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2012年北京市西城区初三一模数学试题

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2012北京市各区中考数学一模试卷及答案试题试卷_1 (2)

2012北京市各区中考数学一模试卷及答案试题试卷_1 (2)

顺义区2012届初三第一次统一练习 数学学科参考答案及评分细则二、填空题（本题共16分，每小题4分，）9．4；10．25()x x y -； 11．11.4； 12， 2)π+，π． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13()12cos303-︒+--1213⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭……………………………………………… 4分 113=+ 43= …………………………………………………………………… 5分 14．解： 221x y x y +=⎧⎨-=⎩①②①+②，得 33x =．1x =． …………………………………………………… 2分 把1x =代入①，得 12y +=．1y =． ………………………………………………………… 4分 ∴原方程组的解为 1,1.x y =⎧⎨=⎩ ………………………………………………… 5分15．证明：∵AB=AC ，∴B C ∠=∠． …………………………………………………………… 1分 在△ABD 和△ACE 中，,,,AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABD ≌△ACE ．……………………………………………………… 3分 ∴ AD=AE ． ……………………………………………………………… 4分∴∠ADE =∠AED ． ……………………………………………………… 5分16．解：6931x x x x -⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2693x x x x x -+-=÷ …………………………………………………… 2分 2(3)3x xx x -=-3x =- ……………………………………………………………………… 4分当2012x =时，原式=201232009-=．…………………………………… 5分17．解：（1）∵点(4,)A m 在反比例函数4y x=（0x >）的图象上， ∴414m ==． …………………………………………………………… 1分 ∴(4,1)A ．将(4,1)A 代入一次函数y x b =-+中，得 5b =．∴一次函数的解析式为5y x =-+． …………………………………… 2分（2）由题意，得 (0,5)B ， ∴5OB =．设P 点的横坐标为P x ．∵OBP △的面积为5， ∴1552p x ⨯=．…………………………………………………………… 3分 ∴2P x =±．∴点P 的坐标为（2，3）或（-2，7）． ………………………………… 5分 18．解：设A 户型的每户窗户改造费用为x 元，则B 户型的每户窗户改造费用为(500)x -元． ……………………………… 1分 根据题意，列方程得5400004800005x x =-． 解得 4500x =．经检验，4500x =是原方程的解，且符合题意．…………………………… 4分 ∴5004000x -=．答：A 户型的每户窗户改造费用为4500元，B 户型的每户窗户改造费用为4000 元．…………………………………… 5分MF EDCBAFE DCO BA四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）∵在□ABCD 中，∠B=60°，AB=4，∠ACB=45°，∴∠D=60°，CD=AB=4，AD ∥BC ． ……………………………… 1分 ∴∠DAC=45°． 过点C 作CM ⊥AD 于M ， 在Rt △CDM 中，sin 4sin 6023CM CD D ==︒=cos 4cos602DM CD D ==︒=．………………………………… 2分在Rt △ACM中，∵∠MAC=45°， ∴AM CM==∴2AD AM DM =+=．…………………………………… 3分∵EF ⊥AD ，CM ⊥AD ， ∴EF ∥CM ．∴12EF CM ==在Rt △AEF 中，AF EF ==4分∴22DF AD AF =-=-=．……………………… 5分20．（1）证明：连结OD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°． ……………………………………………………… 1分 ∵∠A=30°， ∴∠ABD=60°．∴∠BDC =1302ABD ∠=︒． ∵OD=OB ，∴△ODB 是等边三角形． ∴∠ODB=60°．∴∠ODC=∠ODB+∠BDC =90°． 即OD ⊥DC ．∴CD 是⊙O 的切线．…………………………………………………… 2分（2）解：∵OF ∥AD ，∠ADB=90°，∴OF ⊥BD ，∠BOE=∠A =30°． ……………………………………… 3分∴112DE BE BD ===． 在Rt △OEB中，OB=2BE=2，OE ==．………… 4分 ∵OD=OB=2，∠C=∠ABD -∠BDC =30°，∠DOF=30°， ∴CD =tan 30DF OD =︒=∴CF CD DF =-== ……………………………5分21．解：（1）此次共调查了100名学生． …………………………………………………1分（2）填表：…………………………………………………3分（3）补全统计图如下：到校方式条形统计图 到校方式扇形统计图．…………………………………………………………………………5分22．解：（1）四边形DFCE 的面积S = 6 ，△DBF 的面积1S = 6 ，△ADE 的面积2S = 32 ． …………………………………… 3分（2）2S = 214S S （用含S 、1S 的代数式表示）． ………… 4分 （3）□DEFG 的面积为12． ………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）△=244(1)(3)k k k --+=2244812k k k --+=812k -+ ……………………………………………………………… 1分∵方程有两个不相等的实数根， ∴10,0.k -≠⎧⎨∆>⎩ 即 10,8120.k k -≠⎧⎨-+>⎩∴k 的取值范围是32k <且1k ≠． …………………………………… 3分 （2）当方程有两个相等的实数根时，△=812k -+=0．∴32k =． ………………………………………………………………… 4分 ∴关于y 的方程为2(6)10y a y a +-++=．∴2'(6)4(1)a a ∆=--+2123644a a a =-+--21632a a =-+2(8)32a =--．由a 为正整数，当2(8)32a --是完全平方数时，方程才有可能有整数根． 设22(8)32a m --=（其中m 为整数），32p q =（p 、q 均为整数）， ∴22(8)32a m --=．即(8)(8)32a m a m -+--=．不妨设8,8.a m p a m q -+=⎧⎨--=⎩两式相加，得 162p q a ++=．∵(8)a m -+与(8)a m --的奇偶性相同，∴32可分解为216⨯，48⨯，(2)(16)-⨯-，(4)(8)-⨯-， ∴18p q +=或12或18-或12-．∴17a =或14或1-（不合题意，舍去）或2．当17a =时，方程的两根为1172y -±=，即12y =-，29y =-．…… 5分 当14a =时，方程的两根为822y -±=，即13y =-，25y =-．…… 6分当2a =时， 方程的两根为422y ±=，即13y =，21y =． ………… 7分24．解：（1）∵抛物线y =mx 2+2mx +n 经过点A （-4，0）和点B （0，3），∴1680,3.m m n n -+=⎧⎨=⎩ ∴3,83.m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． ∴抛物线的解析式为：233384y x x =--+．………………………… 2分 （2）令3y =，得2333384x x --+=，得10x =，22x =-， ∵抛物线向右平移后仍经过点B ，∴抛物线向右平移2个单位．……… 3分∵233384y x x =--+ 233(21)388x x =-++++2327(1)88x =-++． ………… 4分∴平移后的抛物线解析式为2327(1)88y x =--+． …………………… 5分（3）由抛物线向右平移2个单位，得'(2,0)A -，'(2,3)B ．∴四边形AA ’B ’B 为平行四边形，其面积'236AA OB ==⨯=．设P 点的纵坐标为P y ，由'OA P △的面积=6， ∴1'62P OA y =，即1262P y ⨯= ∴6P y =， 6P y =±．………………………………………………… 6分当6P y =时，方程2327(1)688x --+=无实根， 当6P y =-时，方程2327(1)688x --+=-的解为16x =，24x =-．∴点P 的坐标为(6,6)-或(4,6)--．……………………………… 7分25．解：（1）完成画图如图2，由BAC ∠的度数为 60°，点E 落在 AB 的中点处 ，容易得出BE 与DE 之间的数量关系 为 BE=DE ；…………… 3分（2）完成画图如图3．猜想：BE DE =．证明：取AB 的中点F ，连结EF ．∵90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，∴160∠=︒，12CF AF AB ==． ∴△ACF 是等边三角形．∴AC AF =． ① …… 4分∵△ADE 是等边三角形，∴260∠=︒， AD AE =． ②∴12∠=∠． ∴12BAD BAD ∠+∠=∠+∠．即CAD FAE ∠=∠．③ ………………………………………… 5分 由①②③得 △ACD ≌△AFE （SAS ）． …………………………… 6分 ∴90ACD AFE ∠=∠=︒． ∵F 是AB 的中点，∴EF 是AB 的垂直平分线．∴BE=AE . ……………………………………………………… 7分 ∵△ADE 是等边三角形， ∴DE=AE .∴BE DE =． …………………………………………………… 8分EAB C (D )图221F EDB C A图3。

北京市西城区北区数学2012年初三毕业试题与答案

北京市西城区北区数学2012年初三毕业试题与答案

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．-6的倒数是A．6 B．C．D．2．PM2.5是大气中粒径小于等于2.5微米的颗粒物，称为细颗粒物，是表征环境空气质量的主要污染物指标．2.5微米等于0.0000025米，把0.0000025用科学记数法表示为A．B．C． D．3．右图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体是A．球B．圆锥C．圆柱 D．三棱柱4．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是A．8 B．6 C．5 D．35．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为A．B．C．D．6．已知圆锥侧面展开图的扇形半径为2cm，面积是，则扇形的弧长和圆心角的度数分别为A．B．C．D．7．甲、乙两人进行射击比赛，他们5次射击的成绩（单位：环）如下表所示：甲 7 9 8 6 10乙 7 8 9 8 8设甲、乙两人射击成绩的平均数依次为、，射击成绩的方差依次为、，则下列判断中正确的是A．，B．，C．，D．，8．如图，在平行四边形ABCD中，AC = 12，BD = 8，P是AC上的一个动点，过点P作EF∥BD，与平行四边形的两条边分别交于点E、F．设CP=x，EF=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在函数中，自变量的取值范围是．10．分解因式：．11．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点 A的仰角为，则建筑物AB的高度是m．12．如图，将边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD上，落点记为E（不与点C，D重合），点A落在点F处，折痕MN交AD于点M，交BC于点N．若，则BN的长是，的值等于；若（，且为整数），则的值等于（用含的式子表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：．14．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．15．已知，求的值.16．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90º，BD⊥AC于点D，点E在BC的延长线上，且BE=AB，过点E作EF⊥BE，与BD的延长线交于点F.求证：BC=EF .17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x的图象与反比例函数的图象的一个交点为A(1, m)．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在直线OA上，且满足PA=2OA，直接写出点的坐标．18．列方程或方程组解应用题：为帮助地震灾区人民重建家园，某校学生积极捐款．已知第一次捐款总额为9000元，第二次捐款总额为12000元，且两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多50人．求该校第二次捐款的人数．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60º，AC平分∠DAB，BC⊥AC，AC与BD交于点E，AD=6，CE= ，，求BC、DE的长及四边形ABCD的面积．20．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，点D在⊙O上，且∠A=30°，∠ABD=2∠BDC ．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点O作OF∥AD，分别交BD、CD于点E、F．若OB =2，求 OE和CF的长．21．某校为了了解该校初二年级学生阅读课外书籍的情况，随机抽取了该年级的部分学生，对他们某月阅读课外书籍的情况进行了调查，并根据调查的结果绘制了如下的统计图表．分组阅读课外书籍时间n(小时) 人数A 0≤n＜3 3B 3≤n＜6 10C 6≤n＜9 aD 9≤n＜12 13E 12≤n＜15 bF 15≤n＜18 c请你根据以上信息解答下列问题：（1）这次共调查了学生多少人？E组人数在这次调查中所占的百分比是多少？（2）求出表1中a的值，并补全图1；（3）若该年级共有学生300人，请你估计该年级在这月里阅读课外书籍的时间不少于12小时的学生约有多少人．22．如图1，矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．在图2、图3中，四边形ABCD为矩形，且，．（1）在图2、图3中，点E、F分别在BC、CD边上，图2中的四边形EFGH是利用正方形网格在图上画出的矩形ABCD的反射四边形．请你利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD的反射四边形EFGH；（2）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长各是多少；（3）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积各是多少．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点O，点B(-2,n)在这条抛物线上.（1）求抛物线的解析式；（2）将直线沿y轴向下平移b个单位后得到直线l，若直线l经过B点，求n、b的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E.若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标.24．已知：在△AOB与△COD中，OA＝OB，OC＝OD，．（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，则线段AD与OM之间的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，将图1中的△COD绕点逆时针旋转，旋转角为 ( )．连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的△COD绕点 O逆时针旋转到使△COD的一边OD恰好与△AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点．请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCD的两个顶点B、C的坐标分别是B（1，0）、C（3，0）．直线AC与y轴交于点G（0，6）．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点 Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）求直线AC的解析式；（2）当t为何值时，△CQE的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形？。

