学高中数学第二章2.2.1对数与对数运算讲解与例题新必修1

2.2.1 对数与对数运算1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．释疑点 在对数log a N 中规定a ＞0，且a ≠1，N ＞0的原因(1)若a ＜0，则N 为某些数值时，x 不存在，如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log (－3)4不存在，因此规定a 不能小于0；(2)若a ＝0，且N ≠0时，log a N 不存在；N ＝0时，log a 0有无数个值，不能确定，因此规定a ≠0，N ≠0；(3)若a ＝1，且N ≠1时，x 不存在；而a ＝1，N ＝1时，x 可以为任何实数，不能确定，因此规定a ≠1；(4)由a x＝N ，a ＞0知N 恒大于0．当a ＞0，且a ≠1时．如图所示：比如：43＝64⇔3＝log 464；log 525＝2⇔52＝25；以前无法解的方程2x＝3，学习了对数后就可以解得x ＝log 23．谈重点 对指数与对数的互化关系的理解 (1)由指数式a b＝N 可以写成log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．其关系如下表：(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式a a N ＝．指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段． 【例1－1】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( )A ．100＝1与lg 1＝0B．131273-=与271log3＝13-C．log39＝2与129＝3D．log55＝1与51＝5解析：指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于C，log39＝2→32＝9或129＝3→log93＝12．故选C．答案：C【例1－2解析：(1)103＝1 000(2)log210＝x⇔2x＝10．(3)e3＝x⇔ln x＝3．答案：(1)lg 1 000＝3；(2)2x＝10；(3)ln x＝3．【例1－3】求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)log x27＝34；(4)x＝log84．解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1．∴x＝51＝5．(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3．∴x＝103＝1 000．(3)∵log x27＝34，∴34x＝27．∴x＝()3427＝34＝81．(4)∵x＝log84，∴8x＝4．∴23x＝22．∴3x＝2，即x＝23．2．对数的运算性质(1)对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②loga MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．谈重点对对数的运算性质的理解(1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．(2)巧记对数的运算性质：①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积；②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．(2)谈重点 对数运算性质推导的基本方法利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“log a (MN )＝log a M ＋log a N ”的推导：设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则a m ＝M ，a n ＝N ，于是MN ＝a m ·a n ＝a m ＋n ，因此log a (MN )＝log a M ＋log a N ＝m ＋n ．【例2－1】若a ＞0，且a ≠1，x ＞y ＞0，n ∈N *，则下列各式： ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a (xy )＝log a x ·log a y ；④log log log a a a x xy y=；⑤(log a x )n ＝log a x n；⑥1log log a a x x=-；⑦log log a a x n=其中式子成立的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：答案：A辨误区 应用对数的运算性质常见的错误 常见的错误有：log a (M ±N )＝log a M ±log a N ； log a (M ·N )＝log a M ·log a N ；log log log a aa MM N N=； log a M n＝(log a M )n．【例2－2】计算：(1)2log 122＋log 123；(2)lg 500－lg 5； (3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求解：(1)原式＝log 1222＋log 123＝log 124＋log 123＝log 1212＝1． (2)原式＝lg 100＝lg 102＝2lg 10＝2． (3)∵＝1211lg 45lg 45lg(59)22==⨯＝12(lg 5＋lg 9)＝2110lg lg 322⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12(1－lg 2＋2lg 3)， 又∵lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1， ∴12(1－0.301 0＋2×0.477 1)＝0.826 6． 析规律 对数的运算性质的作用 (1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算；(2)由于lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，所以lg 5＝1－lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论．3．换底公式(1)公式log a b ＝log log c c ba(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1，b ＞0)． (2)公式推导：设log log c c bx a=，则log c b ＝x log c a ＝log c a x ， ∴b ＝a x．