北师大版八年级上册构造法巧解二元一次方程组

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北师大版八年级上册：5.2求解二元一次方程组

5.2 求解二元一次方程组（1）一、学生起点分析学生的知识技能基础：在学习本节课之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组解法的基本能力，也会通过列一元一次方程解应用题，能通过分析找出题中的等量关系列出二元一次方程组。

学生活动经验基础：有同学间相互交流合作、自主探索的经验，有在活动过程中总结经验、归纳知识点的经验。

二、教学任务分析《求解二元一次方程组》是北师大版八年级（上）第五章《二元一次方程组》的第二节，要求学生能利用代入消元法解二元一次方程组。

基于学生对二元一次方程及二元一次方程组的基本概念理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程组的解法---代入消元法。

代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求从两个方程中选择一个方程，将它转换成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，然后代入另一个方程，求出这个未知数的值，最后将这个未知数的值回代已变形的那个方程，求出另一个未知数的值。

在求出方程组的解之后，可以通过对求出的解回带方程检验，这样可以防止和纠正方程变形和计算过程中可能出现的错误。

二元一次方程组的解法，其本质思路是消元，体会“化二元一次方程为一元一次方程”的化归思想.教学目标：1、了解解方程组的基本思路是"消元"，掌握代入消元法的基本步骤；2、会用代入法求二元一次方程的解；3、培养学生的观察、比较、分析、综合等能力,通过自主概括解题步骤，初步体验数学研究中"化未知为已知"的化归思想。

教学重点：消元的实质以及用代入法解二元一次方程组。

教学难点：在解题过程中体会“消元”思路和“化二元为一元”的化归思想。

三、教学过程设计：本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探索新知；第三环节：巩固新知；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。

北师大版数学八年级上册 5.2 求解二元一次方程组教案

适用学科初中数学适用年级初二适用区域北师版区域课时时长（分钟）知识点二元一次方程组二元一次方程组的解2 课时解二元一次方程组教学目标 1、了解二元一次方程组的概念和二元一次方程组解的含义. 2、了解代入法的概念,掌握代入法的基本步骤. 3、了解加减消元法解二元一次方程组的一般步骤. 4、掌握用代入法、加减法解二元一次方程组.教学重点加减法解二元一次方程组.教学难点在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想. 【教学建议】二元一次方程组是一个全新的概念，注意从已有知识引导并理解掌握，对于求解二元一次方程组，重点在划二元为一元，要注重理解过程从而更好的掌握求解．【知识导图】教学过程一、导入在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，第1页/共13页这么大的个，才比我多驮 2 个”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的 2 倍！”，小马天真而不信地说： “真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？二、知识讲解上面的问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮 x 个包裹，小马驮 y 个包裹，老牛的包裹数比小马多 2 个，由此得方程 x-y=2，若老牛从小马背上拿来 1 个包裹，这时老牛的包裹是小马的 2 倍，得方程：x+1=2(y-1)师：同学们能用方程的方法来发现、解决问题这很好，上面所列方程有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？（含有两个未知数，并且所含未知数项的次数是 1）师：含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程注意：这个定义有两个地方要注意①、含有两个未知数，②、含未知数的次数是一次练习：下列方程有哪些是二元一次方程1 +2y=1xxy+x=13x- y =52x2 2 3xxy=1 2x(y+1)=c 2x-y=1x+y=0议一议、师：上面的方程中 x-y=2，x+1=2(y-1)的 x 含义相同吗？y 呢？（两个方程中 x 的表示老牛驮的包裹数，y 表示小马的包裹数，x、y第2页/共13页的含义分别相同。

北师大版八年级上册第五章2.2求解二元一次方程组(教案)

然而，我也注意到，在小组讨论环节，部分学生还是显得有些拘谨，可能是因为对知识点的掌握还不够自信。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，鼓励他们大胆发言，增强自信心。
此外，实践活动虽然能够让学生们动手操作，加深对知识的理解，但在时间分配上似乎有些紧张。有些小组在展示成果时显得有些匆忙，没有充分展示他们的思考过程。我想在下次的实践中，可以适当延长这个环节的时间，让学生们有更充分的交流与展示机会。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对二元一次方程组的理解有了明显的提升。他们能够通过具体的实例，将实际问题转化为方程组，并尝试用代入法和加减法进行求解。这一点让我感到非常欣慰，因为这意味着学生们开始掌握了数学建模的基本技巧。
课堂上，我尝试用生活中的例子来导入新课，这样做的效果不错，学生们表现出浓厚的兴趣。在讲授过程中，我也特别注意引导他们理解代入法和加减法的步骤，通过详细的例子和逐步解析，帮助他们突破了这些难点。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理和数学抽象能力，通过分析二元一次方程组的特点，掌握代入法和加减法解方程组的步骤，提高解题技巧；
2.培养学生数学建模和问题解决能力，将实际问题描述为二元一次方程组，并运用所学方法解决问题；
3.培养学生合作交流能力，通过小组讨论和互动，共同探究二元一次方程组的解法，增强团队协作意识；
4.培养学生数学运算和数据分析能力，熟练运用代入法和加减法求解二元一次方程组，并对结果进行分析和验证。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二元一次方程组的定义，包括方程组的组成和表示方法。
-掌握代入法解二元一次方程组的步骤，包括如何选择方程和变量进行代入，以及如何求解。
-掌握加减法解二元一次方程组的步骤，包括如何通过消元的方式将方程组简化为更容易求解的形式。

