正余弦定理综合
正弦定理、余弦定理的综合应用
解：(方法二：利用角的关系进行判断) 2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)， 所以 sin Acos B－cos Asin B＝0，所以 sin(A－B)＝0， 因为－π<A－B<π，所以 A－B＝0，即 A＝B， 所以△ABC 为等腰三角形．
5．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
解：在 Rt△ABC 中，∠CAB＝45°，BC＝100 m， 所以 AC＝100 2 m． 在△AMC 中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°. 由正弦定理得，sinAC45°＝sinAM60°，所以 AM＝100 3 m. 在 Rt△MNA 中，AM＝100 3 m，∠MAN＝60°，由MAMN＝sin 60° 得 MN＝100 3× 23＝150 m. 答案：150
米，则 A、C 两点的距离为( )
200 A. 3
3米
200 B. 3
6米
C.1003 3米 D.1003 6米
解：如图，∠C＝60°，由正弦定理知si2n0600°＝sinAC45°，
所以 AC＝2030× 22＝2003
6 .
2
答案：B
3．在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角 分别为 30°、60°，则塔高为( )
又 AB＝600 m，故由正弦定理得sin60045°＝sinBC30°， 解得 BC＝300 2 m. 在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan 30°＝300 2× 33＝100 6 m.
考点二·解三角形的综合应用
【例 2】(2016·福州市毕业班质量检查)在△ABC 中,角 A,B,C 的 对边分别为 a,b,c,满足(2b－c)cos A＝acos C.
正、余弦定理及应用举例
02
余弦定理
定义与性质
定义
余弦定理是三角形中的重要定理，它 描述了三角形三边与其对应角的余弦 值之间的关系。
性质
余弦定理具有对称性，即交换任意两 边及其对应的角，定理仍然成立。此 外，余弦定理还可以用来判断三角形 的形状。
证明方法
证明方法一
利用向量的数量积和向量模长的性质来 证明余弦定理。
VS
定理应用举例
总结词
正弦定理在解决三角形问题中具有广泛的应用，例如求三角形边长、角度等。
详细描述
利用正弦定理，我们可以解决许多三角形问题，例如求三角形的边长、角度等。例如，已知三角形的 两边及其夹角，我们可以利用正弦定理求出第三边的长度。此外，正弦定理还可以用于判断三角形的 解的个数和类型，以及解决一些几何作图问题。
正、余弦定理及应用 举例
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正、余弦定理的综合应用 • 正、余弦定理的扩展与推广 • 正、余弦定理在数学竞赛中的应用
01
正弦定理
定义与性质
总结词
正弦定理是三角形中一个基本的定理 ，它描述了三角形边长和对应角的正 弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意 一边与其对应的角的正弦值的比等于 三角形外接圆的直径，也等于其他两 边与它们的对应角的正弦值的比。
证明方法二
通过作高线，将三角形转化为直角三角形 ，再利用勾股定理来证明余弦定理。
定理应用举例
应用一
已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
应用二
判断三角形的形状。例如，如果一个三角形中存在两个角相等，则 这个三角形是等腰三角形。
应用三
解决一些实际问题，如测量、工程设计等。例如，在测量中，可以 利用余弦定理来计算两点之间的距离。
正弦定理、余弦定理总结和应用
§4.7正弦定理、余弦定理及其应用1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R 是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2R sin A，b＝，c＝；②sin A＝a2R，sin B＝，sin C＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝.若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B ＋C＝π.3．解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数①②③④(3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式或变式(1)三角形面积公式S△＝＝＝____________＝____________＝____________．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，A2＝__________，从而sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝____________；sinA2＝__________，cosA2＝__________，tanA2＝________.tan A＋tan B＋tan C＝__________.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝____________⇔2sin B＝____________⇔2sinB2＝cosA－C2⇔2cosA＋C2＝cosA－C2⇔tanA2tanC2＝13.【自查自纠】1．(1)asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2)①2R sin B2R sin C②b2Rc2R③sin A ∶sin B ∶sin C2．(1)b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋b 2(2)b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab > <(3)互化 sin 2C ＋sin 2A －2sin C sin A cos B sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C3．(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解 ①一解 ②二解 ③一解 ④一解(3)余弦 (4)余弦 4．(1)12ab sin C 12bc sin A 12ac sin B abc 4R 12(a ＋b＋c )r(2)π－(B ＋C ) π2－B ＋C 2sin(B ＋C ) －cos(B ＋C )－tan(B ＋C ) cos B ＋C 2 sin B ＋C21tanB ＋C 2tan A tan B tan C (3)a ＋c sin A ＋sin C在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选C .在△ABC 中，已知b ＝6，c ＝10，B ＝30°，则解此三角形的结果有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．一解或两解解：由正弦定理知sin C ＝c ·sin B b ＝56，又由c >b >c sin B知，C 有两解．也可依已知条件，画出△ABC ，由图知有两解．故选C .(2013·陕西)设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若b cos C ＋c cos B ＝a sin A, 则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解：由已知和正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A ·sin A ，即sin(B ＋C )＝sin A sin A ，亦即sin A ＝sin A sin A .