单调性的定义
函数的简单性质-单调性
求最值
求函数最大值
在闭区间上，如果函数在某区间内单 调递增，那么该函数在此区间内取得 最大值。同样，如果函数在某区间内 单调递减，那么该函数在此区间内取 得最小值。
求函数最小值
在闭区间上，如果函数在某区间内单 调递增，那么该函数在此区间内取得 最小值。同样，如果函数在某区间内 单调递减，那么该函数在此区间内取 得最大值。
对于函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$，其导数为$f'(x) = 3x^{2} - 6x$。要使$f(x)$在区间$( - infty,a)$上是 增函数，需要满足$f'(x) > 0$，即$3x^{2} - 6x > 0$， 解得$x < 0$或$x > 2$。因此，当$a < 0$或$a > 2$ 时，函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$在区间$( infty,a)$上是增函数。
反例应用
在研究经济发展时，需要考虑到各种因素对经济的影响，包括政策、技术、人口等。通过 找到单调性的反例，可以更全面地了解经济发展的实际情况，为政策制定提供更有针对性 的建议。
06 习题与解答
习题
判断函数$f(x) = x^{2} - 2x$在 区间$( - infty,a)$上是减函数的
条件是什么？
单调性与奇偶性的关系
总结词
函数的奇偶性是指函数图像关于原点对称的性质，而单调性是指函数值随自变量变化的 趋势。虽然奇偶性和单调性是函数的两种不同性质，但它们之间也存在一定的关系。例 如，奇函数在对称轴两侧的函数值是相等的，因此奇函数在对称轴两侧的单调性是一致
的。
详细描述
对于奇函数，如果它在某个区间内单调递增，那么它在该区间内关于原点对称的区间内 也单调递增；同样地，如果奇函数在某个区间内单调递减，那么它在该区间内关于原点 对称的区间内也单调递减。而对于偶函数，由于其图像关于y轴对称，因此偶函数在任
函数的单调性(定义法)
函数的单调性知识点：1.函数单调性定义(1).定义法,对任意的x1,x2∈D,D⊆I,x1＞x2 ,若f(x1)−f(x2)＞0则称f(x)在D 内是单增，若f(x1)−f(x2)＜0则称f(x)在D内是单减.(2). 对定义在D上的函数f(x),设x1,x2∈D, D⊆I , x1＜x2,则有：①f(x1)−f(x2)x1−x2＞0⇔f(x)是D上的单调递增函数；②f(x1)−f(x2)x1−x2＜0⇔f(x)是D上的单调递减函数.(注意：函数的单调性的局部性(注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区，应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.)2.复合函数的单调性：3.几种常见函数的单调性：f(x)=ax+bcx+d (abcd≠0,bc≠ad);f(x)=ax +bx(ab≠0)例1.多种方法判断下列函数的单调性：(1).f(x)=x + 1x x∈(0,1)(2).y=x−1xx∈（0，+∞）; (3).y=x3x∈R;(4).f(x)=axx²−1，x∈（-1,1）（a≠0）(5).f(x)=x+√1+x2，x∈R例2.(1).已知f(x)=x（x≠a）,若a＞0且f（x）在（1.+∞）内单调递减，求a的x−a在区间[1，2]上都是减函数，求a的取值取值范围. (2).若f(x)=−x2+2ax,与g(x)=ax+1范围.(3).已知函数f（x）= √3−ax（a≠1）若f（x）在区间（0,1］上是减函数，则a−1实数a的取值范围.(4).已知函数f（x）=√x²+1–ax（a＞0）①.证明当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调减函数.②.若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围。
判断函数单调性的常见方法
判断函数单调性的常见方法一、函数单调性的定义：一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I∈A，如对于区间内任意两个值X1、X2，1）、当X1<X2时，都有f(X1)<f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为函数的单调增区间；2）、当X1>X2时，都有f(X1)>f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为函数的单调减区间。
二、常见方法：Ⅰ、定义法：定义域判断函数单调性的步骤①取值：在函数定义域的某一子区间I内任取两个不等变量X1、X2，可设X1<X2;②作差（或商）变形：作差f(X1)-f(X2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形；③定号：确定差f(X1)-f(X2)的符号；④判断：根据定义得出结论。
