2008年西南大学819高等代数考研试题
西南大学数学专业考研真题00-11年
《高等代数》陈重穆主编目录第一章 线性方程组的消元法§1.1 引言§1.2 消元法§1.3 系数分离法§1.4 和号“∑”第二章 行列式§2.1 行列式的定义§2.2 行列式的性质§2.3 行列式按任意一行（列）的展开式 §2.4 克莱姆规则§2.5 行列式的完全展开式§2.6 拉普拉斯定理 行列式的相乘规则第三章 线性方程组的一般解法§3.1 n 维向量§3.2 线性相关性§3.3 矩阵的秩§3.4 线性方程组有解的判别定理 §3.5 线性方程组解的结构第四章 矩阵§4.1 矩阵的概念§4.2 矩阵的运算§4.3 逆矩阵§4.4 矩阵的分块§4.5 初等矩阵第五章 整数论初步§5.1 整除§5.2 最大公约数 辗转相除法 §5.3 因子分解唯一性定理§5.4 因子分解唯一性的一个直接证明 §5.5 同余式（相合式）§5.6 剩余类§5.7 求)(m ϕ第六章 数域 p 元域§6.1 集合§6.2 数域§6.3 p 元域第七章 未定元多项式§7.1 一元多项式的定义§7.2 多项式的整除§7.3 最大公因式§7.4 因式分解唯一性定理§7.5 重因式§7.6 多项式的根 函数多项式§7.7 复数域与实数域上多项式的因式分解 §7.8 有理数域上的多项式§7.9 多元多项式的定义§7.10 对称多项式§7.11 结式 二元高次方程组 判别式第八章 线性空间§8.1 线性空间的定义和简单性质§8.2 基、维数与坐标§8.3 基变换与坐标变换§8.4 线性子空间§8.5 子空间的和与直和§8.6 集合的映射§8.7 线性空间的同构第九章线性变换§9.1 线性变换及其运算§9.2 线性变换的矩阵§9.3 不变子空间特征向量§9.4 特征多项式与最小多项式第十章λ-矩阵§10.1 λ-矩阵及其标准形§10.2 初等因子§10.3 矩阵相似的判别条件§10.4 若当标准形第十一章欧氏空间§11.1 定义、哥西-施瓦兹不等式§11.2 标准正交基、同构及正交阵§11.3 向量到子空间距离及其应用§11.4 正交变换第十二章二次型§12.1 矩阵合同化简二次型§12.2 复、实二次型的标准形§12.3 在因式分解方面的应用§12.4 实对称矩阵正交合同化简二次型。
2008 年线性代数考研试题
2008年线性代数考研试题[数一]1．设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若，则[ C ]O =3A （A ）E-A 不可逆，E+A 不可逆 （B ）E-A 不可逆，E+A 可逆（C ）E-A 可逆，E+A 可逆 （D ）E-A 可逆，E+A 不可逆【考点】 矩阵的可逆性2．设A 为二阶矩阵，21αα，为线性无关的二维列向量，21212A 0A αααα+==，，则A 的非零特征值为 1【考点】 矩阵的特征值3．设βα，为三维列向量，矩阵，其中的转置，的转置.T T A ββαα+=αα为T ββ为T (1) 证明 （2）若2 (A)≤r βα，线性相关，则2 (A)<r【考点】 矩阵的秩【祥解】 （1）βα，为三维列向量，则 1)()(,1)()(T ≤≤≤≤βββαααr r r r T 211)()()(r(A)T T =+≤+≤+=T T r r r ββααββαα，即2 (A)≤r .(2) 已知βα，线性相关，不妨设αβk =，则，21)())1(()))((()(r(A)2T T <≤=+=+=+=T T T T r k r k k r r ααααααααββαα即有.2 (A)<r 4．设n 元线性方程组，其中 b Ax = ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2a a 012a a 012a A 22%%%T T n b x )0,...0,1(,),...,(x x 1==（1） 证明行列式na n )1(A +=（2） a 为何值，方程组有唯一解？求x 1（3） a 为何值，方程组有无穷多解？求通解.【考点】 线性方程组解的结构和通解【祥解】 （1）利用行列式的性质可证n a n )1(A +=.(2) 若使方程组有唯一解，则00)1(A ≠≠+=a a n n ，即.则由克莱姆法则得an n x )1(1+=. (3) 若使方程组有无穷多解，则00)1(A ==+=a a n n ，即.把代入矩阵A 中，显然有0=a 1)()(−==n A r B A r #，方程组有一个基础解向量.取自由未知量x 1=1，得到它的基础解系为；代入后方程组化为，特解取为，则方程组的通解为为任意常数）k k T ()0,0,0,1("0=a ⎩⎨⎧====01432n x x x x "T )0,...0,0,1,0( . 为任意常数）k k T T ()0,...0,1,0()0,...0,0,1(+。
