2014届高三数学一轮必备“高频题型全掌握”13.直线与圆的典型题
2014高考数学理(真题讲练 规律总结 名师押题)热点专题突破：第十五讲 直线与圆
第十五讲直线与圆1．(直线方程)(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x ＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0, 即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0,1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分而不必要条件．【答案】 A2．(直线与圆的位置关系)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则() A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，易知圆心为(2,0)，半径为2，圆心到点P 的距离为1，所以点P在圆内．所以直线与圆相交．故选A.【答案】 A3．(弦长计算)(2013·安徽高考)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．4 6【解析】 圆的方程可化为C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5，其圆心为C (1,2)，半径R ＝ 5.如图所示，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝|CP |＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt △ACP 中，|AP |＝R 2－d 2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB |＝4.【答案】 C4．(两直线的位置关系)已知直线l 1：x －2my ＋3＝0，直线l 2的方向向量为a ＝(1,2)，若l 1⊥l 2，则m 的值为________．【解析】 由直线l 2的方向向量为a ＝(1,2)，知直线l 2的斜率k 2＝2，∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率存在，且k 1＝12m，由k 1·k 2＝－1，即12m ·2＝－1，得m ＝－1.【答案】 －15．(圆的方程)(2013·江西高考)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．【解析】 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以(4－2)2＋(0－m )2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 【答案】 (x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254(1)(2013·济南调研)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为________．【思路点拨】 (1)先求出两条直线平行的充要条件，再判断；(2)联立l 1，l 2的方程，求交点坐标，利用待定系数法求直线方程．【自主解答】 (1)若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1， ∴a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2交点为(1,2)， 直线x ＝1显然不适合．设所求直线为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2，∴k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 【答案】 (1)A (2)y ＝2或4x －3y ＋2＝01．第(1)题利用两直线平行的充要条件，避免了分类讨论．第(2)题利用点斜式求直线方程，要注意判定直线的斜率是否存在．2．直线与直线的位置关系的判定方法(1)给定两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1和l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则有下列结论： l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(2)若给定的方程是一般式，即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有下列结论：l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－A 2C 1≠0； l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.变式训练1 (1)(2013·天津高考)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12(2)(2013·四川高考)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．【解】 (1)由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x ＋ay ＋c ＝0，由切线x ＋ay ＋c ＝0过点P (2,2)，∴c ＝－2－2a ，∴|1－2－2a |1＋a 2＝5，解得a ＝2. (2)设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)， 即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,4)．【答案】 (1)C (2)(2,4)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴相切，则圆C 的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －1)2＋(y －2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －1)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1【思路点拨】 设圆心坐标，利用直线与圆相切的条件，得圆心坐标的方程，进而求待定系数，得圆C 的方程．【自主解答】 因为圆C 与x 轴相切，半径r ＝1，且圆心在第一象限， ∴圆心的纵坐标为1，设圆心为C (a,1)(a ＞0)． 又直线4x －3y ＝0与圆C 相切，∴d ＝|4a －3×1|5＝1，解之得a ＝2或a ＝－12(舍)．故点C (2,1)，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 【答案】 A1．本题抓住圆C 与x 轴相切，确定圆心纵坐标为1，减少待定参数，优化了解题过程． 2．求解圆的方程，一般利用待定系数法，即确定待定方程中的参数取值，但一定要注意圆的几何性质的灵活应用，要熟练掌握平面几何中确定圆心和半径的基本方法，如圆心在弦的中垂线上、直线和圆相切、其切点在圆上且圆心到直线的距离等于圆的半径等．变式训练2 已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为________．【解析】 设圆心坐标为(a,0)(a >0)，由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|a －1|，圆心到直线x －y －1＝0的距离为d ＝|a －1|2.由弦长为22可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＝(a －1)2－2，解得(a －1)2＝4，∴a ＝3或a ＝－1(舍去)． 故圆心为(3,0)，半径为2，所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝4. 【答案】 (x －3)2＋y 2＝4在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程；(3)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，求P A →·PB →的取值范围．【思路点拨】 (1)直线与圆相切→求半径→求圆方程 (2)设MN 的方程2x －y ＋m ＝0→利用|MN |＝23，求m →写MN的方程(3)利用|PO |2＝|P A ||PB |建立动点P (x ，y )中变量x ，y 的等量关系，利用点与圆的位置关系求P A →·PB →的范围．【自主解答】 (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 即r ＝41＋3＝2. 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5. 由垂径分弦定理得：m 25＋(3)2＝22，即m ＝±5.所以直线MN 的方程为：2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0. (3)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4得A (－2，0)，B (2,0)． 设P (x ，y )，由|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，得 (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2. 因为P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以P A →·PB →的取值范围为[－2,0)．1．本题(3)在求解过程中常因忽视条件x 2－y 2＝2的限制作用使所求P A →·PB →的范围变大．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2构成直角三角形的关系来处理． 3．讨论点与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．变式训练3 (1)(2013·重庆高考)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.①求圆心P 的轨迹方程； ②若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．【解析】 (1)如图，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.【答案】 B【解】 (2)①设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. ②设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.从近两年高考看，直线与圆是高考的热点，主要涉及直线方程、圆的方程、直线与圆相切(交)的切线方程(或弦长计算)．预计2014年高考仍以直线和圆的位置关系为核心，以客观题的形式进行命题．求解时应注意几何图形的性质的应用，重视数形结合的数学思想．以形助数巧求最小值已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．【解析】 设P (x,0)，C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2. 而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3， ∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 【答案】 52－4 【阅卷心语】易错提示 (1)弄不清圆C 外一点A 到圆上一点距离的最小值为|AC |－r ，最大值为|AC |＋r ，难以将所求问题转化为求|PC 1|＋|PC 2|的最小值．(2)数形结合思想意识差，难以作出C 1关于x 轴的对称点C ′1，求不出|PC 1|＋|PC 2|的最小值．防范措施 (1)涉及圆的几何最值，要充分考虑圆的几何性质由形思数；(2)若两点P 1，P 2在直线l 的同侧，直线l 上的点P 到P 1与P 2的距离和最小，宜作P 1关于l 的对称点P 1′，则|P 1′P 2|为所求的最小值．1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是________． 【解析】 由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．【答案】 相交2．已知直线l 经过坐标原点，且与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为________．【解析】 由题易知，圆的方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，半径为1，如图，经过原点的圆的切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan 150°＝－33，故直线l 的方程为y ＝－33x .【答案】 y ＝－33x。
