安徽省马鞍山市2012届高三第二次教学质量检测文

文科数学参考答案及评分标准（2）【命题意图】本题考查集合运算、基本初等函数定义域，简单题. （3）【命题意图】本题考查分段函数求值，简单题. （4）【命题意图】本题考查三角函数图象变换，诱导公式，简单题. （5）【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、求和. （6）【命题意图】指数函数的性质及重要不等式的性质.中等题 （7）【命题意图】.本题考查三视图，几何体表面积计算，中等题. （8）【命题意图】本题考查函数的单调性与导数的关系，体现数形结合的思想，中等题. （9）【命题意图】.本题考查椭圆、双曲线的概念及性质，中等题. （10）【命题意图】.本题考查直线和圆的位置关系，构造法、数形结合的思想，难题. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．（11） 【答案】18y =-.【命题意图】.本题考查抛物线的性质，简单题.（12） 【答案】6； 【命题意图】.本题考查框图的应用，简单题. （13） 【答案】6； 【命题意图】.本题考查线性规划的应用，简单题.（14） 【答案】3； 【命题意图】本题考查向量加减法法则、平面向量基本定理，中等题. （15） 【答案】①②； 【命题意图】.本题考查基本概念理解的综合能力，难题.三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.（16）(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos 3A =.（Ⅰ）求2sin cos22B CA ++的值；（Ⅱ）若a =bc 的最大值. 解：（Ⅰ）2sin cos22B C A ++ ＝21[1cos()](2cos 1)2B C A -++-＝21(1cos )(2cos 1)2A A ++-＝1121(1)(1)2399⨯++-=-……………………………………………………………6分（Ⅱ）因为2221cos 23b c a A bc +-==，所以2222223bc b c a bc a =+-≥-……………………………8分又因为a =94bc ≤，当且仅当32b c ==时，94bc =，故bc 的最大值为94.--12分【命题意图】.本题考查三角函数恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形以及综合运算求解能力.中等题. （17）(本小题满分10分现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们（Ⅰ）根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为月收入以5500元为分（Ⅱ)若从月收入在[55，65）的被调查对象中随机选取两人进行调查，求至少有一人不赞成“楼市限购政策”的概率.（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）解:……………………………………………………………………………………………………4分假设月收入以5500为分界点对“楼市限购政策” 的态度没有差异，根据列联表中的数据，得到：2250(311729) 6.27 6.635(37)(2911)(329)(711)K ⨯⨯-⨯=≈<++++………………………………………………6分假设不成立.所以没有99%的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异……8分 （Ⅱ）设此组五人为,,,,A B a b c ,其中,A B 表示赞同者，,,a b c 表示不赞同者从中选取两人的所有情形为：,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc其中至少一人赞同的有7种，故所求概率为710P =……………………………………12分【命题意图】.本题考查独立性检验、古典概型，中等题. （18）（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，1AB =，2AD =，60AD C ∠=︒，32AF =.（Ⅰ）求证：AC BF ⊥；（Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积. 【证明】（Ⅰ）∵1AB =，2AD =，60AD C ∠=︒，由余弦定理： 2222cos 60AC CD AD CD AD =+-⋅⋅︒11421232=+-⨯⨯⨯=于是 222A D C DA C =+，∴90ACD ∠=︒， ∵//AB CD ，∴AC AB ⊥……………………………………………2分又∵四边形ACEF 是矩形，所以FA AC ⊥于是 AC AF ACAB AF AB A ⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪=⎭6AC AFB AC BF BF AFB ⊥⎫⇒⊥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎬⊂⎭平面分又平面 （Ⅱ）令多面体ABCDEF 的体积为V ,2DACEF B ACEF D ACEF V V V V ---=+= ………………………………………8分又∵平面ABCD ⊥平面ACEF ，DC AC⊥，根据两平面垂直的性质定理：DC AFEC ⊥平面，所以DC 为四棱锥D AFEC -的高，…………………………………10分32AFEC S ==矩形 所以113D AFEC V -==∴2D AFEC V V -=ABCDEF ……………12分BA【命题意图】.本题考查空间几何体的线、面位置关系用相关量的运算，中等题 .（19）（本小题满分13分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线 l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），直线l 交椭圆于A 、B 两个不同点（A 、B 与M 不重合）. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）当MA MB ⊥时，求m 的值.解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则2222284112a b a b a b =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩ ∴椭圆方程为22182x y +=……………………6分（Ⅱ）依题意12OM k =，………………………………………………………………………7分可设直线l 的方程为：12y x m =+，11(,)A x y 、22(,)B x y ，则11(2,1)MA x y =--，22(2,1)MB x y =--∵MA MB ⊥，∴0MA MB ⋅=，1212(2)(2)(1)(1)0x x y y ⇒-⋅-+-⋅-=…………………8分121212122()()50x x x x y y y y ⇒-++-++=……① 而 12121211()()2222x x y y x m x m m ++=+++=+2121212121111()()()2242y y x m x m x x m x x m =+⋅+=+++代入①得： 21212515()()250422x x m x x m m +-++-+=………②由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 并整理化简得：222240x mx m ++-=，此方程有两解12,x x ∴22(2)4(24)0m m ∆=--> 解得：22m -<<…………………………………10分由韦达定理得：122x x m +=-，21224x x m ⋅=-代入②得： 22515(24)()(2)250422m m m m m -+--+-+= 解：0m =或65m =-………………12分 ∵点,A B 异于M ，∴65m =-………………………………………………………13分【命题意图】.本题考查椭圆的性质及直线和圆锥曲线的位置关系，中等题.（20）（本小题满分13分）在等比数列{}n a 中，0()n a n N +>∈，公比(0,1)q ∈，且3546392a a a a a a ++100=，又4是4a 与6a 的等比中项.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2log n n b a =，求数列{||}n b 的前n 项和n S .解：(I) 因为3546392a a a a a a ++100=，即2244662100a a a a ++=,246()100a a ∴+=，又0n a >，4610a a ∴+=，………………………………………………………………………2分 又4为46a a 与的等比中项，4616a a ∴=，………………………………………………………3分 ∴4a ，6a 是方程210160x x -+=的两个根，而(0,1)q ∈，46a a ∴>，48a ∴=，62a =………4分12q =,164a =，∴7164()122n n n a -=⋅-= …………………………………………………………6分（II ）2log 7n n b a n ==-，则{}n b 的前n 项和(13)2n n n T -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2n n n S -=………………………………………………………8分 当8n ≥时，0n b <，12789()n n S b b b b b b =+++-+++ ……………………………………10分12127()2()n b b b b b b =-+++++++，(13)7(60)222n n -⨯+=-+⨯213842n n -+=， ∴2213(17)21384(8)2n n n n n N S n n n n N ++⎧-≤≤∈⎪⎪=⎨-+⎪≥∈⎪⎩且且 …………………………………………………13分【命题意图】.本题考查等比数列、等差数列有关性质及求和的应用，中等题.（21）(本小题满分13分）已知函数2()axf x x b=+在1x =处取得极值2 .（Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）当m 满足什么条件时，函数()f x 在区间 (,21)m m +上单调递增？（Ⅲ）若00(,)P x y 为2()ax f x x b =+图象上任意一点，直线l 与2()axf x x b=+的图象切于点P ， 求直线l 的斜率k 的取值范围.解：（Ⅰ）因为 2/22()(2)()()a x b ax x f x x b +-=+，而函数2()ax f x x b=+在1x =处取得极值2, 所以 /(1)0(1)2f f ⎧=⎨=⎩， 即 (1)2021a b a a b+-=⎧⎪⎨=⎪+⎩, 解得 41a b =⎧⎨=⎩ 所以 24()1x f x x =+ 即为所求 .….…4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知22/22224(1)84(1)(1)()(1)(1)x x x x f x x x +---+==++可知，()f x 的单调增区间是[1,1]-，所以，21121m m m ⎧⎪+≤⎨⎪<+⎩⇒ 10m -<≤.所以当(1,0]m ∈-时，函数()f x 在区间 (,21)m m +上单调递增. …………………………9分 （Ⅲ）由条件知，过()f x 的图形上一点P 的切线l 的斜率k 为：22/0002222004(1)12()4(1)(1)x x k f x x x ---+===⨯++22200214[](1)1x x =-++， 令 2011t x =+，则(0,1]t ∈, 此时 ，221118()8()242k t t t =-=--.根据二次函数 2118()42k t =--的图象性质知：当 14t =时，min 12k =-； 当1t =时，max 4k =.所以，直线l 的斜率k 的取值范围是 1[,4]2- . ………… ………………………………………13分【命题意图】本题考查导数及其应用，较难题.。