因为0<A <π，所以sin A ＝1，所以A ＝π2.所以三角形为直角三角形．故选B .(2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________．解：由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋()232－2×2×23×cos π6＝4，b ＝2.故填2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解：∵sin B ＋cos B ＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝1. 又∵B ∈(0，π)，∴B ＋π4＝π2，B ＝π4.根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝a sin B b ＝12.∵a ＜b ，∴A ＜B .∴A ＝π6.故填π6.类型一 正弦定理的应用△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故cos C ＋sin C ＝sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin(90°＋2C )＝2sin2(45°＋C )．∴2sin(45°＋C )＝22sin(45°＋C )cos(45°＋C )， 即cos(45°＋C )＝12.又∵0°＜C ＜90°，∴45°＋C ＝60°，C ＝15°. 【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键．(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)证明：对b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， 即sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －sin C cos B ＝1，即sin ()B －C ＝1.由于B ，C ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4，∴B －C ＝π2. (2)∵B ＋C ＝π－A ＝3π4，又由(1)知B －C ＝π2，∴B ＝5π8，C ＝π8.∵a ＝2，A ＝π4，∴由正弦定理知b ＝a sin B sin A ＝2sin5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2sin 5π8×2sin π8×22＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝22sin π4＝12.类型二 余弦定理的应用在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解：(1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos 23π，解得ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，代入(a ＋b )2－c 2＝4中得(a ＋b )2－(a 2＋b 2－ab )＝4，即3ab ＝4，∴ab ＝43.故选A .类型三 正、余弦定理的综合应用(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1.【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值．(2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B＝79. (1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又a ＋c ＝6，b ＝2， cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429， 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.类型四 判断三角形的形状在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形ABC 的形状．解法一：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2Asin 2B ，所以tan A tan B ＝sin 2A sin 2B，所以sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B ，即sin2A ＝sin2B .所以2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，因此A ＝B 或A ＋B ＝π2，从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法二：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2A sin 2B ，所以tan Atan B ＝sin 2A sin 2B ，所以cos B cos A ＝sin Asin B ，再由正、余弦定理，得a 2＋c 2－b 22acb 2＋c 2－a22bc＝a b ，化简得(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，即a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．(2012·上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解：在△ABC 中，∵sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，∴由正弦定理知a 2＋b 2<c 2.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，即∠C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．故选C .类型五 解三角形应用举例某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20 n mile 的A 处，并以30 n mile/h 的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过t h 与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile ，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos （90°－30°） ＝900t 2－600t ＋400＝900⎝⎛⎭⎫t －132＋300， 故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30.故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇．解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos30°＝103，AC ＝20sin30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝vt ，此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)假设v ＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D 处相遇，此时AD ＝DO ＝30t .