最新 (人教A版)数学【选修2-2】2-3《数学归纳法》ppt课件

二
归纳、猜想、证明
【例2】
已知数列{an}中，a2＝a＋2(a为常数)，Sn是{an}
的前n项和，且Sn是nan与na的等差中项． (1)求a1，a3； (2)猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明． 【分析】 由Sn是nan与na的等差中项及a2＝a＋2可求a1，
a3，再猜出an，进而用数学归纳法证明．
1 ＝2k(3k－1)＋3k＋1 1 2 ＝2(3k ＋5k＋2) 1 ＝2(k＋1)(3k＋2) 1 ＝2(k＋1)[3(k＋1)－1]． 即n＝k＋1时等式也成立． 综上，由(1)与(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．
规律技巧
用数学归纳法证明数学命题，关键要看两个步
骤是否齐全，特别是第二步的归纳假设是否被利用，若没有利 用归纳假设，那就不正确.
【证明】 (1)当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除，命题 成立． (2)假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)· 7k－1能被9整除，那 么当n＝k＋1时， [3(k＋1)＋1]· 7k 1－1＝[(3k＋1)＋3]· 7· 7k－1
＋
＝7· (3k＋1)· 7k－1＋21×7k ＝[(3k＋1)· 7k－1]＋6(3k＋1)· 7k＋21×7k ＝[(3k＋1)· 7k－1]＋18k· 7k＋27×7k.
2．对数学归纳法的步骤的理解 用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的．如果 只有步骤(1)而缺少步骤(2)，作出的判断可能是错误的，单靠 步骤(1)也无法递推下去．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也 可能得出不正确的结论．例如，假设n＝k时，等式 2＋4＋6＋„＋2n＝n2＋n＋1成立，就是 2＋4＋6＋„＋2k＝k2＋k＋1. 那么2＋4＋6＋„＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k ＋1)2＋(k＋1)＋1.
第二章
推理与证明
§2.3 数学归纳法
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的 数学命题.
课前热身 数学归纳法只适用于与__________有关的命题，其步骤 为： (1)(归纳奠基)__________； (2)(归纳递推)假设__________时命题成立，证明 __________命题也成立． 只有完成这两步骤，就可断定，命题对从n0开始的所有正 整数n都成立.
自 我 校 对
正整数
(1)证明n取第一个值n0(n0∈N*)时命题 成立
(2)n＝k(k≥n0，k∈N*) 当n＝k＋1时
名师讲解 1.如何正确运用数学归纳法 用数学归纳法证明数学命题关键在于：“递推基础不可 少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”． 因此，必须做到以下三点： (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是找到一个n0，这个 n0是使命题成立的最小正整数，并不一定是1，因此找准起 点．奠基要稳，这是第一步要解决的问题．
这就是说，如果n＝k时等式成立，那么n＝k＋1时等式也 成立，但仅根据这一步，就得出等式对任何n∈N*都成立的结 论，那么就错了，事实上，当n＝1时，等式就不成立，因此， 数学归纳法的两个步骤缺一不可．
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
一
证明恒等式
1 2
【例1】 用数学归纳法证明1＋4＋7＋„＋(3n－2)＝ n(3n－1)(n∈N*)． 【分析】
∴2ak＋1＝(ak＋1＋a)(k＋1)－(ak＋a)· k. ∴(k－1)ak＋1＝kak－a. k a 当k≥2时，ak＋1＝ a－ ， k－1 k k－1 将ak＝a＋2(k－1)代入，得
k a ak＋1＝ [a＋2(k－1)]－ k－1 k－1 k－1a＋2kk－1 ＝ k－1 ＝a＋2[(k＋1)－1]． ∴当n＝k＋1时，等式也成立． 综上由①，②知，对任意n∈N*，等式an＝a＋2(n－1)都成 立．
(2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从k到k＋1的过程，必 须把假设作为条件，还可以利用已经学过的定义、定理、公 式、方法等进行证明n＝k＋1时，命题也成立．
(3)正确寻找递推关系 在数学归纳法中的第二步至关重要，如何找到从n＝k到n ＝k＋1的递推关系呢？ ①在第一步中验证n＝n0时，不妨多计算几项，这样对发 现递推关系可能有帮助． ②在有关数列、几何问题中，可以列举n取前几个值时的 变化情况发现规律或用f(k＋1)－f(k)看n从k到k＋1增加了哪些 项，减少了哪些项，都要分析清楚，在推导过程中要把步骤写 完整，注意证明过程中的பைடு நூலகம்谨性、规范性．
【解】
(1)由已知2Sn＝nan＋na＝n(an＋a)．
当n＝1时，S1＝a1，所以2a1＝a1＋a，即a1＝a； 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3，所以有 2(a1＋a2＋a3)＝3(a3＋a)， ∵a2＝a＋2，a1＝a， ∴a3＝a＋4.
(2)由a1＝a，a2＝a＋2，a3＝a＋4， 猜想：an＝a＋2(n－1)． 证明：①当n＝1时，左边＝右边，等式成立； 当n＝2时，a2＝a＋2，知等式也成立． ②假设n＝k(k≥2)时，等式成立， 即ak＝a＋2(k－1)． 那么当n＝k＋1时， ak＋1＋a ak＋a ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ (k＋1)－ · k， 2 2
按数学归纳法的解题步骤进行证明，要清楚等
式两边的结构，特别当n＝1时，等式两边分别是什么？当n＝k 到n＝k＋1等式两边发生了什么变化，这是解题的关键．
【证明】 (1)当n＝1时，左边＝3×1－2＝1，右边＝ ×1×(3×1－1)＝1，等式成立．
1 2
1 (2)假设n＝k时，等式成立，即1＋4＋7＋„＋(3k－2)＝ 2 k(3k－1)，那么当n＝k＋1时，有 1＋4＋7＋„＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]
规律技巧 此类题在考试中经常出现，它是考查探究归纳 能力的好素材，应切实掌握.
三
与自然数有关的应用问题
【例3】
(整除问题)用数学归纳法证明：(3n＋1)· 7n－1(n
∈N*)能被9整除． 【分析】 成立； (2)假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立． 按照数学归纳法证明步骤：(1)先证n＝1时命题