2014年文数高考母题题源系列 14直线与圆的位置关系 Word版含解析]
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【母题来源】2014全国II 卷文–12 【母题原题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）⎡⎣ （D ）⎡⎢⎣⎦【命题意图】本题主要考查考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力、化归能力．【方法技巧】1.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法：――――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交，＝0⇔相切，<0⇔相离.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d<r ⇔相交，d ＝r ⇔相切，d>r ⇔相离.2．圆的弦长的常用求法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则(l2)2＝r 2－d 2(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k 21＋x 22－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上．然后设出切线方程，用待定系数法求解．注意斜率不存在情形.【试题拓展】求圆的的切线方程有两种情况，一是求过圆上一点()00,P x y 圆的切线方程，其方法如下：先求斜率（利用圆的切线垂直于经过切点的半径来求），再由点斜式写圆的切线方程；二是求过圆外一点()00,P x y 圆的切线方程，有两条，其方法如下：若斜率存在，可用待定系数法，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可．【拓展一】求过圆2210x y +=上一点(2M 的圆的切线方程．1.【2014高考四川卷文第9题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A 、B 、C 、D 、 【答案】B2.【2014高考浙江卷文第5题】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-3.【2014高考安徽卷文第6题】过点(P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π，4. 【2014高考北京卷文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.45.【黑龙江省佳木斯市第一中学2014届高三第三次调研】圆心在曲线2(0)y x x=>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（ ） A.22(1)(2)5x y -+-= B.22(2)(1)5x y -+-= C.22(1)(2)25x y -+-= D.22(2)(1)25x y -+-=6【北京市西城区2014届高三上学期期末考试数学试题】已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ）（A ）2y x =+-（B ）1y x =+-（C ）2y x =-+ （D ）1y x =+-7．【【百强校】2013-2014学年浙江省嘉兴一中高二下学期期中文科数学卷】两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线1:20l x y a -+=，22:210l x y a -++=,和圆：22240x y x ++-=相切，则实数a 的取值范围是（ ）A ．7a >或3a <-B ．a >a <C ．3a -≤≤7a ≤D ．7a ≥或3a ≤- 【答案】C 【解析】8.【2014高考大纲卷文第16题】直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值等于 .的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=30x y -+=，故选D .考点：圆的方程，直线的垂直，直线方程.10. 【2014高考湖北卷文第17题】 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则（1）=b ；（2）=λ .11.【2014高考湖南卷文第6题】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -12.【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .13.【2014高考山东卷文第14题】 圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .15．【2014高考全国1文第20题】已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积16．【组卷网合作校特供】已知圆22:1O x y +=和点(1,4)M ． （1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线28y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；（3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）：1x =或158170x y -+= （2）22(1)(4)36x y -+-=（3）存在定点R (1,4)--，此时PQ PR 为定值2或定点R 14(,)1717--，此时PQ PR 为定值617．【2013-2014学年福建省清流一中高一下学期第三阶段模块考数学试卷】已知圆22:4O x y +=和圆22:(4)1C x y +-=．（1）判断圆O和圆C的位置关系；（2）过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程；（3）过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，M？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请是否存在这样的圆P，使得圆P经过点(2,0)说明理由．18．【【百强校】2014届甘肃省兰州一中高考模拟四文科数学试卷】给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点O 的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F . （1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，.（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.考点：直线与圆及圆锥曲线的位置关系问题.。
直线与圆知识点及经典例题(含答案)
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载直线与圆知识点及经典例题(含答案)地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程这个方程叫做圆的标准方程。
说明：1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决。
（二）圆的一般方程将圆的标准方程,展开可得。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 :问题：形如的方程的曲线是不是圆？将方程左边配方得：（1）当＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程表示以为圆心，以为半径的圆。
,（3）当＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当＞0时，方程称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（1）和的系数相同，不等于零；（2）没有xy这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交。
代数方法主要步骤：（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组（2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程（3）求出其Δ的值，比较Δ与0的大小：（4）当Δ<0时，直线与圆相离；当Δ＝0时，直线与圆相切；当Δ>0时，直线与圆相交。
2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 12)-直线与圆
