＝h2+（2﹣x）2②，①②消去y得到y＝2x﹣．如图，当∠BOD＝90°时，在Rt△ODM中，易知OD＝2DM（AD是△BOC的中位线，AD＝OB＝OA，由此推出sin∠DOA＝）∴∠DOM＝30°，设DM＝h，则OD＝2h．OM＝h，∴h2+（2﹣h）2＝12+4h2，∴h＝，∴OM＝，当点B在OC上时，OD＝或综上所述，当≤x≤时，y＝0，当＜x时，y＝2x﹣．【点评】本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、射影值的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。
2017年江苏省南京市中考数学试卷及详细答案
2017年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（）A．7 B．8 C．21 D．362．计算106×（102）3÷104的结果是（）A．103B．107C．108D．1093．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱，该模型的形状对应的立体图形可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥4．若＜a＜，则下列结论中正确的是（）A．1＜a＜3 B．1＜a＜4 C．2＜a＜3 D．2＜a＜45．若方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A．a是19的算术平方根B．b是19的平方根C．a﹣5是19的算术平方根D．b+5是19的平方根6．过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（）A．（4，）B．（4，3） C．（5，）D．（5，3）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．计算：|﹣3|=；=．8．2016年南京实现GDP约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是．9．分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．计算：+×=．11．方程﹣=0的解是．12．已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p=，q=．13．如图是某市2013﹣2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是年，私人汽车拥有量年增长率最大的是年．14．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=15．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC=°．16．函数y1=x与y2=的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（7分）计算（a+2+）÷（a﹣）．18．（7分）解不等式组请结合题意，完成本题的解答．（1）解不等式①，得，依据是：．（2）解不等式③，得．（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．19．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF，BD 相交于点O，求证：OE=OF．20．（8分）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．月收入/元4500018001000550480340300220人数111361111（1）该公司员工月收入的中位数是元，众数是元．（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．21．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．22．（8分）“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．23．（8分）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择，如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具．（1）①当减少购买1个甲种文具时，x=，y=；②求y与x之间的函数表达式．（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元，甲、乙两种文具各购买了多少个？24．（8分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB 的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．（1）求证：PO平分∠APC；（2）连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC．25．（8分）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）26．（8分）已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．27．（11分）折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．（1）说明△PBC是等边三角形．【数学思考】（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围．【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（）A．7 B．8 C．21 D．36【解答】解：原式=12+3+6=21，故选C2．计算106×（102）3÷104的结果是（）A．103B．107C．108D．109【解答】解：106×（102）3÷104=106×106÷104=106+6﹣4=108．故选：C．3．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱，该模型的形状对应的立体图形可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥【解答】解：四棱锥的底面是四边形，侧面是四个三角形，底面有四条棱，侧面有4条棱，故选：D．4．若＜a＜，则下列结论中正确的是（）A．1＜a＜3 B．1＜a＜4 C．2＜a＜3 D．2＜a＜4【解答】解：∵1＜2，3＜4，又∵＜a＜，∴1＜a＜4，故选B．5．若方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A．a是19的算术平方根B．b是19的平方根C．a﹣5是19的算术平方根D．b+5是19的平方根【解答】解：∵方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，∴a﹣5和b﹣5是19的两个平方根，且互为相反数，∵a＞b，∴a﹣5是19的算术平方根，故选C．6．过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（）A．（4，）B．（4，3） C．（5，）D．（5，3）【解答】解：已知A（2，2），B（6，2），C（4，5），∴AB的垂直平分线是x==4，设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（6，2），C（4，5）代入上式得，解得，∴y=﹣x+11，设BC的垂直平分线为y=x+m，把线段BC的中点坐标（5，）代入得m=，∴BC的垂直平分线是y=x+，当x=4时，y=，∴过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（4，）．故选A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．计算：|﹣3|=3；=3．【解答】解：|﹣3|=3，==3，故答案为：3，3．8．2016年南京实现GDP约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是 1.05×104．【解答】解：10500=1.05×104．故答案为：1.05×104．9．分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠1．【解答】解：由题意得x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．10．计算：+×=6．【解答】解：原式=2+=2+4=6．故答案为6．11．方程﹣=0的解是x=2．【解答】解：﹣=0，方程两边都乘以x（x+2）得：2x﹣（x+2）=0，解得：x=2，检验：当x=2时，x（x+2）≠0，所以x=2是原方程的解，故答案为：x=2．12．已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p=4，q=3．【解答】解：∵关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，∴﹣3+（﹣1）=﹣p，（﹣3）×（﹣1）=q，∴p=4，q=3．故答案为：4；3．13．如图是某市2013﹣2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是2016年，私人汽车拥有量年增长率最大的是2015年．【解答】解：由条形统计图可得：该市私人汽车拥有量年净增量最多的是2016年，净增183﹣150=33（万辆），由折线统计图可得，私人汽车拥有量年增长率最大的是：2015年．故答案为：2016，2015．14．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D= 425°．【解答】解：∵∠1=65°，∴∠AED=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°﹣∠AED=425°，故答案为：425．15．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC=27°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，∴∠ACB=∠DCB=（180°﹣∠D）=51°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=78°，∴∠EAC=∠AEB﹣∠ACE=27°，故答案为：27．16．函数y1=x与y2=的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是①③．【解答】解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；③结合图象的2个分支可以看出，在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确；∴正确的有①③．故答案为：①③．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（7分）计算（a+2+）÷（a﹣）．【解答】解：（a+2+）÷（a﹣）===．18．（7分）解不等式组请结合题意，完成本题的解答．（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的性质3．（2）解不等式③，得x＜2．（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集﹣2＜x ＜2．【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的性质3．（2）解不等式③，得x＜2．（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：﹣2＜x＜2，故答案为：（1）x≥﹣3、不等式的性质3；（2）x＜2；（3）﹣2＜x＜2．19．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF，BD 相交于点O，求证：OE=OF．【解答】证明：连接BE、DF，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OF=OE．20．（8分）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．月收入/元4500018001000550480340300220人数111361111（1）该公司员工月收入的中位数是3400元，众数是3000元．（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．【解答】解：（1）共有25个员工，中位数是第13个数，则中位数是3400元；3000出现了11次，出现的次数最多，则众数是3000．故答案为3400；3000；（2）用中位数或众数来描述更为恰当．理由：平均数受极端值45000元的影响，只有3个人的工资达到了6276元，不恰当；21．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．【解答】解：（1）第二个孩子是女孩的概率=；故答案为；（2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是女孩的概率=．22．（8分）“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．【解答】解：（1）如图1，在OA，OB上分别，截取OC=4，OD=3，若CD的长为5，则∠AOB=90°（2）如图2，在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，若点O在圆上，则∠AOB=90°．23．（8分）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择，如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具．（1）①当减少购买1个甲种文具时，x=99，y=2；②求y与x之间的函数表达式．（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元，甲、乙两种文具各购买了多少个？【解答】解：（1）①∵100﹣1=99，∴x=99，y=2，故答案为99，2．②由题意y=2（100﹣x）=﹣2x+200，∴y与x之间的函数表达式为y=﹣2x+200．（2）由题意，解得，答：甲、乙两种文具各购买了60个和80个．24．（8分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB 的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．（1）求证：PO平分∠APC；（2）连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC．【解答】解：（1）如图，连接OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA=OB，∴PO平分∠APC；（2）∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP=∠OBP=90°，∵∠C=30°，∴∠APC=90°﹣∠C=90°﹣30°=60°，∵PO平分∠APC，∴∠OPC=∠APC==30°，∴∠POB=90°﹣∠OPC=90°﹣30°=60°，又OD=OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠OBD=60°，∴∠DBP=∠OBP﹣∠OBD=90°﹣60°=30°，∴∠DBP=∠C，∴DB∥AC．25．（8分）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：如图作CH⊥AD于H．设CH=xkm，在Rt△ACH中，∠A=37°，∵tan37°=，∴AH==，在Rt△CEH中，∵∠CEH=45°，∴CH=EH=x，∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，∴=，∵AC=CB，∴AH=HD，∴=x+5，∴x=≈15，∴AE=AH+HE=+15≈35km，∴E处距离港口A有35km．26．（8分）已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是D．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数），∴△=（m﹣1）2+4m=（m+1）2≥0，则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，故选D；（2）y=﹣x2+（m﹣1）x+m=﹣（x﹣）2+，把x=代入y=（x+1）2得：y=（+1）2=，则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上；（3）设函数z=，当m=﹣1时，z有最小值为0；当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，当m=﹣2时，z=；当m=3时，z=4，则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4．27．（11分）折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．（1）说明△PBC是等边三角形．【数学思考】（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围．【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．【解答】（1）证明：由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，∴PB=PC，PB=CB，∴PB=PC=CB，∴△PBC是等边三角形．（2）解：以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1；再以点B为位似中心，将△△P1BC1放大，使点C1的对称点C2落在CD上，得到△P2BC2；如图⑤所示；（3）解：本题答案不唯一，举例如图⑥所示；（4）解：如图⑦所示：△CEF是直角三角形，∠CEF=90°，CE=4，EF=1，∴∠AEF+∠CED=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=CD，∴∠DCE+∠CED=90°，∴∠AEF=∠DCE，∴△AEF∽△DCE，∴=，设AE=x，则AD=CD=4x，∴DE=AD﹣AE=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2=42，解得：x=，∴AD=4×=；故答案为：．第21页（共21页）。
江苏省南京市建邺区中考数学二模试题 苏教版
九年级数学试卷及答案一、选择题(每题2分，共12分) 1．9的平方根是( ▲ )A ．3B ．－3C ．±3D ． 32．计算(a 2) 3的结果是( ▲ )A ．a 5B ．a 6C ．a 8D ．a 93．下列事件中，必然事件是( ▲ ) A ．没有水分，种子发芽B ．打开电视，它正在播篮球比赛C ．抛掷一枚均匀的硬币，硬币落地后正面朝上D ．一只不透明的袋中只装有3个白球，从中摸出一个球是白球4．两圆相交，圆心距为12，则两圆半径可以是( ▲ )A ．15，20B ． 10，30C ．1，10D ． 5，75．在显微镜下，一种细胞的截面可以近似地看成圆，它的半径约为5×10－７ｍ， 若π ≈3.14，则这种细胞的截面面积用科学记数法表示大约是( ▲ )A ．78.5×10－14ｍB ．7. 85×10－14ｍC ．7. 85×10－13ｍD ．0.785×10－12ｍ6．如图，矩形纸片ABCD 中，AD ＝3cm ，点E 在BC 上， 将纸片沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点F 处，且 ∠AEF ＝∠CEF ，则AB 的长是( ▲ )A ．1 cmB ． 3 cmC ．2 cmD ． 5 cm二、填空题(每题2分，共20分) 7．－2的倒数是___▲___．8．命题“相等的角是对顶角”是___▲___命题(填“真”或“假”)．9．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB 、AC 的中点，若DE ＝4，则BC ＝___▲___．(第9题图) (第10题图) (第11题图)10．如图，□ABCD 中，已知A (－3，0)，B (1，0)，D (0，2)，则点C 的坐标是___▲___．11．如图，正六边形中，∠α＝___▲___°．BECDAFEDCBA12．已知利民公司2008年的利润是10万元，依据右边的统计图，可知该公司2010年的利润是___▲___万元．13．当x 为实数时，代数式x 2－2x －3的最小值是___▲___．14．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ≥－3，x ＋22 ＞x 的整数解是___▲___．15．如图，把等腰直角三角形ABC 沿直线BC 方向向右平移到△DEF 的位置， AC 交DE 于点O ，连接AD ，如果AB ＝2 2 ，BF ＝6，那么△AOD 的面积为___▲___．(第15题图) (第16题图)16．如图，菱形ABCD 的边长是13，点O 是两条对角线的交点，且OB ＝12．约定：三角形三边上的任意一点到圆上的任意一点距离的最小值叫做三角形与圆的距离．依据这个约定，可知当⊙C 的半径是 ___▲___时，△ABD 与⊙C 的距离为3．三、解答题(共88分) 17．(6分)先化简，再求值：(2x ＋2 ＋x －2)•1x 2－2，其中x ＝ 3 －2．18．(6分)如图，点A (－1，0)为二次函数y ＝12x 2＋bx －2的图象与x 轴的一个交点．(1)求该二次函数的表达式，并说明当x ＞0时，y 值随x 值变化而变化的情况；(2)将该二次函数图象沿x 轴向右平移1个单位，请直接写出平移后的图象与x 轴的交点坐标．O CDABOFEABCD19．(6分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 在∠BAC 的平分线上，如果直线AB 与⊙O 相切，切点为B ，试判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并说明你的理由．20．(7分)如图，等边三角形ABC 的边长为5，点P 在边AC 上，且AP ＝2，点D 在直线BC 上，且PD ＝PB ，作AE ∥BC ，交BP 于点E ．请你求出AECD的值．ABCDPE21．(7分)某旅游商店共有单价分别为10元、30元和50元的三种绢扇出售，该商店统计了2012年4月份这三种绢扇的销售情况，并绘制统计图如下：图① 图②请解决下列问题：(1)计算4月份销售了多少把单价为50元的绢扇，并在图②中把条形统计图补充完整；(2)该商店所销售的这些绢扇的平均价格是多少呢？小亮认为：这个平均价格为13 (10＋30＋50)＝30(元)，你认为小亮的计算方法正确吗?如不正确，请你计算出这个平均价格．AB C D O22．(7分)如图所示的地面被分成8个全等的三角形区域，其中，标有字母a、b、c、d的4个三角形区域都是空地，另外4个三角形区域都是草坪．(1)一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示的地面上，求小鸟落在草坪上的概率；(2)现准备从如图所示的4块空地中任意选取两块种花，请你计算标有字母a、b的两块空地种花的概率(用树状图或列表法求解)．23．(7分)反比例函数y1＝kx图象上的一些点的坐标如下表所示：x …－3 －2 －1 … 1 2 3 …y … 2 3 6 …－6 －3 －2 …这个反比例函数的表达式是；(2)一次函数的表达式是y2＝mx－1(其中，m是常数，且m≠0)．①求证：不论m为何值，该一次函数的图象都经过一个定点；②已知一次函数的图象与反比例函数图象交于点(－6，1)和点(3，－2)，请你直接写出使式子kx＞mx－1成立的x的取值范围．24．