例：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明解：任取x1、x2∈(-∞，+∞)，x1<x2,则f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=(x13+x1)- (x23+x2)=(x1-x2)+(x13-x23)=(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1)=(x1-x2) [﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22]∵x1、x2∈(-∞，+∞)，x1<x2,∴x1-x2<0,（x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22>0故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)∴f(x)在(-∞，+∞)上单调递增Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）：①函数y=-f(x)的单调性相反②函数y=f(x)恒为正或恒为负时，函数y=f(x)的单调性相反③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数例：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性解：设y1=-x+1,y2=1/x,∵y1在（0，+∞）上↓，y2在（0，+∞）上↓,∴y=-x+1+1/x在（0，+∞）内↓Ⅲ、图像法：说明：⑴单调区间是定义域的子集⑵定义x1、x2的任意性⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数自变量与函数相对→单调减函数Ⅳ、分析法：复合函数单调性判断：例：判断y=1/(-2x-3)的单调性解：令u=-2x-3,∵y=1/u在（0,+ ∞）↓,在（-∞，0）↑，u(x)在(-∞,+ ∞) ↓∴y=1/(-2x-3)在（0,+ ∞）↑，在（-∞，0）↓这种方法概括为“同减异增”判断函数单调性的常见方法有定义法、直接判断法、图像法、分析法……做题时要结合具体题意，找出适当的方法解题。
函数单调性怎么证明
函数的单调性指的是函数在定义域内的取值随着其自变量的变化而单调变化。
函数单调性的证明方法有以下几种：
1.导函数法：如果函数f(x)在定义域内可导，那么当f'(x) > 0时，函数f(x)单调递增；当f'(x)
< 0时，函数f(x)单调递减。
2.分段单调性：如果函数f(x)在定义域的不同子区间上单调，则函数f(x)在整个定义域上
单调。
3.数学归纳法：通过归纳证明函数在一定范围内单调，再扩大该范围，最终证明函数在整
个定义域内单调。
4.数学归纳法：通过归纳证明函数在一定范围内单调，再扩大该范围，最终证明函数在整
个定义域内单调。
5.极值法：如果函数在定义域内没有极值，或者极值都是局部极值，那么函数是单调的。
证明单调性需要根据具体函数的性质来判断使用哪种方法。
单调性的判断方法
单调性的判断方法单调性是数学中常用的一个概念，用于描述函数在定义域上的变化规律。
判断函数的单调性可以帮助我们更好地理解和运用函数，因此具有重要的意义。
下面将结合实例逐步介绍判断函数单调性的方法。
首先，我们需要了解什么是函数的单调性。
一个函数f(x)在定义域内是严格递增的，如果当x1 < x2时，有f(x1) < f(x2)。
相反，如果满足x1 < x2时，有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)是严格递减的。
另外，函数可能同时在某一个区间递增和递减，这被称为函数的非单调性。
对于一个给定的函数，我们可以通过函数的导数来判断其单调性。
具体来说，对于函数f(x)在定义域内连续且可导，我们有以下定理：1. 当函数的导数f'(x)在定义域内恒大于0时，函数f(x)在定义域上是严格递增的；2. 当函数的导数f'(x)在定义域内恒小于0时，函数f(x)在定义域上是严格递减的；这个定理的证明可以通过导数的定义和相关定理进行推导，但此处略去。
基于上述定理，我们可以采用以下步骤来判断函数的单调性：步骤一：求出函数f(x)的导数f'(x)。
步骤二：根据函数的导数f'(x)的符号进行分类讨论：- 如果f'(x) > 0，则说明函数在该区间递增；- 如果f'(x) < 0，则说明函数在该区间递减；- 如果f'(x) = 0，则说明函数在该点处取得极值，但不一定是单调的；步骤三：将上述分类讨论的结果归纳到函数f(x)的定义域内。
在实际应用中，我们通常先找出函数的导数的零点，即f'(x) = 0的点。
这些点我们称之为临界点，它们对应于函数f(x)的极值点，可能是函数的拐点。
在求解过程中，我们可以利用一阶导数和二阶导数的性质，来确定极值点的性质和判断拐点的存在与位置。
下面通过具体的例子来说明如何判断函数的单调性。
假设我们要判断函数f(x) = x^2在定义域(-∞, +∞)上的单调性。
数学必修一单调性
目录
• 单调性的定义 • 单调性的判定 • 单调性的应用 • 单调性的性质 • 单调性的扩展知识
01
单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，那么对于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$， 当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) leq f(x_2)$；反之，如果函数在某个区间内单调递减，那么对于该区间内的任意两个数$x_1$和 $x_2$，当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) geq f(x_2)$。
导数法
利用导数与函数单调性的关系，通过判断导数的正负来判断函数的单调 性。
03
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果图像在某区间内从左到
右逐渐上升，则函数在该区间内单调递增；如果图像在某区间内从左到
右逐渐下降，则函数在该区间内单调递减。
单调性判定例题解析
0102Βιβλιοθήκη 0304例题1
判断函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上的单调性。
例子
对于函数 (f(x) = x^3)，在 (x = 0) 处函数由递减变为递增，因此 (x = 0) 是该函数的极小值点。
单调性在实际问题中的应用
总结词