2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 12) 考查：直线与圆一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)1． 若直线l 与直线1y =,7x =分别交于点P 、Q ,且线段P Q 的中点坐标为(1,1)-,则直线l 的斜率为( ) A.13 B.13- C.32- D.23 2．若直线1:60l x ay ++=与2:(2)320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为( )B.33．如果0A C ⋅<,且0B C ⋅<,那么直线0Ax By C ++=不经过( ). A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定5. 若函数8y ax =+与12y x b =-+的图象关于直线y x =对称，则a b +=( )A.1B.2D.46．直线1l 的斜率为2，12//l l ，直线2l 过点(1,1)-)且与y 轴交于点P ,则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(3,0)-C ．(0,3)-D ．(0,3)7. 已知直线1l 与圆2220x y y ++=相切,且与直线2:3460l x y +-=平行,则直线l 1的方程是( )A ．3410x y +-=B ．3410x y ++=或3490x y +-=C ．3490x y ++=D ．3410x y +-=或3490x y ++=8．若圆222()()1x a y b b -+-=+始终平分圆22(1)(1)4x y +++=的周长，则a b 、 满足的关系是( )A ．22230a a b ++-=B ．222250a b a b ++++=C ．22250a a b +++=D ．22250a a b --+=二、填空题: (本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卷中．．．．相应横线上)9. 圆心在原点且与直线24x y +=相切的圆的方程是 .10.点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是___________.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是________.12.已知点(1,3),(2,1)A B --,若直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 相交,则k 的取值范围是________.13.圆心在曲线3(0)y x x=>上，且与直线3430x y ++=相切的面积最小的圆的方程为14．已知实数x y 、满足250x y ++=,的最小值为 .二、填空题(每小题5分,共30分)9.____________________. 10.___________________. 11. ____________________.12.___________________. 13. ___________________. 14.____________________.三、解答题：本大题共4小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，且经过点(3,4)A -,求直线l 的方程.16．不同两点P 、Q 的坐标分别为(,),(3,3)a b b a --，求:()Ⅰ线段P Q 的垂直平分线l 的方程;()Ⅱ圆22(2)(3)1x y -+-=关于直线l 对称的圆的方程.17．已知圆22:2440C x y x y +-+-=,是否存在斜率为1的直线l ,使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.18.在直角坐标系xOy 中，以O为圆心的圆与直线40x +=相切. ()Ⅰ求圆O 的方程;()Ⅱ圆O 与x 轴相交于A B 、两点，圆内的动点P 使PA PO PB、、|成等比数列,求PA PB ⋅的取值范围.2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 12)参考答案1解析：选B.由直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P 、Q ，可设P (x 1,1)，Q (7，y 1)，再由线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，可解得：x 1＝－5，y 1＝－3.即直线l 上有两点P (－5,1)，Q (7，－3)，代入斜率公式可解得直线l 的斜率为k ＝1＋3－5－7＝－13.故选B.2 [解析]由l 1∥l 2知3＝a(a －2)且2a ≠6(a －2)，2a 2≠18，求得a ＝－1，l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝|6－23|12＋(－1)2＝823.故选B. 3．C 解析：由A·C ＜0及B·C ＜0，可知A ≠0，B ≠0，又直线Ax ＋By ＋C ＝0过⎝⎛⎭⎫－CA ，0，⎝⎛⎭⎫0，－CB ，且－C A ＞0，－C B＞0，∴直线不过第三象限．4[解析]直线ax －y ＋2a ＝0⇒a(x ＋2)－y ＝0，即直线恒过点(－2,0)，∵点(－2,0)在圆内，所以直线与圆相交，故选C.5解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x＋b 为同一直线，故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝4，所以a ＋b ＝2故选B6.解析：∵点P 在y 轴上，∴设P(0，y)，又∵kl 1＝2，l 1∥l 2，∴kl 2＝y －10－(－1)＝y －1＝2，∴y ＝3，∴P(0,3)．答案：D7.D 解析：设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.∵直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0相切，∴|－4＋m|32＋42＝1.∴|m －4|＝5.∴m ＝－1或m ＝9.∴直线l 1的方程为3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0.8.解析 即两圆的公共弦必过(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a ＋1)x －2(b ＋1)y ＋a 2＋1＝0,将圆心坐标(－1,－1)代入可得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.答案C9解析：由题意，半径R ＝41＋22＝45，所以圆的方程为x 2＋y 2＝165，故填x 2＋y 2＝165.10解析：设圆上任一点为Q(s ，t)，PQ 的中点为A(x ，y)，则⎩⎨⎧x ＝4＋s 2y ＝－2＋t2，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝2x －4t ＝2y ＋2，将其代入圆的方程，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，整理得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 11.解析 (数形结合法)由已知直线l 恒过定点P(2,1)，如右图．若l 与线AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB ，∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤1212.[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题．要使圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．即|c|122＋52<1，解|c|<13，∴－13<c<13.13.解析：设圆心(a ，3a )(a>0),则圆心到直线的距离d ＝|3a ＋12a ＋3|5，而d ≥15(23a ·12a ＋3)＝3,当且仅当3a ＝12a ，即a ＝2时，取“＝”，此时圆心为(2，32)，半径为3，圆的方程为(x －2)2＋(y －32)2＝9.14.解析：x 2＋y 2表示点(x ，y)到原点的距离．根据数形结合得x 2＋y 2的最小值为原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即d ＝55＝ 5.15.解析：设直线l 的方程是y ＝k(x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)(4k ＋3)＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. 16.【解析】（1）∵313P a bk b a--==--Q ，∴11l P k k =-=-Q ， ∵P Q 的中点坐标为33(,)22，直线l 的方程为3x y +=．（2）设所求圆的圆心为(,)a b ，则31223322l b k a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩， ∴所求圆的圆方程为22(1)1x y +-=．17解析 假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB.设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0消去y 得： 2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b)(x 2＋b)＝x 1x 2＋b(x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)．③把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.法二:可设直线l :0x y c -+=,经过A B 、的圆:22:244()0C x y x y x y c λ+-+-+-+=分析18.解析：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＋4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2.所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A(x 1,0)，B(x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A(－2,0)，B(2,0)．设P(x ，y)，由|PA →|，|PO →|，|PB →|成等比数列，得(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.PA →·PB →＝(－2－x ，－y)· (2－x ，－y)＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2，由此得y 2<1.所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0)．。
东南大学附中2014届高考数学一轮单元复习练习直线与圆含答案