(7分)如图，小明打算测量旗杆AH的高度，他首先在教学楼四楼的点B处测得旗杆顶端A的仰角为15°，然后在三楼的点D处测得A的仰角为37°．已知每层楼的高度为3.2m(例如BD＝3.2m)，请帮助小明求出旗杆AH的高度(精确到0.1 m)．(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)25．(7分)端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m(0＜m＜1)元．(1)零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出___▲___只粽子，利润为___▲___元．(2)在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？26．(8分)小明的爸爸骑自行车从家出发，沿一条直路到相距2400m的风景区送货，他出发的同时，小明以80m/min速度从风景区沿同一条道路步行回家，设他们出发后经过t min时，小明的爸爸与家之间的距离为s1 m，小明与家之间的距离为s2 m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间函数关系的图象．(1)求s2与t之间的函数关系式；(2)小明的爸爸在风景区停留2min后沿原路返回，并计划比小明早6min到家为小明准备洗澡水，请你帮助小明的爸爸确定返回时的骑车速度，并计算距离家还有多远时小明的爸爸在返回途中追上小明．27．(9分)已知，直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC＝6．(1)如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP＝___▲___时，四边形BCDP是矩形；(2)将点B绕点E逆时针旋转．①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF＝α°，求证：△ABF是直角三角形；②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG＝90°，求△DEG的面积．图1 图2 图328．(11分) 情境一我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．我们还知道：①圆心角的度数等于与它所对的弧的度数，②同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．由此，小明得到一个正．确．的结论：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．如图1，∠LMN ＝12LN ⌒ ． 问题1 填空：如图1，如果LN⌒ 的度数是80，那么∠LMN 的度数 是___▲___．图1情境二小明把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，并继续探索． 如图2，∵∠PTQ 是△OPT 的一个外角， ∴∠PTQ ＝∠O ＋∠P ． ∴∠O ＝∠PTQ －∠P ．∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半(已在情境一中 证明)，∴∠PTQ ＝12 PQ ⌒ ，∠P ＝12RT ⌒ ．∴∠O ＝∠PTQ －∠P ＝12 PQ ⌒ －12 RT ⌒ ＝12(PQ ⌒ －RT ⌒)．图2经历了上述探索、证明过程，小明发现了“圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半”这个正确结论．问题2 填空：如图2，如果PQ ⌒ ＝80°，RT ⌒ ＝20°，那么∠O ＝___▲___°．问题3 类比情境二的内容，请你就角的顶点在圆内的情况进行探索．写出你的发现，并证明你的结论．备用图TRQPONMLAB C参考答案与评分标准一、选择题(每题2分，共12分)1．C 2．B 3．D 4．A 5．C 6．B 二、填空题(每题2分，共20分)7．－12 8．假 9．8 10．(4，2) 11．60 12．14.4 13．－4 14．－1，0，1 15．1 16．2或16三、解答题(共88分)17．原式＝(x －2) (x ＋2)＋2x ＋2 •1x 2－2……2分＝x 2－4＋2x ＋2 •1x 2－2 ＝1x ＋2……4分当x ＝ 3 －2时，原式＝13 －2＋2 ＝1 3＝ 33 ．……6分18．(1)∵点A (－1，0)在抛物线y ＝12x 2＋ bx －2上，∴12 × (－1 )2＋ b × (－1) –2 ＝ 0，解得b ＝－32 ．……1分∴抛物线的解析式为y ＝12 x 2－32 x －2．……2分∴抛物线的对称轴为过点(32，0)与y 轴平行的直线，∴当0＜x ≤32 时，y 值随x 值增大而减小；当x ＞32时，y 值随x 值增大而增大． (4)分(2) ∵原抛物线与x 轴的交点坐标分别为(－1，0 )，(4，0 )，∴平移后的图象与x 轴的交点坐标分别为(0，0 )，(5，0 )．……6分(不写理由不扣分)19．直线AC 与⊙O 相切．………………1分解：连接OC ．∵直线AB 与⊙O 相切，∴∠ABO ＝90°．………………2分 在△ABO 和△ACO 中，∵点O 在∠BAC 的平分线上， ∴∠BAO ＝∠CAO ． 又∵AB ＝AC ，AO ＝AO ．∴△BAO ≌△CAO ．………………4分∴OB ＝OC ，∠ACO ＝∠ABO ＝90°，∴AC ⊥OC ．…………5分 法一：∵直线AC 过⊙O 半径OC 的外端点C ，………………6分 ∴直线AC 与⊙O 相切． 法二：∴圆心O 到直线AC 的距离是OC ． 又∵OC ＝OB ，………………6分 ∴直线AC 与⊙O 相切．20．∵等边三角形ABC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°．∵AE ∥BC ，∴∠BAE ＝120°．……1分∵∠ACB＝60°，∴∠PCD＝120°．∴∠PCD＝∠BAE．……2分∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠D．……3分∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBD．∴∠E＝∠D．……4分∴△BEA∽△PDC．……5分∴ABCP＝AECD．……6分∵AC＝5，AP＝2，∴CP＝3．又∵AB＝5，∴AECD＝ABCP＝53．……7分21．(1)180÷30%＝600，……1分600×15%＝90；……2分如图：……4分(2)小亮的计算方法不正确．……5分正确计算为：10×30%＋30×55%＋50×15%＝27(元)．……7分22． (1) 小鸟落在草坪上的概率为12；………2分(2) 列表如下(树状图解法略)…………………4分依据列表，从4块空地中选取两块，共有12种结果，且每种结果都是等可能出现的，其中选取标有字母a、b的两块空地共有2种结果，……………6分∴P＝16．……………………7分23．(1)y1＝－6x；……2分(2) ①把x＝0代入y2＝mx－1，得y2＝0．……4分∴不论m为何值，该一次函数的图象都经过定点(0，－1)；……5分第二块结果第一块a b c da (a，b) (a，c) (a，d)b (b，a) (b，c) (b，d)c (c，a) (c，b) (c，d)d (d，a) (d，b) (d，c)②(考察图形可得)－6＜x＜0，或x＞3．……7分24．过点B 作AH 的垂线，垂足为点C ，过点D 作AH 的垂线，垂足为点E ，易得BC ＝DE ．由题意可得∠ABC ＝15°，∠ADE ＝37°．……1分在Rt △ABC 中，∠ABC ＝15°，∴AC ＝BC ×tan15°，∴BC ＝AC ÷tan 15°．……2分 类似地，在Rt △ADE 中，可得DE ＝AE ÷tan 37°．……3分∵BC ＝DE ，∴AC ÷tan 15°＝AE ÷tan 37°，∴AC ÷0.27≈AE ÷0.75．……4分 ∵AE ＝AC ＋3.2，∴AC ÷0.27≈(AC ＋3.2)÷0.75．……5分 解得AC ≈1.8．……6分 1 .8＋9.6＝11.4．……7分答：旗杆AH 的高度约为11.4m ． 25．(1)300＋100×m 0.1，(1－m )(300＋100×m0.1)．……2分(2)令(1－m )(300＋100×m0.1)＝420．……3分化简得，100m 2－70m ＋12＝0．……4分 即，m 2－0.7m ＋0.12＝0． 解得m ＝0.4或0.3．……5分可得，当m ＝0.4时卖出的粽子更多． ……6分答：当m 定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．…7分 26．(1)t ＝2400÷80＝30(min)．……1分设s 2＝kt ＋b ，将(0，2400)和(30，0)代入得 ⎩⎨⎧b ＝2400，30k ＋b ＝0．……2分 解得⎩⎨⎧b ＝2400，k ＝－80．∴s 2＝－80t ＋2400；……3分 (2)30－14－6＝10．2400÷10＝240m/min ．……4分 由题意得点D 坐标为(24，0)．设直线BD 的函数关系式为：s 1＝pt ＋q ，其中，14≤t ≤24．由⎩⎨⎧14p ＋q ＝2400，24p ＋q ＝0．解得⎩⎨⎧p ＝－240，q ＝5760．∴当14≤t ≤24时，s 1＝－240t ＋5760．……6分由－80t ＋2400＝－240t ＋5760解得：t ＝21．……7分 当t ＝21时，s 2＝720．……8分答：小明的爸爸返回时的骑车速度应为240m/min ，距离家还有720m 时小明的爸爸在返回途中追上小明．用心 爱心 专心 11 27．(1)3；………………1分(2)①∵点E 是边AB 的中点，∴AE ＝BE ．由题意可得，BE ＝EF ．∴BE ＝EF ＝AE ．………………2分在△BEF 中，∠BEF ＝α°，可得∠EBF ＝∠BFE ＝90°－12α°．在△AEF 中，可得∠EAF ＝∠AFE ＝12α°．………………4分∴∠BFE ＋∠AFE ＝90°－12α°＋12α°＝90°．∴△ABF 是直角三角形；………………5分②解法一 如图4，将点D 绕点E 顺时针旋转90°，到达点H ，连接EH 、BH ．图4 图5 图6可证明△DEG ≌△HEB ．………………7分求得△HEB 的面积为92，∴△DEG 的面积为92．………………9分解法二 如图5，过点E 作边BC 的垂线，垂足为点K ，过点G 作直线EK 的垂线，垂足为点H ． 可证明△EHG ≌△BKE ．………………7分∴EH ＝BK ＝3．∴△DEG 的面积为92．………………9分解法三 如图6，过点E 作边BC 的垂线，垂足为点K ，过点G 作直线DE 的垂线，垂足为点M ． 可证明△GME ≌△BKE ．………………7分∴GM ＝BK ＝3．∴△DEG 的面积为92．………………9分28．问题1 40．………………2分问题2 30．………………4分问题3 顶点在圆内的角叫圆内角．(圆内角的名称可以用其他名称替代)………………5分圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半．………………7分证明：如图，延长BA ，交圆于点D ，延长CA ，交圆于点E ，连接CD ．∵∠BAC 是△ACD 的一个外角， ∴∠BAC ＝∠C ＋∠D ．……9分∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半(已在情境一中证明)， ∴∠C ＝12 DE ⌒ ，∠D ＝12 BC ⌒ ．∴∠BAC ＝∠C ＋∠D ＝12 DE ⌒ ＋12 BC ⌒ ＝12 (DE ⌒ ＋BC ⌒ )．……11分∴命题成立．CBAD E AB C D G E H K H A B C D G E K M EGD C BA。
江苏省南京市建邺区年中考一模数学试题(含答案)
2017年中考第一次模拟测试卷数 学注意事项:１．本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为１20分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2.请认真核对监考教师在答题纸上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合,再将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上．3．答选择题必须用２B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0．５毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置答题一律无效．４．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题２分,共计１2分.在每小题所给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的,请将正确选项的序号填涂在答题卡上) 1.下列实数中,无理数是A ．2B.－1 2 C ．3.１４ D ．错误!２．下列运算正确的是A ．a ２+a 3＝a 5B.ａ2 a 3=a６C.ａ4÷ａ２=a 2Ｄ.(a 2)4＝a 63．不透明的布袋中有2个红球和3个白球，所有球除颜色外无其它差别．某同学从布袋里任意摸出一个球,则他摸出红球的概率是A. 3 5 B ．2 5 C.错误!Ｄ． 1 ２ 4.某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个,投中的个数分别为:8,5，７,5,8,６,8,则这组数据的众数和中位数分别为 A ．5,７ B ．6,７C ．8,５ Ｄ.8,７ ５．如图,ＡＢ是⊙O 的弦,半径OC ⊥A Ｂ，ＡC ∥ＯB ，则∠ＢOC 的度数为A ．3０°B ．4５°C ．60°D.７5°6．如图，△ＡBC 三个顶点分别在反比例函数y ＝错误!，y =错误!的图像上，若∠C =9０°, AC ∥ｙ 轴,ＢC ∥x 轴,Ｓ△ABC ＝8,则k 的值为A.3 Ｂ.４ C ．5 D.6（第5题）Cy二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共2０分．不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7. 若式子错误!在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ▲ ．８． 201７南京国际马拉松于4月16日在本市正式开跑．本次参赛选手共12629人,将1２629用科学记数法表示为 ▲ ．9． 因式分解：ａ3-２a ２+a ＝ ▲ ． 10．计算:错误! － 错误! = ▲ ．11．已知 x 1，x 2是方程 x ２-４x ＋3=0 的两个实数根,则ｘ１ + x 2= ▲ .12．将点A （2，－1)向左平移3个单位,再向上平移4个单位得到点Ａ′，则点A ′的坐标是▲ .1３.如图，点Ａ、B 、C 、D 都在方格纸的格点上,若△AO Ｂ绕点Ｏ按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转角为 ▲ °．14．如图，在平行四边形ＡBC Ｄ中,点E 为AB 边上一点,将△AED 沿直线D Ｅ翻折，点A 落在点P 处,且DP ⊥BC ,则∠EDP = ▲ °．15．如图，正五边形ABCDE 的边长为2，分别以点C 、D 为圆心,CD 长为半径画弧，两弧交于点F ，则错误!的长为 ▲ .１6.如图,在等腰△ABC 中，AB =ＡC =５,BC =6，半径为1的⊙O 分别与AB 、A Ｃ相切于Ｅ、F 两点,BG 是⊙O 的切线,切点为G ,则BG 的长为 ▲ ．三、解答题(本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（6分)先化简，再求代数式的值:（1-1m +2)÷ ＼F (m 2＋２ｍ+1，m ２－4) ,其中ｍ=1. ABCDEP（第14题）A（第16题） BC D EF（第15题）AABCD O （第13题）18.(７分）解不等式组错误!并把解集在数轴上表示出来.19.（7分)某学校以随机抽样的方式开展了“中学生喜欢数学的程度”的问卷调查，调查的结果分为Ａ（不喜欢)、Ｂ(一般)、C(比较喜欢)、Ｄ（非常喜欢)四个等级，图１、图2是根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息,回答下列问题：（1）C 等级所占的圆心角为 ▲°; (２)请直接在图2中补全条形统计图；(3)若该校有学生1000人,请根据调查结果,估计“比较喜欢”的学生人数为多少人．某校“中学生喜欢数学的程度”的扇形统计图 某校“中学生喜欢数学的程度”的条形统计图20．(8分)如图,在平行四边形ABC Ｄ中,对角线AC 、B Ｄ交于点O ，ＤＥ∥AC 交ＢＣ的延长线于点E ．（1)求证：△AB Ｃ≌△DC Ｅ;（２）若CD =C Ｅ，求证:AC ⊥B Ｄ．ﻬ21.（7分)运动会上，甲、乙、丙三位同学进行跳绳比赛,通过“手心手背”游戏决定谁先跳,规则如下:三个人同时各用一只手随机出示手心或手背,若其中有一个人的手势与另外两个不同,则此人先进行比赛；若三个人手势相同，则重新决定.那么通过一次“手心手背”游戏,甲同学先跳绳的概率是多少?0 1 －4 －3 －2 －1 2 3 4 （第20题）A B CDE O （第19题） 等级 图2C 10% A BD 23% 32% 图1 80 6040 20 204664 A B C D人数（人）２2.(６分)如图，已知点P 为∠AB Ｃ内一点,利用直尺和圆规确定一条过点P 的直线，分别交AB 、B Ｃ于点E 、F ，使得B Ｅ=BF ．（不写作法,保留作图痕迹)23．（7分)如图,用细线悬挂一个小球,小球在竖直平面内的A 、C 两点间来回摆动，A 点与地面距离ＡN =14cm,小球在最低点B 时,与地面距离ＢＭ=5cm,∠ＡOB =６6°,求细线OB 的长度．(参考数据:ｓi ｎ６6°≈0.9１,cos ６6°≈0.40,tan6６°≈2.25）ﻬ24．（7分)某水果店销售樱桃，其进价为40元/千克,按６0元／千克出售，平均每天可售出100千克．经调查发现,这种樱桃每降价1元/千克，每天可多售出1０千克，若该水果店销售这种樱桃要想每天获利22４0元，每千克樱桃应降价多少元？2５.(9分)已知一元二次方程x 2-4ｍx ＋4m 2＋2m -4＝0,其中m 为常数.(1)若该一元二次方程有实数根,求m 的取值范围.(2)设抛物线y =x 2-４m ｘ+4m 2+2m －４的顶点为Ｍ，点O 为坐标原点,当m 变化时，求线段M Ｏ长度的最小值．A（第22题）M N O （第23题）２6.（12分）今年暑假,小勇、小红打算从城市A 到城市B 旅游,他们分别选择下列两种交通方案：方案一：小勇准备从城市Ａ坐飞机先到城市C ，再从城市C 坐汽车到城市B ,整个行程中，乘飞机所花的时间比汽车少用3h.如图1所示,城市A 、Ｂ、C 在一条直线上，且A 、C 两地的距离为２４００ｋm,飞机的平均速度是汽车的8倍．方案二：小红准备坐高铁直达城市B ，其离城市A 的距离y 2(km)与出发时间x (h)之间的函数关系如图２所示.（1)AB 两地的距离为 ▲ ｋｍ； (2)求飞机飞行的平均速度；（3)若两家同时出发，请在图２中画出小勇离城市Ａ的距离y 1与x 之间的函数图像,并求出ｙ1与ｘ的函数关系式．ﻬ２7.(1２分)定义：当点P 在射线O Ａ上时,把＼Ｆ(OP ,O Ａ）的值叫做点P 在射线ＯＡ上的射影值；当点P 不在射线OA 上时,把射线OA 上与点P 最近点的射影值，叫做点Ｐ在射线O Ａ上的射影值．例如:如图1,△OAB 三个顶点均在格点上，BP 是OA 边上的高,则点P 和点B 在射线OA 上的射影值均为错误!=错误!.ABC图1h ）3 4 5 6 7 图2（第26题）图2 BCDOA图3图1 （第27题）（1）在△OAB 中,①点B 在射线OA 上的射影值小于1时,则△O ＡB 是锐角三角形; ②点B 在射线OA 上的射影值等于1时，则△ＯAB 是直角三角形； ③点B 在射线ＯA 上的射影值大于1时,则△ＯA Ｂ是钝角三角形. 其中真命题有A.①② B ．②③ C.①③ D ．①②③（2）已知:点C 是射线O Ａ上一点,CA ＝ＯＡ＝1,以Ｏ为圆心，OA 为半径画圆,点Ｂ是⊙Ｏ上任意点.①如图2,若点B 在射线ＯA 上的射影值为 1２.求证：直线B Ｃ是⊙Ｏ的切线．②如图３，已知D 为线段BC 的中点，设点D 在射线ＯA 上的射影值为x ，点Ｄ在射线OB 上的射影值为ｙ，直接写出ｙ与x 之间的函数关系式.ﻬ2０１7年中考第一次模拟测试卷 数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同,参照本评分标准的精神给分.一、选择题(每小题２分,共计12分)二、填空题(每小题2分，共计20分）7．x ≥2 8．1.２629×104 9.a (a -1）２10.0 11.4 １2．(-1,3) 13.90° 14．45° 15.＼F (8，15)π 16.＼Ｆ(１1，3)三、解答题(本大题共10小题，共计88分） 17．(本题6分)解：原式=错误! 错误! ··················································································· 2分=m －2ｍ＋1ﻩ4分 当ｍ =1时，原式=错误! ＝－错误!. ···················································· 6分18.（本题７分)解：解不等式①，得x ≤1． ·············································································· 2分解不等式②,得x ＞-2． ·············································································· 4分 所以，不等式组的解集是-2<x ≤1． ·························································· ５分画图正确（略).ﻩ７分19．(本题7分) (1)１２6;ﻩ2分 （2)图略;ﻩ4分(３）在抽取的样本中，“比较喜欢”数学的人数所占的百分比为1-32%-１0%-23％=３5％， ········································································ 5分 由此可估计,该校100０名学生中，“比较喜欢”数学的人数所占的百分比35%， 10０0×３5%＝350（人）. ········································································· 6分 答:估计这些学生中，“比较喜欢”数学的人数约有350人． ······························ 7分20.（本小题满分8分)证明:(1)∵ 四边形A ＢC Ｄ是平行四边形，∴ A Ｂ//CD ，AB ＝DC ．∴ ∠ABC =∠D ＣE ． ∵ AC ／/ＤＥ，∴ ∠A ＣＢ=∠DEC ． ···························································· 3分在△A ＢC 和△DCE 中，∠ＡBC =∠DCE ，∠ACB ＝∠DEC ，AB =D Ｃ．∴△ABC ≌△DC Ｅ(AAS ）. ··································································· 4分 (２）由(1)知△ABC ≌△ＤCE ,则有BC =ＣE ． ∵ CD =CE , ∴ BC ＝C Ｄ．∴四边形ABCD 为菱形. ············································································ 7分 ∴ＡC ⊥BD . ·························································································· 8分 21.(本题7分）列表或树状图表示正确; ············································································· 3分 ∵共有8种等可能的结果,通过一次“手心手背”游戏， 小明先跳绳的有2种情况····································· 5分22.