又∠OAD ＝60°，所以AD ＝DO ＝OA ＝20，解得t ＝23. 据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30 n mile/h.这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明如下：如图，由(1)得OC ＝103，AC ＝10，故OC >AC ，且对于线段AC 上任意点P ，有OP ≥OC >AC .而小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，故小艇与轮船不可能在A ，C 之间(包含C )的任意位置相遇．设∠COD ＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt △COD 中， CD ＝103tan θ，OD ＝103cos θ.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t ＝10＋103tan θ30和t ＝103v cos θ，所以10＋103tan θ30＝103v cos θ. 由此可得，v ＝153sin （θ＋30°）.又v ≤30，故sin(θ＋30°)≥32，从而，30°≤θ<90°. 由于θ＝30°时，tan θ取得最小值，且最小值为33. 于是，当θ＝30°时，t ＝10＋103tan θ30取得最小值，且最小值为23.【评析】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简便．(2012·武汉5月模拟)如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．解：(1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，在△ABC 中，由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，BC ＝28.所以渔船甲的速度为v ＝282＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理得AB sin α＝BC sin ∠BAC ，即12sin α＝28sin120°，从而sin α＝12sin120°28＝3314.1．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意解的情况，谨防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，sinA2＝cosB ＋C2，sin2A ＝－sin2(B ＋C )，cos2A ＝cos2(B ＋C )等．4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．5．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．。
正余弦定理的应用
利用正余弦定理，可以求出三角形的 角度，特别是当已知两边及其夹角时。
在三角形边长问题中的应用
计算边长
已知三角形的两边及夹角，正余弦定理可以用来计算第三边的长度。
验证边长条件
在解决三角形问题时，可以使用正余弦定理验证给定的边长是否满足三角形的性质。
在三角函数问题中的应用
计算三角函数值
利用正余弦定理，可以求出三角函数值 ，例如sin、cos或tan。
VS
验证三角函数关系
在解决三角函数问题时，可以使用正余弦 定理验证给定的三角函数关系是否成立。
04
CHAPTER
实际应用举例
பைடு நூலகம்
测量问题中的应用
确定不可达物体的高度
通过测量物体在太阳下形成的阴影长度，结 合正弦定理，可以计算出物体的高度。
正余弦定理的应用
目录
CONTENTS
• 正弦定理的应用 • 余弦定理的应用 • 正余弦定理的综合应用 • 实际应用举例
01
CHAPTER
正弦定理的应用
在三角形边长问题中的应用
确定已知两边及一边对角时，利用正弦定理求第 三边。
已知三角形的两边及其中一边的对角，可以使用 正弦定理求出第三边。
在三角形中已知两边及夹角，可以使用正弦定理 求出第三边。
解决三角函数方程
通过余弦定理，我们可以解决一些三角函数方程，例如求解sin(x) = 1/2在[0,2π]内的 解。
03
CHAPTER
正余弦定理的综合应用
在解三角形问题中的应用
确定三角形形状
通过正余弦定理，可以判断三角形的 形状，例如是否为直角三角形、等腰 三角形或等边三角形。
正弦定理和余弦定理总结
cot A/2 sinA/ 1 cosA 1 cosA /sinA.
sin2 1 cos2 2 2
cos2 1 cos2 2 2
正弦定理
• • • • • 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （2R是此三角形外接圆的半径的两倍） 方法一 证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c 作CH⊥AB垂足为点H
余弦定理
• 两式相加
a2 b2 accos bccos abcos abcos
• 整理得：
a2 b2 c2 2abcos
a2 b2 2ab cos c2
tan（3π/2-α）= cotα
cos（3π/2-α）= -sinα
cot（3π/2-α）= tanα
诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
以上k∈Z
两角和公式
• sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
• sin(α-β)=sinαcosβ –cosαsinβ • cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ • cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
三角函数
锐角三角函数公式
正弦：sin 的对边 的斜边 余弦：cos 的邻边 的斜边
正切：tan 的对边 的邻边
余切：cot 的邻边 的对边
简单的三角函数
• 定义
cot 1 tan
csc 1 sin
1 sec cos
• • • • •
CH=a· sinB CH=b· sinA
正弦定理和余弦定理综合应用
BC
a sin
a sin
sin 180o ( ) sin( )
α
δ
β
γ
D
C
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计
算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。
借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
C
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a, 并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
B
a sin( )
a sin( ) A
AC
sin 180o ( ) sin( )
故sin B AC sin A 5 3 B 38o
BC 14
故我舰航行的方向为北偏东 50o 38o 12o
变式训练1：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
注：阅读教材P12，了解基线的概念
1.2.1 应用举例
公式、定理
正弦定理：a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
三角形边与角的关系：
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
即sin9A0C°－α＝sinBαC－β，∴AC＝sBinCαco－s βα＝sihncαo－s αβ. 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝hscionsαα－sinββ.