2012年北京市西城区初三一模试卷数学

2012年北京市西城区初三一模试卷数学

数学3．．的．1．计算：2( )A．-1 B．-3 C．3 D．52．我市深入实施环境污染整治，某经济开发区的40家化工企业中已关停、整改32家，每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为( )A．316710⨯B．416.710⨯C．51.6710⨯D．60.16710⨯3．已知，如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，如果∠B＝20°，∠D＝40°，那么∠BOD为( )A．40°B．50°C．60°D．70°4．因式分解()219x--的结果是( )A．()()24x x+-B．()()81x x++C．()()24x x-+D．()()108x x-+5．如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，搭成这个几何体的小正方体的个数有( )A．2个B．3个C．4个D．6个6．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为12，下列说法正确的是( )A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现下面朝上50次D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的7．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是弦，AC＝AOC为( )A．120°B．130°C．140°D．150°ACBO8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．E、F分别是射线AC、CB上的动点，且AE＝BF，EF与AB交于点G，EH⊥AB于点H，设AE＝x，GH＝y，下面能够反映y与x之间函数关系的图象是( )二、填空题(本题共16分，每小题4分)9．函数y=__________．10．如图，点P在双曲线(0)ky kx=≠上，点(12)P'，与点P关于y轴对称，则此双曲线的解析式为．11．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点B，C，0)，过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM＝MN，则点M的坐标为______________．12．如图，点A1，A2，A3，A4，…，A n在射线OA上，点B1，B2，B3，…，B n―1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n―1B n―1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥A n B n―1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△A n―1A nB n―1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．三、解答题(本题共30分，每小题5分)13．计算：1024sin60(-︒-．O1 2 3 4 52)，14．（1）解不等式：112x x >+；（2）解方程组20328x y x y -=⎧⎨+=⎩15．已知：如图，A 点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B 点坐标为()03，． （1）求过A B ，两点的直线解析式；（2）过B 点作直线BP 与x 轴交于点P ，且使2OP OA =，求ABP ∆的面积．x16．如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE ．已知∠BAC＝30º，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ． （1）求证：AC ＝EF ；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．17．先化简：2313(1)2349223x x x x ÷⋅++--；若结果等于23，求出相应x 的值．A BCDEF18．在某市举办的“读好书，讲礼仪”活动中，东华学校积极行动，各班图书角的新书、好书不断增多，除学校购买外，还有师生捐献的图书．下面是七年级（1）班全体同学捐献图书的情况统计图：请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题：（1）该班有学生多少人？（2）补全条形统计图；（3）七（1）班全体同学所捐献图书的中位数和众数分别是多少？四、解答题(本题共20分，每小题5分)19．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．（1）填表(不需要化简)时间第一个月第二个月清仓时单价(元) 80 ▲40销售量(件) 200 ▲▲（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？20．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2，∠C＝60°，M是BC的中点．（1）求证：△MDC是等边三角形；（2）将△MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E，MC(即MC′)同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值．C'CBM21．如图，已知ABC △，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交AC 于点F ，点E 为弧CF 的中点，连接BE 交AC 于点M ，AD 为△ABC 的角平分线，且AD BE ⊥，垂足为点H ． （1）求证：AB 是半圆O 的切线；（2）若3AB =，4BC =，求BE 的长．22．已知：如图1，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 四条边上的点(且不与各边顶点重合)，设m ＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ，探索m 的取值范围． （1）如图2，当E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 四边中点时，m ＝________．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD 为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m 的取值范围．①请在图1中补全小贝同学翻折后的图形；②m 的取值范围是__________．H GF EC DBA 图1图2H GF E CD BA 图3ABDCE FGHA AA五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23．已知一元二次方程x2＋ax＋a－2＝0．（1）求证：不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）设a＜0，当二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象与x出此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．24．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠B＝∠DAC＝45°．（1）如图1，当∠C＝45°时，请写出图中一对相等的线段；_________________（2）如图2，若BD＝2，BA AD的长及△ACD的面积．图1CD BA图2AB D C25．巳知二次函数y ＝a (x 2－6x ＋8)(a ＞0)的图象与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线的顶点．（1）如图①．连接AC ，将△OAC 沿直线AC 翻折，若点O 的对应点0'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a 的值；（2）如图②，在正方形EFGH 中，点E 、F 的坐标分别是(4，4)、(4，3)，边HG 位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点，则四条线段PA 、PB 、PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形)．“若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图②，当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标l 是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a ，使得四条线段PA 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)？请说明理由．2012年北京市西城区初三一模试卷参考答案1．A ．2．C ．3．C ．4．A ．5．C ．6．A ．7．A ．8．C ．9．x ≥3．10．2y x -=．11．(5 4 ，3 4 )12．12；6．13．解：原式＝1412+-＝12-．14．（1）解：112x x ->，112x >，所以2x >． （2）21x y =⎧⎨=⎩15．（1）23y x =+；（2）设P 点坐标为()0x ，，依题意得3x =±，所以P 点坐标分别为()()123030P P -，，，． 1132733224ABP S ∆⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，213933224ABP S ∆⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以ABP ∆的面积为274或94． 17．原式＝(23)(23)1233)233223x x x x x x +--+⋅⋅⋅+-＝23x ；由23x ＝23，可，解得x．19．（1）80－x ，200＋10x ，800－200－(200＋10x )；（2）根据题意，得80×200＋(80－x )(200＋10x )＋40[800－200－(200＋10x )]－50×800＝9000．整理，得x 2－20x ＋100＝0，解这个方程得x 1＝x 2＝10， 当x ＝10时，80－x ＝70＞50． 答：第二个月的单价应是70元． 20．解：（1）证明：过点D 作DP ⊥BC ，于点P ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，PQCMB∵∠C ＝∠B ＝60°∴CP ＝BQ ＝12AB ，CP ＋BQ ＝AB ，又∵ADPQ 是矩形，AD ＝PQ ， 故BC ＝2AD ，由已知，点M 是BC 的中点， BM ＝CM ＝AD ＝AB ＝CD ，即△MDC 中，CM ＝CD ，∠C ＝60°， 故△MDC 是等边三角形．（2）解：△AEF 的周长存在最小值，理由如下： 连接AM ，由（1）平行四边形ABMD 是菱形， △MAB ，△MAD 和△MC ′D ′是等边三角形，∠BMA ＝∠BME ＋∠AME ＝60°，∠EMF ＝∠AMF ＋∠AME ＝60°， ∴∠BME ＝∠AMF ，在△BME 与△AMF 中，BM ＝AM ，∠EBM ＝∠FAM ＝60°， ∴△BME ≌△AMF (ASA )，∴BE ＝AF ，ME ＝MF ，AE ＋AF ＝AE ＋BE ＝AB ， ∵∠EMF ＝∠DMC ＝60°，故△EMF 是等边三角形，EF ＝MF ， ∵MF 的最小值为点M 到AD即EF 的，△AEF 的周长＝AE ＋AF ＋EF ＝AB ＋EF ， △AEF 的周长的最小值为2答：存在，△AEF 的周长的最小值为2． 21．（1）连结CE ，过程略；（2）∵3AB =，4BC =．由（1）知，90ABC ∠=，∴5AC =．在ABM △中，AD BM ⊥于H ，AD 平分BAC ∠， ∴3AM AB ==，∴2CM =． 由CME △∽BCE △，得12EC MC EB CB ==． ∴2EB EC =，∴BE =22．（1）20；（2）如图所示(虚线可以不画)，20≤m ＜28．23．解：（1）因为△＝a 2－4(a －2)＝(a －2)2＋4＞0，所以不论a 为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设x 1、x 2是y ＝x 2＋ax ＋a －2＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－a ，x 1•x 2＝a －2，因两交所以|x 1－x 2|．即：(x 1－x 2)2＝13 变形为：(x 1＋x 2)－4x 1•x 2＝13所以：(－a )2－4(a －2)＝13 整理得：(a －5)(a ＋1)＝0解方程得：a ＝5或－1 又因为：a ＜0，所以：a ＝－1所以：此二次函数的解析式为y ＝x 2－x －3．（3）设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为函数图象与x，所以：ABS △PAB ＝12AB •|y 0|即：|y 0|＝3，则y 0＝±3当y 0＝3时，x 02－x 0－3＝3，即(x 0－3)(x 0＋2)＝0 解此方程得：x 0＝－2或3当y 0＝－2时，x 02－x 0－3＝－3，即x 0(x 0－1)＝0 解此方程得：x 0＝0或1综上所述，所以存在这样的P 点，P 点坐标是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3)．H GFE CDBA24．（1）AB ＝AC 或AD ＝BD ＝CD ；（2）AD1，S △ACD提示：过点A 作AE ⊥BC ，可以求出AD 的长．过D 作平行线或过C 作垂线，可以利用两次相似求面积．ECDB AFABDC25．解：（1）令y ＝0，由2(68)0a x x -+=解得122,4x x ==；令x ＝0，解得y ＝8a ．∴点A 、B 、C 的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a )， 该抛物线对称轴为直线x ＝3． ∴OA ＝2．如图①，设抛物线对称轴与x 轴交点为M ，则AM ＝1． 由题意得：2O A OA '==．∴2O A AM '=，∴∠O ′AM ＝60°．∴OC AO ==，即8a =．∴4a =． （2）若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，结论同样成立．(Ⅰ)如图②，设点P 是边EF 上的任意一点(不与点E 重合)，连接PM ． ∵点E (4，4)、F (4，3)与点B (4，0)在一直线上，点C 在y 轴上， ∴PB <4，PC ≥4，∴PC >PB ． 又PD >PM >PB ，PA >PM >PB ， ∴PB ≠PA ，PB ≠PC ，PB ≠PD ．∴此时线段PA 、PB 、PC 、PD 不能构成平行四边形． (Ⅱ)设P 是边FG 上的任意一点(不与点G 重合)， ∵点F 的坐标是(4，3)，点G 的坐标是(5，3)．∴FB ＝3，GB =PB∵PC ≥4，∴PC >PB ．GCDB A2012年北京市西城区初三一模试卷数学11 / 11图①（3）存在一个正数a ，使得线段PA 、PB 、PC 能构成一个平行四边形． 如图③，∵点A 、B 时抛物线与x 轴交点，点P 在抛物线对称轴上， ∴PA ＝PB ．∴当PC ＝PD 时，线段PA 、PB 、PC 能构成一个平行四边形． ∵点C 的坐标是(0，8a )，点D 的坐标是(3，－a )． 点P 的坐标是(3，t )，∴PC 2＝32＋(t －8a )2，PD 2＝(t ＋a )2．整理得7a 2－2ta ＋1＝0，∴Δ＝4t 2－28．∵t 是一个常数且t >3，∴Δ＝4t 2－28>0∴方程7a 2－2ta ＋1＝0有两个不相等的实数根2147t t a ±==．显然0a =>，满足题意． ∵当t 是一个大于3的常数,存在一个正数7t a =，使得线段PA 、PB 、PC 能构成一个平行四边(图②)(图③)。

[数学]2012年北京各城区中考一模数学试题汇编

[数学]2012年北京各城区中考一模数学试题汇编

2012年北京各城区一模试题汇编第8题汇总：1.（12海淀一模）2.（12西城一模）对于实数c 、d ，我们可用min{ c ，d }表示c 、d 两数中较小的数，如min{3，1-}=1-.若关于x 的函数y = min{22x ，2()a x t -}的图象关于直线3x =对称，则a 、t 的值可能是A ．3，6B ．2，6- C.2,6 D ．2-，63.（12丰台一模）如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 不与点B 、C 重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点C’处；作∠BPC’的角平分线交AB 于点E ．设BP =x ，BE =y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A ．B ．C ．D ．E PC’A DBCA 、CA第8题图D7.（12延庆一模） 将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的A ．面CDHEB ．面BCEFC ．面ABFGD ．面ADHG8.(12房山一模) 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =30°，∠B =60°，AD ＝32，CD =2，点P 是线段AB 上一个动点，过点P 作PQ ⊥AB 于P ，交其它边于Q ，设BP 为x ，△BPQ 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）．xy 6312O xy 6312O A Bxy 6312O xy 6312O C D9.（12密云一模）在正方体的表面上画有如图⑴中所示的粗线，图⑵是其展开图的示意图，但只在A 面上画有粗线，那么将 图⑴中剩余两个面中的粗线画入图⑵中，画法正确的是10.（12通州一模）如图，在平行四边形ABCD中，AC = 4，BD = 6，P是BD上的任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F．设BP=x，EF=y，则能大致反映y与x之间关系的图象为（）A B C D11.(12顺义一模)12.（12东城一模）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度向B点运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止.设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是A B C D13.（12朝阳一模）已知关于x 的一元二次方程02=++n mx x 的两个实数根分别为a x =1，b x =2（b a <），则二次函数n mx x y ++=2中，当0<y 时，x 的取值范围是 A ．a x < B ．b x > C ．b x a << D ．a x <或b x >第12题汇总：1.（12海淀一模）2.（12西城一模）如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB =90°，AC=8，BC =6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别为D 、E . (1) DE 的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．3.（12丰台一模）在数学校本活动课上，张老师设计了一个游戏，让电动娃娃在边长为1的正方形的四个顶点上依次跳动．规定：从顶点A 出发，每跳动一步的长均为1．第一次顺时针方向跳1步到达顶点D ，第二次逆时针方向跳2步到达顶点B ，第三次顺时针方向跳3步到达顶点C ，第四次逆时针方向跳4步到达顶点C ，… ，以此类推，跳动第10次到达的顶点是 ，跳动第2012次到达的顶点是 ．ADCB4.（12石景山一模）一个正整数数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）：则第4行中的最后一个数是 ，第n 行中共有 个数， 第n 行的第n 个数是 ．5.（12昌平一模）己知□ABCD 中，AD =6，点E 在直线AD 上，且DE ＝3，连结BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM= ．6.（12平谷一模）abc 是一个三位的自然数，已知195abc ab a --=，这个三位数是_____________；聪明的小亮在解决这种问题时，采取列成连减竖式的方法（见右图）确定要求的自然数，请你仿照小亮的作法，解决这种问题.如果abcd 是一个四位的自然数，且2993abcd abc ab a ---=那么，这个四位数是_____________．7.(12延庆一模) 将1、2、3、6按右侧方式排列．若规定（m,n ）表示第m 排从左向右第n 个数，则（7,3）所表示的数是 ；（5，2）与（20，17）表示的两数之积是111122663263323第1排第2排第3排第4排第5排8.（12房山一模）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =6，BC = 8，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直作下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，A 2C 2，…，A n C n ，则A 1C 1= ,A n C n ＝ ．9.（12密云一模）在∠A （0°＜∠A ＜90°）的内部画线段，并使线段的两端点分别落在角的两边AB 、AC 上，如图所示，从点A 1开始，依次向右画线段，使线段与线段在两端点处互相垂直，A 1A 2为第1条线段．设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1，则∠A = ；若记线段A 2n-1A 2n 的长度为a n （n 为正整数），如A 1A 2=a 1,A 3A 4=a 2，则此时a 2= ，a n = （用含n 的式子表示）．10.（12通州一模）已知如图，△ABC 和△DCE 都是等边三角形，若△ABC 的边长为1，则△BAE 的面积是 .四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形，若正方形ABCD 的边长为4，则△FAC 的面积是 .……如果两个正多边形ABCDE …和BPKGY …是正n (n ≥3)边形，正多边形ABCDE …的边长是2a ，则△KCA 的面积是 .（结果用含有a 、n 的代数式表示）ABCA 1A 2A 3A 4A 5 C 1 23 4 5 12题图第12题图E11.（12顺义一模）12.（12东城一模） 如图，正方形ABCD 的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E 、F 、G 、H 分别落在边AD 、AB 、BC 、CD 上，则DE 的长为 ．13.（12朝阳一模）如图,在正方形ABCD 中，AB =1，E 、F 分别是BC 、CD 边上点，（1）若CE =12CB ，CF =12CD ，则图中阴影部分的面积是 ；（2）若CE =1n CB ，CF =1nCD ，则图中阴影部分的面积是 （用含n 的式子表示，n 是正整数）．第22题汇总： 1.（12海淀一模）A2.（12西城一模）阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=5，PB=2，PC=1，求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：(1) 图2中∠BPC的度数为；(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且P A=132，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为，正六边形ABCDEF的边长为．图1 图3CB A D3.(12丰台一模) 将矩形纸片分别沿两条不同的直线剪两刀，可以使剪得的三块纸片恰能拼 成一个等腰三角形（不能有重叠和缝隙）．小明的做法是：如图1所示，在矩形ABCD 中，分别取AD 、AB 、CD 的中点P 、E 、F ，并沿直线PE 、PF 剪两刀，所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN (如图2)． （1）在图3中画出另一种剪拼成等腰三角形的示意图；（2）以矩形ABCD 的顶点B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系（如图4），矩形ABCD 剪拼后得到等腰三角形△PMN ，点P 在边AD 上（不与点A 、D 重合），点M 、N 在x 轴上（点M 在N 的左边）．如果点D 的坐标为(5,8)，直线PM 的解析式为=y kx b ，则所有满足条件的k 的值为 ．图1 图2 图3图4 备用P E FDAPE FD A4.（12石景山一模）生活中，有人用纸条可以折成正五边形的形状，折叠过程是将图①中．（1）将，若将展开，展开后的平面图形是 ；（2）若原长方形纸条（图①）宽为2cm ，求（1）中展开后平面图形的周长（可以用三角函数表示）．5.（12昌平一模） 问题探究：（1）如图1，在边长为3的正方形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =90°的一个点P ，保留作图痕迹；（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =60°的所有的点P ，保留作图痕迹并简要说明作法；（3）如图3，已知矩形ABCD ，AB =3，BC =4，在矩形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =60°，且使△BPC 的面积最大的所有点P ，保留作图痕迹．图① 图② 图③图3图2图1A DCBABCDD CBA图1图26.（12平谷一模）如图①，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或边CD （含端点）交于点F .然后再展开铺平，则以B E F 、、为顶点的BEF △称为矩形ABCD 的“折痕三角形”．（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD 的任意一个“折痕BEF △”一定是一个________三角形；（2）如图②，在矩形ABCD 中，24AB BC ==，，当它的“折痕BEF △”的顶点E 位于边AD 的中点时，画出这个“折痕BEF △”，并求出点F 的坐标；（3）如图③，在矩形ABCD 中，24AB BC ==，.当点F 在OC 上时，在图③中画出该矩形中面积最大的“折痕BEF △”，并直接写出这个最大面积.7.（12延庆一模）阅读下面材料：小红遇到这样一个问题，如图1：在△ABC 中，AD ⊥BC ，BD=4，DC=6,且∠BAC=45°,求线段AD 的长.图3小红是这样想的：作△ABC 的外接圆⊙O ，如图2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道∠BOC=90°，然后过O 点作OE ⊥BC 于E ，作OF ⊥AD 于F ，在Rt △BOC 中可以求出⊙O 半径及 OE ，在Rt △AOF 中可以求出AF,最后利用AD=AF+DF 得以解决此题。

