高一函数单调性判定方法
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当 时， 在R上是增函数；
当 时， 在R上是减函数。
二次函数
当 时， 时 单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求 （ 且 ）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知 是减函数的区间 ， 。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合{ ︳ ， }
（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函数。（2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）函数。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商：,≠0；③变形向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。
（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法.v1.0 可编辑可修改函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=kbkxy当0>k时，y在R上是增函数；当0<k时，y在R上是减函数。
判定函数单调性的几种方法
判定函数单调性的几种方法函数单调性是函数知识应用最广泛也是最重要的性质。
从高中接触函数单调性开始。
我们先后学习并掌握了判定函数单调性的几种方法。
:函数,单调性,判定函数单调性是函数知识应用最广泛也是最重要的性质,从高中接触函数单调性开始,我们先后学习并掌握了判定函数单调性的几种方法,本文将判定函数单调性的多种方法给出,由于通过抽象函数来考察函数单调性的题目常常出现在各级数学试题中,这种题型比较抽象,综合性较强,对学生的能力要求较高,学生往往难解其意,不能沟通数学符号及数学语言之间的内在联系,本文也将给出几种判定抽象函数单调性的方法。
⒈判定函数单调性的几种方法1.1利用函数单调性的定义一般地,设函数的定义域为:如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有(或),那么就说在这个区间上是增(或减)函数。
给出定义后,我们就可利用定义判定函数的单调性。
例1讨论函数的单调性。
解:函数的定义域为,任取两个实数故在上是增函数。
参考。
例2讨论函数的单调性。
解:指数函数的定义域为,任取两个实数,=当时,,此时函数为增函数。
当时,此时函数为减函数。
1.2利用反函数的单调性我们知道,一个函数若为严格增(或减)函数,则其反函数也为严格增(或减)函数。
那么我们就可利用这一性质判定函数的单调性。
例3讨论反余弦函数的单调性解:因为是余弦函数在的反函数,已知在上为严格减函数,故在定义域上为严格减函数1.3利用基本初等函数的性质幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数是五种基本初等函数,它们各有增减区间。
那么我们就借助基本初等函数的性质来判定函数的单调性。
例4判断函数的增减性解:依据指数函数单调性可知:在上是增函数例5判断函数在上的单调性解:依据幂函数单调性知:在上是减函数1.4利用复合函数的单调性定理1设有复合函数,当与同时为增(或减)函数时,函数为增函数,否则为减函数。
参考。
例6讨论函数的单调性。
参考。
解:先求出函数定义域:解得:或函数的定义域为,令为减函数,在区间上为减函数,故在上为增函数,而在区间上为增函数,故在上为减函数1.5利用的单调性定理2若函数为增(或减)函数,则函数,当时为增(或减)函数,当时为减(或增)函数。
高一函数(2)：函数的单调性与最值
专题一 函数的单调性与最值题型一 确定函数的单调性1．确定函数单调性(区间)的三种常用方法(1)定义法：一般步骤：①任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；②作差f (x 1)－f (x 2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f (x 1)－f (x 2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性)．．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性． 2．熟记函数单调性的常用结论(1)对勾函数y ＝x ＋ax (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(2)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (3)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．(4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．【例1】(2020·华南师范大学附属中学月考)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)【解析】由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数． 要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8在定义域内的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．【例2】函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为________，单调递减区间为________． 【解析】令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)． 【例3】判断并证明函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性． 