(方法1: 方法2：ﻩ6分２3．（本题7分)解:过点A 作AD ⊥OB 于点D .由题意得AN ⊥M Ｎ,OB ⊥MN ，A Ｄ⊥OB ，∴四边形A ＮＭD 是矩形,∴ＤM ＝ＡN ,ﻩ2分设ＯＢ＝OA =x cm,在R ｔ∆OAD 中，∠ODAc ｏｓ∠ＡＯD ＝错误! ＝ 错误!≈0.6. ··········分解得x=15cm.经检验,ｘ=１5为原方程的解．答：细线OB的长度是15cm.ﻩ7分24.(本小题满分７分)解:设每千克樱桃应降价x元,根据题意，得 ···························································1分(60－x－４0）(1００+10x）＝22４０. ·······················································4分解得：x1=4,ｘ2＝6． ················································································６分答：每千克樱桃应降价4元或6元.ﻩ7分25．（本小题满分９分）(１)解法一:∵关于ｘ的一元二次方程ｘ2－4mｘ＋4m２＋2ｍ－４＝0有实数根，∴△=（-4m）2-4(4ｍ2＋2m－4）=－8m+16≥0，3ﻩ分∴m≤2.ﻩ4分解法二：∵x2-4mx＋4m2+2m-４=0,∴（x-2m)2＝４－２m．ﻩ３分∴m≤２. ································································································4分(2)解法一:y=x2－4mx＋4m2＋2ｍ-4的顶点为M为(２ｍ,2m－4）， ····················６分∴MO2＝（２m）2+(２m－4)２＝8(m-1)2+8.7ﻩ分∴MO长度的最小值为2＼r（,2). ································································９分解法二：y=x２-４ｍｘ＋４m２＋2ｍ-4的顶点为Ｍ为(2m，2ｍ-4)，6ﻩ分∴点M在直线l：y＝x-4上, ·······································································7分∴点O到l的距离即为MO长度的最小值2＼r(,2）. ········································9分26．(本小题满分1２分）解：(1)3００0；ﻩ2分（2)设汽车的速度为xｋm/h,则飞机的速度为8x km/ｈ，根据题意得:错误!-错误!=3,ﻩ4分解之得：x＝1０0．经检验，x=1０0为原方程的解．则飞机的速度为８×100=800 ｋm/h.答：飞机的速度为800 ｋm/h． ··································································6分(３）图略.ﻩ8分当0≤x≤3，y1=80０ｘ．当３<ｘ≤9，，设函数关系式为y1＝ｋx＋b，代入点（3，２４0０），（9，30０0)得:错误!解得错误!∴函数关系式为：y １＝100x +210０ 1ﻩ２分 27.(本题1０分）解:（1)B.······································································································· 2分 (2）解法一:过点B 作ＢH 垂直OC ,垂足为H ．∵B 在射线OA 上的射影值为错误!,∴错误!＝错误!,∵OB =OA∵CA =O Ａ，∴ＯB OC＝12，∴＼F (O Ｈ,OB ）＝＼Ｆ(OB ，O Ｃ）.又∵∠∴△OHB ∽△OBC ． ····························································∴∠ＯＢC ＝∠ＯHB ＝90°．∴OB ⊥ＢC ,∵点B 是圆O 上的一点, ∴ＢC 是圆Ｏ的切线． ·············································································· 8分 解法二:连接AB ，过点B 作B Ｈ垂直OC ,垂足为H ．∵B 在射线OA 上的射影值为错误!，∴错误!=错误!,∵OB ＝OA ，∴错误!=错误!＝cos ∠Ｏ, ∴∠O ＝６0°．∵OB =OA ，∴△O ＢA 是等边三角形，∴∠OAB ＝60°.ﻩ4分 ∵AC ＝OA ,∴AB =A Ｃ,∴∠A ＢC =∠C ，∴∠Ｃ=30°．ﻩ６分 ∴∠OB Ｃ＝9０°.∴ＯB ⊥BC ,∵点B 是圆Ｏ上的一点， ∴BC 是圆O 的切线． ·············································································· 8分 （３)y ＝0 （＼f (1，2)≤ｘ＜＼f (３,4))； ····················································· 10分 y ＝2x －＼f (３,2)(＼f (3,４)≤x ≤错误!） ················································· 12分。
2017南京玄武二模及答案
（2）当a＝4时，该二次函数的图像顶点为A，与x轴交于B，D两点，与y轴交于C
点，条笔直的公路上有M、P、N三个地点，M、P两地相距20km，甲开汽车，乙骑自行车分别从M、P两地同时出发，匀速前往N地，到达N地后停止运动.已知乙骑自行车的速度为20km/h，甲，乙两人之间的距离y（km）与乙行驶的时间t（h）之间的关系如图 所示．
＝1－ · ………………………………………………………………………1分
＝1－ · …………………………………………………………2分
＝1－ ………………………………………………………………………………3分
＝－ ．………………………………………………………………………………4分
把x＝3代入，原式＝－ ………………………………………………………………6分
在Rt△ABD中，∠ABD=60°，tan60°＝ ＝ ≈1.7，
所以BD＝ AD……………………………………………………………………………4分
所以BC＝CD－BD＝ AD－ AD………………………………………………………6分
所以 AD－ AD＝100，解得AD＝119m.
答：热气球离地面的高119m……………………………………………………………8分
（2）方程两边同乘x－3得：3x＝(x－3)＋1
解得x＝－1………………………………………………………………………………3分
检验：当x＝－1时，x－3≠0…………………………………………………………4分
所以x＝－1是原方程的解……………………………………………………5分
18．（本题6分）
解：1－ ÷
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
2017年江苏省南京市建邺区中考数学二模试卷(解析版)
2017年江苏省南京市建邺区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）2017年5月14日首届“一带一路”国际高峰论坛在中国北京召开，来自130多个国家的约1 500名各界贵宾出席论坛．用科学记数法表示1 500是（）A．15×102B．1.5×102C．1.5×103D．0.15×104 2．（2分）下列各数中，是无理数的是（）A．B．C．2D．sin30°3．（2分）计算（﹣ab3）2的结果是（）A．﹣a2b5B．a2b5C．﹣a2b6D．a2b64．（2分）用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的平分线．由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS5．（2分）如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，BE＝BC，则∠BEC的度数是（）A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°6．（2分）已知二次函数y＝ax2﹣ax（a为常数，且a≠0），图象的顶点为C．以下三个结论：①无论a为何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点；②无论a为何值，该函数的图象在x轴上截得的线段长为2；③若该函数的图象与x轴有两个交点A、B，且S△ABC ＝1时，则a＝8．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）9的平方根是．8．（2分）函数中，自变量x的取值范围是．9．（2分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）＝．10．（2分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，m），则m的值是．11．（2分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，则x1•x2的值是．12．（2分）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为cm2．13．（2分）某校九年级有15名同学参加校运会百米比赛，预赛成绩各不相同，前7名才有资格参加决赛，小明已经知道了自己的成绩，但他想知道自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学成绩的．（填“极差”、“众数”或“中位数”）14．（2分）菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则菱形ABCD的面积为，周长为．15．（2分）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A恰好落在边BC的点F处，折痕为DE，若AB＝8，BF＝4，则BC＝cm．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．18．（6分）计算（1+）÷．19．（7分）用一条长20cm的绳子能否围成一个面积为30cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．20．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：（1）△ABE≌△ADE．（2）四边形BFDE是菱形．21．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．22．（8分）“约在江苏，共筑梦想”，为了解某校1000名学生在2017年5月20日“江苏发展大会”期间对会议的关注方式，某班兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查，某校抽取学生“江苏发展大会”期间对会议的关注方式的统计表并将问卷调查的结果绘制成如下不完整的统计表：（1）本次问卷调查抽取的学生共有人，其中通过电视关注会议的学生有人；（2）从上表的“频数”、“百分比”两列数据中选择一列，用适当的统计图表示；（3）根据抽样的结果，估计该校学生通过报纸关注会议的约有多少人？23．（8分）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距40m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37°，测得铁塔顶部的仰角为26.6°，求铁塔的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？25．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与边AB、BC分别交于点D、E．过E作直线与AB垂直，垂足为F，且与AC的延长线交于点G．（1）求证：直线FG是⊙O切线．（2）若BF＝1，CG＝2，求⊙O半径．26．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，AB＝2，其中点A的坐标为（1，0）．（1）求二次函数的关系式及顶点坐标；（2）请设计一种平移方法，使（1）中的二次函数图象的顶点在x轴上，并直接写出平移后相应的二次函数的表达式．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC＝150°，P A＝3，PC＝4．求PB的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC ＝120°，P A＝，PB＝5．求PC的长．2017年江苏省南京市建邺区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）2017年5月14日首届“一带一路”国际高峰论坛在中国北京召开，来自130多个国家的约1 500名各界贵宾出席论坛．用科学记数法表示1 500是（）A．15×102B．1.5×102C．1.5×103D．0.15×104【解答】解：用科学记数法表示1 500是1.5×103，故选：C．2．（2分）下列各数中，是无理数的是（）A．B．C．2D．sin30°【解答】解：A、分数，是有理数，选项不符合题意；B、是无理数，选项符合题意；C、2是整数，是有理数，选项不符合题意；D、sin30°＝是分数，是有理数，选项不符合题意．故选：B．3．（2分）计算（﹣ab3）2的结果是（）A．﹣a2b5B．a2b5C．﹣a2b6D．a2b6【解答】解：原式＝a2b6，故选：D．4．（2分）用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的平分线．由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【解答】解：在△OEC和△ODC中，∵，∴△OEC≌△ODC（SSS），故选：D．5．（2分）如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，BE＝BC，则∠BEC的度数是（）A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBD＝45°，∵BC＝BE，∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣45°）＝67.5°，故选：C．6．（2分）已知二次函数y＝ax2﹣ax（a为常数，且a≠0），图象的顶点为C．以下三个结论：①无论a为何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点；②无论a为何值，该函数的图象在x轴上截得的线段长为2；③若该函数的图象与x轴有两个交点A、B，且S△ABC ＝1时，则a＝8．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①y＝ax2﹣ax＝ax（x﹣1），当y＝0时，x＝0或者1，∴无论a为何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点为（0，0）（1，0）；①正确；②∵无论a为何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点为（0，0）（1，0），∴该函数的图象在x轴上截得的线段长为1；②错误；③y＝ax2﹣ax对称轴为x＝，∵当x＝时，y＝﹣a，∴S△ABC＝AB•|﹣a|＝|a|，当S△ABC＝1时，|a|＝1，解得：a＝±8，③错误；故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）9的平方根是±3．【解答】解：∵±3的平方是9，∴9的平方根是±3．故答案为：±3．8．（2分）函数中，自变量x的取值范围是x≠1．【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故答案为：x≠1．9．（2分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）＝（b+c）（2a﹣3）．【解答】解：原式＝（b+c）（2a﹣3），故答案为：（b+c）（2a﹣3）．10．（2分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，m），则m的值是﹣2．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，m），∴m＝＝﹣2．故答案为：﹣2．11．（2分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，则x1•x2的值是5．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，∴x1•x2＝5．故答案为：5．12．（2分）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为6πcm2．【解答】解：底面半径是2cm，则底面周长＝4πcm，圆锥的侧面积＝×4π×3＝6πcm2．13．（2分）某校九年级有15名同学参加校运会百米比赛，预赛成绩各不相同，前7名才有资格参加决赛，小明已经知道了自己的成绩，但他想知道自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学成绩的中位数．（填“极差”、“众数”或“中位数”）【解答】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有8个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否获奖了．故答案为中位数．14．（2分）菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则菱形ABCD的面积为24，周长为20．【解答】解：菱形ABCD的面积＝×6×8＝24；∵两条对角线长分别为6和8，∴两对角线的一半分别为3，4，由勾股定理得，菱形的边长＝＝5，所以，菱形的周长＝4×5＝20．故答案为：24；20．15．（2分）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A恰好落在边BC的点F处，折痕为DE，若AB＝8，BF＝4，则BC＝10cm．【解答】解：设EF＝AE＝x，则BE＝8﹣x，∵∠B＝90°，BF＝4，∴Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴EF＝5，BE＝3，∵∠DFE＝∠A＝90°，∠C＝90°，∴∠CDF＝∠BFE，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△DCF∽△FBE，∴＝，即＝，∴CF＝6，∴BC＝BF+CF＝4+6＝10．故答案为：10．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是1．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACP+∠PBC＝90°，∵∠P AC＝∠PCB∴∠CAP+∠ACP＝90°，∴∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，在Rt△CBO中，∵∠OCB＝90°，BC＝2，OC＝1.5，∴OB＝＝2.5，∴PB＝OB﹣OP＝2.5﹣1.5＝1．∴PB最小值为1．故答案为1．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．【解答】解：解不等式3x+1≤2（x+1），得：x≤1，解不等式﹣x＜5x+12，得：x＞﹣2，则不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，则不等式组的整数解为﹣1、0、1．18．（6分）计算（1+）÷．【解答】解：（1+）÷＝•＝x﹣1．19．（7分）用一条长20cm的绳子能否围成一个面积为30cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．【解答】解：设矩形的长为xcm，则宽为（10﹣x）cm．根据题意，得x（10﹣x）＝30，即x2﹣10x+30＝0．因为△＝b2﹣4ac＝102﹣4×30＝﹣20＜0，所以此一元二次方程无实数根．答：用一条长20cm的绳子不能围成一个面积为30cm2的矩形．20．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：（1）△ABE≌△ADE．（2）四边形BFDE是菱形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC，AD∥BC．∴∠BAC＝∠BCA，∠DAC＝∠BCA．∴∠BAC＝∠DAC．即∠BAE＝∠DAE．在△ABE和△ADE中，∴△ABE≌△ADE．（2）如图，连接BD，交AC于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD．又AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF．即OE＝OF．∴四边形BFDE是平行四边形．又△ABE≌△ADE，∴BE＝DE．∴四边形BFDE是菱形．21．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．【解答】解：（1）另外1人恰好选中副班长的概率是；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数为2，所以恰好选中甲和乙的概率＝＝．22．（8分）“约在江苏，共筑梦想”，为了解某校1000名学生在2017年5月20日“江苏发展大会”期间对会议的关注方式，某班兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查，某校抽取学生“江苏发展大会”期间对会议的关注方式的统计表并将问卷调查的结果绘制成如下不完整的统计表：（1）本次问卷调查抽取的学生共有50人，其中通过电视关注会议的学生有8人；（2）从上表的“频数”、“百分比”两列数据中选择一列，用适当的统计图表示；（3）根据抽样的结果，估计该校学生通过报纸关注会议的约有多少人？【解答】解：（1）23÷46%＝50（人），15÷50＝30%，50×（1﹣46%﹣8%﹣30%）＝8（人）．答：本次问卷调查抽取的学生共有50人，其中通过电视关注会议的学生有8人；（2）选择条形图，如图所示：（3）1 000×8%＝80（人）．答：估计该校学生通过报纸关注会议的约有80人．故答案为：50，8．23．（8分）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距40m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37°，测得铁塔顶部的仰角为26.6°，求铁塔的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）【解答】解：作AE⊥CD，垂足为E．在Rt△AEC中，CE＝AE•tan26.6°≈40×0.50＝20m；在Rt△AED中，DE＝AE•tan37°≈40×0.75＝30m；∴CD＝20+30＝50m．答：铁塔的高度为50米．24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？【解答】解：（1）点B所表示的实际意义是：2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）小亮上坡速度：480÷2＝240m/min，下坡速度：240×1.5＝360m/min，所以，下坡时间为480÷360＝min，2+＝min，所以，点A的坐标为（，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，解得．所以，y＝﹣360x+1200；（3）设两人出发后xmin相遇，∵小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，∴小刚的速度是240÷2＝120m/min，第一次相遇时，小刚下坡，小亮上坡，由题意得，120x+360（x﹣2）＝480，解得x＝2.5．答：两人出发2.5min后第一次相遇．25．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与边AB、BC分别交于点D、E．过E作直线与AB垂直，垂足为F，且与AC的延长线交于点G．（1）求证：直线FG是⊙O切线．（2）若BF＝1，CG＝2，求⊙O半径．【解答】证明：（1）如图，连接OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．在⊙O中，OC＝OE，∴∠OEC＝∠ACB．∴∠B＝∠OEC．∴OE∥AB．又AB⊥GF，∴OE⊥GF．又OE是⊙O的半径，∴FG与⊙O相切．解：（2）设⊙O的半径为r，则OE＝r，AB＝AC＝2r．∵BF＝1，CG＝2，∴AF＝2r﹣1，OG＝r+2，AG＝2r+2．∵OE∥AB，∴△GOE∽△GAF．∴＝．∴＝．∴r＝2．即⊙O的半径为2．26．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，AB＝2，其中点A的坐标为（1，0）．（1）求二次函数的关系式及顶点坐标；（2）请设计一种平移方法，使（1）中的二次函数图象的顶点在x轴上，并直接写出平移后相应的二次函数的表达式．【解答】解：（1）因为点A的坐标为（1，0），AB＝2，所以点B的坐标为（3，0）或（﹣1，0）．将A（1，0），B（3，0）或A（1，0），（﹣1，0）代入y＝x2+bx+c，得或所以二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3或y＝x2﹣1．顶点坐标分别为（2，﹣1）、（0，﹣1）．（2）∵顶点坐标分别为（2，﹣1）、（0，﹣1），若二次函数图象的顶点在顶点在x轴上，∴抛物线的图象向上平移1个单位．∴二次函数的关系式为y＝x2﹣4x+4或y＝x2．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC＝150°，P A＝3，PC＝4．求PB的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC ＝120°，P A＝，PB＝5．求PC的长．【解答】解：（1）如图2中，∵将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB．∴AD＝AP＝3，DB＝PC＝4，∠P AD＝60°，∠ADB＝∠APC＝150°．∵AD＝AP，∠P AD＝60°，∴△ADP为等边三角形．∴PD＝P A＝3，∠ADP＝60°．又∠ADB＝150°，∴∠PDB＝90°．在Rt△PDB中，PD＝3，DB＝4，∴BP＝＝＝5，（2）如图，作∠CAD＝∠BAP，使AD＝AP．连接CD、PD．∵AB＝2AC，AD＝AP，∴＝＝．又∠CAD＝∠BAP，∴△ABP∽△ACD．∴CD＝BP＝2.5．在△P AD中，P A＝，∠P AD＝60°，AD＝，易证∠APD＝30°，∠PDA＝90°（取P A中点K，连接DK，利用等边三角形的性质即可证明）∴PD＝，∴∠DPC＝120°﹣30°＝90°在Rt△DPC中，PC＝＝＝2．。