东南大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：直线与圆本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．由圆x 2+y 2=4外一动点P 向该圆引两条切线PA 和PB ，若保持∠APB=60°，则点P 的轨迹方程为（ ）A ． x 2+y 2=8B ． x 2+y 2=16C ． x 2+y 2=32D ． x 2+y 2=64 【答案】B2．直线0Ax By +=，若从0,1,2,3,5,7这六个数字中每次取两个不同的数作为A,B 的值，则表示成不同直线的条数是( ) A ．2 B ．12C ．22D ．25【答案】C 3．由直线1y x =+上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为( )A ．1BC ．D ．3【答案】B4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ． 1)37()3(22=-+-y x B ．1)1()2(22=-+-y x C ． 1)3()1(22=-+-y x D ．1)1()23(22=-+-y x 【答案】B5．下列四个命题中，正确命题有( )①直线方程的一般式为Ax + By + C = 0 ②k 1·k 2 = –1为两直线垂直的充要条件③k 1 = k 2为两直线平行的必要非充分条件 ④l ：A 1x + B 1y + C 1 = 0和l 2：A 2x + B 2y + C 2 = 0，（B 1≠0，B 2≠0，A 1A 2 + B 1B 2≠0），则直线l 1到l 2的角θ的正切值为21211221tan B B A A B A B A +-=θA ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B6．圆22:420C x y x y +-+=关于直线1y x =+对称的圆的方程是( )A ． 22(1)(2)5x y ++-= B ． 22(4)(1)5x y ++-= C ． 22(2)(3)5x y ++-= D ． 22(2)(3)5x y -++=【答案】B7．若圆221x y +=与直线340x y m -+=相切，则m 的值等于( )A ．5B ．5-C ．5或5-D ．15或15- 【答案】C 8．已知两点()()7,4,5,6AB --，则线段AB 的垂直平分线的方程为( )A ．56110x y ++=B ．6510x y --=C ．56110x y +-=D ．6510x y -+=【答案】B 9．直线3x +2y= 1的倾斜角是( ) A ．arctan 23B ．arctan ( –23) C ．π + arctan 23D ．π + arctan ( –23) 【答案】D10．设圆222)5()3(r y x =+++上有且只有两点到直线234=-y x 的距离等于1，则圆的半径r 的取值范围为( ) A ．561<<r B ．54>r C ．5654<<r D ．1>r【答案】C11．圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值为( )A ．6B ．2C ．3D ．4【答案】D12．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆2x +2y =4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．B ．C ．D ． 1【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若三条直线1l ：032=-+y x ，2l ：023=+-y x 和3l ：0=+y ax 不能构成三角形，则a 的值为【答案】13a =-或2a =或3a =-14．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040，（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，那么a 的值为____________. 【答案】115．若方程02222=++-y x my x 表示两条直线，则m 的取值是 ． 【答案】116．过原点O 作圆x 2+y 2-－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为 。
【备战2014】高考数学 高频考点归类分析 直线与圆(真题为例)
2 再由切割线定理得 BD =CD AD ，即 x 4 x =( ) ，解得 x =
2
8 3
4 4 ，故 CD = 。 3 3
▲ 。[
例 11. （2012 年北京市文 5 分）直线 y x 被圆 x 2 y 2 4 截得的弦长为
3
又已知点 P(1,1) ，则 kOP 1 。故所求直线的斜率为-1。 又所求直线过点 P(1,1) ，故由点斜式得，所求直线的方程为 y 1 x 1 ，即 x y 2 0 。 故选 A。 例 6. （2012 年福建省文 5 分）直线 x＋ 3y－2＝0 与圆 x ＋y ＝4 相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长度等于 【 】 A．2 5 【答案】B。 【考点】直线与圆的位置关系。 【解析】根据圆的方程知，圆的圆心为(0,0)，半径 R＝2，弦心距 d＝ 2 3。故选 B。 例 7.（2012 年辽宁省文 5 分 ）将圆 x2 y 2 2 x 4 y 1 0 平分的直线是【 （ A） x y 1 0 【答案】C。 【考点】直线和圆的方程，曲线上点的坐标与方程的关系。 【解析 】∵ x2 y2 2x 4 y 1 0 x 1 y 2 =4 ，
∴ AOB 面积的最小值为 3 。 例 13. （2012 年江苏省 5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 圆 C 的方程为 x2 y 2 8x 15 0 ， 若直线 y kx 2 上 至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点 ，则 k 的最大值是 ▲ ． 【答案】
同上判别圆心在不在 直线 y =kx 1 上。 还可求圆心到直线 y =kx 1 的距离来判别。 例 2. （2012 年安徽省文 5 分）若直线 x y 1 0 与圆 ( x a) y 2 有公共点，则实数 a 取值范围是
常州市武进区2014届高三数学专题复习：直线与圆
4. 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 设 三 角 形 ABC 的 顶 点 分 别 为 A(0, a), B(b,0),C(c,0) ，点 P(0, p) 在线段 AO 上的一点（异于端点），这里 a, b, c, p
均为非零实数，设直线 BP,CP 分别与边 AC ，AB 交于点 E ，F ，某同学已正确求得直线 OE 的方程为 B
(B)
(C)
(D)
2
3
5
【答案】B。
【考点】反函数。
【分析】根据题意画出图形，如图。
∵互为反函数的两个函数的图象关于 y=x 对称，
∴这两个函数的图象交于 P 点必在直线 y=x 上，且 A，B 两点
关于 y=x 对称。
∴AB⊥OP 。 ∴ 四 边 形 OAPB 的 面 积 = 1 ·AB·OP= 2
（2）设过 Q 的切线为 y y1 k1 x x1 ，
由 y x2 得 y/ 2x ，∴ k1 2x1 。
∴ y 2x1x 2x12 y1 2x1x x12 ， 它 与 y c 的 交 点 为 M
x1 2
c 2 x1
, c 。
又
P
x1
2
x2
,
y1
2
y2
分别作圆 O1.圆 O2 的切线 PM、PN（M.N 分别为切点），使得 PM 2PN 试建立
适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程
【答案】解：以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为 x 轴，建立如图所示
平面直角坐标系。 y
则 O1（－2，0），O2（2，0），
由已知： PM 2PN ，即ＰＭ２＝２ＰＮ２，
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，平面向量数量积的运算。
【名师精讲】2014届高考数学一轮轻松突破复习1.8.4直线与圆、圆与圆的位置关系文
【名师精讲】2014届高考数学一轮轻松突破 1.8.4直线与圆、圆与圆的位置关系 文一、选择题1．点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2(a ＞0)内不为圆心的一点，则直线x0x ＋y0y ＝a2与该圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交解析：由已知得x20＋y20＜a2，且x20＋y20≠0，又∵圆心到直线的距离d ＝a2x20＋y20＞a ， ∴直线与圆相离．答案：C2．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2解析：依题意，可设圆心坐标为(a ，a)、半径为r ，其中r ＝a ＞0，因此圆方程是(x －a)2＋(y －a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a ＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝2×102－4×17＝8，选C.答案：C3．若a 、b 、c 是直角三角形的三边(c 为斜边)，则圆x2＋y2＝2截直线ax ＋by ＋c ＝0所得的弦长等于( )A ．1B ．2C. 3 D ．2 3答案：B4．若圆x2＋y2－4x －4y －10＝0上至多有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．(－∞，2－3]B ．[2＋3，＋∞)C ．(－∞，2－3]∪[2＋3，＋∞)D ．[2－3，2＋3]答案： C5．直线xsin θ＋ycos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案：B6．已知圆x2＋y2＋x －6y ＋3＝0上的两点P 、Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，且OP ⊥OQ(O 为坐标原点)，则直线PQ 的方程为( )A ．y ＝－12x ＋32B ．y ＝－12x ＋32或y ＝－12x ＋54C ．y ＝－12x ＋14D ．y ＝－12x ＋12或y ＝－12x ＋54解析：由P 、Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称知直线kx －y ＋4＝0过已知圆的圆心(－12，3)，则k ＝2，直线PQ 的斜率kPQ ＝－12. 设直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋b ，P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则P 、Q 两点的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12x ＋b x2＋y2＋x －6y ＋3＝0的解，消去y 得54x2＋(4－b)x ＋b2－6b ＋3＝0，故x1＋x2＝－－5， ①x1x2＝－6b ＋5， ② 由OP ⊥OQ ⇒x1x2＋y1y2＝0⇒x1x2＋(－12x1＋b)·(－12x2＋b)＝0， 54x1x2－b 2(x1＋x2)＋b2＝0， 将①，②代入得b ＝32或b ＝54. 所以直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋32或y ＝－12x ＋54.故选B. 答案：B二、填空题7．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是__________．解析：设圆心为(a,0)(a ＜0)，则|a|2＝2，解得a ＝－2， 故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y2＝2.答案：(x ＋2)2＋y2＝28．过原点的直线与圆x2＋y2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．解析：设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－22＝0，即圆心位于直线kx －y ＝0上．于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0.答案：2x －y ＝09．若⊙O ：x2＋y2＝5与⊙O1：(x －m)2＋y2＝20(m ∈R)相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．