2017-2018学年高中数学人教B版选修4-4课件：第一章 1.2 极坐标系
人教高中数学 选修4-4-第一讲-坐标系(实用资料)ppt
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标
x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P’(x’, y’),
坐标对应关系为：
x x
y
3
y
②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
y
在正弦曲线y=sinx上任取一
点P(x, y)，保持纵坐标不变，将
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线
x2 a2
y2 b2
1
上
a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.
所以双曲线的方程为： 6x2 82 05y3242 0 1(x0)
用y=－x代入上式，得 x6850,y6850,
例2 圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P 分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN (M、N分别为切点), 使得PM= 2 PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹
方程。
解：以直线O1O2为x轴，线段 O1O2的垂直平分线为y轴，建立平 M 面直角坐标系，
yP NX
则两圆的圆心坐标分别为
坐标法 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，
注意以下原则：
(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足yb2+c2=5a2,BE,CF分
别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探
x
1
2018学年高中数学选修4-4课件：第1讲 坐标系 1 精品
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
证法二：如图所示，
在▱ABCD 中， A→C＝A→B＋A→D， 两边平方得A→C2＝A→B2＋2A→B·A→D＋A→D2. 同理可得B→D2＝A→D2－2A→D·A→B＋A→B2.
以上两式相加，得A→C2＋B→D2＝2(A→B2＋A→D2)，
[变式训练] 1.已知△ABC中，点D在BC边上，且满足|BD| ＝|CD|，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
证明： 以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面 直角坐标系xOy，
则 A(0,0)，设 B(a,0)，C(b，c)，
则 Da＋2 b，2c.
所
以
|AD|2＋
[规律方法] (1)点 A(a，b)在伸缩变换 φ：yx′′＝＝μλxyλμ>>00，
的作用下，可得点 A′(λa，μb)；
若点 B 在伸缩变换 φ：yx′′＝＝μλxyλμ>>00， 的作用下，得点
B′(c，d)，则点
c d Bλ.μ.
(2)一般地，在平面直角坐标系中，经过伸缩变换，直线伸
缩后仍为直线，双曲线伸缩后仍为双曲线，抛物线伸缩后仍为
1．将点 P(－2,2)变换为 P′(－6,1)的伸缩变换公式为( )
A．x′＝13x y′＝2y
B．x′＝12x y′＝3y
x′＝3x C．y′＝12y
D．yx′′＝＝22yx
解析： 设伸缩变换公式为
x′＝λxλ>0， y′＝μyμ>0，
由题意，得1－＝62＝μ，－2λ，
λ＝3， x′＝3x，
又|A→C|2＋|B→D |2＝2(|A→B|2＋|A→D|2)，
2017-2018学年高中数学人教B版选修4-4：第一章 1.3 曲线的极坐标方程
答案： B
À 4．过点 A(5,0)和直线 ¸ ＝ 垂直的直线的极坐标方程是 ( 4
À A．Ásin4＋¸ ＝5 À 5 2 C．Ásin4＋¸ ＝ 2 À 5 2 B．Ácos4＋¸ ＝ 2 À 5 2 D ．Ásin4－¸ ＝ 2
答案： A
3．直线 ¸ ＝± 和直线 Ásin(¸ －±)＝1 的位置关系是 ( A．垂直 C．相交但不垂直 B ．平行 D．重合
)
解析：直线 ¸ ＝± 化为直角坐标方程为 y＝xtan ±，Ásin(¸ －±) 1 ＝1 化为 Ásin ¸ cos ±－Ácos ¸ sin ±＝1，即 y＝xtan ±＋ .所 cos ± 以两直线平行．
3 . 3
则P
À 所以直线 OP 的极坐标方程为 ¸ ＝ (Á∈ R)． 6
2．设 M 是定圆 O 内一定点，任作半径 OA，连接 MA，自 M 作 MP⊥MA 交 OA 于 P，求 P 点的轨迹方程．
解：以 O 为极点，射线 OM 为极轴， 建立极坐标系，如图． 设定圆 O 的半径为 r，OM＝a， P(Á，¸ )是轨迹上任意一点．
则称此二元方程 F(Á，¸ )＝0 为曲线 C 的极坐标方程．
2．直线的极坐标方程
¸ ＝¸ 0 (1)当直线 l 过极点，从极轴到 l 的角是 ¸ 0，则 l 的方程为________.
Ácos ¸ ＝d (2)当直线 l 过点 M(d,0)且垂直于极轴时，l 的方程为_________.
À (3) 当直线 l 过点 M(d ， ) ，且平行于极轴时， l 的方程为 2
2．在直线的极坐标方程中， Á 的取值范围是什么？ 提示：Á 的取值范围是全体实数．
极坐标方程与直角坐标方程的互化
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
高中数学选修4-4极坐标与参数方程(人教版共5份)精选教学PPT课件
所以，经过伸缩变换后，直线 2x＋4y＝1 变成直线 x′＋y′＝1. (2)将 ①代入 x ＋ y ＝ 4，得到经过伸缩变换后的图形的方程为 x′2 y′2 ＋ ＝4. 4 16
2 2 x ′ y ′ 所以，圆 x2＋y2＝4 经过伸缩变换后变成椭圆 ＋ ＝1. 16 64 2 2
x ′ y′ 答案：(1)x′＋y′＝1 (2) ＋ ＝4 4 16
2
2
5x＇＝x 例 3 在平面直角坐标系中，经过伸缩变换 曲线 C 变 4y＇＝y，
为曲线 x′2＋y′2＝1，求曲线 C 的方程． 解析：设曲线 C 上任意一点为(x，y)，经过伸缩变换后对应点的 坐标为(x′，y′)，
5x′＝x， 由 得 4y′＝y
x y 1 代入 x′ ＋y′ ＝1，得25＋16＝1. y′＝4y.