2017年江苏省南京市中考数学试题及答案解析
2017年江苏省南京市中考数学试题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2017年）计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（）A．7 B．8 C．21 D．362．（2017年）计算的结果是（）A．B．C．D．3．（2017年）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是( ) A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥4．（2017年）若，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．5．（2017年）若方程的两根为a和b，且a>b，则下列结论中正确的是（）A．a是19的算术平方根B．b是19的平方根C．a-5是19的算术平方根D．B+5是19的平方根6．（2017年）过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（）A．（4，）B．（4，3）C．（5，）D．（5，3）二、填空题-=_________=_________．7．（2017年）计算：|3|8．（2017年）2016年南京实现GDP约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是_________．9．（2017年）若式子21x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_________．10．（2017的结果是_________． 11．（2017年）方程2102x x-=+的解是_________． 12．（2017年）已知关于x 的方程20x px q ++=的两根为-3和-1，则p=___,q=___ 13．（2017年）下面是某市2013-2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是_______年，私人汽车拥有量年增长率最大的是______年14．（2017年）如图，1∠是五边形ABCDE 的一个外角，若165∠=︒，则A B C B +∠+∠+∠=∠_________．15．（2017年）如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点,,A C D ，与BC 相交于点E ，连接,AC AE ，若7D 8∠=︒，则EAC ∠=_________．16．（2017年）函数1y x =与24y x=的图象如图所示，下列关于函数12y y y =+的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当2x <时，y 随x 的增大而减小；③当0x >时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是________．三、解答题17．（2017年）计算.18．（2017年）解不等式组请结合题意，完成本题的解答.（1）解不等式①，得 ，依据是______. （2）解不等式③，得 .（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来.（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 19．（2017年）如图，在中，点E 、F 分别在上，且相交于点O.求证.20．（2017年）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．(1)该公司员工月收入的中位数是元，众数是元(2)根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．21．（2017年）全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率.22．（2017年）“直角”在初中几何学习中无处不在.如图，已知，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断是否为直角（仅限用直尺和圆规）.小丽的方法如图，在上分别取点，以为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点，若，则.23．（2017年）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择，如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具．(1)①当减少购买1个甲种文具时，x＝______，y＝________；②求y与x之间的函数表达式．(2)已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元，甲、乙两种文具各购买了多少个？24．（2017年）如图，是⊙的切线，为切点.连接并延长，交的延长线于点，连接，交⊙于点.（1）求证：平分.（2）连结，若，求证.25．（2017年）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E 处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）26．（2017年）已知函数（为常数）（1）该函数的图象与轴公共点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．1或2（2）求证：不论为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上.（3）当时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.27．（2017年）折纸的思考.（操作体验）用一张矩形纸片折等边三角形.第一步，对折矩形纸片（图①），使与重合，得到折痕，把纸片展平（图②）.第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕，折出，得到.（1）说明是等边三角形.（数学思考）（2）如图④.小明画出了图③的矩形和等边三角形.他发现，在矩形中把经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程. （3）已知矩形一边长为3，另一边长为.对于每一个确定的的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围.（问题解决）（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4和1的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为.参考答案1．C【解析】试题分析：根据有理数的混合运算，直接计算为：12+（-18）÷（-6）-（-3）×2=12+3+6=21故选C考点：有理数的混合运算2．C【解析】试题分析：根据乘方的意义及幂的乘方，可知=. 故选：C考点：同底数幂相乘除3．D【解析】试题分析：根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥.而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三角形的面，三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱.故选D考点：几何体的形状4．B【解析】试题分析：根据二次根式的近似值可知，而，可得1＜a＜4.故选：B考点：二次根式的近似值5．C【解析】试题分析：根据平方根的意义，可知x-5是19的一个平方根，由a＞b，可知a-5是19的算术平方根，b-5是其负的平方根.故选C考点：平方根6．A【分析】根据题意，可知线段AB的线段垂直平分线为x=4，然后由C点的坐标可求得圆心的横坐标为x=4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可求解.【详解】设圆的半径为r，则根据勾股定理可知：2222(52)r r=+--，解得r=136，因此圆心的纵坐标为1317566-=，因此圆心的坐标为（4，176）.故选A考点：1、线段垂直平分线，2、三角形的外接圆，3、勾股定理7．3 3【解析】试题分析：根据绝对值的性质，可知|-3|=3，根据二次根式的性质，可知.故答案为3，3.考点：1、绝对值，2、二次根式的性质8．1.05×104【解析】试题分析：由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．因此10500=1.05×104. 故答案为1.05×104.考点：科学记数法的表示较大的数9．x≠1【解析】试题分析：根据分式有意义的条件，分母不为0，可知x-1≠0，解得x≠1.故答案为x≠1.考点：分式有意义的条件10．6【解析】试题分析：根据二次根式的性质化简后合并同类二次根式可得==.故答案为.考点：合并同类二次根式11．x=2【解析】试题分析：先把方程化为整式方程为2x-（x+2）=0，解方程得x=2，把x=2代入x（x+2）≠0，可知x=2是原分式方程的解.故答案为x=2.考点：解分式方程12．4 3【解析】试题分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，可知p=-（-3-1）=4，q=（-3）×（-1）=3.故答案为4，3.考点：一元二次方程的根与系数的关系13．2016 2015【分析】直接利用条形统计图以及折线统计图分别分析得出答案．【详解】由条形统计图可得：该市私人汽车拥有量年净增量最多的是2016年，净增183-150=33（万辆），由折线统计图可得，私人汽车拥有量年增长率最大的是：2015年．故答案为：2016，2015．【点睛】此题主要考查了折线统计图以及条形统计图的应用，正确利用图形获取信息是解题关键．14．425【解析】试题分析：根据多边形的内角和公式可知其内角和为（5-2）×180°=540°，然后根据其外角为∠1=65°，可知其相邻的内角为115°，因此可知∠A+∠B+∠C+∠D=540°-115°=425°.故答案为425.考点：1、多边形的内角和，2、多边形的外角15．27【解析】试题分析：根据菱形的性质可知AD=DC，AD∥BC，因此可知∠DAC=∠DCA，，然后根据三角形的内角和为180°，可知∠DAC=51°，即∠ACE=51°，然后根据等弧所对的圆周角可知∠DAE=∠D=78°，因此可求得∠EAC=78°-51°=27°.故答案为27.考点：1、菱形的性质，2、圆周角的性质，3、三角形的内角和16．①③【解析】试题分析：根据正比例函数y1=x和反比例函数y2=，均为中心对称图形，所以复合函数也是中心对称，对称中心为原点，因此①正确；根据函数的图像，可知其增减形不能确定，故②不正确；当x=2时，y=2+2=4，故③正确.故答案为①③.考点：一次函数与反比例函数17．【解析】试题分析：根据分式的混合运算的法则，可先算括号里面的（通分后相加减），然后把除法转化为乘法，再约分化简即可.试题解析：.考点：分式的混合运算18．【解析】试题分析：分别求解两个不等式，系数化为1时可用性质2或性质3，然后画数轴，确定其公共部分，得到不等式组的解集.试题解析：（1）.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.（2）.（3）（4）.考点：解不等式19．证明见解析【解析】试题分析：先根据平行四边形的性质求出AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和等量代换，由全等三角形的判定AAS证得△DOE≌△BOF，从而根据全等三角形的性质得证.试题解析：∵四边形是平行四边形，∴.∴.∵，∴，即.∴.∴.考点：1、平行四边形的性质，2、全等三角形的判定与性质20．(1)3400；3000；(2)用中位数或众数来描述更为恰当．理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据大小排列确定中间一个或两个的平均数，得到中位数，然后找到出现最多的为众数；（2）根据表格信息，结合中位数、平均数、众数说明即可.试题解析：（1）3400，3000.（2）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适，在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大.该公司员工月收入的中位数是3400元，这说明除去收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元.因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势.考点：1、中位数，2、众数21．（1）12；（2）34【分析】（1）根据可能性只有男孩或女孩，直接得到其概率；（2）列出所有的可能性，然后确定至少有一个女孩的可能性，然后可求概率. 【详解】解：（1）（1）第二个孩子是女孩的概率=12；故答案为12；（2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是女孩的概率=34.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．22．作图见解析【解析】试题分析：方法一是根据勾股定理作图，方法二是根据直径所对的圆周角为直角画图.试题解析：方法1：如图①，在上分别截取.若，则.方法2：如图②，在上分别取点，以为直径画圆.若点在圆上，则.考点：基本作图——作直角23．（1）y=-2x+100；（2）甲乙两种文具各购买了60个和80个.【分析】（1）①根据“每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具”可直接求解； ②根据①的结论直接列式即可求出函数的解析式；（2）根据题意列出二元一次方程组求解即可.【详解】（1）①99，2.②根据题意，得2(100)2200y x x =-=-+.所以与之间的函数表达式为2200y x =-+.（2）根据题意，得220053540y x x y =-+⎧⎨+=⎩解得6080x y =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两种文具各购买了60个和80个.考点：1、一次函数，2、二元一次方程组24．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）连接OB ，根据切线的性质和角平分线的概念可证明；（2）根据角平分线的性质可证明△ODB 是等边三角形，然后根据平行线的判定得证. 试题解析：（1）如图，连接.∵是⊙的切线，∴，又，∴平分.（2）∵，∴.∵，∴.∵平分，∴，∴.又，∴是等边三角形.∴.∴.∴.∴.考点：1、圆的切线，2、角平分线的性质与判定，3、平行线的判定25．35km【分析】过点C作CH⊥AD于H．.构造直角三角形的模型，然后解直角三角形和平行线分线段成比例的定理列方程求解即可.【详解】解：如图，过点C 作CH ⊥AD 于H ．.设CH xkm =.在Rt ACH ∆中，37A ︒∠=， ∵tan 37CH AH︒=， ∴tan 37tan 37CH x AH ︒︒==. 在Rt CEH ∆中，45CEH ︒∠=， ∵tan 45CH EH︒=， ∴tan 45CH EH x ︒==. ∵,CH AD BD AD ⊥⊥，∴90AHC ADB ︒∠=∠=.∴//HC DB . ∴AH AC HD CB=. 又C 为AB 的中点，∴AC CB =.∴AH HD =. ∴5tan 37x x ︒=+. ∴5tan 3750.75151tan 3710.75x ︒︒⨯⨯=≈=--. ∴151535(km)tan 37AE AH HE ︒=+=+≈. 因此，E 处距离港口A 大约为35km.点睛：本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．≤≤26．（1）D（2）证明见解析（3）0z4【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；（2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；（3）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可．【详解】(1)∵函数y=−x2+(m−1)x+m(m为常数)，∴△=(m−1)2+4m=(m+1)2≥0，则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，故选D；（2），所以该函数的图像的顶点坐标为.把代入，得.因此，不论为何值，该函数的图像的顶点都在函数的图像上.（3）设函数.当时，有最小值0.当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大.又当时，；当时，.因此，当时，该函数的的图像的顶点纵坐标的取值范围是.考点：二次函数的图像与性质27．（1）是等边三角形（2）答案见解析（3），，；（4）【解析】试题分析：（1）由折叠的性质，重合部分的线段，角都相等可判断；（2）根据旋转的性质和位似变换直接可做图，写出过程；（3）根据图形，由勾股定理和等边三角形的性质求解；（4）根据上面的规律，由勾股定理和等边三角形直接可求解.试题解析：（1）由折叠，，因此，是等边三角形.（2）本题答案不惟一，下列解法供参考.例如，如图，以点为中心，在矩形中把逆时针方向旋转适当的角度，得到；再以点为位似中心，将放大，使点的对应点落在上，得到. （3）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，（4）.考点：1、规律探索，2、矩形的性质，3、正方形的性质，4、等边三角形。
2017年江苏省南京市中考数学试卷和详细答案