解析：依题意得|OO1|＝5＋20＝5，且△OO1A 是直角三角形，S △OO1A ＝12·|AB|2·|OO1|＝12·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝2·|OA|·|AO1||OO1|＝2×5×255＝4. 答案：4三、解答题10．根据下列条件求圆的方程：(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上；(2)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为4 3.解析：(1)显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为x ＋y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，2x ＋3y ＋1＝0，得圆心C 的坐标为(4，－3)．又因为圆的半径r ＝|OC|＝5，所以所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①将P ，Q 点的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4D －2E ＋F ＝－20， ②D －3E －F ＝10. ③令x ＝0，由①得y2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y1－y2|＝43，其中y1、y2是方程④的两根，所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F ＝48.⑤解②③⑤组成的方程组，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4，故所求圆的方程为x2＋y2－2x －12＝0，或x2＋y2－10x －8y ＋4＝0.11．已知m ∈R ，直线－(m2＋1)y ＝4m 和圆x2＋y2－8x ＋4y ＋16＝0.(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？ 解析：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m2＋1x －4m m2＋1， 直线l 的斜率k ＝m m2＋1， 因为|m|≤12(m2＋1)， 所以|k|＝|m|m2＋1≤12， 当且仅当|m|＝1时等号成立．所以，斜率k 的取值范围是[－12，12]． (2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k(x －4)，其中|k|≤12.圆C 的圆心为C(4，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离为d ＝21＋k2. 由|k|≤12，得d≥45＞1， 即d ＞r 2. 从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3. 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧． 12．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C ：x2＝4y 是否相切？说明理由．解析：方法一：(1)依题意，点P 的坐标为(0，m)．因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)． 从而圆的半径r ＝|MP|＝－＋－＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y2＝8.(2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ，所以直线l′的方程为y ＝－x －m.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x －m ，x2＝4y得x2＋4x ＋4m ＝0.Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．(1)当m ＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C 相切；(2)当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l′与抛物线C 相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C 不相切． 方法二：(1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y2＝r2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P(0，m)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋m2＝r2，|2－0＋m|2＝r ，解得⎩⎨⎧ m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y2＝8.(2)同方法一．。
历年高三数学高考考点之直线与圆必会题型及答案
历年高三数学高考考点之<直线与圆>必会题型及答案体验高考1.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题意有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选A.2.过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( ) A.26B.8C.46D.10 答案 C解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.3.一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－34答案 D解析 由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k ， 则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)， 即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D.4.已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离为______. 答案255解析 d ＝|1＋1|22＋12＝255. 5.已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知， 圆的半径R ＝23，|AB |＝23， 所以|OM |＝3，解得m ＝－33， 由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2，0)，D (2，0)， 所以|CD |＝4.高考必会题型题型一 直线方程的求法与应用例1 (1)若点P (1，1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A.2x ＋y －3＝0 B.x －2y ＋1＝0 C.x ＋2y －3＝0 D.2x －y －1＝0答案 D解析 由题意知圆心C (3，0)，k CP ＝－12.由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以弦MN 所在直线的方程是2x －y －1＝0.(2)已知△ABC 的顶点A (3，－1)，AB 边上的中线所在直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程. 解 设B (4y 1－10，y 1)，由AB 中点在6x ＋10y －59＝0上，可得：6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，y 1＝5，∴B (10，5).设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋32－4·y ′－12＋10＝0，y ′＋1x ′－3·14＝－1⇒A ′(1，7)，∵点A ′(1，7)，B (10，5)在直线BC 上，∴y －57－5＝x －101－10，故BC 边所在直线的方程是2x ＋9y －65＝0. 点评 (1)两条直线平行与垂直的判定①若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1； ②判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况. (2)求直线方程的常用方法①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.变式训练1 已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 关于原点O 对称的直线方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.所以点P 的坐标是(－2，2)，又因为直线x －2y －1＝0， 即y ＝12x －12的斜率为k ′＝12，由直线l 与x －2y －1＝0垂直可得k l ＝－1k ′＝－2， 故直线l 的方程为：y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程2x ＋y ＋2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－1与－2，则直线l 关于原点对称的直线在x 轴、y 轴上的截距分别是1与2， 所求直线方程为x 1＋y2＝1，即2x ＋y －2＝0.题型二 圆的方程例2 (1)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.①圆C 的标准方程为________________.②圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________.答案 ①(x －1)2＋(y －2)2＝2 ②－2－1解析 ①由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.②方法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1). 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.方法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，得圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.(2)已知圆C 经过点A (2，－1)，并且圆心在直线l 1：y ＝－2x 上，且该圆与直线l 2：y ＝－x ＋1相切. ①求圆C 的方程；②求以圆C 内一点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－52为中点的弦所在直线l 3的方程. 解 ①设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－1－b )2＝r 2，b ＝－2a ，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，r ＝ 2.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. ②由①知圆心C 的坐标为(1，－2)， 则k CB ＝－52－(－2)2－1＝－12.设直线l 3的斜率为k 3，由k 3·k CB ＝－1，可得k 3＝2. 故直线l 3的方程为y ＋52＝2(x －2)，即4x －2y －13＝0.