北师大版八年级数学上册5.2求解二元一次方程组共15张PPT

x 8 y 4
2.用代入消元法解方程：(1)
y＝2x， x＋y＝12；
解：把 y＝2x 代入 x＋y＝12，
得 x＋2x＝12，解得 x＝4.
把 x＝4 代入 x＋y＝12，得 4＋y＝12，解得 y＝8.
所以原方程组的解是
x＝4， y＝8.
(2)x＝y－2 5， 4x＋3y＝65.
解：把 x＝y－5代入 4x＋3y＝65，得 2
所以原方程组的解是
x=5, y=2.
得x=5
x y 12 ①
1.解方程组
练 2x y 20 解：由①得，y=12-x ③
②
解这个一元一次方程得，x=8
2x+ 3y= 16,
一解：由①得，y=12-x ③ 解这个一元一次方程得，x=8
解这个一元一次方程得，x=8
将方程组中的一个方程中的某个未知数用含有____________的代数式表示，并代入__________，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.
3y+9+2y= 14,
作业布置如下得2(13-4y)+ 3y= 16,
x+1=2(y- 1) (2)将变形后的方程代入另一个方程消去一个未知数得一个一元一次方程. 解：由①得，y=12-x ③
substitution ），简称________
因此,老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹

将x=8代入③得，y=4
将③代入②得，2x+12-x=20 (2)将变形后的方程代入另一个方程消去一个未知数得一个一元一次方程.
解：由①得，y=12-x ③
练解这个一元一次方程得，x=8 x+1=2(y- 1)

北师大版数学八年级上册优秀教学案例：5.2.2求二元一次方程组

1.教师引导学生回顾一元一次方程的知识，为新知识的学习做好铺垫。
2.教师通过讲解、示范，详细介绍二元一次方程组的定义、解法及其应用。
3.教师结合生活实际，讲解二元一次方程组在实际问题中的应用，让学生体会数学的价值。
（三）学生小组讨论
1.教师布置具有代表性的练习题，让学生独立完成。
2.学生分组讨论，共同探讨解题方法，培养团队合作精神。
五、案例亮点
1.生活情境导入：本节课以实际问题导入新课，激发了学生的学习兴趣，使他们能够主动参与到课堂学习中。通过生活情境的引入，使学生能够直观地理解二元一次方程组的概念及其在实际问题中的应用，提高了学生的学习积极性。
2.引导式教学法：在教学过程中，我采用了引导式教学法，引导学生通过合作、探究、交流的方式，自主发现解题方法。这种教学方法不仅能够提高学生的思维能力，还能够培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，使他们能够主动、积极地参与数学学习。
2.通过对二元一次方程组的学习，使学生认识到数学在生活中的重要性，提高他们的数学应用意识。
3.培养学生克服困难的勇气和毅力，让他们在解决数学问题的过程中，体验到成功的喜悦，增强自信心。
4.培养学生诚实守信、严谨求实的学术态度，使他们能够认真对待学习，形成良好的学习习惯。
作为一名特级教师，我深知教学策略在教学过程中的重要作用。在教学过程中，我将灵活运用情景创设、问题导向、小组合作和反思与评价等教学策略，努力提高教学质量，为学生的全面发展奠定坚实基础。同时，我也将关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在数学学习中找到适合自己的方法，体验到成功的喜悦。
四、教学内容与过程
3.教师巡回指导，针对学生遇到的问题，给予解答和指导。

数学北师大版八年级上册解二元一次方程组(带入消元法)

