第5章波动学基础

量纲!
Y
T为绳索或弦线中张力;
为质量线密度
ul
* 细长的棒状媒质中纵波波速为
Y 为媒质的杨氏弹性模量; 为质量密度

G * 各向同性均匀固体媒质横波波速 u t G为媒质的切变弹性模量; 为质量密度
在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。
震中
26
*
5.3 平面波的动力学方程 p172—177(不要求)
质量为 m 的媒质其动能为：
2
x y A cos[ (t )] u x y A sin[ (t )] u
1 x y 1 2 2 2 Wk m VA sin [ (t )] 2 2 u t 以棒内传播纵波为例讨论弹性势能：
2 2 2x y A cos( t ) T 2
0

u
X
21
0 0.2m 0.4m
2 2x y A cos( t ) T 2
0.4 10 cos(100t 5x 2) (m)
2
因为：
y ( x, t ) x v y A sin[ (t ) ] t u 2
10
惠更斯原理 1. 惠更斯原理
• 媒质中波传到的各点,都可看作开始发射子波的 子波源 (点波源)。 • 在以后的任一时刻, 这些子波面的包络面就是 实际的波在该时刻的波前 。 2. 应用 :
t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向
11
t 时刻波面
· · · · ·
t+t时刻波面
波传播方向
y x 1 y A 2 cos[ (t ) 0 ] 2 2 2 x u u u t 2 2 动平 y 1 y 力面 2 学波 2 2 x u t 方动
2 2 2
程的
见书 P173 式(5.3.6)和(5.3.12) 27
§5-4 波的能量和能流 1.波的能量 有一行波： 质元的振动速度:
波面
8
波速—单位时间某种一定的振动状态(或振动相位) ，也称之相速 。 所传播的距离称为波速 u
频率—单位时间内质点振动的次数
1 T
u
uT
u
1点的振动频率。
——表示波在时间上的周期性
——表示波在空间的周期性
通过波速 u 联系起来
波线（或波射线) —波的传播方向称之为波射线或波线。
波面（或相面、波阵面） —某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称为 波面。 波前—某时刻处在最前面的波面。
7
４.平面波 球面波 柱面波 在各向同性均匀介质中，波 线与波阵面垂直.
波面
波线
波线
3)波的周期性和波速
波长、波速和频率：
波长——振动相位相同的两个相邻波 面之间的距离是一个波长。或振动 在一个周期中传播的距离，称为波长， 用 表示。
y
u
这就是右行波的波方程。
p

X
定义 k 为角波数
O
x
2 2； T u u 因此下述几式等价： T 15
2 T 2 k u T
因此下述几式等价：
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u 2x y ( x, t ) A cos[t 0 ] x y ( x, t ) A cos[2 (t ) 0 ]
3
· · · · · · · · · · · · ·t = 0 · · · · · · · · · ··· ·· ·· · · · · · · · ·· · · t = T/4 · · · · · · · · ·· · ·· · ·· · · · ·· · · · · · · t = T/2 · · · · · ·· · · · · · · · · ·· · ·· · · · · · · ·· · · t = 3T/4 ·· · ··· · · · · · ·· ·t = T · ·· ·· ···· · ·· · ·
t + t
· ·· · · · · t · · · ·· · ·
ut 平面波
球面波
不足: 只能解决波的传播方向,不知道波的强度分布.
3. 波的衍射(绕射) 1.) 现象 波传播过程中当遇到障碍物时,能绕过障碍物的 边缘而传播的现象。
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2.) 作图
可用惠更斯原理作图
· a · ·
比较两图
·
★ 如你家在大山后,听广播和看 电视哪个更容易?

