微积分讲义

考研数学强化讲义微积分§1.5常规考研题型分析常规考点一 简单极限的计算（热点）（2004）若0sin lim(cos )5xx xx b e a®-=-，则a = b= （2005）22lim sin 1x xx x=+ （2006）(1)1lim()nn n n-+= （2007）3231lim (cos sin )2x x x x x x x+++=+ （2009）cos 0x x ®（2010 ） 若011lim 1x x a e x x®轾骣÷ç犏--=÷ç÷ç犏桫臌，则a 等于 A 0 B 1 C 2 D 3 （2011）设()0()lim 13xtt f x x t ®=+，则()f x ¢=（2012）()1cos sin 4lim tan x xx x p-®=————常规考点二 无穷小、无穷大及其阶的比较（重点） （2007）当0x +®A 1-B ln(1+C1 D1-(2009)当0x ®时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价的无穷小，则A 11,6a b ==-B 11,6a b ==C 11,6a b =-=-D 11,6a b =-=（2010）设1010()ln ,(),()x f x x g x x h x e ===，则当x 充分大时有A ()()()g x h x f x <<B ()()()h x g x f x <<C ()()()f x g x h x <<D ()()()g x f x h x <<（2011）已知当0x ®时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则【 】 A 1,4k c == B 1,4k c ==- C 3,4k c == D 3,4k c ==- （2013）当0x ®时，用“()o x ”表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是【 】(A) 23()()x o x o x =g ( B) 23()()()o x o x o x =g ( C ) 222()()()o x o x o x += ( D) 22()()()o x o x o x +=（2002数一）设()0f x x =在的某邻域内具有连续一阶导数，且(0)0,(0)0f f '≠≠，若()(2)(0)0af h bf h f h +-→在时是比h 高阶的无穷小，试确定a,b 的值。

（2006数二、四）试确定常数A ，B ，C 的值，使得 23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++ 其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小。

常规考点三 极限的计算（重点） （2000一）1402sin lim()1xx xe xxe→+++（2004）22201cos lim()sin x xx x→-（2005）011lim()1xx x e x-→+--（2006）设1sin (,),0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+求 （1）()lim (,)y g x f x y →+∞=（2）0lim ()x g x +→（2008）201sin limln x x x x→（2010） 求极限11ln lim 1xxx x ? 骣÷ç÷-ç÷ç÷ç桫（2011）求极限0x ®（2012）求极限222cos 40lim x xx e e x-®-（2013）当0x ®时，1cos cos2cos3x x x - 与n ax 为等价无穷小，求,n a 的值。

常规考点四 数列的极限（2006数一、二）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（1）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（2）计算11lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭常规考点五 函数的连续性、间断点及其类型（重点）（2004）设函数21()2x x c f x x c xìï+ ïïï=íï>ïïïî在(,)-? 内连续，则c= （2009）函数3()sin x x f x xp -=的可去间断点的个数为A 1B 2C 3D 无穷多个 （2008）设函数()f x 在[-1,1]上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=ò的A 跳跃间断点B 可去间断点C 无穷间断点D 震荡间断点（2004)设()f x 在(,)-? 内有定义，且lim ()x f x a =，1()0()00f x g x x x ìïï¹ï=íïï=ïî，则A 0x =必是()g x 的第一类间断点B 0x =必是()g x 的第二类间断点C 0x =必是()g x 的连续点D ()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关(2013) 函数1()(1)ln xx f x x x x-=+的可去间断点的个数为 【 】(A) 0 ( B) 1 ( C ) 2 ( D) 3 （2003）设1111(),[,1)sin (1)2f x x x x x p p p =+- -，试补充定义(1)f ，使得()f x 在1[,1]2上连续习题一 计算题9. 21lim[ln(1)]x x x x→∞-+10. 2201lim[()ln(1)],0x a a ax a x x→--+≠11.x ®12. 40cos(sin )cos limx x xx →-13.已知1()(),(0)(0)0.1f x g x f g x''====+且 试求011lim ()()x f x g x →⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第二章 导数与微分§2.1 导数的概念与性质(三)内容提要导数的定义：函数在一点0x x =处的导数定义有三种形式：1. 0000()()()lim x f x x f x f x xD +D -¢=D ；2. 0000()()()limx x f x f x f x x x ®-¢=-；3. 000()()()f x A f x f x A +-ⅱ =?=导数的几何意义：1.0()f x ¢在几何上为过曲线()y f x =上点00(,())x f x 处的切线斜率；2.当0()0f x ¢¹时，01()f x -¢为过曲线()y f x =上点00(,())x f x 处的法线斜率 导数的性质：1. 可导的偶函数的导数是奇函数；2. 可导的奇函数的导数是偶函数；3. 可导的周期函数的导数仍是周期函数，且周期不变。

(四)典型例题§2.2 导数的计算(三)内容提要1、基本初等函数的导数与微分：1()x x a a a -¢= ()l n (0,1)x x a a a a a ¢=>()x x e e ¢= ()1ln x x¢=()1l o g ln a x x a¢=()s i n c o s x x ¢= ()c o s s i n x x ¢=- ()2t a n s e c x x ¢=()2cot co x c x ¢=- ()s e cs e c t a n x x x ¢= ()co cot cocx cx x ¢=- ()s i n a r c x ¢= ()a r c c o sx ¢=- ()21n 1a r c t a xx ¢=+ ()21cot 1arc x x ¢=-+ 相应的有基本初等函数微分表（略）。

2、导数与微分的四则运算法则： （1）()()()()()f x g x f x g x ¢ⅱ? ；（2） ()()()()()()()f x g x f x g x f x g x ¢ⅱ=+ (3) 2()()()()(),(()0)()()f x f xg x g x f x g x g x g x ¢骣ⅱ-÷ç? ç÷÷ç桫相应的有微分的四则运算法则。

3、复合函数的导数：设()u x j =在x 处可导，()y f u =在对应点()u x j =处可导，则复合函数[()]y f x j =在x 处可导且 dy dy du dx du dx= 4、反函数的导数：如果函数()y f x =在区间I 上单调、可导且()0f x ¢¹，则它的反函数1()x f y -= 在相应区间上可导，且有11[()]()dx f y dy f x -¢==¢。

§2.3 中值定理与泰勒公式 (三)内容提要费马定理 若()y f x =在0x x =处可导且取极值，则0()0f x '=。

罗尔定理 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()()f a f b =，则至少存在一点(,)a b ξ∈使得()0f ξ'=拉格朗日定理 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈使得()()()f b f a f b aξ-'=-柯西定理设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导且()0g x '≠，则至少存在一点(,)a b ξ∈使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='- 泰勒定理 设()f x 在0x x =有n+1阶导数，则2()000000011()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x x x f x x x f x x x R x n '''=+-+-++-+L 其中()(1)1001()()(),1!n n n R x f x x x x n ξξ++=-+在与之间。