【解法一】设－1＜x 1＜x 2＜1，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=111111)(x a x x a x f⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-111111)()(2121x a x a x f x f ＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）， 由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1，1)上单调递增．【解法二】f ′(x )＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2，所以当a >0时，f ′(x )<0，当a <0时，f ′(x )>0， 即当a >0时，f (x )在(－1，1)上为单调递减函数， 当a <0时，f (x )在(－1，1)上为单调递增函数．题型二 求函数的最值(值域) 求函数的最值(值域)的常用方法(1)单调性法：若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求最值．(2)换元法：求形如y ＝ax ＋b ＋(cx ＋d )(ac ≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．(3)数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值(4)有界性法：利用代数式的有界性(如x 2≥0，x ≥0，2x >0，－1≤sin x ≤1等)确定函数的值域．(5)分离常数法：形如求y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解。
【高中数学考点精讲】考点一 函数的单调性的判断
考点08 函数单调性与最值1、函数单调性的判断方法（1）定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。
（2）性质法：若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有①为增函数，②为增函数，③为减函数，④为减函数。
（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。
由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数随着的增大而增大随着的增大而增大随着的增大而减小随着的增大而减小增函数增函数减函数减函数2、函数单调性的应用（1）比较大小．比大小常用的方法是①利用单调性比大小；②搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；③数形结合比大小。
注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。
（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．（3）利用函数单调性求参数的取值范围．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。
新高一数学函数单调性知识点、解题方法总结
-1-常用函数单调性知识点总结判断函数单调性的常用方法有：图像法、性质法、复合函数法、定义法、导数法等.利用函数图象确定函数单调性及单调区间是一种直观又简单的方法，而对于较复杂函数的单调性和单调区间，往往利用一些基本函数的单调性、函数单调性定义或利用导数法来求.注：1.函数的单调区间应该用区间表示，不宜用集合或不等式表示。
2.如果一个函数有多个单调区间，则注意要分别写，往往不能用“ ”和“或”连接.3.“函数的单调区间”指的是函数所有单调增或单调减的最大区间。
“函数在某区间上单调”中的“区间”既可以是函数的某个最大的单调区间，也可以是函数的某个最大的单调区间的子区间.一、抽象函数单调性1.（1）()y f x =-与()y f x =的单调性相反.（2）()y f x c =+（其中c 为常数）与()y f x =的单调性相同.（3）()y c f x =⋅与()y f x =的单调性关系①当0c >时，两者的单调性相同.②当0c <时，两者的单调性相反.（4）设()y f x =在某区间D 上的函数值恒正或恒负，则有()y f x =在区间D 上具有单调性时，()1y f x =也在区间D 上具有单调性，且()1y f x =与()y f x =在该区间上的单调性相反.（5）若()0f x ≥，则()y f x α=（0α>）与()y f x =的单调性相同.（6）具有公共定义域的两个单调函数中，常用到以下结论：①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数=增函数；④减函数-增函数=减函数.二、复合函数的单调性1.定义设()(),y f u u u x ==，则函数()()y f u x =叫做复合函数.2.复合函数单调性口诀：“同增异减”.（1）内外两层函数单调性相同时，复合函数为增函数.即：①内 ，外 ⇒ ；②内 ，外 ⇒ .（2）内外两层函数单调性相反时，复合函数为减函数.即：①内 ，外 ⇒ ；②内 ，外 ⇒ .注：1.注意复合函数与两函数的四则运算的区别.2.运用复合函数口诀判定单调性时，一定要分清内外层函数对应的函数形式.三、函数单调性相关问题的常见类型和解题策略（1）比较大小。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x V x ,并是某个区间上任意二 值;X 叱）②作差；或作商：,g ） 丰0；f （叼）③ 变形/⑴叩（巧）向有利于判断差值符号的方向变形；-Si ） 乒o 向有利于判断商的值是否大于 1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是 多项式时，作差后进行因式分解； 2、通分，当原函数是 分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解； 3、配 方，当原函数是 二次函数 时，作差后考虑配方便于判定符号； 4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④ 定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论； ⑤ 下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法:解：设一1<X 1<X 2,如1 吧则 f （X 1）—f （X 2）= "+1 —冷 *1+1） ■皿（而 +1）-（升硕恐+1）Ui+i ）（j+D例1.