∴x ＝log a b ．∴log log c c b a＝log a b ．(3)公式的作用换底公式的作用在于把以a 为底的对数，换成了以c 为底的对数，特别有：lg log lg a NN a=，ln log ln a NN a=，利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值． (4)换底公式的三个推论：①log log m n a a nN N m=(a ，N ＞0，且a ≠1，m ≠0，m ，n ∈R )；②log a b ＝1log b a (a ，b ＞0，且a ，b ≠1)；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c ＞0，且a ，b ，c ≠1，d ＞0)．证明：①log am N n＝log log log log n a a a ma N n N nN a m m==． ②log a b ＝log 1log log b b b b a a=． ③log a b ·log b c ·log c d ＝lg lg lg lg lg lg lg lg b c d da b c a⋅⋅=＝log a d ． 【例3－1】82log 9log 3的值是( )A ．23B ．32C ．1D ．2解析：(思路一)将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即82lg 9log 92lg 3lg 22lg8lg 3log 33lg 2lg 33lg 2==⋅=． (思路二)将分母利用换底公式转化为以2为底的对数，即2822222log 9log 9log 82log 32log 3log 33log 33===． 答案：A【例3－2】若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于( ) A ．12B ．9C ．18D ．27 解析：∵log 34·log 48·log 8m ＝log 416，∴lg4lg8lglg3lg4lg8m⋅⋅＝log442＝2，化简得lg m＝2lg 3＝lg 9．∴m＝9．答案：B4．对数定义中隐含条件的应用根据对数的定义，对数符号log a N中实数a和N满足的条件是底数a是不等于1的正实数，真数N是正实数，即>0, >0,1, Naa⎧⎪⎨⎪≠⎩因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数相互联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数的概念．【例4－1】已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，则实数a的取值范围是__________．解析：根据对数的定义，得2>0, 1>0, 11, aaa+⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得－2＜a＜0或0＜a＜1．答案：(－2,0)(0,1)【例4－2】若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝__________．解析：由题意知1－x＝(1＋x)2，解得x＝0，或x＝－3．验证知，当x＝0时，log(1－x)(1＋x)2无意义，故x＝0不合题意，应舍去．所以x＝－3．答案：x＝－35．对数的化简、求值问题应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度．(1)同底数的对数式的化简、求值一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差．如39log5＋log35＝log39－log35＋log35＝log39＝2．二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数．如，39log5＋log35＝39log55⎛⎫⨯⎪⎝⎭＝log39＝2．三是“拆”与“收”相结合．(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式，进而进行化简，化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N，lg 2＋lg 5＝1，log a b·log b a＝1等．【例5－1】化简求值：(1)4lg 2＋3lg 5－1lg5；；(3)2log 32－332log 9＋log 38－5log 35；(4)log 2(1)＋log 2(1． 分析：依据对数的运算性质进行化简，注意运算性质的正用、逆用以及变形应用．解：(1)原式＝4325lg 15⨯＝lg 104＝4．(2)原式＝2124257521357751log 2(2log 3)log 2log 73212log 3log 2log 3log 223-⋅⋅=⎛⎫-⋅⋅ ⎪⎝⎭＝－3log 32×log 23＝－3．(3)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝5log 32－(5log 32－2log 33)－3＝－1．(4)原式＝log 2[(1－3)]＝log 2[(1)2－3]＝log 2(3＋－3)＝233log 222=． 【例5－2】计算：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－．分析：按照对数的运算法则，无法进行计算，因此可先用换底公式将其化为同底对数，再对代数式进行化简计算．观察底数的特点，化成以2或以3为底的对数．解：原式＝5422332111log 3log 3log 2log 2log 2232⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝2323535535log 3log 2log 3log 2624624⨯+=⨯⨯⨯+ ＝555442+=． 6．条件求值问题对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．例如：设x ＝log 23，求332222x x x x----的值时，我们可由x ＝log 23，求出2x ＝3,2－x＝13，然后将它们代入332222x x x x----，可得33331322913122933x x x x --⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--． 【例6】已知3a ＝4b＝36，求21a b+的值．解：(方法一)由3a＝4b＝36，得a ＝log 336，b ＝log 436． 故342121log 36log 36a b +=+＝2log 363＋log 364＝log 369＋log 364 ＝log 3636＝1．