高等代数考研试题及答案
高等代数考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个不是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [1, -1; 2, 2]2. 设线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) 由矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 给出，那么 \( T(1, 2, 3) \) 的结果是：A. (3, 5, 3)B. (5, 3, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 3, 1)3. 多项式 \( p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 设 \( V \) 是所有 \( n \) 次多项式的向量空间，\( T: V\rightarrow V \) 是一个线性变换，且 \( T(p(x)) = p'(x) \)。
如果 \( T \) 的特征值为 \( k \)，那么 \( k \) 等于：A. 0B. 1C. -1D. \( n \)5. 下列哪个命题是正确的？A. 每个线性映射都可以用一个矩阵来表示。
B. 矩阵的乘积总是可交换的。
C. 两个相似矩阵必定是同阶矩阵。
D. 行列式的值总是正数或零。
6. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶方阵，如果 \( A \) 的所有特征值的和等于 \( 0 \)，那么 \( A \) 必定是：A. 正交矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 反对称矩阵7. 如果一个 \( n \) 阶方阵 \( A \) 的所有元素都等于 \( 1 \)，那么 \( A^n \) 的迹（trace）是：A. \( n \)B. \( n^n \)C. \( n! \)D. \( 0 \)8. 对于任意 \( n \) 阶方阵 \( A \)，下列哪个选项是正确的？A. \( \det(A^2) = (\det A)^2 \)B. \( \det(A^T) = \det A \)C. \( \det(A + I) = \det A + 1 \)D. \( \det(A) = \det(A^T) \)9. 设 \( V \) 是一个向量空间，\( T: V \rightarrow V \) 是一个线性变换，如果 \( T \) 的一个特征向量 \( v \) 满足 \( T(v) = \lambda v \)，那么 \( T \) 的逆变换 \( T^{-1} \)（如果存在）将 \( v \) 映射到：A. \( \lambda^{-1} v \)B. \( \frac{1}{\lambda} v \)C. \( v \)D. \( v + \lambda v \)10. 下列哪个矩阵是正交矩阵？A. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det A \) 等于 _______。
西南大学2011年《高等代数》考研真题
5．（20分）设 ，证明 无解，这里X为三阶未知复矩阵。
6．（10分）设V是数域P上n维线性空间，是V的一个线性变换，的特征多项式为 。证明： 在P上不可约的充分必要条件是V无关于的非平凡不变子空间（通常称V的子空间0和V为V的关于的平凡不变子空间）。
1．填空题（每小题6分，共60分）
（1）设 ，在由1，2，…，n构成的n!个n级排列中，反序数等于2的排列
西南大学
2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题
学科、专业：研究方向：
试题名称：高等代数试题编号：819
（答题一律做在答题纸上，并注明题目番号，否则答题无效）
（7）二元实二次型 的秩=。
（8）设n元非齐次线性方程组AX=B无解，其系数矩阵的秩为4，则其增广矩阵的秩
为。
（9）设矩阵 ，其中 线性无关， ，向量
，则非齐次线性方程组AX=的通解为。
（10）设D为一个三阶行列式，D的元素为1或 ，则D的最大值为。
2．（20分）设 ，且 ，其中E为三阶单位矩阵，求 。
3．（20分）设A为三阶实对称矩阵，其特征值为 ， 与
分别是A的属于特征值 与 的特征向量。求矩阵A。
4．（20分）设P为数域， ， ，且 。证明
共有个。
（2）设A，B为n阶方阵。若 ， ， ，则 =。（3）设 Nhomakorabea 。若 ，则
， 。
（4）设A为三阶方阵， 为三阶可逆阵，并且 。
若 ，则 =。
（5）设 是三阶正定矩阵，则 的取值范围是。