2012-2013年西城区初三年级第一学期期末数学试题及答案

2012-2013年西城区初三年级第一学期期末数学试题及答案

北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学 2013.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是A ．1-B ．1C ．2-D ．2 2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC ＝40°，则∠AOC 的度数为 A ．20° B ．40° C ．60° D ．80° 3．两圆的半径分别为2和3，若圆心距为5，则这两圆的位置关系是 A ．相交B ．外离C ．外切D ．内切4．三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成的影子如图所示. 若20cm 50cm OA OA '==，，则这个三角尺的周长 与它在墙上形成的影子的周长的比是 A ．5∶2 B ．2∶5 C ．4∶25D ．25∶45．如图，正方形ABCD 的内切圆和外接圆的圆心为O ，EF 与GH 是此 外接圆的直径，EF =4，AD ⊥GH ，EF ⊥GH ，则图中阴影部分的面积是 A ．π B ．2π C ．3πD ．4π6．袋子里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是红色的，一枚是绿色的．从中随机同时摸出两枚，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是A ．41 B ．21 C ．32D ．317．如图，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO B ''，则点B 的对应 点B '的坐标为 A ．（3，4） B ．（7，4） C ．（7，3） D ．（3，7）8．如图，△ABC 中，∠B =60°，∠ACB =75°，点D 是BC 边上一个动点，以AD 为直径作⊙O ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若弦EF 长度的最小值为1，则AB 的长为A. 22B. 632C. 1.5D.E二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为_______.10．已知抛物线23y x x =--经过点)2(1y A ，、)3(2y B ，，则1y 与2y 的大小关系是_______．11．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，且OP =2，∠APB =60°．若点C 在⊙O 上，且AC ∠CAB 的度数为_______．12．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于(1,0)和(1x ,0)，其中121x -<<-，与y 轴交于正半轴上一点．下列结论：①0>b ；②241b ac <；③a b >；④a c a 2-<<-．其中所有正确结论的序号是_______．三、解答题（本题共30分，每小题5分）132604cos 30+sin 45tan 60-⋅．14．已知抛物线241y x x =-+．（1）用配方法将241y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式；（2）将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 在AC 边上．若DB =6，AD =12CD ，sin ∠CBD =23，求AD 的长和tan A 的值．16．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB于点E ．（1）求证：∠BCO =∠D ；（2）若CD =AE =2，求⊙O 的半径．17．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =6，点P 为AC 边中点，点M 是BC 边上一点．将△CPM 沿直线MP 翻折，交AB 于点E ，点C 落在点D 处，∠BME =120°． （1）求∠CMP 的度数；（2）求BM 的长．18．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处. （1）B 处距离灯塔P 有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上，距离灯塔200海里的O 处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险，并说明理由．四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．已知抛物线322--=x x y .（1）它与x 轴的交点的坐标为_______； （2）在坐标系中利用描点法画出它的图象；（3）将该抛物线在x 轴下方的部分(不包含与x 轴的交点)记为G ，若直线b x y +=与G只有一个公共点，则b 的取值范围是_______．20．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，∠COB =2∠PCB . （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ， 若MN · MC =8，求⊙O 的直径.EDCMBPA21．平面直角坐标系xOy 中，原点O 是正三角形ABC 外接圆的圆心，点A 在y 轴的正半轴上，△ABC 的边长为6．以原点O 为旋转中心将△ABC 沿逆时针方向旋转α角，得到△A B C '''，点A '、B '、C '分别为点A 、B 、C 的对应点． （1）当α=60°时，①请在图1中画出△A B C '''；②若AB 分别与C A ''、B A ''交于点D 、E ，则DE 的长为_______；（2）如图2，当C A ''⊥AB 时，B A ''分别与AB 、BC 交于点F 、G ，则点A '的坐标为_______，△FBG 的周长为_______，△ABC 与△A B C '''重叠部分的面积为 _______．22．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x ≤m ，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若1≤m ＜5，则1x =时，y 的最大值为2；若m ≥5，则m x =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当2-≤x ≤4时，二次函数1422++=x x y 的最大值为_______； （2）若p ≤x ≤2，求二次函数1422++=x x y 的最大值；（3）若t ≤x ≤t +2时，二次函数1422++=x x y 的最大值为31，则t 的值为_______．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线212(1)y x m x n =+-+经过点（1-，132m +）． （1）求n m -的值；（2）若此抛物线的顶点为（p ，q ），用含m 的式子分别表示p 和q ，并求q 与p 之间的函数关系式； （3）若一次函数2128y mx =--，且对于任意的实数x ，都有1y ≥22y ，直接写出m 的取值范围.24．以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠ABO =∠DCO =30°．（1）点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，连接FM 、EM ．①如图1，当点D 、C 分别在AO 、BO 的延长线上时，FM EM=_______；②如图2，将图1中的△AOB 绕点O 沿顺时针方向旋转α角（060α<<），其 他条件不变，判断FM EM 的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若BO =N 在线段OD 上，且NO =2．点P 是线段AB 上的一个动点，在将△AOB 绕点O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为_______，最大值为_______．25．如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB ．直线BE 与y 轴平行，点F 是射线BE 上的一个动点，连接AD 、AF 、DF .（1）若点F 的坐标为（92，1），AF ①求此抛物线的解析式；②点P 是此抛物线上一个动点，点Q 在此抛物线的对称轴上，以点A 、F 、P 、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标；（2）若22b c +=-，2b t =--，且AB 的长为kt ，其中0t >．如图2，当∠DAF =45°时，求k 的值和∠DF A 的正切值.北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学参考答案及评分标准2013.1阅卷说明：第11题写对一个答案得2分．第12题只写②或只写④得2分;有错解得0分．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式24=⨯⎝⎭................................................................. 4分3. ........................................................................................................ 5分14．解：（1）241y x x=-+2(44)3x x=-+-2(2)3x=--........................................................................................... 2分（2）∵抛物线241y x x=-+的顶点坐标为(2,3)-，.................................... 3分∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3,1)-. .................................................. 4分∴平移后所得抛物线的解析式为22(3)168y x x x=--=-+. . ............ 5分15．解：如图1.在Rt△DBC中，∠C=90°，sin∠CBD=23，DB=6，∴2sin643CD DB CBD=⋅∠=⨯=.………… 1分∴AD=12CD=1422⨯=. ……………………2分∵CB ............................................................. 3分AC= AD+CD=2+4=6， ......................................................................................... 4分在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tan A=CBAC=. ...................................................................................... 5分16．（1）证明：如图2.∵OC=OB，∴∠BCO=∠B. …………………………………………………………1分∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D. …………………………………………………………2分（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，ADBC图1图2∴CE =12CD=12⨯= ………… 3分 在Rt △OCE 中，222OC CE OE =+，设⊙O 的半径为r ，则OC =r ，OE =OA -AE =r -2，∴222(2)r r =+-. ………………… 4分 解得3r =.∴⊙O 的半径为3. ……………………… 5分 17．解：如图3.（1）∵将△CPM 沿直线MP 翻折后得到△DPM ，∴∠CMP =∠DMP . ............................................ 1分 ∵∠BME =120°，∴∠CMP =30°. .................................................... 2分（2）∵AC =6，点P 为AC 边中点，∴CP =3. ................................................................. 3分 在Rt △CMP 中，CP =3，∠MCP =90°，∠CMP =30°， ∴CM =33. .......................................................... 4分∴BM =336-. .................................................................................................... 5分 18．解：（1）作PC ⊥AB 于C .（如图4）在Rt △P AC 中，∠PCA =90°，∠CP A =90°-45°=45°.∴cos 45100PC PA =⋅==................... 2分在Rt △PCB 中，∠PCB =90°，∠PBC =30°.∴2PB PC ==.答：B 处距离灯塔P有. ....................... 3分（2）海轮若到达B 处没有触礁的危险. .......................... 4分理由如下：∵200OB OP PB =-=-而150，∴200200150--.∴50OB >. .................................................................................................... 5分 ∴B 处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险.19 图4图3EDCMBPA图象（如图5）；………………… 3分（3）b 的取值范围是31b -≤<或421-=b ． .......................................................... 5分阅卷说明：只写31b -≤<或只写421-=b 得1分.20．（1）证明：∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO . ∴∠COB =2∠ACO . 又∵∠COB =2∠PCB ，∴∠ACO =∠PCB . ...................................................................................... 1分 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACO +∠OCB =90° .∴∠PCB +∠OCB =90°, 即OC ⊥CP . ∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线. ................................................................................. 2分（2）解：连接MA 、MB .（如图6） ∵点M 是弧AB 的中点，∴∠ACM =∠BAM . ∵∠AMC =∠AMN ，∴△AMC ∽△NMA . …………………… 3分∴AM MCNM MA=. ∴2AM MC MN =⋅.∵MC·MN =8,∴AM = .............................................................................................. 4分∵AB 是⊙O 的直径，点M 是弧AB 的中点， ∴∠AMB =90°，AM =BM=∴4AB ==. ....................................................................... 5分21．解：（1）①如图7所示； ................................................. 1分②DE 的长为2； ................................................ 2分 （2）点A '的坐标为(，△FBG 的周长为 6 ，△ABC 与△A B C '''.......................... 5分阅卷说明：第（2）问每空1分.22．解：（1）当2-≤x ≤4时，二次函数1422++=x x y 的最大值为................ 1分（2）∵二次函数2241y x x =++的对称轴为直线1-=x ∴由对称性可知，4-=x 和2=x 时函数值相等.∴若24≤<-p ，则2=x 时，y 的最大值为17. ................................... 2分 若4-≤p ，则p x =时，y 的最大值为1422++p p . ........................ 3分图6（3）t 的值为1或-5 . ............................................................................................. 5分 阅卷说明：只写1或只写-5得1分;有错解得0分. 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵抛物线212(1)y x m x n =+-+经过点（1-，132m +）， ∴213(1)2(1)(1)2m m n +=-+-⨯-+.∴32n m -=. ................................................................................................ 1分（2）∵2132(1)2y x m x m =+-++，∴1p m =-， ................................................................................................ 2分2132q m m =-++. .................................................................................. 3分∵1p m =-， ∴1m p =+.∴21(1)3(1)2q p p =-++++.∴252q p p =-++. ........................................................................................ 5分（3）m 的取值范围是3122m -≤≤且0m ≠. ........................................................ 7分 阅卷说明：只写3122m -≤≤或只写0m ≠得1分.24．解：（1）①FMEM=；.......................................................... ………………………1分②结论：FMEM的值不变.（阅卷说明：判断结论不设给分点）证明：连接EF、AD、BC.（如图8）∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，∴3tan303AOBO==.∵Rt△COD中，∠COD=90°，∠DCO=30°，∴3tan303DOCO==∴AO DOBO CO=.又∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC.∴△AOD∽△BOC． ................................................................................... 2分∴ADBC=1=∠2.∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF∥AD，FM∥CB，且12EF AD=，12FM CB=.∴EFFM=............................................................................................ 3分∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4=∠5.∵∠2+∠5+∠6=90°，∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4=90°.∴∠EFM=90°. ............................................................................................ 4分∵在Rt△EFM中，∠EFM=90°，tan EFEMFFM∠==，∴∠EMF=30°.∴cosFMEMFEM=∠ ......................................................................... 5分（2）线段PN2，最大值为2. .......................... 7分阅卷说明：第（2）问每空1分.AFEMO BDC123456图825．解：（1）①∵直线BE 与y 轴平行，点F 的坐标为（92，1）， ∴点B 的坐标为（92，0），∠FBA =90°，BF =1. 在Rt △ABF 中，AF∴4AB . ∴点A 的坐标为（12，0）. ∴抛物线的解析式为2119159()()222228y x x x x =--=-+. ................ 1分②点Q 的坐标为1Q （52，3），2Q （52，5），3Q （52，7）. ........... 4分 阅卷说明：答对1个得1分. （2）∵22b c +=-，2b t =--， ∴22c t =+. ∴21(2)222y x t x t =-+++. 由21(2)2202x t x t -+++=， (2)(22)0x x t ---=. 解得 12x =，222x t =+. ∵0t >，∴点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（22t +，0）.∴AB =2222t t +-=，即 2k =. ............................................................... 5分 方法一：过点D 作DG ∥x 轴交BE 于点G ，AH ∥BE 交直线DG 于点H ，延 长DH 至点M ，使HM =BF ，连接AM.（如图9）∵DG ∥x 轴，AH ∥BE ，∴四边形ABGH 是平行四边形. ∵∠ABF =90°， ∴四边形ABGH 是矩形. 同理四边形CBGD 是矩形. ∴AH =GB =CD =AB =GH =2t . ∵∠HAB =90°，∠DAF =45°， ∴∠1+∠2=45°. 在△AFB 和△AMH 中，AB =AH ，∠ABF =∠AHM =90°，BF =HM ，∴△AFB ≌△AMH . ..................................................................................... 6分∴∠1=∠3，AF =AM ，∠4=∠M . ∴∠3+∠2=45°. 在△AFD 和△AMD 中，AF =AM ， ∠F AD =∠MAD ，AD =AD ， ∴△AFD ≌△AMD .∴∠DF A =∠M ，FD =MD .∴∠DF A =∠4. ……………………………………………………………7分∵C 是AB 的中点， ∴DG =CB =HD =t .设BF =x ，则GF =2t x -，FD =MD =t x +. 在Rt △DGF 中，222DF DG GF =+，∴222()(2)t x t t x +=+-，解得 23tx =.∴2tan tan 4233AB t DFA t FB ∠=∠==÷=. ………………………………8分方法二：过点D 作DM ⊥AF 于M .（如图10） ∵CD ⊥AB ，DM ⊥AF ， ∴∠NCA =∠DMN =90°. ∵∠1=∠2， ∴∠NAC =∠NDM.∴tan ∠NAC =tan ∠NDM.∴NC NMAC DM=. …………………………… ∵C 是AB 的中点，CD =AB =2t ，∴AC =t ，AD == ∵∠DAM =45°，∴sin 455DM AM AD t ==⋅=设 CN =x ，则DN =2t x -. ∴x t =.∴NM .在Rt △DNM 中，222DN DM NM =+， ∴222(2)))t x -=+.223830x tx t +-=.(3)(3)0x t x t -+=.∴13tx =，23x t =-（舍）.∴CN =3t， …………………………………………………………………7分AN =. ∵EB ∥y 轴， ∴EB ⊥x 轴. ∵CD ⊥AB ， ∴CD ∥EB .∴12AC AN AB AF ==.∴AF .∴MF = AF -AM .∴tan 3DM DFA MF ⎫∠==÷=⎪⎪⎝⎭. ………………………………8分。

2011-2012学年北京市西城区初三数学第一学期期末数学试题(南区)(含答案)

2011-2012学年北京市西城区初三数学第一学期期末数学试题(南区)(含答案)

北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学 2012.1考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。

