函数单调性的性质
函数的简单性质-单调性
求最值
求函数最大值
在闭区间上，如果函数在某区间内单 调递增，那么该函数在此区间内取得 最大值。同样，如果函数在某区间内 单调递减，那么该函数在此区间内取 得最小值。
求函数最小值
在闭区间上，如果函数在某区间内单 调递增，那么该函数在此区间内取得 最小值。同样，如果函数在某区间内 单调递减，那么该函数在此区间内取 得最大值。
对于函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$，其导数为$f'(x) = 3x^{2} - 6x$。要使$f(x)$在区间$( - infty,a)$上是 增函数，需要满足$f'(x) > 0$，即$3x^{2} - 6x > 0$， 解得$x < 0$或$x > 2$。因此，当$a < 0$或$a > 2$ 时，函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$在区间$( infty,a)$上是增函数。
反例应用
在研究经济发展时，需要考虑到各种因素对经济的影响，包括政策、技术、人口等。通过 找到单调性的反例，可以更全面地了解经济发展的实际情况，为政策制定提供更有针对性 的建议。
06 习题与解答
习题
判断函数$f(x) = x^{2} - 2x$在 区间$( - infty,a)$上是减函数的
条件是什么？
单调性与奇偶性的关系
总结词
函数的奇偶性是指函数图像关于原点对称的性质，而单调性是指函数值随自变量变化的 趋势。虽然奇偶性和单调性是函数的两种不同性质，但它们之间也存在一定的关系。例 如，奇函数在对称轴两侧的函数值是相等的，因此奇函数在对称轴两侧的单调性是一致
的。
详细描述
对于奇函数，如果它在某个区间内单调递增，那么它在该区间内关于原点对称的区间内 也单调递增；同样地，如果奇函数在某个区间内单调递减，那么它在该区间内关于原点 对称的区间内也单调递减。而对于偶函数，由于其图像关于y轴对称，因此偶函数在任
函数单调性的性质
函数单调性的性质：（1）增函数：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值， 当时，都有，0)()(2121>--x x x f x f（2）减函数：如果对于属于定义域I 内某个区间的任意两个自变量的值，当时， 都有，0)()(2121<--x x x f x f（3） 函数的单调性还有以下性质．1．函数y ＝－f （x ）与函数y ＝f （x ）的单调性相反．2．当f （x ）恒为正或恒为负时，函数y ＝)(1x f 与y ＝f （x ）的单调性相反．3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等． 4 .如果k>0 函数k ()f x 与函数()f x 具有相同的单调性。
如果k<0 函数k ()f x 与函数()f x 具有相反的单调性。
5..若()f x ≠0，则函数()1f x 与()f x 具有相反的单调性,. 6. 若()f x >O ，函数()f x 与函数()f x 具有相同的单调性。
若 ()f x <0，函数()f x 与函数()f x 具有相反的单调性7。
.函数()f x 在R 上具有单调性，则()f x -在R 上具有相反的单调性。
复合函数的单调性。
如果函数 ()x g u = A x ∈ B u ∈ ()u f y = ()B C ⊆ D y ∈，则()[]x g f y =称为x 的复合函数。
解决复合函数的问题，关键是弄清复合的过程，即中间变量u 的定义域与值域的作用。
复合函数的单调性的判断：同增异减。
函数单调状况 内层函数()u g x = 增 增 减 减 外层函数()y f u = 增 减 增 减 复合函数增减减增题型一：求函数的单调区间及该区间上的单调性1.求下列函数的增区间与减区间(1) y ＝|x 2＋2x －3| 1122---=x xx y32y 2+--=x x2.判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数？题型二：.已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性例1.若函数y ＝ax , y ＝bx-在（0，＋∞）上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在（0,＋∞）上是 ________（填单调性）．例2.设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间．答案：在(- 4，0)上单调递减。
高中数学中的函数单调性性质总结
高中数学中的函数单调性性质总结高中数学中，函数单调性是非常重要的概念之一。
在函数的研究中，单调性是指一种自变量变化时，函数值的增减性质。
在本文中，我们将对函数单调性的性质进行总结和探讨，希望能对同学们更好地掌握这一概念。
一、函数单调性及其分类函数单调性是指在定义域内，自变量变大时，函数值单调递增或者单调递减，称为函数的单调性。
具体来说，若对于定义域内的任意两个自变量，我们有f(x2) ≥ f(x1) ，则函数为单调递增函数；若对于定义域内的任意两个自变量，我们有f(x2) ≤ f(x1) ，则函数为单调递减函数。
二、单调性的判定方法首先，我们需要了解单调性的判定方法。
通常有两种方法：导数法和图像法。
导数法，顾名思义，通过计算函数的导数来判断函数的单调性。
具体来说，若f‘(x)>0，则函数单调递增；若f‘(x)<0，则函数单调递减。
