河北衡水中学2020届高三冲刺训练理科数学标准化训练(含参考答案)
2020届河北省衡水中学新高考冲刺模拟考试(一)理科数学
2020届河北省衡水中学新高考冲刺模拟考试（一)理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数22i+1iz=+，其中i是虚数单位，则复数z的模为（）A. B. C. D. 2 【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可．【详解】复数2z2i1i=++＝2i+()()()21i1i1i-+-＝2i+1﹣i＝1+i,则|z|故选C．【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．2.设集合201x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，则A B I =( )A. {}21x x -≤<- B. {}11x x -<≤C. {}21x x -≤<D. {}11x x -≤<【答案】A 【解析】 【分析】对集合,A B 分别进行不等式求解，并进行化简，再求交集，即可得答案. 【详解】因为2{|0}{|21}1x A x x x x +=≤=-≤<-， 集合22{|log (23)}{|3B x y x x x x ==--=>或1}x <-，所以{}21A B x x ⋂=-≤<-. 故选：A.【点睛】本题考查不等式的求解及集合的交运算，考查基本运算求解能力. 3.已知等比数列{}n a 满足118a =，243441a a a =-，则2a =( ) A. 14±B. 14C. 116±D.116【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式，将等式243441a a a =-化成关于1,a q 的方程，进而求得2a 的值.【详解】因为243441a a a =-，所以2424211114411162a q a q q q =-⇒=-， 解得：2q =±，所以2111(2)84a a q =⋅=⋅±=±. 故选：A.【点睛】本题考查等比数列的通项公式应用，考查基本运算求解能力.4.若,x y满足111yx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则2x y+的最大值为（）A. 2B. 5C. 6D. 7 【答案】B【解析】画出x，y满足约束条件111yx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，的平面区域，如图示：由11yy x=⎧⎨=-⎩，解得()2,1A，由2z x y=+可知直线过()2,1A时，z最大，得2215z=⨯+=，故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.53π B. 7πC.323πD. 13π【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案. 【详解】如图所示，连接AB 交CD 于D ，设球的半径为R ， 因为2CD AD BD =⋅，所以2(3)31BD BD =⋅⇒=，所以31222AD BD R ++===， 所以34123233333V πππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、组合体体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力. 6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的n = ( )A. 25B. 45C. 60D. 75【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，解方程1003(100)3nn =+-得75n =，即可得到答案. 【详解】根据程序框图，当1003(100)3nn =+-时，解得75n =，此时，100S =终止循环. 故选：D.【点睛】本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解方程问题.7.若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（ ） A. //a β且αβ⊥ B. a β⊂且αβ⊥C. a b ⊥且//b αD. a β⊥且//αβ【答案】D 【解析】考点：平面的基本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：若a ⊥β且α∥β，则有a ⊥α，反之不成立，于是，“a ⊥β且α∥β”是“a ⊥α”成立的充分不必要条件． 解答：解：若a ⊥β且α∥β，则有a ⊥α， 反之不成立，于是，“a ⊥β且α∥β”是“a ⊥α”成立的充分不必要条件， 故选D ．点评：本题考查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 8.若实数x ，y ，z 满足23log log 2z x y ==，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A. x <y <z B. x <z <y C. z <x <y D. z <y <x【答案】C 【解析】 【分析】令23log log 2(0)z x y k k ===>，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案.【详解】令23log log 2(0)z x y k k ===>，则2,3k kx y ==，因为0k >，由2,3xxy y ==的图象可得：32k k >，所以y x >；因为2log y x =与2xy =互为反函数，图象关于y x =对称，因为2log 2(0)z x k k ==>，所以z x <， 综上所述：z x y <<. 故选：C.【点睛】本题考查利用函数的图象研究数的大小，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意借助函数的图象进行研究.9.已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若ABC ∆的面积为2，则k 的值为( ) A. 3或13B. 0C.13D. 3【答案】B 【解析】 【分析】先求出点B 的坐标，再利用ABC ∆的面积为2，得到关于k 的方程，从而求得答案.【详解】设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，则(0,3)B ，设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立， 解得：231,11k k x y k k +=-=++，则231(,)11k k C k k +-++， 因为直线AB 的方程为：3y x =+，且||AB =点C 到直线AB的距离231|3|k k d +--+所以12|1||1|02k k k ⋅=⇒-=+⇒=. 故选：B.【点睛】本题考查点关于直线对称、点到直线距离、三角形面积公式，考查数形结合思想的运用，考查运算求解能力.10.已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为( )A.B. C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】利用弦长公式分别计算||AB 、||CD 关于k 的表达式，再利用||3||AB CD =求得k 的值. 【详解】设直线l 的方程为2p y kx =+代入抛物线2:2(0)C x py p =>消去x ，整理得：222(2)04p y p pk y -++=，则2122y y p pk +=+，所以2212||222AB y y p p pk p p pk =++=++=+，圆22222230()42px y py p x y p +--=⇒+-=， 圆心为(0,)2p，半径为p ， 因为直线过圆心，所以||2CD p =，因为||3||AB CD =，所以2226p pk p k +=⇒=故选：A.【点睛】本题考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、弦长计算，考查转化与化归思想的应用，考查运算求解能力，求解时注意弦CD 的特殊性，即可简化运算.11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=u u u u r u u u r ，则A 的值为( ) A. 3 B. 2C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可令0ϕ=，点(,0)M m 为坐标原点，再利用212MN PN π⋅=u u u u r u u u r 得到点P 的坐标，代入函数解析式，并求得A 的值.【详解】因为函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π， 所以22ππωω=⇒=，令0ϕ=得()sin 2f x A x =，令0m =，则(0,0)M ，因为212MN PN π⋅=u u u u r u u u r ，所以PN uuu r 在MN u u u u r 方向的投影为2126||2MN PN MN πππ⋅==u u u u r u u u ru u u ur ，所以263a πππ=-=，所以3,32P π⎛⎫⎪⎝⎭，所以3sin(2)32A A π⋅=⇒=故选：C.【点睛】本题考查平面向量数量积与三角函数图象的交会、三角函数的周期及对称性，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解过程利用特值法，令0ϕ=，0m =，能使运算过程更简便. 12.已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a R =+-∈，以下四个命题： ①当a e ≤-时，函数()f x 存在零点； ②当0a <时，函数()f x 没有极值点；③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增； ④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立． 其中的真命题为( ) A. ②③ B. ①④C. ①②D. ③④【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得导数大于0在(0,)π恒成立，可得③正确，从而排除B ，C ，再根据导数方程，可得当0a <时，方程有解，故排除A ，从而得到正确选项.【详解】因为'1(n )si x f x x x a =++， 对③，当0a =时，'1(n )si x f xx =+，因为(0,)x π∈时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 在(0,)π上单调递增，故③正确，故排除B ，C ； 对②，因为'11sin s n (i )ax x ax x f x x x =++⇔+=-，令1y ax x =+，因为0a <，所以函数1y ax x=+在(0,)+∞单调递减，且0x →时，y →+∞；x →+∞时，y →-∞；又因为sin y x =在存在(0,)+∞是连续的函数，且[1,1]y ∈-，所以两个函数一定有交点，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得0001sin ax x x +=-，即'0()0f x =有解，且在0x 的两侧导数值异号，所以0a <时，函数()f x 没有极值点是错误，故排除A.故选：D【点睛】本题查利用导数研究函数的性质，考查数形结合思想、函数与方程思想，求解时要注意利用排除法进行求解，可使问题的求解更高效.第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答． 第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量(1,2)=-r a ，(,1)b m m =-r ，若//a b r r ，则a b ⋅r r=_______．【答案】5- 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标运算求得m 的值，再利用向量的坐标求数量积.【详解】因为//a b r r，所以1(1)21m m m ⋅-=-⋅⇒=-，所以(1,2)=-r a ，(1,2)b =-r，所以145a b ⋅=--=-r r .故答案为：5-.【点睛】本题考查向量平行与数量积的坐标运算，考查基本概念的理解，属于基础题.14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则()()1115f f +=_______．【答案】12【解析】 【分析】利用()f x 定义在R 上的奇函数，得a 的值，再由(4)(4)f x f x +=-得到函数的周期，从而利用函数解析式求()11f ，()15f 的值，即可得到答案.【详解】因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)101f a a =+=⇒=-， 所以21,[0,2),()36,[2,4),2x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，因为(4)(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x =+，所以()3311(3)3622f f ==-⋅+=，(15)(1)(1)1f f f =-=-=-， 所以()()1115f f +12=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查奇函数的性质、函数的周期性及函数值的计算，考查函数与方程思想和运算求解能力，求解时注意(0)0f =的运用.15.若sin()2cos )4αααπ+=+，则sin 2α=_______． 【答案】35-【解析】【分析】 由两角和的正弦展开并对等式进行化简得tan α的值，再根据同角三角函数的基本关系，求得sin ,cos αα的值，进而利用倍角公式求得sin 2α的值.【详解】因为sin()2cos )4αααπ+=+，αααα+，整理得：tan 3α=-，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以3sin 22sin cos 5ααα=⋅=-. 故答案为：35-【点睛】本题考查两角和正弦公式、同角三角函数基本关系、倍角公式，考查三角恒等变形能力和运算求解能力.16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2．设11C D 的中点为E ，则PE 的最小值为_______．【解析】【分析】取CD 的中点M ，连接,EM PM ，建立平面直角坐标系，求出点P 在正方形ABCD 所在平面内的轨迹方程，再将问题转化成求PM 的最小值.【详解】因为正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2，则点P 在平面ABCD 内的轨迹为双曲线，其方程为2213y x -=，则03≤≤y ， 取CD 的中点M ，连接,EM PM ，则222216PE PM ME PM =+=+，当PM 最小时，则PE 最小.设(,)P x y ，(0,4)M ，则22224(4)8173PM x y y y =+-=-+，03≤≤y ， 对称轴3y =，所以函数在03≤≤y 单调递减，所以当3y =时，2min ()1224175PM =-+=，所以PE .21【点睛】本题以立体几何为问题背景与解析几何中的双曲线进行知识交会，考查距离的最值问题，二次函数的性质，求解时注意利用坐标法思想进行求解，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n a n =；（2）21n n + 【解析】【分析】 （1）利用临差法得到11(2)2n n a a n +-=≥，从而证明数列{}n a 为等差数列，进而求得通项公式； （2）将通项进行改写，再利用裂项相消法进行求和.详解】（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎨+=≥⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，又Q 0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥， 当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去）， ∴2111122a a -=-=， ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12， 所以12n a n = ． （2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅， 所以123n n T b b b b =++++L11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+L ] 122(1)11n n n =-=++． 【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式、裂项相消法求和，考查数列中的基本量法，考查运算求解能力.18.如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =，2π3EBC ?，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．（1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）3π 【解析】【分析】（1）取DE 中点F ，分别连结AF ,FN ，证明//AF MN ，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，得则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -，求出1(1,0,0)n =u u r 为平面ABCD 的一个法向量，2(1,0,3)=u u rn 为平面AED 的法向量，从而求得二面角E AD B --的大小．【详解】（1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN又N 为BC 中点， 所以1//,2FN CD FN CD =,因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =，所以四边形AMNF 为平行四边形，所以//AF MN ，又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ，所以//MN 平面AED ．