3．在答题纸上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线2(1)1y x =-+的顶点坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--2．若相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是A ．2B ．3C ． 6D ．113．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5tan A 的值为A 5B 25C ．12D ．24． 如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于E ，连接BD ，若∠D =30°， BD =2，则AE 的长为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．下列图形中，中心对称图形有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现大于3点的概率为 A ．21 B ．31 C ．41 D ．617．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点（-1,0），对称轴为x =1，则下列结论中正确的是A ．0>aB ．当1>x 时，y 随x 的增大而增大C ．0<cD ．3x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，(0,2)B ，⊙C 的圆心为点(1,0)C -，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于E 点，则△ABE 面积的最大值是 A ．2 B ． 83C ．2+D ． 2-二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠OCB ＝40°，则∠A= °．10．将抛物线2y x =先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是 ．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4．以斜边AB 的中点D 为旋转中心，把△ABC 按逆时针方向旋转 α角（0120α︒<<︒），当点A 的对应点与点C 重合时，B ，C 两点的对应点分别记为E ，F ，EF 与AB 的交点为G ，此时 α等于 ° ，△DEG 的面积为 ．12．已知二次函数212y x x =-+，（1）它的最大值为 ；（2）若存在实数m ， n 使得当自变量x 的取值范围是m ≤x ≤n 时，函数值y 的取值范围恰好是3m ≤y ≤3n ，则m= ，n= ．13．计算：2cos30602sin 45︒+︒-︒．14．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，且点A ，B ，C ，P 均为格点.（1） 在网格中作图：以点P 为位似中心，将△ABC 的各边长放大为原来的两倍，A ，B ，C 的对应点分别为A 1 ，B 1 ，C 1；（2） 若点A 的坐标为（1,1），点B 的坐标为（3,2），则（1）中点C 1的坐标为 .15．已知抛物线245y x x =+-.（1）直接写出它与x 轴、y 轴的交点的坐标；（2）用配方法将245y x x =+-化成2()y a x h k =-+的形式．16．如图，三角形纸片ABC 中，∠BCA =90°，∠A =30°，AB =6， 在AC 上取一点 E ，沿BE 将该纸片折叠，使AB 的一部分 与BC 重合，点A 与BC 延长线上的点D 重合，求DE 的长.17．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）． 设矩形的一边AB 的长为x 米（要求AB ＜AD ），矩形 ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？18．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线与BC ，AB 的交点分别为D ，E ． （1）若AD =10，4sin 5ADC ∠=，求AC 的长和tan B 的值；（2）若AD=1，ADC ∠=α，参考（1）的计算过程直接写 出tan 2α的值（用sin α和cos α的值表示）．19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形PABC 的边长为1，将其沿x 轴的正方向连续滚动，即先以顶点A 为旋转中心将正方形PABC 顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D 为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n 个正方形．设滚动过程中的点P 的坐标为(,)x y ．（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P 的坐标； （2）画出点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4），并直接写出该曲线与x 轴所围成区域的面积．20．已知函数2y x bx c =++（x ≥ 0），满足当x =1时，1y =-，且当x = 0与x =4时的函数值相等． （1） 求函数2y x bx c =++（x ≥ 0）的解析式并 画出它的图象（不要求列表）；（2）若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且2 (0),() 2 (0),x bx c x f x x ⎧++≥=⎨-<⎩ 又已知关于x 的 方程()f x x k =+有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线与⊙O 的交点为D ，DE ⊥AC ，与AC 的延长线交于 点E ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）若OE 与AD 交于点F ，4cos 5BAC ∠=，求DF AF 的值．22．阅读下列材料：题目：已知实数a ，x 满足a ＞2且x ＞2，试判断ax 与a x +的大小关系，并加以说明. 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，列出ax 与a x +的差()y ax a x =-+再说明y 的符号即可.现给出如下利用函数解决问题的方法：简解：可将y 的代数式整理成(1)y a x a =--，要判断y 的符号可借助函数(1)y a x a =--的图象和性质解决.参考以上解题思路解决以下问题：已知a ，b ，c 都是非负数，a ＜5，且 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=． （1）分别用含a 的代数式表示4b ，4c ； （2）说明a ，b ，c 之间的大小关系．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．（1）求该抛物线与x 轴的交点及顶点的坐标(可以用含k 的代数式表示)； （2）若记该抛物线顶点的坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值； （3）将该抛物线先向右平移12个单位长度，再向上平移1k个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．24．已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，点M 为⊙O 上一点.（1）如图，若△ABC 为等边三角形，BM =1，CM =2， 求AM 的长；（2） 若△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90︒，BM a =，CM b =（其中b a >），直接写出AM 的长(用含有a ，b 的代数式表示).25． 已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy 中，A ，C 两点的坐标分别为(2,3)A ，(,3)C n -（其中n ＞0），点B 在x 轴的正半轴上．动点P 从点O 出发，在四边形OABC 的边上依次沿O —A —B —C 的顺序向点C 移动，当点P 与点C 重合时停止运动．设点P 移动的路径的长为l ，△POC 的面积为S ，S 与l 的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF 是等腰梯形．（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m = ； （2）求B ，C 两点的坐标及图2中OF 的长；（3）在图1中，当动点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线W 的顶点时， ① 求此抛物线W 的解析式；② 若点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，坐标平面内另有一点R ，满足以B ，P ，Q ，R 四点为顶点的四边形是菱形，求点Q 的坐标．北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学参考答案及评分标准2012.1 一、选择题（本题共32分，每小题4分）阅卷说明：第10题写成2(1)1y x=--不扣分;第11题每空各2分;第12题第（1）问2分, 第（2）问每空各1分．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式= 222⨯…………………………………………………3分= 22+．……………………………………………………………………5分14．解：（1）…………………………………………3分（2）点C1的坐标为（2，8）. ……………………………………………………5分图115．解：（1）抛物线与x 轴的交点的坐标为(5,0) (1,0)-和． …………………………2分抛物线与y 轴的交点的坐标为(05)-，． …………………………………3分 （2）245y x x =+-2(44)9x x =++-…………………………………………………………4分2(2)9x =+-． …………………………………………………………5分 16．解： 在RtΔACB 中，∠ACB =90°，AB =6， ∠A =30°，（如图2） ∴ 362121=⨯==AB BC . ………………………1分 ∵ 沿BE 将ΔABC 折叠后，点A 与BC 延长线上的点D∴ BD=AB=6，∠D =∠A =30°.……………………3分∴CD=BD -BC =6-3=3. ……………………………4分在RtΔDCE 中，∠DCE =90°，CD =3， ∠D =30°，∴3223330cos ===CD DE . ………………………………………………5分17．解：（1）∵ 四边形ABCD 是矩形，AB 的长为x 米， ∴ CD=AB=x （米）．∵ 矩形除AD 边外的三边总长为36米，∴ 362BC x =-（米）．………………………………………………………1分 ∴ 2(362)236S x x x x =-=-+． ……………………………………………3分 自变量x 的取值范围是012x <<． …………………………………………4分 ( 说明：由0<x <36-2x 可得012x <<．)（2）∵222362(9)162S x x x =-+=--+，且9x =在012x <<的范围内 ，∴ 当9x =时，S 取最大值．即AB 边的长为9米时，花圃的面积最大．…………………………………5分18．解：（1）在Rt △ACD 中，90C ∠=︒， AD =10，4sin 5ADC ∠=，（如图3） ∴ 4sin 1085AC AD ADC =⋅∠=⨯=．……1分3cos 1065CD AD ADC =⋅∠=⨯=． ∵ DE 垂直平分AB ，∴ 10BD AD ==．……………………………2分 ∴ 16BC CD BD =+=． ……………………3分 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，∴ 81tan 162AC B BC ===．……………………………………………………4分 （2）sin tan 21cos ααα=+．（写成1cos sin αα-也可） ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）第三个和第四个正方形的位置 如图4所示．……………………2分 第三个正方形中的点P 的坐标为 (3,1)． …………………………3分（2）点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4）如图4所示． …………………………4分它与x 轴所围成区域的面积等于1π+． ……………………………………5分20．解：（1）∵ 函数2y x bx c =++（x ≥0）满足当x =1时，1y =-， 且当x = 0与x =4时的函数值相等，∴ 11,2.2b c b ++=-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得 4b =-，2c =．…………………………………………………………2分 ∴ 所求的函数解析式为242y x x =-+（x ≥0）． …………………………3分 它的函数图象如图5所示．……………………………………………………4分（2）k 的取值范围是22k -<≤．（如图6）……………………………………………5分 21．（1）证明：连接OD ．（如图7） ∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠1=∠2．…………………………………………………………………1分 ∵ OA =OD ， ∴ ∠1=∠3． ∴ ∠2=∠3．∴ OD ∥AE ．∵ DE ⊥AC ， ∴ ∠AED =90°．∴ 18090ODE AED ∠=︒-∠=︒．∴ DE ⊥OD ． ……………………………2分 ∵ OD 是⊙O 的半径，∴ 直线DE 是⊙O 的切线． ………………………………………………3分（2）解：作OG ⊥AE 于点G ．（如图7） ∴ ∠OGE =90°．∴ ∠ODE =∠DEG =∠OGE =90°． ∴ 四边形OGED 是矩形．∴ OD =GE ．……………………………………………………………………4分 在Rt △OAG 中， ∠OGA =90°，4cos 5BAC ∠=，设AG =4k ，则OA =5k ． ∴ GE =OD =5k ． ∴ AE =AG +GE =9k ． ∵ OD ∥GE ， ∴ △ODF ∽△EAF ． ∴59DF OD AF AE ==．……………………………………………………………5分 22．解：（1）∵ 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+.322,222a b c a a c b消去b 并整理，得243c a =+．………………………1分消去c 并整理，得2423b a a =--． ………………2分（2）∵ ()()()411332422--=+-=--=a a a a a b ， 将4b 看成a 的函数，由函数24(1)4b a =--的性质结合它的图象（如图8所示），以及a ，b 均为非负数得a ≥3．又 ∵ a ＜5，∴ 3≤a ＜5．……………………………………………………………………3分∵ 224()63(3)12b a a a a -=--=--，将4()b a -看成a 的函数，由函数24()(3)12b a a -=--的性质结合它的图象（如图9所示）可知，当3≤a ＜5时，4()0b a -<．∴ b ＜a ． ……………………………………………4分∵ 24()43(1)(3)c a a a a a -=-+=--，a ≥3，∴ 4()c a -≥0．∴ c ≥a ．∴ b ＜a ≤c ． ………………………………………5分阅卷说明：“b ＜a ，b ＜c ，a ≤c ”三者中，先得出其中任何一个结论即可得到第4分，全写对得到5分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）令0y =，得方程 2(2)20kx k x +--=．整理，得 (1)(2)0x kx +-=．解得 11x =-，22x k= ． ∴ 该抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-，2(,0)k． ………………………2分 抛物线2(2)2y kx k x =+--的顶点坐标为2244(,)24k k k k k-++-． ………3分 （2）|n |的最小值为 2 ． …………………………………………………………4分 （3）平移后抛物线的顶点坐标为214(,)4k k k k+-．…………………………………5分由1,14x k k y ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得 114y x =-- ． ∴ 所求新函数的解析式为114y x=--． …………………………………7分 24．解：（1）因AB =AC 且∠BAC=60°，故将△ABM 绕点A 逆时针旋转60︒得△ACN ，则△ABM ≌△ACN ，（如图10）………………………………………………1分∴ ∠BAM =∠CAN ，∠ABM =∠ACN ，AM =AN ，BM =CN ．∵ 四边形ABMC 内接于⊙O ，∴ ∠ABM +∠ACM =180︒．∴ ∠ACN +∠ACM =180︒．∴ M ，C ，N 三点共线．……………………2分∵ ∠BAM =∠CAN ，∴ ∠BAM +∠MAC =∠CAN +∠MAC =60︒， 即∠MAN =60︒． ………………………………………………………………3分∵ AM =AN ，∴ △AMN 是等边三角形．……………………………………………………4分 ∴ AM =MN =MC +CN =MC +BM =2+1=3． ……………………………………5分（2）AM)b a -)b a +．……………………………………………7分 25．解：（1）图2中的m1分（2）∵ 图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形，点D 的坐标为(,12)D m ，∴ 12E D y y ==，此时原题图1中的点P 运动到与点B 重合，∴ 1131222BOC C S OB y OB ∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解得 8OB =，点B 的坐标为(8,0)． ……………………………………2分此时作AM ⊥OB 于点M ，CN ⊥OB 于点N ．（如图12）．∵ 点C 的坐标为(,3)C n -，∴ 点C 在直线3y =-上．又由图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形可知图12中的点C 在过点O 与AB 平行的直线l 上，∴ 点C 是直线3y =-与直线l 的交点，且ABM CON ∠=∠．又∵ 3A C y y ==，即AM= CN ，可得△ABM ≌△CON ．∴ ON=BM=6，点C 的坐标为(6,3)C -．……………………………………3分 ∵ 图12中AB ==∴ 图11中DE =，2D OF x DE =+= …………………4分（3）①当点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线W 的顶点时，作PG ⊥OB 于点G ．（如图13）∵ O ，B 两点的坐标分别为(0,0)O ，(8,0)B ，∴ 由抛物线的对称性可知P 点的横坐标为4，即OG=BG=4．由3tan 6AM PG ABM BM BG∠===可得PG=2． ∴ 点P 的坐标为(4,2)P ．………………5分设抛物线W 的解析式为(8)y ax x =-（a ≠0）．∵ 抛物线过点(4,2)P ，∴ 4(48)2a -=． 解得 18a =-． ∴ 抛物线W 的解析式为218y x x =-+．…………………………………6分 ②如图14．i ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 四点为顶点的菱形的边时，∵ 点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上， 点P 为抛物线W 的顶点，结合抛物线的对称性可知点Q 只有一种情况，点Q 与原点重合，其坐标为1(0,0)Q ．……………………………………………………………………7分 ii ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 四点为顶点的菱形的对角线时，可知BP 的中点的坐标为(6,1)，BP 的中垂线的解析式为211y x =-．∴ 2Q 点的横坐标是方程212118x x x -+=-的解．将该方程整理得28880x x +-=．解得4x =-± 由点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，结合图14可知2Q 点的横坐标为4．∴ 点2Q 的坐标是219)Q ． …………………………8分综上所述，符合题意的点Q 的坐标是1(0,0)Q ，219)Q ．。

北京市西城区2011-2012学年度初三数学第一学期期末试题及答案

北京市西城区2011-2012学年度初三数学第一学期期末试题及答案

北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学 2012.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线2(1)1y x =-+的顶点坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--2．若相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是 A ．2 B ．3C ． 6D ．113．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为A ．5B 5C ．12D ．24．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于E ，连接BD ，若∠D =30°， BD =2，则AE 的长为A ．2B ．3C ．4D ．55．若正六边形的边长等于4，则它的面积等于A ．B ．C ．D ．6．如图，以点D 为位似中心，作△ABC 的一个位似三 角形A 1B 1C 1，A ，B ，C 的对应点分别为A 1，B 1，C 1， DA 1与DA 的比值为k ，若两个三角形的顶点及点D 均在如图所示的格点上，则k 的值和点C 1的坐标分 别为A ．2，(2,8)B ．4，(2,8)C ．2，(2,4)D ．2，(4,4)7．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)-，对称轴为1x =，则下列结论中正确的是A ．0>aB ．当1>x 时，y 随x 的增大而增大C ．0<cD ．3x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，(0,2)B ，⊙C 的圆 心为点(1,0)C -，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段 DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是 A ．2 B ． 83C ．22+ D ．22-二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠OCB ＝40°，则∠A= °．10．将抛物线2y x =先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是 ．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4 ．以斜边AB 的中点D 为旋转中心，把△ABC 按逆时针方向旋转α角 （0120α︒<<︒），当点A 的对应点与点C 重合时，B ，C 两点 的对应点分别记为E ，F ，EF 与AB 的交点为G ，此时α等于 ° ，△DEG 的面积为 ．12．已知二次函数212y x x =-+，（1）它的最大值为 ；（2）若存在实数m ，n 使得当自变量x 的取值范围是m ≤x ≤n 时，函数值y 的取值范围恰好是3m ≤y ≤3n ，则m= ，n= ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：2cos 30602sin 45︒+︒-︒．14．已知关于x 的方程22230x x k -+-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若k 为符合条件的最大整数，求此时方程的根．15．已知抛物线245y x x =+-.（1）直接写出它与x 轴、y 轴的交点的坐标；（2）用配方法将245y x x =+-化成2()y a x h k =-+的形式．16．已知：如图，在菱形ABCD 中，E 为BC 边上一点，∠AED =∠B ．（1）求证：△ABE ∽△DEA ；（2）若AB =4，求AE DE ⋅的值．17．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形 的一边AB 的长为x 米（要求AB ＜AD ），矩形ABCD 的面 积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？18．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线与BC ，AB 的交点分别为D ，E ．（1）若AD =10，4sin5ADC∠=，求AC 的长和tan B 的值；（2）若AD=1，ADC ∠=α，参考（1）的计算过程直接写 出tan 2α的值（用sin α和cos α的值表示）．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形PABC 的边长为1，将其沿x 轴的正方向连续滚动，即先以顶点A 为旋转中心将正方形PABC 顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D 为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n 个正方形．设滚动过程中的点P 的坐标为(,)x y ．（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P 的坐标； （2）画出点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4），并直接写出该曲线与x 轴所围成区域的面积．20．已知函数2y x bx c =++（x ≥ 0），满足当x =1时，1y =-，且当x = 0与x =4时的函数值相等．（1）求函数2y x bx c =++（x ≥ 0）的解析式并画出它的 图象（不要求列表）；（2）若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且2 (0),()2 (0),x bx c x f x x ⎧++≥=⎨-<⎩又已知关于x 的方程()f x x k =+有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线与 ⊙O 的交点为D ，DE ⊥AC ，与AC 的延长线交于点E ． （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）若OE 与AD 交于点F ，4cos 5BAC ∠=，求D F A F的值．22．阅读下列材料：题目：已知实数a ，x 满足a ＞2且x ＞2，试判断ax 与a x +的大小关系，并加以说明. 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出ax 与a x +的差()y ax a x =-+，再 说明y 的符号即可.现给出如下利用函数解决问题的方法：简解：可将y 的代数式整理成(1)y a x a =--，要判断y 的符号可借助函数(1)y a x a =--的图象和性质解决.参考以上解题思路解决以下问题：已知a ，b ，c 都是非负数，a ＜5，且 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=． （1）分别用含a 的代数式表示4b ，4c ； （2）说明a ，b ，c 之间的大小关系．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．（1）求该抛物线与x 轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k 的代数式表示)； （2）若记该抛物线的顶点坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值； （3）将该抛物线先向右平移12个单位长度，再向上平移1k个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．24．已知：如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM ，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足 45M AN ∠=︒，连结MC ，NC ，MN ．（1）填空：与△ABM 相似的三角形是△ ，BM D N ⋅= ；（用含a 的代数式表示）（2）求M C N ∠的度数；（3）猜想线段BM ，DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论．25．已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为(2,3)A，C n-（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC(,3)的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ；（2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时，①求此抛物线W的解析式；②若点Q在直线1y=-上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准 2012.1说明：第10题写成2(1)1y x =--不扣分；第11题每空各2分；第12题第（1）问2分， 第（2）问每空各1分．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式= 2222+-⨯ …………………………………………………3分= 22． ……………………………………………………………………5分14．解：（1）2(2)4(23)8(2)k k ∆=---=-． ……………………………………………1分∵ 该方程有两个不相等的实数根，∴ 8(2)k -＞0．……………………………………………………………… 2分 解得2k <．…………………………………………………………………… 3分 （2）当k 为符合条件的最大整数时，1k =．…………………………………… 4分此时方程化为2210x x --=，方程的根为11x =+21x =-．………5分15． 解：（1）抛物线与x 轴的交点的坐标为(5,0) (1,0)-和． ………………………2分抛物线与y 轴的交点的坐标为(05)-，． …………………………………3分（2）245y x x =+-2(44)9x x =++-…………………………………………………………4分2(2)9x =+-． …………………………………………………………5分 16．（1）证明：如图1．∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AD ∥BC ．∴ 12∠=∠． …………………………2分又∵ ∠B =∠AED ， ∴ △ABE ∽△DEA ．…………………3分（2）解：∵ △ABE ∽△DEA ，∴AE AB D AD E=．…………………………………………………………………4分∴ AE DE AB DA ⋅=⋅．∵ 四边形ABCD 是菱形，AB = 4， ∴ AB =DA = 4．∴ 216AE DE AB ⋅==．………………………………………………………5分17．解：（1）∵ 四边形ABCD 是矩形，AB 的长为x 米， ∴ CD=AB=x （米）．∵ 矩形除AD 边外的三边总长为36米，∴ 362BC x =-（米）．………………………………………………………1分 ∴ 2(362)236S x x x x =-=-+． ……………………………………………3分 自变量x 的取值范围是012x <<． …………………………………………4分 （说明：由0362x x <<-可得012x <<．）（2）∵222362(9)162S x x x =-+=--+，且9x =在012x <<的范围内 ，∴ 当9x =时，S 取最大值．即AB 边的长为9米时，花圃的面积最大．…………………………………5分18．解：（1）在Rt △ACD 中，90C∠=︒，AD =10，4sin AD C ∠=，（如图2）∴ 4sin 1085AC AD AD C =⋅∠=⨯=．……1分图13c o s 1065C D A D A D C =⋅∠=⨯=．∵ DE 垂直平分AB ，∴ 10BD AD ==．……………………………………………………………2分 ∴ 16BC C D BD =+=．………………………………………………………3分 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒， ∴ 81tan 162AC B BC===． ……………………………………………………4分（2）sin tan21cos ααα=+．（写成1cos sin αα-也可） ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）第三个和第四个正方形的位置如图3所示．…………………………………………………2分 第三个正方形中的点P 的坐标为(3,1)．……3分 （2）点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4）如图3所示．…………………………………………………4分它与x 轴所围成区域的面积等于1π+． ……………………………………5分20．解：（1）∵ 函数2y x bx c =++（x ≥0）满足当x =1时，1y =-， 且当x = 0与x =4时的函数值相等，∴ 11,2.2b c b ++=-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得 4b =-，2c =．…………………………………………………………2分 ∴ 所求的函数解析式为242y x x =-+（x ≥0）． …………………………3分 它的函数图象如图4所示．……………………………………………………4分（2）k 的取值范围是22k -<≤．（如图5）……………………………………………5分 21．（1）证明：连接OD ．（如图6） ∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠1=∠2．…………………………………………………………………1分 ∵ OA =OD ， ∴ ∠1=∠3． ∴ ∠2=∠3．∴ OD ∥AE ．∵ DE ⊥AC ， ∴ ∠AED =90°．∴ 18090O D E AED ∠=︒-∠=︒．…………2分 ∴ DE ⊥OD ． ∵ OD 是⊙O 的半径，∴ DE 是⊙O 的切线．………………………3分（2）解：作OG ⊥AE 于点G ．（如图6） ∴ ∠OGE =90°．∴ ∠ODE =∠DEG =∠OGE =90°． ∴ 四边形OGED 是矩形．∴ OD =GE ．……………………………………………………………………4分 在Rt △OAG 中，∠OGA =90°，4cos 5BAC ∠=，设AG =4k ，则OA =5k ．∴ GE =OD =5k ． ∴ AE =AG +GE =9k ． ∵ OD ∥GE ， ∴ △ODF ∽△EAF ． ∴59D F O D AFAE==．……………………………………………………………5分22．解：（1）∵ 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=，∴ 222,22 3.b c a a c b a ⎧+=-⎨-=+⎩消去b 并整理，得 243c a =+．……………1分 消去c 并整理，得2423b a a =--． ………2分（2）∵ 22423(3)(1)(1)4b a a a a a =--=-+=--，将4b 看成a 的函数，由函数24(1)4b a =--的性质结合它的图象（如图7所示），以及a ，b 均为非负数得a ≥3．又 ∵ a ＜5，∴ 3≤a ＜5．……………………………………………………………………3分 ∵ 224()63(3)12b a a a a -=--=--，将4()b a -看成a 的函数，由函数24()(3)12b a a -=--的性质结合它的图象（如图8所示）可知，当3≤a ＜5时，4()0b a -<． ∴ b ＜a ． ……………………………………………4分∵ 24()43(1)(3)c a a a a a -=-+=--，a ≥3， ∴ 4()c a -≥0．∴ c ≥a ．∴ b ＜a ≤c ． ………………………………………5分阅卷说明：“b ＜a ，b ＜c ，a ≤c ”得到第4分，全写对得到5分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）令0y =，则 2(2)20kx k x +--=． 整理，得 (1)(2)0x kx +-=． 解得 11x =-，22x k=．∴ 该抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-，2(,0)k． ………………………2分抛物线2(2)2y kx k x =+--的顶点坐标为2244(,)24k k k kk-++-． ………3分（2）|n |的最小值为 2 ． …………………………………………………………4分 （3）平移后抛物线的顶点坐标为214(,)4k k k k+-．…………………………………5分由1,14xkky⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得114yx=--．∴所求新函数的解析式为114yx=--．…………………………………7分24．解：（1）与△ABM相似的三角形是△NDA，2BM DN a⋅=；……………………2分（2）由（1）△ABM∽△NDA可得BM ABD A N D=．（如图9）………………3分∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC，DA= BC，90ABC BC D AD C BAD∠=∠=∠=∠=︒．∴BM D C BC N D=．∵BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，∴45C BM ND C∠=∠=︒．∴△BCM∽△DNC．…………………………………………………………4分∴BC M D N C∠=∠．∴360M C N BC D BC M D C N∠=︒-∠-∠-∠270()270(180)D N C D C N C D N=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒．………5分（3）线段BM，DN和MN之间的等量关系是222BM DN M N+=．（只猜想答案不证明不给分）证法一：如图9，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．则△ABF≌△ADN．…………………………………………………6分∴13∠=∠，AF=AN，BF=DN，AFB AN D∠=∠．∴122345M AF BAD M AN∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒．∴M AF M AN∠=∠．又∵AM= AM，∴△AMF≌△AMN．∴MF=MN．可得(1)45(3)4590MBF AFB AND∠=∠+∠+︒=∠+∠+︒=︒．∴在Rt△BMF中，222BM BF FM+=．∴222BM DN MN+=．…………………………………………7分证法二：连接BD ，作ME ∥BD ，与DN 交于点E ．（如图10）可知45BD C ∠=︒，90BD N ∠=︒．……………………………………6分 ∵ ME ∥BD ，∴ 18090M EN BD N ∠=︒-∠=︒． ∵ 90D BM D BC C BM ∠=∠+∠=︒， ∴ 四边形BDEM 是矩形． ∴ ME =BD ，BM =DE ．在Rt △MEN 中，90M EN ∠=︒，∴ 22222()MN ME EN BD DN DE =+=+-2222)()2()DN BM a DN BM =+-=+-2222()BM DN DN BM BMDN =⋅+-=+．……………………7分25．解：（1）图2中的m ．……………………………………………………………1分（2）∵ 图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形，点D 的坐标为(,12)D m ，∴ 12E D y y ==，此时原题图1中点P 运动到与点B 重合， ∵ 点B 在x 轴的正半轴上，∴ 1131222BO C C S O B y O B ∆=⨯⨯=⨯⨯=．解得 8O B =，点B 的坐标为(8,0)． ………………………………………2分此时作AM ⊥OB 于点M ，CN ⊥OB 于点N ．（如图12）．∵ 点C 的坐标为(,3)C n -，∴ 点C 在直线3y =-上．又由图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形可知图12中的点C 在过点O与AB平行的直线l上，∴点C是直线3y=-与直线l的交点，且ABM C O N∠=∠．又∵3A Cy y==，即AM= CN，可得△ABM≌△CON．∴ON=BM=6，点C的坐标为(6,3)C-．……………………………………3分∵图12中AB==∴图11中DE=，2DO F x D E=+=…………………4分（3）①P恰为经过O，B抛物线的顶点时，作于点G．（如图13）∵O，B两点的坐标分别为(0,0)O，(8,0)B，∴由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4，即OG=BG=4．由3tan6AM PGABMBM BG∠===可得PG=2．∴点P的坐标为(4,2)P．………………5分设抛物线W的解析式为(8)y ax x=-（a≠0）．∵抛物线过点(4,2)P，∴4(48)2a-=．解得18a=-．∴抛物线W的解析式为218y x x=-+．…………………………………6分②如图14．i）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的边时，∵点Q在直线1y=-上方的抛物线W上，点P为抛物线W的顶点，结合抛物线的对称性可知点Q只有一种情况，点Q与原点重合，其坐标为1(0,0)Q．……………………………………7分ii）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的对角线时，图13可知BP 的中点的坐标为(6,1)，BP 的中垂线的解析式为211y x =-． ∴ 点2Q 的横坐标是方程212118x x x -+=-的解．将该方程整理得 28880x x +-=．解得4x =-±．由点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，结合图14可知点2Q 的横坐标为4．∴ 点2Q 的坐标是24,19)Q ． …………………………8分综上所述，符合题意的点Q 的坐标是1(0,0)Q ，24,19)Q -．。

