高中数学 (1.6 三角函数模型的简单应用)教案 新人教A版必修4.pptx
高中数学人教A版必修4《三角函数模型的简单应用》教案
1.6 三角函数模型的简单应用教材：高中数学人教A版必修4第一章第六节第一课时一、教学目标知识目标：从实际问题中发现周期性变化的规律，并把发现的规律抽象为恰当的三角模型，进而解决相关实际问题。
能力目标：能够正确转化函数的图像模型和解析式模型来解决实际问题；能从实际问题中抽象出恰当的数学模型来解决问题。
体会形结合思想、类比学习思想及数学建模数的思想方法。
情感目标：在自主探究的过程中，培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。
二、教学重点与难点重点：运用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
难点：如何从实际问题中抽象出三角函数模型，并用相关知识解决实际问题。
三、教学方法与手段教学方法：三段六步法教学。
学习方法：自主探究、观察发现、合作探究、归纳总结。
教学手段：运用多媒体辅助教学。
四、教学基本流程（一）、教材分析《三角函数模型的简单应用》是高中数学必修四第一章第六节内容，本节内容是在学习了三角函数图象和性质以后专门设置的，目的在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习，因此在教材知识结构安排上起到总结、提升本章知识的作用。
（二）、学生情况分析学生对三角函数基本知识有了一定的认识，具有了一定的解决实际应用问题的数学知识储备，但学生的基础和能力存在一定的差异，需要在课堂教学中精讲基础知识，加强分层训练，使每个学生都有收获和提高。
（三）、教法、学法分析本节课采取的是“三段六步法”教学，是我校学习引进并大力推广著名教育家魏书生的一套先进的系统教育教学方法。
它把课堂教学分为六步:一、示标：让学生明确本节课要掌握的知识、方法和技能。
二、自学：让学生从主动学习中获得知识，找出难点。
三、释疑：教师对本课知识做讲解总结，并重点解答学生自学过程中的疑难点，使新学知识在学生头脑中清晰化、完整化。
四、合作探究: 在教师的引导下学生进行合作学习，通过对所学知识的应用，加深对新课内容的理解。
五、自测:通过分层次的练习，深化新知识的理解应用，形成能力。
高中数学 1.6 三角函数模型的简单应用2 新人教A版必修4
4xA 0.3846, Nhomakorabea2
xB 5.6154
o
6 12 18 24
y5sin( x)5
26
x
xC 12.3846,
xD 17.6154
探究活动
货船可以在0时30分左右进港，早晨5 时30分左右出港；或在中午12时30分左 右进港，下午17时30分左右出港. 每次 可以在港口停留5小时左右.
探究活动
新知探究
h0
2634
-23°26´
0° 23°26´
M 40°
A
B
C
M Ctah n0Ctan2 h6 0034'2h0 ppt课件
巩固练习
某市的纬度是北纬
21°34′，小王想在某住
宅小区买房，该小区的楼
高7层，每层3米，楼与楼 之间相距15米，要使所买 楼房在一年四季正午的太
15 15
6
阳不被前面的楼房遮挡，
y 2.5sin x 5
6
6
4
P
2
y=-0.3x+6.1
o 2 4 6 8 10 12
x
典例分析 P点的坐标如何求得呢？ 数形结合，二分法求近似解：
时间 实际水深 安全水深 是否安全
6．0 6．5 7．0
5米 4．3米 安全 4．2米 4．1米 较安全 3．8米 4．0米 危险
y
8
y 2.5sin x 5
3、在整个探究过程，我们用到数学 常见的一些思想方法： （1）数学中的转化思想； （2）估算的思想； （3）数形结合的思想； （4）“二分法”思想。
典例分析
例1．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为 θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值. 当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值. 如果在 北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢高为h0 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳
高中数学新课标人教A版必修四《1.6三角函数模型的简单应用》课件
[思路探索] (1)根据图中提供的数据求 T，进而得出 ω，根据图
1 象过180，0得出
φ，从而得出函数解析式．
1 (2)由题意得出周期 T 不超过150是关键．
1 1 解 (1)由图知 A＝300，设 t1＝－900，t2＝180， 则周期
1 1 1 T＝2(t2－t1)＝2180＋900＝75.
