2018高中物理选修3-4学案：第1章 第2讲 单摆教科版

第2讲单摆

[目标定位] 1.知道什么是单摆.2.理解偏角很小时单摆的振动是简谐运动.3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式并能用它进行计算.

一、单摆的简谐运动

1．如图1，若忽略悬挂小球的细线长度的微小变化和质量，且线长比球的直径大得多，这样的装置就叫做单摆．

图1

2．在偏角很小的情况下，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比，因而单摆在偏角很小时的振动是简谐运动．

想一想单摆的回复力是否就是单摆所受的合外力？

答案不是．单摆的运动可看作是变速圆周运动，其合力可分解为指向圆心的法向力和沿圆周切线的切向力，在沿圆周切线的切向力作用下，单摆做的是简谐运动，因而单摆的回复力只是其所受合力的一个分力．

二、单摆做简谐运动的周期

单摆在偏角很小的情况下做简谐运动的周期T跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关，单摆做简谐运动时的周期公式为T＝

一、单摆及单摆的回复力

1．单摆

(1)单摆是实际摆的理想化模型

(2)实际摆看作单摆的条件

①摆线的形变量与摆线长度相比小得多

②悬线的质量与摆球质量相比小得多

③摆球的直径与摆线长度相比小得多

2．单摆的回复力

(1)单摆的回复力是由重力沿圆弧切向的分力F ＝mg sin θ提供的．

(2)如图2所示，在最大偏角很小的条件下，sin θ≈x l

，其中x 为摆球相对平衡位置O 点的位移．

图2

单摆的回复力F ＝－mg l x ，令k ＝mg l

，则F ＝－kx .由此可见，单摆在偏角很小的条件下的振动为简谐运动．

注意：(1)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零．

(2)单摆的回复力为小球受到的沿切线方向的合力，而不是小球受到的合外力．

【例1】 对于单摆的振动，以下说法中正确的是( )

A ．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等

B ．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力

C ．摆球经过平衡位置时所受回复力为零

D ．摆球经过平衡位置时所受合外力为零

解析 单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向

分力提供回复力，细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为m v 2l

，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零．故应选C ．

答案 C

借题发挥 单摆振动的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力．摆球所受的合外力在摆线方向的分力作为摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力．因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零(此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力)．

针对训练 关于单摆，下列说法中正确的是( )

A ．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置

B ．摆球受到的回复力是它的合力

C ．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零

D．摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比

解析单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)；另外摆球所受的合力与位移大小不成正比，故A正确．

答案 A

二、单摆做简谐运动的周期

1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟．

2．单摆的周期公式：T＝2πl g.

3．对周期公式的理解

(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)．

(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球．如是双线摆，则公式中l应为等效摆长：如图3所示，图中甲、乙在垂直纸面方向摆起来的效果是相同的，所以甲摆的摆

长为l sin α，这就是等效摆长，所以其周期为T＝2πl sin αg.

图3

(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定．

(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关．所以单摆的周期也叫固有周期．

【例2】在“探究单摆的周期和摆长的关系”实验中．

(1)下列说法正确的是________．

A．悬线越短越好

B．悬线上端固定且摆角要小

C．摆球应在竖直平面内摆动

D．摆球摆至最高点时开始计时

(2)以摆球通过平衡位置时开始计时，用停表记下摆球通过平衡位置n次所用的时间t，则单摆周期T＝____________；用米尺量出悬线的长度l0，用游标卡尺量出摆球的直径d，则摆长l＝____________.

(3)根据记录的数据，在坐标纸上以T为纵轴，l为横轴，作出T l图像，发现图线是曲线；然后尝试以T2为纵轴，l为横轴，作出T2 l图像，发现图线是一条过原点的倾斜直线，由此得出单摆做简谐运动的周期和摆长的关系是()

A ．T ∝1l

B ．T 2∝1l

C ．T ∝l

D ．T 2∝l

解析 (1)摆线长些好，否则摆球的运动不明显；悬线上端要固定以防摆长变长，并且摆角要小，否则单摆周期公式不成立；摆球应在竖直平面内摆动，应该在摆球摆至最低点时开始计时，因为此时摆球的速度最大，计时更准确．

(2)以摆球通过平衡位置时开始计时，记为0，用停表记下摆球通过平衡位置n 次所用的

时间t ，则单摆周期T ＝2t n ；摆长指的是从悬点到摆球球心的距离，本题中摆长l ＝l 0＋d 2

. (3)根据题述“T 2 l 图线是一条过原点的倾斜直线”可知，T 2∝l ，选项D 正确．

答案 (1)BC (2)2t n l 0＋d 2

(3)D 【例3】 一个单摆和一个弹簧振子，在上海调节使得它们的振动周期相等(设为T )．现在把它们一起拿到北京，若不再做任何调节．设这时单摆的振动周期为T 1，弹簧振子的振动周期为T 2，则它们的周期大小的关系为( )

A ．T 1

B ．T 1＝T 2

C ．T 1>T 2＝T

D ．T 1

解析 弹簧振子的振动周期只与弹簧的劲度系数和振子质量有关，拿到北京后周期不变；北京的重力加速度比上海的大，单摆拿到北京后周期变小．

答案 A

单摆的简谐运动

1．(多选)单摆是为研究振动而抽象出来的理想化模型，其理想化条件是( )

A ．摆线质量不计

B ．摆线长度不伸缩

C ．摆球的直径比摆线长度小得多

D ．只要是单摆的运动就是一种简谐运动

解析 单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，摆线不伸缩，A 、B 、C 选项均正确；但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在偏角很小(θ≤5°)的情况下才能视单摆的运动为简谐运动．故A 、B 、C 正确．

答案 ABC

2．单摆振动的回复力是( )

A ．摆球所受的重力

B ．摆球重力在垂直悬线方向上的分力