点评 求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.变式训练2 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程.解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y ). 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，连接BN . 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 题型三 直线与圆的位置关系、弦长问题例3 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A.2B.42C.6D.210 答案 C解析 根据直线与圆的位置关系求解.由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2，1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1). ∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.(2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.①写出圆C 的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；②是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且OA ⊥OB (O 为坐标原点).若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解 ①圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， 则圆心C 的坐标为(1，－2)，半径为3. ②假设存在这样的直线m ， 根据题意可设直线m ：y ＝x ＋b .联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，y ＝x ＋b得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 因为直线与圆相交，所以Δ>0， 即b 2＋6b －9<0，且满足x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝b 2＋4b －42，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ，由OA ⊥OB 得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0得b ＝－4或b ＝1， 且均满足b 2＋6b －9<0，故所求的直线m 存在，方程为y ＝x －4或y ＝x ＋1. 点评 研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d 及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.变式训练3 已知以点C (t ，2t)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程. (1)证明 ∵圆C 过原点O ，且|OC |2＝t 2＋4t2.∴圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值.(2)解 ∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2，1)，|OC |＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，|OC |＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.高考题型精练1.已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( ) A.45B.25C.255 D.105 答案 A解析 (x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1，1)的距离的平方.由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝|1＋2×1－5|1＋22＝255， 所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.故选A.2.“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由l 1⊥l 2得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.3.若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A.32B.22C.33D.4 2 答案 A解析 依题意知AB 的中点M 的集合是与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离， 设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0， 根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.4.(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离 答案 B解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1＝a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0，2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1，1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.5.与圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－8x ＋7＝0都相切的圆的圆心轨迹是( ) A.椭圆B.椭圆和双曲线的一支C.双曲线和一条直线(去掉几个点)D.双曲线的一支和一条直线(去掉几个点) 答案 D解析 设所求圆圆心为M (x ，y )，半径为r ， 圆x 2＋y 2－8x ＋7＝0⇒(x －4)2＋y 2＝9，圆心设为C (4，0)，由题意得当动圆与两定圆外切时， 即|MO |＝r ＋1，|MC |＝r ＋3，从而|MC |－|MO |＝2<|OC |， 因此为双曲线的一支，当动圆与两定圆一个外切一个内切时， 必切于两定圆切点，即M 必在x 轴上， 但需去掉O ，C 及两定圆切点，因此选D.6.(2015·课标全国Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.43 答案 B解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，其到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.7.(2016·山东)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________. 答案 34解析 由已知得，圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴|5k |k 2＋1<3，解得－34<k <34，由几何概型得P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－(－1)＝34.8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________. 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4，0). 由题意知(4，0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有三个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的值为________. 答案 ±13解析 因为圆心到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为|c |13，所以由题意得|c |13＝1，c ＝±13.10.已知直线l 过点(－2，0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是________________. 答案 (－24，24) 解析 因为已知直线过点(－2，0)，那么圆的方程x 2＋y 2＝2x 配方为(x －1)2＋y 2＝1，表示的是圆心为(1，0)，半径为1的圆， 设过点(－2，0)的直线的斜率为k ， 则直线方程为y ＝k (x ＋2)， 则点到直线距离等于圆的半径1， 有d ＝|k －0＋2k |k 2＋1＝1，化简得8k 2＝1， 所以k ＝±24， 然后可知此时有一个交点，那么当满足题意的时候， 可知斜率的取值范围是(－24，24)，故答案为(－24，24). 11.已知过点A (0，1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点.(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值.解 (1)∵直线l 过点A (0，1)且方向向量为a ＝(1，k )，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 由|2k －3＋1|k 2＋1＜1，得4－73＜k ＜4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，∴4k (1＋k )1＋k 2＝4，解得k ＝1.12.已知圆M ∶x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点.(1)若Q (1，0)，求切线QA ，QB 的方程；(2)求四边形QAMB 面积的最小值；(3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程.解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴切线QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA | ＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1 ≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于点P ，则MP ⊥AB .∵MB ⊥BQ ，∴|MP |＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＝13.在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP |·|MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3.设Q (x ，0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。
2014高考数学直线与圆汇编
2014高考直线与园
1.（新课标二16.）设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.