10.2012初三一模题答案-西城

10.2012初三一模题答案-西城

北京市西城区2012年初三一模试卷数学答案及评分标准 2012. 5一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACBCBDBC二、填空题（本题共16分，每小题4分）9 10 1112 x ≥-2()223b a -13 13+-或（各2分）4，4（各2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=32133321++⨯- …………………………………………………………4分=323+．…………………………………………………………………… 5分14．解：由①得2->x ．……………………………………………………………………1分由②得x ≤37． ……………………………………………………………………3分 ∴ 原不等式组的解集是-2< x ≤37．………………………………………………4分∴ 它的非负整数解为0，1，2．………………………………………………… 5分 15.（1）证明：如图1.∵ ∠ABC=90º，D 为AB 延长线上一点，∴ ∠ABE=∠CBD=90º . …………………………………………………1分 在△ABE 和△CBD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,BD BE CBD ABE CB AB∴ △ABE ≌△CBD. …………………… 2分 （2）解：∵ AB=CB ，∠ABC=90º，∴ ∠CAB =45°. …….…………………… 3分 又∵ ∠CAE=30º，∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分∵ △ABE ≌△CBD ，①② 图1⎪⎩⎪⎨⎧-+<-21 15)1(3x x x ，≥2x -4，∴ ∠BCD =∠BAE =15°. ……………………………………………………5分16. 解：原式=()()()()2a ab a b a b b a a b ++-⋅- =()22bb a +. ..….….….….….……………………3分 ∵ 2a +b =0，∴ a b 2-=. ……………………………………………………………………… 4分∴ 原式=22224)2()(a a a a =--.∵ a 不为0，∴ 原式=41. ..….….….….……………………………………………………… 5分17. 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点),2(m A ，∴ 2m k =，且m ＞0.∵ AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1，∴ 1212m ⋅⋅=.解得 1=m . ……………………………………………………………… 1分 ∴ 点A 的坐标为)1,2(. ………………………………………………… 2分 ∴ 22k m ==. …………………………………………………………… 3分 （2）点C 的坐标为(0,3)或(0,-1). ……………………………………………… 5分 18．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品.依题意得 105.112001200+=x x . ……………………………………………………2分解得40=x . …………………………………………………………………… 3分 经检验，40=x 是原方程的解，并且符合题意． …………………………… 4分∴ 605.1=x .答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）2，50；…………………………………2分 （2）5040%20⨯=，C 组的户数为20. … 3分补图见图2． …………………………4分 （3）∵ 500(28%8%)180⨯+=，∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少 于300元的户数是180．……………………………… 5分20．解：（1）∵ 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，60C ∠=︒，)0(>=k xky 图2捐款户数分组统计图1∴ 90ABC ∠=︒，180120ADC C ∠=︒-∠=︒． 在Rt △ABD 中，∵90A ∠=︒，15ABD ∠=︒， ∴ 75ADB ∠=︒．∴ 45BDC ADC ADB ∠=∠-∠=︒．…… 2分 （2）作BE CD ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．（如图3）在Rt △BCE 中，∵ BC=2，60C ∠=︒， ∴ sin 3BE BC C =⋅=，cos 1CE BC C =⋅=． ∵ 45BDC ∠=︒， ∴ 3DE BE ==．∴ 31CD DE CE =+=+． …………………………………………… 3分 ∵ BC DF CD BE ⋅=⋅， ∴ (31)33322CD BE DF BC ⋅+⋅+===． …………………………… 4分 ∵ AD ∥BC ，90A ∠=︒，DF BC ⊥，∴ 332AB DF +==． …………………………………………………… 5分 21．解：（1）作OF BD ⊥于点F ，连结OD ．（如图4） ∵ ∠BAD=60°，∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分 又∵OB =OD ，∴ 30OBD ∠=︒．……………………… 2分∵ AC 为⊙O 的直径，AC=4， ∴ OB= OD= 2．在Rt △BOF 中，∵∠OFB =90°， OB=2，︒=∠30OBF ， ∴ 130sin 2sin =︒=∠⋅=OBF OB OF ，即点O 到BD 的距离等于1. ………………………………………… 3分（2）∵ OB= OD ，OF BD ⊥于点F ，∴ BF=DF ．由DE=2BE ，设BE=2x ，则DE=4x ，BD=6x ，EF=x ，BF=3x ． ∵ cos303BF OB =⋅︒=，∴ 33x =， EF=33． 在Rt △OEF 中，90OFE ∠=︒，∵ tan 3OFOED EF∠==，图3FEADBC 图4FE DAOCB∴ 60OED ∠=︒，1cos 2OED ∠=． …………………………………… 4分 ∴ 30BOE OED OBD ∠=∠-∠=︒．∴ 90DOC DOB BOE ∠=∠-∠=︒． ∴ 45C ∠=︒．∴ 222CD OC ==． ………………………………………………… 5分 22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分（2）120°；………………………………………………………………………… 3分27 ． ……………………………………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2，∴ 22 210p q +++=．…………………………………………………… 1分 整理，得 25q p =--． …………………………………………………… 2分 （2）∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ∆=-=++=++=++， 无论p 取任何实数，都有2(4)p +≥0，∴ 无论p 取任何实数，都有 2(4)40p ++>．∴ 0∆>． ………………………………………………………………… 3分∴ 抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点．………………………… 4分（3）∵ 抛物线21y x px q =++与抛物线221y x px q =+++的对称轴相同，都为直线2px =-，且开口大小相同，抛物线221y x px q =+++可由抛物线21y x px q =++沿y 轴方向向上平移一个单位得到，（如图5所示，省略了x 轴、y 轴） ∴ EF ∥MN ，EF =MN =1．∴ 四边形FEMN 是平行四边形． ………………5分由题意得 22FEMN pS EF =⨯-=四边形．解得4p =±．………………………………………7分24．证明：（1）如图6．∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，直线DE 交直线CH 于点F ，∴ BF=DF ，DH=BH ．…………………1分 ∴ ∠1=∠2．图6图5y 2y 1FE N M又∵ ∠EDA =∠A ，∠EDA =∠1， ∴ ∠A ＝∠2．∴ BF ∥AC ．……………………………………………………………… 2分 （2）取FD 的中点N ，连结HM 、HN . ∵ H 是BD 的中点，N 是FD 的中点，∴ HN ∥BF ． 由（1）得BF ∥AC ， ∴ HN ∥AC ，即HN ∥EM ． ∵ 在Rt △ACH 中，∠AHC =90°， AC 边的中点为M ， ∴ 12HM AC AM ==．∴ ∠A ＝∠3． ∴ ∠EDA =∠3． ∴ NE ∥HM ．∴ 四边形ENHM 是平行四边形．……………………………………… 3分 ∴ HN=EM ．∵ 在Rt △DFH 中，∠DHF =90°，DF 的中点为N ， ∴ 12HN DF =，即2DF HN =．∴ 2DF EM =． ………………………………………………………… 4分 （3）当AB =BC 时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE 相等的线段是EF 和CE ． （只猜想结论不给分） 证明：连结CD ．（如图8）∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，∴ BC=CD ，∠ABC ＝∠5． ∵ AB ＝BC ，∴ 1802ABC A ∠=︒-∠， AB ＝CD ．① ∵ ∠EDA =∠A ，∴ 61802A ∠=︒-∠，AE =DE ．② ∴ ∠ABC ＝∠6=∠5． ∵ ∠BDE 是△ADE 的外角， ∴ 6BDE A ∠=∠+∠． ∵ 45BDE ∠=∠+∠，图7图8∴ ∠A ＝∠4．③由①，②，③得 △ABE ≌△DCE ．………………………………………5分 ∴ BE = CE ． ……………………………………………………………… 6分 由（1）中BF=DF 得 ∠CFE=∠BFC ． 由（1）中所得BF ∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF ． ∴ ∠CFE=∠ECF ． ∴ EF=CE ．∴ BE=EF ． ……………………………………………………………… 7分 ∴ BE =EF =CE ．（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE =EF 或BE =CE 只得2分）25．解：（1）∵ 2244(2)y ax ax a c a x c =-++=-+，∴ 抛物线的对称轴为直线2x =．∵ 抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于 点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--． ∵ OB =OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ， ∴ OC =3，点C 的坐标为(0,3)．将点C 的坐标代入该解析式，解得a =1．……2分∴ 此抛物线的解析式为243y x x =-+．（如图9）…………………… 3分（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．∵ 1APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角， ∴ ACB B AP ∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足ACB APB ∠=∠． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上．∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．………………………………………………… 4分∴ 由勾股定理得 5EA =．∴ 15EP EA ==． ∴ 点1P 的坐标为1(2,25)P +．…………………………………………… 5分 由对称性得点2P 的坐标为2(2,25)P --． ……………………………… 6分 ∴符合题意的点P 的坐标为1(2,25)P +、2(2,25)P --.图9xyO 1DCBA（3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°． ∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11） 若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上． ∵ 2QA QB -=，∴ .2''=-=-=QB QA QB QA BA作A N '⊥x 轴于点N ．∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上， ∴ sin451A N BA ''=⋅︒=，cos451BN BA '=⋅︒=． ∴ 点A '的坐标为(4,1)A '． ∵ 点Q 在线段BD 上，∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<． ∵ QA QA '=，∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--．解得114x =．经检验，114x =在23x <<的范围内．∴ 点Q 的坐标为111(,)44Q -． …………………………………………… 7分此时1115()2(1)2244QAA A AB QAB A Q S S S AB y y '''∆∆∆=+=⋅⋅+=⨯⨯+=．… 8分图10xy O 1FP 2EP 1DCBA图11xyO QMA'DB AN。