自学导引 1．求解三角函数模型应用题的基本步骤 (1)审题：审题是解题的基础，它包括阅读、理解、分析、翻译、 转化，从中提炼出相应的数学问题． (2)建模：将题中的语言文字信息转化为数学语言，列出数量关 系，建立三角函数模型． (3)解模：利用三角函数知识进行推理运算，使问题得到解决． (4)还原： 将解出的结果代入原问题， 进行检验， 最后得出结论， 给出答案．
2π ∴ω＝ ＝150π. T
1 1 又当 t＝ 时，I＝0，即 sin150π·180＋φ＝0， 180
π π 而|φ|<2，∴φ＝6. 故所求的解析式为
π I＝300sin150πt＋6.
1 2π 1 (2)依题意，周期 T≤150，即 ω ≤150(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又 ω∈N*， 故所求最小正整数 ω＝943. 规律方法 例题中的函数模型已经给出，观察图象和利用待定
2．(1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的最大值为|A|＋k，最小 值为－|A|＋k. (2)若函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的最大值为 ymax，最小 ymax＋ymin ymax－ymin 值为 ymin，则 ＝k， ＝A. 2 2
名师点睛 建立三角函数模型应注意事项 (1)三角函数作为描述现实世界中的周期现象的一种数学模型， 在测量、计算与角有关的问题中得到了广泛的应用，如三角函 数知识在气温的周期变化、 太阳的直射与物体影子长度的关系、 海水的潮汐变化等方面都有它的应用． (2)在由图象确定函数解析式时，注意运用方程思想和待定系数 法来确定参数．
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用教学设计 新人教A版必修4(2021年整
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三角函数模型的简单应用一、教学分析教材分析：本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用,进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，从而培养学生的创新精神和实践能力.学情分析：本节课是在学习学习了第一章函数的应用和三角函数的性质和图象的基础上来习三角函数模型的简单应用，学生已经有了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该顺理成章，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。
二、教学目标1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法;b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标:让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模"思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用,让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神;培养学生勇于探索、勤于思考的精神.三、教学重点、难点教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型。
高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课件新人教A版必修4
数据拟合函数问题
【例3】 某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单 位：h)的函数，下面是每天时间与水深的关系表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 经过长期观测，y＝f(t)可近似地看成是函数y＝Asin ωt＋b. (1)根据以上数据，求出y＝f(t)的解析式；
1.6 三角函数模型的简单应用
目标定位
重点难点
1.会用三角函数解决一些简单 重点：会用三角函数解决一些
的实际问题
简单的实际问题
2.体会三角函数是描述周期变 难点：三角函数模型的简单应
化现象的重要函数模型
用
三角函数的应用 (1)根据实际问题的图象求出函数解析式． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． (3)利用搜集的数据作出_散__点__图___，并根据_散__点__图__进行函 数拟合，从而得到函数模型．
若 y＝－2cos π3t＋2.5，则当 t＝0 时，y＝－2cos 0＋2.5＝2.5－2 ＝0.5，满足条件．若 y＝－2sin π3t＋2.5，则当 t＝0 时，y＝－ 2sin 0＋2.5＝2.5－0＝2.5，不满足条件，排除 D.故选 C.
【方法规律】解三角函数应用问题的基本步骤
如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为 4.8 m，圆上最低点与地面距离为 0.8 m，图中 OA 与地面垂直， 以 OA 为始边，逆时针转动 θ(θ＞0)角到 OB，设 B 点与地面距 离为 h，则 h 与 θ 的关系式为( )
【正解】(1)设振幅为 A， 则 2A＝20 cm，A＝10 cm. 设周期为 T，则T2＝0.5 s， T＝1 s，f＝1 Hz. (2)振子在 1T 内通过的距离为 4A， 故在 t＝5 s＝5T 内通过的路程 s＝5×4A＝20A＝20×10 cm＝200 cm＝2 m.