题型二 伸缩变换
例 2 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过伸缩
x＇＝2x， 变换 后的图形． y′＝4y
(1)2x＋4y＝1；(2)x2＋y2＝4.
x′＝2x， 解析：由伸缩变换式 得 y′＝4y
1 y＝4y′.
1 x＝ x′， 2
①
(1)将①代入 2x＋4y＝1，得到经过伸缩变换后的图形方程为 x′ ＋y′＝1.
2.平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换 就可归纳为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换. (2)设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ������' = ������������(������ > 0), φ: 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P'(x',y'),称 φ 为平面直 ������' = ������������(������ > 0) 角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2017-2018学年高中数学人教B版选修4-4：第一章 1.5 1.5.2 球坐标系
À 在 Rt△OO1B 中，∠O1BO＝ ，OB＝R， 4 2 ∴O1B＝O1A＝ R. 2 À ∵∠AO1B＝ ，∴AB＝R. 2 À 在△AOB 中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝ . 3 À 故飞机沿经过 A， B 两地的大圆飞行，航线最短，其路程为 R. 3
我们根据 A， B 两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着 过 A，B 两地的大圆飞行时，飞行最快．求所飞行的路程实际上 是要求我们求出过 A，B 两地的球面距离．
解析：设点 M 的直角坐标为 (x， y， z)，则点 M 关于 (0,0,0) 的对称点 M′的直角坐标为 (－ x，－ y，－ z)，设 M′的球 cos ¸ ， x＝ rsin Æ sin ¸ ， 坐标为 (r′， Æ ′， ¸ ′ )，因为 y＝ rsin Æ z＝ rcos Æ ，
4À 5À 题需要先搞清球坐标 5， 3 ， 6 中各个坐标的意义，然后代入相
应的公式求解即可．
[精解详析] ∵M
4À 5À 的球坐标为5， 3 ， 6 ，
5À 4À ∴r＝5，Æ ＝ ，¸ ＝ . 6 3 5À 4À 5 x＝5sin cos ＝－ ， 6 3 4 5À 4À 5 3 y ＝ 5sin sin ＝－ ， 得 6 3 4 5À 5 3 z＝5cos ＝－ . 6 2
一、选择题 1．已知一个点 P
3À À 的球坐标为2， 4 ，4 ，点
P 在 xOy 平面上
* * * * 的投影点为 P0，则与 OP0
的夹角为
À À 3À ＝ . 解析：∵Æ ＝ ，∴OP 与 OP0 之间的夹角为2－Æ 4 4
答案：A
2．点M 的球坐标为 (r， Æ ， ¸ )(Æ ， ¸ ∈(0， À))，则其关于点 (0,0,0) 的对称点的坐标为 A．(－r，－Æ ，－¸ ) C．(r，À＋Æ ，¸ ) ( B．(r，À－Æ ，À－¸ ) D．(r，À－Æ ，À＋¸ ) )
2018学年高中数学选修4-4课件：第1讲 坐标系 2 第1课时 精品
课标定位
1．了解极坐标系的意义． 2．理解点的极坐标的不唯一性． 3．能够建立适当的极坐标系解决数学问题.
1．利用坐标法解决几何问题．(重点) 2．常与三角函数和几何图形结合命题． 3．点的极坐标不唯一是易混点，准确理解极坐标系的概 念并用于解题．(难点)
预习学案
直角 坐标 系
极坐 标系
点的表示方法 点与对应坐标
(x，y)，其中x 表示点的水平 位置，y表示点 的垂直高度
点与有序实数对， 即(x，y)是一一对 应的
(ρ，θ)，其中ρ 表示该点到原 点的距离，θ表 示从x轴正半轴 开始逆时针旋 转的角度
一个有序实数对 (ρ，θ)对应着一个 点，而一个点却可 与无数多个(ρ，θ) 对应
解题过程 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位 长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示．
Байду номын сангаас
由|OC|＝600 m，∠AOC＝π6，∠OAC＝π2， 得|AC|＝300 m，|OA|＝300 3 m， 又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m. 同理，得|OE|＝2|OG|＝300 2 m， 所以各点的极坐标分别为 O(0,0)，A(300 3，0)，C600，π6， D300，π2，E300 2，34π，F(300，π)，G150 2，34π.
又由 A、B 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒， 知|PB|－|PA|＝4，于是知 P 应在双曲线x42－y52＝1 的右支上． 直线 l 与双曲线的交点 P(8,5 3)即为动物的位置，至此问 题便可获解．
据已知两点的斜率公式，得直线PA的倾斜角为60°.于是 舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公 式，可得|PA|＝10.