判断函数ax7+i 在（-1,+ 8 ）上的单调性，并证明.—1<X i <X 2,X 1 — X 2<0 , X i+ 1>0 , X 2 + 1>0..•当 a>0 时，f （X 1）-f （X 2）<0 , 即f （X 1）<f （X 2）, •••函数y=f （X ）在（-1, + 8）上单调递增.当 a<0 时，f （X 1）—f （X 2）>0 , 即f （X 1）>f （X 2）, 函数y=f （X ）在（—1, + °°）上单调递减.所 W1-—<0所以砰砰 ,所以（心）二玉 -^2-—） 则 七 -因为知fE 泗对，三口所以所以砰砰所以「「一-":-解1、［ /⑴在+8）上为增函数*例2.证明函数*卜扁赌晌向上为减函数。
证明：设。
5也幅”'幻（-皿-石］屯尊\+00）在区间L ' V 」和妃％ ，/ （增两端，减中间）/ 31） — J g ）=瓦 + —-Xj-—上是增函数；在31—叱)(1-—)因为强而，所以5 〈泗e同理可得在（-咛-齐止为增函现在止为诫函氮作商法：例3.设函数y=f (x)定义在R上，对于任意实数m , n,恒有f (m+n ) =f (m) ?f (n) 且当x> 0 时，0v f (x) v 1(1) 求证：f (0) =1 且当xv 0 时，f (x) > 1(2) 求证：f (x)在R上是减函数.证明：(1) •.,对于任意实数m, n,恒有f (m+n ) =f (m) ?f (n),令m=1 , n=0，可得 f (1) =f (1) ?f (0),..当x> 0 时，0v f (x) v 1, . • f (1)乒0.f (0) =1 .令m=x v 0, n=-x > 0,则 f (m+n ) =f (0) =f (-x) ?f (x) =1 ,f (-x) f (x) =1 ,又.• -x > 0 时，0 V f (-x ) V 1 ,• • f(x)=1f(-x)> 1.(1)设x1 vx2,贝U x1-x2 v 0,根据(1)可知f (x1-x2 ) > 1, f (x2) > 0.. f (x1) =f[ (x1-x2 ) +x2]=f (x1-x2 ) ?f (x2) > f (x2),•••函数f (x)在R上单调递减.(二)、运算性质法.函数表达式单调区间次函数y kx b(k 0)二次函数_ 2 , - y ax bx c(a 0,a,b,c R)反比例函数指数函数对数函数ky -x(k R 且k 0)xy a(a 0,a 1)当k 0时，y在R上是增函数；当k 。
判断函数单调性的基本方法
判断函数单调性的基本方法
1.对偶函数判断法
若两个函数f(x)和g(y)互为对偶，则如果f(x)在[a,b]上单调，则g(y)在[f(a),f(b)]上也单调。
2.导数的符号判定法
若函数f(x)的导数f'(x)在[a,b]上始终为正，则f(x)在[a,b]上单调递增；若f'(x)在[a,b]上始终为负，则f(x)在[a,b]上单调递减。
3.左右极限的比较法
若函数f(x)的左极限与右极限均存在，并且在[a,b]上满足f(x)的左右极限相等，则f(x)在[a,b]上单调。
4.凹凸性判定法
若函数f(x)在其中一区间[a,b]内有且只有一个极值点，则f(x)在[a,b]上一定是单调的。
5.几何形象判断法
通过画出函数f(x)的几何图形，判断函数在[a,b]上的单调性。
若该曲线在[a,b]上呈凹凸性，则f(x)在[a,b]上是单调的。
若函数˙f(x)因变量x的变化而呈线性变化，则函数f(x)在[a,b]上也是单调的。
6.二项式函数性质判断法
若函数f(x)是二项式函数，即f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则可以用以下公式来检测函数f(x)在[a,b]上的单调性：
若р>0，则f(x)在[a,b]上单调递增；
若р<0，则f(x)在[a,b]上单调递减；
若p=0，则f(x)在[a,b]上可能单调也可能不单调。
以上是判断函数单调性的基本方法，需要数学基础才能更好的掌握。
大一高等数学第三章第四节函数单调性的判定法
y
y
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b x
定理 设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在( a, b )内可 导（1） . 如果在( a, b )内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调增加； ( 2) 如果在( a, b )内 f ( x ) 0， 那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调减少.
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
y x 3 , y x 0 0, 但在( ,)上单调增加. 例如,
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
3 2
比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
例9 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟．
问我军摩托车何
时射击最好（相
距最近射击最好）？
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解 (1)建立敌我相距函数关系 设 t 为我军从B处发起
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
例3
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
解 D : ( , ).