人教A版 必修四 1.6 三角函数模型的简单应用 教案
的偶函数 π
3、把函数 y＝sin(x＋ 6 )图象上各点的横坐标
1 缩短到原来的2(纵坐标不变)，再将图象向右
π 平移 3 个单位长度，那么所得图象的一条对称
轴方程为( ) π
A．x＝－ 2
B．x＝－
π 4
π C．x＝ 8
π D．x＝ 4
小组合作学
漏缺知识点 习，充分发
在讨论中明 挥小组同学
议
7
、
教学反思 教学后完成
金戈铁骑
度与角度的互化。 （2）三角函数 ①借助单位圆理解任意角三角函数（正
弦、余弦、正切）的定义。②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，
能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图象，了解三角函数的周期性。
③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在[-π/2，π/2]
考试大纲描述 （1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向
量方法的作用。
（2）能从两角差的余弦公式导出并会用两角和与差的正弦、余弦、正
切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括尝试导出积化和差、
和差化积、半角公式，但不要求记忆）。
是（ ） A．最小正周期为
的奇函数 B．最小正周期为
金戈铁骑
-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
的偶函数 C．最小正周期为
的奇函数 D．最小正周期为
金戈铁骑
-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用教案(4)
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【知识点】正切函数 . 【数学思想】数形结合 . 【解题过程】解 :北楼被南楼遮挡的高度为 h=15tan［90° -(23° +23°26′)］ =15tan43°34′≈ 14.26, 由于每层楼高为 3 米,根据以上数据 , 所以他应选 3 层以上 . 【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题 . 例 3 货船进出港时间问题 :海水受日月的引力 ,在一定的时候发生涨落的现象叫 潮 .一般地 ,早潮叫潮 ,晚潮叫汐 .在通常情况下 ,船在涨潮时驶进航道 ,靠近码头 ;卸 货后 ,在落潮时返回海洋 .下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表 : 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 /
(1)求这一天 6—14 时的最大温差 ;(2)写出这段曲线的函数解析式 .
【知识点】正弦函数的图像与性质 .
【数学思想】数形结合的数学思想 .
【解题过程】
解 :(1)由图可知 ,这段时间的最大温差是 20 ℃.
(2)从图中可以看出 ,从 6—14 时的图象是函数 y=Asin(ωｘ+φ)+b 的半个周期的图象 ,
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1.6 三角形函数模型的简单应用
一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习， 了解并掌握三角函数模型应用基本步骤， 会利用收集到的数据 作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型 . （二）学习目标 1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤． 2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模 型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法． 3．感悟“数形结合” 、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合” 、 “函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点 1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题 . 2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函 数模型． （四）学习难点 分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运 用相关知识解决实际问题．
1.6三角函数模型的简单应用-人教A版高中数学必修四课件(共18张PPT)
例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近
似满足函数: y Asin(x ) b.
T/℃ 30
思考1：这一天6～14时的最大温差是多少？
20
30°-10°=20°
10
思考2：函数式中A、b的值分别是多少？
A=10, b=20.
o
6 10 14
t/h
思考3：如何确定函数式中 和 的值?
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
B或D点所对就的时间 问题2：如何求出 A、B、C、D四点
所对应的时间？ 由Y≥5.5 得 2.5sin
x 5 5.5
sin
x 0.2
根令据或周sin期-66性xx可0.02得0.214(：已知xx三Dcx角A6函1122数0.值3xx8求BA4角6),1122用 xB 计50(..算6318器054.2可466014求 )11出672..6553x.68115460464.2014
问题2： 潮汐对轮船进出港口有什么影响？
轮船必须在安全水深内进出港口，否则会搁浅.
