金融问题.doc 数学实验六

个人住房抵押贷款和其他金融问题
一.实验目的
本实验涉及微积分和线性代数，通过实验复习数列，函数方程求根和与线性代数方程组有关的某些知识：主要是介绍与经济生活中某些常见重要问题有关的离散形式数学模型--差分方程。

二.实际问题
随着经济的发展，金融正越来越多的进入普通人的生活；贷款，保险，养老金和信用卡；个人住房抵押贷款是其中重要的一项。

1998年12月，中国人民银行公布了新的存，贷
三.数学模型
设贷款后第k个月是欠款余数位阿Ak元，约还款为m元，则由Ak变化到Ak+1，除了还款数为，还有什么因素参与？无疑就是利息，但时间仅过了一个月，当然应该用月利率，设其为r，从而得到
Ak+1=(1+k)Ak-m, k=0,1,2……
连同开始的贷款数A0 =10000
这就是问题的数学模型，其中月利率采用将年利率R=0.06255平均，即r=0.06255/12=0.0052125
若m是已知的，则由式可以依次求出Ak中的每一项，即为差分方程。

四.问题的解法和讨论
1.月还款额
Bk=Ak-Ak-1
Bk+1=(1+r)Bk 于是得Bk=B1(1+r)（k-1）, k=1,2……
Ak-A0=B1+B2+……Bk
=B1[1+(1+r)+……+(1+r)^(k-1)]
=(A1-A0)[[(1+r)^k-1]/r]
从而得到差分方程的解：Ak=A0(1+r)-m/r[(1+r)^k-1], k=0,1,2,……
将Ak,A0,r的值代入，就有m的值
2．还款周期
如果按月还款的话，显然要比按年付款的钱少。

考虑到人们的收入一般均以月薪方式获得，因此逐月归还法对于贷款这是合适的。

六.实验任务
任务一：确定表6.2中二、三、四年期贷款的利率是如何产生的（可以用图像来帮助分析），然后推导出相应的一至五年万元贷款的还款额表与表6.3比较验证.
程序：
A0= 10000;
sdr= [6.12 6.39 6.66 7.20 7.56 7.56];
sdk= [0.5 1 3 5 6 20];
fdk= 1:9;
fdr= 0.135*(fdk-1)+6.12;
for k=10:20
fdk(k)= k;
fdr(k)= 7.20;
end
m(1)= 0;
s(1)= 10612.00;
r= fdr/12/100;
for k=2:20
m(k)= ( A0*r(k)*(1+r(k))^(k*12) )/( ((1+r(k))^(k*12)) - 1 );
s(k)= k*12*m(k);
end
tb= sprintf(' 贷款%d元还款表\n\n',A0);
tb= [tb sprintf(' 年月年利率月利率月还款额本息总额\n\n')];
for k=1:20
tb= [tb sprintf(' %2d %3d %6.4f %6.4f %8.4f %8.2f\n',...
k,12*k,fdr(k),fdr(k)/12,m(k),s(k))];
end
tb
plot(sdk,sdr,fdk,fdr)
pause
close
clear all
% 本函数计算每次还款额及本息总额, 返回值为本息总额% 函数参数: q为贷款年数，k为还款次数。

function out= ep6_f1(q,k)
A0= 10000;
fdk= 1:9;
fdr= 0.135*(fdk-1)+6.12;
for ii=10:20
fdk(ii)= ii;
fdr(ii)= 7.20;
end
r= q*fdr(q)/k/100;
m= ( A0*r*(1+r)^k )/( (1+r)^k - 1 );
[sprintf(' %d年期贷款，分%d次还款:',q,k),...
sprintf(' 每次还款%9.4f元, 本息总额为%9.2f元。

',m,m*k)]
out= m*k;
分析：随着还款期限的延长，利率的增大，月还款额逐渐减少，但是本息总额逐渐变大，而且，月还款额减少的幅度越来越小，本息总额增加的幅度越来越大。