中考数学考点解析正弦定理与余弦定理的运用
中考数学考点解析正弦定理与余弦定理的运用中考数学考点解析：正弦定理与余弦定理的运用正弦定理和余弦定理是中学数学中重要的几何定理，广泛应用于解决与三角形相关的各类问题。
本文将针对中考数学中关于正弦定理和余弦定理的考点进行解析，并讨论其运用方法。
一、正弦定理的概念与应用正弦定理是指在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三边AB、BC、AC的边长，A、B、C分别为对应的内角，则有下述关系式成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c正弦定理常用于解决三角形边长或角度未知的问题。
根据正弦定理，我们可以通过已知角度和边长的比例关系，求解未知边长或角度的值。
例如，已知在三角形ABC中，角A的度数为30°，边AC的长度为10cm，边BC的长度为8cm，求边AB的长度。
解析：根据正弦定理，我们有sin30°/10 = sinB/8，通过计算可以得到sinB的值为1/2。
根据反三角函数的定义，我们可以求得角B的度数为30°。
然后再利用三角函数的性质，我们可以得到sinC的值为sqrt(3)/2，进而求解出边AB的长度为12cm。
二、余弦定理的概念与应用余弦定理是指在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三边AB、BC、AC的边长，A、B、C分别为对应的内角，则有下述关系式成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC余弦定理常用于解决三角形边长或角度未知的问题。
相比正弦定理，余弦定理在求解角度时更为常用，尤其适用于已知三边长度求解对应角度的情况。
例如，已知三角形ABC，边AB的长度为5cm，边AC的长度为8cm，角A的度数为45°，求对边BC的长度。
解析：根据余弦定理，我们有BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 * 5 * 8 * cos45°。
通过计算可以得到BC^2的值为25，再开方可以得到BC的长度为5cm。
三、正弦定理与余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理在解决实际问题中常常需要综合运用。
正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明正弦定理概述：正弦定理是三角形的一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的正弦值之间的关系。
正弦定理可以用于求解任意三角形的边长或角度。
正弦定理表达式：在一个三角形ABC中，有以下正弦定理的表达式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C表示三角形的角度。
正弦定理表明，三角形的任意一边的长度与这条边相对的角的正弦值成正比。
正弦定理的证明：可以使用数学推导来证明正弦定理。
这里给出一种较为详细的证明方法。
证明：1. 通过三角形的边长关系：a = b * sin(A) / sin(B)和c = b *sin(C) / sin(B)，可得到以下关系式：a * sin(B) = b * sin(A)和c * sin(B) = b * sin(C)2.利用向量叉积原理知识，假设D为线段BC上的一点，则由向量的垂直性知：向量BD与向量AD是垂直的，向量CD与向量AD是垂直的。
3. 记向量AD为向量a，向量BD为向量b，向量CD为向量c，由向量b与向量a的垂直性可得：向量b·向量a = ，b， * ，a， *sin(∠BA) = b * AD * sin(∠BA)。
4. 同理，由向量c与向量a的垂直性可得：向量c·向量a = ，c，* ，a，* sin(∠CA) = c * AD * sin(∠CA)。
5. 因为∠C + ∠A = ∠BA，即∠CA + ∠BA = 180°，所以sin(∠BA) = sin(∠CA)。
所以有b * AD * sin(∠BA) = c * AD *sin(∠CA)。
6. 即有b * AD * sin(∠BA) = c * AD * sin(∠BA)，那么b = c，所以定理得证。
余弦定理概述：余弦定理是三角形的另一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的角之间的关系。
正弦定理、余弦定理应用
余弦定理的定义
总结词
余弦定理是三角形中另一个重要的定 理，它描述了三角形各边与其对应角 的余弦值之间的关系。
详细描述
余弦定理指出，在任何三角形ABC中，边 长a、b、c与对应的角A、B、C的余弦值 之比都相等，即：a/cosA = b/cosB = c/cosC。这个定理可以通过三角形的相似 性质和直角三角形的勾股定理来证明。
计算三角函数值
已知三角形的两边和夹角，可以利用正弦定理求出其他角的正弦值。
在物理问题中的应用
计算振动频率
在振动问题中，可以利用正弦定理求 出振动的频率。
解决波动问题
在波动问题中，可以利用正弦定理分 析波的传播规律。
03
余弦定理的应用
在几何问题中的应用
确定三角形形状
01
通过余弦定理可以判断三角形是否为直角三角形、等腰三角形
物理问题中的综合应用
1 2
振动和波动问题
