第一讲 Pawlak粗糙集模型

( x, y) ind (a) 当且仅当： f ( x, a) f ( y, a).
因此，信息系统本质上就是数据库，每一个属性决定一个知识。类似地，对于任意
第一讲: Pawlak粗糙集模型
粗糙集理论是一种新的处理不确定性知识的数学工 具，是由波兰科学家Pawlak在1982年首先提出的:
Pawlak Z, Rough sets, International Journal of Computer and Information Sciences, 11(1982)
粗糙集与软计算学术年会 （2001）
主要参考书:
Pawlak Z, Rough sets: Theoretical Aspects of Reasoning about Data, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1991 刘清，Rough集与Rough推理，科学出版社，2001 王国胤，Rough集理论与知识获取，西安交通大学出版社， 2001 张文修等，粗糙集理论与方法，科学出版社，2001 张文修等，信息系统与知识发现，科学出版社，2003 张文修等，基于粗糙集的不确定决策，清华大学出版社， 2005 张小红等，模糊数学与Rough集理论，清华大学出版社， 2013
在近似空间中，若 X 能表示为某些 R 等价类的并，则称 X 是 R 精确集， 或 R 可定义的，简称为可定义的；否则称 X 是 R 不可定义的，或 R 粗糙集。 粗糙集所表示的概念具有不确定性。对于粗糙集 X ，可以借助两个精确集
R( X ) 与 R( X ) 近似地刻画。
(1) R( X ) X R( X ). (2) 设 R1, R2 为 U 上两个等价关系， R1 R2 ，则对于任意 X U ，
一 知识与知识库
1 粗糙集理论的基本观点： 知识是对对象进行分类的能力，即区分对象的能力。
例 考虑玩具积木的集合 U {x1, x2 , 按颜色分类： 红颜色积木： x1, x2 , x3 黄颜色积木： x4 , x5 , x6 蓝颜色积木： x7 , x8
, x8}。
按形状分类： 三角形积木： x1 , x2 , x4 , x8 园形积木： x3 , x5 方形积木： x6 , x7 按体积大小分类： 大： x1 , x2 , x4 , x6 , x8 小： x3 , x5 , x7
讨论题1:粗糙集的拓扑结构
定理 设 (U , R) 是一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ近似空间，则
T {R( X ); X U } 是 U 上的一个拓扑。
证明 （1）由 R(U ) U , R() 即知 U T , T . （2）由 R( X ) R(Y ) R( X Y ) 知 T 对于有限交封闭。 （3）设对于任意 i I ， X i U ，其中 I 是一指标集。 由于 R ( X i ) 是可定义集，故 R ( R ( X i )) R ( X i ) ，
的充分必要条件是 X , Y A ， X Y 且 (Y X ) S . 其中 A 是所有 可定义集的集合， S {x U ;[ x]R {x}} 。 注： ( A, , , ~,U , ) 是幂集布尔代数 B ( P(U ), , , ~,U , ) 的子代数。
, X m}
五 近似分类的不精确性度量
对于近似分类 {X1, X 2 , , X m} 的近似分类精度
R
( )
m i 1 m i 1
R( X i ) R( X i )
近似分类质量
R
( )
m i 1
R( X i ) U
不确定性问题的数学工具
1 概率论 随机性：所研究事件本身有明确含义；由于条件不充分，使得 在条件与事件之间不能出现确定性的因果关系。 2 粗糙集理论（Pawlak, 1982） 粗糙性：知识的粒度性；使得使用已有知识不能精确地表示某些 概念，与人们对客观事物的认识水平有关，大多通过信息系统中的 不确定性表示。
R( X ) {x U ;[ x]R X } ，
R( X ) {x U ;[ x]R X } 。
下近似、上近似具有下面的等价表达形式：
R( X ) {Y U ; Y X } ， R R( X ) {Y U ; Y X } 。 R
其中 [ x]R { y;( x, y) R} 是 x 关于 R 的等价类，
按此定义，30 岁的人的年轻程度为 A(30) 0.5 ，35 岁的人的年轻程度为 A(35) 0.2 ，50 岁的 人的年轻程度约为 A(50) 0.04.