（2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD I 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -，因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)n =u u r为平面ABCD 的一个法向量，设2(,,)n x y z =u u r 为平面AED 的法向量，因为(0,2,0)AD =u u u r ，(3,1,1)AE =--u u u v， 所以2200AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u u v ，得2030y x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩， 故可取2(1,0,3)=u u r n ，则1212121cos ,2⋅<>==⋅u u r u u r u u r u u r u u r u u r n n n n n n ， 由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角E AD B --的大小为3π．【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意找到三条两两互相垂直的直线，才能建立空间直角坐标系. 19.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 22cos b c a C -=⋅，22c = （1）求A ； （2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围． 【答案】（1）4A π=；（2）(5,10) 【解析】 【分析】 （122cos b c a C -=⋅中的边化成角得到2cos A =A 的值； （2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.【详解】（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -=， 又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+，cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=，sin sin 0A C C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos 2A =0A π<<， 所以4A π=.（2）由（1）知4A π=， 根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，， 解得42C ππ<<. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B =，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b C C Cπ++===+， 因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞， 所以(24)b ∈，. 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r ， 所以221()4AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r 21(48)4b b =++21(2)14b =++， 因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为. 【点睛】本题考查正弦定理的应用、利用向量解三角形及二次函数知识应用，考查数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的综合运用，求解时要有变量思想，即将b 表示成关于角C 的函数.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）916π 【解析】【分析】（1）由离心率得2a c =，再利用2ABF ∆的周长为8得2a =，从而得到,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程； （2）将2ABF ∆的内切圆面积的最大值转化为求2ABF S ∆的值最大，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，从而将面积表示成关于m 的函数，再利用换元法研究函数的最值.【详解】（1）Q 离心率为12c e a ==，∴2a c =， Q 2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，∴1c =，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅， 又Q 22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-， 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得>0∆，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-==，设1t =≥，则2212121313ABF t S t t t∆==++， 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增， 所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3， 此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π． 【点睛】本题考查椭圆的离心率、方程的求解、焦点三角形的性质，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的灵活运用.21.已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b R +=⋅--∈．（1）若0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求a 的值；（2）若2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求a 的最小值．【答案】（1）2a =-；（2）【解析】【分析】（1）对函数进行求导得1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，再利用导数的几何意义得(1)2f '=，从而得到关于a 的方程，解方程即可得到答案；（2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，将函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+，则(1)2g =，从而将问题转化为12ln x a x +=-有解，再构造函数12ln ()x h x x +=-，利用导数研究函数的值域，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）当0b =时，21()ax f x x e ax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，由1(1)(2)2a f ea a +'=+-=， 得1(2)(2)0a e a a ++-+=，即1(1)(2)0a e a +-+=，解得1a =-或2a =-，当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，所以2a =-.（2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e +=，设21ax t x e +=，则ln 2ln 1t x ax =++，故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，此时1t =，函数的()f x 的值域为[2,)+∞问题转化为当1t =时，ln 2ln 1t x ax =++有解，即ln12ln 10x ax =++=，得12ln x a x+=-. 设12ln ()x h x x +=-，则22ln 1()x h x x -'=，故()h x 的单调递减区间为，单调递增区间为)+∞，所以()h x 的最小值为h = 故a 的最小值为【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求参数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对问题进行多次转化，同时注意构造函数法的应用.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点.（1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅=，求α的值.【答案】(1) sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2) 12πα=或512πα=．【解析】【分析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可.【详解】解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++= 将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得：22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<，24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩， 所以120sin cos 2ρρραα+==+，所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=， 又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=解法二：（1）因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C e 的内部）， 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以t ∈， 则21sin 2t α-=，所以t 224(1)3t t -⋅=，即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去）， 所以21sin 212t α=-=， 又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈， 所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=． 【点睛】本题主要考查了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型.23.已知11212x x m++-?在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ；（2）若,a b 均为正数，且11a M b +=-,求2a b -的取值范围.【答案】(1)2(2) (,)-∞-⋃+∞．【解析】【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M .(2)由(1)得2M =,再利用11a M b +=-将a 转换为关于b 的表达式,再利用基本不等式求解即可.【详解】解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-， Q 1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立， ∴min 1()2f x m ≥-， 又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， ∴min 3()2f x =，∴2m ≤，∴m 的最大值2M =．（2）由（1）得2M =，故121a b +=-．0,0a b >>Q ，1232011b a b b -∴=-=>--，32b ∴>或01b <<． 故112222(1)11a b b b b b -=--=-+--．当01b <<时，011b <-<，2a b -? 当且仅当12(1)1b b -=-，即1b =-时取“=”； 当32b >时，112b ->，122(1)1a b b b 轾犏-=--+?-犏-臌 当且仅当12(1)1b b -=-，即12b =+时取“=”． 所以2a b -的取值范围是(,)-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查了绝对值函数的求解以及基本不等式的用法,属于中等题型.。
2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷及答案
| 4 - x 22河北衡水中学 2020 年高考押题试卷理数试卷（一）第Ⅰ卷一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A = {x ∈ Z 1≥ 0}， B = {x | ≤ 2x ≤ 4} ，则 A I B =（ ）x + 2 4A ． {x | -1 ≤ x ≤ 2}B ．{-1,0,1,2}C ． {-2, -1,0,1,2}D ．{0,1,2}2.已知 i 为虚数单位，若复数 z = 1 - ti1 + i在复平面内对应的点在第四象限，则 t 的取值范围为（ ）A ． [-1,1]B ． (-1,1)C ． (-∞, -1)3.下列函数中，既是偶函数，又在 (-∞,0) 内单调递增的为（）D ． (1,+∞)A. y = x 4 + 2 x B ． y = 2|x|C. y = 2 x - 2- x D ． y = log | x | -11 24.已知双曲线 C ： 1 x2 x2- y 2 = 1与双曲线 C：- y 2 = -1 ，给出下列说法，其中错误的是（ ） 2A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列 {a } 中，“ a ， a 是方程 x 2 + 3x + 1 = 0 的两根”是“ a = ±1 ”的（）n 4128A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.执行如图的程序框图，则输出的 S 值为（）A.1009 B ．-1009 C.-1007 D ．10087.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πA．(-52B．a2+b2≥2ab(a>0,b>0)1ππ1π1+B．+1C．+D．+6312123438.已知函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象如图所示，则函数g(x)=A c os(ϕx+ω)图象的一个对称中心可能为（）1111,0)B．(,0) C.(-,0)D．(-,0)26269.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，B C=b，则该图形可以完成的无字证明为（）A.a+b≥ab(a>0,b>0)2abC.≤ab(a>0,b>0)a+b D．a+b a2+b2≤22(a>0,b>0)10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A．720B．768 C.810D．81611.焦点为F的抛物线C：y2=8x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当|MA||MF|取得最大值时，f ( x) = ⎨ x 2 + 2g ( x) = ax + 1 ，对 ∀x ∈ [-2,0] ， ∃x ∈ [-2,1]，使得 g ( x ) = f ( x ) ，则实数 ,3 < x ≤ 4, ⎪A ． (-∞, - 1 14.已知实数 x ， y 满足不等式组 ⎨ x + 2 y - 5 ≥ 0, 且 z = 2 x - y 的最大值为 a ，则 ⎰ a cos 2 ⎪ y - 2 ≤ 0,直线 MA 的方程为（）A ． y = x + 2 或 y = - x - 2C. y = 2 x + 2 或 y = -2 x + 2B ． y = x + 2D ． y = -2 x + 212.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x + 2) = 2 f ( x ) ，且当 x ∈ [2,4] 时，⎧- x 2 + 4 x ,2 ≤ x ≤ 3, ⎪ 1 2 2 1⎩ xa 的取值范围为（）1) U[ , +∞)8 8B ． [- 1 1,0) U (0, ]4 8C. (0,8]1 1D ． (-∞, - ] U[ , +∞)4 8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题和第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.r r r r r r r13.已知 a = (1,λ ) ， b = (2,1) ，若向量 2a + b 与 c = (8,6) 共线，则 a 和 b 方向上的投影为．⎧ x - y - 2 ≤ 0,⎪ π ⎩0 x 2dx = ．15.在 ∆ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， b tan B + b tan A = -2c tan B ，且 a = 8 ， ∆ABC的面积为 4 3 ，则 b + c 的值为．16.已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） A - BCD 的外接球， BC = 3 ，AB = 2 3 ，点 E 在线段 BD 上，且 BD = 3BE ，过点 E 作圆 O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知 (1+ x) + (1+ x)2 + (1+ x)3 + L + (1+ x)n 的展开式中 x 的系数恰好是数列 {a } 的前 n 项和 S .n n（1）求数列 {a } 的通项公式；n（2）数列{b}满足b=n n(22a nan-1)(2a n+1-1)，记数列{b}的前n项和为T，求证：T<1.n n n18.如图，点C在以AB为直径的圆O上，P A垂直与圆O所在平面，G为∆AOC的垂心.（1）求证：平面OPG⊥平面PAC；（2）若P A=AB=2A C=2，求二面角A-OP-G的余弦值.19.