２、解二元一次方程（代人消元法）教学内容：北师大版八年级数学上册第七章第二节“解二元一次方程组”第一课时：代入消元法。

教学目标：1、知识与技能了解二元一次方程组的“消元”思想，掌握其运用方法.2、过程与方法经历探索解二元一次方程组的过程，体会消元法之一——代入法解二元一次方程组的方法，明确其本质.3、情感态度培养合作、交流意识以及数学的“化归”意识.学情分析：在第1节建立二元一次方程组的基础上，本节顺理成章地研究二元一次方程组的解法.《标准》要求学生掌握二元一次方程组的代入消元法、加减消元法和图象解法.为了加强二元一次方程（组）与一次函数的联系，教科书将二元一次方程组的图象解法放到本章最后.而本节侧重研究二元一次方程组的两种基本解法——代入消元法、加减消元法.代入消元法、加减消元法的本质是消元——化二元一次方程组为已经学过的一元一次方程，加减与代入只是消元的一些具体技能，教学中应注意加以体会.当然，通过一定量的训练促进学生有关技能的获得还是十分必要的，但研究表明，形势化的技能训练难以激发学生的学习兴趣，为此教科书中仅设计了2课时学习代入消元法、加减消元法，而力图在后续的各节中将解方程的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，无形地提高学生的解题技能.第1课时，研究代入消元法。

教科书首先承接上节场景“谁的包裹多”，并让学生思考会解什么方程，如何将二元一次方程组化为已经学过的一元一次方程，从而在具体问题的解决中初步感受代入消元法，其后再通过例题，进一步进行代入消元法解二元一次方程组的巩固训练，最后对所应用的方法进行整理与训练.教学重点、难点：教学重点：熟练运用代入消元法解二元一次方程组.教学难点：了解数字研究中“化未知为已知”的化归思想.教学方法：引探法、练习法、讨论法、演示法。

教具：多媒体.教学课时：2课时教学过程:第一课时一、讲例：上一节课老牛和小马驮包裹的问题中，设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，得到一个二元一次方程组:（板书）解方程组：x=y+2,①x+1=2（y-1）.②一元一次方程大家会解，那么这个二元一次方程组大家会解吗？这就是我们这节课所要学习的内容(板书课题：2、解二元一次方程组).提问:上面这个方程组中x表示的数量相同吗?方程①中x=y+2，那么方程②中的x也会等于y+2吗？能不能把方程②中的x用y+2代替？引导学生板书解题过程：解：①代入②，得y+2+1=2（y-1）.③(问：这是一个什么式子？该如何求出y的值？如何进一步求出x的值？) 解方程③，得y=5.把y=5代入1，得x=7.所以原方程组的解是y=5.即老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹.二、练习（出示多媒体）：先用含y的代数式表示x，再用含x的代数式表示y:（1）x-2y+4=0；(2)2x+5y=-21；(3)-0.5x+y=4.(请一位同学上台板演，其他同学发表不同意见，然后教师校正，归纳.)三、讲例：2x+3y=16, ①例2、解方程组x+4y=13. ②请一位同学上台板演，其他同学也各自练习，然后请其他同学发表意见，教师再作总结、归纳.问:由其中一道方程(如②)变形后，应把它代入哪一道？为什么不能代入原来这一道（如②）？解出一个未知数（如y）后，一般代入哪一道方程比较容易求出另一个未知数（如x）的值?把求出的解代入原方程组，可以知道你解得对不对.如果把求出来的解代入变形后的方程，能确保结果正确吗？四、议一议：上面解方程组的基本思路是什么?主要步骤有哪些？引导学生归纳：上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”.主要步骤是：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.（板书名称：代入消元法）五、随堂练习（多媒体）：用代入法解下列方程组：３x＋２y＝１４，３x－２y＝９，（1）（２）x＝y＋３．２x＋y＝６．六、小结：这节课大家学习了哪些内容？七、作业：３x＋５y＝２１，1、用代入法解方程组２x－５y＝－１１．２、已知4-y3x2＋|x＋３y－７|＝0，则x＝，y＝ .３、课本Ｐ２２３习题７.２１,２题.八、板书设计：２、解二元一次方程组（代入消元法）例1、解方程组例２、解方程组x＝y＋２，①２x＋３y＝１６，①学生板演：x＋１＝２(y－１). ②x＋４y＝１３．②．．．解：…学生板演：．．．九、教学反思：化未知为已知这一思想的形成需要以后不断的训练。

北师大版初二数学上册5-2求解二元一次方程组

教学设计反思
1.引入自然.二元一次方程组的解法是学习二元一次方程组的重要内容.教材通过上一小节的实际问题，比较一元一次方程的列法和解法，从而自然引入二元一次方程组的代入消元解法.
2.探究有序.回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有了很好的认知基础，探究显得十分自然流畅.
3.充分体现了转化与化归思想.引导学生充分思考和体验转化与化归思想，以利于总体目标中所提出的“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的落实.
4.值得注意的方面.在学生总结解题步骤的环节，一定要留给学生足够的观察、思考、总结、组织语言的时间，训练学生的观察归纳能力，提高学生学习能力.。