人教版高二数学选修4《极坐标系的概念》课件(共27张PPT)
极坐标系的概念
余集高中数学组
唐汝照
Page 1
教学目标
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的 结构（ 建立极坐标系的四要素）； 2、理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ， θ）与点之间的多对一的对应关系； 3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描 点，以及已知点能写出它的极坐标。
极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ）
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课后作业 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为 (-10, 3 ), 则下列各 坐标中, 不是M点 的坐标的是( ) 4 ) (A) (10, 3 ) (B) (-10, - 5 3 2 2 (C) (10, - 3 ) (D)(10, 3 )
点M：在角终边的反向延长线上， 且|OM|=|| 5 ° M(-2, ) O 5
6 ° O 6 • •M(-x 2, 5) M (, ) 6
5、关于负极径
x
Page 20
小结： 从比较来看, 负极径比正极径 多了一个操作, 将射线OP“反向延
练习：写出下列各点的负极径的极坐标
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Page 2
β=α+2kπ,k∈Z 与角α终边相同的角：
平面直角坐标系中的点P与坐标 y 一一 对应的. (a ,b)是 _____ P(a,b)
平面直角坐标系是最 a O x 简单最常用的一种坐标 系，但不是唯一的一种 坐标系. 有时用别的坐 标系比较方便. 还有什么坐标系呢？
Page 3
(, 2k+)
2017年高中数学 第1讲 坐标系 第2节 极坐标系 第2课时 极坐标和直角坐标的互化课件 北师大版选修4-4
3－
32 2
＝ 4＋12＝4.
[规律方法] (1)|AB|除了利用两点间距离公式解决之外， 由A，B两点在极坐标系上的位置．如图可知O，A，B在同一条 直线上，故|AB|＝|OA|＋|OB|＝1＋3＝4.
(2)平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐 标表示．我们要理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与 直角坐标的互化，利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题 转化为熟悉的问题．
1．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点 重合；②极轴与直角坐标系横轴的正半轴重合；③两坐标系中 的长度单位相同．
(2)不作特殊说明，由ρ2＝x2＋y2求ρ时，ρ不取负值．
由tanθ＝
y x
确定θ时，θ∈[0,2π)，注意x≠0时才能由上述公
式确定，同时结合x、y的符号确定θ所在象限，x＝0时，①若y
第二课时 极坐标和直角坐标的互化
[学习目标]
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系． 2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式． 3．能够根据坐标转化解决某些数学问题.
[学法指要]
1．利用点的坐标互化公式解决问题．(重点) 2．常与三角函数和几何图形结合命题． 3．灵活运用互化公式求点的极(直角)坐标．(难点)
∴x2＋y2＝4.
①
又|AC|2＝|BC|2，
于是(x－ 2)2＋(y－ 2)2＝(x＋ 2)2＋(y＋ 2)2，
即y＝－x代入①，得x2＝2，解得x＝± 2， ∴xy＝＝－2，2， 或xy＝＝－2，2， ∴点C的直角坐标为( 2，－ 2)或(－ 2， 2)． ∴ρ＝ 2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝74π或34π， ∴点C的极坐标为2，34π或2，74π.
选修4-4 1.2 极坐标系
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
π 2kπ+ 4 本题点M的极坐标统一表达式：4，
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 ,1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
o
x
之间的距离可总结如下：
2 PP2 12 2 2 1 2 cos(1 2 ) 1
选修4-4极坐标课件
极坐标函数的图像可以转化为 直角坐标函数的图像，通过极 坐标到直角坐标的转换实现。
极坐标函数的图像可以通过观 察其形状、对称性、周期性等 特征来理解其性质。
03 极坐标方程
极坐标方程的定义与特点
01
02
03
极坐标系
极坐标系是一种平面坐标 系，其中每个点由一个距 离和一个角度确定。
极坐标方程定义
在极坐标系中，曲线可以 用极坐标方程表示，形式 为$rho = f(theta)$或 $theta = g(rho)$。
利用极坐标的对称性进行积分 计算
利用极坐标的参数方程进行积 分计算
极坐标中的积分应用实例
01
02
03
04
利用极坐标的面积公式 计算圆环的面积
利用极坐标的体积公式 计算球体的体积
利用极坐标的线积分公 式计算电场线的长度
利用极坐标的曲面积分 公式计算球面的面积
05 极坐标在几何中的应用
极坐标在平面几何中的应用
极坐标系中的函数性质
极坐标函数描述了极坐标系中点与原点的距离和射线与正x轴的角度之间的关系。 极坐标函数的性质可以通过其直角坐标函数的性质来推断，如奇偶性、周期性等。
极坐标函数可以用于解决一些物理问题，如电场、磁场等。
极坐标系中的函数图像
极坐标函数的图像是极坐标系 中的点集，可以通过描点法或 参数方程法绘制。
通过极坐标研究旋转体的体积，可以简化计算过程。
球面和圆锥面的方程
在极坐标下，球面和圆锥面的方程可以表示为ρ和θ的函数。
空间曲线的方程
通过极坐标，可以更方便地表示和研究空间曲线的方程。
极坐标在解析几何中的应用
参数方程
参数方程是极坐标的一种表现形 式，可以用来表示和研坐标中，可以对ρ和θ进行微 积分运算，简化计算过程。
2017-2018学年高中数学人教B版 选修4-4教师用书：第1
1.2 极坐标系 1.2.1 平面上点的极坐标 1.2.2 极坐标与直角坐标的关系1.了解极坐标系的意义，能用极坐标系刻画点的位置.(难点)2.了解极坐标系与直角坐标系的联系，能进行极坐标与直角坐标的互化.(重点)1.平面上点的极坐标(1)极坐标系：在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O 点称为极点，Ox 称为极轴.(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画.这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标.ρ称为极径，θ称为极角.2.点与极坐标的关系(ρ，θ)和(ρ，θ＋2k π)代表同一个点，其中k 为整数.特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R ).如果限定ρ≥0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系.3.极坐标与直角坐标的关系(1)互化背景：设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x 轴的正半轴，以θ＝π2的射线作为y 轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系(如图121所示).图121(2)互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：1.极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？【导学号：62790002】【提示】 极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系，用来刻画平面内点的位置.2.极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？【提示】 建立极坐标系后，给定数对(ρ，θ)，就可以在平面内惟一确定一点M ；反过来，给定平面内一点M ，它的极坐标却不是惟一的.所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系.3.联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.事实上，若ρ>0，则sin θ＝y ρ，cos θ＝xρ，所以x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx.1.极坐标系中，点M (1,0)关于极点的对称点为( ) A.(1,0) B.(－1，π) C.