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20.已知椭圆C：x2y240+=1(a>b>0)的长轴长为6，且椭圆C与圆M：(x-2)2+y2=的公共弦长a2b29为4103.（1）求椭圆C的方程.（2）过点P(0,2)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得∆ADB为以AB为底边的等腰三角形.若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.21.已知函数f(x)=2ln x-2mx+x2(m>0).（1）讨论函数f(x)的单调性；23 ⎪ x =4 + 已知直线 l 的参数方程为 ⎨（2）当 m ≥ 3 2时，若函数 f ( x ) 的导函数 f '(x) 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点，其横坐标分别为 x ，1x ( x < x ) ，线段 AB 的中点的横坐标为 x ，且 x ， x 恰为函数 h( x ) = ln x - cx 2 - bx 的零点，求证：212122( x - x )h '(x ) ≥ - + ln 2 . 1 2 0请考生在第 22、23 题中任选一题作答.并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分 .22.选修 4-4：坐标系与参数方程⎧ 2 ⎪ 2⎪ y = 2 t ⎪⎩ 2 t,（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ = 4cos θ ，直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点.（1）求圆 C 的直角坐标方程及弦 AB 的长；（2）动点 P 在圆 C 上（不与 A ， B 重合），试求 ∆ABP 的面积的最大值.23. 选修 4-5：不等式选讲.已知函数 f ( x ) =| 2 x - 1| + | x + 1| .（1）求函数 f ( x ) 的值域 M ；（2）若 a ∈ M ，试比较 | a - 1| + | a + 1| ，3 7， - 2a 的大小.2a 2即S=122参考答案及解析理科数学（Ⅰ）一、选择题1-5:BBDDA6-10:BCCDB11、12：AD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.3514.3π15.4516.[2π,4π] 5三、解答题17.解：（1）(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+L+(1+x)n的展开式中x的系数为C1+C1+C1+L+C1=C2+C1+C1+L+C1=C2= 123n223n n+11n2+n，n 11n2+n，22所以当n≥2时，a=S-Sn n n-1=n；当n=1时，a=1也适合上式，1所以数列{a}的通项公式为a=n.n n（2）证明：b=n2n11=-(2n-1)(2n+1-1)2n-12n+1-1，所以Tn111111=1-+-+L+-=1-3372n-12n+1-12n+1-1，所以T<1.n18.解：（1）如图，延长OG交AC于点M.因为G为∆AOC的重心，所以M为AC的中点.因为O为AB的中点，所以OM//B C.因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，所以OM⊥AC.因为P A⊥平面ABC，OM⊂平面ABC，所以P A⊥OM.又P A⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，P A I AC=A，所以OM⊥平面PAC.即OG⊥平面PAC，又OG⊂平面OPG，所以平面OPG⊥平面PAC.z 13 1 3 3 1 ⎧ 3⎪ n ⋅ O M = - x = 0, ⎪ 2⎪n r ⋅ O P r = - 3 x + 1 y + 2 z = 0,H = CH cos ∠HCB = 3H = CH sin ∠HCB = uuur r| CH ⋅ n | 设二面角 A - OP - G 的大小为 θ ，则 cos θ = uuu r r = =uuur uuur uuur（2）以点 C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为 x ，y ，轴正方向建立空间直角坐标系 C - xyz ，则 C (0,0,0) ，A(0,1,0) ，B( 3,0,0) ，O( uuuur uuur , ,0) ，P(0,1,2) ，M (0, ,0) ，则 OM = (- ,0,0) ，OP = (- , , 2) .2 2 2 2 2 2r uuuur r平面 OPG 即为平面 OPM ，设平面OPM 的一个法向量为 n = ( x , y , z) ，则 ⎨ uuu ⎪⎩ 2 2r令 z = 1，得 n = (0, -4,1) .过点 C 作 CH ⊥ AB 于点 H ，由 P A ⊥ 平面 ABC ，易得 CH ⊥ P A ，又 P A I AB = A ，所以 CH ⊥ 平面 P AB ，uuur即 CH 为平面 P AO 的一个法向量.1 3在 Rt ∆ABC 中，由 AB = 2 A C ，得 ∠ABC = 30︒ ，则 ∠HCB = 60︒ ， CH = CB =2 2 .所以 x3 ， y4 4.uuur 所以 CH = (3 3, ,0) . 4 43 3 | 0 ⨯ -4 ⨯ + 1⨯ 0 | 4 4| CH | ⋅ | n | 3 9+ ⨯ 42 + 12 16 162 5117.19.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则P( A ) = C 3 3 = C 3 101 120，C2C17=3所以E(X)=0⨯1~B(3,3所以4得∆ADB为以AB为底边的等腰三角形，则DE⊥AB.由⎨x2y2得(8+9k2)x2+36kx-36=0，故⎪+所以两位顾客均享受到免单的概率为P=P(A)⋅P(A)=114400.（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0，600，700，1000.P(X=0)=C33=C31017，P(X=600)=，120C34010P(X=700)=C1C237=C31021C3，P(X=1000)=7=40C310724，故X的分布列为，72171+600⨯+700⨯+1000⨯=764（元）.1204040246若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z=1000-200Y，由已知可得Y39)，故E(Y)=3⨯=，101010所以E(Z)=E(1000-200Y)=1000-200E(Y)=820（元）.因为E(X)<E(Z)，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20.解：（1）由题意可得2a=6，所以a=3.由椭圆C与圆M：(x-2)2+y2=可得椭圆C经过点(2,±210)，340=1，解得b2=8.+99b2x2y2所以椭圆C的方程为+=1.98409410的公共弦长为，恰为圆M的直径，3（2）直线l的解析式为y=kx+2，设A(x,y),B(x,y)，AB的中点为E(x,y).假设存在点D(m,0)，使112200⎧y=kx+2,⎪=1,⎩989k 2 + 8 9k 2 + 8- 09k 2 + 8-18k k 9k + 8 < x <x + x =- 1 2 36k 9k 2 + 8，-18k 16所以 x = ， y = kx + 2 =0 0 0. 因为 DE ⊥ AB ，所以 k DE =- 1 k，161 即 =- ，- m9k 2 + 8所以 m = -2k -2 =9k 2 + 8 k.8当 k > 0 时， 9k + ≥ 2 9 ⨯ 8 = 12 2 ，k所以 -2 ≤ m < 0 ；12当 k < 0 时， 9k + 8 k≤ -12 2 ，所以 0 < m ≤ 2 12 .综上所述，在 x 轴上存在满足题目条件的点 E ，且点 D 的横坐标的取值范围为 [- 2 2,0) U (0, ] .12 122( x 2 - mx + 1)21. 解：（1）由于 f ( x ) = 2ln x - 2mx + x 2的定义域为 (0, +∞) ，则 f '(x) = .x对于方程 x 2 - mx + 1 = 0 ，其判别式 ∆ = m 2 - 4 .当 m 2 - 4 ≤ 0 ，即 0 < m ≤ 2 时， f '(x) ≥ 0 恒成立，故 f ( x ) 在 (0, +∞) 内单调递增.m ± m 2 - 4当 m 2 - 4 > 0 ，即 m > 2 ，方程 x 2 - mx + 1 = 0 恰有两个不相等是实根 x =，2m - m 2 - 4 m + m 2 - 4令 f '(x) > 0 ，得 0 < x < 或 x > ，此时 f ( x ) 单调递增；2 2m - m 2 - 4 m + m 2 - 4 令 f '(x) < 0 ，得 ，此时 f ( x ) 单调递减.2 2综上所述，当 0 < m ≤ 2 时， f ( x ) 在 (0, +∞) 内单调递增；当 m > 2 时， f ( x ) 在 ( m - m 2 - 4 m + m 2 - 4, )2 2xxx - xx x + x x - x 2 2 1 2 xt因为 m ≥ 3 2内单调递减，在 (0, m - m 2 - 4 m + m 2 - 4) ， ( , +∞) 内单调递增.2 22( x 2 - mx + 1)（2）由（1）知， f '(x) = ，所以 f '(x) 的两根 x ， x 即为方程 x 2 - mx + 1 = 0 的两根.因为1 2m ≥ 3 22，所以 ∆ = m 2 - 4 > 0 ， x + x = m ， x x = 1 .1 2 1 2又因为 x ， x 为 h( x ) = ln x - cx 2 - bx 的零点，1 2所以 ln x - cx 2 - bx = 0 ， ln x - c 2 - bx = 0 ，两式相减得 ln 1 11 2 22x1 - c( x - x )( x + x ) - b ( x - x ) = 0 ，得1 2 1 2 1 2 2x ln 1xb == c( x + x ) . 1 2 12而 h '(x) =1- 2cx - b ，所以xxln 11 2 x( x - x )h '(x ) = ( x - x )( - 2cx - b ) = ( x - x )[ - c( x + x ) -+ c( x + x )] 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 12 12x1 - 12( x - x ) x x= - ln 1 = 2 ⋅ 2 x + x x x 1 2 2 1 + 1 x2x - ln 1 .x 2令x1= t (0 < t < 1) ，由 ( x + x )2 = m 2 得 x 2 + x 2 + 2 x x 12121 22= m 2 ，因为 x x = 1 ，两边同时除以 x x ，得 t +1+ 2 = m 2 ，1 2 1 21 5 1 1，故 t + ≥ ，解得 0 < t ≤ 或 t ≥ 2 ，所以 0 < t ≤ .2 t 2 2 2设 G(t ) = 2 ⋅ t - 1 t + 1- ln t ，所以 G '(t ) =-(t - 1)2 t (t + 1)2 < 0 ，则 y = G(t ) 在 (0, 1 2] 上是减函数，所以 G(t ) min 1 2= G( ) = - + ln 2 ， 2 33 圆 C 的参数方程为 ⎨ （ θ 为参数），y = 2sin θ ,123. 解：（1） f ( x ) = ⎨2 - x, -1 ≤ x ≤ ,2 ⎪⎩ 2 2 2 2即 y = ( x - x )h '(x ) 的最小值为 - 1 2 0 2 3 + ln 2 .2所以 ( x - x )h '(x ) ≥ - + ln2 .1 2 0 22.解：（1）由 ρ = 4cos θ 得 ρ 2 = 4ρ cos θ ，所以 x 2 + y 2 - 4 x = 0 ，所以圆 C 的直角坐标方程为 ( x - 2)2 + y 2 = 4 .将直线 l 的参数方程代入圆 C : ( x - 2)2 + y 2 = 4 ，并整理得 t 2 + 2 2t = 0 ，解得 t = 0 ， t 1 2 = -2 2 .所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 | t 1 - t |= 2 2 .2（2）直线 l 的普通方程为 x - y - 4 = 0 .⎧ x = 2 + 2cos θ ,⎩可设曲线 C 上的动点 P(2 + 2cos θ ,2sin θ ) ，则点 P 到直线 l 的距离d = | 2 + 2cos θ -2sin θ - 4 |2 2 + 2 .π π=| 2cos(θ + ) - 2 | ，当 cos(θ + ) = -1 时，d 取最大值，且 d 的最大值为4 4所以 S∆ABP 1 ≤ ⨯ 2 2 ⨯ (2 + 2) = 2 + 2 2 ，2即 ∆ABP 的面积的最大值为 2 + 2 .⎧⎪ -3x, x< -1,⎪⎪ ⎪⎪1 3x, x > .根据函数 f ( x ) 的单调性可知，当 x = 1 1 3时， f ( x ) = f ( ) = . min所以函数 f ( x ) 的值域 M 3 = [ , +∞) .23 3（2）因为 a ∈ M ，所以 a ≥ ，所以 0< 2 2a又 | a - 1| + | a + 1| = a - 1 + a + 1 = 2a ≥ 3 ， ≤ 1.所以a≥32，知a-1>0，4a-3>0，(a-1)(4a-3)37所以>0，所以>-2a，2a2a237所以|a-1|+|a+1|>>-2a.2a2。
河北省衡水中学2020届高三年级模拟试题(一)(理数)
河北省衡水中学2020届高三年级模拟试题（一）数 学（理科）本试卷总分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5 mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数iiz -=12，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合}0)2)(2(|{≤+-=x x x A ，}0|{a x x B ≤<Z ∈=．若}2,1{=B A I ，则实数a 的取值范围是 A ．),2[+∞B ．),2(+∞C ．),1[+∞D ．),1(+∞3．2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6 668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1～8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下：报价区间（单位：万元）[)2,1[)3,2[)4,3频数103640则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为 A ．30 B ．42 C ．54 D ．804．已知c b a >>，且0=++c b a ，则下列不等式一定成立的是A ．bc ab >B ．bc ac <C ．||||bc ab >D ．011>+ca5．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+≤,0632,2,2y x x y x y 则y x z 2-=的最小值为A ．2-B ．4-C ．6-D ．8- 6．已知0<ab ，若函数x x x f cos sin )(+=在区间],[b a 上单调，则ab 的最小值是A ．42π-B ．1632π-C ．82π-D ．162π-7．某正方体的三视图中的侧视图如图所示，是由两个全等的长方形构成，则该正方体的体积为A ．8B ．23C ．4D ．228．已知数列}{n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，0>n a ，32=S ，154=S ．对任意的正整数n ，下列结论正确的是A ．122++=+n n n a a aB ．1+>n n a SC ．213++++>+n n n n a a a aD ．21++≥⋅n n n a a a9．已知四棱锥ABCD P -的所有棱长均相等，过其外一点且与直线PA 和BC 所成的角都是o60的 直线的条数是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．如图所示的44⨯正方形网格，可看成是横向、纵向各五条相等线段相交成的封闭图形，横向、纵向各取2条线段，则围成的封闭图形为正方形的概率为A ．101 B ．51 C ．103 D ．52 11．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ，过F 作直线l 与两条渐近线交于B A ,两点，若OAB ∆为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则OAB ∆的面积为A ．2aB ．22aC ．22a 或2aD ．22a 或221a12．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 是正方形ABCD 的中心，线段EF 过点O ，且1==OF OE ，EF 绕着点O 旋转，M 为线段AB 上 的动点，则MF ME ⋅的最小值为A ．21- B ．22- C ．23- D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【精准解析】河北省衡水中学2020届高三模拟(三)数学(理)试题
③
f
16 3
f
1 2 ；④关于
x 的方程
f
x t
0（0t
1）在区间 2, 7 上的所有实根
之和是 12. A. ①④ 【答案】A 【解析】
B. ①②④
C. ③④
D. ①②③
【分析】
由题意可知 f x 的图象关于直线 x 1 对称，①正确；利用 f x 2 f x 0 和函数的
（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
-1-
C. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
D. 既不充分也不必要条件
本题首先可以根据圆的方程确定圆心与半径，然后通过证明当 m 2 时直线 l 与圆 O 相切即
可得出“ m 2 ”是“直线 l 与圆 O 相切”的充分条件，最后通过求解当直线 l 与圆 O 相切 时 m 的值即可得出“ m 2 ”不是“直线 l 与圆 O 相切”的必要条件，即可得出结果.
1
，则
A
B
（
）
4 x2
A. 2,1
B. 2,1
C. , 2
D.
, 2
【答案】A 【解析】 【分析】 化简集合 B,根据交集的定义求解即可.
【详解】由题意知 B x 2 x 2 ，则 A B x 2 x 1 .故选 A.
【点睛】本题考查了集合的运算,以及函数的性质,属于基础题.
