复变函数第一章ppt 3
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复变函数课件3-1复变函数积分的概念
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留数法适用于具有无穷远点性质的复变函数，如幂函 数、对数函数等。
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可加性
如果两个积分路径不相交 ，则两个积分之和等于它 们各自独立积分的和，即 ∫f(z)dz=∫f(z)dz+∫f(z)dz 。
可积性
对于可积的复变函数f(z) ，其积分值存在且有限。
积分计算方法
参数方程法
通过参数方程将复数z表示 为实数t的函数，然后利用 实数域中的定积分进行计 算。
直角坐标法
将复数z表示为直角坐标系 中的x和y，然后利用二重 积分进行计算。
复变函数课件3-1复变 函数积分的概念
目录
• 引言 • 复变函数积分的基本概念 • 复变函数积分的几何意义 • 复变函数积分的物理意义 • 复变函数积分的性质和定理 • 复变函数积分的计算方法
CHAPTER 01
引言
课程背景
复变函数是数学的一个重要分 支，它研究复数域上的函数的 性质和变化规律。
数。
积分路径
在复数平面上，积分路径通常是一 条封闭曲线，可以是实线、虚线或 曲线。
积分值
复变函数积分的值是一个复数，其 实部和虚部分别对应于该函数在积 分路径上的定积分和二重积分。
积分性质
01
02
03
线性性质
复变函数积分具有线性性 质，即 ∫(af(z)+bg(z))dz=a∫f(z) dz+b∫g(z)dz。
数轴上的积分。
参数方程法的关键在于找到合适的参数 方程，以便简化积分计算。在选择参数 方程时，我们需要考虑函数的性质和积
复变函数与积分变换PPT_图文_图文
x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直
《复变函数第3讲》课件
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几何意义
复变函数的导数定义为函 数在复平面上的切线的斜 率。
STEP 03
计算方法
通过极限定义，利用实部 和虚部的导数计算复变函 数的导数。
导数表示函数在某一点的 切线斜率，即函数在该点 的变化率。
复数函数的积分
定义
复数函数的积分定义为复平面上的曲线下的面 积。
几何意义
积分表示函数在曲线下的面积，即函数在某个 区间上的增量。
幂级数的性质
幂级数具有很多重要的性质，如 收敛性、可导性、可积性等。这 些性质使得幂级数在数学和物理 中有广泛的应用。
幂级数的应用
幂级数在数学分析、微积分、复 变函数等领域有广泛的应用。例 如，它可以用来求解微分方程、 积分方程，以及研究函数的性质 等。
泰勒级数
泰勒级数的定义
泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，它以一个函数为中心，展开成幂的形式。
复变函数的连续性
定义
如果对于任意给定的正数 ε，存在一个正数 δ，使得当 |z - z0| < δ 时，有 |f(z) - f(z0)| < ε，则称 f(z) 在 z0 处连续。
性质
连续性具有传递性、局部性、可加性、可乘性和复 合性。
判定方法
利用连续性的定义和性质进行判定。
复数函数在无穷远点的极限
柯西积分公式
对于全纯函数，可以通过柯西积分公式计算 其在任意点的值。
全纯函数的积分表示
积分公式
全纯函数的积分表示为沿任意简单闭曲线的积分。
柯西积分定理
对于全纯函数，其沿任意简单闭曲线的积分等于零。
柯西积分公式与全纯函数的积分表示
全纯函数的积分表示可以通过柯西积分公式得到。
复变函数1第三章ppt课件
思考题答案
若C是实轴上 [,区 ], 间 则 f(z)dzf(x)dx, C
如果f(x)是实值, 的 即为一元实函数的定积分.
一般不能把 ,起 终点为 的函f数 (z)的积分
记作 f(z)dz,因为这是一,个 要线 受积 积分 分路 线的限 ,必制 须记 f作 (z)dz.
C
§3.2 柯西积分定理
例4 设C为从原点3到 4i点 的直线 , 段
试求积C分 z1idz绝对值的一.个上
解 C 的参数 z(3 方 4i)t,程 (0 t 为 1)
根据估值不等式知
C
z
1
i
dz
C
z
1
i
ds
因为 C上 ,在 1 1 zi 3t(4t1)i
1 (3t)2(4t1)2
1
25
t
2452
9 25
5 3
一、基本定理 二、原函数 三、复合闭路定理
例3 计算(2 积 z2 ez 分 co z)z d s . z 5
解 函 2 z2 数 ez co z在 s 闭 z5 区 上,域 解
根据柯西－古萨定理，有
(2z2ezco z)s z d 0.