2021秋北师大版八年级上册课件第五章二元一次方程组课件：根据方程组中方程的特征巧解方程组的五种技巧

双休作业十
第五章二元一次方程组
方法技巧训练1
根据方程组中方程的特征巧解方程组
的五种技巧
1
2
3
4
5
6
7
技巧 1 用整体代入法解方程组
1．用解代：入由消②元，法得解2方y＝程3组x－：5.③43xx＋－82yy＝＝152.②，①
把③代入①，得4x＋4(3x－5)＝12，解得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝ 1 所以这个方程组的解是2
所以x＝－6，y＝－9.
所以原方程组的解为 x ＝－ 6 ，
y＝
－
9.
返回
x : y＝ 3 : 2， ①
6．解方程组：
y
:
z＝
2
:
1，
②
x＋
y＋
z＝
6
0
.③
解：设x＝3k，则y＝2k，z＝k，代入③，
得3k＋2k＋k＝60.解得k＝10，
则x＝3的解是
x＝ 30，
y＝
2 0，
z ＝ 1 0 .
返回
技巧 5 用换元法解方程组
7．解方程组：
x＋y＋x－y＝6， 2 3
（2 x＋y）－3x＋3y＝24.
解：令u＝x＋y，v＝x－y，
则原方程组可化为 3u＋2v＝36,① ①×3＋②×2，得132uu＝－135v6＝，24.②
解得u＝12.
将u＝12代入②，解得v＝0.
.
x＝
2，
y＝
1. 2
返回
2．解方程组：
2（2 3
x＋y）＝4，①
3 4
x＋
5（2 6
x＋y）＝8.②
解：由①，得2x＋y＝6.③
将③代入②，得 3 x＋ 5 ×6＝8，

北师大版八年级数学上册《求解二元一次方程组》精品课件1

A．2y=-2 B．2y=-3 C．12y=-2 D．12y=-36
2、已知：y=2x3-3x4+mx+n，当x=-1时，y=7，当x=1时， y=5，则m= n=
3、方程组 ax-by=4，与方程组
ax-by=2，
则a=
；b=
.
2x-y=-Байду номын сангаас， 3x+5y=28同解，
4、用加减消元法解下列方程
（1） 5x-6y=1
③－④，得：y=2.
相同也不是相反数，
将y=2代入①，得：x=3. 有没有办法用加减
x 3, 消元法呢？
所以原方程组的解是
y
2.
北师大版八年级数学上册《求解二元一次方程组》精品课件2
北师大版八年级数学上册《求解二元一次方程组》精品课件2
例用加减法解方程组:
2x 3y 12 ① 3x 4 y 17 ②
例解下列二元一次方程组
方程①、②中未知数x的
⑴
2x 2x
5y 3y
7 ,① 1.②
系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x.
(
) (
) ( )
左边
右边
解：②-①，得：8y 8.
解得： y 1.
把 y 1 代入①，得：2x 5 7.
解得： x 1.
x 1,
所以方程组的解为
解得：x 2.
把 x 2 代入③，得：y 3.
3x 5y 21,① 2x 5y 11.②
所以方程组的解为
x 2,
y
3.
北师大版八年级数学上册《求解二元一次方程组》精品课件2
北师大版八年级数学上册《求解二元一次方程组》精品课件2

八年级数学北师大版上册第五章二元一次方程组第2节求解二元一次方程组教学设计

4.学生在合作学习中的参与度和协作能力有待加强，需要教师在教学过程中注重引导和培养。
因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，提供充足的思考空间和交流机会，鼓励学生积极尝试，从而帮助他们克服困难，提高解决二元一次方程组问题的能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.理解二元一次方程组的定义，掌握其基本性质和求解方法。
八年级数学北师大版上册第五章二元一次方程组第2节求解二元一次方程组教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解二元一次方程组的定义，知道它是由两个二元一次方程构成的。
2.学会使用代入法解二元一次方程组，能够将一个方程中的一个变量表示成另一个变量的函数，然后代入另一个方程中求解。
3.学会使用加减法解二元一次方程组，通过消元的方式将两个方程简化为一个一元一次方程，进而求解。
3.学生在合作学习中的沟通与协作，如何有效地组织小组讨论，提高学生的参与度和团队协作能力。
（三）教学设想
为了帮助学生更好地掌握本章节的知识，我设想以下教学策略：
1.创设情境：以生活中的实际问题引入二元一次方程组的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发他们的学习兴趣。
2.分步教学：将教学内容分解为若干个小步骤，逐步引导学生掌握代入法、加减法等解法。在教学过程中，注重学生的反馈，及时解答他们的疑问。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会组织学生进行以下活动：
1.将学生分成若干小组，每组选出一个组长，负责组织和协调讨论。
2.给每个小组分配一个实际问题，让他们合作解决，并将问题转化为二元一次方程组。
3.各小组讨论并尝试使用不同的解法求解方程组，记录解题过程和结果。
4.各小组展示解题过程和答案，其他小组进行评价和反馈。

