6-4精心搜集整理的高品质高考数学复习资料

1 C．当 x≥2 时，x＋x 的最小值为 2 1 D．当 0<x≤2 时，x－x 无最大值 解析：x>0， x＋ 当且仅当 x＝ 答案：B 3．函数 y＝log2x＋logx(2x)的值域是 ( A．(－∞，－1] B．[3，＋∞) ) 1 ≥2 x x· 1 ＝2， x
1 ，即 x＝1 时，等号成立． x
1 1 1 1 b a ＋ 解析： 由题意有 3a·3b＝3a b＝( 3)2＝3， ∴a＋b＝1.∴a＋b＝(a＋b)(a＋b)＝2＋a＋b≥4， 1 等号当且仅当 a＝b＝2时成立，故选 B. 答案：B 1 1 3．(2009·重庆高考)已知 a>0，b>0，则a＋b＋2 ab的最小值是 ( A．2 C ．4 B ．2 2 D．5 )
分)的周率从左到右依次记为 τ1，τ2，τ3，τ4，则下列关系中正确的为 ( )
A．τ1>τ4>τ3 C．τ4>τ2>τ3
B．τ3>τ1>τ2 D．τ3>τ4>τ1 2a＋2b 2a＋b ＝ 2 a2＋b2 a ＋b 2
解析：第 1 个区域：先补成一个长方形，设长为 a，宽为 b，则周率为 ≤2 2. 第 2 个区域：设大圆半径为 2，则 周率为 2π＋2π 4 ＝π.
2x＝πy ，解得 200 由 2x＋πy＝400 y ＝
x＝100

.
π
x＝100 ∴当且仅当 200 时等号成立， y ＝ π 200 即把矩形的长和宽分别设计为 100 m 和 π m 时，矩形区域面积最大． [备选精题] 6．已知：x，y 都是正实数，且 x＋y－3xy＋5＝0， (1)求 xy 的最小值． (2)求 x＋y 的最小值． 解：(1)由 x＋y－3xy＋5＝0 得 x＋y＋5＝3xy. ∴2 xy＋5≤x＋y＋5＝3xy. ∴3xy－2 xy－5≥0， ∴( xy＋1)(3 xy－5)≥0， 5 25 ∴ xy≥3，即 xy≥ 9 ，等号成立的条件是 x＝y. 5 25 此时 x＝y＝3，故 xy 的最小值是 9 . x ＋y (2)解法一：由 x＋y＋5＝3xy≤3·( 2 )2 3 ＝4(x＋y)2， 3 ∴4(x＋y)2－(x＋y)－5≥0， 即 3(x＋y)2－4(x＋y)－20≥0， 即[(x＋y)＋2][3(x＋y)－10]≥0， 10 ∴x ＋y ≥ 3 ， 5 等号成立的条件是 x＝y，即 x＝y＝3时取得． 10 故 x＋y 的最小值为 3 . 25 解法二：由(1)知 x＋y＋5＝3 时上式取等号 ∴x＝1 时，函数 y 有最小值 9，无最大值． 8．函数 f(x)对一切实数 x，y 均有 f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x 成立，且 f(1)＝0. (1)求 f(0)； (2)求 f(x)； (3)不等式 f(x)>ax－5 当 0<x<2 时恒成立，求 a 的取值范围． 解：(1)令 x＝1，y＝0，得 f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2，∴f(0)＝f(1)－2＝－2. (2)令 y＝0， f(x＋0)－f(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x2＋x， ∴f(x)＝x2＋x－2. (3)f(x)>ax－5 化为 x2＋x－2>ax－5， ax<x2＋x＋3，∵x∈(0,2)， x2＋x＋3 3 ＝1＋x＋ x. ∴a < x 3 当 x∈(0,2)时，1＋x＋x ≥1＋2 3， 3 当且仅当 x＝x ，即 x＝ 3时取等号， 3 由 3∈(0,2)，得(1＋x＋ x)min＝1＋2 3， ∴a<1＋2 3. [高考·模拟·预测]
第 6 模块
第4节
[知能演练] 一、选择题 a 1．“a＝1”是“对任意正数 x,2x＋x ≥1”的 ( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 1 a 2 a 解析：当 a＝1 时，2x＋ x＝2x＋ x ≥2 2(当且仅当 x＝ 2 时取等号)所以 a＝1⇒2x＋x a a ≥1(x>0)．a＝1 为 2x＋ x≥1(x>0)的充分条件．反过来，对任意正数 x，当 a＝2 时，2x＋x ≥1 a 恒成立，所以 2x＋x ≥1a＝1.故为非必要条件．故选 A. 答案：A 2．下列结论正确的是 ( 1 A．当 x>0 且 x≠1 时，lgx＋lgx≥2 B．当 x>0 时， x＋ 1 ≥2 x ) )
25 25 10 ∴3(xy)min＝ 3 ，∴(x＋y)min＝ 3 －5＝ 3 ， 5 此时 x＝y＝ . 3