例4
计
z5
算
积 zi1 z分 2e5zz6d.z
解
函 数ez 的 z25z6
C
0
0
2
又 C z 因 d z C ( x 为 i) y d x ( id y )
Cx d xyd yiCyd xx d y
这两个积分都与路线C 无关
所以不 C是 论怎样从原 34i点 的曲 到,线 点 都有
zdz1(34i)2.
C
2
例2 计算 CRezdz, 其中 C为:
复变函数论.ppt
零点。
• 证： 取
f z at z nt
z a0 z n at1z nt1 at1z nt1 an
易验证在单位圆周上，有
f z z
• 依儒歇定理知 pz f z z
在单位圆内的零点，与 f z at z nt 在单位圆一样多，即 n t 个。
辅导课程十八
§3 辐角原理与儒歇定理
• １ 对数残数与辐角原理
形如
1
2i
f f
zzdz
的积分称为对数残数
n • 引理6.4 （1）设 a 为 f z 的
a 级零点，则 必为函数 f z 的
f z
一级极点，且
Rzeas
f f
z
z
n
• （2）设 b 为 f z 的 m 级极点，
• 例6.14 试证：当 a e 时，方程
e z az n 0
在单位圆 z 1 内有 n 个根。
• 证： 在单位圆周 z 1 上，有 az n a e e z eRe z e z e az n e z
• 由儒歇定理
N en azn，z 1 N azn，z 1 n
• （2） 在 C 上， f z z
则 N f ,C N f ,C
例6.13 设 n 次多项式
pz a0 z n at z nt an a0 0
合条件
at a0 at1 at1 an
则 pz 在单位圆 z 1 内有 n t 个
f z f z
z
n
a
g z gz
因右端第二式解析，故 a 为 f z 的 一级极点，且（1）式成立。 f z
• 证： 取
f z at z nt
z a0 z n at1z nt1 at1z nt1 an
易验证在单位圆周上，有
f z z
• 依儒歇定理知 pz f z z
在单位圆内的零点，与 f z at z nt 在单位圆一样多，即 n t 个。
辅导课程十八
§3 辐角原理与儒歇定理
• １ 对数残数与辐角原理
形如
1
2i
f f
zzdz
的积分称为对数残数
n • 引理6.4 （1）设 a 为 f z 的
a 级零点，则 必为函数 f z 的
f z
一级极点，且
Rzeas
f f
z
z
n
• （2）设 b 为 f z 的 m 级极点，
• 例6.14 试证：当 a e 时，方程
e z az n 0
在单位圆 z 1 内有 n 个根。
• 证： 在单位圆周 z 1 上，有 az n a e e z eRe z e z e az n e z
• 由儒歇定理
N en azn，z 1 N azn，z 1 n
• （2） 在 C 上， f z z
则 N f ,C N f ,C
例6.13 设 n 次多项式
pz a0 z n at z nt an a0 0
合条件
at a0 at1 at1 an
则 pz 在单位圆 z 1 内有 n t 个
f z f z
z
n
a
g z gz
因右端第二式解析，故 a 为 f z 的 一级极点，且（1）式成立。 f z
复变函数ppt第一章
y
y
i
0
r
θ
z ．,=y)x + iy (x
x
x
x = r cos θ y = r sin θ
(3) 指数形式
z = r cos θ + ir sin θ
Euler eiθ = cos θ + i sin θ
iθ
28
z = re
常根据需要,三种形式相互转换.
例3 将下复数化为指数形式
z = 1 − cos ϕ + i sin ϕ
32
例6
求复数 z = −4e
参考解答
π
3
i
的模和辐角主值.
例7
已知正三角形的两个顶点为(0,0),(3,2), 求另一顶点.
参考解答
完
33
思考 已知正方形的两个对角顶点为(0,0),(1,1),求另 一对顶点. Ref：(0,1),(1,0) y
z2
z1(1,1)
0
z3
x
完
34
复数的幂与方根
(2) z = 3 + i
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
完
23
辐角
辐角 实轴正向到非零复数z所对应的向量oz 间的夹角 θ 满足 y tgθ = x 称为复数z 的辐角(Argument).
记作 θ = Argz ,任何非零复数都有无穷多个 的辐角.
24
辐角主值
常以a rg z表示一个特定值
−π < a rg z ≤ π
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
例4 求-4-3i 的辐角
参考解答
例5 已知z=x+iy(z=0),证明Argz=-Argz, 并讨论argz 和 argz 的关系.
y
i
0
r
θ
z ．,=y)x + iy (x
x
x
x = r cos θ y = r sin θ
(3) 指数形式
z = r cos θ + ir sin θ
Euler eiθ = cos θ + i sin θ
iθ
28
z = re
常根据需要,三种形式相互转换.