(1，π)D.(1,2π)【解析】 ∵(ρ，θ)关于极点的对称点为(p ，π＋θ)，∴M (1,0)关于极点的对称点为(1，π).【答案】 C2.极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是( ) A.(1,0) B.(2，π4)C.(3，π2)D.(4，π)【答案】 C3.点A 的极坐标是(2，7π6)，则点A 的直角坐标为( )A.(－1，－3)B.(－3，1)C.(－3，－1)D.(3，－1)【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 76π＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 76π＝－1.【答案】 C4.点M 的直角坐标为(0，π2)，则点M 的极坐标可以为( )A.(π2，0)B.(0，π2)C.(π2，π2)D.(π2，－π2)【解析】 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2， ∴M 的极坐标为(π2，π2).【答案】 C预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：类型一 确定极坐标系中点的坐标设点A (2，π3)，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π).【精彩点拨】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值.【尝试解答】 如图所示，关于极轴的对称点为B (2，－π3).关于直线l 的对称点为C (2，23π).关于极点O 的对称点为D (2，－23π).四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上.1.点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的.2.写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后.1.在极坐标系中，B (3，π4)，D (3，74π)，试判断点B ，D 的位置是否具有对称性，并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈2.分别把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)(2，π6)；(2)(3，π2)；(3)(π，π).【解】 (1)∵x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1.∴点的极坐标(2，π6)化为直角坐标为(3，1).(2)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3.∴点的极坐标(3，π2)化为直角坐标为(0,3).(3)∵x ＝ρcos θ＝πcos π＝－π，y ＝ρsin θ＝πsin π＝0，∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0). 类型三 将点的直角坐标化为极坐标分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π).(1)(－2,23)；(2)(6，－2).【精彩点拨】 利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)，但求角θ时，要注意点所在的象限.【尝试解答】(1)∵ρ＝x 2＋y 2＝ －2 2＋ 23 2＝4， tan θ＝y x＝－3，θ∈3.(1)“例3”中，如果限定ρ>0，θ∈R ，分别求各点的极坐标；(2)如果点的直角坐标(x ，y )满足xy <0，那么在限定ρ>0，θ∈R 的情况下转化为点的极坐标时，试探究θ的取值范围.【解】 (1)根据与角α终边相同的角为α＋2k π(k ∈Z )知，点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，θ∈k )分别如下：(－2,23)的极坐标为(4，2π3＋2k π)(k ∈Z ).(6，－2)的极坐标为(22，116π＋2k π)(k ∈Z ).(2)由xy <0得x <0，y >0或x >0，y <0. 所以(x ，y )可能在第二象限或第四象限.把直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，ρ>0，θ∈R 时，θ的取值范围为 (π2＋2k π，π＋2k π)∪(3π2＋2k π，2π＋2k π)(k ∈Z ). 类型四 极坐标与直角坐标的综合应用在极坐标系中，如果A (2，π4)，B (2，5π4)为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).【精彩点拨】 解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C 的直角坐标，进而求出点C 的极坐标.【尝试解答】 对于点A (2，π4)有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2).对于B (2，54π)有ρ＝2，θ＝54π，∴x ＝2cos 54π＝－2，y ＝2sin 54π＝－ 2.∴B (－2，－2).设C 点的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形， 故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4.∴有⎩⎨⎧ x －2 2＋ y －2 2＝16， x ＋2 2＋ y ＋2 2＝16.解之得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6，或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.∴C 点的坐标为(6，－6)或(－6，6). ∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1，∴θ＝74π或θ＝34π.故点C 的极坐标为(23，74π)或(23，34π).1.本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质.结合几何图形可知，点C 的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键.2.若设出C (ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解，请读者完成.4.本例中，如果点的极坐标仍为A (2，π4)，B (2，5π4)，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点C 的极坐标.【导学号：62790003】【解】 对于点A (2，π4)，直角坐标为(2，2)，点B (2，5π4)的直角坐标为(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，y )，由题意得AC ⊥BC ，且|AC |＝|BC |， ∴AC →·BC →＝0，即(x －2，y －2)·(x ＋2，y ＋2)＝0， ∴x 2＋y 2＝4.①又|A C →|2＝|B C →|2，于是(x －2)2＋(y －2)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2，∴y ＝－x 代入①，得x 2＝2，解得x ＝± 2. ∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点C 的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)， ∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4，∴点C 的极坐标为(2，3π4)或(2，7π4).(教材P10习题1－2T3)把下列各点的直角坐标化为极坐标(限定ρ>0,0≤θ<2π)：A (－1,1)，B (0，－2)，C (3,4)，D (－3，－4).已知点P 在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________.【命题意图】 主要考查直角坐标与极坐标的互化.【解析】 ∵点P (x ，y )在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2. ∴x ＝－2，且y ＝－2. ∴ρ＝x 2＋y 2＝2 2.又tan θ＝y x＝1，且θ∈[0,2π).∴θ＝54π.因此点P 的极坐标为(22，54π).【答案】 (22，54π)我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
2018学年高中数学选修4-4课件：第1讲 坐标系 3 精品
[变式训练] 4.化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程， 并判断曲线的形状．
(1)ρsin θ＝2；(2)ρ＝2sin θ； (3)ρ2sin 2θ＝2；(4)ρ＝1＋c1os θ.