函数单调性的判定方法(高中数学)
函数单调性的剖断办法学生：日期;课时：教师： 具体函数单调性的办法 1.1 界说法一般地,设f 为界说在D 上的函数.若对任何1x .D x ∈2,当21x x <时,总有(1))()(21x f x f ≤,则称f 为D 上的增函数,特别当成立严厉不等)()(21x f x f <时,称f为D 上的严厉增函数;(2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数,特别当成立严厉不等式)()(21x f x f >时,称f 为D 上的严厉减函数.运用界说来证实函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步调： （1）设元,任取1x ,D x ∈2且21x x <; （2）作差)()(21x f x f -;（3）变形（广泛是因式分化和配方）;（4）断号（即断定)()(21x f x f -差与0的大小）;（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）. 例1.用界说证实)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数.证实：设1x ,),(2+∞-∞∈x ,且21x x <,则因为043)2(22221212221>++=++x x x x x x x ,012>-x x 则0))(()()(2122211221>++-=-x x x x x x x f x f ,即)()(21x f x f >,所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数.例2.用界说证实函数xkx x f +=)()0(>k 在),0(+∞上的单调性.证实：设1x .),0(2+∞∈x ,且21x x <,则)()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((212121x x kx x x x --=, 又210x x <<所以021<-x x ,021>x x ,当1x .],0(2k x ∈时021≤-k x x ⇒0)()(21≥-x f x f ,此时函数)(x f 为减函数; 当1x .),(2+∞∈k x 时021>-k x x ⇒0)()(21<-x f x f ,此时函数)(x f 为增函数. 综上函数xkx x f +=)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数;在区间),(+∞k 内为增函数. 此题函数)(x f 是一种特别函数（对号函数）,用界说法证实时平日须要进行因式分化,因为k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明白的,是以要分段评论辩论. 用界说法剖断函数单调性比较实用于那种对于界说域内随意率性两个数21,x x 当21x x <时,轻易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数.在解决问题时,界说法是最直接的办法,也是我们起首斟酌的办法,虽说这种办法思绪比较清楚,但平日进程比较繁琐. 函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来断定函数单调性的办法.函数性质法平日与我们罕有的简略函数的单调性联合起来运用.对于一些罕有的简略函数的单调性如下表：函数函数表达式单调区间特别函数图像一次函数)0(≠+=k b kx y当0>k 时,y 在R 上是增函数;当0<k 时,y 在R 上是减函数.二次函数cbx ax y ++=2),,,0(R c b a a ∈≠当0>a 时,a b x 2-<时y 单调减,abx 2->时y 单调增; 当0<a 时,abx 2-<时y 单调增,abx 2->时y 单调减.反比例函数xk y =R k ∈(且0≠k )当0>k 时,y 在0<x 时单调减,在0>x 时单调减;当0<k 时,y 在0<x 时单调增,在0>x 时单调增.指数函数x a y =)1,0(≠>a a当1>a 时,y 在R 上是增函数; 当10<<a ,时y 在R 上是减函数.对数函数x y a log =)1,0(≠>a a当1>a 时,y 在),0(+∞上是增函数; 当10<<a 时,y 在),0(+∞上是减函数.一些经常运用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论： ⑴．)(x f 与)(x f +C 单调性雷同.（C 为常数）⑵．当0>k 时,)(x f 与)(x kf 具有雷同的单调性;当0<k 时, )(x f 与)(x kf 具有相反的单调性.⑶．当)(x f 恒不等于零时,)(x f 与)(1x f 具有相反的单调性. ⑷．当)(x f .)(x g 在D 上都是增（减）函数时,则)(x f ＋)(x g 在D 上是增（减）函数. ⑸．当)(x f .)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒大于0时,)(x f )(x g 在D 上是增（减）函数;当)(x f .)