单调性在实际问题中有着广泛的应用，通过单调性可以分析各种实际问题的变化趋势，从而做出合理的决策。
详细描述
单调性可以用于分析各种实际问题，如经济问题、物理问题等。例如，在经济学中，通过分析需求函数和供给函数的 单调性，可以预测市场的价格变化趋势；在物理学中，通过分析受力函数的单调性，可以判断物体的运动状态。
单调函数在定义域内是单调的
函数的单调性奇偶性与周期性
函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性 1． 单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时， ①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间 ；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2． 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增； 如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。
二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。
5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。
T 是f (x )的一个周期。
若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。
函数的单调性
函数的单调性1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值题型一函数单调性的判断和证明例1判断并证明函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上的单调性．例2.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________． 例3. 函数的单调递增区间为 .1.已知函数f (x )＝2－x x ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.2.定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( ) A.函数f (x )先增后减B.f (x )是R 上的增函数C.函数f (x )先减后增223y x x =--D.函数f (x )是R 上的减函数3.画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间.题型二 函数单调性的应用角度一：利用函数的单调性求最值例4 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________． (2)已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．角度二：利用函数的单调性求解不等式例5 1.(1)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则实数a 的取值范围为________.(2) 已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．2.探究与创新设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：(1)f (xy )＝f (x )＋f (y )；(2)f (2)＝1；(3)在(0，＋∞)上是增函数.如果f (2)＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围.角度三：利用函数的单调性求参数例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2).已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3a －1)x ＋4a ，x ＜1，－x ＋1，x ≥1是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是________. 题型三 分类讨论二次函数单调性和最值 例7 求函数12)(2--=ax xx f 在闭区间]2,0[上的单调性和最小值．【玩转跟踪】 1．已知函数2()22f x x ax =++，求()f x 在[]5,5-上的最大值与最小值．2．已知函数32)(2+-=x x x f ，当t x [∈，]1+t 时，求)(x f 的最大值与最小值．。
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的方法函数的单调性是指函数在定义域内是否递增或递减。
判断一个函数的单调性需要观察它的导数或增减性，下面将详细介绍判断函数单调性的方法。
一、定义函数的单调性假设函数f(x)定义在区间[a, b]上，如果对于任意的x1, x2∈[a, b]，且x1<x2，有f(x1)≤f(x2)，那么函数f(x)在区间[a, b]上单调递增；如果对于任意的x1, x2∈[a, b]，且x1<x2，有f(x1)≥f(x2)，那么函数f(x)在区间[a, b]上单调递减。
二、判断函数单调性的准则1. 函数导数法函数的导数能够反映函数的增减性，因此我们可以通过观察函数的导数来判断函数的单调性。