3.已知直线 l ： y x m 和圆 O ： x2 y2 1 ，则“ m 2 ”是“直线 l 与圆 O 相切”的
f x 4 f x 2 f x ，所以 f x 是周期函数，其一个周期为 4，但不能说明 2 是
f x 的周期，故②错误；
由
f
x 的周期性和对称性可得
2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷含答案
河北衡水中学2020年高考押题试卷理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数122z =--，则||z z +=（ ） A．122-- B．122i -+ C．122+ D．122- 2.集合2{|30}A x x x =-≤，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B I =（ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|13}x x ≤<C ．{|23}x x <≤D ．{|02}x x <≤3.已知函数()cos()6f x x ωπω=-(0)ω>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移3π个单位而得 B 可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移6π个单位而得D ．可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移6π个单位而得4.已知实数x ，y 满足约束条件33,24,34120,y x y x x y ≥-⎧⎪≤+⎨⎪++≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A.2 B ．3 C.4D ．55.一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于M ，若2AB AE =u u u r u u u r，3AD AF =u u u r u u u r ，AM AB AC λμ=-u u u u r u u u r u u u r (,)R λμ∈，则52μλ-=（ ）A ．12-B ．1 C.32D ．-36.在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若2~(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=.（ ）A.906 B ．1359 C.2718 D.34137.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A ．808π+B ．804π+C ．808π-D ．804π- 8.已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（ ）A ．2016?n ≤B ．2017?n ≤ C.2015?n < D ．2017?n < 9.已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ） A.3 B ．72 C.185D ．4 10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点00(2)()2pM x x >是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =3|MA ，若=2，则||AF =（ ） A ．32B ．1 C.2 D ．311.若定义在R 上的可导函数()f x 满足(1)1f =，且2'()1f x >，则当3[,]22x ππ∈-时，不等式23(2cos )2sin 22xf x >-的解集为（ ） A. 4(,)33ππ B ．4(,)33ππ- C.(0,)3π D ．(,)33ππ-12.已知0x 是方程222ln 0xx ex +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01x e< C.002ln 0x x += D ．002ln 0x e x += 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若26()baxx+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ． 14.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，16bc =，则ABC ∆的面积为 ．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B 两点，点)C ，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ． 16.已知下列命题：①命题“x R ∀∈，235x x +<”的否定是“x R ∃∈，235x x +<”； ②已知p ，q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝为真命题”；③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(2)(1)n n na n S n n +=+++，*n N ∈. （1）证明：数列{1}nS n+为等比数列； （2）求12n n T S S S =+++L .18.如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，BE EC ⊥，6BC =，43AB =,30ABC ∠=︒.（1）求证：AC BE ⊥；（2）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值.19.某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm ）频数分布表如表1、表2. 表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165,180)的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[165,180)学生的人数，求X 的分布列及数学期望.20. ABC ∆中，O 是BC 的中点，||32BC =其周长为632+，若点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =. （1）建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；（2）若M ，N 是射线OC 上不同的两点，||||1OM ON ⋅=，过点M 的直线与E 交于P ，Q ，直线QN 与E 交于另一点R ，证明：MPR ∆是等腰三角形.21. 已知函数2()xf x e x a =-+，x R ∈，曲线()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为y bx =. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）当x R ∈时，求证：2()f x x x ≥-+；（3）若()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C ：2cos ρθ=，曲线2C ：(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为12,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C ，2C 的直角坐标方程；（2）C 与1C ，2C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为H ，I ，J ，K ，求||||||HI JK -的值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知a ，b 为任意实数.（1）求证：42242264()a a b b ab a b ++≥+；（2）求函数4224()|2(16)|f x x a a b b =-+--332|(221)|x a b ab +-+-的最小值.参考答案及解析理科数学一、选择题1-5:CADBA 6-10:BBBBB 11、12：DC二、填空题13.2 14.② 三、解答题17.解：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以1()(2)(1)n n n n S S n S n n +-=+++，即12(1)(1)n n nS n S n n +=+++，则1211n n S Sn n+=⨯++， 所以112(1)1n n S S n n ++=++，又1121S+=，故数列{1}n S n+为等比数列.（2）由（1）知111(1)221n nn S S n -+=+⋅=，所以2n n S n n =⋅-，故2(12222)(12)nn T n n =⨯+⨯++⋅-+++L L . 设212222nM n =⨯+⨯++⋅L ， 则231212222n M n +=⨯+⨯++⋅L ，所以212222n n M n +-=+++-⋅=L 11222n n n ++--⋅，所以1(1)22n M n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n nn n T n ++=-⋅+-.18.解：（1）ABC ∆中，应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC+-∠=g 2=解得AC = 所以222AC BC AB +=， 所以ACBC ⊥.因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE I 平面ABC BC =，BC AC ⊥，所以AC ⊥平面BCDE ，又因为BE ⊂平面BCDE ， 所以AC BE ⊥.（2）由（1）AC ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， 所以AC CE ⊥. 又因为BCAC ⊥，平面ACE I 平面ABC AC =，所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=︒. 因为BE EC ⊥，AC BE ⊥， 所以BE ⊥平面ACE .所以BAE ∠是AB 与平面ACE 所成的角. 因为在Rt ACE ∆中，sin 4532BE BC =︒=，所以在Rt BAE ∆中，6sin BE BAE AB ∠==. 19.解：（1）设高一女学生人数为x ，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则7004030x x -=，解得300x =.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在[165,180)的人数为5141363142+++++=，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在[165,180)的概率为423705=. 因此，可估计该校学生身高在[165,180)的概率为35.（3）由题意可得X 的可能取值为0，1，2.由表格可知，女生身高在[165,180)的概率为13，男生身高在[165,180)的概率为45. 所以412(0)(1)(1)5315P X ==-⨯-=，41419(1)(1)(1)535315P X ==-+-⨯=，414(2)5315P X ==⨯=.所以X 的分布列为：所以9417()012151515E X =+⨯+⨯=. 20.解：（1）以BC 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则||||6||AB AC BC +=>， 所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆.所以26a =，232c =所以3a =，2c =， 所以22292ba c =-=， 所以点A 的轨迹方程为221(0)992x y y +=≠. 设(,)T x y ，点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =，所以(3,3)A x y ，代入221992x y +=，整理可得点T 的轨迹E 的方程是221(0)12y x y +=≠. （2）证明：设(,0)(0)M m m >，由||||1OM ON ⋅=得1(,0)N m，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，33(,)R x y .由题意，直线QM 不与坐标轴平行，11QM y k x m =-，直线QM 的方程为11()y y x m x m=--.与椭圆方程联立，消去y ，得22211(12)2(1)m mx x m x x +---+222111(2)0mx x m x --=.所以2221111221212mx x m x x x m mx --=+-，同理222111131221212mx x m x x x x x m mx --==+-， 所以23x x =，或10x =. 当23x x =时，PR x ⊥轴.当10x =时，2221m x m =+，322212211()1mmx x m m⋅===++，PR x ⊥轴， 所以||||MP MR =， 所以MPR ∆是等腰三角形.21. 解：（1）根据题意，得'()2xf x e x =-，则'(0)1f b ==. 由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入()y f x =，得1a =-，故2()1x f x e x =--.（2）令2()()1xg x f x x x e x =+-=--. 由'()10xg x e =-=，得0x =，当(,0)x ∈-∞，'()0g x <，()y g x =单调递减； 当(0,)x ∈+∞，'()0g x >，()y g x =单调递增. 所以min ()(0)0g x g ==，所以2()f x x x ≥-+. （3）()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立等价于()f x k x>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立. 令()()f x x x ϕ=，0x >，得2'()()'()xf x f x x xϕ-==22(2)(1)x x x e x e x x ----=2(1)(1)x x e x x ---. 由（2）可知，当(0,)x ∈+∞时，10xex -->恒成立，令'()0x ϕ>，得1x >；令'()0x ϕ<，得01x <<.所以()y x ϕ=的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，故min ()(1)2x e ϕϕ==-，所以min ()2k x e ϕ<=-.所以实数k 的取值范围为(,2)e -∞-.22.解：（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=.由(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅，得22sin4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（2）不妨设四点在C 上的排列顺序由下而上依次为H ，I ，J ，K ，它们对应的参数分别为，1234,,,t t t t ，如图.连接1C J ，则1C IJ ∆为正三角形，所以||1IJ =，故||||||||||||||HI JK HI IK IJ -=-+=1414|||||1||()1|t t t t -+=-++.把1 2,23 2x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x=，得23824t t=-，即238320t t+-=，故1483t t+=-，所以11||||||3HI JK-=.23. 解：（1）42242264()a ab b ab a b++-+=2222222()4()4a b ab a b a b+-++⋅=222(2)a b ab+-4()a b=-，因为4()0a b-≥，所以42242264()a ab b ab a b++≥+.（2）4224()|2(16)|f x x a a b b=-+--332|(221)|x a b ab+-+-=4224|2(16)|x a a b b-+--+ 33|22(221)|x a b ab-+-≥33|[22(221)]x a b ab-+--4224[2(16)]|x a a b b-+--=4|()1|1a b-+≥.即max()1f x=.。
2020年河北省衡水中学高考(理科)数学临考模拟试卷 (解析版)
2020年河北省衡水中学高考（理科）数学临考模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．若复数z满足1+zi＝0，i是虚数单位，则z＝（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i2．集合，B＝{x|x2+x﹣6＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，2）∪（2，+∞）3．已知，，则tanα＝（）A．2B．C．1D．4．在边长为3，4，5的三角形内部任取一点P，则点P到三个顶点距离都大于1的概率为（）A．B．C．D．5．《吕氏春秋•音律篇》记载了利用“三分损益”制定关于“宫、商、角、徵、羽”五音的方法，以一段均匀的发声管为基数“宫”，然后将此发声管均分成三段，舍弃其中的一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音就是“徵”；将“徵”管均分成三份，再加上一份，即“徵”管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了“商”；“商”管保留分之二，“三分损一”，于是得出“羽”；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角”．如果按照三分损益律，基数“宫”发声管长度为1，则“羽”管的长度为（）A．B．C．D．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．32B．36C．72D．807．在的展开式中，含项的系数等于（）A．98B．42C．﹣98D．﹣428．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．已知直四棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BD＝DD1＝AC，则异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．已知O为坐标原点，A、F分别是双曲线C：＝1，（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点，以OF为直径的圆与一条渐近线的交点为P（不与原点重合），若△OAP的面积S△OAP满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A：cos B：cos C＝6a：3b：2c，则cos C等于（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣ax恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[1，4）B．（﹣1，16）C．（﹣1，0]∪[1，16）D．{0}∪[1，4）二、填空题（共4小题）.13．若球O的球心到其内接长方体三个不同侧面的距离为1，2，3，则球O表面积为．14．已知圆x2+y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是AC的中点，则p的值等于．15．函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且f（x）与g（x）的图象关于点对称，那么ω的最小值等于．16．已知向量，，满足，，且，则的取值范围是．三、解答题：解答应写岀文字说眀、证明过程或演算步骤．17．已知各项均为正数的等比数列{a n}与等差数列{b n}满足a1＝b1＝2，a5＝b31＝32，记c n ＝，（n∈N*）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n．18．2020年2月，为防控新冠肺炎，各地中小学延期开学．某学校积极响应“停课不停学”政策，在甲、乙两班分别开展了H、G两种不同平台的线上教学尝试，经过一段时间的试用，从两班各随机调查了20个同学，得到了对两种线上平台的评价结果如表：评价结果差评一般好评甲班5人10人5人乙班2人8人10人（1）假设两个班级的评价相互独立，以事件发生频率作为相应事件发生的概率，若从甲乙两班中各随机抽取一名学生，求甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”的概率；（2）根据对两个班的调查，完成列联表，并判断能否有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．差评好评或一般总计H平台G平台总计附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.82819．如图，在三棱锥D﹣ABC中，AB⊥BD，BC⊥CD，M，N分别是线段AD，BD的中点，MC＝1，，二面角D﹣BA﹣C的大小为60°．（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的余弦值．20．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，且满足离心率，，过原点O且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A（2，1），求△AMN面积的最大值．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2（a为常数）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣．（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）若f（x1）+f（x2）＝1，求证：x1x2≤1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x﹣y﹣2＝0，曲线C：（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l2的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），直线l2与直线l1交于点A，与曲线C交于点O与点B，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）记函数y＝f（x）+3|x+1|的最小值为m，正实数a，b满足a+b＝m，试求的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．