A．点
B．射线
C．直线
D．圆
解析： 由 ρ＝1，θ＝π2知，其表示圆心在
极点，半径为 1 的圆上的一点 A，如图所示．
答案： A
2．过极点倾斜角为π3的直线的极坐标方程可以为( )
A．θ＝＝43π，ρ≥0
D．θ＝π3和 θ＝43π，ρ≥0
解析： 过极点且倾斜角为π3的直线的极坐标方程为 θ＝π3
解析： (1)∵ρsin θ＝2，∴y＝2，是一条过(0,2)，平行于 x 轴的直线，也就是过点2，π2且平行于极轴的直线．
(2)∵ρ＝2sin θ，∴ρ2＝2ρsin θ，即 x2＋y2＝2y， 于是 x2＋(y－1)2＝1， ∴曲线为圆心在(0,1)，半径为 1 的圆． (3)∵ρ2sin 2θ＝2， ∴ρ2(2sin θcos θ)＝2， ∴xy＝1，曲线是中心在原点的双曲线．
π 4sin
θ＝
22，
化简得 ρ(cos θ－sin θ)＝1，
经检验点 A(1,0)的坐标适合上述方程， 所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ(cos θ－sin θ)＝1， 其中，0≤θ<π4(ρ≥0)和54π<θ<2π(ρ≥0)．
方法二：以极点 O 为直角坐标原点，极轴为 x 轴，建立平 面直角坐标系 xOy，
(4)∵ρ＝1－c1os θ，∴ρ＝1＋ρcos θ， ∴ x2＋y2＝1＋x，两边平方并整理得 y2＝2x＋12， 顶点为－12，0，焦点为 F(0,0)，准线方程为 x＝－1 的抛 物线．
数学：1.2.2《极坐标和直角坐标的互化》课件(新人教选修4-4)
重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
问题: 极坐标系是怎样定义的?
极坐标系与直角坐标系有何异同? 平面内的一个点的直角坐标是(1,
3 3
)
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
(1, 3 点M的直角坐标为 (1, 3)) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1,
3)
（ 3） 2 ta n
2 2
3 1
3
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
x y , tan
2 2 2
y x
( x 0)
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴
选修4-4 1.2 极坐标系
2 1 2 2
o
x
思考:极坐标系中，点A的极坐标是(3, ) 6
11 (3, ) （1）点A关于极轴对称的点是_______________ 6 7 (3, ) （2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________ 6 5 (3, ) （3）点A关于直线 ＝ 的对称点的极坐标是_______ 6 2
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
C (5,0) E (3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 , 1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
化成直角坐标. 2 5 解: x 5 cos 3 2 2 5 3 y 5 sin 3 2
如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
2018版数学人教B版选修4-4讲义：第一讲 坐标系二 第2
1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点(a，π2)处且过极点的圆1.曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0，如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程.2.直线的极坐标方程直线l经过极点，极轴与直线l的夹角是α，则直线l的极坐标方程为θ＝α或θ＝α＋π(ρ∈R).3.圆的极坐标方程圆心在点(a，0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos__θ(－π2≤θ≤π2)；圆心在点(a，π2)处且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin__θ(0≤θ≤π).【思维导图】【知能要点】1.曲线的极坐标方程.2.圆的极坐标方程.3.直线的极坐标方程.4.两种方程的互化.知识点1 曲线的极坐标方程在给定的极坐标系下，有一个二元方程F (ρ，θ)＝0.如果曲线C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F (ρ，θ)＝0为曲线C 的极坐标方程.由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处.一条曲线上点的极坐标有多种表示形式，这里要求至少有一种能满足极坐标方程.有些表示形式可能不满足方程.例如，满足极坐标方程ρ＝θ的点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4＋2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4－2π等多种形式，其中只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4的形式满足方程，而其他表示形式都不满足方程. 求曲线的极坐标方程就是找出曲线上的动点P (ρ，θ)的极径ρ和极角θ的相互关系.【例1】 判断点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5π3是否在曲线ρ＝cos θ2上？解：∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5π3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2π3是同一点，cos 2π32＝cos π3＝12，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2π3在曲线ρ＝cos θ2上，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5π3在曲线ρ＝cos θ2上.【反思感悟】 我们容易根据直角坐标系的习惯，当把点的坐标代入，不满足方程就说点不在曲线上，这是不对的.在这个问题上，两种坐标系是不同的.尽管⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，53π并不满足ρ＝cos θ2，但该点依然在曲线上.1.已知A 、B 两点相距12，动点M 满足|MA →|·|MB →|＝36，求点M 的轨迹的极坐标方程.解： 以AB 所在直线为极轴，AB 中点为极点建立极坐标系(如图所示)，设M (ρ，θ)，由|MB→|＝ρ2＋62－2×6ρcos θ ＝ρ2＋36－12ρcos θ.|MA→|＝ρ2＋62－2×6ρcos （π－θ） ＝ρ2＋36＋12ρcos θ. 由|MA→|·|MB →|＝36， 得(ρ2＋36)2－144ρ2cos 2 θ＝362， 即ρ4＋72ρ2－144ρ2cos 2 θ＝0， 即ρ2＝72(2cos 2 θ－1)＝72cos 2θ. 知识点2 直线和圆的极坐标方程求直线和圆的极坐标方程，可以结合图形，找出直线和圆上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简. 【例2】 求过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4平行于极轴的直线方程.解：如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ).∵A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，∴|MH |＝2·sin π4＝2，在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即ρsin θ＝2，所以，过A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝ 2.【反思感悟】 (1)在直线上任意取一点M ，根据已知条件想办法找到变量ρ、θ之间的关系.我们可以通过图中的直角三角形来解决.