2017年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（）A．7 B．8 C．21 D．362．计算106×（102）3÷104的结果是（）A．103B．107C．108D．1093．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱，该模型的形状对应的立体图形可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥4．若＜a＜，则下列结论中正确的是（）A．1＜a＜3 B．1＜a＜4 C．2＜a＜3 D．2＜a＜45．若方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A．a是19的算术平方根B．b是19的平方根C．a﹣5是19的算术平方根D．b+5是19的平方根6．过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（）A．（4，）B．（4，3） C．（5，）D．（5，3）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．计算：|﹣3|=；=．8．2016年南京实现GDP约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是．9．分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．计算：+×=．11．方程﹣=0的解是．12．已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p=，q=．13．如图是某市2013﹣2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是年，私人汽车拥有量年增长率最大的是年．14．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=15．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC=°．16．函数y1=x与y2=的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（7分）计算（a+2+）÷（a﹣）．18．（7分）解不等式组请结合题意，完成本题的解答．（1）解不等式①，得，依据是：．（2）解不等式③，得．（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．19．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF，BD 相交于点O，求证：OE=OF．20．（8分）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．（1）该公司员工月收入的中位数是元，众数是元．（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．21．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．22．（8分）“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．23．（8分）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择，如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具．（1）①当减少购买1个甲种文具时，x=，y=；②求y与x之间的函数表达式．（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元，甲、乙两种文具各购买了多少个？24．（8分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB 的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．（1）求证：PO平分∠APC；（2）连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC．25．（8分）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）26．（8分）已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．27．（11分）折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．（1）说明△PBC是等边三角形．【数学思考】（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围．【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（）A．7 B．8 C．21 D．36【解答】解：原式=12+3+6=21，故选C2．计算106×（102）3÷104的结果是（）A．103B．107C．108D．109【解答】解：106×（102）3÷104=106×106÷104=106+6﹣4=108．故选：C．3．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱，该模型的形状对应的立体图形可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥【解答】解：四棱锥的底面是四边形，侧面是四个三角形，底面有四条棱，侧面有4条棱，故选：D．4．若＜a＜，则下列结论中正确的是（）A．1＜a＜3 B．1＜a＜4 C．2＜a＜3 D．2＜a＜4【解答】解：∵1＜2，3＜4，又∵＜a＜，∴1＜a＜4，故选B．5．若方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A．a是19的算术平方根B．b是19的平方根C．a﹣5是19的算术平方根D．b+5是19的平方根【解答】解：∵方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，∴a﹣5和b﹣5是19的两个平方根，且互为相反数，∵a＞b，∴a﹣5是19的算术平方根，故选C．6．过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（）A．（4，）B．（4，3） C．（5，）D．（5，3）【解答】解：已知A（2，2），B（6，2），C（4，5），∴AB的垂直平分线是x==4，设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（6，2），C（4，5）代入上式得，解得，∴y=﹣x+11，设BC的垂直平分线为y=x+m，把线段BC的中点坐标（5，）代入得m=，∴BC的垂直平分线是y=x+，当x=4时，y=，∴过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（4，）．故选A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．计算：|﹣3|=3；=3．【解答】解：|﹣3|=3，==3，故答案为：3，3．8．2016年南京实现GDP约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是 1.05×104．【解答】解：10500=1.05×104．故答案为：1.05×104．9．分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠1．【解答】解：由题意得x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．10．计算：+×=6．【解答】解：原式=2+=2+4=6．故答案为6．11．方程﹣=0的解是x=2．【解答】解：﹣=0，方程两边都乘以x（x+2）得：2x﹣（x+2）=0，解得：x=2，检验：当x=2时，x（x+2）≠0，所以x=2是原方程的解，故答案为：x=2．12．已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p=4，q=3．【解答】解：∵关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，∴﹣3+（﹣1）=﹣p，（﹣3）×（﹣1）=q，∴p=4，q=3．故答案为：4；3．13．如图是某市2013﹣2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是2016年，私人汽车拥有量年增长率最大的是2015年．【解答】解：由条形统计图可得：该市私人汽车拥有量年净增量最多的是2016年，净增183﹣150=33（万辆），由折线统计图可得，私人汽车拥有量年增长率最大的是：2015年．故答案为：2016，2015．14．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D= 425°．【解答】解：∵∠1=65°，∴∠AED=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°﹣∠AED=425°，故答案为：425．15．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC=27°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，∴∠ACB=∠DCB=（180°﹣∠D）=51°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=78°，∴∠EAC=∠AEB﹣∠ACE=27°，故答案为：27．16．函数y1=x与y2=的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是①③．【解答】解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；③结合图象的2个分支可以看出，在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确；∴正确的有①③．故答案为：①③．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（7分）计算（a+2+）÷（a﹣）．【解答】解：（a+2+）÷（a﹣）===．18．（7分）解不等式组请结合题意，完成本题的解答．（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的性质3．（2）解不等式③，得x＜2．（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集﹣2＜x ＜2．【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的性质3．（2）解不等式③，得x＜2．（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：﹣2＜x＜2，故答案为：（1）x≥﹣3、不等式的性质3；（2）x＜2；（3）﹣2＜x＜2．19．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF，BD 相交于点O，求证：OE=OF．【解答】证明：连接BE 、DF ，如图所示： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD=BC ， ∵AE=CF ， ∴DE=BF ，∴四边形BEDF 是平行四边形， ∴OF=OE ．20．（8分）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．（1）该公司员工月收入的中位数是 3400 元，众数是 3000 元．（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．【解答】解：（1）共有25个员工，中位数是第13个数， 则中位数是3400元；3000出现了11次，出现的次数最多，则众数是3000． 故答案为3400；3000；（2）用中位数或众数来描述更为恰当．理由：平均数受极端值45000元的影响，只有3个人的工资达到了6276元，不恰当； 21．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．【解答】解：（1）第二个孩子是女孩的概率=；故答案为；（2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是女孩的概率=．22．（8分）“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．【解答】解：（1）如图1，在OA，OB上分别，截取OC=4，OD=3，若CD的长为5，则∠AOB=90°（2）如图2，在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，若点O在圆上，则∠AOB=90°．23．（8分）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择，如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具．（1）①当减少购买1个甲种文具时，x=99，y=2；②求y与x之间的函数表达式．（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元，甲、乙两种文具各购买了多少个？【解答】解：（1）①∵100﹣1=99，∴x=99，y=2，故答案为99，2．②由题意y=2（100﹣x）=﹣2x+200，∴y与x之间的函数表达式为y=﹣2x+200．（2）由题意，解得，答：甲、乙两种文具各购买了60个和80个．24．（8分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB 的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．（1）求证：PO平分∠APC；（2）连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC．【解答】解：（1）如图，连接OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA=OB，∴PO平分∠APC；（2）∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP=∠OBP=90°，∵∠C=30°，∴∠APC=90°﹣∠C=90°﹣30°=60°，∵PO平分∠APC，∴∠OPC=∠APC==30°，∴∠POB=90°﹣∠OPC=90°﹣30°=60°，又OD=OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠OBD=60°，∴∠DBP=∠OBP﹣∠OBD=90°﹣60°=30°，∴∠DBP=∠C，∴DB∥AC．25．（8分）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：如图作CH⊥AD于H．设CH=xkm，在Rt△ACH中，∠A=37°，∵tan37°=，∴AH==，在Rt△CEH中，∵∠CEH=45°，∴CH=EH=x，∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，∴=，∵AC=CB，∴AH=HD，∴=x+5，∴x=≈15，∴AE=AH+HE=+15≈35km，∴E处距离港口A有35km．26．（8分）已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是D．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数），∴△=（m﹣1）2+4m=（m+1）2≥0，则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，故选D；（2）y=﹣x2+（m﹣1）x+m=﹣（x﹣）2+，把x=代入y=（x+1）2得：y=（+1）2=，则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上；（3）设函数z=，当m=﹣1时，z有最小值为0；当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，当m=﹣2时，z=；当m=3时，z=4，则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4．27．（11分）折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．（1）说明△PBC是等边三角形．【数学思考】（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围．【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．【解答】（1）证明：由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，∴PB=PC，PB=CB，∴PB=PC=CB，∴△PBC是等边三角形．（2）解：以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1；再以点B为位似中心，将△△P1BC1放大，使点C1的对称点C2落在CD上，得到△P2BC2；如图⑤所示；（3）解：本题答案不唯一，举例如图⑥所示；（4）解：如图⑦所示：△CEF是直角三角形，∠CEF=90°，CE=4，EF=1，∴∠AEF+∠CED=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=CD，∴∠DCE+∠CED=90°，∴∠AEF=∠DCE，∴△AEF∽△DCE，∴=，设AE=x，则AD=CD=4x，∴DE=AD﹣AE=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2=42，解得：x=，∴AD=4×=；故答案为：．。
2017年江苏省南京市中考数学试卷及详细答案
2017年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（）A．7 B．8 C．21 D．362．计算106×（102）3÷104的结果是（）A．103B．107C．108D．1093．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱，该模型的形状对应的立体图形可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥4．若＜a＜，则下列结论中正确的是（）A．1＜a＜3 B．1＜a＜4 C．2＜a＜3 D．2＜a＜45．若方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A．a是19的算术平方根B．b是19的平方根C．a﹣5是19的算术平方根D．b+5是19的平方根6．过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（）A．（4，）B．（4，3） C．（5，）D．（5，3）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．计算：|﹣3|=；=．8．2016年南京实现GDP约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是．9．分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．计算：+×=．11．方程﹣=0的解是．12．已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p=，q=．13．如图是某市2013﹣2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是年，私人汽车拥有量年增长率最大的是年．14．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=15．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC=°．16．函数y1=x与y2=的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（7分）计算（a+2+）÷（a﹣）．18．（7分）解不等式组请结合题意，完成本题的解答．（1）解不等式①，得，依据是：．（2）解不等式③，得．（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．19．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF，BD 相交于点O，求证：OE=OF．20．（8分）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．月收入/元4500018001000550480340300220人数111361111（1）该公司员工月收入的中位数是元，众数是元．（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．21．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．22．（8分）“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．23．（8分）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择，如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具．（1）①当减少购买1个甲种文具时，x=，y=；②求y与x之间的函数表达式．（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元，甲、乙两种文具各购买了多少个？24．（8分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB 的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．（1）求证：PO平分∠APC；（2）连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC．25．（8分）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）26．（8分）已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．27．（11分）折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．（1）说明△PBC是等边三角形．【数学思考】（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围．【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（）A．7 B．8 C．21 D．36【解答】解：原式=12+3+6=21，故选C2．计算106×（102）3÷104的结果是（）A．103B．107C．108D．109【解答】解：106×（102）3÷104=106×106÷104=106+6﹣4=108．故选：C．3．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱，该模型的形状对应的立体图形可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥【解答】解：四棱锥的底面是四边形，侧面是四个三角形，底面有四条棱，侧面有4条棱，故选：D．4．若＜a＜，则下列结论中正确的是（）A．1＜a＜3 B．1＜a＜4 C．2＜a＜3 D．2＜a＜4【解答】解：∵1＜2，3＜4，又∵＜a＜，∴1＜a＜4，故选B．5．若方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A．a是19的算术平方根B．b是19的平方根C．a﹣5是19的算术平方根D．b+5是19的平方根【解答】解：∵方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，∴a﹣5和b﹣5是19的两个平方根，且互为相反数，∵a＞b，∴a﹣5是19的算术平方根，故选C．6．过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（）A．（4，）B．（4，3） C．（5，）D．（5，3）【解答】解：已知A（2，2），B（6，2），C（4，5），∴AB的垂直平分线是x==4，设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（6，2），C（4，5）代入上式得，解得，∴y=﹣x+11，设BC的垂直平分线为y=x+m，把线段BC的中点坐标（5，）代入得m=，∴BC的垂直平分线是y=x+，当x=4时，y=，∴过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（4，）．故选A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．计算：|﹣3|=3；=3．【解答】解：|﹣3|=3，==3，故答案为：3，3．8．2016年南京实现GDP约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是 1.05×104．【解答】解：10500=1.05×104．故答案为：1.05×104．9．分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠1．【解答】解：由题意得x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．10．计算：+×=6．【解答】解：原式=2+=2+4=6．故答案为6．11．方程﹣=0的解是x=2．【解答】解：﹣=0，方程两边都乘以x（x+2）得：2x﹣（x+2）=0，解得：x=2，检验：当x=2时，x（x+2）≠0，所以x=2是原方程的解，故答案为：x=2．12．已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p=4，q=3．【解答】解：∵关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，∴﹣3+（﹣1）=﹣p，（﹣3）×（﹣1）=q，∴p=4，q=3．故答案为：4；3．13．如图是某市2013﹣2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是2016年，私人汽车拥有量年增长率最大的是2015年．【解答】解：由条形统计图可得：该市私人汽车拥有量年净增量最多的是2016年，净增183﹣150=33（万辆），由折线统计图可得，私人汽车拥有量年增长率最大的是：2015年．故答案为：2016，2015．14．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D= 425°．【解答】解：∵∠1=65°，∴∠AED=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°﹣∠AED=425°，故答案为：425．15．