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒小于0时,)(x f )(x g 在D 上是减（增）函数.⑹．设)(x f y =,D x ∈为严厉增（减）函数,则f 必有反函数1-f ,且1-f 在其界说域)(D f 上也是严厉增（减）函数.例3.断定5)1(2log )(21323+++++=+x x x x x f x 的单调性.解:函数)(x f 的界说域为),0(+∞,由简略函数的单调性知在此界说域内323log ,,x x x 均为增函数,因为021>+x ,012>+x 由性质⑸可得)1(221++x x 也是增函数;由单调函数的性质⑷知x x x 23log ++为增函数,再由性质⑴知函数)1(2log )(21323++++=+x x x x x f x +5在),0(+∞为单调递增函数.例4.设函数)0()(>>++=b a b x ax x f ,断定)(x f 在其界说域上的单调性. 解:函数bx ax x f ++=)(的界说域为),(),(+∞-⋃--∞b b .先断定)(x f 在),(+∞-b 内的单调性,由题可把bx ax x f ++=)(转化为b x b a x f +-+=1)(,又0>>b a 故0>-b a 由性质⑶可得b x +1为减函数;由性质⑵可得bx ba +-为减函数;再由性质⑴可得bx ba x f +-+=1)(在),(+∞-b 内是减函数.同理可断定)(x f 在),(b --∞内也是减函数.故函数bx ax x f ++=)(在),(),(+∞-⋃--∞b b 内是减函数.函数性质法只能借助于我们熟习的单调函数去断定一些函数的单调性,是以起首把函数等价地转化成我们熟习的单调函数的四则混杂运算的情势,然后运用函数单调性的性质去断定,但有些函数不克不及化成简略单调函数四则混杂运算情势就不克不及采取这种办法.1.3 图像法用函数图像来断定函数单调性的办法叫图像法.依据单调函数的图像特点,若函数)(x f 的图像在区间I 上从左往右逐渐上升则函数)(x f 在区间I 上是增函数;若函数)(x f 图像在区间I上从左往右逐渐降低则函数)(x f 在区间I 上是减函数..例 5.如图1-1是界说在闭区间[-5,5]上的函数)(x f y =的图像,试断定其单调性.解：由图像可知：函数)(x f y =的单调区间有[-5,-2）,[-2,1）,[1,3）,[3,5）.个中函数)(x f y =在区间[-5,-2）,[1,3）上的图像是从左往右逐渐降低的,则函数)(x f y =在区间[-5,-2）,[1,3）为减函数;函数)(x f y =在区间[-2,1）,[3,5]上的图像是从往右逐渐上升的,则函数)(x f y =在区间[-2,1）,[3,5]上是增函数.例6.运用函数图像断定函数①1)(+=x x f ;②xx g 2)(=;③12)(++=x x h x 在[-3,3]上的单调性.剖析：不雅察三个函数,易见)()()(x g x f x h +=,作图一般步调为列表.描点.作图.起首作出1)(+=x x f 和x x g 2)(=的图像,再运用物理学上波的叠加就可以大致作出12)(++=x x h x 的图像,最后运用图像断定函数12)(++=x x h x 的单调性.解:作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数①1)(+=x x f 在闭区间[-3,3]上是单调增函数;②xx g 2)(=在闭区间[-3,3]上是单调增函数;运用物理上波的叠加可以直接大致作出③12)(++=x x h x在闭区间[-3,3]上图像,即③12)(++=x x h x在闭区间[-3,3]上是单调增函数.事实上本题中的三个函数也可以直接用函数性质法断定其单调性.用函数图像法断定函数单调性比较直不雅,函数图像可以或许形象的暗示出跟着自变量的增长,响应的函数值的变更趋向,但作图平日较烦.对于较轻易作出图像的函数用图像法比较简略直不雅,可以相似物理上波的叠加来大致画出图像.而对于不轻易作图的函数就不太实用了.但假如我们借助于相干的数学软件去作函数的图像,那么用图像法断定函数单调性是异常简略便利的. 1.4复合函数单调性断定法定理1：若函数)(u f y =在U 内单调,)g(x u =在X 内单调,且聚集{u ︳)g(x u =,X x ∈}U ⊂ （1）若)(u f y =是增函数,)g(x u =是增（减）函数,则)]([x g f y =是增（减）函数.（2）若)(u f y =是减函数,)g(x u =是增（减）函数,则)]([x g f y =是减（增）函数. 归纳此定理,可得口诀：同则增,异则减（同增异减） 复合函数单调性的四种情况可列表如下：情况函数 单调性 第①种情况第②种情况第③种情况第④种情况内层函数)(x g u = ↑ ↓ ↑ ↓ 外层函数)(u f y = ↑ ↓ ↓ ↑ 复合函数)]([x g f y =↑↑↓↓显然对于大于2次的复合函数此法也成立.推论：若函数)(x f y =是K(K ≥2),N K ∈)个单调函数复合而成个中有K m ≤个减函数： ① 是减函数时，则当)(12x f y k m =+=; ② 是增函数时，则当)(2x f y k m ==.