(2)在求曲线方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.2.求从极点出发，倾斜角是π4的射线的极坐标方程. 解：设M (ρ，θ)为射线上任意一点(如图)，则射线就是集合P ＝{M |∠xOM ＝π4}.将已知条件用极坐标表示，得θ＝π4(ρ≥0). 这就是所求的射线的极坐标方程.【例3】 在极坐标系中，求圆心为A (8，π3)，半径为5的圆的方程.解：在圆上任取一点P (ρ，θ)，那么在△AOP 中，|OA |＝8，|AP |＝5，∠AOP ＝π3－θ或θ－π3，由余弦定理得cos ∠AOP ＝82＋ρ2－522×8ρ，即ρ2－16ρ cos(θ－π3)＋39＝0为所求圆的极坐标方程.【反思感悟】 求曲线的极坐标方程是找出曲线上的动点P (ρ，θ)的极径ρ和极角θ的相互关系，设法用ρ和θ的方程表示这种关系.3.以极坐标系中的点(1，1)为圆心，1为半径的圆的方程是( ) A.ρ＝2 cos(θ－π4)B.ρ＝2 sin(θ－π4)C.ρ＝2 cos(θ－1)D.ρ＝2 sin(θ－1)答案：C解析：设圆心为C(1，1)，P(ρ，θ)为圆上的任意一点.∵|CO|＝|CP|，∴|OP|＝2|OD|，在Rt△CDO中，∠DOC＝θ－1或1－θ，∴|OD|＝cos(θ－1)，∴|OP|＝2 cos(θ－1)，即ρ＝2 cos(θ－1).知识点3直角坐标方程与极坐标方程的互化在进行两种坐标间的互化时，我们要注意：(1)互化公式是有三个前提条件的：极点与直角坐标系的原点重合；极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐标系的单位长度相同.(2)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简.(3)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性.【例4】将下列直角坐标方程与极坐标方程互化.(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0；(3)θ＝π3；(4)ρcos2θ2＝1；(5)ρ2cos 2θ＝4；(6)ρ＝12－cos θ.解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化简得ρsin2θ＝4cos θ. (2)将x＝ρcos θ，y＝ρ sin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)tan θ＝yx，∴tanπ3＝yx＝3，化简得y＝3x (x≥0).(4)∵ρcos2θ2＝1，∴ρcos θ＋12＝1，即ρcos θ＋ρ＝2，∴x＋x2＋y2＝2，整理有y2＝4－4x.(5)∵ρ2cos2θ＝4，∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4.化简得x2－y2＝4.(6)∵ρ＝12－cos θ，∴1＝2ρ－ρcos θ，∴1＝2x2＋y2－x，整理得3x2＋4y2－2x－1＝0.【反思感悟】在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合.4.把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化：(1)x2＋(y－2)2＝4；(2)x＋y＝0；(3)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；(4)ρ＝4；(5)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.解：(1)∵x2＋(y－2)2＝4，∴x2＋y2＝4y，代入x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得ρ2－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x＋y＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0，∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0，∴tan θ＝－1.∴θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0).综上所述，直线x＋y ＝0的极坐标方程为θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)或θ＝3π4(ρ∈R )或θ＝7π4(ρ∈R ).(3)∵ρ＝9(sin θ＋cos θ)，∴ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ).∴x 2＋y 2＝9x ＋9y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －922＝812.(4)∵ρ＝4，∴ρ2＝42，∴x 2＋y 2＝16. (5)∵2ρcos θ－3ρsin θ＝5，∴2x －3y ＝5. 知识点4 过极点的圆的极坐标方程圆心在极轴上的点(a ，0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(－π2≤θ≤π2)，圆心在点(a ，π2)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ，(0≤θ≤π).【例5】 在圆心的极坐标为A (4，0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹.解：设M (ρ，θ)是轨迹上任意一点.连接OM 并延长交圆A 于点P (ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4，0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ， 得ρ0＝8cos θ0.所以2ρ＝8cos θ， 即ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2，0)为圆心，2为半径的圆.【反思感悟】 求轨迹方程时，我们常在三角形中利用正弦定理找到变量ρ，θ的关系.在圆的问题中，经常用到直角三角形中的边角关系.对于特殊的圆，可利用其特点直接写出其极坐标方程.5.极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( ) A.2 B. 2 C.1 D.22答案：D解析：ρ＝cos θ表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，12为半径的圆，ρ＝sin θ表示以⎝⎛⎭⎪⎫0，12为圆心，12为半径的圆.如图，所求圆心距为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22课堂小结1.求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M (ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常利用三角形和正弦定理.2.曲线的极坐标方程和直角坐标方程进行转化时，直接利用互化公式即可.3.圆的极坐标方程比较简便，而直线的极坐标方程形式复杂.随堂演练1.在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3关于________对称( )A.直线θ＝π3B.直线θ＝5π6C.点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3D.极点答案：B解析：化简ρ＝4 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，可得ρ＝4 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π6.由此可知曲线是以⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6为圆心的圆.故圆关于θ＝5π6对称.2.求过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，并且与极轴垂直的直线.解：在直线l 上任取一点M ，如图：因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，所以|OH |＝2cos π6＝ 3.在Rt △OMH 中，|OH |＝ρcos θ＝3， 所以所求直线的方程为ρcos θ＝ 3.3.