但是，在实际生活中不仅要考虑以上这些情况，还要考虑车费等各种因素。

任务三：
根据两地公司的业务情况，该金融机构决定在每周结算时，将A城公司的基金增加$6万，相应的B城公司的支付基金减少$6万。

此时，机构中的一位职员向机构负责人建议将数额改为$5.5万。

根据题意列方程：Ak+1=0.9Ak+0.12Bk+6
Bk+1=0.1Ak+0.88Bk-6
解得： 10Bk+1-7.8Bk=480,
两边取极限得：令Bk+1=Bk=B
10B-7.8B=480
∴B=218.18万元<220元
所以这个方案不合适
但当金额为5.5万元时，10B(k+1)-7.8Bk=585,
两边取极限得：令Bk+1=Bk=B
得B=220.45万元，A=220.55万元符合要求。

程序：
% 本函数的返回值rate为小李夫妇实际享受到的贷款年利率
% 函数参数: A0为贷款总额, m为每次还款额, y为贷款年数，c为每年还款次数。

function rate= ep6_f2(A0,m,y,c)
k= y*c;
p(1)= A0;
p(2)= -m-A0;
p(k+1)= m;
x= roots(p);
r1= (x-1)*c;
n1= 1;
for n= 1:k
if r1(n) > 0
r(n1)= r1(n);
n1= n1+1;
end
end
rate= r;
所以，机构负责人应该采纳这个建议。

任务四：
从还款周期来考察本息总额：以借两年为例
如果按年还款，利率r代之以年利率R=0.06255,那么k=2, A2=0, A0=10000,则可求出年还款额应为m=5473.8673元，这样本息总额将为2m=10947.73元
如果按月还款，利率r代之以月利率R=0.06255/12,那么k=24, A24=0, A0=10000,则可求出月还款额应为m=444.356元，这样本息总额为10664.54元
如果按周还款，利率r代之以周利率R=0.06255/105, 那么k=105, A105=0, A0=10000,则可求出周还款额为m=98.2761元，这样本息总额为10318.9元
如果按日还款，利率r代之以日利率R=0.06255/730，那么k=730，A730=0,A0=10000,则可求出日还款额为m=14.1321元，这样本息总额为10316.4元
但是如果按小时或分钟或秒来还款时基本上都是10316.0元
分析：当按照还款周期越来越短时，一开始还款总额明显减少，但随着周期变短，这种明显程度越来越不显著，最后，其减少基本上可以忽略不计，可以认为在继续增大其最终将趋于10316附近一个固定值
设R为年利率，s为总数，则
m=[A0*(1+r)^k*r/((1+r)^k-1)], r=R/k
=>m=A0*r/[1-1/(1+r)^k]
=>s=A0*R/[1-1/(1+r)^k]
=>s=A0*R/[1-1/(1+R/k)^k]
=>s->A0*R/(1-1/e^R) (当k->∞时)
所以，当还款周期变得越来越短，k越来越大，A0=10000,R=0.06255,以至s趋于10316.0102
程序：
s(1)= ep6_f1(2,2*1);
s(2)= ep6_f1(2,2*2);
s(3)= ep6_f1(2,2*4);
s(4)= ep6_f1(2,2*12);
s(5)= ep6_f1(2,2*12*4);
s(6)= ep6_f1(2,2*12*8);
s(7)= ep6_f1(2,2*365);
plot(s)
pause
close
七.实验总结
个人住房抵押贷款和其他金融问题这个数学实验比较贴近现实社会，和我们的日常生活息息相关，所以在做这个实验的时候感到比较熟悉。

从这个实验可见，现在的保险一般都没有在银行存款的利息高。

在计算的过程我们也遇到了一些问题，特别在完成计算利率的任务时，其中有一个方程有几百次方，使我们面对那么多解时不知该取哪个根好，因为只要稍微将趋紧的数值变一下，就会出现一个不同的根。

但最后，我们凭着一些生活中的经验进行了一些分析，希望老师能指出我们实验中的错误。

通过互相的配合，我们在实验中积累了不少经验，也会给我们进行以后的实验打下更好的基础。