问题3：上述变化过程中，是哪些量发生变化？哪个量是自变量？ 哪个是因变量？
上述变化过程中，时间、水深都发生变化，是水深是随时间变化， 因此，时间是自变量，水深是因变量(函数) 问题4： 选择一个适当的函数来近似描述水深与时间的关系？
若所用点为五点法中的“第一点”，则令ωm＋φ＝0； 若所用点为五点法中的“第二点”，则令ωm＋φ＝ ；
2
若所用点为五点法中的“第三点”，则令ωm＋φ＝π； 若所用点为五点法中的“第四点”，则令ωm＋φ＝3 ；
2
若所用点为五点法中的“第五点”，则令ωm＋φ＝2π.
题类Ⅰ：根据正、余弦函数的Fra bibliotek段图象去求其解析式
人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用教案.docx
三角函数模型的用一、教学目1、基知目： a 通三角函数模型的用的学，使学生初步学会由象求解析式的方法； b 根据解析式作出象并研究性； c 体抽象三角函数模型的程； d 体会三角函数是描述周期化象的重要函数模型．2、能力目：学生体一些具有周期性化律的的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析、数形合、抽象概括等能力．3、个性情感目：学生切身感受数学建模的程，体数学在解决中的价和作用，学生切身感受数学建模的程，体数学在解决中的价和作用从而激学生的学趣，培养而不舍的研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
二、教学重点：精确模型的用——即由象求解析式，由解析式研究象及性三、教学点： a、分析、整理、利用信息，从中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并相关学科的知来解决．b、由象求解析式的确定。
四、教学程及意教学程意（一）引入情景展示，引入（多媒体示）同学看海宁潮？⋯⋯．今天我就大家去看一看天下奇——海宁潮．在潮起潮落中也含着数学知．又如大家熟悉的“物理中平衡位置的位移与的关系” 、“交流的流与的关系”、“声音的播”等等也都含着三角函数知。
通上面的例子引学生的趣，近生活，可以告学生生活离不开数学，身充了数学；同可以学生知道数学的重要性，不是本上的内容，有生活都可以用到数学，所以学生更努力学，才能更懂得生活。
的例子有很多，比如：二．由象探求三角函数模型的解析式例 1．如，某地一天从 6～ 14 的温度化曲近似足函数．（1）求一天6～ 14 的最大温差；（2）写出段曲的函数解析式．解：（ 1）由可知：段的最大温差是；（2）从可以看出：从 6～ 14 是的半个周期的象，∴∴∵，∴又∵∴∴将点代入得：，∴，∴，取，∴。
【问题的反思】：①一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围；②与学生一起探索的各种求法；（这是本题的关键！也是难点！）（用最大小值点代入不容易出现错误）③如何根据图像求解析式中的待定参数④探究其他解法：或等⑤借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数。
新课标人教A版高中数学必修四1.6三角函数模型的简单应用课件 (共30张PPT)
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为 1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以 每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么 时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域?
解：设在时刻x船舶的安全水深为y， 那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标 系内作出这两个函数的图象，可以看 到在6时到7时之间两个函数图象有一 个交点. 通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为 4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米； 7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安 全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域。
3
由图象求解析式
y Asin(x )
(1)A 3
yA 3
(2) T 10 4 2
23 3
又T 2 1
2
T 4
O
4
10
3
x
(3) y 3sin(1 x )
3
2 A点的坐标为(
4
, 3)
3
3sin( 1 4 ) 3
23
sin(2 ) 1
3
2k , k Z
水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00
水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
6
y
6 4 2 O 3 6 912 15182124 x
高中数学必修四[人教A版]1.6《三角函数模型的简单应用》ppt课件
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学习目标： 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题； 2．体会三角函数是描述周期性变化现象的重要 函数模型．
引入:
三角函数能够模拟许多周期现象.因此,在解决实际问题 和物理问题中有着广泛的应用.
新授
例1.画出y=|sinx|的图象并观察其周期.