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极值为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为6.基础达标1.在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为( ) A.ρ＝22cos θ B.ρ＝－22cos θ C.ρ＝22sin θ D.ρ＝－22sin θ答案：B解析：如图所示，已知圆心为P (2，π)，在圆上任找一点M (ρ，θ)，延长OP 与圆交于点Q ，则∠OMQ ＝90°， 在Rt △OMQ 中，OM ＝OQ ·cos ∠QOM∴ρ＝22cos(π－θ)，即ρ＝－22cos θ. 2.极坐标方程ρ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )答案：C解析：∵ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2sin θ·cos π4＋2cos θ·sin π4＝2(sin θ＋cos θ)，∴ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝⎛⎭⎪⎫y －222＝1，∴圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22.结合四个图形，可知选C.3.将曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为( ) A.x 2＋(y ＋2)2＝4 B.x 2＋(y －2)2＝4 C.(x －2)2＋y 2＝4 D.(x ＋2)2＋y 2＝4答案：B解析：由已知得ρ2＝4ρsin θ，∴x 2＋y 2＝4y ，∴x 2＋(y －2)2＝4.4.极坐标方程ρcos θ＝sin 2θ所表示曲线是________. 答案：一个直线和一个圆解析：∵ρcos θ＝sin 2θ＝2sin θcos θ，∴cos θ＝0或ρ＝2sin θ. cos θ＝0表示一条直线(垂直于极轴)；ρ＝2sin θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2表示圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，半径为1的圆.5.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4解：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，由⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1，即两曲线的交点为(－1，1)，又0≤θ<2π， 因此这两条曲线的交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4.6.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1，从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)；θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈R .综合提高7.已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( ) A.ρ＝1 B.ρ＝cos θ C.ρ＝－1cos θD.ρ＝1cos θ答案：C解析：如图所示，设M 为直线上任一点，设M (ρ，θ).在△OPM 中，OP ＝OM ·cos ∠POM ， ∴1＝ρ·cos(π－θ)，即ρ＝－1cos θ.8.直线θ＝α和直线ρsin(θ－α)＝1的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.重合 答案：B解析：两直线斜率相同.9.在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点.若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________.答案：3解析：将极坐标方程化为普通方程，根据图形的对称性求出交点坐标，代入圆方程求解即可.由ρ＝4sin θ可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由ρsin θ＝a 可得y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示.由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a .在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ，a .又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋a 2－4a ＝0，即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3. 10.在极坐标系中，定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是________. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x ＋y ＝0，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2化为直角坐标得A (0，1)，如图，过A 作AB ⊥直线l 于B ，因为△AOB 为等腰直角三角形，又因为|OA |＝1，则|OB |＝22， ∠BOx ＝3π4，故B 点的极坐标是B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4.11.在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程.解：在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0).因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.12.在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1，Q 点在圆C 上运动.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上，且OQ→＝23QP →，求动点P 的轨迹方程.解：(1)圆C 的圆心坐标化为平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32，所以圆C 的平面直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，化为极坐标方程为ρ2－6ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋8＝0. (2)设P 点坐标为(ρ，θ)，Q 点坐标为(ρ0，θ0)，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝25ρ，θ0＝θ，因为点Q 在圆C 上，所以点Q 的坐标适合圆C 的方程，代入得⎝⎛⎭⎪⎫25ρ2－6×25ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＋8＝0，整理即得动点P 的轨迹方程为ρ2－15ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＋50＝0.。
人教B版高中数学选修4-4课件 1.2.1 平面上点的极坐标课件4
前
堂
自 轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图4－1－2所
主
双 基
导 学
示)，平面内任一点M的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)可以
达 标
互换，
课 堂 互 动 探 究
图4－1－2
菜单
课
当
前
堂
自
双
主 导 学
公式是：xy＝＝ρρscinoθsθ
， ；
ρ2＝ x2＋y2 ，
或 tan
θ＝yxx≠0.
标
课 堂 互 动 探 究
菜单
图4－1－3
课
当
前
堂
自
双
主 导
基
【自主解答】 对每个点我们先看它的极径的长，再确 达
学
标
定它的极角，因此这些点的极坐标为A 7，6π ，B 4，34π ，
课 堂 互
C5，76π，D6，74π，E9，0，F(3，π)，G9，32π.
