北师大版八年级上册构造法巧解二元一次方程组
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构造法巧解二元一次方程组
根据二元一次方程组和方程组解的特点，构造出新的方程组，从而把问题破解是二元一次方程组的一个经典型问题．下面就和同学们谈谈这个话题．
一．由原来方程组中的一个方程与ｘ＝ｙ构造新方程组，探求待定字母的值
例１ 已知二元一次方程组⎩⎨⎧=-+=+3
)1(73x 4y k kx y 的解ｘ，ｙ的值相等，求ｋ的值．
分析： 方程组的解一定是方程４ｘ＋３ｙ＝７的解，同时也一定是方程ｘ＝ｙ的解，这
样我么就可以构造出新的方程组⎩
⎨⎧==+y x y 73x 4，这个方程组是可以直接求解的，这样我们就把不能求解问题转化成了可以求解的问题，问题自然就解决了．
解： 设方程组的解为⎩⎨⎧==n y m x ，因为二元一次方程组⎩
⎨⎧=-+=+3)1(73x 4y k kx y 的解ｘ，ｙ的值相等，所以ｘ＝ｙ，所以得到方程组⎩⎨
⎧==+y x y 73x 4，解这个方程组得：⎩⎨⎧==11y x ，所以方程
组⎩⎨⎧=-+=+3)1(73x 4y k kx y 的解是⎩⎨⎧==1
1y x ，所以ｋ＋ｋ－１＝３，解得：ｋ＝２．
点评： 顺利构造出符合题意得新方程组是解题的关键．
二．由原来方程组中的一个方程与ｘ＝ｋｙ构造新方程组，探求待定字母的值
例２ 已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=8
232-x ky x y 的解满足ｘ是ｙ的５倍，求ｋ的值．
分析： 有解的特点可以构造出一个新的二元一次方程ｘ＝５ｙ，这样就可以与ｘ－２ｙ＝３构成一个新的可解的二元一次方程组．
解： 因为二元一次方程组⎩⎨⎧=+=8
232-x ky x y 的解满足ｘ是ｙ的５倍，所以ｘ＝５ｙ，
所以构造方程组得⎩⎨⎧==y x y 532-x ，解这个方程组得⎩
⎨⎧==15y x ，所以二元一次方程组⎩⎨⎧=+=8232-x ky x y 的解是⎩⎨⎧==1
5y x ，所以１０＋ｋ＝８，解得ｋ＝－２． 点评：将原来方程组的解转化成可解新方程组的解是数学转化思想的重要体现．
三．根据两个方程组的解相同，构造新方程组，探求待定字母的值
例３ 已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-4324by ax y x 和⎩⎨⎧=+=+6
542by ax y x 的解相同，求ａ，ｂ的值．
分析： 设方程组相同的解为⎩⎨⎧==n y m x ，则⎩
⎨⎧==n y m x 一定是二元一次方程２ｘ＋３ｙ＝４，４ｘ＋５ｙ＝６的解，即⎩⎨⎧==n y m x 一定是方程组⎩⎨⎧=+=+4
3265y 4x y x 的解，解可求也．
解：因为二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-4324by ax y x 和⎩
⎨⎧=+=+6542by ax y x 的解相同，设方程组相同的解为⎩⎨⎧==n y m x ，则⎩⎨⎧==n y m x 一定是方程组⎩⎨⎧=+=+43265y 4x y x 的解，解这个方程组得⎩⎨⎧=-=2
1y x ， 所以得方程组⎩⎨⎧=+-=--2242b a b a ，解这个方程组得⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=213b a ，所以ａ的值为－３，ｂ的值为－2
1． 点评：以方程组相同的解为媒介，把方程组重新组合成已知系数的方程组和待定系数的方程组，是解题的关键．
四．消去待定字母得到新方程与同解的已知方程，构造新方程组，探求待定字母的值 例４ 如果二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+a
y x a 4y x 的解是二元一次方程３ｘ－５ｙ－３０＝
０的一个解，则ａ的值为 ．
分析： 由ｘ＋ｙ＝ａ得ａ＝ｘ＋ｙ，将其代入ｘ－ｙ＝４ａ中就会得到一个新二元一次方程，它与二元一次方程３ｘ－５ｙ－３０＝０的解是相同的，这样就可以构造出方程组了． 解： 由ｘ＋ｙ＝ａ得ａ＝ｘ＋ｙ，将其代入ｘ－ｙ＝４ａ，整理得：３ｘ＋５ｙ＝０， 因为二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+a
y x a 4y x 的解是二元一次方程３ｘ－５ｙ－３０＝０的一个解，
所以３ｘ＋５ｙ＝０与３ｘ－５ｙ－３０＝０有相同的解，所以得方程组⎩
⎨⎧=-=+30530y 53x y x ， 解这个方程组得⎩⎨⎧-==3
5x y ，所以ａ＝ｘ＋ｙ＝５＋（－３）＝２.
点评： 消去待定字母准确得出二元一次方程是构造方程组的关键．
五．消去待定字母得到新方程与有解的特点生成的二元一次方程，构造新方程组，探求待定字母的值
例５ 二元一次方程组⎩
⎨⎧-=-+=+1223y 23x m y x m 的解互为相反数，求ｍ的值． 分析： 由３ｘ＋２ｙ＝ｍ＋３得ｍ＝３ｘ＋２ｙ－３，将其代入２ｘ－ｙ＝２ｍ－１中就会得到一个新二元一次方程，它与ｘ＝－ｙ就可以构造出方程组了．
解： 由３ｘ＋２ｙ＝ｍ＋３得ｍ＝３ｘ＋２ｙ－３，将其代入２ｘ－ｙ＝２ｍ－１，
整理得：４ｘ＋５ｙ－７＝０，因为二元一次方程组⎩
⎨⎧-=-+=+1223y 23x m y x m 的解互为相反数， 所以ｘ＝－ｙ，所以⎩⎨⎧-==+y x 07-y 54x ，解这个方程组得⎩⎨⎧=-=7
7x y ，所以ｍ＝３×（－７）
＋２×７－３－１０.
点评： 理解解互为相反数的意义是解题的关键．