例3 将下复数化为指数形式
z = 1 − cos ϕ + i sin ϕ
32
例6
求复数 z = −4e
参考解答
π
3
i
的模和辐角主值.
例7
已知正三角形的两个顶点为(0,0),(3,2), 求另一顶点.
参考解答
完
33
思考 已知正方形的两个对角顶点为(0,0),(1,1),求另 一对顶点. Ref：(0,1),(1,0) y
z2
z1(1,1)
0
z3
x
完
34
复数的幂与方根
(2) z = 3 + i
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
完
23
辐角
辐角 实轴正向到非零复数z所对应的向量oz 间的夹角 θ 满足 y tgθ = x 称为复数z 的辐角(Argument).
记作 θ = Argz ,任何非零复数都有无穷多个 的辐角.
24
辐角主值
常以a rg z表示一个特定值
−π < a rg z ≤ π
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
例4 求-4-3i 的辐角
参考解答
例5 已知z=x+iy(z=0),证明Argz=-Argz, 并讨论argz 和 argz 的关系.
《复变函数》第一章 复数与复变函数
( z ≠ 0)
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
复变函数第三版课件第一章
3
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1
复变函数相关ppt3
总结判断函数解析性的方法： 多项式函数在复平面内处处解析； 对于有理分式函数，使分母为零的点是它的奇点， 其余点处都解析； 对于初等函数（见后面介绍）； 对于其余函数可用导数定义，或今天所讲定理。
二、定理的应用 2、由函数解析性来确定某些参数
例2.2：设f(z)=x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ). 求a, b, c, d 使得f(z)在复平面内处处解析。
在复变函数中，处处连续但又处处不可导的函数很多。
下面举例说明：怎样用定义求导； 处处连续但又处处不可导的例子。
1 例：求 f ( z ) = ,(z ≠ 0)的导数。 z 常用的求导公式与法则（ p15）。
例：处处连续但又处处不可导的例子。
f ( z ) = x + 2yi
二、解析函数的概念
如 果 f ( z ) 在 z 0 及 z 0的 邻 域 内 处 处 可 导 ， 则 称 f ( z )在 z 0处 解 析 ； 如 果 f ( z ) 在 区 域 D内 每 一 点 解 析 ， 则 称 f ( z )
一、判断函数解析性的相关定理
定理 2.1 设 函数 f ( z ) = u ( x , y ) + iv ( x , y )在 点 z = x + iy 处可 导 的充 要 条件 是
1、实部u ( x, y )和虚部 v ( x, y )在点( x, y )处可微； 2、u( x, y)和v( x, y)满足柯西-黎曼方程（简称C − R方程）：
在 D内 解 析 ， 或 说 f ( z )是 D内 解 析 函 数 ；
奇点：如果f ( z )在z0不解析，则称z0为f ( z )的奇点。
复变函数论第三版钟玉泉PPT第一章
3
两个共轭复数 z, z 的积是一个实数.
2014-9-10
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
5. 复数域: 全体复数在四则运算这个代数结构下构 成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代数学 中所研究的域的概念的实例. 6. 共轭复数的性质: z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 2 2 z2 ( 2) z z; ( 3) z z Re( z ) Im( z ) ; (4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ). z1 z1 例1 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2 解 z1 (5 5i )( 3 4i ) 5 5i z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i ) ( 15 20) (15 20)i 7 1 z1 i. 7 1 i. 25 5 5 z2 5 5
向量的长度称为z 的模,
记为 z r x y . 显然下列各式成立 x z, y z, z x y, 2 z z z z2 .
2 2
6
y
y
( x, y )
r
Pz x iy
o
x
x
2014-9-10
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
2. 复数的辐角 在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示
例3 化简 5 12i . 解 设 5 12i x iy, 5 12i ( x 2 y 2 ) 2 xyi, x 2 y 2 5, x 3, y 2, 2 xy 12 5 12i (3 2i ).
《复变函数》(工科)课件 No.3
8
无界区域的例子
角形域:0<arg z<j
y
y
上半平面:Im z>0
j
x
x
b
y
带形域:a<Im z<b
a
x
9
2. 曲线 单连通域 多连通域 平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表 示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的 实变函数, 则方程组 x=x(t), y=y(t), (atb) 代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令 z(t)=x(t)+iy(t) 则此曲线可用一个方程 z=z(t) (atb) 来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.