1.1 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)≥0，则函数在该区间上单调递增；1.2 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)≤0，则函数在该区间上单调递减；1.3 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)>0，则函数在该区间上严格单调递增；1.4 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)<0，则函数在该区间上严格单调递减。
2. 函数零点法2.1 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒大于零，即f(x)>0，则函数在该区间上严格单调递增；2.2 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒小于零，即f(x)<0，则函数在该区间上严格单调递减；2.3 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒大于等于零，即f(x)≥0，则函数在该区间上单调递增；2.4 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒小于等于零，即f(x)≤0，则函数在该区间上单调递减。
3. 函数一阶导数与二阶导数法如果函数f(x)在区间[a, b]上的一阶导数f'(x)≥0，并且在该区间上的二阶导数f''(x)>0，则函数在该区间上严格单调递增；如果函数f(x)在区间[a, b]上的一阶导数f'(x)≤0，并且在该区间上的二阶导数f''(x)<0，则函数在该区间上严格单调递减。
函数的单调性和奇偶性
一 、函数的单调性1、函数的单调性定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间；如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间。
2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法： （1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0by ax a x=+>,0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)-∞+∞，减区间为[. 例如：（1）若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______ (答：3-≤a）)；（2）已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1(,)2+∞）（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减 （4）若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）。
3、单调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域； （2）函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； （3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数xy 1=分别在)0,(-∞和),0(+∞内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(+∞-∞ 内是单调递减的，只能说函数xy 1=的单调递减区间为)0,(-∞和),0(+∞。
函数的单调性(103)
通过构造函数，利用函数的单调性，可以将不等式问题转化为求解函数值的问题。例如， 对于形如f(x) > g(x)的不等式，如果f(x)和g(x)的单调性已知，则可以通过比较f(x)和g(x)
在某一点的函数值来确定不等式的解集。
04 单调性的性质和定理
单调函数的性质
定义域内单调
单调函数在其定义域内是连续的，不会出现跳跃或断 点。
利用单调性判断函数的零点
总结词
利用函数的单调性，可以判断函数是否存在零点，以及零点 的个数和位置。
详细描述
如果函数在某区间内单调递增或递减，且在此区间内与x轴有 交点，则函数在此区间内存在一个零点。通过判断函数的单 调性，可以确定函数与x轴的交点个数和位置。
利用单调性解决不等式问题
总结词
利用函数的单调性，可以将不等式问题转化为求解函数值的问题，从而简化解题过程。
单调性在函数图像上的应用
判断函数的增减性
通过观察函数图像的上升或下降 趋势，可以判断函数的单调性， 进而确定函数的增减性。
比较函数值大小
在单调递增或递减的函数图像上， 可以通过比较自变量的大小来比 较函数值的大小。
求解函数的极值
在单调递增或递减的函数图像上， 极值点是函数值发生变化的点， 通过求解极值点可以得到函数的 极值。
函数单调性的判断方法
导数判断法
通过求函数的导数，然后判断导数的正负来判断函数的单调性。如果导数大于0，则函数为增函数；如果导数小于0，则函 数为减函数。
定义法
通过比较定义域内的任意两个数对应的函数值的大小来判断函数的单调性。如果对于任意$x_1 < x_2$都有$f(x_1) < f(x_2)$或$f(x_1) > f(x_2)$，则函数为增函数或减函数。
判断函数单调性的常见方法
判断函数单调性的常见方法一、函数单调性的定义：
一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I?A，如对于区间内任意两个值X1、X2，
1）、当X1<X2时，都有f(X1)<f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单
调增函数，I称为函数的单调增区间；
2）、当X1>X2时，都有f(X1)>f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单