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC=27°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，∴∠ACB=∠DCB=（180°﹣∠D）=51°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=78°，∴∠EAC=∠AEB﹣∠ACE=27°，故答案为：27．16．函数y1=x与y2=的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是①③．【解答】解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；③结合图象的2个分支可以看出，在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确；∴正确的有①③．故答案为：①③．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（7分）计算（a+2+）÷（a﹣）．【解答】解：（a+2+）÷（a﹣）===．18．（7分）解不等式组请结合题意，完成本题的解答．（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的性质3．（2）解不等式③，得x＜2．（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集﹣2＜x ＜2．【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的性质3．（2）解不等式③，得x＜2．（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：﹣2＜x＜2，故答案为：（1）x≥﹣3、不等式的性质3；（2）x＜2；（3）﹣2＜x＜2．19．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF，BD 相交于点O，求证：OE=OF．【解答】证明：连接BE、DF，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OF=OE．20．（8分）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．月收入/元4500018001000550480340300220人数111361111（1）该公司员工月收入的中位数是3400元，众数是3000元．（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．【解答】解：（1）共有25个员工，中位数是第13个数，则中位数是3400元；3000出现了11次，出现的次数最多，则众数是3000．故答案为3400；3000；（2）用中位数或众数来描述更为恰当．理由：平均数受极端值45000元的影响，只有3个人的工资达到了6276元，不恰当；21．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．【解答】解：（1）第二个孩子是女孩的概率=；故答案为；（2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是女孩的概率=．22．（8分）“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．【解答】解：（1）如图1，在OA，OB上分别，截取OC=4，OD=3，若CD的长为5，则∠AOB=90°（2）如图2，在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，若点O在圆上，则∠AOB=90°．23．（8分）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择，如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具．（1）①当减少购买1个甲种文具时，x=99，y=2；②求y与x之间的函数表达式．（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元，甲、乙两种文具各购买了多少个？【解答】解：（1）①∵100﹣1=99，∴x=99，y=2，故答案为99，2．②由题意y=2（100﹣x）=﹣2x+200，∴y与x之间的函数表达式为y=﹣2x+200．（2）由题意，解得，答：甲、乙两种文具各购买了60个和80个．24．（8分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB 的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．（1）求证：PO平分∠APC；（2）连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC．【解答】解：（1）如图，连接OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA=OB，∴PO平分∠APC；（2）∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP=∠OBP=90°，∵∠C=30°，∴∠APC=90°﹣∠C=90°﹣30°=60°，∵PO平分∠APC，∴∠OPC=∠APC==30°，∴∠POB=90°﹣∠OPC=90°﹣30°=60°，又OD=OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠OBD=60°，∴∠DBP=∠OBP﹣∠OBD=90°﹣60°=30°，∴∠DBP=∠C，∴DB∥AC．25．（8分）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：如图作CH⊥AD于H．设CH=xkm，在Rt△ACH中，∠A=37°，∵tan37°=，∴AH==，在Rt△CEH中，∵∠CEH=45°，∴CH=EH=x，∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，∴=，∵AC=CB，∴AH=HD，∴=x+5，∴x=≈15，∴AE=AH+HE=+15≈35km，∴E处距离港口A有35km．26．（8分）已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是D．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数），∴△=（m﹣1）2+4m=（m+1）2≥0，则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，故选D；（2）y=﹣x2+（m﹣1）x+m=﹣（x﹣）2+，把x=代入y=（x+1）2得：y=（+1）2=，则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上；（3）设函数z=，当m=﹣1时，z有最小值为0；当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，当m=﹣2时，z=；当m=3时，z=4，则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4．27．（11分）折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．（1）说明△PBC是等边三角形．【数学思考】（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围．【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．【解答】（1）证明：由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，∴PB=PC，PB=CB，∴PB=PC=CB，∴△PBC是等边三角形．（2）解：以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1；再以点B为位似中心，将△△P1BC1放大，使点C1的对称点C2落在CD上，得到△P2BC2；如图⑤所示；（3）解：本题答案不唯一，举例如图⑥所示；（4）解：如图⑦所示：△CEF是直角三角形，∠CEF=90°，CE=4，EF=1，∴∠AEF+∠CED=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=CD，∴∠DCE+∠CED=90°，∴∠AEF=∠DCE，∴△AEF∽△DCE，∴=，设AE=x，则AD=CD=4x，∴DE=AD﹣AE=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2=42，解得：x=，∴AD=4×=；故答案为：．第21页（共21页）。
2017二模试题及答案
▲
．
D
F
D
数学试卷
第 1 页 （共 10 页）
14．用一个圆心角为 120°，半径为 4 的扇形制作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径 为 ▲ ． cm2．
15． 如图， 菱形 ABCD 的周长为 24 cm， 正方形 AECF 的周长为 16 cm， 则菱形的面积为 ▲
23． （8 分）某公司购买一批玻璃杯和保温杯，计划用 2000 元购买玻璃杯，用 2800 元购买保 温杯．已知一个保温杯比一个玻璃杯贵 10 元．该公司购买的玻璃杯与保温杯的数量能相 同吗？ （1）根据题意，甲和乙两同学都先假设该公司购买的玻璃杯与保温杯的数量能相同，并 2000 2800 2800 2000 分别列出的方程如下： ＝ ； － ＝10，根据两位同学所列的方程，请你 x x+10 y y 分别指出未知数 x，y 表示的意义：x 表示 ▲ ；y 表示 ▲ ；
3
▲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
． ▲ ．
8．若式子 x－2在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 9．分解因式 2a2－4a 的结果是 ▲ ． 10．半径为 2 的圆内接正六边形边长为 ▲ ． 1 2 11．方程 ＝ －1 的解是 x＝ x x 12． 1 -2 －(1－ 3)0＝ 2 ▲ ▲ ． ．
13．如图，DE 是△ABC 的中位线，DC、BE 相交于点 O，OE＝2．则 BE 的长为
21． （8 分） 如图，在□ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点，连接 AC、CE、AF．
A E D
（1）求证△ABF ≌ △CDE； （2）若 AB＝AC，求证四边形 AFCE 是矩形．
江苏省南京市建邺区中考二模数学试题
目录九年级数学学科 (2)中考第一次模拟调研 (8)数学参考答案及评分标准 (8)一、选择题（每小题2分，共计12分） (8)二、填空题（每小题2分，共计20分） (8)三、解答题（本大题共10小题，共计88分） (8)初中毕业升学考试 (12)数学试题（副卷） (12)中考数学真题试题 (18)第1个第2个第3个 (22)第二个图形，正方形个数：2+4 (22)第三个图形，正方形个数：2+4+6 (22)中考第一次模拟调研 九年级数学学科注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．下列计算结果为负数的是（ ）A ．(－3)＋(－4)B ．(－3)－(－4)C ．(－3) (－4)D ．(－3)－42．计算a 6×(a 2)3÷a 4的结果是（ ）A ．a 3B ．a 7C ．a 8D ．a 9 3．若锐角三角函数tan55°＝a ，则a 的范围是（ ）A ．0＜a ＜1B ．1＜a ＜2C ．2＜a ＜3D ．3＜a ＜4 4．下列各数中，相反数、绝对值、平方根、立方根都等于其本身的是（ ）A ．0B ．1C ．0和1D ．1和－15．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF =CD =4 cm ，则球的半径长 是（ ）A ．2 cmB ．2.5 cmC ．3 cmD ．4 cm6．如图①，是一个每条棱长均相等的三棱锥，图②是它的主视图、左视图与俯视图．若边AB 的长度为a ，则在这三种视图的所有线段中，长度为a 的线段条数是（ ）A ．12条B ．9条C ．6条D ．5条二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置．．．．上） 7．函数y ＝1－x 中，自变量x 的取值范围是 ． 8．分解因式a 3－a 的结果是 ．9．若关于x 的一元二次方程x 2－kx －2＝0有一个根是1，则另一个根是 ．主视图 左视图 俯视图 图① 图②A B（第6题） （第5题）D10．辽宁号是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，其满载排水量为67 500吨．用科学记数法表示67 500是 ．11．一组数据1、2、3、4、5的方差为S 12，另一组数据6、7、8、9、10的方差为S 22，那么S 12 S 22（填“＞”、“＝”或“＜”）．12．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y 1＝kx（k 为常数，k ≠0）的图像与一次函数y 2＝－x ＋a （a 为常数，a ≠0）的图像相交于A 、B 两点．若点A 的坐标为(m ，n )，则点B 的坐标为 ．13．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若⊙O 的半径为3 cm ，∠A ＝110°，则劣弧BD ⌒的长为cm ．14．如图，点F 、G 在正五边形ABCDE 的边上，BF 、CG 交于点H ，若CF ＝DG ，则∠BHG ＝ °．15．如图，正八边形ABCDEFGH 的边长为a ，I 、J 、K 、L 分别是各自所在边的中点，且四边形IJKL 是正方形，则正方形IJKL 的边长为 （用含a 的代数式表示）．16．如图，以AB 为直径的半圆沿弦BC 折叠后，AB 与CB ⌒相交于点D ．若CD ⌒＝13BD ⌒，则∠B ＝ °．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：⎝⎛⎭⎫a ＋2＋1a ÷⎝⎛⎭⎫a －1a ．18．（7分）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＞0，5x ＋12＋1≥2x －13，并把它的解集在数轴上表示出来．D C B AE （第14题） HGF（第13题）（第16题）KC ED FBL JGH I A （第15题）123-3 -2 -1（第18题）19．（7分）如图，①四边形ABCD 是平行四边形，线段EF 分别交AD 、AC 、BC 于点E 、O 、F ，②EF ⊥AC ，③AO ＝CO ．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）在本题①②③三个已知条件中，去掉一个条件，（1）的结论依然成立，这个条件是 ▲ （直接写出这个条件的序号）．20．（8分）某天,一蔬菜经营户用180元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40千克到菜市场去卖,西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱?21．（8分）超市水果货架上有四个苹果，重量分别是100 g 、110 g 、120 g 和125 g ．（1）小明妈妈从货架上随机取下一个苹果．恰是最重的苹果的概率是 ▲ ； （2）小明妈妈从货架上随机取下两个苹果．它们总重量超过232 g 的概率是多少？22．（8分）河西中学九年级共有9个班，300名学生，学校要对该年级学生数学学科学业水平测试成绩进行抽样分析，请按要求回答下列问题： 收集数据（1）若从所有成绩中抽取一个容量为36的样本，以下抽样方法中最合理的是 ▲ ．①在九年级学生中随机抽取36名学生的成绩； ②按男、女各随机抽取18名学生的成绩；DCBAE（第19题）OF③按班级在每个班各随机抽取4名学生的成绩．整理数据（2）将抽取的36名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图如下．请根据图表中数据填空：①C 类和D 类部分的圆心角度数分别为 ▲ °、 ▲ °； ②估计九年级A 、B 类学生一共有 ▲ 名．分析数据（3）教育主管部门为了解学校教学情况，将河西、复兴两所中学的抽样数据进行对比，得下表：23．（8分）下图是投影仪安装截面图．教室高EF ＝3.5 m ，投影仪A 发出的光线夹角∠BAC ＝30°，投影屏幕高BC ＝1.2 m ．固定投影仪的吊臂AD ＝0.5 m ，且AD ⊥DE ，AD ∥EF ，∠ACB ＝45°．求屏幕下边沿离地面的高度CF （结果精确到0.1 m ）． （参考数据：tan15°≈0.27，tan30°≈0.58）九年级学生数学成绩分布扇形统计图数据来源：学业水平考试数学成绩抽样 B 类A （第22题） （第23题）B24．（9分）一辆货车从甲地出发以每小时80 km 的速度匀速驶往乙地，一段时间后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地．货车行驶2.5 h 后，在距乙地160 km 处与轿车相遇．图中线段AB 表示货车离乙地的距离y 1 km 与货车行驶时间x h 的函数关系．（1）求y 1与x 之间的函数表达式；（2）若两车同时到达各自目的地，在同一坐标系中画出轿车离乙地的距离y 2与x 的图像，求该图像与x 轴交点坐标并解释其实际意义．25．（8分）某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量t （件）与每件销售价x （元/件）之间有如下关系：t ＝－3x ＋90． （1）请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y （元）与x 之间的函数表达式； （2）当x 为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？26．（9分）Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC :BC ＝4:3，O 是BC 上一点，⊙O 交AB 于点D ，交BC 延长线于点E ．连接ED ，交AC 于点G ，且AG ＝AD ． （1）求证：AB 与⊙O 相切；（2）设⊙O 与AC 的延长线交于点F ，连接EF ，若EF ∥AB ，且EF ＝5，求BD 的长．hy ∕（第26题）27．（10分）图①是一张∠AOB ＝45°的纸片折叠后的图形，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的点，且OP ＝2 cm ．将∠AOB 沿PQ 折叠，点O 落在纸片所在平面内的C 处． （1）①当PC ∥QB 时，OQ ＝ ▲ cm ；②在OB 上找一点Q ，使PC ⊥QB （尺规作图，保留作图痕迹）； （2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求OQ 的长．QOC B（第27题）①备用图1 备用图2中考第一次模拟调研 数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每小题2分，共计12分）二、填空题（每小题2分，共计20分）7．x ≤1 8．a (a +1)(a -1) 9．-2 10．6.75×104 11．＝ 12．（n ，m ） 13．7π 3 14．108° 15．2+22 a 16. 18°三、解答题（本大题共10小题，共计88分） 17．（本题6分）解：原式 ＝a 2＋2a ＋1a ÷a 2－1a＝a 2＋2a ＋1a ·a a 2－1＝(a ＋1) 2a ·a(a ＋1)(a －1)＝a ＋1a －1． ·························································································· 6分18．（本题7分）解：解不等式①，得x ＜2． ············································································· 2分解不等式②，得x ≥ —1． ········································································· 4分 所以，不等式组的解集是－1≤x ＜2． ························································ 5分 画图································································ 7分 19．（本题7分）解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AE ∥CF∴∠DAC ＝∠BCA ········································································ 1分 在△AOE 和△COF 中⎩⎪⎨⎪⎧∠DAC=∠ACBAO=CO ∠AOE=∠COF ∴△AOE ≌△COF （ASA ） ··································································· 3分 ∴AE ＝CF∴四边形AFCE 是平行四边形 ·························································· 5分（2）② ····························································································· 7分 20．（本题8分）解：设批发了西红柿x 千克，豆角y 千克由题意得：..x y x y +=⎧⎨+=⎩403646180 ····················································· 3分解得：x y =⎧⎨=⎩436 ……………………………………………6分(5.4 — 3.6)× 4＋(7.5 — 4.6)× 36 ＝ 111.6（元） ········································ 7分答：卖完这些西红柿和豆角能赚111.6元． ···················································· 8分 21．（本题8分）解：（1）14································································································· 2分（2）共有6种等可能出现的结果，分别为 ······················································ 3分①（100，110）；②（100，120）；③（100，125）；④（110，120）；⑤（110，125）；⑥（120，125） ··························································· 6分 总重量超过232g 的结果有2种，即（110，125），（120，125） ··················· 7分 因此，总重量超过232g 的概率是13··················································· 8分22．（本题8分）解：（1）① ···························································································· 2分 （2）① 60°，30° ··················································································· 4分② 225 ··················································································· 6分 （3）两所学校都可以选择只要理由正确皆可得分 ············································· 8分 选择河西中学，理由是平均分相同，河西中学极差和方差较小，河西中学成绩更稳定．