北京市西城区北区数学2012年初三毕业试题与答案

北京市西城区北区数学2012年初三毕业试题与答案

北京市西城区（北区）2012年初中毕业考试数 学 试 卷2012.4考生须知 1．本试卷共6页，四道大题，22道小题，满分100分。

考试时间60分钟。

2．在密封线内认真填写学校名称、班级、姓名。

3．试题答案一律书写在指定区域内，否则成绩无效。

题号一二三四总分1516 17 18 19 20 21 22 得分一、选择题答题表 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案题 号 1112 13 14 答 案下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的，请将答案填写在指定的表格中．．．．．．．．．．．．．． 1. -3的绝对值是A .3B . -3C .13D .13-2．8的平方根是 A . 2B .2±C .22D .22±3．下列运算正确的是A .32545m m m += B. m 3·m 4=m 12C. m 8÷m 4=m 2D. 236()m m =4．在下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 5．等腰△ABC 中，AB=AC ，若∠A=70°，则∠B 的度数是 A ．40° B ．55° C ．65° D ．60°6．函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 A ．3x ≠ B ．3x ≠- C ．3x >D ．3x >-7．如图，△ABC 中，DE ∥AB ，DE 与AC ，BC 的交点分别为D ，E ，若25CD AC =，则DEAB等于A ．23B ．25C ．32D ． 358．如图，若直线y kx b =+经过(1,2)A -和(0,4)B -两点，直线y mx =经过A 点，则关于x 的不等式kx b mx +>的解集是 A . 1x > B . 1x < C . 01x << D . 12x <<9．如图， AB 和AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC 于D 点，若OA=4，∠A=30°，则BD 等于A ．4 BC ．D ．10．若反比例函数k y x =的图象经过点A 1(,2)2-，则一次函数y kx k =-+与k y x =在同一坐标系中的大致图象是A B D二、填空题（本题共16分，每小题4分）请将答案填写在第．．．．．．．．1．页指定的表格中．．．．．．．．． 11．若正n 边形的每一个外角等于45°，则n 等于 ．（n 为整数，n ≥3） 12．计算：2(2)(1)(5)x x x -++-= ．13．如图，平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点B ，D的坐标分别为(0,1)B -，(0,3)D ，A 点在第二象限．则A 点 的坐标为 ，以B 点为顶点，经过A ，C 两点的抛物线 的解析式为 ．14．如图，平面直角坐标系xOy 中，M 点的坐标为（3，0）， ⊙M 的半径为2，过M 点的直线与⊙M 的交点分别为A ，B ，则△AOB 的面积的最大值为 ，此时A ，B 两点 所在直线与x 轴的夹角等于 °．三、解答题（本题共34分，第17、20题每小题5分，其余每小题6分）15212()2tan 60-+︒．16．用公式法解一元二次方程 2420x x -+=．17．化简22319()m m m ----÷，并求2m =-时代数式的值．18．已知：如图，BE ∥CF ，BE 上的一点A 满足AE= CF ，AD ∥BC ，E ，D ， F 三点在一条直线上，EF 与BC 交于G 点． （1）求证：△ADE ≌△CGF ；（2）连结AG ，写出AG 与DC 的位置关系和数量关系．19．某单位有部分职工参与了一项“你最喜欢的球类运动”的调查，每人必须从所给出的球类运动中选出一项，将调查结果绘制成了以下统计图（图中信息不完整），又知道喜欢网球和排球的人数之和等于喜欢其它三项球类的所有人数之和，而且喜欢网球的人数比喜欢排球人数的2倍少5人，根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出喜欢排球和喜欢网球的各有多少人；（2）补全统计图；（3）在调查时，有小明、小王、小李和小陈共四人选择了喜欢羽毛球，现要从这四人中随机选出两人去参加一项羽毛球比赛，用列举法或画树形图求小明被选中的概率.20．如图1，扇形AOB中，∠AOB=120°，C为半径OA上一点，CD∥OB，交»AB于D点．（1）当CD =6，AC=1时，直接写出半径OB的长，以及CD与OB的大小关系；（2）在图1中画出以OA，OB为邻边的菱形AOBE，并说明E点的位置；（不要求写菱形AOBE的画法）（3）若将图1中扇形的圆心角∠AOB改为105°（如图2），C仍为半径OA上一点（C点不与O，A两点重合），CD∥OB，交»AB于D点，在图2中画图．．说明．．满足CD≤OB时D点运动的范围．四、解答题（本题共12分，第21题7分，第22题5分）21．已知：k ，m 为实数，且k ＜1-，关于x 的方程22(2)()0x k m x k km ++++=有两个相等的实数根. 抛物线22(64)22y x m x k =-+++与直线y kx =的交点分别为A 点，B 点，与y 轴的交点为C ，顶点为D . （1）求m 的值； （2）求D 点的坐标；（3）若2ABD ABC S S ∆∆=，求k 的值.22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A≠∠B．（1）画出△ABC关于直线AC对称的△AGC：（不要求写画法）（2）在AG边上找一点D，使得BD的中点E满足CE=AD．请利用直尺和圆规作．出．图形，并写出你的简要作图步骤；（只能利用直尺画直线不能测量线段长度）（3）在（1）、（2）和未添加辅助线及其他字母的条件下，直接写出图中与∠ABC相等的角，要求该角以C点为顶点．北京市西城区(北区)2012年初三毕业试卷参考答案及评分标准数 学 2012.4阅卷说明：第12题答案正确但未化简只得2分；13题、14题每空各2分。

北京市西城区2012年初三一模数学

北京市西城区2012年初三一模数学

北京市西城区2012年初三一模试卷数 学 2012. 5考生须知 1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．6-的相反数是A ．6B ．6-C ．16- D ．162．国家体育场“鸟巢”建筑面积达258 000平方米，258 000用科学记数法表示应为 A ．2.58×103 B ．25.8×104 C ．2.58×105 D ．258×103 3．正五边形各内角的度数为A ．72°B ．108°C ．120°D ．144° 4．抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是A ．21B ．31C ．41D ．515．如图，过O ⊙上一点C 作O ⊙的切线，交O ⊙直径AB 的 延长线于点D . 若∠D =40°，则∠A 的度数为 A ．20° B ．25° C ．30° D ．40°6．某班体育委员统计了全班45名同学一周的 体育锻炼时间(单位：小时)，并绘制了如图 所示的折线统计图，下列说法中错误．．的是 A ．众数是9 B ．中位数是9 C ．平均数是9D ．锻炼时间不低于9小时的有14人7．由n 个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如下所示，则n 的最大值是A ．16B ．18C ．19D ．208．对于实数c 、d ，我们可用min{ c ，d }表示c 、d 两数中较小的数，如min{3，1-}=1-.若关于x 的函数y = min{22x ，2()a x t -}的图象关于直线3x =对称，则a 、t 的值可能是A ．3，6B ．2，6-C ．2，6D ．2-，6二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．函数2+=x y 中，自变量x 的取值范围是 ．10．分解因式：2212123b ab a +-= ．11．如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 是DC 边上一点，DE =1，将线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上，落点记为F ， 则FC 的长为 .12．如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB =90°，AC=8，BC =6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别 为D 、E . (1) DE 的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线 AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：12)21(30tan 3201+-+︒--．14．解不等式组 并求它的所有的非负整数解.15．如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90º，D 为AB 延长线 上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC . (1) 求证：△ABE ≌△CBD ； (2) 若∠CAE=30º，求∠BCD 的度数. 16．已知20a b +=，其中a 不为0，求22222b a ab a bab a --÷+的值.)0(>=k ky ⎪⎩⎪⎨⎧-+<-21 15)1(3x x x ，≥2x -4，17. 平面直角坐标系xOy 中，反比例函数 的图象经过点),2(m A ，过点A 作 AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1.(1) 求m 和k 的值； (2) 若过点A 的直线与y 轴交于点C ，且∠ACO =45°，直接写出点C 的坐标.18. 列方程（组）解应用题：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场. 现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动. 对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）. 已知A 、B 两组捐款户数的比为1 : 5.请结合以上信息解答下列问题.(1) a= ，本次调查样本的容量是 ； (2) 先求出C 组的户数，再补全“捐款户数分组统计图1”；(3) 若该社区有500户住户，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是多少？20．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，BC=2，15ABD ∠=︒，60C ∠=︒． (1) 求∠BDC 的度数；捐款户数分组统计表 组别 捐款额（x ）元 户数 A 1≤x <100 a B 100≤x <200 10 C 200≤x <300 D 300≤x <400 Ex ≥400捐款户数分组统计图1捐款户数分组统计图2(2) 求AB 的长．21．如图，AC 为⊙O 的直径，AC=4，B 、D 分别在AC两侧的圆上，∠BAD=60°，BD 与AC 的交点为E ． (1) 求点O 到BD 的距离及∠OBD 的度数； (2) 若DE=2BE ，求cos OED ∠的值和CD 的长．22. 阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD 内有一点P ，P A =5，PB =2，PC =1，求∠BPC 的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到了△BP ′A （如图2），然后连结PP ′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1) 图2中∠BPC 的度数为 ；(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且P A =132，PB =4，PC =2，则∠BPC 的度数为 ，正六边形ABCDEF 的边长为 ．图1 图2 图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程210x px q +++=的一个实数根为 2． (1) 用含p 的代数式表示q ；(2) 求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；(3) 设抛物线21y x px q =++的顶点为M ，与 y 轴的交点为E ，抛物线221y x px q =+++ 顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，点B 关于直线CH 的对称点为D ，AC 边上一点E 满足∠EDA =∠A ，直线DE 交直线CH 于点F ． (1) 求证：BF ∥AC ；(2) 若AC 边的中点为M ，求证：2DF EM =；(3) 当AB =BC 时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE 相等的线段，并证明你的结论．图1 图225．平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y轴的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB =OC ，抛物线的顶点为D ． (1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ，求点P 的坐标；(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积．北京市西城区2012年初三一模试卷数学答案及评分标准 2012. 5一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACBCBDBC二、填空题（本题共16分，每小题4分）9 10 1112 x ≥-2()223b a -13 13+-或（各2分）4，4（各2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=32133321++⨯- …………………………………………………………4分=323+．…………………………………………………………………… 5分14．解：由①得2->x ．……………………………………………………………………1分由②得x ≤37． ……………………………………………………………………3分∴ 原不等式组的解集是-2< x ≤37．………………………………………………4分 ∴ 它的非负整数解为0，1，2．………………………………………………… 5分 15.（1）证明：如图1.∵ ∠ABC=90º，D 为AB 延长线上一点，∴ ∠ABE=∠CBD=90º . …………………………………………………1分 在△ABE 和△CBD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,BD BE CBD ABE CB AB∴ △ABE ≌△CBD. …………………… 2分 （2）解：∵ AB=CB ，∠ABC=90º，∴ ∠CAB =45°. …….…………………… 3分 又∵ ∠CAE=30º，∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分∵ △ABE ≌△CBD ，∴ ∠BCD =∠BAE =15°. ……………………………………………………5分①② 图1⎪⎩⎪⎨⎧-+<-2115)1(3x x x ，≥2x -4，16. 解：原式=()()()()2a ab a b a b b a a b ++-⋅- =()22b b a +. ..….….….….….……………………3分 ∵ 2a +b =0，∴ a b 2-=. ……………………………………………………………………… 4分∴ 原式=22224)2()(a a a a =--.∵ a 不为0， ∴ 原式=41. ..….….….….……………………………………………………… 5分 17. 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点),2(m A ，∴ 2m k =，且m ＞0.∵ AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1，∴1212m ⋅⋅=. 解得 1=m . ……………………………………………………………… 1分 ∴ 点A 的坐标为)1,2(. ………………………………………………… 2分 ∴ 22k m ==. …………………………………………………………… 3分 （2）点C 的坐标为(0,3)或(0,-1). ……………………………………………… 5分 18．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品.依题意得 105.112001200+=x x . ……………………………………………………2分解得40=x . …………………………………………………………………… 3分 经检验，40=x 是原方程的解，并且符合题意． …………………………… 4分∴ 605.1=x .答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）2，50；…………………………………2分 （2）5040%20⨯=，C 组的户数为20. … 3分补图见图2． …………………………4分 （3）∵ 500(28%8%)180⨯+=，∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少 于300元的户数是180．)0(>=k x ky 图2捐款户数分组统计图1……………………………… 5分20．解：（1）∵ 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，60C ∠=︒，∴ 90ABC ∠=︒，180120ADC C ∠=︒-∠=︒． 在Rt △ABD 中，∵90A ∠=︒，15ABD ∠=︒， ∴ 75ADB ∠=︒．∴ 45BDC ADC ADB ∠=∠-∠=︒．…… 2分 （2）作BE CD ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．（如图3）在Rt △BCE 中，∵ BC=2，60C ∠=︒， ∴ sin 3BE BC C =⋅=，cos 1CE BC C =⋅=． ∵ 45BDC ∠=︒， ∴ 3DE BE ==．∴ 31CD DE CE =+=+． …………………………………………… 3分 ∵ BC DF CD BE ⋅=⋅， ∴ (31)33322CD BE DF BC ⋅+⋅+===． …………………………… 4分 ∵ AD ∥BC ，90A ∠=︒，DF BC ⊥，∴ 332AB DF +==． …………………………………………………… 5分 21．解：（1）作OF BD ⊥于点F ，连结OD ．（如图4） ∵ ∠BAD=60°，∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分 又∵OB =OD ，∴ 30OBD ∠=︒．……………………… 2分∵ AC 为⊙O 的直径，AC=4， ∴ OB= OD= 2．在Rt △BOF 中，∵∠OFB =90°， OB=2，︒=∠30OBF ， ∴ 130sin 2sin =︒=∠⋅=OBF OB OF ，即点O 到BD 的距离等于1. ………………………………………… 3分（2）∵ OB= OD ，OF BD ⊥于点F ，∴ BF=DF ．由DE=2BE ，设BE=2x ，则DE=4x ，BD=6x ，EF=x ，BF=3x ． ∵ cos303BF OB =⋅︒=，∴ 33x =， EF=33． 在Rt △OEF 中，90OFE ∠=︒，图3FEADBC 图4FE DAOCB∵ tan 3OFOED EF∠==， ∴ 60OED ∠=︒，1cos 2OED ∠=． …………………………………… 4分 ∴ 30BOE OED OBD ∠=∠-∠=︒． ∴ 90DOC DOB BOE ∠=∠-∠=︒． ∴ 45C ∠=︒．∴ 222CD OC ==． ………………………………………………… 5分 22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分（2）120°；………………………………………………………………………… 3分27 ． ……………………………………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2，∴ 22 210p q +++=．…………………………………………………… 1分 整理，得 25q p =--． …………………………………………………… 2分 （2）∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ∆=-=++=++=++， 无论p 取任何实数，都有2(4)p +≥0，∴ 无论p 取任何实数，都有 2(4)40p ++>．∴ 0∆>． ………………………………………………………………… 3分∴ 抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点．………………………… 4分（3）∵ 抛物线21y x px q =++与抛物线221y x px q =+++的对称轴相同，都为直线2px =-，且开口大小相同，抛物线221y x px q =+++可由抛物线21y x px q =++沿y 轴方向向上平移一个单位得到， （如图5所示，省略了x 轴、y 轴） ∴ EF ∥MN ，EF =MN =1．∴ 四边形FEMN 是平行四边形． ………………5分由题意得 22FEMN pS EF =⨯-=四边形．解得4p =±．………………………………………7分24．证明：（1）如图6．∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，直线DE 交直线CH 于点F ，图5y 2y 1F EN M∴ BF=DF ，DH=BH ．…………………1分 ∴ ∠1=∠2．又∵ ∠EDA =∠A ，∠EDA =∠1， ∴ ∠A ＝∠2．∴ BF ∥AC ．……………………………………………………………… 2分 （2）取FD 的中点N ，连结HM 、HN . ∵ H 是BD 的中点，N 是FD 的中点，∴ HN ∥BF ． 由（1）得BF ∥AC ， ∴ HN ∥AC ，即HN ∥EM ． ∵ 在Rt △ACH 中，∠AHC =90°， AC 边的中点为M ， ∴ 12HM AC AM ==．∴ ∠A ＝∠3． ∴ ∠EDA =∠3． ∴ NE ∥HM ．∴ 四边形ENHM 是平行四边形．……………………………………… 3分 ∴ HN=EM ．∵ 在Rt △DFH 中，∠DHF =90°，DF 的中点为N ， ∴ 12HN DF =，即2DF HN =．∴ 2DF EM =． ………………………………………………………… 4分 （3）当AB =BC 时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE 相等的线段是EF 和CE ． （只猜想结论不给分） 证明：连结CD ．（如图8）∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，∴ BC=CD ，∠ABC ＝∠5． ∵ AB ＝BC ，∴ 1802ABC A ∠=︒-∠， AB ＝CD ．① ∵ ∠EDA =∠A ，∴ 61802A ∠=︒-∠，AE =DE ．② ∴ ∠ABC ＝∠6=∠5． ∵ ∠BDE 是△ADE 的外角，图7图82012北京市西城区初三一模 数学试卷试卷与答案 第11页（共12页）∴ 6BDE A ∠=∠+∠．∵ 45BDE ∠=∠+∠，∴ ∠A ＝∠4．③由①，②，③得 △ABE ≌△DCE ．………………………………………5分 ∴ BE = CE ． ……………………………………………………………… 6分 由（1）中BF=DF 得 ∠CFE=∠BFC ．由（1）中所得BF ∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF ．∴ ∠CFE=∠ECF ．∴ EF=CE ．∴ BE=EF ． ……………………………………………………………… 7分 ∴ BE =EF =CE ．（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE =EF 或BE =CE 只得2分）25．解：（1）∵ 2244(2)y ax ax a c a x c =-++=-+，∴ 抛物线的对称轴为直线2x =．∵ 抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于 点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--．∵ OB =OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ，∴ OC =3，点C 的坐标为(0,3)．将点C 的坐标代入该解析式，解得a =1．……2分 ∴ 此抛物线的解析式为243y x x =-+．（如图9）…………………… 3分（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．∵ 1APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角， ∴ ACB B AP ∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足ACB APB ∠=∠． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．图9x y O 1D CB A2012北京市西城区初三一模 数学试卷试卷与答案 第12页（共12页） 可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上．∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．………………………………………………… 4分∴ 由勾股定理得 5EA =．∴ 15EP EA ==．∴ 点1P 的坐标为1(2,25)P +．…………………………………………… 5分由对称性得点2P 的坐标为2(2,25)P --．……………………………… 6分 ∴符合题意的点P 的坐标为1(2,25)P +、2(2,25)P --.（3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°．∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11）若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上．∵ 2QA QB -=，∴ .2''=-=-=QB QA QB QA BA作A N '⊥x 轴于点N ．∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上，∴ sin 451A N BA ''=⋅︒=，cos451BN BA '=⋅︒=．∴ 点A '的坐标为(4,1)A '．∵ 点Q 在线段BD 上，∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<．∵ QA QA '=，∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--．解得114x =． 经检验，114x =在23x <<的范围内． ∴ 点Q 的坐标为111(,)44Q -． …………………………………………… 7分 此时1115()2(1)2244QAA A AB QAB A Q S S S AB y y '''∆∆∆=+=⋅⋅+=⨯⨯+=．… 8分x yO 1F EP 1D C B A xyO Q MA'D B A N。