断定复合函数)]([x g f y =的单调性的一般步调： ⑴合理地分化成两个根本初等函数)(),(x g u u f y ==; ⑵分离解出两个根本初等函数的界说域; ⑶分离肯定单调区间;⑷若两个根本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减,则)]([x g f y =为增函数,若为一增一减,则)]([x g f y =为减函数（同增异减）;⑸求出响应区间的交集,既是复合函数)]([x g f y =的单调区间.以上步调可以用八个字简记“一分”,“二求”,“三定”,“四交”.运用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题.例7.求)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）的单调区间.解：由题可得函数)253(log )(2-+=x x x f a 是由外函数u y a log =和内函数2532-+=x x u 相符而成.由题知函数)(x f 的界说域是),31()2,(+∞--∞ .内函数2532-+=x x u 在),31(+∞内为增函数,在)2,(--∞内为减函数.①若1>a ,外函数u y a log =为增函数,由同增异减轨则,故函数)(x f 在),31(+∞上是增函数;函数)(x f 在()2,-∞-上是减函数.②若10<<a ,外函数u y a log =为减函数,由同增异减轨则,故函数)(x f 在),31(+∞上是减函数;函数)(x f 在()2,-∞-上是增函数.2．断定抽象函数单调性的办法假如一个函数没有给出具体解析式,那么如许的的函数叫做抽象函数.抽象函数没有具体的解析式,需充分提取标题前提给出的信息. 2.1 界说法经由过程作差(或者作商),依据标题提出的信息进行变形,然后与0（或者1）比较大小关系来断定其函数单调性.平日有以下几种办法： 凑差法依据单调函数的界说,设法从标题中“凑出”“)()(21x f x f -”的情势,然后比较)()(21x f x f -与0的大小关系.例11.已知函数)(x f 对随意率性实数m .n 均有)()()(n f m f n m f +=+,且当0>m 时,0)(>m f ,试评论辩论函数)(x f 的单调性.解：由题得)()()(n f m f n m f =-+, 令m x n m x =+=21,,且21x x >,021>-=x x n又由题意当0>m 时,0)(>m f 0)()()(21>=-⇒n f x f x f ,所以函数)(x f 为增函数. 添项法弄清标题中的构造特色,采取加减添项或乘除添项,以达到能断定“)()(12x f x f -”与0大小关系的目标.例12.（同例11）解:任取2121,,x x R x x <∈,则012>-x x ,)()(12x f x f -)(])[(1112x f x x x f -+-= 由题意函数)(x f 对随意率性实数m .n 均有)()()(n f m f n m f +=+,且当0>m 时,0)(>m f 0)()()(1212>-=-⇒x x f x f x f ,所以函数)(x f 为增函数.增量法由单调性的界说动身,任取2121,,x x R x x <∈设)0(12>+=δδx x ,然后接洽标题提取的信息给出解答. 例13.（同例11）解：任取2121,,x x R x x <∈设)0(12>+=δδx x 由题意函数)(x f 对随意率性实数m .n 均有)()()(n f m f n m f +=+,)()()()()(1112δδf x f x f x f x f =-+=-⇒,又由题当0>m 时, 0)(>m f )0(0)()()(12>>=-⇒δδf x f x f ,所以函数)(x f 为增函数.放缩法运用放缩法,断定)(1x f 与)(2x f 的大小关系,从而得)(x f 在其界说域内的单调性. 例14.已知函数)(x f 的界说域为（0,+∞）,对随意率性正实数m .n 均有)()()(n f m f mn f =,且当1>m 时1)(0<<m f ,断定函数)(x f 的单调性.解：设210x x <<,则112>x x 又当1>m 时1)(0<<m f ,故1)(012<<x x f 再由)()()(n f m f mn f =中令1>m ,1=n 得1)1(=f 当10<<x 时,11>x ,由)1()()1(xf x f f =易知此时1)(>x f ,故0)(>x f 恒成立. 是以)()(1)()()()(111121122x f x f x f x xf x x x f x f =⨯<=⋅=)()(12x f x f <⇒ 即)(x f 在（0,+∞）上为单调递减函数.对于抽象函数,因为抽象函数没有具体的解析式,是以需充分提取标题前提给出的信息,不雅察构造特色.用界说法剖断抽象函数单调性比较实用于那种对于界说域内随意率性两个数21,x x 当21x x <时,轻易得出)(1x f -)(2x f 与0大小关系的函数.界说法是最直接的办法,思绪也比较清楚,在解题中灵巧选择凑差法.添项法.增量法.放缩法等适当的办法,可使解题进程加倍简略便利. 2.2 列表法对于比较庞杂的复合函数,除了用复合函数单调性断定法外,还可以用列表,将各个函数的单调性都列出来,然后再断定复合函数单调性.例15.已知)(x f y =在R 上是偶函数,且在[0,+∞）上是增函数,求)2(2x f -是减函数的区间解：列表如下 )2(2x f -是减由表知函数的区间)2,(--∞,)2,0[.