3-假设检验

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问题2 某种疾病,不用药时其康复率为θ0,现发 明一种新药（无不良反应),为此抽查n位病人用 新药的治疗效果，设其中有s人康复,根据这些信 息,能否断定“该新药有效”？
记 H0 : θ=θ0 , H1 : θ>θ0 问题3 有一颗骰子,如何知道它是否均匀？这里均 匀的含义是指掷出各点的概率相等. 记 H0 : p1 = p2 =…= p6=1/6, H1 : p1 p2 … p6 不全相等 其中 pi 是骰子掷出i点的概率
样本均值 样本方差
1 X X i , X ~ N ( , ), n i 1 n
n 2
n 1 2 S Xi X n 1 i 1


2
(n 1) S
2

2
~ ( n 1)
2
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（1）方差2已知－U检验
双侧检验 H0: = 0，H1: 0 在H0 成立的前提下，选检验统计量
0
小概率事件
| u ||
A :| U | u / 2
其中 u / 2 u0.025 1.96 说明小概率事件A未发生
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x 50 50.02 50 || | 1.054 u0.025 / n 0.06 / 10
因此接受假设H0，即认为总体均值μ等于50
注:本例中若取小概率事件为
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(2)方差12 ,22未知， 但12 =22 =2 H0: 1-2 = 0， H1: 1-2 0，(0为常数) X Y 0 选统计量
T Sw 1 1 n1 n2 ~ t ( n1 n2 2)
其中
Sw
2 2 n 1 S + n 1 S 1 1 2 2 n1 n2 2
/2
-t/2 t/2
/2
t
得 d = t/2 (n-1) 拒绝域为 |t| > t/2 (n-1) 此检验法称为T检验法
拒绝域
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2.两正态总体均值差的检验
X~N(1,12),Y~N(2,22), X,Y相互独立,X的样本为 X1,X2,,Xn1，Y的样本为Y1,Y2,,Yn2 X, Y的样本均值分别为 X , Y
绝H0 ，只好接受H0.
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反证法的关键是通过推理，得到一个与常理（定理、 公式、原理）相违背的结论.“概率反证法”依据 的是“小概率原理”.那么多小的概率才算小概率 呢？这要由实际问题的不同需要来决定.以后用符 合α记小概率，一般取α=0.1,0.05等.在假设检验 中，若小概率事件的概率不超过α，则称 α为检 验水平或显著性水平.
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统计假设:数理统计学中有待验证的陈述或命题.
假设检验:利用样本对假设的真假进行判断. 参数假设检验:在总体的概率分布已知情形下，对 分布中的未知参数作假设并进行检验. 非参数假设检验:若总体的分布未知，对总体的分 布形成或参数作假设并进行检验.
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在假设检验问题中，常把一个被检验的假设称为原
假设或零假设，而其对立面就称为对立假设.上述
在H0 成立的前提下，选检验统计量
X 0 U ~ N (0,1) / n
φ(u)
小概率事件不能取 |U|>d 而应取为小概率事件 U>d 由 P { U > u/2 } = , 得 d = u u