北师大版八年级上册构造法巧解二元一次方程组

构造法巧解二元一次方程组根据二元一次方程组和方程组解的特点，构造出新的方程组，从而把问题破解是二元一次方程组的一个经典型问题．下面就和同学们谈谈这个话题．一．由原来方程组中的一个方程与ｘ＝ｙ构造新方程组，探求待定字母的值例１已知二元一次方程组⎩⎨⎧=-+=+3)1(73x 4y k kx y 的解ｘ，ｙ的值相等，求ｋ的值．分析：方程组的解一定是方程４ｘ＋３ｙ＝７的解，同时也一定是方程ｘ＝ｙ的解，这样我么就可以构造出新的方程组⎩⎨⎧==+y x y 73x 4，这个方程组是可以直接求解的，这样我们就把不能求解问题转化成了可以求解的问题，问题自然就解决了．解：设方程组的解为⎩⎨⎧==n y m x ，因为二元一次方程组⎩⎨⎧=-+=+3)1(73x 4y k kx y 的解ｘ，ｙ的值相等，所以ｘ＝ｙ，所以得到方程组⎩⎨⎧==+y x y 73x 4，解这个方程组得：⎩⎨⎧==11y x ，所以方程组⎩⎨⎧=-+=+3)1(73x 4y k kx y 的解是⎩⎨⎧==11y x ，所以ｋ＋ｋ－１＝３，解得：ｋ＝２．点评：顺利构造出符合题意得新方程组是解题的关键．二．由原来方程组中的一个方程与ｘ＝ｋｙ构造新方程组，探求待定字母的值例２已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=8232-x ky x y 的解满足ｘ是ｙ的５倍，求ｋ的值．分析：有解的特点可以构造出一个新的二元一次方程ｘ＝５ｙ，这样就可以与ｘ－２ｙ＝３构成一个新的可解的二元一次方程组．解：因为二元一次方程组⎩⎨⎧=+=8232-x ky x y 的解满足ｘ是ｙ的５倍，所以ｘ＝５ｙ，所以构造方程组得⎩⎨⎧==y x y 532-x ，解这个方程组得⎩⎨⎧==15y x ，所以二元一次方程组⎩⎨⎧=+=8232-x ky x y 的解是⎩⎨⎧==15y x ，所以１０＋ｋ＝８，解得ｋ＝－２．点评：将原来方程组的解转化成可解新方程组的解是数学转化思想的重要体现．三．根据两个方程组的解相同，构造新方程组，探求待定字母的值例３已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-4324by ax y x 和⎩⎨⎧=+=+6542by ax y x 的解相同，求ａ，ｂ的值．分析：设方程组相同的解为⎩⎨⎧==n y m x ，则⎩⎨⎧==n y m x 一定是二元一次方程２ｘ＋３ｙ＝４，４ｘ＋５ｙ＝６的解，即⎩⎨⎧==n y m x 一定是方程组⎩⎨⎧=+=+43265y 4x y x 的解，解可求也．解：因为二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-4324by ax y x 和⎩⎨⎧=+=+6542by ax y x 的解相同，设方程组相同的解为⎩⎨⎧==n y m x ，则⎩⎨⎧==n y m x 一定是方程组⎩⎨⎧=+=+43265y 4x y x 的解，解这个方程组得⎩⎨⎧=-=21y x ，所以得方程组⎩⎨⎧=+-=--2242b a b a ，解这个方程组得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=213b a ，所以ａ的值为－３，ｂ的值为－21．点评：以方程组相同的解为媒介，把方程组重新组合成已知系数的方程组和待定系数的方程组，是解题的关键．四．消去待定字母得到新方程与同解的已知方程，构造新方程组，探求待定字母的值例４如果二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+ay x a 4y x 的解是二元一次方程３ｘ－５ｙ－３０＝０的一个解，则ａ的值为．分析：由ｘ＋ｙ＝ａ得ａ＝ｘ＋ｙ，将其代入ｘ－ｙ＝４ａ中就会得到一个新二元一次方程，它与二元一次方程３ｘ－５ｙ－３０＝０的解是相同的，这样就可以构造出方程组了．解：由ｘ＋ｙ＝ａ得ａ＝ｘ＋ｙ，将其代入ｘ－ｙ＝４ａ，整理得：３ｘ＋５ｙ＝０，因为二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+ay x a 4y x 的解是二元一次方程３ｘ－５ｙ－３０＝０的一个解，所以３ｘ＋５ｙ＝０与３ｘ－５ｙ－３０＝０有相同的解，所以得方程组⎩⎨⎧=-=+30530y 53x y x ，解这个方程组得⎩⎨⎧-==35x y ，所以ａ＝ｘ＋ｙ＝５＋（－３）＝２.点评：消去待定字母准确得出二元一次方程是构造方程组的关键．五．消去待定字母得到新方程与有解的特点生成的二元一次方程，构造新方程组，探求待定字母的值例５二元一次方程组⎩⎨⎧-=-+=+1223y 23x m y x m 的解互为相反数，求ｍ的值．分析：由３ｘ＋２ｙ＝ｍ＋３得ｍ＝３ｘ＋２ｙ－３，将其代入２ｘ－ｙ＝２ｍ－１中就会得到一个新二元一次方程，它与ｘ＝－ｙ就可以构造出方程组了．解：由３ｘ＋２ｙ＝ｍ＋３得ｍ＝３ｘ＋２ｙ－３，将其代入２ｘ－ｙ＝２ｍ－１，整理得：４ｘ＋５ｙ－７＝０，因为二元一次方程组⎩⎨⎧-=-+=+1223y 23x m y x m 的解互为相反数，所以ｘ＝－ｙ，所以⎩⎨⎧-==+y x 07-y 54x ，解这个方程组得⎩⎨⎧=-=77x y ，所以ｍ＝３×（－７）＋２×７－３－１０.点评：理解解互为相反数的意义是解题的关键．。