（6）设 为复数域上三阶方阵，则A的最小多项式为。
高等代数考研真题 第一章 多项式
第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。
（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0（x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x)3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n-1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。
4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m(x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
西南大学数学与统计学院《819高等代数》历年考研真题汇编
\ 10）设＜4 =（叫/队…，】,）,其中耳为实教” R不全为零，B-A A ,
是
4的转的“则8的全部特征值为， L〔2。分}设况为一复数，且是。[刈中某个非零多顼式的报，令
J = V（X）€ Q[x] |，愆）=0} a
证明；＜D在/中存在唯一的最高轶项系数是1的多项式尸⑴，使p（x）整除J中每一多项
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Fl 0 ］1
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A⑵分）设』=0 2 0 ,且施+ E* 4田其中E为三阶单位矩阵,求研 101
3.⑵如设 X为三阶实对祢矩阵，其特征值为；I,=必
=o, %」与
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%=］分别是＞1的属于精征值人与石的特征向量。求矩阵元
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虫门0胪设尸为教域，/（玖g⑴顷刈，以,弓如尸，且血-加#0,证明
2008年西南大学819高等代数考研真题
西南大学
澎磅年攻读用七学位研究生入学考试试题
硕
学科，专业:摒湖"也
研究方向：&诗帮网佑为向
试题名称：曷驾心妲
试题编号：811
（答题-律做在答题纸上，并注明题忸番号，否则答题无效）
泠意：报汶学衍i n’MlWI.完我I，餐3. 4. 5. 6-境1°暨报引 向的与1「尼成！，2. 3. 4, 5. 6- 7> 8题，监试时问为3小旧’-满分为顷'■
[Q 0 0 1 . (6)给定尸'中的线性变换4如下：
A -. (x)ix1,x3)h>(2xi -xz,x2 +x^2xt +Xj)
则 KeM ="
（7）令4为V的正交变换.。=（2,0厂1厂2）为4的一个特征向街 则
（Aav Aa）=.
西南大学2012年《高等代数》考研真题
（9）三元实二次型 的正惯性指数为。
（10）设 ，其中 为实数，且不全为零， ，这里 是A的转置。则B的全部特征值为。
2．（20分）设 为一复数，且是 中某个非零多项式的根，令
。
证明：（1）在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式 ，使 整除J中每一多项式 ；
（2） 在Q上不可约。
3．（20分）设V为n维欧几里得空间， 为V的一个正交变换，令
。
（1）证明： 是V的子空间；
（2）证明Leabharlann 。4．（20分）设A，B为n阶实矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA。证明存在非零实系数多项式 ，使 。
5．（10分）设A，B，C为n阶方阵，满足条件BC= 0， 。证明：存在非零的n维列向量X，使AX=BX。其中 表示矩阵A的秩。
1．填空题（每小题8分，共80分）
西南大学
2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题
学科、专业：数学各专业研究方向：所有方向
试题名称：高等代数试题编号：819
（答题一律做在答题纸上，并注明题目番号，否则答题无效）
（7）设 ，则A的Jordan（若尔当）标准形为。
（8）设V为n维欧几里得空间（欧氏空间）， 为V中非零向量， 是关于 的反射变换，
（1）方程组 在复数域内的解是。
（2）行列式 的第一列元的代数余子式的和是。
（3） 。
（4） 。
（5）设A为3阶方阵，X为3维列向量，满足 ，若向量组X，AX，A2X线性无关，则 。
（6）设P为数域，f为线性空间P3的线性变换，使
。
则f的象空间Imf的维数是。