解：
y
y | sin x |
2
D. y 1 sin(2x ) o 7
x
5
5
10 20
2.已知函数 y Asin(x ) 在同一周期内，当 x 时有最大值 2，当 x=0
3
时有最小值-2，那么函数的解析式为（ C ）
A． y 2sin 3 x
2
C． y 2sin(3x )
2
B． y 2sin(3x )
叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船 在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海 洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
水深 (米)
时刻 水深(米) 时刻
水深 (米)
0.00 5.00
9.00
2.50
18.0 0
5.00
（13）.0选0 用7一.5个0 函1数2.0来0近似5.描00述这2个10.0港口2的.50水深与时间的 函解数6:.关0以0系时，间5.给为00出横整坐15点标.0时,0水的深7水为.5深0纵的坐近2标40似.,0画数出值5散.0（0点精图确(如0.0图0)1.）根.
解:建立直角坐标
H A
系如图所示
O
T
M
由题意知:所求函数的模型为
h Asin(t ) B.
则A=2, B=2.5, ∵ T=12, ∴ω=
高中数学1.6 三角函数模型的简单应用 课件 新人教A版必修4
ห้องสมุดไป่ตู้
B
北回归线
南回归线
C
太阳光
讲授新课
例3. 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为 此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个 量之间的关系是 ＝90º －| － |.当地夏半年取正值， 冬半年取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬40º )的一幢高为 h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
讲授新课
练习. 教材P.65练习第3题.
课堂小结
1. 三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关 的简单函数模型. 2. 利用收集到的数据作出散点图，并 根据散点图进行函数拟合，从而得到 函数模型.
课后作业
1. 阅读教材P.60-P.64；
太阳光 － 北回归线
¦ Õ-¦ Ä
－
B
C
太阳光
南回归线
讲授新课
例4. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的 现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情 况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后， 在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时 间与水深的关系表：
时刻 0:00 3:00 6:00 水深/米 5.0 7.5 5.0 时刻 水深/米 时刻 水深/米 9:00 2.5 18:00 5.0 12:00 5.0 21:00 2.5 15:00 7.5 24:00 5.0
讲授新课
例2. 画出函数y＝|sinx|的图象并观察其 周期. y＝|sinx|
y
x
高中数学(1.6三角函数模型的简单应用)教案新人教A版必修4
1.6三角函数模型的简单应用整体设计教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质（特别是周期性）的应用•通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力•培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力•由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等•三维目标1. 能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律.将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型2. 通过切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力.3. 通过函数拟合得到具体的函数模型，提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神重点难点教学重点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.（问题导入）既然大到宇宙天体的运动，小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在，那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”，面临一个实当问题选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用.推进新课新知探究提出问题①回忆从前所学，指数函数、对数函数以及幕函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的？②数学模型是什么，建立数学模型的方法是什么？③上述的数学模型是怎样建立的？④怎样处理搜集到的数据？活动:师生互动，唤起回忆，充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程•对课前已经做好复习的学生给予表扬，并鼓励他们类比以前所学知识方法，继续探究新的数学模型•对还没有进入状态的学生，教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法•在教师的引导下，学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是：收集数据T画散点图T选择函数模型T求解函数模型T检验T用函数模型解释实际问题•这点很重要，学生只要有了这个认知基础，本节的简单应用便可迎刃而解•新课标下的教学要求，不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题，而是教师引领学生逐步登高，在合作探究中自己解决问题，探求新知.讨论结果：①描述现实世界中不同增长规律的函数模型•②简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述•数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法③解决问题的一般程序是：1 °审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2。
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用课件1 新人教A版必修4
解析：设出厂价波动函数为 y1＝6＋Asin(ω1x＋φ1)．由
题意，知 A＝2，T1＝8，ω1＝π4.当 x＝3 时，34π＋φ1＝π2，
∴
φ1
＝
－
π 4
，
∴
出
厂
价
的
函
数
关
系
为
y1
＝
6＋
2sin(
π 4
x
－
π4)．设销售价波动函数为 y2＝8＋Bsin(ω2x＋φ2)．由题意，
知 B＝2，T2＝8，ω2＝π4.当 x＝5 时，有54π＋φ2＝π2，∴φ2
5
探究一：
根据图象建立三角函数关系：
T/℃
例1.如图，某地一天从6～ 30
14时的温度变化曲线近似满 20
足函数
10
y A sin( x ) b.