运用列表法比较直不雅,准确.易懂.量与量之间的关系又很明白.列表法在现实生涯当中运用也是比较广泛的.但是列表法也有其局限性：在于实用题型狭小,求解规模小,大部分是跟探寻纪律或反应纪律有关.函数单调性是函数的一个异常主要的性质,本文从单调性的界说入手,总结了断定单调性的罕有办法.本文把函数分为具体函数和抽象函数两大类进行评论辩论,对于每类函数都给出了剖断单调性的若干办法.对于具体的函数,我们可以用多种办法去断定其单调性,特别地导数法是广泛实用的,若借助于盘算机,那么图像法也是最简略最直不雅的.对于抽象函数的单调性问题,我们给出了用界说法及列表法.这种题型不但抽象,并且分解性较强,对学生的思维才能有很高的请求,学生往往很难发明数学符号与数学说话之间的内涵关系.是以在断定函数单调性的问题上,应灵巧选择适当的办法,从而使解题进程最简略.函数 表达式单调性)2,(--∞ )0,2[-)2,0[ ),2[+∞22x y -= ↑ ↑ ↓↓ )(u f y =↓ ↑↑↓)2(2x f y -= ↓↑↓↑。
高一数学 函数单调性与最值(含解析)
函数单调性引入对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也随着增大”；在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ，，当 时，有 .这时，我们就说函数 在区间（0， ）上是增函数.一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义一般地，设函数 的定义域为 ： 如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是增函数（increasing function ）如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是减函数（decreasing function ）.【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.【例2】判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 【例3】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|； (3)y ＝－x 2＋2|x |＋1.【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f(x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．【解】令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 【例5】证明：函数 在R 上是增函数【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数 在区间 上是增函数。
函数单调性的判定方法(高中数学)
函数单调性的判定方法(高中数学)
函数单调性是指一个函数在某个区间上的取值，若其在该区间内是单调递增或者单调递减，则称该函数在此区间上是单调的。
高中数学中，函数单调性的判定方法是指用来判断一个函数在某个区间上是否单调的方法。
具体的判定方法有三种：
1. 利用值域的特性判断函数单调性。
当函数的值域为实数集、实数集U∪{+∞}(或-∞)时，函数是单调递增的；当函数的值域为实数集、实数集U∪{-∞}(或+∞)时，函数是单调递减的。
2. 利用导数的大小判断函数单调性。
如果函数的导数在某个区间上都是正的，则该函数在该区间上是单调递增的；如果函数的导数在某个区间上都是负的，则该函数在该区间上是单调递减的。
3. 利用函数的图像判断函数单调性。
在函数的图像上，如果曲线的切线方向都是向上的，就说明该函数在这个区间上是单调递增的；如果曲线的切线方向都是向下的，就说明该函数在这个区间上是单调递减的。
以上就是高中数学中函数单调性的判定方法，要想正确判断一个函数在某个区间上是否单调，不仅要理解这三
种判定方法，还要结合该函数的特点，综合考虑多种因素，才能得出准确的结论。
高一函数的性质知识点
高一函数的性质知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商：,≠0；③变形向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。
（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法.v1.0 可编辑可修改函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=kbkxy当0>k时，y在R上是增函数；当0<k时，y在R上是减函数。
高一函数单调性