18
在以后的讨论中, 定义集合G常常是一个平 面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数. 由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定 了两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样地对应 着一对实数u和v, 所以复变函数w和自变量z之 间的关系w=f(z)相当于两个关系式: u=u(x,y), v=v(x,y), 它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函 数.
z1
区域 z2
不连通
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
设D为复平面内的一个点集, 如果点P的任 意邻域内总包含有D中的点,也包含有D的余 集中的点,这样的点P称为D的边界点. D的所 有边界点组成D的边界. 区域的边界可能是由 几条曲线和一些孤立的点所组成的.
C3
z
g1 g2
C1
C2
6
区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作D. 如果一个区域可以被包含在一个以原点为 中心的圆里面, 即存在正数M, 使区域D的每个 点z都满足|z|<M, 则称D为有界的, 否则称为 无界的. y
无界区域的例子
角形域:0<arg z<j
y
y
上半平面:Im z>0
j
x
x
b
y
带形域:a<Im z<b
a
x
9
2. 曲线 单连通域 多连通域 平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表 示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的 实变函数, 则方程组 x=x(t), y=y(t), (atb) 代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令 z(t)=x(t)+iy(t) 则此曲线可用一个方程 z=z(t) (atb) 来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.
18
在以后的讨论中, 定义集合G常常是一个平 面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数. 由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定 了两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样地对应 着一对实数u和v, 所以复变函数w和自变量z之 间的关系w=f(z)相当于两个关系式: u=u(x,y), v=v(x,y), 它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函 数.
z1
区域 z2
不连通
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
设D为复平面内的一个点集, 如果点P的任 意邻域内总包含有D中的点,也包含有D的余 集中的点,这样的点P称为D的边界点. D的所 有边界点组成D的边界. 区域的边界可能是由 几条曲线和一些孤立的点所组成的.
C3
z
g1 g2
C1
C2
6
区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作D. 如果一个区域可以被包含在一个以原点为 中心的圆里面, 即存在正数M, 使区域D的每个 点z都满足|z|<M, 则称D为有界的, 否则称为 无界的. y
复变函数课件1
2 2
z = (1+ cosθ) + sin θ = 2(1+ cosθ) = 2cos 2 sin θ θ =θ arg z = arctan = arctan(tan ) 2 1+ cosθ 2
θ
z = 2cos cos + i sin 2 2 2
θ
θ
θ
1.3 复数在几何上的应用
例题2
3 i −1 = 3 −1− 1− i 3 i −1 = 2, 1−i = 2
( z=
)
2
(
3 +1 i
)
arg(1−i) = arctan( −1) = −π 4 −π i 2π i 3 1− i = 2e 3 i −1 = 2e ,
arg 3 i −1 = π + arctan( − 3) = 2π 3
z1 z1 = (z2 ≠ 0) z z 2 2
4.复数的绝对值（模） 对复数 z = x + iy 其绝对值（模）记为
z = x +y
2
2
z =0⇔ z =0
Re z ≤ z , Imz ≤ z
z ≤ Re z + Im z ≤ 2 z
zz = z , z = z
2
z1 z1 z1z2 = z1 z2 , = (z2 ≠ 0) z2 z2
S : x + x + (x3 − r) = r (1)z ∈C ⇒ ∃P ∈ S (2)P ∈ S, P ≠ N ⇒ ∃z ∈C
2 1 2 2 2 2
(3)北 N ↔无 远 ∞ 极 穷 点
球 S ↔扩 复 面 ∞ 面 充 平 C
x3
S
x3
z = (1+ cosθ) + sin θ = 2(1+ cosθ) = 2cos 2 sin θ θ =θ arg z = arctan = arctan(tan ) 2 1+ cosθ 2
θ
z = 2cos cos + i sin 2 2 2
θ
θ
θ
1.3 复数在几何上的应用
例题2
3 i −1 = 3 −1− 1− i 3 i −1 = 2, 1−i = 2
( z=
)
2
(
3 +1 i
)
arg(1−i) = arctan( −1) = −π 4 −π i 2π i 3 1− i = 2e 3 i −1 = 2e ,
arg 3 i −1 = π + arctan( − 3) = 2π 3
z1 z1 = (z2 ≠ 0) z z 2 2
4.复数的绝对值（模） 对复数 z = x + iy 其绝对值（模）记为
z = x +y
2
2
z =0⇔ z =0
Re z ≤ z , Imz ≤ z
z ≤ Re z + Im z ≤ 2 z
zz = z , z = z
2
z1 z1 z1z2 = z1 z2 , = (z2 ≠ 0) z2 z2
S : x + x + (x3 − r) = r (1)z ∈C ⇒ ∃P ∈ S (2)P ∈ S, P ≠ N ⇒ ∃z ∈C
2 1 2 2 2 2
(3)北 N ↔无 远 ∞ 极 穷 点
球 S ↔扩 复 面 ∞ 面 充 平 C
x3
S
x3
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r n [cos( n ) i sin( n )] r n e n .