北师大版八年级数学初二上册：二元一次方程组及其解法

二元一次方程组及其解法1．二元一次方程组 (1)二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，如5x ＋3y ＝34就是二元一次方程．注意：“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数．不要把2xy＋2＝4，2x ＋y ＝5误当成二元一次方程，实际上2xy ＋2＝4含未知数的项的次数是2，而2x ＋y ＝5中2x不是整式，我们将会在后面的学习中遇到它．(2)二元一次方程组①联立在一起的几个方程，称为方程组．②由两个二元一次方程联立起来得到的方程组叫做二元一次方程组．实际上，在二元一次方程组中，两个方程中可以有方程是一元一次方程，方程的个数也可以超过两个，同一个字母必须代表同一数值，这样才能组合在一起．如下列方程组都是二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y ＝1，y －3＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋3y ＝9，2x －y ＝4.【例1－1】下列方程中，是二元一次方程的个数是( )．①2x ＋3y ＝5；②xy ＝1；③3x －y2＝1；④2⎝⎛⎭⎫m －23＋1＝14m －2；⑤1－2m3＝n ； ⑥1－23m ＝n ；⑦y ＝2x －3；⑧s ＝12vt.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：题中①③⑤⑦都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1，因此它们4个是二元一次方程，②含未知数的项的次数是2，④是一元一次方程，⑥不是整式方程，⑧含有3个未知数，因此它们都不是二元一次方程，故应选D.答案：D【例1－2】下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＋1，3x －4z ＝6B ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝4 C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x ＝5D ．⎩⎨⎧x 2＋y2＝2y ，y ＝23x解析：本题应根据二元一次方程组定义来判断，选项A 中每一个方程虽然都是一次方程，但是未知数的个数有三个，故否定A ；选项B ，D 只含有两个未知数且都是一次方程，符合二元一次方程组的定义，故都是二元一次方程组；选项C 中的第二个方程虽然是一元一次方程，但方程组中的第一个方程是二元一次方程，故它们也能组成二元一次方程组．所以不是二元一次方程组的是A.答案：A2．二元一次方程组的解使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．如⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝5既是方程x ＋y ＝17的解又是方程5x ＋3y ＝75的解，这时我们就说⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝17，5x ＋3y ＝75的解．谈重点理解二元一次方程组的解(1)二元一次方程组的解实质上是组成方程组的每个二元一次方程的公共解，也就是说，方程组的解一定是组成此方程组的每个方程的解，而组成此方程组的每个方程的解却不一定是方程组的解．(2)二元一次方程的解是一对数值，必须用大括号合在一起．【例2】二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝6 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝4 C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2 解析：选项A ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6代入方程①，左边＝2×1＋6＝8，右边＝2，左边≠右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝6不是方程组的解；选项B ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程①得，左边＝2×(－1)＋6＝4，右边＝4，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝4是方程①的解，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程②得，左边＝－(－1)＋4＝5，右边＝5，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程②的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝4是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解；按照以上方法对选项C ，D 加以判断，都不是方程组的解，故应选B.答案：B3．代入消元法 (1)消元思想二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程．这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．(2)代入消元法的概念从二元一次方程组的一个方程中求出某一个未知数的表达式(即将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来)，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．解技巧用代入法解二元一次方程组(1)用代入法解方程组一般将系数较小的方程变形，且用系数较大的未知数表示系数较小的未知数．(2)当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，一般用代入法来解．(3)用代入消元法解二元一次方程组的步骤①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；②将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程(不能代入原变形方程)中，消去y (或x )，得到一个关于x (或y )的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；④把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解．谈重点运用代入法需注意的问题运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值．【例3－1】已知方程x －2y ＝6，用x 表示y ，则y ＝__________；用y 表示x ，则x ＝__________.解析：(1)因为x －2y ＝6，移项，得x －6＝2y ，两边都除以2，得12x －3＝y ，即y ＝12x －3；(2)因为x －2y ＝6，移项，得x ＝6＋2y .答案：12x －3 6＋2y【例3－2】解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝6，①x ＋4y ＝－15.②分析：观察方程组中的每个方程，发现第二个方程中的x 的系数为1，所以选择将其变形，用含y 的代数式表示x ，得x ＝－15－4y ，然后把x ＝－15－4y 代入第一个方程，求出y 的值，再把y 的值代入变形后的方程x ＝－15－4y 中，求出x 的值．解：由②，得x ＝－15－4y ，③把③代入①，得3(－15－4y )－5y ＝6，解得y ＝－3，把y ＝－3代入③，得x ＝－3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3.4．加减消元法(1)加减消元法的概念两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法．(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑．析规律解二元一次方程组的方法(1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便． (2)通过两个方程相减消去未知数比通过两个方程相加消去未知数更易出错，所以一般是将两个方程中同一个未知数的系数化成互为相反数，然后相加消去一个未知数．【例4】解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝5，①2x －y ＝8.②分析：经观察发现，①和②中y 的系数是倍数关系，若将方程②×2，可使两个方程中y 的系数互为相反数，再将两方程相加，便可消去y ，只剩关于x 的方程，问题便很容易解决了．解：将方程②×2，得4x －2y ＝16，③ ③＋①，得 7x ＝21，解得x ＝3.