粗糙集理论的基本特点：(李德毅院士：不确定性人工智能， 国防工业出版社，2005) 1. 粗糙集理论认为，知识是有粒度的。知识的粒度性是造成使用已有知识 不能精确表示某些概念的原因；属性集合的不同子集对论域构成不同的划分， 形成不同的知识粒度。 2. 不可区分关系是粗糙集理论的基础。由于我们对问题认识的深入程度有限， 使得我们缺乏足够的知识去区分论域中的某些对象。通过不可区分关系构造 上、下近似，边界等，可以有效地表达和计算分类问题中的不确定性。 3. 模糊集理论研究模糊性（客观事物差异的中介过度性） ，从集合与元素的 关系入手，从概念内涵的角度进行研究；粗糙集理论从知识分类入手， 从概念外延的角度研究不确定性，粗糙集理论中的成员关系是客观计算的， 只和已知数据有关。 4. 不足之处：背景知识库是完全确定的，对样本本身的随机性和模糊性缺乏 处理能力。
按颜色、形状分类： 红颜色三角形积木： x1 , x2 红颜色园形积木： x3 黄颜色三角形积木： x4 黄颜色园形积木： x5 黄颜色方形积木： x6 兰颜色三角形积木： x8 兰颜色方形积木： x7
知识越多、越强，分类越细。
2 知识的数学表示：等价关系
设 U 是对象构成的非空有限集合，以下称为论域。 Pawlak 粗糙集理论仅讨论能对论域形成划分的知识。由于划分与 等价关系可以互相确定，因此，一个知识就是 U 上的一个等价关系。 设 R 是 U 上的一个等价关系，等价类集合为：
U
R
{[ x]R ; x U }
称等价类 [ x]R 为 R 初等概念。 若 X U ，则称 X 为一概念。
二 基本定义
设 U 是一个非空有限集合，称为论域， R 为 U 上的一个等价关系， 称二元组 (U , R) 为一个 Pawlak 近似空间，简称为近似空间。 对于任意 X U ， X 关于近似空间 (U , R) 的下近似 R( X ) 与上近似 R( X ) 分别定义为：
iI iI iI
从而 R ( X i ) T ，即 T 对于任意并封闭。
iI
讨论题2：粗糙集的表示
定理 设 (U , R) 是一个 Pawlak 近似空间。对于任意 ( X , Y ) P(U ) P(U ) ，
( X , Y ) 是一个粗糙集表示（即存在 Z U 使得 R( Z ) X , R(Z ) Y ）
3 模糊集理论（Zadeh, 1965） 模糊性：产生于对客观事物的分类与识别；表现为概念外延的不确定性（或客观事物差异 的中介过度性） 。 设论域 U [0,200] 是年龄的集合。Zadeh 给出 表示“年轻”的模糊集 A 如下：
1,0 x 25 。 A( x) x 25 2 1 (1 ( ) ) ,25 x 200 5
R2 ( X ) R1 ( X ) X R1 ( X ) R2 ( X ).
三 性质
设 (U , R) 为一近似空间，对于任意 X , Y U (1) R( X ) X R( X ) (2) R() R() R(U ) R(U ) U (3) X Y R( X ) R(Y ) X Y R( X ) R(Y ) (4) R( X Y ) R( X ) R(Y ) R( X Y ) R( X ) R(Y ) (5) R( X Y ) R( X ) R(Y ) R( X Y ) R( X ) R(Y ) R(~ X ) ~ R( X ) (6) R(~ X ) ~ R( X )
一般情况下,下列等式不成立:
R( X Y ) R( X ) R(Y )
R( X Y ) R( X ) R(Y )
四 粗糙集的不确定性度量
X的近似精度:
R (X )
R( X ) R( X )
X的粗糙度
R ( X ) 1 R ( X )
{ X1 , X 2 ,
a b a c bc； （3） 是 L 上的一个二元运算且与 构成伴随对，即对于
任意 a, b, c L ， a b c 当且仅当 a b c.
六 信息系统知识发现
定义 一个信息系统是一个四元组 S (U , A,V , f ) ，其中 （1） U 是非空有限集合，称为论域，其中元素称为对象； （2） A 是非空有限集合，其中元素称为属性； （3） V Va ， Va 是属性 a 的取值构成的集合，称为 a 的值域；
讨论题3:粗糙集与非经典逻辑代数
N ( A) {( X ,Y );( X ,Y ) A A, X Y ,(Y X ) S }.
对于任意 ( X1 ,Y1 ),( X 2 ,Y2 ) N ( A) 令
( X1 , Y1 ) ( X 2 , Y2 ) ( X1 X 2 , Y1 Y2 )
则 ( N ( A), , , , ,(, ),(U ,U )) 为剩余格.
( N ( A), , , , , , I ) 是正则双Stone代数。
剩余格是一个代数系统 ( L, , , , ,0,1) ，其中 （1） ( L, , ,0,1) 为有界格， 0,1 分别为其最小元与最大元； （2） ( L, ,1) 是以 1 为单位元的交换半群且对于任意 a, b, c L ，