1 1 1 1 ＋2 ab≥4.等号当且仅当 a＝b 且 ＝ ab，即 a＝b＝1 时 解析：a＋b＋2 ab≥2 ab ab 成立．故选 C. 答案：C 4． (2009·江西高考)一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”， 封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”．下图四个平面区域(阴影部
20 4d 当且仅当 d ＝ 5 ，即 d＝5 时，费用之和最小． 答案：5
三、解答题 7．(1)求函数 y＝x(a－2x)(x>0，a 为大于 2x 的常数)的最大值； x＋5x＋2 的最值； (2)设 x>－1，求函数 y＝ x ＋1 解：(1)∵x>0，a>2x， 1 2x＋a－2x 2 a2 1 ] ＝8 ∴y＝x(a－2x)＝2×2x(a－2x)≤2×[ 2 a a2 当且仅当 x＝4时取等号，故函数的最大值为 8 . (2)∵x>－1，∴x＋1>0， 设 x＋1＝z>0，则 x＝z－1 ∴y ＝ ≥2 z＋4z＋1 z2＋5z＋4 4 ＝ ＝z＋ z ＋5 z z 4 z· z ＋5＝9
解：设中间矩形区域的长，宽分别为 x m，y m， 中间的矩形区域面积为 S， πy 则半圆的周长为 2 ， 因为操场周长为 400， πy 所以 2x＋2× 2 ＝400， 400 即 2x＋πy＝400(0<x<200,0<y< π )，
1 1 2x＋πy ∴S＝xy＝2π·(2x)·(πy)≤2π·( 2 )2 20000 ＝ π ，
1 x－12· －1＝2－1＝1. x－12
1 ，且 x∈(0,3)， 当且仅当(x－1)2＝ x－12 即 x＝2 时取等号， ∴当 x＝2 时，函数 f(x)有最小值 1. 答案：D 1 1 2．(2009·天津高考)设 a>0，b>0.若 3是 3a 与 3b 的等比中项，则a＋b的最小值为 ( A．8 C ．1 B ．4 1 D.4 )
4
1 答案：6
± 3
6．某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货 物的运费 y2 与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ 千米处． 解析：设仓库建在离车站 d 千米处， k1 20 由已知 y1＝2＝10，得 k1＝20，∴y1＝ d ， 4 4 y2＝8＝k2·10，得 k2＝5，∴y2＝5d， 20 4d ∴y1＋y2＝ d ＋ 5 ≥2 20 4d d · 5 ＝8，
1 1．(2009·九江模拟)函数 f(x)＝x2－2x＋ 2 ，x∈(0,3)，则 x －2x＋1 ( 7 A．f(x)有最大值4 C．f(x)有最大值 1 B．f(x)有最小值－1 D．f(x)有最小值 1 )
解析：∵x∈(0,3)，∴x－1∈(－1,2)， ∴(x－1)2∈[0,4)， ∴f(x)＝(x－1)2＋ ≥2 1 －1 x－12
2 2
)
a ＋b B ．b < 2 < a a2＋b2 D．b<a< 2
2
2
a2＋b2 C．a<b< 2
a2＋b2 6 解析：a＝ 2sin60°＝ 2 >1，b＝ 2sin62°，于是 b>a，淘汰 B、D，又 2 >ab>b，从 a2＋b2 而 2 >b>a.故选 C. 答案：D 二、填空题 x2 (x≠0)的最大值为____________，此时 x 的值为________． 5．函数 y＝ 4 x ＋9 解析：y＝ 1 1 1 9 x2 ＝ ≤ ＝6，当且仅当 x2＝x2，即 x＝± 3时取等号． 9 x ＋9 2 x ＋x 2 2 9
3a 第 3 个区域：将原图补成一个正三角形，设边长为 a，则周率为 a ＝3. 第 4 个区域：设此区域的外接圆半径为 R，则其中大的正△ABC 的边长为 3R， ∴周率为 3 3R＋ 3R ＝2 3，故选 C. 2R
答案：C 5．(2009·广东六校联考)某学校拟建一块周长为 400 m 的操场如图所示，操场的两头是 半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能 大，试问如何设计矩形的长和宽？
C．[－1,3]
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析：y＝log2x＋logx(2x)＝1＋(log2x＋logx2)， 如果 x>1，则 log2x＋logx2≥2， 如果 0<x<1，则 log2x＋logx2≤－2， ∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选 D. 答案：D 4．设 a＝sin15°＋cos15°，b＝sin17°＋cos17°，则下列各式正确的是 ( A．a< a ＋b 2 <b