选择复兴中学，理由是平均分相同，复兴中学A ，B 类频率和高，复兴中学高分人数更多． 23．（本题8分）解：过点A 作AP ⊥EF ，垂足为P∵AD ⊥DE ，∴∠ADE ＝90° ∵AD ∥EF ，∴∠DEP ＝90°∵AP ⊥EF ，∴∠APE ＝∠APC ＝90°,∴∠ADE ＝∠DEP ＝∠APE ＝90° ∴四边形ADEP 为矩形∴EP ＝AD ＝0.5m ····················································································· 2分 ∠APC ＝90°，∠ACB ＝45° ∴∠CAP ＝45°＝∠ACB ，∠BAP ＝∠CAP —∠CAB ＝45°—30°＝15°∴AP ＝CP ······························································································· 4分 在Rt △APB 中tan ∠BAP ＝BP AP ＝tan15°＝0.27 ··································································· 5分∴BP ＝0.27AP ＝0.27CP ,∴BC ＝CP —BP ＝CP —0.27CP ＝0.73CP ＝1.2m∴CP ＝1.64m ··························································································· 7分 ∴CF ＝EF —EP —CP ＝3.5—0.5—1.64＝1.36≈1.4m······································ 8分24．（本题9分）解：（1）由条件可得k1＝—80 1分设y1＝—80x+b1，过点（2.5，160），可得方程160＝—80×2.5+b1解得b1＝360 ····················································································· 3分∴y1＝—80x+360 ················································································ 4分（2）当y1＝0时，可得x＝4.5轿车和货车同时到达，终点坐标为（4.5，360）设y2＝k2x+b2，过点（2.5，160）和（4.5，360）解得k2＝100，b2＝—90∴y2＝100x—90图像如下图························································ 7分与x轴交点坐标为(0.9，0) ···································································· 8分说明轿车比货车晚出发0.9h ·································································· 9分25．（本题8分）解：（1）表达式为y＝(—3x+90)(x—20)化简为y＝—3x²+150x—1800 ································································· 4分（2）把表达式化为顶点式y＝—3(x—25)² +75 ·················································· 6分当x＝25时，y有最大值75答：当售价为25元时，有最大利润75元 ················································· 8分26．（本题9分）（1）证明：连结OD∵∠ACB＝90°，∴∠OED+∠EGC＝90°··································································1分∵⊙O，∴OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED∵AG＝AD，∴∠ADG＝∠AGD ················································································3分∵∠AGD＝∠EGC∴∠OED+∠EGC＝∠ADG+∠ODE＝∠ADO＝90°∴OD⊥AB ························································································ 4分∵OD为半径∴AB是⊙O的切线············································································· 5分（2）连接OF．∵EF∥AB，AC:BC＝4:3，∴CF:CE＝4:3．又∵EF ＝5，∴CF ＝4，CE ＝3．设半径＝r ，则OF ＝r ，CF ＝4，CO ＝r －3．在Rt △OCF 中，由勾股定理，可得r ＝256． ………………………………………7分∵EF ∥AB ，∴∠CEF ＝∠B ，∴△CEF ∽△DBO ，∴CF DO ＝CEDB， ∴BD ＝258． ······················································································ 9分27．（本题10分）解：（1）① 2； ………………………………………………………………………………2分 ② 分点C 、P 在BQ 同侧和异侧两种情况，画对一种就给全分；·················································································································· 5分 （2）当点C 在∠AOB 的内部或一边上时，则重叠部分即为△CPQ ．因为△CPQ 是由△OPQ 折叠得到，所以当△OPQ 为等腰三角形时，重叠部分必为等腰三角形．如图1、2、3三种情况：当点C 在∠AOB 的外部时，当点C 在射线OB 的上方时（如图4），当点C 在射线OA 的下方时（如图5），O ABC Q P 图1O B CA Q P 图2当PQ ＝PO 时，OQ ＝2OP ＝22cm 当QO ＝QP 时，OQ ＝22OP ＝2cm 当OQ ＝OP 时， OQ ＝OP ＝2cm图1图2图3AOBPQAOBPAPQOABCQP B QOP A图4图5COQ ＝6－2(cm) OQ ＝6＋2(cm)………………………………………………………………………………10分初中毕业升学考试数学试题（副卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内） 1．﹣3的绝对值是 A ．13-B ．﹣3C ．13D ．3 2．9的算术平方根等于A ．3B ．﹣3C ．±3D ．93．一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形是A ．七边形B ．八边形C ．九边形D ．十边形 4．下列计算正确的是A ．2233a a -= B ．236()a a = C ．236a a a ⋅= D ．623a a a ÷= 5．有6个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是6．如图，正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，且AE ＝AB ，则∠AEB 的度数为 A ．45° B ．60° C ．67.5° D ．70°第6题 第18题 第10题7．若322a b -=，则代数式231b a -+的值等于A ．﹣1B ．﹣3C ．3D ．58．蚊香长度y （厘米）与燃烧时间t （小时）之间的函数表达式为10510y t =-．则蚊香燃烧的速度是 A ．10厘米/小时 B ．105厘米/小时 C ．10.5厘米/小时 D ．不能确定 9．若关于x 的不等式30x m +≥有且仅有两个负整数解，则m 的取值范围是 A ．6≤m ≤9 B ．6＜m ＜9 C ．6＜m ≤9 D ．6≤m ＜910．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为边AD 上一个动点，连结BE ，取BE 的中点G ，点G绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连结CF ，则△CEF 面积的最小值是 A ．4 B ．154 C ．3 D ．114二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上） 11．函数y =x 的取值范围是 ．12．因式分解：34x x -＝ ．13．我国某铁路年输送货物的能力是11 000 000吨，这个数据用科学记数法可记为 ． 14．数据﹣3，﹣1，0，2，4的极差是 ．15．若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是 ．16．某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为x ，由题意可列得方程： ． 17．已知点A 、B 都在反比例函数6y x=(x ＞0)的图像上，其横坐标分别是m 、n (m ＜n )．过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别是C 、D ；过点B 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别是E 、F ，AC 与BF 交于点P ．当点P 在线段DE 上、且m (n ﹣2)＝3时，m 的值等于 ．18．如图，点A 的坐标是(a ，0)(a ＜0)，点C 是以OA 为直径的⊙B 上一动点，点A 关于点C 的对称点为P ．当点C 在⊙B 上运动时，所有这样的点P 组成的图形与直线13y x =-1-有且只有一个公共点，则a 的值等于 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）计算：（1）1tan 60(32︒+--； （2）2(21)(1)(1)x x x --+-． 20．（本题满分8分）解方程（组）：（1）11322x x x -=---； （2）2344442x y x y +=⎧⎨+=⎩．21．（本题满分6分）如图，已知五边形ABCDE 是正五边形，连结AC 、AD ．证明：∠ACD ＝∠ADC ．A B CDE22．（本题满分6分）某市教育局组织全市中小学教师开展“请千家”活动．活动过程中，教有局随机抽取了近两周家访的教师人数及家访次数，将采集到的全部数据按家访次数分成五类，由甲、乙两人分别绘制了下面的两幅统计图（图都不完整）．请根据以上信息，解答下列问题：（1）请把这幅条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）；（2）在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访次；（3）若该市有12 000名教师，则近两周家访不少于3次的教师约有人．23．（本题满分8分）某校4月份八年级的生物实验考查，有A、B、C、D四个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验．小明、小丽都参加了本次考查．（1）小丽参加实验A考查的概率是；（2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A考查的概率．24．（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，点O在边AB上．过点A、D的圆的圆心O在边AB上，它与边AB交于另一点E．（1）试判断BC与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，sinB＝35，求AD的长．25．（本题满分8分）A商场从某厂以75元/件的价格采购一种商品，售价是100元/件．厂家与商场约定：若商场一次性采购达到或超过400件，厂家按每件5元返利给A商场，商场没有售完的，可以以65元/件退还给厂家．设A商场售出该商品x件．问：A商场对这种商品的销量至少要多少时，他们的获利能达到9 600元？26．（本题满分10分）如图，∠AOB＝60°，点P为射线OA上的一动点．过点P作PC⊥OB于点C．点D在∠AOB内，且满足∠APD＝∠OPC，DP＋PC＝10．（1）当PC ＝6时，求点D 到OB 的距离；（2）在射线OA 上是否存在一定点M ，使得MD ＝MC ？若存在，请用直尺（不带刻度）和圆规作出点M （不必写作法，但要保留作图痕迹），并求OM 的长；若不存在，说明理由．27．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝m ，BC ＝n ，m ＞n ，点P 是边AB 上一点，连结CP ，将△ACP 沿CP 翻折得到△QCP ．（1）若m ＝4，n ＝3，且PQ ⊥AB ，求BP 的长；（2）连结BQ ，若四边形BCPQ 是平行四边形，求m 与n 之间的关系式．28．（本题满分10分）已知：如图，在平面直角坐标系中，点P(3m ，m )(m ＞0)，过点P 的直线AB 与x 轴正半轴交于点A ，与直线3y x 交于点B ．（1）当m ＝3且∠OAB ＝90°时，求BP 的长度；（2）若点A 的坐标是(6，0)，且AP ＝2PB ，求经过点P 且以点B 为顶点的抛物线的函数表达式．中考数学真题试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 41-的相反数是 （ ） A.4 B.-4 C.41 D.41- 考点：相反数. 答案：C.2. 下列运算中，正确的是（ ）A.633x x x =+B.2763x x x =⋅ C.()532x x = D.12-=÷x x x考点：合并同类项及幂的运算 答案：D3. 下列事件中的不可能事件是（ ）A.通常加热到C ︒100时，水沸腾B.抛掷2枚正方体的骰子，都是6点朝上C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D.任意画一个三角形，其内角和都是︒360 考点：不可能事件的概念。
(含参考答案) 2017年江苏省南京市中考数学试卷
2017年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。
在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．（2分）计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（）A．7 B．8 C．21 D．362．（2分）计算106×（102）3÷104的结果是（）A．103B．107C．108D．1093．（2分）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱，该模型的形状对应的立体图形可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥4．（2分）若＜a＜，则下列结论中正确的是（）A．1＜a＜3 B．1＜a＜4 C．2＜a＜3 D．2＜a＜45．（2分）若方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A．a是19的算术平方根B．b是19的平方根C．a﹣5是19的算术平方根D．b+5是19的平方根6．（2分）过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（）A．（4，）B．（4，3） C．（5，）D．（5，3）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）计算：|﹣3|=；=．8．（2分）2016年南京实现GDP约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是．9．（2分）分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（2分）计算+×的结果是．11．（2分）方程﹣=0的解是．12．（2分）已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p=，q=．13．（2分）如图是某市2013﹣2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是年，私人汽车拥有量年增长率最大的是年．14．（2分）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=°．15．（2分）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC=°．16．（2分）函数y1=x与y2=的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（7分）计算（a+2+）÷（a﹣）．18．（7分）解不等式组请结合题意，完成本题的解答．（1）解不等式①，得，依据是：．（2）解不等式③，得．（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．19．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF，BD 相交于点O，求证：OE=OF．20．（8分）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．（1）该公司员工月收入的中位数是元，众数是元．（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．21．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．22．（8分）“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．23．（8分）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择，如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具．（1）①当减少购买1个甲种文具时，x=，y=；②求y与x之间的函数表达式．（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元，甲、乙两种文具各购买了多少个？24．（8分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB 的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．（1）求证：PO平分∠APC；（2）连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC．25．（8分）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）26．（8分）已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．27．（11分）折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB、PC，得到△PBC．（1）说明△PBC是等边三角形．【数学思考】（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围．【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．2017年江苏省南京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。
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2017年江苏省南京市建邺区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）2017年5月14日首届“一带一路”国际高峰论坛在中国北京召开，来自130多个国家的约1 500名各界贵宾出席论坛．用科学记数法表示1 500是（）A．15×102B．1.5×102C．1.5×103D．0.15×1042．（2分）下列各数中，是无理数的是（）A．B．C．2D．sin30°3．（2分）计算（﹣ab3）2的结果是（）A．﹣a2b5B．a2b5C．﹣a2b6D．a2b64．（2分）用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的平分线．由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS5．（2分）如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，BE＝BC，则∠BEC的度数是（）A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°6．（2分）已知二次函数y＝ax2﹣ax（a为常数，且a≠0），图象的顶点为C．以下三个结论：①无论a为何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点；②无论a为何值，该函数的图象在x轴上截得的线段长为2；③若该函数的图象与x轴有两个交点A、B，且S△ABC ＝1时，则a＝8．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）9的平方根是．8．（2分）函数中，自变量x的取值范围是．9．（2分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）＝．10．（2分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，m），则m的值是．11．（2分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，则x1•x2的值是．12．（2分）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为cm2．13．（2分）某校九年级有15名同学参加校运会百米比赛，预赛成绩各不相同，前7名才有资格参加决赛，小明已经知道了自己的成绩，但他想知道自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学成绩的．（填“极差”、“众数”或“中位数”）14．（2分）菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则菱形ABCD的面积为，周长为．15．（2分）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A恰好落在边BC的点F处，折痕为DE，若AB＝8，BF＝4，则BC＝cm．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．18．（6分）计算（1+）÷．19．（7分）用一条长20cm的绳子能否围成一个面积为30cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．20．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：（1）△ABE≌△ADE．（2）四边形BFDE是菱形．21．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．22．