2012年西城区初三上学期数学期末试题及答案

2012年西城区初三上学期数学期末试题及答案

北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准2012.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案ACCBBADC二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题号 9 1011 12答案5022y x x =-60，32（1）12；（2）-4，0说明：第10题写成2(1)1y x =--不扣分；第11题每空各2分；第12题第（1）问2分，第（2）问每空各1分．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式= 232332()22+⨯-⨯ …………………………………………………3分=322+． ……………………………………………………………………5分14．解：（1）2(2)4(23)8(2)k k ∆=---=-． ……………………………………………1分∵ 该方程有两个不相等的实数根， ∴ 8(2)k -＞0．……………………………………………………………… 2分解得2k <．…………………………………………………………………… 3分 （2）当k 为符合条件的最大整数时，1k =．…………………………………… 4分此时方程化为2210x x --=，方程的根为112x =+212x =-．………5分15． 解：（1）抛物线与x 轴的交点的坐标为(5,0) (1,0)-和． ………………………2分抛物线与y 轴的交点的坐标为(05)-，． …………………………………3分 （2）245y x x =+-2(44)9x x =++-…………………………………………………………4分2(2)9x =+-． …………………………………………………………5分16．（1）证明：如图1．∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AD ∥BC ．∴ 12∠=∠． …………………………2分 又∵ ∠B =∠AED ， ∴ △ABE∽△DEA．…………………3分（2）解：∵ △ABE ∽△DEA ，∴AEABD A D E=．…………………………………………………………………4分∴ AE DE AB DA ⋅=⋅．∵ 四边形ABCD 是菱形，AB = 4，∴ AB =DA = 4．∴ 216AE DE AB ⋅==．………………………………………………………5分图117．解：（1）∵ 四边形ABCD 是矩形，AB 的长为x 米， ∴ CD=AB=x （米）．∵ 矩形除AD 边外的三边总长为36米，∴ 362BC x =-（米）．………………………………………………………1分 ∴ 2(362)236S x x x x =-=-+． ……………………………………………3分 自变量x 的取值范围是012x <<． …………………………………………4分 （说明：由0362x x <<-可得012x <<．）（2）∵222362(9)162S x x x =-+=--+，且9x =在012x <<的范围内 ，∴ 当9x =时，S 取最大值．即AB 边的长为9米时，花圃的面积最大．…………………………………5分18．解：（1）在Rt △ACD 中，90C∠=︒，AD =10，4sin 5AD C ∠=，（如图2）∴ 4sin 1085AC AD AD C =⋅∠=⨯=．……1分3c o s 1065C D A D A D C =⋅∠=⨯=． ∵ DE 垂直平分AB ，∴ 10BD AD ==．……………………………………………………………2分 ∴ 16BC C D BD =+=．………………………………………………………3分 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒， ∴ 81tan 162AC B BC===． ……………………………………………………4分（2）sin tan21cos ααα=+．（写成1cos sin αα-也可） ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）第三个和第四个正方形的位置如图3所示．…………………………………………………2分 第三个正方形中的点P 的坐标为(3,1)．……3分 （2）点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4）如图3所示．…………………………………………………4分它与x 轴所围成区域的面积等于1π+． ……………………………………5分20．解：（1）∵ 函数2y x bx c =++（x ≥0）满足当x =1时，1y =-， 且当x = 0与x =4时的函数值相等，∴ 11,2.2b c b ++=-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得 4b =-，2c =．…………………………………………………………2分 ∴ 所求的函数解析式为242y x x =-+（x ≥0）． …………………………3分 它的函数图象如图4所示．……………………………………………………4分图2图3（2）k的取值范围是22k-<≤．（如图5）……………………………………………5分21．（1）证明：连接OD．（如图6）∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2．…………………………………………………………………1分∵OA=OD，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴∠AED=90°．∴18090O D E AED∠=︒-∠=︒．…………2分∴DE⊥OD．∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．………………………3分（2）解：作OG⊥AE于点G．（如图6）∴∠OGE=90°．∴∠ODE=∠DEG=∠OGE=90°．∴四边形OGED是矩形．∴OD=GE．……………………………………………………………………4分在Rt△OAG中，∠OGA=90°，4cos5BAC∠=，设AG=4k，则OA=5k．∴GE=OD =5k．∴AE=AG+GE=9k．∵OD∥GE，∴△ODF∽△EAF．图6∴59D F O D AFAE==．……………………………………………………………5分22．解：（1）∵ 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=，∴ 222,22 3.b c a a c b a ⎧+=-⎨-=+⎩消去b 并整理，得 243c a =+．……………1分消去c 并整理，得2423b a a =--． ………2分（2）∵ 22423(3)(1)(1)4b a a a a a =--=-+=--，将4b 看成a 的函数，由函数24(1)4b a =--的性质结合它的图象（如图7所示），以及a ，b 均为非负数得a ≥3．又 ∵ a ＜5， ∴ 3≤a ＜5．……………………………………………………………………3分 ∵ 224()63(3)12b a a a a -=--=--，将4()b a -看成a 的函数，由函数24()(3)12b a a -=--的性质结合它的图象（如图8所示）可知，当3≤a ＜5时，4()0b a -<．∴ b ＜a ． ……………………………………………4分∵ 24()43(1)(3)c a a a a a -=-+=--，a ≥3， ∴ 4()c a -≥0．∴ c ≥a ．∴ b ＜a ≤c ． ………………………………………5分阅卷说明：“b ＜a ，b ＜c ，a ≤c ”三者中，先得出其中任何一个结论即可得到第4分，全写对得到5分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）令0y =，则 2(2)20kx k x +--=． 整理，得 (1)(2)0x kx +-=． 解得 11x =-，22x k=．∴ 该抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-，2(,0)k． ………………………2分抛物线2(2)2y kx k x =+--的顶点坐标为2244(,)24k k k kk-++-． ………3分（2）|n |的最小值为 2 ． …………………………………………………………4分（3）平移后抛物线的顶点坐标为214(,)4k k k k+-．…………………………………5分由1,14x kk y ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得 114y x =--． ∴ 所求新函数的解析式为114y x=--．…………………………………7分图7 图824．解：（1）与△ABM相似的三角形是△NDA，2BM DN a⋅=；……………………2分（2）由（1）△ABM∽△NDA可得BM ABD A N D=．（如图9）………………3分∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC，DA= BC，90ABC BC D AD C BAD∠=∠=∠=∠=︒．∴BM D C BC N D=．∵BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，∴45C BM ND C∠=∠=︒．∴△BCM∽△DNC．…………………………………………………………4分∴BC M D N C∠=∠．∴360M C N BC D BC M D C N∠=︒-∠-∠-∠270()270(180)D N C D C N C D N=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒．………5分（3）线段BM，DN和MN之间的等量关系是222BM DN M N+=．（只猜想答案不证明不给分）证法一：如图9，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．则△ABF≌△ADN．…………………………………………………6分∴13∠=∠，AF=AN，BF=DN，AFB AN D∠=∠．∴122345M AF BAD M AN∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒．∴M AF M AN∠=∠．又∵AM= AM，∴△AMF≌△AMN．∴MF=MN．可得(1)45(3)4590MBF AFB AND∠=∠+∠+︒=∠+∠+︒=︒．∴在Rt△BMF中，222BM BF FM+=．∴222BM DN MN+=．…………………………………………7分证法二：连接BD ，作ME ∥BD ，与DN 交于点E ．（如图10）可知45BD C ∠=︒，90BD N ∠=︒．……………………………………6分 ∵ ME ∥BD ，∴ 18090M EN BD N ∠=︒-∠=︒． ∵ 90D BM D BC C BM ∠=∠+∠=︒， ∴ 四边形BDEM 是矩形． ∴ ME =BD ，BM =DE ．在Rt △MEN 中，90M EN ∠=︒，∴ 22222()MN ME EN BD DN DE =+=+-2222(2)()2()a DN BM a DN BM =+-=+-2222()BM DN DN BM BMDN =⋅+-=+．……………………7分25．解：（1）图2中的m =13．……………………………………………………………1分（2）∵ 图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形，点D 的坐标为(,12)D m ，∴ 12E D y y ==，此时原题图1中点P 运动到与点B 重合，∵ 点B 在x 轴的正半轴上，∴ 1131222BO C C S O B y O B ∆=⨯⨯=⨯⨯=．解得 8O B =，点B 的坐标为(8,0)． ………………………………………2分此时作AM ⊥OB 于点M ，CN ⊥OB 于点N ．（如图12）．∵ 点C 的坐标为(,3)C n -， ∴ 点C 在直线3y =-上．又由图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形可知图12中的点C 在过点O 与AB 平行的直线l 上，∴ 点C 是直线3y =-与直线l 的交点，且ABM C O N ∠=∠． 又∵ 3A C y y ==，即AM= CN ，可得△ABM ≌△CON ．∴ ON=BM=6，点C 的坐标为(6,3)C -．……………………………………3分 ∵ 图12中 22223635AB AMBM=+=+=．∴ 图11中35DE =，221335D O F x D E =+=+． …………………4分（3）①当点P恰为经过O，B两点的抛物线的顶点时，作PG⊥OB于点G．（如图13）∵O，B两点的坐标分别为(0,0)O，(8,0)B，∴由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4，即OG=BG=4．由3tan6AM PGABMBM BG∠===可得PG=2．∴点P的坐标为(4,2)P．………………5分设抛物线W的解析式为(8)y ax x=-（a≠0）．∵抛物线过点(4,2)P，∴4(48)2a-=．解得18a=-．∴抛物线W的解析式为218y x x=-+．…………………………………6分②如图14．i）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的边时，∵点Q在直线1y=-上方的抛物线W上，点P为抛物线W的顶点，结合抛物线的对称性可知点Q只有一种情况，点Q与原点重合，其坐标为1(0,0)Q．……………………………………7分ii）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的对角线时，可知BP的中点的坐标为(6,1)，BP的中垂线的解析式为211y x=-．∴点2Q的横坐标是方程212118x x x-+=-的解．将该方程整理得28880x x+-=．解得4226x=-±．由点Q在直线1y=-上方的抛物线W上，结合图14可知点2Q的横坐标为2264-．∴点2Q的坐标是2(2264,42619)Q--．…………………………8分综上所述，符合题意的点Q的坐标是1(0,0)Q，2(2264,42619)Q--．图13图14。

【VIP专享】2012-2013年西城区初三年级第一学期期末数学试题及答案

【VIP专享】2012-2013年西城区初三年级第一学期期末数学试题及答案

B．2∶5
D．25∶4
外接圆的直径，EF=4，AD⊥GH，EF⊥GH，则图中阴影部分的面积是
A．π
C．3π
B．2π
D．4π
6．袋子里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是红色的，一枚是绿色的．从中随H 机同时摸出两
枚，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是
A． 1 4
B． 1 2
7．如图，直线 y 4 x 4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点，
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．二次函数 y (x 1)2 2 的最小值是
A． 1
B．1
2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC＝40°，则∠AOC 的度数为
A．20°
C．60°
3．两圆的半径分别为 2 和 3，若圆心距为 5，则这两圆的位置关系是
D．2
D．内切
4
D.
D． 1 3
3
Hale Waihona Puke 32013.1A O
灯泡 三角尺
E
G A
B
O
A'
影子 D F
C
二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．扇形的半径为 9，且圆心角为 120°，则它的弧长为_______.
10．已知抛物线 y x2 x 3 经过点 A(2，y1 ) 、 B(3，y2 ) ，则 y1 与 y2 的大小关系是_______．
考生须知
北京市西城区 2012—2013 学年度第一学期期末试卷（南区）
九年级数学
1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 3．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作 答。

西城区初三一模数学试题及答案.doc

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参考答案一、选择题ACAB CCDB二、填空题 9.2(3)y x - 10.8 11.①③ 12.5；5n三、解答题13.12-14.－3＜x ≤1；3x =不是其解 15.2y x =-+；1AOP S =16.略17.由根的判别式得22b a =，代入原式化简得2 18.（1）300；60；99；132；9 （2）72°19.抢险车20km/时，吉普车30km/时。

注意分式方程要检验20.（1）BN=5；（2）163(25)922S =+⨯=21.（1）连接BO ，证明略；（2）易证△ABO 为正三角形，于是∠E=∠C=30°，所以△BFE ∽△AFC由cos ∠BFA=23BF AF =设△AOC 面积为S ，因此有239()824S ==，解得S=18 22.（1）1:2；121 （2）正三角形、正六边形 （3）如图A 3A 2A 1A23.略24.（1）30°；60°(2)2182y x =-+；（3）5个；222(3,)33；222(3,)33-；416(3,)33- 25.（1）如图，PEFC ABD过点E 作EF ⊥AE ，使EF=BD ，构造全等三角形，易证△DCA ≌△AEF （SAS ）从而△AFD 是等腰直角三角形 再利用四边形EFDB 是平行四边形得EB ∥FD ，于是∠APE=∠ADF=45° （2）如图FPEDCAB方法同（1），构造相似，判断含30°的直角三角形，从而得∠APE 是30°注：本试卷答案仅为参考答案，系本人仓促间所作，错漏之处请批评指正。

另外本人对23题存有异议，故答案暂略。

北京市西城区初三数学一模

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C．﹣B C．∴正面都朝上的概率是：．5．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D=40°，则∠A的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°考点：切线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．思路：已知给出了CD是圆的切线，所以连接OC，根据切线的性质求出∠OCD，求出∠COD，求出∠A=∠OCA，根据三角形的外角性质求出即可．步骤：解：连接OC，∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠D=40°，∴∠COD=180°﹣90°﹣40°=50°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵∠A+∠OCA=∠COD=50°，∴∠A=25°．故选B．总结：本题考查了对三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的熟练应用．6．某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法中错误的是（）A．众数是9 B．中位数是9C．平均数是9 D．锻炼时间不低于9小时的有14人考点：折线统计图；算术平均数；中位数；众数．思路：众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．平均数是所有数的和除以所有数的个数，D选项从折线统计图中分析数据可得18+10+4=32（人）．步骤：解：由图可知，锻炼9小时的有18人，所以9在这组数中出现18次为最多，所以众数是9．把数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位是9，所以中位数是9．平均数是（7×5+8×8+9×18+10×10+11×4）÷45=9，所以平均数是9．锻炼时间不低于9小时的有18+10+4=32，故D错误．故选D．总结：此题主要考查折线统计图的信息分析能力，以及平均数、中位数、众数定义的熟练掌握．7．由n个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如图所示，则n的最大值是（）A．16 B．18 C．19 D．20考点：由三视图判断几何体．思路：根据主视图是从物体正面看、俯视图是从上面看，根据口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”，即可求出答案．步骤：解：由俯视图知，最少有7个立方块，∵由正视图知在最左边前后两层每层3个立方体，中间3个每层2个立方体和最右边前两排每层3个立方体，∴n的最大值是：3×2+3×2+3×2=18，故选：B．总结：此题主要考查了由三视图判断几何体中小方块的数量的能力．∵二次函数y=ax2+bx+c都可以化成y=a（x﹣m）2+n形式，其中m=﹣，n=，是解答此题的关键．9．函数y=中，自变量x的取值范围是．考点：函数自变量的取值范围．思路：二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数．步骤：解：根据题意得：x+2≥0，解得x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．总结：本题主要考查了二次根式中，自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．11．如图，正方形ABCD的面积为3，点E是DC边上一点，DE=1，将线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上，落点记为F，则FC的长为．考点：旋转的性质；勾股定理；正方形的性质．思路：已知“正方形的面积为3“，所以AD=，而DE=1，在Rt△ADE中，由勾股定理得AE=2，由旋转的性质可知，AF=AE=2，再由勾股定理求BF，得出FC，由于F点在直线BC上，故F点在线段BC上或在线段CB的延长线上．步骤：解：如图，∵正方形ABCD的面积为3，∴AB=BC=AD=，在Rt△ADE中，由勾股定理得AE==2，由旋转的性质可知，AF=AE=2，在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF===1，则FC=BC﹣BF=﹣1，当F点在CB延长线上时，BF′=+1，故答案为：﹣1或+1．总结：本题考查了对旋转的性质、勾股定理及正方形的性质的熟练掌握．关键是利用勾股定理求线段长，12．如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B与点C重合，折痕与AB、BC的交点分别为D、E．（1）DE的长为；（2）将折叠后的图形沿直线AE剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于．考点：翻折变换（折叠问题）．思路：（1）根据图形折叠的性质可知：DE是线段BC的垂直平分线，易证得DE∥AC，即DE是△ABC 的中位线，即可求得DE的长；（2）首先证明△AOC∽△EOD，可由DE∥AC，DE=AC证得。