把x ＝3代入②，得 2×3－y ＝8， y ＝－2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.5．解二元一次方程组的策略解二元一次方程组的关键就在于将“二元”转化为“一元”，如何消元，要根据系数特点合理选择使用代入消元法和加减消元法．解二元一次方程组，关键要在根本上把握方程组的系数特点，若遇到不能直接看出系数特点的，应该先化简，化简后系数的特点比较明显．对于不能直接运用消元法的方程组，应通过观察，找到一个系数较小的，利用等式性质，通过扩大相应倍数变成具有相同系数或互为相反数的系数，然后再使用加减法来解决问题．(1)对于一般形式的二元一次方程组，用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程；④方程组中某一未知数的系数成整数倍，选择小系数方程．(2)对于一般形式的二元一次方程组，用加减消元法求解关键是选择消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择系数是1或－1的未知数；②若未知数系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的未知数；③选方程组中系数成整数倍的未知数．【例5－1】解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3(x －1)＝y ＋5，5(y －1)＝3(x ＋5).分析：通过观察，发现方程组比较复杂，因此应先化简，方程组中的两个方程化为⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，5y －3x ＝20，通过观察决定使用加减法来解．解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变．解：原方程组化简，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，①5y －3x ＝20.② ①＋②，得4y ＝28，y ＝7.把y ＝7代入①得3x －7＝8，解得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7.【例5－2】解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①47x ＋53y ＝88.②分析：本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x ，y 的系数都是100、常数项是200的方程100x ＋100y ＝200，两边都除以100，得x ＋y ＝2，而此方程x ＋y ＝2与方程组中的①和②都同解．这样，用这个方程与原方程组中任何一个方程组成方程组，此时求解就使问题变得比较简单了．解：①＋②，得100x ＋100y ＝200，化简，得x ＋y ＝2， ③于是原方程变为⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①x ＋y ＝2，③由③，得x ＝2－y ， ④把④代入①，得53(2－y )＋47y ＝112，106－53y ＋47y ＝112，－6y ＝6，所以y ＝－1. 把y ＝－1代入④，得x ＝3，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.6.构造二元一次方程组解题常见的考查方式有：(1)已知二元一次方程组的解，求方程中的待定系数的值．我们知道使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．解决此类问题的方法通常是把方程组的解代入原方程，即可通过变形求出未知系数的值．例如⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝a ，x －y ＝b 的解，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入方程组可得a ＝2，b ＝0.(2)学习了二元一次方程组后，同学们应从前面所学的内容中挖掘涉及二元一次方程组的隐含条件，构造二元一次方程组解决许多问题，从而达到既沟通了知识之间的内在联系，又提高了同学们分析问题和解决问题的能力的目的．如同类项的概念等，解答此类题目的关键是真正理解概念，利用概念中的相关词语列出关系式．(3)同解问题，两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这两个方程组中四个二元一次方程的公共解．解技巧用整体代入法解二元一次方程组当我们把二元一次方程组的解代入原方程后，通常得到关于未知系数的新的方程组，但有时可以不解方程组，整体代入求解．【例6－1】已知2a y ＋3b 3x 和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则x ＝__________，y ＝__________.解析：根据同类项的定义可知，若2a y ＋3b 3x 和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则必有y ＋3＝2x ,3x＝8－2y ，将这两个二元一次方程合在一起组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ＋3，3x ＝8－2y ，即可求出x ＝2，y ＝1. 答案：2 1【例6－2】已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋(m －1)y ＝2，nx ＋y ＝1的解，则m ＋n 的值是__________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋(m －1)y ＝2，①的解，nx ＋y ＝1②所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1同时满足方程①和方程②，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1分别代入方程①和方程②，可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋m －1＝2，③2n ＋1＝1.④由③和④可分别求出m ，n 的值为⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0.所以m ＋n ＝－1＋0＝－1.答案：－1【例6－3】已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax －by ＝4，ax ＋by ＝6与方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1的解相同，求a ，b 的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1 代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝4，2a ＋b ＝6，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝1.7．求二元一次方程的正整数解任何一个二元一次方程都有无数组解，但是二元一次方程的整数解是有限的．一般应用二元一次方程解决实际问题时所列出的二元一次方程的解应当是有限的．因为我们必须保证其解有意义．析规律注重实际问题中的隐含条件生活中的实际问题常隐含着一个条件：(1)数量的取值为正整数；(2)最终的答案可能不止一个，只要符合条件即可．【例7】甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？分析：先根据题意列出二元一次方程，再求其正整数解．解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x ＋5y ＝38(x ，y 都是正整数)．用含y 的代数式表示x 为x ＝38－5y3，当y ＝1时，x ＝11；当y ＝4时，x ＝6；当y ＝7时，x ＝1.原方程所有的正整数解为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝1. 答：甲、乙两种书可分别买1本和7本或6本和4本或11本和1本． 8.列方程组解决实际问题(1)解实际问题的关键在于理解题意，找出数量之间的相等关系，这里的相等关系应是一个或几个，正确的列出一个(或几个)方程，再组成方程组．(2)列方程组解应用题，常遇到隐含的等量关系，如：和、差、倍、分问题；行程问题；调配问题；工程问题；浓度问题；形积问题等等．我们在列方程(组)解应用题时，要注意充分挖掘这些关系．【例8】某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？解：(1)设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1 680，2x ＋y ＝2 280. 解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝960，y ＝360.答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．。