(方法二)由3a ＝4b ＝36，得log 63a ＝log 64b＝log 636， 即a log 63＝b log 64＝2． 于是2a ＝log 63，1b ＝log 62，21a b+＝log 63＋log 62＝log 66＝1．析规律 与对数式有关的求值问题的解决方法 (1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．7．利用已知对数表示其他对数(1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)用对数log a x 和log b y 等表示其他对数时，首先仔细观察a ，b 和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a ，b ．解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式．对数的运算性质总结：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；log aMN ＝log a M －log a N ； log a M n＝n log a M (n ∈R )．换底公式：log a b ＝log log c c ba (a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．(3)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式． 【例7－1】已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( )A ．a b a + B ．a bb + C ．a a b + D ．b a b+解析：由换底公式得 log 36＝lg 6lg(23)lg 2lg 3lg 3lg 3lg 3a bb⨯++===． 答案：B【例7－2】已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．分析：利用指数式和对数式的互化公式，将18b＝5化成log 185＝b ，再利用换底公式，将log 3645化成以18为底的对数，最后进行对数运算即可．解：(方法一)∵log 189＝a,18b＝5， ∴log 185＝b ．于是log 3645＝18181818181818181818log 45log (95)log 9log 5log 9log 518log 36log (182)1log 21log 9⨯++===⨯++ ＝181818log 9log 52log 92a b a++=--． (方法二)∵log 189＝a ，且18b＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18． ∴log 3645＝2lg 45lg(95)lg 9lg 5lg18lg1818lg 362lg18lg 92lg18lg182lg 9a b a ba a ⨯+++====---．8．与对数有关的方程的求解问题 关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x 的方程log a f (x )＝b ，通常将其化为指数式f (x )＝a b，这样解关于x的方程f (x )＝a b即可，最后要注意验根．例如：解方程64152log 163x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将其化为指数式为23156416x --=，又223233164(4)416---===，则1511616x -=，所以x ＝1，经检验x ＝1是原方程的根．第二类是形如关于x 的方程log f (x )n ＝b ，通常将其化为指数式f b(x )＝n ，这样解关于x 的方程f b (x )＝n 即可，最后要注意验根．例如，解方程log (1－x )4＝2，将其化为指数式为(1－x )2＝4，解得x ＝3或x ＝－1，经检验x ＝3是增根，原方程的根是x ＝－1．第三类是形如关于x 的方程f (log a x )＝0，通常利用换元法，设log a x ＝t ，转化为解方程f (t )＝0得t ＝p 的值，再解方程log a x ＝p ，化为指数式则x ＝a p ，最后要注意验根．【例8－1】已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求xy的值． 解：由已知，可得lg(xy )＝lg(x －2y )2，从而有xy ＝(x －2y )2，整理得x 2－5xy ＋4y 2＝0，即(x －y )(x －4y )＝0．从而可得x ＝y 或x ＝4y ．但由x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，可得x ＞2y ＞0，于是x ＝y 应舍去．故x ＝4y ，即4xy=．因此4xy==＝4． 辨误区 解对数方程易出现的错误 在处理与对数有关的问题时，必须注意“真数大于零”这一条件，否则会出现错误．例如，本题若不注意“真数大于零”，则会出现两个结果：4和0．【例8－2】解方程lg 2x －lg x 2－3＝0．解：原方程可化为lg 2x －2lg x －3＝0．设lg x ＝t ，则有t 2－2t －3＝0，解得t ＝－1或t ＝3，于是lg x ＝－1或3，解得110x =或1 000． 经检验110x =，1 000均符合题意， 因此原方程的根是110x =，或x ＝1 000．辨误区 lg 2x 与lg x 2的区别 本题中，易混淆lg 2x 和lg x 2的区别，lg 2x 表示lg x 的平方，即lg 2x ＝(lg x )2，而lg x 2＝2lg x ．9．对数运算的实际应用对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值．计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式．另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算．【例9】抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)解：设至少抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%，则a (1－60%)n ＜0.1%a (设原先容器中的空气体积为a )，即0.4n＜0.001， 两边取常用对数得n ·lg 0.4＜lg 0.001，所以n ＞lg 0.0013lg 0.42lg 21=-≈7.5． 故至少需要抽8次．点技巧 求数值较大的指数的方法 利用对数计算是常用的方法，一般的方法是对等式(或不等式)两边取常用对数或自然对数，再用计算器或计算机进行对数的计算．。