O 6 810 12 14 t/h
（1）求这一天6～14时的最大温
差.
（2）写出这段曲线的函数解析式.
6
解：（1）观察图象可知，这段时间的最大温差是20 ℃.
17
【变式练习】
以一年为一个周期调查某商品的出厂价格及该商品 在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在 6 元 的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知 3 月份出厂价 格最高为 8 元，7 月份出厂价格最低为 4 元；而该商品在 商店的销售价格是在 8 元基础上按月份也是随正弦曲线 波动的，并已知 5 月份销售价最高为 10 元，9 月份销售 价最低为 6 元．请分别建立出厂价、销售价随时间变化 的函数关系式．
所以，函数 y sin是x以π为周期的函数.
利用函数图象的直观性,通过观察图象而获得对函数 性质的认识,这是研究数学问题的常用方法.
人教A版高中数学必修四课件第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用2.pptx
（鼎尚图文*****整理制作）
1.6 三角函数模型的简单应用 第二课时
问题提出
1.函数 的 f (x) 2 sin( x ), x R(其中 0, ) 2
最小正周期是 ，且 f (0) 3 ，能否确定 函数f(x)的图象和性质？
2.三角函数的应用十分广泛， 对于与角有关的
3
3
A
D
B
小结
1.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军 事、天文、地理和物理等实际问题，其解 答流程大致是：审读题意 设角建立三角 函数 分析三角函数性质 解决实际问题. 其中根据实际问题的背景材料，建立三角 函数关系，是解决问题的关键.
2.在解决实际问题时，要学会具体问题 具体分析，充分运用数形结合的思想， 灵活的运用三角函数的图象和性质进行 解答.
北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢高为h0的 楼房北学科网 zxxk
面盖一新楼，要使新 楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮 挡，两楼的距离不应 小于多少？
φ -δ
φδ θ 太阳光
思考1：图中θ、δ、φ 这三个角之间的关系 是什么？
φ -δ
φδ θ 太阳光
θ=90°－∣φ－δ∣
思考2：当太阳高度角为θ 时，设高为
15 6
正午的太阳不被前面的楼房遮
21
挡，最低应该选择第几层的房？ 三楼
例2如图，甲船在点A处测得乙船在北偏东
60°的B处，并以每小时10海里的速度向正
北方向行使，若甲船沿北偏东θ 角方向直
线航行，并与乙船在C处相遇，求甲船的航
速.
C
北
v 5 3 ， （0，p ） θ
sin( )
MC 0
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在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？ 回忆必修 1 第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的 函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用. 推进新课 新知探究 提出问题
①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些
的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴和蛇具
有双层角质层,其外层在定期蜕皮时脱掉,蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤,约每 2
个月为一个周期可完整地脱落 1 次,称为蛇蜕. 设计感想
1.本教案设计指导思想是:充分唤起学生已有的知识方法,调动起相关学科的知识,尽量降低 实例背景的相对难度,加大实际问题的鲜明、活跃程度,以引发学生探求问题的兴趣. 2.应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,确定它的周期,从而建立 起适当三角函数模型.如果学生选择了不同的函数模型,教师应组织学生进行交流,或让学生 根据自己选择的模型进行求解,然后再根据所求结果与实际情况差异进行评价. 3.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,有 条件的要用多媒体进行动态演示,以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解.
所以
MC＝
h0 tan C
=
h0 tan 2634'
≈2.000h0,
即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距. 点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三 角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图 2 来建立函 数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图 3,然后由图形 建立函数模型,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价值.教学中,教师可以在这 道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究.