y
0.04m
u
X
20
0 0.2m 0.4m
A 4.0 10 m,

2
0.4m
u=20m/s,
0.4 T 0.02 s u 20
设o点振动方程为:
t 0 x0 y0
0点的初相位:
处
2 yo A cos( t ) T
由旋转矢量法得：
y
0.04m
0 2
沿波的传播方向上,各质元的相位依次落后。
5
u a ·
传播方向
b ·
x
x
图中b点比a点的相位落后
2

u
x
3. 波形曲线(波形图)
y o
t

x
• 不同时刻对应有不同的波形曲线(后面再讲）
6
1) 纵波和横波： 横波——振动方向与传播方向垂直，如电磁波 任一波例如，水波、地表波，都能分解为 横波与纵波来进行研究。 2) 波线、波面、波前
2 ( x x) y( x x, t t ) A cos[ (t t ) 0 ] 2x 2 A cos[t (ut x) 0 ]


若这两处相位相同，则有：
y( x x, t t ) y( x, t ) 2x y ( x, t ) A cos(t 0 ) 2 (ut x) 0 x ut
可见波速就是相位传播的速度
19
x ut
故为行波方程
u x
t和t t 时刻的波形完全相同。波动方程描述了波形的传播
3.描述简谐波的物理量
t
即就是波形向前传播的速度。
~ 1
Tu
2 T

u
2



u
例 已知：u=20m/s, t=0的波 形如图所示: 求：振幅，波长，波的周 期、波函数 及质元振动速 度表达式 解：由图知：
也就是左行波的波方程：
x t u
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
y( x, t ) A cos[k ( x ut ) 0 ]
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2. 一维简谐波表达式的物理意义： （1）x 一定时,为该处质点的振动方程,对应曲线为该 处质点振动曲线；
波的周期T：波传过一个波长的时间，或一个 完整的波通过波线上某一点所需要的时间叫 做波的周期T。
9
显然，这里波长远大于媒质分子间距离，即假设 弹性媒质是连续的，媒质中一个波长的距离内有 无数分子在陆续振动，宏观上看来媒质就象连续 的一样。如果波长小到等于或小于分子间距离时 ，相距约为一波长的两个分子之间，不再存在其 它分子，我们就不能认为媒质是连续的了，这时 媒质就再也不能传播弹性波了。因此有一个频率 上限存在。高度真空中分子间距离极大，不能传 播声波，就是由于这原因。
所以
y ( x , t ) v y 12.6 cos(100t 5x) t
22
例 一平面简谐波沿X轴正方向传播,其振幅为A,频率 为,波速为u。设t＝t’时刻的波形典线如图所示,求: (1) x=0处质点的振动方程;
y0 A cos( 2t ) 0 2t 2t
y(x, t) x vy A sin (t ) 0 t u 2 y( x, t ) x 2 a y A cos[ (t ) 0 ] 2 t u
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
(P170--172本节只了解下面概念. u 的公式不要求)
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f
F l0 l0 + l F 长变
正弹力
f
V V
f
体变

F切
切变
F切
f
切弹力
* 在液体和气体只能传播纵波，
其波速为：
ut
B

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B为媒质的体变弹性模量;
为质量密度
可以证明：
* 对于柔软的绳索和弦线中横波波速为
ut T
(若广播台、电视台都在山前侧)
13
§5-2 平面 简谐波运动学方程 1.平面行波 (波动方程) 下面要用数学表达式描述波线上每一质点在每 一时刻的位移，这样的函数 y f ( x, t ) 称为行波 的波函数。 以横波为例说明平面简谐波的波函数。 已知o点振动表达式：
y A cos(t 0 )
y表示各质点在Y方向上的
位移，A是振幅， 是角频 率或叫圆频率， 0 为o点在 零时刻的相位。
o点振动传到 p点需用
O
y
x
u
p
X
14
x t u
x 相位落后 ，所以 p点的运动方程： u x
y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] 2 / T u 2 x u /T y ( x, t ) A cos[(t 0 ) ] 2x 也即p点的相位落后于o点相位： 。
机械振动在弹性介质中的传播称为机械波。下面 以机械波为例介绍波的一些物理概念。