八年级数学上册第五章二元一次方程组专题课堂五构造二元一次方程组解题课件新版北师大版

4．已知代数式 x2＋px＋q，当 x＝－1 时，它的值是－2；当 x＝－2 时，它的值是－1，则 p＝_2_____，q＝__－__1___．
5．解方程组acxx－＋4byy＝＝－6，2，小明正确解得xy＝＝23，，小丽只看错了 c，
x＝－2，解得y＝1，
则当 x＝－1 时，代数式 ax2－bx＋c 的值为_6_.5___．
解得yx＝＝－57 176，
1．方程组2xx＋＋yy＝＝3■，的解为xy＝＝2■，，则被遮盖的两个数分别为( A ) A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4
2．已知实数 x，y 满足(x－2y－1)2＋ 3x＋6y－15 ＝0.则 x＝___3___， y＝__1____．
3．若 2xb＋3y2a 与－4x2ay2b－2 的差仍是单项式，则 a＋b 的平方根等于 __±__3___．
解：由题意得x3＋x－y＝y＝53，，解得xy＝＝23，，将xy＝＝23，代入
ax＋by＝2，
2a＋3b＝2，
a＝－2，
3ax＋by＝－6，则有6a＋3b＝－6，解得b＝2
8．对于任意的有理数 a，b，c，d，我们规定ac db ＝ad－bc，如（－32）（－54）＝(－2)×5－(－4)×3＝2，根据这一规定，解答下列问题： (1)化简：（x＋3y3y）（2x2＋x y）； (2)若 x，y 同时满足3y （－x2）＝5，xy 12 ＝8，求 x，y 的值．
分析：甲看错了a，则方程组的解符合②，同理乙看错了b，方程组的解符
合①，由这两个条件构建二元一次方程组模型求解．
x＝－3，
x＝1，
解：把y＝1
代入②，得－12－b＝－2，解得 b＝－10；把y＝4

北师大版八年级上册构造法巧解二元一次方程组

北师大版八年级上册：5.2求解二元一次方程组

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2021秋北师大版八年级上册课件第五章二元一次方程组课件：根据方程组中方程的特征巧解方程组的五种技巧

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