若复数z满足1+zi＝0，i是虚数单位，则z＝（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由1+zi＝0，得．故选：C．2．集合，B＝{x|x2+x﹣6＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，2）∪（2，+∞）【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝（1，+∞），B＝（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），∴A∪B＝（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故选：C．3．已知，，则tanα＝（）A．2B．C．1D．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，利用同角三角函数基本关系式，即可求解cosα，tanα的值．解：∵，，∴，∴tanα＝2．故选：A．4．在边长为3，4，5的三角形内部任取一点P，则点P到三个顶点距离都大于1的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，结合图形分析可得点P到三个顶点距离小于1的区域面积为三个扇形面积之和，求出其面积，计算三角形的面积，由几何概型公式计算可得答案．解：根据题意，在△ABC中，BC＝3，AB＝4，AC＝5，点P到三个顶点距离小于3的区域面积为三个扇形面积之和，即S＝×π＝，则点P到三个顶点距离都大于1的概率P＝；故选：B．5．《吕氏春秋•音律篇》记载了利用“三分损益”制定关于“宫、商、角、徵、羽”五音的方法，以一段均匀的发声管为基数“宫”，然后将此发声管均分成三段，舍弃其中的一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音就是“徵”；将“徵”管均分成三份，再加上一份，即“徵”管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了“商”；“商”管保留分之二，“三分损一”，于是得出“羽”；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角”．如果按照三分损益律，基数“宫”发声管长度为1，则“羽”管的长度为（）A．B．C．D．【分析】根据三分损益原理计算即可．解：按照三分损益原理，故选：A．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．32B．36C．72D．80【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为两个长方体的组合体，其中每个长方体的底面是边长为2的正方形，高为4．则其表面积可求．解：由三视图还原原几何体如图，则其表面积为S＝（40﹣4）×2＝72．故选：C．7．在的展开式中，含项的系数等于（）A．98B．42C．﹣98D．﹣42【分析】先求出（﹣）8的通项公式，再分类求出含项的系数．解：∵（﹣）8的通项公式为T r+1＝••（﹣）r＝（﹣1）r••x，令﹣8＝﹣5得r＝2；令﹣4＝﹣2得r＝4；故选：D．8．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，利用对称性和函数值的对应性进行排除即可．解：由|x|﹣2≠0得x≠±2，f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项B、D，故选：A．9．已知直四棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BD＝DD1＝AC，则异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由，得∠DAC＝30°，求出∠DAB＝60°，推导出∠AD1G（或补角）即为异面直线AD1与DC1所成的角，由此能求出异面直线AD1与DC1所成角的余弦值．解：由，得∠DAC＝30°，所以∠DAB＝60°，所以AD＝DD1，．则∠AD1G（或补角）即为异面直线AD1与DC1所成的角，利用勾股定理求出，所以异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为．故选：B．10．已知O为坐标原点，A、F分别是双曲线C：＝1，（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点，以OF为直径的圆与一条渐近线的交点为P（不与原点重合），若△OAP的面积S△OAP满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由，可得：，即，利用e＝即可求解．解：如图，可得OA＝a，OF＝c，∠OPF＝90°，tan，由，可得FP•FO cos∠POA＝×，∴，即可得，∴e4＝2，e＝．故选：D．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A：cos B：cos C＝6a：3b：2c，则cos C等于（）A．B．C．D．【分析】由已知结合正弦定理进行化简后，再结合两角和的正切公式进行化简即可求解．解：由，利用正弦定理得，即6tan A＝3tan B＝2tan C，代入，所以．故选：D．12．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣ax恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[1，4）B．（﹣1，16）C．（﹣1，0]∪[1，16）D．{0}∪[1，4）【分析】易知x＝0是y＝f（x）﹣ax的一个零点，则f（x）＝ax有两个不为零的不同实根，即与y＝a的图象有两个不为零的不同交点，作出函数h（x）的图象，即可求出实数a的取值范围．解：（1）当x＝0时，y＝f（0）﹣0＝0，所以x＝0是y＝f（x）﹣ax的一个零点；即f（x）＝ax有两个不为零的不同实根，又h（x）＝＝，所以当x＜0时，h1′（x）＞0，h1（x）单调递增；令，x≥1，则，当x∈（3，+∞）时，h2′（x）＜0，h2（x）单调递减，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若球O的球心到其内接长方体三个不同侧面的距离为1，2，3，则球O表面积为56π．【分析】由球的截面性质得出长方体的三条棱长，从而得球半径，可计算出面积．解：由题意长方体相邻的三条棱长为2，4，6，外接球直径等于长方体对角线，所以，故答案为：．14．已知圆x2+y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是AC的中点，则p的值等于．【分析】设出A的坐标，代入圆的方程，求解P即可．解：圆x2+y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D 两点，且坐标原点O是AC的中点，代入圆的方程，解得．故答案为：．15．函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且f（x）与g（x）的图象关于点对称，那么ω的最小值等于6．【分析】由题意，利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求得ω的最小值解：由图象平移规律，可知，由f（x）与g（x）的图象关于点对称，化简，得恒成立，所以正数ω的最小值为6，故答案为：6．16．已知向量，，满足，，且，则的取值范围是[﹣7，7]．【分析】将已知条件中的等式变形为，两边平方，再结合平面向量数量积的运算，化简整理后可推出+2+1≤+2+，即，从而得解．解：因为，所以，等式两边平方，得①．所以≤•，即+2+3≤25+2+25，所以．故答案为：[﹣6，7]．三、解答题：解答应写岀文字说眀、证明过程或演算步骤．17．已知各项均为正数的等比数列{a n}与等差数列{b n}满足a1＝b1＝2，a5＝b31＝32，记c n ＝，（n∈N*）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．解：（1）因为{a n}各项为正数，设{a n}的公比为q，（q＞0），{b n}的公差为d，所以，b n＝n+1．所以＝．18．2020年2月，为防控新冠肺炎，各地中小学延期开学．某学校积极响应“停课不停学”政策，在甲、乙两班分别开展了H、G两种不同平台的线上教学尝试，经过一段时间的试用，从两班各随机调查了20个同学，得到了对两种线上平台的评价结果如表：评价结果差评一般好评甲班5人10人5人乙班2人8人10人（1）假设两个班级的评价相互独立，以事件发生频率作为相应事件发生的概率，若从甲乙两班中各随机抽取一名学生，求甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”的概率；（2）根据对两个班的调查，完成列联表，并判断能否有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．差评好评或一般总计H平台G平台总计附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据相互独立事件的概率计算公式，即可求出对应的概率值；（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．解：（1）记A1表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“好评”；A2表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“一般”；B2表示事件：乙班抽取的学生评价结果为“差评”；因为两个班级的评价相互独立，所以．差评好评或一般总计H平台51520G平台21820总计73340计算得，所以没有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．19．如图，在三棱锥D﹣ABC中，AB⊥BD，BC⊥CD，M，N分别是线段AD，BD的中点，MC＝1，，二面角D﹣BA﹣C的大小为60°．（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的余弦值．【分析】（1）先计算出NC和MN的长度，再结合勾股定理可证得MN⊥NC；由中位线的性质可得MN∥AB，而AB⊥BD，故MN⊥BD；然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证．（2）根据二面角的定义可证得∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°．法一：以B为原点，BC、BA为x、y轴，建立空间直角坐标系，逐一写出B、C、M、N的坐标，根据法向量的性质求得平面MNC的法向量，设直线BM和平面MNC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|，再利用同角三角函数的平方关系即可得解．法二：取CN的中点E，连接BE，由面面垂直的性质定理可证得BE⊥平面MNC，故∠BME为直线BM和平面MNC所成的角，在Rt△ABD中，求得sin∠BME，再利用同角三角函数的平方关系即可得解．【解答】（1）证明：在Rt△BCD中，N是斜边BD的中点，∴．∵M、N分别是AD、BD的中点，∴MN∥AB，，∵AB⊥BD，MN∥AB，∴MN⊥BD，∵MN⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面BCD．又AB⊥BD，∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°，以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∴，，．设平面MNC的法向量，则，即，设直线BM和平面MNC所成角为θ，∵θ∈[0，]，故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于．又AB⊥BD，∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°，又∵平面MNC⊥平面BCD，平面MNC∩平面BCD＝NC，∴∠BME即为直线BM和平面MNC所成的角．∴，故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于．20．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，且满足离心率，，过原点O且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A（2，1），求△AMN面积的最大值．【分析】（1）利用椭圆的离心率以及焦距，求解c，a，然后求解b，得到椭圆方程．（2）设直线l的方程为y＝kx（k≠0），由，求出弦长MN，求出A到直线l的距离，推出三角形的面积的表达式，然后求解最大值即可．解：（1）由题意可知，，根据，得a＝4，b＝4，（2）设直线l的方程为y＝kx（k≠0），得，，＝．所以＝，当k＜0时，，当且仅当时，等号成立，所以S△AMN的最大值为．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2（a为常数）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣．（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）若f（x1）+f（x2）＝1，求证：x1x2≤1．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求a，结合导数与单调性关系即可求解；（2）结合结论lnx≤x﹣1，构造函数g（x）＝f（x）+f（）﹣1，结合导数可得出f（x1），然后结合f（x1）+f（x2）＝1，及f（x）在（0，+∞）上单调性即可证明．解：（1），由题意可得，f′（5）＝3+2a＝4，解可得a＝，令m（x）＝lnx+x++4，则＝，故m（x）＝f′（x）＞f′（1）＞0恒成立，（2）设n（x）＝lnx﹣x+1，则，当x＝1时，n（x）取得最大值n（1）＝0，令g（x）＝f（x）+f（）﹣1＝（x+2）lnx+﹣（4+）lnx+，设h（x）＝（1+）lnx，则＝＞0，故当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≥g（1）＝5，即f（x）+f（）﹣1≥0，当x＝1时等号成立，所以4﹣f（x2）≥1﹣f（）即f（x2）≤f（），所以x6≤，即x1x2≤7．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x﹣y﹣2＝0，曲线C：（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l2的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），直线l2与直线l1交于点A，与曲线C交于点O与点B，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用转换关系，把三角函数关系式的变换和函数的性质的应用求出结果．解：（1）因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以直线l1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ＝2，即．将x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式，得ρ2＝8ρcosθ．（2）因为直线l2：θ＝α，则A（ρ1，α），B（ρ4，α），所以＝．所以当时，取得最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）记函数y＝f（x）+3|x+1|的最小值为m，正实数a，b满足a+b＝m，试求的最小值．【分析】（1）利用零点分段．再分段解不等式即可；（2）利用绝对值不等式求解最小值为m，利用“乘1”法即可求解的最小值解：（1）依题意得f（x）＝，由不等式f（x）≤3；解得﹣2≤x≤﹣1，或，或．（2）由y＝f（x）+3|x+1|＝|7x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（5x+2）|＝3，即a+b＝3即当且仅当且a+b＝3，即a＝1，b＝2时取等号，所以的最小值为．。
2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷(一)理科数学
2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P＝{0,1,2}，Q＝{x|x<2}，则P∩Q＝()A．{0} B．{0,1}C．{1,2} D．{0,2}答案 B解析因为集合P＝{0,1,2}，Q＝{x|x<2}，所以P∩Q＝{0,1}．2．已知复数z满足|z|＝2，z＋z－＝2(z－为z的共轭复数)(i为虚数单位)，则z ＝()A．1＋i B．1－iC．1＋i或1－i D．－1＋i或－1－i答案 C解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi，z＋z－＝2a，所以a2＋b2＝2，2a＝2，得a＝1，b＝±1，所以z＝1＋i或z＝1－i.3．若a>1，则“a x>a y”是“log a x>log a y”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由a>1，得a x>a y等价为x>y，log a x>log a y等价为x>y>0，故“a x>a y”是“log a x>log a y”的必要不充分条件．4．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为() A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b答案 A解析因为a＝log52<log55＝1 2，b＝log0.50.2>log0.50.25＝2，0．51<c＝0.50.2<0.50，即12<c<1，所以a<c<b.5．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为()A．4 B．5C．6 D．7答案 C解析由题可得S＝3，i＝2→S＝7，i＝3→S＝15，i＝4→S＝31，i＝5→S＝63，i＝6，此时结束循环，输出i＝6.6．已知{a n}，{b n}均为等差数列，且a2＝4，a4＝6，b3＝9，b7＝21，则由{a n}，{b n}公共项组成新数列{c n}，则c10＝()A．18 B．24C．30 D．36答案 C解析(直接法)由题意，根据等差数列的通项公式得，数列{a n }的首项为3，公差为1，a n ＝n ＋2，数列{b n }的首项为3，公差为3，b n ＝3n ，则易知两个数列的公共项组成的新数列{c n }即为数列{b n }，由此c 10＝b 10＝30，故选C.7．已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AO →·AB→＝32，则实数m ＝()A ．±1B ．±32C ．±22D ．±12答案 C 解析联立y ＝x ＋m ，x 2＋y 2＝1，得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，∵直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，∴Δ＝－4m 2＋8＞0，解得－2<m<2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，y 1y 2＝(x 1＋m)(x 2＋m)＝x 1x 2＋m(x 1＋x 2)＋m 2，AO →＝(－x 1，－y 1)，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∵AO →·AB →＝32，∴AO →·AB →＝x 21－x 1x 2＋y 21－y 1y 2＝1－m 2－12－m 2－12＋m 2－m 2＝2－m 2＝32，解得m ＝±22.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的面积为S ，且43S ＝(a ＋b)2－c 2，则sin C ＋π4＝() A ．1 B ．22C ．6－24D ．6＋24答案 D解析由43S ＝(a ＋b)2－c 2，得43×12absinC ＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，∵a 2＋b2－c 2＝2abcosC ，∴23absinC ＝2abcosC ＋2ab ，即3sinC －cosC ＝1，即2sin C －π6＝1，则sin C －π6＝12，∵0<C<π，∴－π6<C －π6<5π6，∴C －π6＝π6，即C ＝π3，则sin C ＋π4＝sin π3＋π4＝sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 9．关于函数f(x)＝x －sinx ，下列说法错误的是()A ．f(x)是奇函数B ．f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增C ．x ＝0是f(x)的唯一零点D ．f(x)是周期函数答案 D解析f(－x)＝－x －sin(－x)＝－x ＋sinx ＝－f(x)，则f(x)为奇函数，故A 正确；由于f ′(x)＝1－cosx ≥0，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故B 正确；根据f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，f(0)＝0，可得x ＝0是f(x)的唯一零点，故C 正确；根据f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，可知它一定不是周期函数，故D 错误．10．已知log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，则2a ＋b 取到最小值时，ab ＝()A ．3B ．4C ．6D ．9答案 D解析由log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，可得a －2>0，b －1>0且(a －2)(b －1)≥2.所以2a ＋b ＝2(a －2)＋(b －1)＋5≥22a －2b －1＋5≥22×2＋5＝9，当2(a －2)＝b －1且(a －2)(b －1)＝2时等号成立，解得a ＝b ＝3.所以2a ＋b 取到最小值时，ab ＝3×3＝9.11．已知实数a>0，函数f(x)＝ex －1＋a2，x<0，ex －1＋a 2x 2－a ＋1x ＋a2，x ≥0，若关于x 的方程f[－f(x)]＝e －a＋a2有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是()A.1，2＋2e B ．2，2＋2e C.1，1＋1e D ．2，2＋1e答案 B解析当x ＜0时，f(x)为增函数，当x≥0时，f′(x)＝e x－1＋ax－a－1，f′(x)为增函数，令f′(x)＝0，解得x＝1，故函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，最小值为f(1)＝0. 