【答案】].
1,1-[∈x ].1,1-[x .,1)M(x 1,y O 000故形外角知识，可得由圆的切线相等及三角在直线上其中和直线在坐标系中画出圆∈= 2.（重庆13）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()412
2=-+-a y x 相交于B A ，两点，且 ABC ∆为等边三角形，则实数=a _____.
3.（湖北）.直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=___2 _____.
4.（福建）.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12
”的（ A ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件
.C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件
5.（陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.
【答案】 .11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的对称点关于点y x x y 9.
6.（江苏）在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .。
2014届高三数学最后一课试题拆解：直线和圆
直线和圆1. “1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若直线0x y k -+=与圆221x y +=相交,则有圆心(0,0)到直线0x y k -+=的距1<,解得k <<,故选A.2.由直线2+=x y 上的点向圆()()22421x y -++= 引切线，则切线长的最小值为( )A ．30B ．31C ．24D ．33【解析】（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b +=直线30x ky +-=所经过的定点是（3，0），即点F （3，0） ∵椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8 ∴38a += 5a = ∴22216b a c =-=∴椭圆C 的方程为2212516x y +=（2）∵点(,)P m n 在椭圆C 上∴2212516m n +=，22161625m n =-[ ∴原点到直线:1l mx ny +=的距离1d ==∴直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=恒相交222214()4(1)91625L r d m =-=-+∵05m ≤≤L ≤≤4.由直线2+=x y 上的点向圆()()22421x y -++= 引切线，则切线长的最小值为( )A ．30B ．31C ．24D ．33证法1：过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ．若A = 0，则直线l 的方程为C y B =-，此时点P 到直线l 的距离为0||C y B +00||||||By C C y B B +==+，可知结论是成立的． ————5分证法2：若B = 0，则直线l 的方程为Cx A =-，此时点P 到直线l 的距离为0||Cd x A =--==证法３：过点P作直线l的垂线，垂足为H．则直线PH的一个方向向量对应于直线l 的一个法向量，而直线l的一个法向量为(,)A B，又线段PH的长为d，所以,)||PHPH d A BPH→→→==或,)PH A B→=||||PQ vdv→→→∙===因为0000()()()x x A y y B Ax By Ax By-+-=+-+，而点(,)x y满足0Ax By C++=，所以0000()()Ax By Ax By Ax By C+-+=-++．因此||d=．6．已知圆C1的方程为22(2)1x y+-=，定直线l的方程为1y=-．动圆C与圆C1外切，且与直线l相切．（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程；（II ）斜率为k 的直线l 与轨迹M 相切于第一象限的点P ，过点P 作直线l 的垂线恰好经过点A （0，6），并交轨迹M 于异于点P 的点Q ，记S 为∆POQ （O 为坐标原点）的面积，求S 的值． 解（Ⅰ）设动圆圆心C 的坐标为(,)x y ，动圆半径为R ，则1||1CC R ==+，且|1|y R += ————2分 可得|1|1y =++．由于圆C 1在直线l 的上方，所以动圆C 的圆心C 应该在直线l 的上方，所以有10y +>，2y =+，整理得28x y =，即为动圆圆心C 的轨迹M 的方程． ————5分（II ）如图示，设点P 的坐标为200(,)8x x ，则切线的斜率为04x ，可得直线PQ 的斜率为04x -，所以直线PQ 的方程为20004()8x y x x x -=--．由于该直线经过点A（0,6），所以有20648x -=，得2016x =．因为点P 在第一象限，所以04x =，点P 坐标为（4,2），直线PQ 的方程为60x y +-=． —————9分由条件得1112y yx x-+?-，------------------------------------------2’即() 2210 2xy x+=动点P 的轨迹C 的方程为22121222422,1212k k x x x x k k -∴+=-=++-----------------------------12’21．已知圆C 的圆心为(,0)(3)C m m <,半径为5,圆C 与椭圆E :)0(12222>>=+b a b y a x 有一个公共点(3,1)A ,21F F 、分别是椭圆的左、右焦点.(Ⅰ)求圆C 的标准方程;(Ⅱ)若点P 的坐标为(4,4),试探究斜率为k 的直线1PF 与圆C 能否相切,若能,求出椭圆E 和直线1PF 的方程,若不能,请说明理由.∴0112442=+-k k ,解得21211==k k ，或。
高三高考数学总复习《直线与圆》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《直线与圆》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一倾斜角与斜率 (3)题型二直线方程 (3)题型三直线位置关系的判断 (4)题型四对称与直线恒过定点问题 (4)题型五圆的方程 (5)题型六直线、圆的综合问题 (6)【巩固训练】题型一倾斜角与斜率 (7)题型二直线方程 (8)题型三直线位置关系的判断 (9)题型四对称与直线恒过定点问题 (10)题型五圆的方程 (11)题型六直线、圆的综合问题 (12)高考数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值.【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二 直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。
高考数学试题分项版解析专题13直线与圆文(1)
专题13 直线与圆一、选择题1. 【2014高考北京文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆上存在点，使得90APB ∠=，则的最大值为（ ）A. B. C. D.【答案】B考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.2. 【2015高考北京，文2】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++=C ．()()22112x y +++=D ．()()22112x y -+-=【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=，故选D. 【考点定位】圆的标准方程.【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“过原点”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程，即圆心(),a b ，半径为的圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=．3.【 2014湖南文6】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=相外切，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -【答案】C【解析】因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-,所以250m ->25m ⇒<且圆的圆心为()3,4,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得1=+9m ⇒=,故选C.