动
探
究
菜单
已知边长为a的正六边形ABCDEF，建立适当的极坐标
课
当
前
堂
自
双
主
基
导
达
学
标
《1.2.1 平面上点的极坐标》课件4
课 堂 互 动 探 究
菜单
课
当
前
堂
自
双
主
基
导
达
学
标
1.了解极坐标系．
课 课标解读 2.会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．
堂 互
3.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的
动 探
位置的区别.
究
菜单
课
当
前
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又∵x＝0，y＜0，ρ＝15， ∴点 C
3π 的极坐标为15， 2 .
(1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的公式是：x＝ρcos θ， y＝ρsin θ. (2)将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x2＋y2， y tan θ＝x(x≠0)．在利用此公式时要注意 ρ 和 θ 的取值范围．
11π 答案：(1)3， 6
7π (2)3， 6
5π (3)3， 6
点的极坐标和直角坐标的互化
[例 2] 以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系．
5π 的极坐标为4， 3 ，求它的直角坐标；
(1)已知点 A
(2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它 们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)
由题意可知|OO′|＝2 3， |OP|＝4， π π ∠POx＝ ，∠O′Ox＝ ， 3 6 π ∴∠POO′＝ . 6 π 在△POO′中，ρ ＝4 ＋(2 3) －2· 4· 2 3· cos ＝16＋12－24 6
2 2 2
＝4，∴ρ＝2. 即|O′P|＝2.
∴|OP|2＝|OO′|2＋|O′P|2， π ∠OO′P＝ . 2 π ∴∠OPO′＝ . 3 π π π ∴∠OP′P＝π－ － ＝ . 3 3 3 2π 2π ∴∠PP′x＝ .∴∠PO′x′＝ . 3 3 ∴P
2π 点的新坐标为2， 3 .
(2)如图，设 P 点新坐标为(ρ，θ)， π π π 则 ρ＝4，θ＝ ＋ ＝ . 3 6 2 ∴P
π 点的新坐标为4，2 .
建立极坐标系的要素是：①极点；②极轴；③长度单位； ④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端 点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的．极角 θ 的始 边是极轴，它的终边随着 θ 的大小和正负而取得各个位置；θ 的正方向通常取逆时针方向，θ 的值一般是以弧度为单位的量 数； 点 M 的极径 ρ 表示点 M 与极点 O 的距离|OM|， 因此 ρ≥0； 但必要时，允许 ρ＜0.
(1)将极点移至
O′2
π 3， 处，极轴方向不变，求 P 点的新坐标； 6
π (2)极点不变，将极轴顺时针转动 ，求 P 点的新坐标． 6
[思路点拨] 坐标．
本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答
本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系， 然后求相应的点的极
[精解详析]
(1)设 P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，
理解教材新知
1.2
第 一 章
极 坐 标 系
考点一 把握热点考向
考点二 考点三
应用创新演练
1.2
极坐标系
[读教材· 填要点] 1．平面上点的极坐标 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O，由 O 点出发 的一条射线 Ox， 一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时
极轴 ． 针方向)， 合称为一个极坐标系． O 点称为 极点 ， Ox 称为_____
ρsin θ x＝_______， ρsin θ ； y＝_______
2 x ＋y ， ρ ＝______ 或 y tan θ ＝ x
2 2
x
0 .
[小问题· 大思维]
1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？
提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的 点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多 个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ， θ＋2nπ)或(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(其中 n∈Z)．
2．若 ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点 M(ρ，θ)与平面内 的点之间是否是一一对应的？
提示：如果我们规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平 面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示．这时，极坐标与平 面内的点之间就是一一对应的关系．
3．若点 M 的极坐标为(ρ，θ)，则 M 点关于极点、极轴、 过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？
提示：设点 M 的极坐标是(ρ，θ)，则 M 点关于极点的对 称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点 的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的 对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
极坐标系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ概念
[例 1] 已知定点
π P4，3 .
[思路点拨]
本题考查极坐标和直角坐标的互化． 解答此题只
需将已知条件代入相关公式即可．
[精解详析]
5π (1)∵x＝ρcos θ＝4· cos ＝2， 3
5π y＝ρsin θ＝4sin ＝－2 3， 3 ∴A 点的直角坐标为(2，－2 3)． (2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋－22＝2 2， －2 tan θ＝ ＝－1，且点 B 位于第四象限内， 2
1．在极坐标系中，点 A
π 的极坐标是3，6 ，则
(1)点 A 关于极轴的对称点是________； (2)点 A 关于极点的对称点的极坐标是________； π (3)点 A 关于直线 θ＝ 的对称点的极坐标是________．(规 2 定 ρ>0，θ∈[0,2π))
解析： 如图所示， 在对称的过程中极径的长度始终没有变化， 主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以 x 轴正 向为始边，按照逆时针方向得到的．
(2)点的极坐标：平面上任一点 M 的位置可以由线段 OM 的 长度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度 θ 来刻画， 这两个数组成的有序数
(ρ，θ) 称为点 M 的极坐标，ρ 称为_____ 极径 ，θ 称为______ 极角 ． 对________
2．极坐标与直角坐标的关系 (1)极坐标和直角坐标变换的前提条件： ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与 x 轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位． (2)极坐标和直角坐标的变换公式：