由此画出函数f(x)的大致图象如图所示．令t＝－f(x)，因为f(x)≥0，所以t≤0，则有f t＝e－a＋a2，f t＝e t－1＋a2，解得－a＝t－1，所以t＝－a＋1，所以f(x)＝a－1. 所以方程要有三个不同的实数根，则需a2＜a－1＜1e＋a2，解得2＜a＜2e＋2.12．已知△ABC的顶点A∈平面α，点B，C在平面α同侧，且AB＝2，AC＝3，若AB，AC与α所成的角分别为π3，π6，则线段BC长度的取值范围为()A．[2－3，1] B．[1，7] C．[7，7＋23] D．[1, 7＋23]答案 B解析如图，过点B，C作平面的垂线，垂足分别为M，N，则四边形BMNC 为直角梯形．在平面BMNC 内，过C 作CE ⊥BM 交BM 于点E.又BM ＝AB ·sin ∠BAM ＝2sin π3＝3，AM ＝2cos π3＝1，CN ＝AC ·sin ∠CAN ＝3sin π6＝32，AN ＝3cos π6＝32，所以BE ＝BM －CN ＝32，故BC 2＝MN 2＋34.又AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ，即12＝AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ＝52，所以1≤BC 2≤7，即1≤BC ≤7，故选B.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝(1，λ)，b ＝(3,1)，c ＝(1,2)，若向量2a －b 与c 共线，则向量a 在向量c 方向上的投影为________．答案0解析向量2a －b ＝(－1,2λ－1)，由2λ－1＝－2，得λ＝－12.∴向量a ＝1，－12，∴向量a 在向量c 方向上的投影为|a |cos 〈a ，c 〉＝a ·c|c |＝1－2×125＝0. 14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2absinC ＝3(b 2＋c 2－a 2)，若a ＝13，c ＝3，则△ABC 的面积为________．答案3 3解析由题意得2absinC 2bc ＝3·b 2＋c 2－a22bc，即asinC c＝3cos A ，由正弦定理得sinA ＝3cos A,所以tanA ＝3，A ＝π3.由余弦定理得13＝32＋b 2－2×3bcos π3，解得b ＝4，故面积为12bcsinA ＝12×4×3×32＝3 3.15．已知点M 为单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线x ＝2上，则AM →·AO →的最小值为________．答案 2解析设A(2，t)，M(cos θ，sin θ)，则AM →＝(cos θ－2，sin θ－t)，AO →＝(－2，－t)，所以AM →·AO →＝4＋t 2－2cos θ－tsin θ. 又(2cos θ＋tsin θ)max ＝4＋t 2，故AM →·AO →≥4＋t 2－4＋t 2.令s ＝4＋t 2，则s ≥2，又4＋t 2－4＋t 2＝s 2－s ≥2，当s ＝2，即t ＝0时等号成立，故(AM →·AO →)min ＝2.16．已知函数f(x)＝x 2－2mx ＋m ＋2，g(x)＝mx －m ，若存在实数x 0∈R ，使得f(x 0)<0且g(x 0)<0同时成立，则实数m 的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析当m>0，x<1时，g(x)<0，所以f(x)<0在(－∞，1)上有解，则f 1<0，m>0或m>0，Δ>0，f 1≥0，m<1，即m>3或m>0，m2－m－2>0，3－m≥0，m<1，故m>3.当m<0，x>1时，g(x)<0，所以f(x)<0在(1，＋∞)上有解，所以f1<0，m<0，此不等式组无解．综上，m的取值范围为(3，＋∞)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cosx(3sinx－cosx)＋1 2.(1)求f π3的值；(2)当x∈0，π2时，不等式c<f(x)<c＋2恒成立，求实数c的取值范围．解(1)f(x)＝3sinxcosx－cos2x＋1 2＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6，所以f π3＝1.(2)因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6，所以－12≤sin2x－π6≤1.由不等式c<f(x)<c＋2恒成立，得c<－12，c＋2>1，解得－1<c<－1 2.所以实数c的取值范围为－1，－1 2 .18．(本小题满分12分)如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)是否存在实数λ，使得平面BEF⊥平面ACD.解(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABC，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF?平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD.由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，BE?平面BEF，∴BE⊥平面ACD.又∵AC?平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，∴AB＝2tan60°＝6，∴AC＝AB2＋BC2＝7.由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝67，∴λ＝AEAC＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD.19．(本小题满分12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．y 的分组[－0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：74≈8.602. 解(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14＋7100＝0.21.产值负增长的企业频率为2100＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)y －＝1100×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s 2＝1100i ＝15n i (y i －y －)2＝1100×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7] ＝0.0296，s ＝0.0296＝0.02×74≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.20．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D.连接AF 1并延长交圆F 2于点B ，连接BF 2交椭圆C 于点E ，连接DF 1.已知|DF 1|＝52.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以|F1F2|＝2，c＝1.又因为|DF1|＝52，AF2⊥x轴，所以|DF2|＝|DF1|2－|F1F2|2＝522－22＝32，因此2a＝|DF1|＋|DF2|＝4，从而a＝2. 由b2＝a2－c2，得b2＝3.因此，椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)解法一：由(1)知，椭圆C：x24＋y23＝1，a＝2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为 1. 将x＝1代入圆F2的方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.因为点A在x轴上方，所以A(1,4)．又F1(－1,0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.由y＝2x＋2，x－12＋y2＝16，得5x2＋6x－11＝0，解得x＝1或x＝－11 5 .将x＝－115代入y＝2x＋2，得y＝－125，因此B点坐标为－115，－125.又F2(1,0)，所以直线BF2：y＝34(x－1)．由y＝34x－1，x24＋y23＝1，得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝13 7 .又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.将x＝－1代入y＝34(x－1)，得y＝－32.因此E点坐标为－1，－3 2 .解法二：由(1)知，椭圆C：x24＋y23＝1.如图，连接EF1.因为|BF2|＝2a，|EF1|＋|EF2|＝2a，所以|EF1|＝|EB|，从而∠BF1E＝∠B.因为|F2A|＝|F2B|，所以∠A＝∠B，所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A. 因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴．因为F1(－1,0)，由x＝－1，x24＋y23＝1，得y＝±32.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－3 2 .因此E点坐标为－1，－3 2.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x－xe x＋ax(a∈R)．(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a＝1，求f(x)的最大值．解(1)由题意知，f′(x)＝1x－(e x＋xe x)＋a＝1x－(x＋1)e x＋a≤0在[1，＋∞)上恒成立，所以a≤(x＋1)e x－1x在[1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝(x＋1)e x－1x，则g′(x)＝(x＋2)e x＋1x2>0，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝2e－1，所以a≤2e－1.(2)当a＝1时，f(x)＝ln x－xe x＋x(x>0)．则f′(x)＝1x－(x＋1)e x＋1＝(x＋1)1x－e x，令m(x)＝1x－e x，则m′(x)＝－1x2－e x<0，所以m(x)在(0，＋∞)上单调递减．由于m 12>0，m(1)<0，所以存在x0>0满足m(x0)＝0，即ex0＝1x0.当x∈(0，x0)时，m(x)>0，f′(x)>0；当x∈(x0，＋∞)时，m(x)<0，f′(x)<0. 所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．所以f(x)max＝f(x0)＝ln x0－x0e x0＋x0，因为e x0＝1x0，所以x0＝－ln x0，所以f(x0)＝－x0－1＋x0＝－1，所以f(x)max＝－1.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为x＝2t，y＝2＋t(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ.(1)求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；(2)若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求|MN|.解(1)因为ρcos2θ＝8sinθ，所以ρ2cos2θ＝8ρsinθ，即x2＝8y，所以曲线C表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y轴的抛物线．(2)设点M(x1，y1)，点N(x2，y2)，直线l过抛物线的焦点(0,2)，则直线的参数方程x＝2t，y＝2＋t化为一般方程为y＝12x＋2，代入曲线C的直角坐标方程，得x2－4x－16＝0，所以x1＋x2＝4，x1x2＝－16，所以|MN|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋122·x1－x22＝1＋122·x1＋x22－4x1x2＝1＋122·42－4×－16＝10.23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x＋4|，不等式f(x)>8－|2x－2|的解集为M.(1)求M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(2a)－f(－2b)．解(1)将f(x)＝|x＋4|代入不等式，整理得|x＋4|＋|2x－2|>8.①当x≤－4时，不等式转化为－x－4－2x＋2>8，解得x<－103，所以x≤－4；②当－4<x<1时，不等式转化为x＋4＋2－2x>8，解得x<－2，所以－4<x<－2；③当x≥1时，不等式转化为x＋4＋2x－2>8，解得x>2，所以x>2.综上，M＝{x|x<－2或x>2}．(2)证明：因为f(2a)－f(－2b)＝|2a＋4|－|－2b＋4|≤|2a＋4＋2b－4|＝|2a＋2b|，所以要证f(ab)>f(2a)－f(－2b)，只需证|ab＋4|>|2a＋2b|，即证(ab＋4)2>(2a＋2b)2，即证a2b2＋8ab＋16>4a2＋8ab＋4b2，即证a2b2－4a2－4b2＋16>0，即证(a2－4)(b2－4)>0，因为a，b∈M，所以a2>4，b2>4，所以(a2－4)(b2－4)>0成立，所以原不等式成立．。
2020衡水中学高三模拟理科数学
2019～2020学年高三年级第五次调研考试数学试题（理科）考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B = （）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知复数满足，则的共轭复数是（）A ．B ．C ．D ．3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（）A ．()()()0.633log 132f f f -<-<B ．()()()0.6332log 13f f f -<<-C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（）A ．25B ．425C ．25πD ．1625π5．命题:p ,x y ∈R ，222x y +<，命题:q ,x y ∈R ，||||2x y +<，则p 是q 的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（）A ．2018?nB ．2019?nC ．2020?nD ．2021?n 7．函数2sin ()2xf x x x x=+-的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．8．若函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)图象的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为7π12x =，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（）A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度9．已知AB 是圆()22:11C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值是（）A ．1B ．0CD110．圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）则圆锥SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）A ．9:32B ．8:27C ．9:22D ．9:2811．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（）A．BC ．2D12．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（）A ．2eB ．eC ．12D ．1二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于．14．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b =，3c =，2B C =，则cos 2C 的值为．15．正四棱锥S ABCD -底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=，则动点P 的轨迹的周长为．16．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()()f x f x '为的导函数，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，则()()23f f 的取值范围是．三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，221212a a a a +=+．（1）求d 的取值范围；（2）已知1d =-，试问：是否存在等差数列{}n b ，使得数列21n n a b ⎧⎫⎨+⎩⎭的前n 项和为1nn +？若存在，求{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由．18．（本小题12分）如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，过A ，B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F ．2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2．（1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ；（2）若DE CF ∥，CD =，线段AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 所成角的正弦值为520，求AP 的长．19．（本小题12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100、[]81,90、[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、[]31,40、[]21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布()60,169N ．（1）求物理原始成绩在区间()47,86的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[]61,80的人数，求X 的分布列和数学期望．（附：若随机变量()2,N ξμσ~，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）20．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()1,e 和2⎫⎪⎪⎭都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且在直线22:20l kx y k -+-=上存在点P ，使得PAB △是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围．21．（本小题12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ，()23e 2x g x x x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα==⎧⎨⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为4,π3⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．23.（本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =++-．（1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019～2020学年高三第二学期3月模块诊断数学（理科）参考答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CBCD A B D B A A D D 1．【解答】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，∴()5Z A B = ．故选C ．2．【解答】由()12i 43i z +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2i z =+．故选B ．3．【解答】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ．4．【解答】由题2525=π=π24S ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭圆，=4S 正方形，所以1625πS P S ==正方形圆．故选D ．5．【解答】在平面直角坐标系中作出满足,p q 的区域，如图所示，则p 是q 的充分不必要条件．故选A ．6．【解答】由递推式1n n a a n +=+，可得11n n a a n -=+-，122n n a a n --=+-，…322a a =+，211a a =+.将以上()1n -个式子相加，可得11231n a n =+++++- ，则202011232019a =+++++ .①由程序框图可知，当判断框内的条件是()*?nk k ∈N 时，则输出的1123S k =+++++ ，②.综合①②可知，若要想输出①式的结果，则2019k =．故选B ．7．【解答】()1sin112sin110f =+-=-<，排除B ，C ，当0x =时，sin 0x x ==，则0x →时，sin 1xx→，()101f x →+=，排除A ，故选D ．8．【解答】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)的图象过点π,03⎛⎫⎪⎝⎭，7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得1A =，12π7π41π23ω⋅=-，解得2ω=．再根据五点法作图可得2ππ3ϕ⋅+=，可得π3ϕ=，可得函数解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故把()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，可得sin 2cos236ππy x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．