利用正弦定理和余弦定理，可以解决一些与振动 和波动相关的物理问题，如简谐振动、波动传播 等。
交流电问题
通过正弦定理和余弦定理，可以解决一些与交流 电相关的物理问题，如电流、电压、功率等。
3
光学问题
利用正弦定理和余弦定理，可以解决一些与光学 相关的物理问题，如光的反射、折射等。
02
正弦定理的应用
在几何问题中的应用
确定三角形形状
通过正弦定理可以判断三角形是直角三角形、等 腰三角形还是一般三角形。
计算角度
利用正弦定理可以求出三角形中未知的角度。
计算边长
已知三角形的两边和夹角，可以利用正弦定理求 出第三边的长度。
在三角函数问题中的应用
求解三角函数方程
利用正弦定理可以将三角函数方程转化为代数方程，从而求解。
正弦定理、余弦定理的综合应用
解题小结：
判断三角形形状时，一般考虑两种变形方向： 一个是化角为边，再进行代数恒等变换求出三条 边之间的关系式。另一个方向是化边为角，再进 行三角恒等变换求出三个角之间的关系式。 两种转化主要应用正弦定理和余弦定理。
练习一
A B C ，则 ABC 是( D ) cos cos cos 2 2 2 A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2R sin A 2R sin B 2R sin C 略解：由正弦定理得： A B C cos cos cos 2 2 2 A A B B C C 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 A B C cos cos cos 2 2 2
a 2 R sin A, b 2 R sin B, c 2 R sin C ,
余 弦 定 理 的 变 式
a sin A , 2R b sin B , 2R c sin C . 2R
2 2 2
b c a cos A , 2bc a2 c2 b2 cos B , 2ac a2 b2 c2 cosC . 2ab
2R sin(B C )
2R sin( A) a sin A a2 sin A
射影定理： a= bcosC＋ccosB,
b=ccosA+acosC,
c=acosB+bcosA
a、b、c, 例3：ABC中，A、B、C所对的边分别为
cos B b 且 , 求B的大小。 cos C 2a c
a、b、c, 练习二 ABC中，A、B、C所对的边分别为 c 1 2 2 2 若b c bc a , 且 3, 求A和 tan B的大小。 b 2 2 b c2 a2 1 解：由余弦定理知：cos A ， （ 化 2bc 2 0 A 180, A 60, 边 c 1 为 3 且由正弦定理知 c sin C , b 2 角 b sin B sin C 1 3 又C 180 ( A B) 120 B, ） sin B 2
1.1.3正、余弦定理的综合应用课件人教新课标
3，
因此 c＝ 6－ 2.
又∵sianA＝sincC，
∴sinA＝asicnC＝
2s6i－n15°2＝2×6－6－4 2
2 ＝21.
∵b>a，∴B>A．又∵0°<A<180°，
∴A 必为锐角，即 A＝30°.
(2)在△ABC 中，已知 a:b:c＝2: 3: 5，求△ABC 中各内角
的余弦值．
(2)令 a＝2k，b＝ 3k，c＝ 5k(k>0)，由余弦定理，得
[答案] B [解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S△ABC＝12acsinB＝12· 2·1·sinB＝12， ∴sinB＝ 22，∴B＝π4或34π. 当 B＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形， 不符合题意，舍去． ∴B＝34π，根据余弦定理， b2＝a2＋c2－2accosB，解得 b＝ 5，故选 B.
， 得 bc ＝ ssiinnCB ＝ ssiinn3BB ＝
sinB＋2B sinB
＝
sinBcos2Bs＋inBcosBsin2B＝cos2B＋2cos2B＝4cos2B－1.
∵A＋B＋C＝180°，C＝3B，∴0°<B<45°，即 22<cosB<1，
∴12<cos2B<1，故
c 1<b<3.
边长为 a＋2.
a2＋a＋12－a＋22 a－3
根据余弦定理，cosα＝
2aa＋1
＝ 2a .
∵90°<α≤120°，∴－12≤cosα<0，
即－12≤a－ 2a3<0. ∵a 为正实数，解得32≤a<3.即所求 a 的取值范围是[32，3)．
在△ABC 中，C＝3B，求bc的取值范围．
正弦定理和余弦定理的综合应用
cos C＝ 2ab .
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
asin C＝csin A.
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定理
正弦定理
解决的 问题
①已知两角和任一边，求另一 角和其他两条边；“AAS、ASA” ②已知两边和其中一边的对 角，求另一边和其他两角.“ASS”
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•
(1)已知两边和一边的对角解三角形时，可能出现两解、一
解、无解三种情况，解题时应根据已知条件具体判断解的情况，常用方法是根据图形
或由“大边对大角”作出判断或用余弦定理列方程求解．
• (2)三角形中常见的结论
• ①A＋B＋C＝π.
