计算机控制系统(清华大学出版社)课件_数学描述

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3.4.4 干扰作用时闭环系统的输出

根据线性系统叠加定理，可分别计算指令信号和干扰信号 作用下的输出响应。
1 e sT G( z ) Z G1 ( s)G2 ( s) s
图3-13 有干扰时的计算机控制系统
R(s)单独作用时的 系统输出[N(s)=0] 干扰单独作用时的 系统输出[R(s)=0]

z-1的有理分式:

零、极点形式：
8
2. z反变换

求与z变换相对应的采样序列函数的过程称为z反变换。
z反变换唯一，且对应的是采样序列值。
z变换只能反映采样点的信号，不能反映采样点之间的行为。
9
3.2.2 z变换的基本定理
1．线性定理 2．实位移定理（时移定理）
(1)右位移（延迟）定理 (2)左位移（超前）定理
通解
查表得
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3.1 离散系统时域描述——差分方程 3.2 z变换 3.3 脉冲传递函数 3.4 离散系统的方块图分析 3.5 离散系统的频域描述 3.6 离散系统的状态空间描述 3.7 应用实例
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3.3.1 脉冲传递函数的定义
定义：在初始条件为零时，
离散系统脉冲传递 函数 又称为z传递函数 输出量z变换 输入量z变换
3．复域位移定理
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3.2.2 z变换的基本定理
4．初值定理
若存在极限 ，则有：
5．终值定理
假定函数 F ( z )全部极点均在z平面的单位圆内 或最多有一个极点在z=1处，则
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3.2.3 求z变换及反变换方法
1. z变换方法
(1) 级数求和法(根据定义) 例3-6 求指数函数 的z变换
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1. z变换方法
(2) F(s) 的z变换
F (s)
（L反变换）
f (t )
(采样)
f (t )
*
(z变换)
F (z )
利用s域中的部分分式展开法
例3-7 试求 解：
的z变换。
另一种由F(s) 求取F(z) 的方法是留数计算方法。本书对此不予讨论
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利用MATLAB软件中的符号语言工具箱 进行F(s)部分分式展开
查表可得
其中
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2. z反变换方法
(3) 幂级数展开法（长除法）
10 z 1 例3-10 已知 F ( z ) ，求 1 1.5 z 1 0.5 z 2
f * (t )
对该例，从相关系数中可以归纳得：
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3.2.4 差分方程z变换解法
利用z变换求解线性常系数差分方程，将差分方程的求解转换为代数方程的求解
例3-11 用z变换法求差分方程
c(k+2)-3c(k+1)+2c(k)=4k
z z4
解：(1) 对每一项做z变换 [ z 2C ( z ) z 2c(0) zc(1)] [3zC ( z ) 3zc(0)] 2C ( z ) 特解 (2) 归纳整理 (3) z反变换 部分分式展开 假设初始条件为零，上式第2项为零
输出的采样信号：
图3-6脉冲传递函数

1.
离散系统脉冲传递函数的求取
3.3.2 脉冲传递函数特性
离散系统的脉冲传递函数可以看作是系统输入为单位脉冲时，其脉冲 响应的z变换。 若已知采样系统的连续传递函数G(s)，当其输出端加入 虚拟开关变为离散系统时，其脉冲传递函数可按下述步骤求取：
（1）对G(s)做拉氏反变换，求得脉冲响应 （2）对 g (t ) 采样，求得离散系统脉冲的响应为 （3）对离散脉冲响应做z变换，即得系统的脉冲传递函数为
3. 闭环传递函数的求取
例3-12 求下图所示计算机控制系统闭环脉冲传递函数，已知T=1秒。
解：
T=1s
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利用Matlab相应命令进行Z变换
MATLAB命令：
num=[1]; den=[1, 1]; [c,d]=c2dm(num,den,0.1, 'zoh') 计算输出 c =[0 0.6321] d =[1.0000 -0.3679] 即得到
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3.4.1 环节串联连接的等效变换
1. 采样系统中连续部分的结构形式
并不是所有结构都能写出环节的脉冲传递函数
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3.4.1 环节串联连接的等效变换
2. 串联环节的脉冲传递函数
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3.4.1 环节串联连接的等效变换
3. 并联环节的脉冲传递函数
根据叠加定理有：
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3.4.2 闭环反馈系统脉冲传递函数
，试求 c(k )
例3-1 已知差分方程 解：采用递推迭代法，有：
4
例3-1 采用MATLAB程序求解
MATLAB程序：
n=10;% 定义计算的点数 c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0；%定义输入输出和点数的初值 for i=2:n c(i)=r(i)+0.5*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1; end plot(k,c,′k:o′) %绘输出响应图，每一点上用o表示
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3.2.1 z变换定义
1. z变换
采样信号
采样信号的z变换
注意：z变换中，z-1代表信号滞后一个采样周期，可 称为单位延迟因子。
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采样脉冲序列进行z变换的写法：
Z[ f *(t )], Z[ f (t )], Z[ f (kT )],Z[ F ( s)]


