高等数学精简讲义(pdf版)

f ''(0) + 1 6
f '''(η2 )
两式相减： f '''(η1 ) + f '''(η2 ) = 6
∃ξ
∈[η1，η2 ]，∋
f
'''(ξ )
=
1[ 2
f
'''(η1) +
f
'''(η2 )] =
3
13. e < a < b < e2 ，求证： ln 2 b − ln 2 a > 4 (b − a) e2
三、补充习题（作业）
1. lim e x −1 − x = −3 （洛必达） x−>0 1 − x − cos x
2. lim ctgx( 1 − 1 )
x−>0
sin x x
∫x x e−t2 dt
3. lim x−>0
0
1− e−x2
=1
（洛必达或 Taylor） （洛必达与微积分性质）
第二讲 导数、微分及其应用
二、题型与解法 A.极限的求法
（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与 Taylor 级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1. lim x−>0
证： f (x) = f (0) + f '(0)x + 1 f ''(0)x2 + 1 f '''(η)x3
2!
3!
其中η ∈ (0, x), x ∈[−1,1]
0=
将 x=1，x=-1 代入有
f (−1) =
f (0) + 1 2
f ''(0) − 1 6
f '''(η1 )
1=
f (1) =
f (0) + 1 2
dx 0
3!
(2n + 1)!
∫ ∫ 或： x − t = u ⇒ d 0 sin u 2 (−du) = d x sin u 2du = sin x2
dx x
dx 0
10.求 f (x) = x2 ln(1 + x)在x = 0处的n阶导数f (n) (0)
E.不等式的证明 F.中值定理问题
解： x 2 ln(1 + x) = x 2 (x − x 2 + x3 − ⋅ ⋅ ⋅ + (−1)n−1 x n−2 + o(x n−2 )
t −>0
t
t
= 4 f '(1) = 8∴ f '(1) = 2∴ y = 2(x − 6)
6.已知 y = f (x)对一切x满足xf ''(x) + 2x[ f '(x)]2 = 1 − e−x ，
若f '(x0 ) = 0(x0 ≠ 0) ，求 (x0 , y0 ) 点的性质。
解：令 x =
解：需求 f (6), f '(6)或f (1), f '(1) ，等式取 x->0 的极限有：f(1)=0
C.导数应用问题
lim f (1 + sin x) − 3 f (1 − sin x)
x −>0
sin x
sin x=t
= lim[
f
(1 + t) −
f
(1)
+3
f
(1 − t) −
f
(1) ]
证：1）令 g(x) = (1 + x) ln 2 (1 + x) − x2 , g(0) = 0
g'(x), g''(x), g'''(x) = − 2 ln(1 + x) < 0, g'(0) = g''(0) = 0 (1 + x)2
∴ x ∈ (0,1)时g''(x)单调下降，g''(x) < 0, g'(x)单调下降 g'(x) < 0, g(x)单调下降，g(x) < 0；得证。
x
e
4.证明 x>0 时 (x 2 −1) ln x ≥ (x −1)2
证：令
g(x)
=
(x2
−1) ln
x
−
(x
−1)2 ,
g ' ( x),
g ' ' ( x),
g'''(x)
=
2(x 2 −1) x3
g(1) = g'(1) = 0，g''(1) = 2 > 0
x ∈ (0,1), g'''< 0, g''> 2 x ∈ (1,+∞), g'''> 0, g'' >
2）令 h(x) = 1 − 1 , x ∈ (0,1), h'(x) < 0,单调下降，得证。 ln(1 + x) x
12.设函数 f (x)在[−1，1] 具有三阶连续导数，且 f (−1) = 0, f (1) = 1，
f '(0) = 0 ，求证：在（-1，1）上存在一点ξ，使f '''(ξ ) = 3
一、理论要求 1.导数与微分
2.微分中值定理 3.应用
导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 理解 Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理 会用定理证明相关问题 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）
/
2
=
(0,
eπ
/
2
),
y'|θ
=π
/
2
=
−1
y − eπ /2 = −x
5.f(x) 为 周 期 为 5 的 连 续 函 数 ， 它 在 x=1 可 导 ， 在 x=0 的 某 邻 域 内 满 足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
x
∫0
sin(x − t)2 = (x − t)2 − 1 (x − t)6 + ⋅ ⋅ ⋅ + (−1)n (x − t)2(2n−1) + ⋅ ⋅ ⋅
3!
(2n + 1)!
∫ sin(x − t)2 dt = − 1 (x − t)3 + 1 (x − t)7 + ⋅ ⋅ ⋅ + (−1)n+1 (x − t)4n−1
解： x−>0
x3
x−>0
3x 2
= lim − 36sin 6x + 2 y'+xy'' = lim − 216 cos 6x + 3y''+xy'''
x −>0
6x
x−>0
6
= − 216 + 3y''(0) = 0∴ y''(0) = 72 6
lim 6 + f (x) = lim y' = lim y'' = 72 = 36 （洛必达）
二、题型与解法 A.积分计算
1. ∫
dx x(4 −
x)
=
∫
dx
= arcsin x − 2 + C
4 − (x − 2)2
2
∫ ∫ ∫ 2. e2x (tan x + 1)2 dx = e2x sec2 xdx + 2 e2x tan xdx = e2x tan x + C
∫ 3.设 f (ln x) = ln(1 + x) ，求 f (x)dx
证： Lagrange : f (b) − f (a) = f '(ξ ) b−a
令 f (x) = ln 2 x, ln 2 b − ln 2 a = 2 ln ξ
b−a
ξ
令 ϕ (t )
=
ln t t
,ϕ ' (t )
= 1 − ln t t2
<
0∴ϕ(ξ )
> ϕ(e2 ) ∴ lnξ ξ
>
arctan x − x ln(1 + 2x3 )
=
lim
x−>0
arctan x 2x3
−
x
=
−
1 6
（等价小量与洛必达）
2.已知 lim x−>0
sin 6x + x3
xf
(x)
=
0，求 lim x−>0
6
+ f (x) x2
lim sin 6x + xf (x) = lim 6 cos 6x + f (x) + xy'
x0代入，f ''(x0 ) =
e x0 −1 e x0 x0
=
⎧> ⎩⎨>
0, 0,
x0 x0
>0
，故为极小值点。
<0
7. y = x3 ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 (x −1)2