u
拒绝域 拒绝域为 u > u 同理可给出 H0: = 0，H1: <0 的拒绝域为u <- u
第三章 假设检验
§1 假设检验问题 §2 正态总体均值的假设检验 §3 正态总体方差的假设检验 §4 p值检验法 §5非参数检验
1
参数的点估计方法建立了参数θ的估计公式，并 利用样本值确定了一个估计值，认为参数的真值
ˆ
由于θ是未知的，上式只是一个假设（假想）， 它可能是真，也可能是假，是真是假，有待于 用样本进行验证（检验）。
2 2 ( n 1) S ( n 1) S 2 1 2 2 X, Y的联合样本方差为 S w 1 n1 n2 2 检验H0:1-2=0， H1:1-20，(0为常数)
2 X, Y的样本方差分别为 S12 , S 2
(1) 方差12 ，22已知
分三种情况
(2) 方差12 ，22未知,但12 =22 =2 (3) 方差12 ，22未知,但n1,n2 都很大
X Y U
2 S12 S 2 n1 n2 0
则当n1,n2 都很大时,近似地有 U ~ N (0,1)
小概率事件 |U|>d 由 P { |U| > u/2 } = , 得 d = u/2
拒绝域为 |u| > u/2
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第三章 假设检验
§1 假设检验问题 §2 正态总体均值的假设检验 §3 正态总体方差的假设检验 §4 p值检验法 §5 非参数检验
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（2）方差2未知
H0:=0，对立假设H1: 0 X 0 由于2未知 U / n U不能作为检验统计量 用S2代替2 ，即选检验统计量
X 0 T ~ t ( n 1) S/ n
f(t)
小概率事件 |T|>d 由 P { |T| > t/2 (n-1) } = ,
各问题中， H0 为原假设，H1为对立假设.当H0不成
立时，就拒绝接受H0而接受其对立假设H1.对立假设 往往也称为备选假设,不论是原假设还是对立假设， 若其中只含有一个参数值，则称为简单假设，否则 称为复合假设.
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2. 假设检验的思想方法
小概率原理 概率很小的事件在一次试验中不会发生.如果小
概率事件在一次试验中竟然发生了，则事属反常，定有导致
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通常反证法与概率反证法的区别
假设 命题H0为真 逻辑推理 出现矛盾?
N 某一定理. 定律.公理 Y
假设 命题H0为真 区别 构造小概率事件A 抽样.A发生?
Y 小概率 原理 N
H0为假
H0真假 待定
H0为假
H0为真
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逻辑推理←→似然推理 似然推理的结论可能出错
例1 设总体X～ N( μ, σ2 ), σ=0.06,现从总体中抽取容 量为10的样本，算得样本均值50.02 ,问总体的均值μ是否 等于50？（取=0.05） 解 由问题提出假设 H0 ：μ =50 , H1 ：μ ≠50 . 在H0成立的前提下 构造小概率事件 A :| X 50| d ( d 0 ） 令P（A）=α X 50 H X U ~ N (0,1) 统计量 U / n / n d d P(| X 50 | d ) P | U | 2 P U / n / n
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第三章 假设检验
§1 假设检验问题 §2 正态总体均值的假设检验 §3 正态总体方差的假设检验 §4 p值检验法 §5 非参数检验
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§2 正态总体均值的假设检验
1.单正态总体均值的检验
2.两正态总体均值差的检验
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1. 单正态总体均值的检验
设总体X ~N(, 2)，样本为X1, X2 , , Xn
2
§1 假设检验问题
1 统计假设 2 假设检验的思想方法 3 数假设检验问题的步骤
3
1. 统计假设
请看以下几个问题 问题 1 一台机器加工某种零件,零件尺寸X服从正 态分布N(μ,σ2)，其中 σ2反映加工精度，为已知, 图纸标定零件尺寸为50（毫米）,如果μ=50则机器 工作正常,否则为不正常,但是μ未知.从机器生产的 一批零件中任取10件,并测得其尺寸,如何根据这10 个样本值判断“机器工作是正常的”这个命题是否 成立？ 若用H0表示“μ=50”,用H1表示其对立面，即“μ ≠50”,则问题等价于检验H0 ：μ=50是否成立，若H0 不成立，则H1 ： μ ≠50成立.
小概率事件 |T|>d 由 P { |T| > t/2 (n1+ n2- 2) } = , 得 d = t/2 (n1+ n2- 2)
拒绝域为 |t| > t/2 (n1+ n但n1,n2 都很大 H0: 1-2 = 0， H1: 1-2 0，(0为常数) 选统计量
第二类错误: 取伪 概率为β H0不正确，但检验结果却接受H0
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一个优良的检验法，应使两种错误的概率尽可能小 .
这两方面的要示是矛盾的。
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在区间估计问题中，“置信度高”与“估计精确”
是矛盾的，那里，我们采用在保证一定的置信度下
使区间长度尽可能小的原则. 选择一种优良检验的策略思想与此类似，即先保 证弃真的概率不超过指定值，再设法控制取伪概率 .
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§3 正态总体方差的假设检验
1.单正态总体方差的检验
2.两正态总体方差比的检验
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1.单正态总体方差的检验
原假设H0:2=02，对立假设H1: 2 02 选统计量 小概率事件
K2 ( n 1) S 2
2 0
~ 2 ( n 1)
2 2 K d K d1 1
反常的特别原因，有理由怀疑试验的原定条件不成立 概率反证法 欲判断假设H0的真假。 1）假定H0真，在此前提下构造一个能说明问题的小概
率事件A.
2）试验取样，由样本信息确定A是否发生，若A发生， 这与小概率原理相违背，说明试验的前定条件H0 不成立，
拒绝H0 ，接受H1；若小概率事件A没有发生，没有理由拒
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(1)方差12 ，22已知 H0: 1-2 = 0， H1: 1-2 0，(0为常数)
选统计量
U
X Y

2 1
0
n1


2 2
~ N (0,1)
n2
小概率事件 |U|>d 由 P { |U| > u/2 } = , 得 d = u/2 拒绝域为 |u| > u/2 对右侧检验：H0: 1-2=0， H1:1-2 > 0 拒绝域u > u 对左侧检验：H0: 1-2=0， H1:1-2 < 0 拒绝域u < - u