在实际应用中，对控制工程中多数信号，z变换所表示的 无穷级数是收敛的，并可写成闭和形式。 z的有理分式：
共同作用时 的系统输出
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3.1 离散系统时域描述——差分方程 3.2 z变换 3.3 脉冲传递函数 3.4 离散系统的方块图分析 3.5 离散系统的频域描述 3.6 离散系统的状态空间描述 3.7 应用实例
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3.5.1 离散系统频率特性定义

在离散系统中，一个系统或环节的频率特性是指，在正弦 信号作用下，系统或环节的稳态输出与输入的复数比随输 入正弦信号频率变化的特性。
部分分式 部分分式
f (t )
F (s )
f i (t )
Fi ( s)
查表 查表
Fi (z ) Fi (z )
求和 求和
F (z ) F (z )
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2. z反变换方法
(1) 查表法
（可以直接从表中查得原函数） 如已知z变换函数F(z) ，可以依F(z) 直接从给 定的表格中求得它的原函数f *(t) 。
图3-14 离散系统的频率特性
频率特性定义：
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3.5.2 离散系统频率特性的计算

离散系统频率特性的指数形式
幅频特性 相频特性
1. 数值计算法——按 1 G (s) 例3-13 s 1
G(e jT )表达式逐点计算它的幅相频率特性。
T 0.5s
要求绘制它们的频率特性。
几种脉冲传递函数的表示法均可应用
脉冲传递函数完全表征了系统或环节的输入与输出之间的特性， 并且也只由系统或环节本身的结构参数决定，与输入信号无关。
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3.3.2 脉冲传递函数特性
2. 脉冲传递函数的极点与零点

极点

当G(z)是G(s)由通过z变换得到时，它的极点是G(s)的极点按 z=e-sT的关系一一映射得到。由此可知，G(z)的极点位置不仅 与G(s)的极点有关，还与采样周期T密切相关。当采样周期T足 够小时，G(s)的极点都将将密集地映射在z=1附近。 G(z)的零点是采样周期T的复杂函数。采样过程会增加额外的 零点。 若连续系统G(s)没有不稳定的零点，且极点数与零点数之差大 于2，当采样周期较小时，G(z)总会出现不稳定的零点，变成 非最小相位系统。 有不稳定零点的连续系统G(s)，只要采样周期取得合适，离散 后也可得到没有不稳定零点的G(z) 。
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2. z反变换方法
(2) 部分分式法
（较复杂，无法直接从表格中查其原函数） 查表 求和 部分分式 *
F (z )
Fi (z)
fi (t )
f * (t )
查表
f * (t )
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部分分式法例子
例3-9 求下式的z反变换
MATLAB程序：
Fz=sym(′(-3*z^2+z)/(z^2-2*z+1)′)；%进行符号定义 F=Fz/′z′； [numF,denF]=numden(F)；%提取分子分母 pnumF=sym2poly(numF)；%将分母转化为一般多项式 pdenF=sym2poly(denF)； [R,P,K]=residue(pnumF,pdenF)% 部分分式展开
解序列为：k=0，1，…，9时，
c=0，1.0000，1.5000，
1.7500，1.8750，
1.9375，1.9688， 1.9844，1.9922， 1.9961，…… 说明：另一个求解方法是利用z变换求解。 差分方程的解序列表示
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3.1 离散系统时域描述——差分方程 3.2 z变换 3.3 脉冲传递函数 3.4 离散系统的方块图分析 3.5 离散系统的频域描述 3.6 离散系统的状态空间描述 3.7 应用实例
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3.4.3 计算机控制系统的闭环 脉冲传递函数
2. 连续部分的脉冲传递函数