• ②三角形中大边对大角，反之亦然．
• ③任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
题型一：利用正弦、余弦定理解三角形 题型二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
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利用正弦、余弦定理解三角形
【考向探寻】 1．利用正弦定理解斜三角形． 2．利用余弦定理解斜三角形．
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【典例剖析】
(1)(2013·抚顺模拟)△ABC 的三个内角 A，B，C 所
对的边分别为 a，b，c，设向量 p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－
定理
变 形 形 式
正弦定理
余弦定理
①a＝ 2Rsin A ，
b＝ 2Rsin B ，
c＝ 2Rsin C ； ②sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝2cR； (其中 R 是△ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C
(完整版)正弦定理、余弦定理综合训练题含答案
正弦定理、余弦定理综合训练题1. ［2016全国卷I ］ △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c.已知a = 5, c = 2, cos A = 2，则 b =() A. .2B. 3 C . 2D . 32 1［解析］D 由余弦定理得5= b 2 + 4-2 X b X 2X 3,解得b = 3或b =- 3(舍去)，故选D. n 1B = —, BC 边上的高等于§BC ，贝U sin A =( )D.S 10D ，设BC = 3,则有 AD = BD = 1 , AB = 2，由余弦定理 得AC = \ 5.由正弦定理得 “5= s^A , n sin Asin ’43. ［2013新课标全国卷I ］已知锐角厶 A + cos 2A = 0, a = 7, c = 6，贝U b =( A . 101［解析］D 由23cos2A + cos 2A = 0,得25cos2A = 1•因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A =. 51 12在A ABC 中，根据余弦定理，得 49 = b 2 + 36- 12b •即卩b 2—厂b5 545 4. ________________ ［2016全国卷n ］ △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若cos A =5, cos C = ^, a = 1，贝U b= .4 53 12［解析］因为cos A = 5, cos C = 13，且A , C 为三角形的内角，所以sin A = 5, sin C =〔3, sin63 「, a b ~― asin B 21B = si n(A + C)= sin AcosC + cos As in C = 65.又因为 sin A = sin B ，所以 b = sin A =伯. 13—13 = 0,解得 b = 5 或 b =— 5 (舍去).5. ［2015 全国卷 I ］已知 a , b , c 分别是△ ABC 内角 A , B , C 的对边，sin 2B = 2sin Asin C. (1)若 a = b ,求 cos B;⑵若B = 90°，且a =〔 2, 求厶ABC 的面积. 解：(1)由题设及正弦定理可得b 2 = 2ac.又a = b ，所以可得b = 2c , a = 2c.2. ［2016全国卷川］在厶ABC 中, ［解析］D 作AD 丄BC 交BC 于点解得sin A =学=噜ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 23COS 2D . 5⑵由(1)知 b 2= 2ac.因为B = 90°，所以由勾股定理得a 2+ c 2= b 2. 故 a 2 + c 2= 2ac ,得 c = a = 2, 所以△ABC 的面积为1.6. [2015 全国卷n ] △ ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分/ BAC , BD = 2DC. sin / B (1)求跖/C ； ⑵若/ BAC = 60°，求/ B. 解：(1)由正弦定理得AD _ BD AD _ DC sin ZB sin /BAD’ sin ZC sin /CAD 因为AD 平分Z BAC , BD = 2DC ，所以 sin ZB DC 1 sinZC BD 2⑵因为/C = 180°—/BAC + /B),/BAC = 60°,所以、i'3 1sin ZC = sin( ZBAC +/B)= ? cos/B + in ZB.V 3由(1)知 2sinZB = sin/C ,所以 tanZB = 3，即/B = 30°7. [2014新课标全国卷n ]四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB = 1, BC = 3, CD 2.(1)求 C 和 BD ;⑵求四边形ABCD 的面积.解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2= BC 2+ CD 2— 2BC CDcos C =13 — 12cos C ,①BD 2= AB 2+ DA 2— 2AB DAcos A由余弦定理可得 cos B =a 2+ c 2— b2ac1 4.DA ==5 + 4cos C .②1 —由①②得 cos C = 2，故 C = 60°,BD =7.⑵四边形ABCD 的面积1 1S = ?AB DA si n A + ?BC CDsi n C1 1/ 1X 2 + 2 x 3X 2 sin 60°=2 38. ［2016 山东卷］△ ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c.已知 b = c , a 2= 2b 2(1 — sin A), 贝U A =(nCG'•b = c , a 2 = 2b 2( 1 — sin A),「.2b 2sin A = b 2+ c 2— a 2= 2bccos A = 2b 2cos A ,「.tanA=1，即 A = 4. 9.［2015广东卷］设厶ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c.若a = 2, c = 2.3, cos A =于且b<c ,则b =( ) A . 3B . 2 .2C . 2D. 3［解析］C 由余弦定理得 a 2= b 2 + c 2— 2bccos A ，所以22 = b 2+ (2\'勺)2— 2x b x 2屈，即卩 b 2— 6b + 8= 0，解得 b = 2 或 b = 4•因为 b<c,所以 b = 2. 