函数的单调性1. 观察函数x x f =)(，2)(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律:(1). x x f =)(的图象是_________的，2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的.(2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2)(x x f =在]0,(-∞ 上，f （x ）随着x 的增大而_______;2)(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________.一、 函数的单调性1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。
那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。
※ 增函数、减函数的定义2、单调性的判定方法（1）定义法：判断下列函数的单调区间：21xy =x)()(21x f x < )()21x f x >（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（3）复合函数的单调性的判断：设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在],[b a 上也是单调函数。
①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
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高一函数单调性基础知识总结
一、单调函数的定义 设函数
的定义域为I,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量
当时，都有，那么就说函数在区间D 上是增函数，I 称为()x f y =的单调增区间
当时，都有，那么就说函数在区间D 上是减函数，I 称为()x f y =的单调减区间
如果函数()x f y =在区间I 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数()x f y =在区间I 上具有单调性。
单调增区间和单调减区间统称为单调区间。
对函数单调性德理解应把握以下几个方面：
（1） 函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质
① 这个区间可以是整个定义域
如：y=2x 在整个定义域﹙﹣∞，﹢∞﹚上是单调增函数＝﹣2x 在整个定义域﹙﹣∞，﹢∞﹚上是单调减函数。
② 这个区间也可以是定义域的真子集
如：y ＝12+x 在定义域﹙﹣∞，﹢∞﹚上不具有单调性，但﹙﹣∞，0]上市单调减函数，在[0，﹢∞]上是单调增函数。
（2） 并不是所有的函数都具有单调性，有的函数不具有单调性
如：y=2是常数函数且定义域为R ，函数值不随x 的变化而变化，因此不具有单调性。
（3） 区间端点的写法
对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于某些无意义时单调区间就不包括这些点
（4） 函数单调性定义中的x x 2
1必须满足任意性，不可以随便选两个特殊值 （5） 单调性的讨论必须在一个区间上
如：(),1x x f =当∈x ﹙﹣∞，0﹚时，是单调减函数，当∈x ﹙0，﹢∞﹚时，
也是单调减函数。
担当∈x ﹙﹣∞，0﹚∪﹙0，﹢∞﹚时，
就不具有单调性。
（6） 注意一些与单调性的定义类似的结论：若
x x 21是()x f y =定义域的任意两值，
且()()[]()02
121>--x x x x f f ，则在其定义域内位单调增函数；若()()[]()02121<--x x x x f f ，则
在其定义域内为单调减函数 （7） 函数单调性的几何意义：
单调增函数：在定义区间上图像从左到右上升
单调减函数：在定义区间上图像从左到右下降
二、判定函数单调性的常用方法
（1） 定义法：
若要证明在[a ，b]上是单调递增的，就必须证明对于区间[a ，b]上任意的
x x 21，两个自变量的值，当时都有成立。
若要证明
在[a ，b]上不是单调递增的，只需举出一个反例就足够了，即只要找到两个特殊的，满足a ≤≤b ，而()x f 1≥()x f 2
即可 用定义证明函数单调性的一般步骤： ①取值：即设是该区间内的任意两个值，且. ②作差：即
，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。
③定号：根据给定的区间和符号，确定差的符号。
④判断：根据定义得出结论。
（2）运算性质法 ①函数
与a ，当a ﹥0时有相同的单调性。
当a ﹤0时有相反的单调性 ②当函数恒为正或恒为负时，与()
x f 1具有相反的单调性 ③若
≥0，则与()x f 具有相同的单调性 ④如、()x g 的单调性相同，则+()x g 的单调性与、()x g 的单调性相同
⑤如、()x g 的单调性相同反，则—()x g 的单调性与的单调性相同
（3）图像法：根据函数的图像判断函数在某区间上的单调性
（4）复合函数的单调性的判断：
①定义：
设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)
②复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：
函数单调性
()
=增增减减
u g x
y f u
=增减增减
()
[]
=增减减增
()
y f g x
这种规律简称为“同增异减”。