20120503西城初三数学一模答案

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北京市西城区2012年初三一模试卷数学答案及评分标准 2012. 5三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=32133321++⨯- …………………………………………………………4分 =323+．…………………………………………………………………… 5分14．解：由①得2->x ．……………………………………………………………………1分由②得x ≤37． ……………………………………………………………………3分∴ 原不等式组的解集是-2< x ≤37．………………………………………………4分∴ 它的非负整数解为0，1，2．………………………………………………… 5分 15.（1）证明：如图1.∵ ∠ABC=90º，D 为AB 延长线上一点，∴ ∠ABE=∠CBD=90º . …………………………………………………1分 在△ABE 和△CBD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,BD BE CBD ABE CB AB∴ △ABE ≌△CBD. …………………… 2分 （2）解：∵ AB=CB ，∠ABC=90º，∴ ∠CAB =45°. (3)分 又∵ ∠CAE=30º，∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分∵ △ABE ≌△CBD ，∴ ∠BCD =∠BAE =15°. ……………………………………………………5分⎪⎩⎪⎨⎧-+<-215)1(3x x x ≥2x -4，16. 解：原式=()()()()2a a b a b a b b a a b ++-⋅- =()22b b a +. ..….….….….….……………………3分 ∵ 2a +b =0，∴ a b 2-=. ……………………………………………………………………… 4分∴ 原式=22224)2()(aa a a =--. ∵ a 不为0，∴ 原式=41. ..….….….….……………………………………………………… 5分17. 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点),2(m A ，∴ 2m k =，且m ＞0.∵ AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1，∴1212m ⋅⋅=. 解得 1=m . ……………………………………………………………… 1分 ∴ 点A 的坐标为)1,2(. ………………………………………………… 2分 ∴ 22k m ==. …………………………………………………………… 3分 （2）点C 的坐标为(0,3)或(0,-1). ……………………………………………… 5分 18．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品.依题意得 105.112001200+=x x . ……………………………………………………2分解得40=x . …………………………………………………………………… 3分 经检验，40=x 是原方程的解，并且符合题意． …………………………… 4分∴ 605.1=x .答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）2，50；…………………………………2分 （2）5040%20⨯=，C 组的户数为20. … 3分补图见图2． …………………………4分 （3）∵ 500(28%8%)180⨯+=，∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少 于300元的户数是180．……………………………… 5分20．解：（1）∵ 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，60C ∠=︒，∴ 90ABC ∠=︒，180120ADC C ∠=︒-∠=︒． 在Rt △ABD 中，∵90A ∠=︒，15ABD ∠=︒， ∴ 75ADB ∠=︒．B)0(>=k x ky∴ 45BDC ADC ADB ∠=∠-∠=︒．…… 2分 （2）作BE CD ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．（如图3）在Rt △BCE 中，∵ BC=2，60C ∠=︒， ∴sin BE BC C =⋅cos 1CE BC C =⋅=． ∵ 45BDC ∠=︒， ∴DE BE =∴1CD DE CE =+． …………………………………………… 3分 ∵ BC DF CD BE ⋅=⋅， ∴CD BE DF BC ⋅==． …………………………… 4分 ∵ AD ∥BC ，90A ∠=︒，DF BC ⊥，∴AB DF ==． …………………………………………………… 5分 21．解：（1）作OF BD ⊥于点F ，连结OD ．（如图4） ∵ ∠BAD=60°，∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分 又∵OB =OD ，∴ 30OBD ∠=︒．……………………… 2分∵ AC 为⊙O 的直径，AC=4， ∴ OB= OD= 2．在Rt △BOF 中，∵∠OFB =90°， OB=2，︒=∠30OBF ， ∴ 130sin 2sin =︒=∠⋅=OBF OB OF ，即点O 到BD 的距离等于1. ………………………………………… 3分（2）∵ OB= OD ，OF BD ⊥于点F ，∴ BF=DF ．由DE=2BE ，设BE=2x ，则DE=4x ，BD=6x ，EF=x ，BF=3x ． ∵cos30BF OB =⋅︒=∴x =． 在Rt △OEF 中，90OFE ∠=︒， ∵tan OFOED EF∠=∴ 60OED ∠=︒，1cos 2OED ∠=． …………………………………… 4分 ∴ 30BOE OED OBD ∠=∠-∠=︒． ∴ 90DOC DOB BOE ∠=∠-∠=︒． ∴ 45C ∠=︒．∴CD = ………………………………………………… 5分 22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分图4AC（2）120°；………………………………………………………………………… 3分． ……………………………………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2，∴ 22 210p q +++=．…………………………………………………… 1分 整理，得 25q p =--． …………………………………………………… 2分 （2）∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ∆=-=++=++=++， 无论p 取任何实数，都有2(4)p +≥0，∴ 无论p 取任何实数，都有 2(4)40p ++>．∴ 0∆>． ………………………………………………………………… 3分∴ 抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点．………………………… 4分（3）∵ 抛物线21y x px q =++与抛物线221y x px q =+++的对称轴相同，都为直线2px =-抛物线221y x px q =+++可由抛物线21y x =沿y 轴方向向上平移一个单位得到， （如图5所示，省略了x 轴、y 轴） ∴ EF ∥MN ，EF =MN =1．∴ 四边形FEMN 是平行四边形． ………………由题意得 22FEMN pS EF =⨯-=四边形．解得4p =±．………………………………………724．证明：（1）如图6．∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，直线DE 交直线CH 于点F ，∴ BF=DF ，DH=BH ．…………………1分 ∴ ∠1=∠2．又∵ ∠EDA =∠A ，∠EDA =∠1， ∴ ∠A ＝∠2．∴ BF ∥AC ．……………………………………………………………… 2分 （2）取FD 的中点N ，连结HM 、HN . ∵ H 是BD 的中点，N 是FD 的中点，∴ HN ∥BF ． 由（1）得BF ∥AC ， ∴ HN ∥AC ，即HN ∥EM ． ∵ 在Rt △ACH 中，∠AHC =90°， AC 边的中点为M ，21∴ 12HM AC AM ==．∴ ∠A ＝∠3． ∴ ∠EDA =∠3． ∴ NE ∥HM ．∴ 四边形ENHM 是平行四边形．……………………………………… 3分 ∴ HN=EM ．∵ 在Rt △DFH 中，∠DHF =90°，DF 的中点为N ， ∴ 12HN DF =，即2DF HN =．∴ 2DF EM =． ………………………………………………………… 4分 （3）当AB =BC 时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF 和CE ． （只猜想结论不给分） 证明：连结CD ．（如图8）∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，∴ BC=CD ，∠ABC ＝∠5． ∵ AB ＝BC ，∴ 1802ABC A ∠=︒-∠， AB ＝CD ．① ∵ ∠EDA =∠A ，∴ 61802A ∠=︒-∠，AE =DE ．② ∴ ∠ABC ＝∠6=∠5． ∵ ∠BDE 是△ADE 的外角， ∴ 6BDE A ∠=∠+∠． ∵ 45BDE ∠=∠+∠， ∴ ∠A ＝∠4．③由①，②，③得 △ABE ≌△DCE ．………………………………………5分 ∴ BE = CE ． ……………………………………………………………… 6分 由（1）中BF=DF 得 ∠CFE=∠BFC ． 由（1）中所得BF ∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF ． ∴ ∠CFE=∠ECF ． ∴ EF=CE ．∴ BE=EF ． ……………………………………………………………… 7分 ∴ BE =EF =CE ．（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE =EF 或BE =CE 只得2分）25．解：（1）∵ 2244(2)y ax ax a c a x c =-++=-+，∴ 抛物线的对称轴为直线2x =．∵ 抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--． ∵ OB =OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ， ∴ OC =3，点C 的坐标为(0,3)．将点C 的坐标代入该解析式，解得a =1．……2分∴ 此抛物线的解析式为243y x x =-+．（如图9）…………………… 3分（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．∵ 1APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角， ∴ ACB B AP ∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足ACB APB ∠=∠． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上．∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．………………………………………………… 4分∴ 由勾股定理得 EA =∴ 1EP EA =．∴ 点1P 的坐标为1(2,2P +．…………………………………………… 5分由对称性得点2P 的坐标为2(2,2P -． ……………………………… 6分∴符合题意的点P 的坐标为1(2,2P 、2(2,2P -. （3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°． ∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11） 若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上．∵ QA QB -∴ .2''=-=-=QB QA QB QA BA 作A N '⊥x 轴于点N ．∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上， ∴ sin 451A N BA ''=⋅︒=，cos 451BN BA '=⋅︒=． ∴ 点A '的坐标为(4,1)A '． ∵ 点Q 在线段BD 上，∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<． ∵ QA QA '=，∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--．解得114x =． 经检验，114x =在23x <<的范围内．∴点Q的坐标为111(,)44Q-．…………………………………………… 7分此时1115()2(1)2244 QAA A AB QAB A QS S S AB y y'''∆∆∆=+=⋅⋅+=⨯⨯+=．… 8分图11。

北京市2012年初三一模试卷汇编函数

北京市2012年初三一模试卷汇编函数

北京市2012年初三一模试卷汇编函数西城1.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2．E 、F 分别是射线AC 、CB 上的动点，且AE ＝BF ，EF 与AB 交于点G ，EH ⊥AB 于点H ，设AE ＝x ，GH ＝y ，下面能够反映y 与x 之间函数关系的图象是( )GH F ACBE yxxyyxyxDCBAOOOO2.如图，点P 在双曲线(0)k y k x=≠上，点(12)P '，与点P 关于y 轴对称，则此双曲线的解析式为．3.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM ＝MN ，则点M 的坐标为______________．O 1 2yx(12)P '，P x yO ABCMN4.已知：如图，A 点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B 点坐标为()03，．（1）求过A B ，两点的直线解析式；（2）过B 点作直线BP 与x 轴交于点P ，且使2O P O A =，求ABP ∆的面积．11BAOy x房山5.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =30°，∠B =60°，AD ＝32，CD =2，点P是线段AB 上一个动点，过点P 作PQ ⊥AB 于P ，交其它边于Q ，设BP 为x ，△BPQ 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）．xy 6312Oxy 6312OA Bxy 6312O x y 6312OC D6.已知：反比例函数xk y 1=（01≠k ）的图象与一次函数b x k y +=2（02≠k ）的图象交于点A (1，n )和点B (－2，－1)． ⑴求反比例函数和一次函数解析式；⑵若一次函数b x k y +=2的图象与x 轴交于点C ，P 是x 轴上的一点，当△ACP 的面积为3时，求P 点坐标．Q BCDAP 第8题图平谷7.如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象交于(31)(2)A B n -，，，两点，分别交x 轴、y 轴于D C ，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出点C 、D 的坐标． 解：（1）石景山8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，点P 以每秒一个单位的速度沿着B—C —A 运动，⊙P 始终与AB 相切，设点P 运动的时间为t ，⊙P 的面积为y ，则y 与t 之间的函数关系图像大致是9.已知一次函数b kx y +=的图像经过点A (1，0)和B ()a a -，3（0>a ），且点B 在反比例函数xy 3-=的图像上．（1）求一次函数的解析式；（2）若点M 是y 轴上一点，且满足△ABM 是直角三角形，请直接写出点M 的坐标．xyABOD CA B C D t ° ° ° ° ° ° ° ．t O y O yO yt O yt PC BA 第8题图（元）O75(km)42y x 10.小明从A 地出发向B 地行走，同时晓阳从B 地出发向A 地行走，如图所示，相交于点M 的两条线段12l l 、分别表示小明、晓阳离A 地的距离y （千米）与已用时间x （分钟）之间的关系，（1）小明与晓阳相遇时，晓阳出发的时间是 ； （2）求小明与晓阳的速度。

2012-2013学年北京市西城区九年级上学期期末考试数学试.

2012-2013学年北京市西城区九年级上学期期末考试数学试.

北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷（南区九年级数学2013.1E本试卷扶6页，共五道人题* 25道小题，满分12Q分樹考试时间120分钟°2. 试題答案律填涂或昔耳在答题卡上，在试卷上作答无效。

3. 在答题卡上，选择题、作图题用筮铅笔作答，其彳也试题用黑色字迹签字笔作答■一、选择题（本题共32分,每小题4分下面各题均有四个选项，其中只有一个••是符合题意的• 1.二次函数21（2+-=x y 的最小值是A .1-B .1C .2-D .2 2.如图,O O是厶ABC的外接圆，若/ ABC =40°则/ AOC的度数为A .20 B .40 ° .60 D .80 3.两圆的半径分别为2和3若圆心距为5,则这两圆的位置关系是A .相交B .外离C .外切D21. 本试卷共62. 试题答案一轉3. 在答题A 匕4. 三角尺在灯泡0的照射下在墙上形成的影子如图所示.若20cm 50cm O A OA '==,,则这个三角尺的周长 与它在墙上形成的影子的周长的比是A .5 : 2B .2 : 5C .4 : 25D .25 : 4本i 2* i£i I 3. ■ 5. 如图，正方形ABCD 的内切圆和外接圆的圆心为 O,EF 与GH 是此外接圆的 直径,EF =4,AD 丄GH ,EF 丄GH ,则图中阴影部分的 面积是A . nB .2 nC .3 nD .4 n6. 袋子里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是红色的，一枚是绿色的.从 中随机同时摸出两枚，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是 A .41 B . 考生須知考生须知1 C .32 D .317. 如图，直线44y x =-+与x轴、y轴分别交于A、B两点,△ AOB绕点A顺时针旋转90后得到△ A O B '',则点B的对应点B '的坐标为A .(3,4 B .(7,4 C .(7,3 D .(3,78如图,△ ABC中，/ B =60 °Z ACB =75°,点D是BC边上一个动点，以AD为直径作。

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北京市西城区2012年初三一模试卷
数 学 2012. 5
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的． 1．6-的相反数是
A ．6
B ．6-
C ．16
- D ．16 2．国家体育场“鸟巢”建筑面积达258 000平方米，258 000用科学记数法表示应为
A ．2.58×103
B ．25.8×104
C ．2.58×105
D ．258×103
3．正五边形各内角的度数为
A ．72°
B ．108°
C ．120°
D ．144°
4．抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是 A ．21 B ．31 C ．41 D ．5
1 5．如图，过O ⊙上一点C 作O ⊙的切线，交O ⊙直径AB 的
延长线于点D . 若∠D =40°，则∠A 的度数为
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．40°
6．某班体育委员统计了全班45名同学一周的
体育锻炼时间(单位：小时)
，并绘制了如图
所示的折线统计图，下列说法中错误．．
的是 A ．众数是9
B ．中位数是9
C ．平均数是9
D ．锻炼时间不低于9小时的有14人
7．由n 个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如下所示，则n 的最大值是
A ．16
B ．18
C ．19
D ．20
8．对于实数c 、d ，我们可用min{ c ，d }表示c 、d 两数中较小的数，如min{3，1-}=1-.
若关于x 的函数y = min{22x ，2()a x t -}的图象关于直线3x =对称，则a 、t 的值可能是
A ．3，6
B ．2，6-
C ．2，6
D ．2-，6
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．函数2+=x y 中，自变量x 的取值范围是 ．
10．分解因式：2212123b ab a +-= ．
11．如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 是DC 边上一点，DE =1，
将线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上，落点记为F ，
则FC 的长为 .
12．如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB =90°，AC=8，BC =6．
折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别
为D 、E . (1) DE 的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线
AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：12)21(30tan 3201+-+︒--．
14．解不等式组 并求它的所有的非负整数解.
15．如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90º，D 为AB 延长线
上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC .
(1) 求证：△ABE ≌△CBD ；
(2) 若∠CAE=30º，求∠BCD 的度数.
⎪⎩⎪⎨⎧-+<-21 15)1(3x x x ，≥2x -4，
16．已知20a b +=，其中a 不为0，求22222b a ab
a b ab
a --÷+的值.
17. 平面直角坐标系xOy 中，反比例函数 的图象经过点),2(m A ，过点A 作 AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1.
(1) 求m 和k 的值；
(2) 若过点A 的直线与y 轴交于点C ，且∠ACO =45°，直接写出点C 的坐标.
18. 列方程（组）解应用题：
为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场. 现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19. 为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动. 对社区部分
捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）. 已知A 、B 两组捐款户数的比为1 : 5.
(1) a= ，本次调查样本的容量是 ；
(2) 先求出C 组的户数，再补全“捐款户数分组统计图1”；
(3) 若该社区有
500户住户，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数
是多少？
)0(>=k x k y 捐款户数分组统计表 捐款户数分组统计图2
20．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，BC=2，
15ABD ∠=︒，60C ∠=︒．
(1) 求∠BDC 的度数；
(2) 求AB 的长．
21．如图，AC 为⊙O 的直径，AC=4，B 、D 分别在AC
两侧的圆上，∠BAD=60°，BD 与AC 的交点为E ．
(1) 求点O 到BD 的距离及∠OBD 的度数；
(2) 若DE=2BE ，求cos OED ∠的值和CD 的长．
22. 阅读下列材料：
问题：如图1，在正方形ABCD 内有一点P ，P A =5，的度数．
小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到了△BP ′A （如图2），然后连结PP ′．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：
(1) 图2中∠BPC 的度数为 ；
(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且P A =132，PB =4，PC =2，则∠BPC
的度数为 ，正六边形ABCDEF 的边长为 ．
图1 图2 图3
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. 已知关于x 的一元二次方程210x px q +++=的一个实数根为 2．
(1) 用含p 的代数式表示q ；
(2) 求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；
(3) 设抛物线21y x px q =++的顶点为M ，与 y 轴的交点为E ，抛物线221y x px q =+++ 顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．
24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，点B 关于直线CH 的对
称点为D ，AC 边上一点E 满足∠EDA =∠A ，直线DE 交直线CH 于点F ．
(1) 求证：BF ∥AC ；
(2) 若AC 边的中点为M ，求证：2DF EM =；
(3) 当AB =BC 时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有
与BE 相等的线段，并证明你的结论．
图1 图2
25．平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y
轴的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB =OC ，抛物线的顶点为D ．
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ，求点P 的坐标；
(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，
求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积．。

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