调减函数，I称为函数的单调减区间。
二、常见方法：
Ⅰ、定义法：定义域判断函数单调性的步骤
①取值：
在函数定义域的某一子区间I内任取两个不等变量X1、X2，可设X1<X2; ②作差（或商）变形：
作差f(X1)-f(X2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于
判断差的符号的方向变形；
③定号：
确定差f(X1)-f(X2)的符号；
④判断：
根据定义得出结论。
例：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明解：任取x1、x2?(-∞，+∞)，x1<x2,则
f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=(x13+x1)- (x23+x2)=(x1-x2)+(x13-x23)。
函数的单调性
函数的单调性一、知识梳理＆方法总结1. 单调性的定义和证明(1) 单调性：当x 逐渐增加时，函数值y 逐渐减小；当x 逐渐增加时，函数值y 逐渐增加。
函数的这两种性质都叫做函数的单调性。
(2) 定义：一般地，对于给定区间I 上的函数()y f x =：① 如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调增函数。
② 如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调减函数。
(3) 如果函数()y f x =在某个区间I 上是增（减）函数，那么就说函数()y f x =在区间I 上是单调函数。
区间I 叫做函数()y f x =的单调区间。
若()f x 在区间D 上是增（减）函数，则()f x 在D 的任一子区间上也是增（减）函数 (4) 函数单调性的证明（证明某函数在指定区间上增减性的步骤）① 在该区间上任取12x x <② 作差12()()f x f x -，通过因式分解等恒等变形方法将差式化为若干因式的积或商．③ 由判断各因式的符号来确定差式的符号，从而得到12()()f x f x >（或12()()f x f x <）即()f x 的增减性依定义证明完毕．任取、做差、变形、定号、下结论。
(5) 函数单调性的两种等价定义设12,[,]x x a b ∈则①1212()()0()f x f x f x x x ->⇔-在[,]a b 上是增函数1212()()0()f x f x f x x x -<⇔-在[,]a b 上是减函数② 1212()[()()]0()x x f x f x f x -->⇔在[,]a b 上是增函数1212()[()()]0()x x f x f x f x --<⇔在[,]a b 上是减函数2. 四则运算的单调性增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
函数单调性与奇偶性
函数单调性与奇偶性1. 函数的单调性在数学中，函数的单调性描述的是函数在定义域内的变化趋势。
一个函数可以是递增的（增函数），也可以是递减的（减函数），也可以是既递增又递减的。
1.1 递增函数一个函数在定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) ≤ f(x2)，那么这个函数就是递增函数。
简单来说，递增函数的值随着定义域内的值的增加而增加。
1.2 递减函数一个函数在定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) ≥ f(x2)，那么这个函数就是递减函数。
简单来说，递减函数的值随着定义域内的值的增加而减少。
1.3 严格递增和严格递减函数当一个函数的定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) < f(x2)，那么这个函数就是严格递增函数。
当一个函数的定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) > f(x2)，那么这个函数就是严格递减函数。
性质1：若f(x)在(a, b)内单调递增，则在(a, b)内的任意一个开区间内，函数的值唯一决定自变量的值。
即如果x1和x2是定义域内的两个值，且x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)。
性质2：若f(x)在(a, b)内单调递减，则在(a, b)内的任意一个开区间内，函数的值唯一决定自变量的值。
即如果x1和x2是定义域内的两个值，且x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)。
性质3：若区间(a, b)上的函数单调递增，则它在(a, b)上的任意一个开区间内也单调递增。
2. 函数的奇偶性在数学中，函数的奇偶性描述的是函数的对称性质。
一个函数可以是奇函数，也可以是偶函数，也可以是既奇又偶的。
2.1 奇函数如果一个函数f(x)满足对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数。
高数课件12单调性的判定
单调增函数的应用：在解决实际问题时，可以利用单调增函数的性质来简化计算或证 明结论
单调减函数的定义
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单调减函数：对于定义域内的任意x1,x2， 如果x1>x2，则f(x1)<f(x2)
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单调减函数的图像：在定义域内，函数图 像是向下倾斜的
单调性在数学分析、高等数学等课程中具有重要地位，是学习数学的重要基础