题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图 象的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实
际指的是“求 6 是到14 时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出
而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只
变式训练 某市的纬度是北纬 23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高 7 层,每层 3 米,楼与楼
之间相距 15 米应选择哪几层的 房？
图4 解:如图 4,由例 3 知,北楼被南楼遮挡的高度为 h=15tan［ 90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,
规律的?
②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么? ③上述的数学模型是怎样建立的?
学海无涯
④怎样处理搜集到的数据? 活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前
已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型. 对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下, 学 生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型 →求 解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.
3. 通过函数拟合得到具体的函数模型,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣, 培养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.
重点难点
教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,
用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.
教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.
根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图 3,由画 图易知
太阳高度角θ、楼高 h0 与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系: h0=htanθ. 由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体
的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时 的情况.
识来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量
的含义以及它们之间的数量关系.
首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为 φ,正午太阳高度角为 θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ 取 正值,冬半年 δ 取负值.
三维目标 1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律.将实际问题
抽象为三角函数有关的简单函数模型.
2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日 常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学
思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力.
课时安排
2 课时
教学过程
第 1 课时
导入新课 思路 1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周
期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它 到 底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.
思路 2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.
别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.
例 2 2007 全国高考 函数 y=|sinx|的一个单调增区间是( )
A.( , )
44
B.( , 3 )
44
C.(π, 3 )
2
D.( 3 ,2π)
2
答案:C
例 3 如图 2,设地球表面某地正午太阳高度角为 θ,δ 为此时太阳直射纬度,φ 为该地的纬
图1
(1) 求这一天的最大温差; (2) 写出这段曲线的函数解析式.
活动:这道例题是 2002 年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研 究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型 函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决.
∴ω·(－ 1 )+φ=0,ω· 1 +φ=π.解得 ω=100π,φ= ,∴I=300sin(100πt+ ).
300
150
3
3
(2)依题意有 T≤ 1 ,即 2 ≤ 1 ,∴ω≥200π.故 ωmin=629. 100 100
2.搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型.
解:如以下两例: ①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、
睡眠节奏、饥饿程度等；
②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层,虽
有保护身体的作用,但限制动物的生长、发育.因此,在胚后发育过程中,必须进行 1 次或数次
脱去旧表皮,再长出宽大的新表皮后,才变成成虫,这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称
为“蜕”,只有这样,虫体才能得以继续充分生长、发育.蜕皮现象的发生具有周期性,但蜕皮
度值,那么这三个量之间的关系是 θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年 δ 取正值,冬半年 δ 取负
值.
如果在北京地区(纬度数约为北纬 40°)的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼,要使新楼 一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?
活动: 如图 2 本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强,需调动相关学科的知
点位置将移至它关于 x 轴的对称点处,即横坐标不变,纵坐标与图中的丁点相同. 2.如 CCTV—1 新闻联播节目播出的周期是 1 天. 点评:了解实际生活中发生的周期变化现象. 课 堂小结 1.本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式 作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模 型解决实际问题的基本步骤吗？
2
2
学海无涯
∵ 1 · 2 =14-6, 2
∴ω= • .将 x=6,y=10 代入上式,解得 φ= 3 .
8
4
综上,所求解析式为 y=10sin( • x+ 3 )+20,x∈[6,14].
84
点评:本例中所给出的一段图象实际上只取 6—14 即可,这恰好是半个周期,提醒学生注
意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特
要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求 ω 是利用半周期
(14-6),通过建立方程得解.
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是 20 ℃.
(2)从图中可以看出,从 6—14 时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象,
∴A= 1 (30-10)=10,b= 1 (30+10)=20.
这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教 学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作 探究中自己解决问题,探求新知. 讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型. ②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地 反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽 象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法. ③解决问题的一般程序是: 1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系； 2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型； 3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论； 4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答. ④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型. 应用示例 例 1 如图 1, 某地一天从 6—14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=sin(ωx+φ)+b.