10. ［2016上海卷］已知△ ABC 的三边长分别为3, 5, 7,则该三角形的外接圆半径等于32+ 52 — 72 1［解析］利用余弦定理可求得最大边 7所对角的余弦值为2x 3x 5 =—2，所以此角的正弦值为牙•设三角形外接圆的半径为R ,由正弦定理得2R=^|，所以R = 于.22冗 b11. ________________________________________________________ ［2016 北京卷］在厶 ABC 中，/ A =〒，a = ■. 3c ,则b = _______________________________ .3 c2 n b b［解析］由余弦定理 a 2= b 2+ c 2— 2bccos A 可得，3c 2= b 2+ c 2— 2bccos 3，整理得 2+ — 2= 0,3 c cnD.?［解析］C解得b= 1或c=—2（舍去）.12. [2016浙江卷]在厶ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.已知b + c = 2acos B. (1)证明：A = 2B ;2⑵若cos B = 3,求cos C 的值.解：⑴证明：由正弦定理得 sin B + sin C = 2sin Acos B ,故 2s in Acos B = sin B + sin (A + B)= sin B + sin Acos B + cos As in B ,于是 sin B = sin (A — B). 又 A , B € (0, n )，故 O V A — B Vn, 所以 B =n —(A — B)或 B = A — B , 因此A =%(舍去)或A = 2B ，所以A = 2B.=—cos(A + B) = — cos Acos B + sin A sin B =⑵由cos B =cos 2B = 2cos 2B — 1 = — 9,故 cos A =— 9, sin sin cos C。
正余弦定理综合应用
在学习正余弦定理的过程中，学生可以尝试将所学的知识应用到实际的问题中。例如，可以尝试解决一些实际的结构 设计问题，或者利用三角函数的知识解决一些物理实验中的问题。
持续反思
在学习过程中，学生应该持续反思自己的学习方法和效果。例如，可以思考如何提高自己的解题速度和 准确性，如何更好地理解和运用三角函数的知识等。同时，也可以尝试探索一些新的学习方法，如利用 信息技术工具辅助学习等。
04
正余弦定理的综合应用
定理的综合应用方法
三角形面积计算
利用正弦定理计算三角形的面 积，公式为$S =
frac{1}{2}absin C$。
边角互换
通过正余弦定理，可以将三角 形的边长转换为角度或者将角 度转换为边长。 Nhomakorabea解三角形问题
利用正余弦定理解决解三角形 问题，例如求三角形的角度、 边长等。
判断三角形的形状
05
总结与反思
总结正余弦定理的综合应用
应用领域
正余弦定理在数学、物理和工程领域都有广泛的应用。在数学中，它可以用于解决三角形 的问题，如求角度、边长等。在物理中，它可以用于解决振动、波动和力的问题。在工程 中，它可以用于结构设计、桥梁和建筑物的稳定性分析等。
解题技巧
正余弦定理的运用需要掌握一些基本的解题技巧。例如，如何根据题目的条件选择合适的 定理，如何将复杂的问题分解为简单的部分，如何利用已知的信息推导出未知的信息等。
THANKS
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正余弦定理综合应用
• 引言 • 正弦定理的应用 • 余弦定理的应用 • 正余弦定理的综合应用 • 总结与反思
01
引言
背景介绍
01
三角函数在数学、物理和工程领 域有广泛应用，正余弦定理是解 决三角问题的基本工具。
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第二节 正余弦定理判断三角形形状1.在△ABC 中，若a bA B22=tan tan ，试判断△ABC 的形状.2.在△ABC 中，B b A a cos cos =，判断△ABC 的形状.3.如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形 C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形 D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形解斜三角形1..在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．2.在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、， 设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值．3.在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果222c b a +<，求A 的取值范围.4.在△ABC 中，c =+62，C ＝30°，求a ＋b 的最大值.5.在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A.6.A B C ∆的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =--,若//p q,则角C 的大小为( )(A)6π(B)3π(C)2π(D)23π7.已知等腰A B C △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） Ａ．32Ｂ．3 Ｃ．158Ｄ．1578.在A B C ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___________.综合运用12.如图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.（1）证明 sin cos 20αβ+=; （2）若AC=3DC,求β的值.13.在锐角A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知22sin 3A =，（1）求22tansin22B C A ++的值；（2）若2a =，2ABC S =△，求b 的值．14.如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段MN 经过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（233ππα≤≤）（1） 试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数 （2） 求y ＝221211S S ＋的最大值与最小值.15.在2545,10,cos 5ABC B AC C ∆∠=︒==中，,求：（1）B C (2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。