9．【解答】如图所示，()()2214PA PB PC CB PC CA PC AB ⋅=+⋅+=- ，所以PA PB⋅ 取最小值时，即PC 取最小值，即PC 与直线10x y -+=垂直，此时101=22PC -+=，则()min 12414PA PB ⋅=-⨯= ．故选A ．10．【解答】设圆锥底面圆的半径为r ，圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ，侧面积与底面积的比为2π2πrl lr r ==，则母线2l r =，圆锥的高为223h l r r =-=，则圆锥的体积为2313ππ33r h r =，设外接球的球心为O ，半径为R ，截面图如图，则OB OS R ==，3OD h R r R =-=-，BD r =，在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+，即()2223R r r R =+-，展开整理得23R r =，∴外接球的体积为33344832πππ333393r R r =⨯=，故所求体积比为333π933232π93rr =．故选A ．11．【解答】由题意可得图像如右图所示：F '为双曲线的左焦点，∵AB 为圆的直径，∴90AFB ∠=︒，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形，∴12ABF AFBF FAF S S S ''==△△，又2224tan45FAF b S b a '===︒△，可得225c a =，∴255e e =⇒=．故选D ．12．【解答】由120x x <<，得120x x -<，211212ln ln 1x x x x x x ->-化为211212ln ln x x x x x x -<-，即1212ln 1ln 1x x x x ++<，即函数()ln 1x f x x +=在()0,a 上单调递增，()()221ln 1ln x x x x f x x x ⋅-+'==-，令()0f x '>，得01x <<，故a 的最大值为1．故选D ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．11214．591516．84,279⎛⎫⎪⎝⎭13．【解答】该二项式的二项式系数之和为2256n=，得8n =．该二项式的展开式通项为()8483882C 2C rrrr r r x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令8403r -=，得2r =，则常数项为()2282C 112-=．14．【解答】由正弦定理可得：sin sin b cB C=，即sin sin 22sin cos 2cos cos sin sin sin 33b B C C C C Cc C C C ======，∴275cos 22cos 12199C C =-=⨯-=．15．【解答】如图所示，取SC ，DC 的中点M ，F ，则//EF BD ，//ME SB ，所以平面//SBD 平面MEF ，而AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥平面MEF ，则动点P 在四棱锥表面上运动的轨迹为△MEF ，则动点P 的轨迹的周长为(1122MFE SDB l l ===△△+．16．【解答】由()()2f x xf x '<，得()()()22220f x x xf x x '->，令()()2f xg x x=，则()()()()22220f x x xf x g x x '-'=>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，得()()32g g >，即()()222323f f <，得()()2439f f <.由()()3xf x f x '<，得()()()322330f x x x f x x '-<，令()()3f x h x x =，则()()()()322330f x x x f x h x x '-'=<，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减，得()()32h h <，即()()332323f f >，得()()28327f f >.综上所述，()()2842739f f <<．故填84,279⎛⎫ ⎪⎝⎭．三.解答题(本大题共6小题,共70分.)17．（本小题满分12分）【解答】（1）∵221212a a a a +=+，∴()221112a a d a d ++=+，整理得()22112210a d a d d +-+-=，…………2分则()()224180d d d ∆=---≥，解得11d -≤≤，则d 的取值范围为[]1,1-．…………5分（2）∵1d =-，∴2112420a a -+=，即11a =，则2n a n =-．…………6分假设存在等差数列{}n b ，则2112211221121123a b a b a b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，即12111211223b b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1216b b =⎧⎨=⎩，从而54n b n =-，…………8分此时2211111n n n n a b n n==-+++，…………9分222112211111111111223111n nnn n n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=++++++， (1)1分故存在等差数列{}n b ，且54n b n =-，使得数列21n n a b ⎧⎫⎪⎪⎨+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为1n n +．…………12分18．（本小题满分12分）【解答】（1）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF BE ⊥，……1分由已知得AF BD ⊥，BE BD B = ，∴AF ⊥平面BDE ，…………2分又DE ⊂平面BDE ，∴AF DE ⊥，…………3分又AE DE ⊥，AE AF A = ，∴DE ⊥平面ABFE ．…………5分（2）在图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E = ，即AE ⊥面DEFC ，在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF ∥交CF 于点M ，连接CE ，由题意得2DM =，1CM =，由勾股定理可得DC CF ⊥，则π6CDM ∠=，2CE =，过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA ，EF ，EG分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，…………7分则()2,0,0A ，()2,2,0B，(C，10,,22D ⎛- ⎝⎭，(AC =-，12,22AD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面ACD 的一个法向量为(),,x y z =n ，由00AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n得2012022x y x y z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩，取1x =得(1,=-n ，…………9分设AP m =，则()2,,0P m ，()02m ≤≤，得(2,1,CP m =-…………10分设CP 与平面ACD 所成的角为θ，52sin cos 203,CP m θ==⇒=n ．∴23AP =．…………12分19．（本小题满分12分）【解答】（1）因为物理原始成绩()260,13N ξ~，所以()()()478647606086P P P ξξξ<<=<<+≤<()()1160136013602136021322P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯0.6820.95422=+0.818=．…………3分所以物理原始成绩在()47,86的人数为20000.8181636⨯=（人）．…………5分（2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[]61,80内的概率为25．所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，…………7分所以()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323541C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭；()22323362C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭；()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为X 0123P2712554125361258125…………11分所以数学期望()26355E X =⨯=．…………12分20.(本小题满分12分)【解答】（1）由题设知222a b c =+，c e a=．由点()1,e 在椭圆上，得222211c a a b+=，解得21b =，又点2⎫⎪⎪⎭在椭圆上，222112a b ∴+=．即21112a+=，解得24a =，所以椭圆的方程是2214x y +=．…………4分（2）【法1】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+，120x x ∴+=，122414x x k =-+，120y y +=，2122414k y y k =-+，…………6分设()00,P x y ，则0022y kx k =+-，依题意PA PB ⊥，得1PA PB k k =-⋅，010201021y y y y x x x x --∴⋅=---，即()()220120120120120y y y y y y x x x x x x -+++++-+=，…………8分220012120y x y y x x ∴+++=，()()()()22220024114422014k k x k k x k k +∴++-+--=+有解，()()()()222222411624142014k Δkk kk k ⎡⎤+⎢⎥=--+--≥⎢⎥+⎣⎦，…………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-．…………12分【法2】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+，不妨设1x =，2x =则12AB x=-=…………7分设原点O 到直线2l 的距离为d ，则d =…………8分若存在满足条件的点P ，则以AB 为直径的圆与2l有公共点，故2ABd ≤≤…………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-．…………12分21.(本小题满分12分)【解答】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()210x ax f x x x'++=>，…………1分对于函数210y x ax =++≥，①当240Δa =-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数；………2分②当0Δ>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得2a x -<或2a x -+>，022aa --+<<，()f x ∴在0,2a⎛- ⎪⎝⎭为增函数，22a a ⎛--+ ⎪⎝⎭减函数，2a ⎛⎫-+ ⎪+∞ ⎪⎝⎭为增函数，…………4分当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数．…………5分综上，当2a <-时，()f x在0,2a ⎛-- ⎪⎝⎭为增函数，,22a a ⎛---+ ⎪⎝⎭减函数，42a ⎛⎫-+ ⎪+∞ ⎪⎝⎭为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数．（2）()()()()22213ln e ln e 022x x F x f x g x x x ax x x x x ax x x =-=++--+=-++->，()F x 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln e x x x a x-+=有解，…………7分令()()2n 0e l x x xh x x x+-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11e e xx x x xx x x x h x x x ++-+-+++-='=，…………8分令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，…………10分()()1e 1h x h ∴≥=+，…………11分当e 1a ≥+时，()F x 有不动点，a ∴的范围为[)e 1,++∞．…………12分22.（本小题满分10分）【解答】（1）2211:C x y +=，…………1分22:cos C ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=．…………3分联立方程组得222212x y x y x⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，解得111232x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，221232x y ⎧⎪==⎨-⎪⎪⎪⎩，∴所求交点的坐标为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,22⎛ ⎝⎭．…………5分（2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=．…………6分∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，…………8分∴当11π12θ=时，max 2S =+…………10分23.（本题满分10分）【解答】（1）不等式等价于132x x x ≤--≤+⎧⎨⎩或11222x x x -<⎧≤-+≤+⎪⎨⎪⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩，…………3分解得x ∈∅或102x ≤≤或112x <≤，所以不等式()2f x x ≤+的解集为{}01x x ≤≤．…………5分（2）由()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩知，当12x =时，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭； (7)分()()()323121g x x m x m ≥---=-，…………8分当且仅当()()32310x m x --≤时取等号，所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………10分。
2020年衡水中学高三冲刺联考理科数学试题(含答案和解析)
2020 届高三冲刺联考理数试卷本试卷共4页忆3题（含选考题）。
全卷满分150分α考试用时120分钟。
注章事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑A写在试题卷、草鵠纸和答題卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答題的作答：用签字笔直按写在答题卡上对应的答题区域内。
写柱试翹卷、草犒维和咎题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答;先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内•写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交©第I卷一•选择题；本题共12小题■每小题5分■在毎小题给出的四个选项中■只有一项是符合题目要求的O1∙设集合A={^∣r x-62r-7<0）,B=⅛∣∣Λ~l∣>2）,ra⅛合AnB=A. {工13VGV7} E —7VzV — 1} C. {玄| —IVHV3} D. {□r∣—3V工V1}2.设复数上满足^ = i（L为虚数单位），则∕z =A. i B< —i C. 1 D e-L3.平行四边形ABCD中，E是AE的中点tBF=2FC,若E?=M AB+nAD，则w + n=A∙⅜κτc⅜D-I4.法国数学家加斯帕尔•蒙日发现占椭圆≤÷^ = 1G>6>O）相切的两条垂直切线的交点轨迹为r2+√ = d z÷6≡,这个阿亦被称为蒙日@1.现将质点F随机投人椭RC≡y + y= 1所对应的蒙日岡内’则质点落在椭圆外部的概率为（附:椭圆£+石=1的面积公式为S=如A嫗 B — C 1 —呃 D 1 —嫗A. §比3 J 丄9 U'1 35・已知斜三角形AliC中，角A、F、C所对的边分别为a、b、_若α = 4,C=60°,6GN∙,且b满足e fi+ δ-10<0（e=2,7L828-）,Irl C=A. 2√3B. √13C.2√2 或庾D.√56•如图，已⅛ΘO^z÷y=2与工轴的正半轴交于点A,与曲线CQ=辰交于第一象限的点B, 则阴影部分的面积为离三大联考•理数第1页（共4页）D∙τ÷τS 1 已知一5CGS (X +^9) = 3Sin Λ*+4COS Jr ■对 xζ R 恒成立'则 SinA 4 + 3^3" r > 3^3—4八 4—3T -I _ 4 + 3^3"A ∙F ~,B ・F -Cp-D• ~10.过双曲线y-√ = 1的右焦点F,作倾斜角为砒的直线Z,交双曲线的渐近线于点A 、B(其 中A 在第一象限)，0为坐标原点，则笑竺=-5ΔΛΛftA 丄B 逕C 丄D 丄入 4 D 3 J 2 U3 11■.如图•正方体ABCD- A l B l C l D I 中，E 是棱AAJ 的中点，若三棱锥⅛E-BBlD 外按球的半径R 等于晋，则正方体ABCD-A l B I C I D l 勺的棱长为A,l C. 2√21/定义矩阵的运算如下：R ,总存在非零常数T ■使得OQ+Q=卩③若存在直线V=M 与力Q)的图象无公共 点,且使的图象位于直线两側，此直线即称为函数力⑺〉的分界编则八工)的分界线的 斜率的取值范围是(e z ,+oo)5④函数ra)=fCr) — SinM 的零点有无数个• A.①③④ B ①②④ C∙②③ D.①④第］!卷本卷包括必考题和选考題两部分。
河北省衡水中学2020届高三年级下学期三调考试(理数)
河北省衡水中学2020届高三年级下学期三调考试数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集R U =，集合}06|{2≥--=x x x A ，}1|{≥=x x B ，则=B A C U I )(( )A ．}31|{<≤x xB ．}32|{<≤x xC ．}3|{>x xD ．2．已知等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，364S S =，852=-a a ，则=2a( )A ．4B ．－4C ．12D ．－123．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--≤-+,0,01,042y y x y x 则目标函数y x z +=的最大值为 ( )A ．lB ．2C．37 D ．44．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生 近视形成的原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生近视的人数分别为 ( )A ．600，72B ．600，80C ．1200，90D ．1200，3005．已知双曲线以椭圆14822=+y x 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的渐近线方程是( )A ．x y ±=B ．x y 2±=C ．x y 2±=D ．4±=y6．用数字0，l ，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中比3000大的奇数的个数是( )A ．6B ．12C ．18D ．247．函数xx xy sin cos +=的部分图象大致为( )8．运行如图所示的程序框图，若输出结果为713，则判断框中应该填的条件是 ( ) A ．?5>kB ．?6>kC ．?7>kD ．?8>k9．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，2=，则=⋅FE FD ( )A ．98-B ．43-C ．94-D ．41-10．设c b a ,,均为正数，且c b a cba 2log 21,21log 21,21log 2=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则 ( )A ．C b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．C a b <<11．如图，已知半圆的直径20||=AB ，l 为半圆外的一条直线，且与BA 的延长线交于点T ，4||=AT ，半圆上相异两点M ，N 与直线l 的距离||MP ，||NQ 满足条件1||||||||==NA NQ MA MP ，则||||AN AM +的值为 ( ) A ．22B ．20C ．18D ．1612．已知函数x x x f ln )(=，ex ax x g 3221)(3--=，若函数)(x f 的图象与函数)(x g 的 图象在交点处存在公切线，则函数)(x g 在点())1(,1g 处的切线在y 轴上的截距为( )A ．e32-B ．e32C ．ee 323+-D ．ee 322+ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若),(1)1(R y x yi ixi ∈+=+，则=+||yi x ____________． 14．已知直线l 1是曲线x y ln =在1=x 处的切线，直线l 2是曲线xe y =的一条切线，且21//l l ，则直线l 2的方程是______________．15．如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD ．若ο90=∠BPC ，2=PB ，2=PC ，则四棱锥ABCD P -的体积的最大值为__________．16．已知离心率为21的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 恰好过抛物线x y 162=的焦点F ，A 为椭圆的上顶点，P 为直线AF 上的一个动点，点A 关于直线OF 的对称点为Q ，则||PQ 的最小值为____________．三、解答题（共70分。
【数学】河北省衡水中学2020届高三高考考前密卷(一)试题(理)(解析版)
所以选项D不正确.
