数学实验作业七

数学实验作业七
题目：P200. 2)；6) 日期：2003-4-9
【实验目的】：
1、掌握MATLAB 优化工具箱的基本用法，对不同算法进行初步分析、比较。

2、练习实际问题的非线性最小二乘拟合。

【实验内容】：
二：求解()1
2212122min 42421x e x x x x x ++++，初值（－1，1），对不同算法的结果
进行分析、比较。

【模型分析】：
首先画出函数f=1
2212122(42421)x e x x x x x ++++的图像和等高线：
可以看到：在[0.5,-1]附近为一个“凹地”，最小值应在该凹地中取得。

另外，从（-1,1）到此凹地为一与Rosenbrock 函数类似的狭长通道，不利于沿负梯度方向下降。

可以想象，该函数具有与Rosenbrock 函数类似的性质。

【MATLAB源程序】
比较程序如下：
%数学实验作业二.1-d
function f=ch72fun(x);
%第7章第2题的函数
f=exp(x(1)).*(4*x(1).^2+2*x(2).^2+4*x(1).*x(2)+2.*x(2)+1);
%ch72.m
%第7章第2题
X0=[-1,1];
%赋初值
%BFGS,混合二三次插值
opt1=optimset('TolX',1e-6,'TolFun',1e-6,'MaxIter',1000);
[X1,FV AL,EXITFLAG,OUTPUT]=FMINUNC(@ch72fun,X0,opt1)
%BFGS,三次插值
opt2=optimset(opt1,'LineSearchType','cubicpoly');
[X1,FV AL,EXITFLAG,OUTPUT]=FMINUNC(@ch72fun,X0,opt2)
%DFP,混合二三次插值
opt3=optimset(opt1,'HessUpdate','dfp');
[X1,FV AL,EXITFLAG,OUTPUT]=FMINUNC(@ch72fun,X0,opt3)
%DFP,三次插值
opt4=optimset(opt3,'LineSearchType','cubicpoly');
[X1,FV AL,EXITFLAG,OUTPUT]=FMINUNC(@ch72fun,X0,opt4)
%最速下降,混合二三次插值
opt5=optimset(opt1,'HessUpdate','steepdesc');
[X1,FV AL,EXITFLAG,OUTPUT]=FMINUNC(@ch72fun,X0,opt5)
【MATLAB 运行结果】：
结果为：
所以可以得到本题的解析解：x=(0.5,-1)，f=0。

【结果分析】：
观察上面的运算结果可以看出：BFGS 和混合二三次插值（Matlab 默认值）的性能是最好的，其精度较高，迭代次数少；DFP 和三次插值的精度最高，但是其迭代次数相对较多。

DFP 和混合二三次插值的迭代次数最少，但是其精度是最低的。

另外最速下降法也能得出结果，而不是像Rosenbrock 函数那样不收敛。

六：《中国统计年鉴（1995）》给出下表的数据，试据此拟合生产函数中的参数。

如何看待用最小二乘法和非线性最小二乘法拟合的结果。

第一问： 模型建立：
本题考虑用非线性拟合最小二乘拟合方法，来求解生产函数的未知系数。

生产函数为;Q aK L αβ= 以系数,,a αβ为三个变量，列写函数;y Q aK L αβ=- 再运用leastsq 程序，设立初值0c ，即可求出三个系数的数值解。

模型求解：
用Matlab 作非线性最小二乘拟合，编程语句如下：
％ch7.6-(1)
function f=pp1(c)
q=[0.7171,0.8964,1.0202,1.1962,1.4928,1.6909,1.8531,2.1618,2.6635,3.4515,4.5006]; q1=q/q(6); ％以1989年总产值为基准
k=[0.2469,0.3386,0.3846,0.4322,0.5495,0.6095,0.6444,0.7517,0.9636,1.4998,1.8944]; k1=k/k(6); ％以1989年资金为基准
l=[4.8179,4.9873,5.1282,5.2783,5.4334,5.5329,5.6740,5.8360,5.9432,6.0220,6.1470]; l1=l/l(6); ％以1989年为劳动力基准
f=q1-c(1).*k1.^c(2).*l1.^c(3);
c0=[0.5,0,1];
c=leastsq('pp1',c0)
运行程序可以得到：
c = 0.9858 0.6300 2.4290
结论：
生产函数为;Q aK L αβ=
其中a ＝0.9858 α＝0.6300 β＝2.4290
第二问： 模型建立：
本题考虑用线性拟合最小二乘拟合方法，来求解生产函数的未知系数。

对原式两边取对数，即可将非线性函数变化为线性函数
ln ln ln ln Q a K L αβ=++，ln ,ln ,ln Q K L 为变量，ln ,,a αβ为所求系数。

解超定方程
组：
[]ln ln 1ln ln a Q K
L αβ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，其中ln ,1,ln ,ln Q K L 均为列向量。

即可得到所求三个系数的值。

模型求解：
用Matlab 作线性最小二乘拟合，编程语句如下：
％ch7.6-(2)
q=[0.7171,0.8964,1.0202,1.1962,1.4928,1.6909,1.8531,2.1618,2.6635,3.4515,4.5006]; q1=log(q/q(6)); ％以1989年总产值为基准
k=[0.2469,0.3386,0.3846,0.4322,0.5495,0.6095,0.6444,0.7517,0.9636,1.4998,1.8944]; k1=log(k/k(6)); ％以1989年资金为基准
l=[4.8179,4.9873,5.1282,5.2783,5.4334,5.5329,5.6740,5.8360,5.9432,6.0220,6.1470]; l1=log(l/l(6)); ％以1989年为劳动力基准 m=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]; A=[m',k1',l1']; B=q1'; C=A\B;
c=[exp(C(1)),C(2),C(3)]
运行程序可以得到：
c = 0.9906 0.6208 2.3728
结论：
生产函数为;Q aK L αβ=
其中a ＝0.9906 α＝0.6208 β＝2.3728
结果分析：
本题中，线性拟合和非线性拟合两种计算方法的结果相差不大。

但是，在有些情况下，二者的差距将会较大，如书上182页例题。

非线性拟合是将数据直接代入求解；而线性拟合在拟合前要取一次对数。

所以非线性拟合的结果应该更精确一些。

下面给出题目中两个参数的经济学意义：
Q aK L αβ=式分别对
K ，L 求偏导数Q K ，Q L ，可以得到：
K Q Q K
α=
L Q Q L
β=
可见，它表示α是资本增加一个单位产值增长的相对值，β 是劳动力增加一个单位产值增长的相对值。

分别称他们为产值对资本和劳动力的弹性系数。