从而有 z
n
r e
n in
3.复数的方根 （开方）——乘方的逆运算
问题 给定复数 z = re i ，求所有的满足ωn = z 的
复数ω。 当 z ≠0 时，有n个不同的ω值与 z 相对应，每一 个这样的ω值都称为 z 的 n次方根，
代入（ *） 式 得 方 程 的 根 为 ： 3 2 3 2 (2 )i z1 2 2 . z 3 2 ( 2 3 2 )i 2 2 2
当 k=0，1，…，n-1 时，可得n 个不同 的根，而 k 取其它整数时，这些根又会重复出 现。 几何上， n z 的 n个值是以原点为中心，n r 为半 径的圆周上 n个等分点，即它们是内接于该圆周 的正 n边形的 n个顶点。
例1 求
4
1 i
1
y
2
8
1 i
解： 1 i 2 ， arg( 1 i)
2 故 Argz arg z 2k arctan ( 2k 1) 23 ( k 0,1,2,).
2.复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作 z n，即z n = zzz（共n个）。 设z = re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法 可证明 zn = rn(cosnθ+isinnθ) = rneinθ。
( 3 2i )(5 4i ) 而 z (5 4i )(5 4i )
(15 8) (10 12)i 5 4
2 2
23 2 i 41 41
23 2 z i 41 41 2 2 41 arg z arctan ＋ arctan ＋， 23 23 41
设 z1 r1e , z2 r2e
i1
i 2
由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2
∵ |z||z1| = |z2| 及 Argz1+Argz = Arg z2 （z2≠0）
∵ |z||z1| = |z2| 及 Argz1+Argz = Arg z2 （z2≠0） Argz = Argz2－Argz1 即：
几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。 y
(z)
z1 z2
2
z2
z1
x
o
2
1
定理1可推广到n 个复数的乘积。
定理2
两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的幅角等于被除数与除 数的幅角之差。
即
证明
z1 z1 z1 及 Arg Argz1 Argz2 . z2 z2 z2
故
2k 2k 9i 9 cos( ) i sin( ) 4 2 4 2
3 2 分别 取 k 0,1 得 ， 9i ( 1 i ) 2
z 2i 9i
(*)
3 2 分别 取 k 0,1 得 ， 9i ( 1 i ) 2
z2=r2(cosθ2+ isinθ2)= r2e iθ2
则 z1z2 = r1r2(cosθ1+ isinθ1)( cosθ2+ isinθ2)
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2)
= r1r2(cos(θ1+θ2)+ isin(θ1+θ2)) = r1r2e i(θ1+θ2) 因此 |z1z2| = r1r2=|z1| |z2| ， Arg(z1z2) = Argz1+Argz2
§3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘积与商
2. 复数的乘幂 3.复数的方根
1. 乘积与商
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的幅角等于它们的幅角相加。
即
证明
z1 z2 z1 z2 Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
设 z1=r1(cosθ1+ isinθ1)= r1e iθ1
2
0
4
，
2
o
3
x
1 i 2 (cos
i sin ) 4 4
故 k 4 1 i 8 2 (cos 4
2k
i sin 4
2k 4 )
4 ( k 0,1,2,3（ ) 见图）
例 2 解方程 z 2 4iz (4 9i) 0 .
解：配方 z 2 4iz (2i )2 4 (4 9i ) 0,
即 ( z 2i)2 9i, 则 z 2i 9i
9i 9, arg(9i )
(*)
, 9i 9[cos( ) i sin( )] 2 2 2
记
n z
i n
设 e , 由 z, 有 ne in re i
n r , n 2k (k Z )
z re n 2k n
n n
i
2 k
r (cos
n
i sin
2k
n
)
(k 0,1,2,, n 1)
特别：当|z|=1时，即：zn = cosnθ+isinnθ，则有
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ 一棣模佛(De Moivre)公式。
定义
z
n
1 n. z
n
由定义： z
r
n
1 1 n n z r (cosn i sin n )
cos n i sinn cos2 n sin2 n
z2 r2 i ( 2 1 ) z e z1 r1
z1 z1 z1 及 Arg Argz1 Argz2 . z2 z2 z2
3 2i 例 设 z ， 求 z 及 Argz . 5 4i
3 2i 13 解： z , 5 4i 41