故选：D.
6.设向量 与 的夹角为 ，定义 与 的“向量积”： 是一个向量，它的模 ，若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
则
，
故选：B.
7.已知 的展开式中各项系数的和为 ，则该展形式中 的系数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
∴
，
① 为奇数时， ， .
② 为偶数时， ， ，
∵ ， 只Leabharlann 为奇数，∴ 为偶数时，无解.
综上所述， .
故选:B.
10.已知双曲线 ( , )的左、右焦点分别为 , ,过 的直线交双曲线右支于 两点,且 ,若 ,则该双曲线离心率 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 为双曲线右支上一点,
由 , ,
河北省衡水中学2020届高三高考考前密卷（一）
数学试题（理）
第1卷(选择题共60分)
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 ， ，则 （）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意， ， ，
所以 .
故选：C.
2.已知 、 均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）
成立，执行第六次循环， ， ；
成立，执行第七次循环， ， ；
成立，执行第八次循环， ， ；
不成立，跳出循环体，输出 的值为 ，故选A.
9.数列 满足 ， ，且其前 项和为 .若 ，则正整数 （）
A. 99B. 103C. 107D. 198
【答案】B
2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷(十四)理科数学
2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷（十四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合M＝{x|﹣1}，N＝{x|log2（2x﹣1）≤0}，则M∩（∁R N）＝（）A．[﹣1，1] B．（] C．∅D．[﹣1，]2．＝（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i3．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是（）A．B．2 C．D．34．我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．“那么，此人第4天和第5天共走路程是（）A．24里B．36里C．48里D．60里5．已知A＝{（x，y）||x﹣2|+|y﹣2|≤2，0≤x≤2}∪{（x，y）|（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4，x＞2}，若P（x，y）∈A，且使z＝x2+y2﹣2x﹣2y﹣2﹣a的最大值为b，（a＞0，b＞0），则的最小值为（）A．4 B．2 C．D．6．现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是（）A．求两个正数a，b的最小公倍数B．判断两个正数a，b是否相等C．判断其中一个正数是否能被另个正数整除D．求两个正数a，b的最大公约数7．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos B＝，则△ABC 的面积等于（）A．3B．C．9 D．8．平面直径坐标系xOy中，动点P到圆（x﹣2）2+y2＝1上的点的最小距离与其到直线x＝﹣1的距离相等，则P点的轨迹方程是（）A．y2＝8x B．x2＝8y C．y2＝4x D．x2＝4y9．等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d＞0，（S8﹣S5）（S9﹣S5）＜0，则（）A．|a7|＞|a8| B．|a7|＜|a8| C．|a7|＝|a8| D．|a7|＝010．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB＝AA1＝2，则异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为（）A．0 B．C．D．11．已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|＝3|FQ|，若|OP|＝b，则E的离心率为（）A．B．C．2 D．12．设函数f（x）＝（x﹣a）2+（lnx2﹣2a）2，其中x＞0，a∈R，存在x0使得f（x0）成立，则实数a值是（）A．B．C．D．1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．已知＝（2，1），﹣2＝（1，1），则＝．14．中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为a2+b2＝c2（a，b，c∈N*），我们把a，b，c叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是．15．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC＝BD＝，则a＝．16．已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）＝4且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为．三、解答题（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.其中第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答）：（一）必考题：17．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求y＝g（x）在上的值域．18．（12分）如图，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝P A＝1，AD＝3，E 是PB的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都圆x2+y2＝1上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线经过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点，试探讨k为何值时，OA⊥OB．20．（12分）某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X 表示当周的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．（二）选考题（请考生在第22，23题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时涂所选题号）：22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|P A|+|PB|．23．已知函数f（x）＝|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．参考答案与试题解析一、1—5 DCCBC．6—10 DBA BC 11—12 BA5.解：根据题意，A＝{（x，y）||x﹣2|+|y﹣2|≤2，0≤x≤2}∪{（x，y）|（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4，x＞2}，设右半部分半圆的圆心为M（2，2），其几何意义为如图的区域：z＝x2+y2﹣2x﹣2y﹣2﹣a＝（x﹣）2+（y﹣）2﹣6﹣a，设t＝，其几何意义为区域中任意一点到点（，）的距离，则z＝t2﹣6﹣a，设点（，）为点N，则t的最大值为|MN|+2＝2，故z的最大值为（2）2﹣6﹣a＝2﹣a，则有2﹣a＝b，即a+b＝2，变形可得（a+1）+b＝3，则＝×[（a+1）+b]（）＝×[2++]≥×[2+2]＝，故的最小值为，故选：C．9．解：根据题意，等差数列{a n}中，有（S8﹣S5）（S9﹣S5）＜0，即（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）＜0，又由{a n}为等差数列，则有（a6+a7+a8）＝3a7，（a6+a7+a8+a9）＝2（a7+a8），（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）＜0⇔a7×（a7+a8）＜0，a7与（a7+a8）异号，又由公差d＞0，必有a7＜0，a8＞0，且|a7|＜|a8|；故选：B．11.解：由题意可知：双曲线的右焦点F1，由P关于原点的对称点为Q，则丨OP丨＝丨OQ丨，∴四边形PFQF1为平行四边，则丨PF1丨＝丨FQ丨，丨PF丨＝丨QF1丨，由|PF|＝3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨﹣丨PF1丨＝2a，∴丨PF1丨＝a，|OP|＝b，丨OF1丨＝c，∴∠OPF1＝90°，在△QPF1中，丨PQ丨＝2b，丨QF1丨＝3a，丨PF1丨＝a，∴则（2b）2+a2＝（3a）2，整理得：b2＝2a2，则双曲线的离心率e＝＝＝，故选：B．12解：函数f（x）可以看作是动点M（x，lnx2）与动点N（a，2a）之间距离的平方，动点M在函数y＝2lnx的图象上，N在直线y＝2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y＝2lnx得，y'＝＝2，解得x＝1，∴曲线上点M（1，0）到直线y＝2x的距离最小，最小距离d＝，则f（x）≥，根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）＝，此时N恰好为垂足，由k MN＝，解得a＝．故选：A．二、13．1 14．11，60，61．15．【解答】解：由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示：设AF＝x，BF＝y，CF＝z，则，又，可得x＝y＝2，∴a＝．故答案为：．16．解：设t＝lnx，则不等式f（lnx）＞3lnx+1等价为f（t）＞3t+1，设g（x）＝f（x）﹣3x﹣1，则g′（x）＝f′（x）﹣3，∵f（x）的导函数f′（x）＜3，∴g′（x）＝f′（x）﹣3＜0，此时函数单调递减，∵f（1）＝4，∴g（1）＝f（1）﹣3﹣1＝0，则当x＞1时，g（x）＜g（1）＝0，即g（x）＜0，则此时g（x）＝f（x）﹣3x﹣1＜0，即不等式f（x）＞3x+1的解为x＜1，即f（t）＞3t+1的解为t＜1，由lnx＜1，解得0＜x＜e，即不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（0，e），故答案为：（0，e）．三、17．解：（1）函数＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∴：，因此，函数f（x）的单调减区间为．（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，可得y＝2sin（2x++）的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）＝2sin （4x+）的图象，∵，∴，∴，∴y＝g（x）的值域为（﹣1，2]．18．（1）证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，3，0），P（0，0，1），E（，0，），∴＝（，0，），＝（0，1，0），＝（﹣1，0，1）．∴•＝0，•＝0，所以⊥，⊥．所以AE⊥BC，AE⊥BP．因为BC，BP⊂平面PBC，且BC∩BP＝B，所以AE⊥平面PBC．（2）解：设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），则•＝0，•＝0．因为＝（﹣1，2，0），＝（0，3，﹣1），所以．令x＝2，则y＝1，z＝3．所以＝（2，1，3）是平面PCD的一个法向量． (8)分因为AE⊥平面PBC，所以平面PBC的法向量．所以cos＜，＞＝＝．根据图形可知，二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．…10分19解：（I）依题意椭圆的两个焦点和短轴的两个端点都圆x2+y2＝1上，可得b＝1，c＝1所以a2＝2，所以椭圆C的方程；；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y＝k（x﹣2），由消去y得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，所以，因为OA⊥OB，所以，即x1x2+y1y2＝0，而，所以，所以，解得：，此时△＞0，所以．20.解：（I）当n≥20时，f（n）＝500×20+200×（n﹣20）＝200n+6000，当n≤19时，f（n）＝500×n﹣100×（20﹣n）＝600n﹣2000，∴．（II）由（1）得f（18）＝8800，f（19）＝9400，f（20）＝10000，f（21）＝10200，f（22）＝10400，∴P（X＝8800）＝0.1，P（X＝9400）＝0.2，P（X＝10000）＝0.3，P（X＝10200）＝0.3，P（X＝10400）＝0.1，X的分布列为∴EX＝8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1＝9860．21解：（Ⅰ）由f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）＝（x﹣1）e x+2a（x﹣1）＝（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图）若a＝﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）＝﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a＝0时，f（x）＝（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x＝2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．22．解：（1）由消去参数α，得即C的普通方程为由，得ρsinθ﹣ρcosθ①将代入①得y＝x+2所以直线l 的斜率角为．（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，设直线l 的参数方程为（t为参数）即（t为参数），代入并化简得设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．则，所以t1＜0，t2＜0所以．23．【解答】（1）解：①当x≤﹣1时，原不等式化为﹣x﹣1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1；②当时，原不等式化为x+1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1，此时不等式无解；③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．综上，M＝{x|x＜﹣1或x＞1}；（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则f（ab）＝|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）＝|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]＝f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）＝|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|＝|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|＝|b（a+1）|﹣|a+1|＝|b|•|a+1|﹣|a+1|＝|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．- 11 -。