计算机输出的控制指令u*(t)是经过零阶保持器加到系统的 被控对象上的，因此系统的连续部分由零阶保持器和被控 对象组成。
被控对象传 递函数
图3-11 连续部分的系统结构
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3.4.3 计算机控制系统的闭环脉冲传递函数
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零点



3.3.3 差分方程与脉冲传递函数
1. 由差分方程求脉冲传递函数
已知差分方程
两端进行z变换
，设初始条件为零。
脉冲传递函数
系统的特征多项式
系统输出
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3.3.3 差分方程与脉冲传递函数
2. 由脉冲传递函数求差分方程
z反变换
z反变换
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3.1 离散系统时域描述——差分方程 3.2 z变换 3.3 脉冲传递函数 3.4 离散系统的方块图分析 3.5 离散系统的频域描述 3.6 离散系统的状态空间描述 3.7 应用实例
已知
MATLAB程序：
F=sym(′(s+2)/(s*(s+1)^2*(s+3))′)； %传递函数F(s)进行符号定义 [numF,denF]=numden(F)；%提取分子分母 pnumF=sym2poly(numF)；%将分母转化为一般多项式 pdenF=sym2poly(denF)；%将分子转化为一般多项式 [R,P,K]=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展开 运行结果： R= 0.0833 -0.7500 -0.5000 0.6667 P= -3.0000 -1.0000 -1.0000 0 K= []（此题无K值）
3.1 离散系统时域描述——差分方程 3.2 z变换 3.3 脉冲传递函数 3.4 离散系统的方块图分析 3.5 离散系统的频域描述 3.6 离散系统的状态空间描述 3.7 应用实例
1
3.1.1 差分的定义

连续函数
，采样后为
简写
一阶向前差分： 二阶向前差分： n阶向前差分： 一阶向后差分： 二阶向后差分： n阶向后差分：
E(z) = R(z)-B(z) B(z) = G2G3H(z)U(z) E(z) = R(z) - G2G3H(z)U(z) C(z) = G2G3(z)U(z) U(z) = G1(z)E(z) C(z) = G2G3(z)G1(z)E(z)
图3-10采样控制系统典型结构
E(z) = R(z) / [1+G1(z)G2G3H(z)] 一般系统输出z变换可按以下公式直接给出：
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，通过部分分式展开法求F(z) 。
对应部分分式分解结果为：
1. z变换方法
(3) 利用z变换定理求取z变换式
例3-8 已知f (t)=sint的z变换
试求 的z变换。
解：利用z变换中的复位移定理可以很容易得到
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1. z变换方法
(4) 查表法

实际应用时可能遇到各种复杂函数，不可能 采用上述方法进行推导计算。实际上，前人 已通过各种方法针对常用函数进行了计算， 求出了相应的F(z)并列出了表格，工程人员应 用时，根据已知函数直接查表即可。具体表 格见附录A。
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3.1.2 差分方程

差分方程是确定时间序列的方程
连续系统 微分用差分代替
c(k ) 代替 c(t )
r (k ) 代替 r (t )
一般离散系统的差分方程：
差分方程还可用向后差分表示为：
3
3.1.3 线性常系数差分方程的迭代求解

差分方程的解也分为通解与特解。

通解是与方程初始状态有关的解。 特解与外部输入有关，它描述系统在外部输入作用下的强迫运动。
C( z)
前向通道所有独立环节z变换的乘积 1 闭环回路中所有独立环节z变换的乘积
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3.4.3 计算机控制系统的闭环 脉冲传递函数
1. 数字部分的脉冲传递函数 控制算法，通常有以下两种形式：

差分方程
(z变换法)
脉冲传递函数D(z) 脉冲传递函数D(z)

连续传递函数
(第5章的离散法)