（8分）“约在江苏，共筑梦想”，为了解某校1000名学生在2017年5月20日“江苏发展大会”期间对会议的关注方式，某班兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查，某校抽取学生“江苏发展大会”期间对会议的关注方式的统计表并将问卷调查的结果绘制成如下不完整的统计表：方式频数百分比网络2346%电视报纸8%其他15合计100%（1）本次问卷调查抽取的学生共有人，其中通过电视关注会议的学生有人；（2）从上表的“频数”、“百分比”两列数据中选择一列，用适当的统计图表示；（3）根据抽样的结果，估计该校学生通过报纸关注会议的约有多少人？23．（8分）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距40m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37°，测得铁塔顶部的仰角为26.6°，求铁塔的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？25．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与边AB、BC分别交于点D、E．过E作直线与AB垂直，垂足为F，且与AC的延长线交于点G．（1）求证：直线FG是⊙O切线．（2）若BF＝1，CG＝2，求⊙O半径．26．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，AB＝2，其中点A的坐标为（1，0）．（1）求二次函数的关系式及顶点坐标；（2）请设计一种平移方法，使（1）中的二次函数图象的顶点在x轴上，并直接写出平移后相应的二次函数的表达式．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC＝150°，P A＝3，PC＝4．求PB 的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC＝120°，P A＝，PB＝5．求PC的长．2017年江苏省南京市建邺区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）2017年5月14日首届“一带一路”国际高峰论坛在中国北京召开，来自130多个国家的约1 500名各界贵宾出席论坛．用科学记数法表示1 500是（）A．15×102B．1.5×102C．1.5×103D．0.15×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：用科学记数法表示1 500是1.5×103，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（2分）下列各数中，是无理数的是（）A．B．C．2D．sin30°【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、分数，是有理数，选项不符合题意；B、是无理数，选项符合题意；C、2是整数，是有理数，选项不符合题意；D、sin30°＝是分数，是有理数，选项不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．3．（2分）计算（﹣ab3）2的结果是（）A．﹣a2b5B．a2b5C．﹣a2b6D．a2b6【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝a2b6，故选：D．【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2分）用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的平分线．由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．【解答】解：在△OEC和△ODC中，∵，∴△OEC≌△ODC（SSS），故选：D．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．5．（2分）如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，BE＝BC，则∠BEC的度数是（）A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°【分析】利用正方形的性质，可知∠CBE＝45°，再根据等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBD＝45°，∵BC＝BE，∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣45°）＝67.5°，故选：C．【点评】本题考查正方形的性质．等腰三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键．6．（2分）已知二次函数y＝ax2﹣ax（a为常数，且a≠0），图象的顶点为C．以下三个结论：①无论a为何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点；②无论a为何值，该函数的图象在x轴上截得的线段长为2；③若该函数的图象与x轴有两个交点A、B，且S△ABC ＝1时，则a＝8．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①化简二次函数即可解题；②根据①中结论即可判断；③易求得点C的坐标，即可求得a的值，即可解题．【解答】解：①y＝ax2﹣ax＝ax（x﹣1），当y＝0时，x＝0或者1，∴无论a为何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点为（0，0）（1，0）；①正确；②∵无论a为何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点为（0，0）（1，0），∴该函数的图象在x轴上截得的线段长为1；②错误；③y＝ax2﹣ax对称轴为x＝，∵当x＝时，y＝﹣a，∴S△ABC＝AB•|﹣a|＝|a|，当S△ABC＝1时，|a|＝1，解得：a＝±8，③错误；故选：B．【点评】本题考查了抛物线顶点的坐标，考查了三角形面积的计算，本题注意抛物线开口向上向下无法确定，所以a无法判定正负数．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）9的平方根是±3．【分析】直接利用平方根的定义计算即可．【解答】解：∵±3的平方是9，∴9的平方根是±3．故答案为：±3．【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．8．（2分）函数中，自变量x的取值范围是x≠1．【分析】分式的意义可知分母：就可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故答案为：x≠1．【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．（2分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）＝（b+c）（2a﹣3）．【分析】直接提取公因式b+c即可．【解答】解：原式＝（b+c）（2a﹣3），故答案为：（b+c）（2a﹣3）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．10．（2分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，m），则m的值是﹣2．【分析】直接把点A（﹣1，m）代入反比例函数y＝，求出m的值即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，m），∴m＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．11．（2分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，则x1•x2的值是5．【分析】根据根与系数的关系，可得出x1•x2＝5，此题得解．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，∴x1•x2＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．12．（2分）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为6πcm2．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径是2cm，则底面周长＝4πcm，圆锥的侧面积＝×4π×3＝6πcm2．【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．13．（2分）某校九年级有15名同学参加校运会百米比赛，预赛成绩各不相同，前7名才有资格参加决赛，小明已经知道了自己的成绩，但他想知道自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学成绩的中位数．（填“极差”、“众数”或“中位数”）【分析】由于比赛取前8名参加决赛，共有15名选手参加，根据中位数的意义分析即可．【解答】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有8个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否获奖了．故答案为中位数．【点评】本题考查了统计量的选择，以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．14．（2分）菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则菱形ABCD的面积为24，周长为20．【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解；根据菱形的对角线互相垂直平分求出两条对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长，然后根据周长公式列式计算即可得解．【解答】解：菱形ABCD的面积＝×6×8＝24；∵两条对角线长分别为6和8，∴两对角线的一半分别为3，4，由勾股定理得，菱形的边长＝＝5，所以，菱形的周长＝4×5＝20．故答案为：24；20．【点评】本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质和面积的计算方法，需熟记．15．（2分）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A恰好落在边BC的点F处，折痕为DE，若AB＝8，BF＝4，则BC＝10cm．【分析】设AE＝x，表示出BE，根据翻折变换的性质可得EF＝AE，然后利用勾股定理列出方程求解即可得到EF的长，再根据相似三角形的性质，即可得到CF的长，进而得出BC的长．【解答】解：设EF＝AE＝x，则BE＝8﹣x，∵∠B＝90°，BF＝4，∴Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴EF＝5，BE＝3，∵∠DFE＝∠A＝90°，∠C＝90°，∴∠CDF＝∠BFE，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△DCF∽△FBE，∴＝，即＝，∴CF＝6，∴BC＝BF+CF＝4+6＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理以及相似三角形的性质的运用，熟记折叠的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．解题时注意方程思想的运用．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是1．【分析】首先证明点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB与⊙O交于点P，此时PB最小，利用勾股定理求出OB即可解决问题．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACP+∠BCP＝90°，∵∠P AC＝∠PCB∴∠CAP+∠ACP＝90°，∴∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，在Rt△CBO中，∵∠OCB＝90°，BC＝2，OC＝1.5，∴OB＝＝2.5，∴PB＝OB﹣OP＝2.5﹣1.5＝1．∴PB最小值为1．故答案为1．【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，最后求其整数解即可．【解答】解：解不等式3x+1≤2（x+1），得：x≤1，解不等式﹣x＜5x+12，得：x＞﹣2，则不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，则不等式组的整数解为﹣1、0、1．【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．18．（6分）计算（1+）÷．【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题．【解答】解：（1+）÷＝•＝x﹣1．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．19．（7分）用一条长20cm的绳子能否围成一个面积为30cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．【分析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（10﹣x）cm，利用矩形面积为30cm2，进而得出等式求出答案．【解答】解：设矩形的长为xcm，则宽为（10﹣x）cm．根据题意，得x（10﹣x）＝30，即x2﹣10x+30＝0．因为△＝b2﹣4ac＝102﹣4×30＝﹣20＜0，所以此一元二次方程无实数根．答：用一条长20cm的绳子不能围成一个面积为30cm2的矩形．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等式是解题关键．20．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：（1）△ABE≌△ADE．（2）四边形BFDE是菱形．【分析】（1）根据菱形的性质进而推出∠BAE＝∠DAE，利用SAS证明△ABE≌△ADE；（2）连接BD，交AC于点O，首先证明四边形BFDE是平行四边形，再证明BE＝DE，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC，AD∥BC．∴∠BAC＝∠BCA，∠DAC＝∠BCA．∴∠BAC＝∠DAC．即∠BAE＝∠DAE．在△ABE和△ADE中，∴△ABE≌△ADE．（2）如图，连接BD，交AC于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD．又AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF．即OE＝OF．∴四边形BFDE是平行四边形．又△ABE≌△ADE，∴BE＝DE．∴四边形BFDE是菱形．【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握菱形的判定方法以及利用SAS证明两个三角形全等．21．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）另外1人恰好选中副班长的概率是；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数为2，所以恰好选中甲和乙的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B 的概率．22．（8分）“约在江苏，共筑梦想”，为了解某校1000名学生在2017年5月20日“江苏发展大会”期间对会议的关注方式，某班兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查，某校抽取学生“江苏发展大会”期间对会议的关注方式的统计表并将问卷调查的结果绘制成如下不完整的统计表：方式频数百分比网络2346%电视报纸8%其他15合计100%（1）本次问卷调查抽取的学生共有50人，其中通过电视关注会议的学生有8人；（2）从上表的“频数”、“百分比”两列数据中选择一列，用适当的统计图表示；（3）根据抽样的结果，估计该校学生通过报纸关注会议的约有多少人？【分析】（1）由问卷调查的学生总人数＝通过网络关注的学生人数÷该项人数所占的百分比；通过电视关注会议的学生人数＝问卷调查的学生总人数×该项人数所占的百分比．（2）可选择条形图或者扇形图；（3）该校学生通过报纸关注会议的人数＝该校学生数×该项所占的百分数．【解答】解：（1）23÷46%＝50（人），15÷50＝30%，50×（1﹣46%﹣8%﹣30%）＝8（人）．答：本次问卷调查抽取的学生共有50人，其中通过电视关注会议的学生有8人；（2）选择条形图，如图所示：（3）1 000×8%＝80（人）．答：估计该校学生通过报纸关注会议的约有80人．故答案为：50，8．【点评】本题考查了频数、频率及总数间的关系，统计图的选择和用样本估计总数．频率＝，频数＝频率×总数，总数＝．23．（8分）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距40m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37°，测得铁塔顶部的仰角为26.6°，求铁塔的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）【分析】作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，求出CE和DE的长，然后相加即可．【解答】解：作AE⊥CD，垂足为E．在Rt△AEC中，CE＝AE•tan26.6°≈40×0.50＝20m；在Rt△AED中，DE＝AE•tan37°≈40×0.75＝30m；∴CD＝20+30＝50m．答：铁塔的高度为50米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，转化为解直角三角形问题是解题的关键．24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？【分析】（1）根据到出发点的距离由大变小可知小亮2min时开始下坡返回；（2）求出下坡时的速度，然后求出下坡的时间，从而得到点A的坐标，设直线AB的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）设两人出发后xmin相遇，根据第一次相遇时，小刚下坡，小亮上坡，列出方程求解即可．【解答】解：（1）点B所表示的实际意义是：2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）小亮上坡速度：480÷2＝240m/min，下坡速度：240×1.5＝360m/min，所以，下坡时间为480÷360＝min，2+＝min，所以，点A的坐标为（，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，解得．所以，y＝﹣360x+1200；（3）设两人出发后xmin相遇，∵小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，∴小刚的速度是240÷2＝120m/min，第一次相遇时，小刚下坡，小亮上坡，由题意得，120x+360（x﹣2）＝480，解得x＝2.5．答：两人出发2.5min后第一次相遇．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，相遇问题等量关系，读懂题目信息，理解两人的运动过程是解题的关键．25．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与边AB、BC分别交于点D、E．过E作直线与AB垂直，垂足为F，且与AC的延长线交于点G．（1）求证：直线FG是⊙O切线．（2）若BF＝1，CG＝2，求⊙O半径．【分析】（1）证明OE∥AB，由FG⊥AB，一条直线垂直于两平行线的一条直线，则这条直线也垂直于另一条直线，可得OE⊥GF，FG与⊙O相切．（2）设⊙O的半径为r，则OE＝r，AB＝AC＝2r．根据平行证明△GOE∽△GAF．列比例式得：＝，代入可得r的值．【解答】证明：（1）如图，连接OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．在⊙O中，OC＝OE，∴∠OEC＝∠ACB．∴∠B＝∠OEC．∴OE∥AB．又AB⊥GF，∴OE⊥GF．又OE是⊙O的半径，∴FG与⊙O相切．解：（2）设⊙O的半径为r，则OE＝r，AB＝AC＝2r．∵BF＝1，CG＝2，∴AF＝2r﹣1，OG＝r+2，AG＝2r+2．∵OE∥AB，∴△GOE∽△GAF．∴＝．∴＝．∴r＝2．即⊙O的半径为2．【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、三角形相似的性质和判定，在圆中证明一条直线是圆的切线是常考题型，常运用的辅助线为：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．26．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，AB＝2，其中点A的坐标为（1，0）．（1）求二次函数的关系式及顶点坐标；（2）请设计一种平移方法，使（1）中的二次函数图象的顶点在x轴上，并直接写出平移后相应的二次函数的表达式．【分析】（1）由AB＝2，点A的坐标为（1，0）可求出B的坐标（不唯一）再把A，B 的坐标代入y＝x2+bx+c，求出b和c的值即可；（2）由（1）可知抛物线的顶点坐标，由此平移即可使（1）中的二次函数图象的顶点在x轴上（此题平移方法不唯一）．【解答】解：（1）因为点A的坐标为（1，0），AB＝2，所以点B的坐标为（3，0）或（﹣1，0）．将A（1，0），B（3，0）或A（1，0），（﹣1，0）代入y＝x2+bx+c，得或所以二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3或y＝x2﹣1．顶点坐标分别为（2，﹣1）、（0，﹣1）．（2）∵顶点坐标分别为（2，﹣1）、（0，﹣1），若二次函数图象的顶点在顶点在x轴上，∴抛物线的图象向上平移1个单位．∴二次函数的关系式为y＝x2﹣4x+4或y＝x2．【点评】本题主要考查的是用待定系数法求二次函数的解析式和函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式，求得平移后的函数解析式．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC＝150°，P A＝3，PC＝4．求PB 的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC＝120°，P A＝，PB＝5．求PC的长．【分析】（1）只要证明△ADP是等边三角形，△PDB是直角三角形，两个勾股定理即可解决问题；（2）如图，作∠CAD＝∠BAP，使AD＝AP．连接CD、PD．只要证明△DPC是直角三角形，即可解决问题；【解答】解：（1）如图2中，∵将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB．∴AD＝AP＝3，DB＝PC＝4，∠P AD＝60°，∠ADB＝∠APC＝150°．∵AD＝AP，∠P AD＝60°，∴△ADP为等边三角形．∴PD＝P A＝3，∠ADP＝60°．又∠ADB＝150°，∴∠PDB＝90°．在Rt△PDB中，PD＝3，DB＝4，∴BP＝＝＝5，（2）如图，作∠CAD＝∠BAP，使AD＝AP．连接CD、PD．∵AB＝2AC，AD＝AP，∴＝＝．又∠CAD＝∠BAP，∴△ABP∽△ACD．∴CD＝BP＝2.5．在△P AD中，P A＝，∠P AD＝60°，AD＝，易证∠APD＝30°，∠PDA＝90°（取P A中点K，连接DK，利用等边三角形的性质即可证明）∴PD＝，∴∠DPC＝120°﹣30°＝90°在Rt△DPC中，PC＝＝＝2．【点评】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。