16.如图，在ABC ∆中，2A C =，1B C =，43cos =C ．（1）求A B 的值； （2）求()C A +2sin 的值.BD Cαβ A图3αDABCMN正、余弦定理的五大命题热点正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。
在近年高考中主要有以下五大命题热点： 一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．例1(2005年全国高考江苏卷) ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πBD ．36sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果． 解：由正弦定理得：32sin sin sin sin sinsin sin()33b c b c b cBCB CB B ππ++====++-，得b ＋c ＝23[sin B ＋sin(23π－B )]＝6sin()6B π+．故三角形的周长为：3＋b ＋c ＝36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ，故选(D)．评注：由于本题是选择题也可取△ABC 为直角三角形时，即B ＝6π，周长应为33＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．例2(2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ．解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且36221==AB DE ，设BE ＝x在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BEBDcos 2222⋅-+=，x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去）故BC =2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ，故22123sin 306A=，1470sin =A二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．例3(2005年北京春季高考题)在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c Aa=，再由余弦定理，得cos B ＝2222a c bac+-．∴2222a c bac+-＝2c a，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)．评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．三、 解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．例4(2005年全国高考上海卷) 在A B C ∆中，若120A ∠=，5A B =，7B C =，则A B C ∆的面积S ＝_________分析：本题只需由余弦定理，求出边AC ，再运用面积公式S ＝21AB •AC sin A 即可解决．解：由余弦定理，得cos A ＝2222254912102AB AC BCAC AB ACAC +-+-==-∙∙，解得AC ＝3．∴ S ＝21AB •AC sin A ＝4315．∴21AB •AC •sin A ＝21AC •h ，得h ＝AB • sin A ＝223，故选(A)．四、求值问题例5(2005年全国高考天津卷) 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、， 设c b a 、、满足条件222a bc c b=-+和321+=bc ，求A ∠和B tan 的值．分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理212cos 222=-+=bcac b A ，因此，︒=∠60A在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理BB BC bc sin )120sin(sin sin 321-︒===+,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=B BBB 解得,2cot =B 从而.21tan =B五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。
分析：求河的宽度，就是求△ABC 在AB 边上的高，而在河的一边，已测出AB 长、∠CAB 、∠CBA ，这个三角形可确定。
解析：由正弦定理得sin sin A C A B C B AA C B=∠∠，∴AC=AB=120m ，又∵11sin 22A B C S A B A C C A B A B C D =⋅∠=⋅ ，解得CD=60m 。
点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。
（二.）遇险问题例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。
若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在A 点处观测到灯塔S 在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B 点，测得S 在东30°北的方向上。
在△ABC 中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S 作SC ⊥直线AB ，垂足为C ，则SC=15sin30°=7.5。
这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。
点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。
（三.）追击问题例3 如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南 偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航 行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？ 解析：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。
在△ABC 中，AC=28t ，BC=20t ，AB=9， 设∠ABC=α，∠BAC=β。
∴α=180°－45°－15°=120°。
根据余弦定理2222cos AC AB BC AB BC α=+-⋅，()()2212881202920()2t t t =+-⨯⨯⨯-，西北 南东 ABC30° 15°图2图1ABCD图3A B C北 45°15°212860270t t --=，（4t －3）（32t+9）=0，解得t=34，t=932（舍）∴AC=28×34=21 n mile ，BC=20×34=15 n mile 。