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单调减函数的性质：如果函数f(x)在区间 [a,b]上是单调减函数，那么f(x)在区间 [a,b]上的最大值是f(a)，最小值是f(b)
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单调减函数的应用：在解决实际问题时， 可以利用单调减函数的性质来简化计算或 证明结论。
单调性的判定方法
定义法
单调性的定义：函数在某点处的导数大于0，则函数在该点处单调递增；函数在某点处的导数小 于0，则函数在该点处单调递减。
单调性的判定方法：通过计算函数在某点处的导数，判断其符号，从而确定函数的单调性。
导数的计算方法：使用导数公式或导数表进行计算。
单调性的应用：在解决实际问题时，可以利用单调性进行求解，如求极值、最值等。
导数法
导数定义：函数在某一点的切线斜率 导数性质：导数是函数在某一点的切线斜率 导数判定：导数大于0，函数单调递增；导数小于0，函数单调递减 导数应用：判断函数单调性，求极值、最值等
单调性在解题中的应用技巧
注意函的定义域和值域
利用单调性判断函数的极 值和拐点
利用单调性求解不等式
利用单调性求解方程的根
单调性在数学中的地位和作用
单调性是函数性质的重要方面，决定了函数的变化趋势和性质 单调性是函数极限、导数、积分等重要概念的基础 单调性在解决实际问题中具有重要作用，如优化问题、微分方程等
函数的单调性、最大(小)值及其几何意义
函数的单调性、最大(小)值及其几何意义一、函数的单调性（一）定义1、一般地，设函数f(x)的定义域为I:(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2), 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。
(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。
(3)如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
（4）几何意义：1.增函数自左向右图象是上升的2.减函数自左向右图象是下降的2. a>0时，二次函数y=ax2的单调增区间为[0，十∞)。
3. k>0时，y=kx+b在R上是增函数。
1的单调递减区间为(一∞，0)和(0，十∞）4.函数y=x（二）注意点1. 函数的单调区间必须是定义域的子集。
因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域。
2.研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)在(一∞，0)和(0，+∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)在定义域上是减函数。
（三）解题方法1. 求单调区间的方法: (1)图象法; (2)定义法; (3)利用已知函数的单调性。
2.用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤:即“取值—作差变形—定号—判断”这四个步骤。
若f(x)>0,则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值—作比变形—与1比较—判断”。
二、函数的最大值与最小值及几何意义从图象上看,函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标。
一般地，设y=f(x)是定义在[a,b]上的函数，y= f(x)在(a,b) 内有导数，求函数y= f(x)在[a,b]上的最大值与最小值可分为两步进行:1.求y= f(x)在(a,b)内的极值(极大值或极小值) ;2.将y= f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
单调性定义
单调性定义
函数单调性的定义是：函数的单调性，也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。
定义
函数的单调性，也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。
当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。
在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。
如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，则可判断出：
D⊆Q（Q是函数的定义域）。
区间D上，对于函数f(x)，∀（任取值）x1，x2∈D且
x1>x2，都有f(x1)>f(x2)。
或，∀x1，x2∈D且x1>x2，都有
f(x1)<f(x2)。
函数图像一定是上升或下降的。
该函数在E⊆D上与D上具有相同的单调性。
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∙单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）
＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f （x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严
格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。
如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值∙判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。