【考点定位】圆与圆之间的外切关系与判断【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解决问题的关键是根据条件得到圆的半径及圆心坐标，然后根据两圆满足的几何关系进行列式计算即可.4. 【2014全国2，文12】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点，使得45OMN ∠=︒，则的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C）⎡⎣ （D）,22⎡-⎢⎣⎦【答案】A【考点定位】直线与圆的位置关系【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．5. 【2014四川，9文】设m R ∈，过定点的动直线0x my +=和过定点的动直线30mx y m --+=交于点(,)P xy ，则||||PA PB +的取值范围是（）A、B、C 、D 、【答案】B【解析】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||||10PA PB AB +==，令|10s i ||10c o sP A P θθ==，则 ||||)4PA PB πθθθ+==+.因为||0,||PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤||||PA PB ≤+≤选B.。
2014届高三数学一轮复习精讲精练：8.4直线与圆的位置关系
2014届高三数学一轮复习精讲精练：8.4直线与圆的位置关系|OA|=|CB|=1 ∴|PO|2=|PC|2，从而2222)4()2(-+-=+b a b a化简得实数a 、b 间满足的等量关系为: 052=-+b a . 例3.已知圆C 与两坐标轴都相切，圆心C 到直线y x=-2. 求圆C 的方程.解：设圆C 半径为r ，由已知得：22a b r a a b ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩ ∴11a b r ==⎧⎨=⎩，或11a b r ==-⎧⎨=⎩∴圆C 方程为2222(1)(1)1,(1)(1)1x y x y -+-=+=或＋＋.例4.如图，在平面直角坐标系x O y 中，平行于x 轴且过点A(33，2)的入射光线l 1被直线l ：y =33x 反射．反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1, l 2都相切.(1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB+PQ 的最小值及此时点P 的坐标．xyO ABll解：（1）直线1:2,l y =设1232l l D D交于点，则（，）.l的倾斜角为30，260l ∴的倾斜角为，23.k ∴=∴反射光线2l所在的直线方程为23(23)y x -=-. 即340x y --=.已知圆C 与1l A 切于点，设C （a,b),圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，38b a ∴=+ ,又圆心C 在过点A 且与1l 垂直的直线上，33a ∴=381b a ∴=+=-，圆C 的半径r=3，故所求圆C 的方程为22(33)(1)9x y -++=.（2）设点()0,4B -关于l 的对称点0(,)B x y '，则0000432243y x y x ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，得(23,2)B '-,固定点Q 可发现，当B P Q '、、共线时，PB PQ+最小，故PB PQ+的最小值为32213B C '-=-.此时由1332123333y x y x ⎧+-=⎪+⎪--⎨⎪=⎪⎩得31()2P . 【反馈练习】1.圆x 2+y 2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为320x -+=2.已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆xy x222=+有两个例4交点时，其斜率k 的取值范围是22-（，3.设m>0,则直线2(x+y)+1+m=0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为相切或相离解析：圆心到直线的距离为d=21m+,圆半径为m . ∵d-r=21m +-m =21(m-2m +1)=21(m -1)2≥0,∴直线与圆的位置关系是相切或相离.4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为35.点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为)23,21(-6.若圆04122=-++mx y x 与直线1-=y 相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为347.设P 为圆122=+y x上的动点，则点P 到直线1043=--y x 的距离的最小值为 1 .8.已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖．(1)试求圆C 的方程.(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,.A B 满足CA CB ⊥,求直线l 的方程.解:(1)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是5,所以圆C 的方程是22(2)(1)5x y -+-=.(2)设直线l 的方程是:y x b =+. 因为CA CB ⊥,所以圆心C到直线l10,221011=+解得:15b=-±.所以直线l的方程是:15y x=-±.。
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【精选三年经典试题（数学）】2014届高三全程必备《高频题型全掌
握系列》13.直线与圆的典型题
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．（2013年重庆数学）已知圆()()2
2
1:231C x y -+-=,圆
()()22
2:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则
PM PN +的最小值为（ ）
A ．4
B 1
C ．6-D
A
两圆的圆心和半径分别为12(2,3),(3,4)C C ，121,3r r ==。
两圆相离。
()()221:231C x y -+-=关于x 的对称圆的方程为()()22
3:231C x y -++=，圆心
3(2,3)C -，所以13PC PC =，所以动点P 到圆心32(2,3),(3,4)C C -的距离之和的最小值为
23C C ===PM PN +的最小值为
23134C C --=，选A.
2.(2013·潍坊模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2
(r >0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是
( )．
A ．(2＋1，＋∞)
B ．(2－1，2＋1)
C ．(0，2－1)
D ．(0，2＋1)
解析 计算得圆心到直线l 的距离为
22
＝2>1，得
到右边草图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1，故选A. 答案 A
3．（2013年辽宁数学（理））已知点
()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有
（ ）
A ．3
b a = B ．31
b a a
=+
C ．(
)3
3
10b a b a a ⎛⎫
---= ⎪⎝⎭
D ．3
3
1
0b a b a a
-+--
= C
若A 为直角，则根据A 、B 纵坐标相等，所以30b a -=；若B 为直角，则利用1OB AB K K =-得31
0b a a
--
=，所以选C
4错误！未指定书签。
．（2013年高考江西卷（理））如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线,12,l l 之间l //1l ,l 与半圆相交于F,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E,D 两
点,设弧 FG 的长为(0)x x π<<,y EB BC CD =++,若l 从1l 平行移动到2
l ,则函数()y f x =的图像大致是
D
本题考查函数图象的识别和判断。
设l 与1l 的距离为t ，根据题意易知t x
-=12
cos
，即2
cos 1x
t -=。
又,332t CD BE ==332=BC 。
所以332)2cos 1(334332334+-=+=
++=x t BC CD EB y 2
cos 33432x -=，所以
易得函数图像为D。