图像法，我们可以画出函数的图像，并观察函数的走向和斜率。
若函数的图像在定义域内逐渐上升，则函数单调递增；若函数的图像在定义域内逐渐下降，则函数单调递减。
三、几类常见函数的单调性1. 常函数：常函数的导数为0，因此常函数的单调性为常数函数。
2. 一次函数：一次函数是一条直线，因此单调性的判定非常简单。
若a>0，则函数单调递增；若a<0，则函数单调递减。
3. 幂函数：幂函数分为2种情况：a>0和a<0。
当a>0时，若n为偶数，则函数在左半轴上单调递减，在右半轴上单调递增；若n为奇数，则函数在整个定义域内单调递增。
当a<0时，若n为偶数，则函数在左半轴上单调递增，在右半轴上单调递减；若n为奇数，则函数在整个定义域内单调递减。
4. 指数函数：指数函数y=a^x，a>0且a≠1。
当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。
5. 对数函数：对数函数y=logax，a>0且a≠1。
当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。
函数的四大性质总结
函数的四大性质总结知识点总结：一． 单调性：1. 定义：在定义域I 里，有两个任意自变量,当时，则f （x ）在定义域单调增。
当时，则f （x ）在定义域单调减。
2. 判断方法：①定义法（作差或作差比较）；②图象法；③单调性的运算性质；④复合函数单调判断法则；⑤倒数法； 二． 奇偶性：偶函数 ：f （-x ）=f （x ）（只需要满足这个式子就可以） 奇函数：f （-x ）= - f （x ）（只需要满足这个式子就可以） 三． 周期性：如果存在一个数a ，使得f （x+a ）=f （x ）[记忆方法：括号里面相减等于一个定值a]，则f （x ）为周期函数，T=a 。
周期函数有三种变形形式： 这三种形式的周期都为2a 。
四． 对称性：如果存在一个数a ，使得f （x+a ）=f （a-x ）[记忆方法：括号里面相加等于一个定值2a]，则f （x ）为对称函数，对称轴为x=a 。
对称性和周期性的结合：① f(x)关于（a,0）和(b,0)点对称,则f （x ）是周期函数，T=2② f(x)关于直线x=a 和x=b 对称,则f （x ）是周期函数，T=2 ③ f(x)关于点（a,0）和x=b 点对称,则f （x ）是周期函数，T=4专题训练（一）函数的单调性 1、当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x ，下列式子中正确的是（A ）()11log >-x x （B ）xx-+⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛112121 （C ）()()232311x x -<+ （D ）()11log 2->-x2、()()()4,2122∞-+-+=在x a x x f 上是减函数，则a 的取值围是（ ）（A ）3-≤a （B ）3-≥a （C ）5≤a （D ）3≥a3、设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） Ａ．R Q P <<Ｂ．P R Q <<Ｃ．Q R P <<Ｄ．R P Q <<3．1函数是单调函数时，的取值围 A ． B ． C ． D ．3.2、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ],0[+∞∈时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（ ） （A ）f(π)>f(-3)>f(-2) （B ）f(π)>f(-2)>f(-3) （C ）f(π)<f(-3)<f(-2) （D ）f(π)<f(-2)<f(-3)3.3、函数()f x 是(,)-∞+∞上的增函数，若对于12,x x R ∈都有121()()()f x f x f x +≥-+2()f x -成立，则必有（A ）12x x ≥ （B ）12x x ≤ （C ）120x x +≥ （D ）120x x +≤ 3.4、已知函数f （x ）、g （x ）定义在同一区间D 上，f （x ）是增函数，g （x ）是减函数，且g （x ）≠0,则在D 上Af(x)+g(x)一定是减函数 B f(x)-g(x)一定是增函数 C f(x)·g(x)一定是增函数 D )()(x g x f 一定是减函数4若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ A ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>5 函数f(x)=㏒0.5(x-1)(x+3)的单调递增区间是（A ）A （-∞，-3）B （-∞，-1）C （1，∞）D （-3，-1）6设2lg ,(lg ),lg ,a e b e c e ===则（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>7 下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是 A ．()f x =1xB ()f x =2(1)x -C ()f x =xe D ()ln(1)f x x =+ 8 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-则A (3)(2)(1)f f f <-<B (1)(2)(3)f f f <-<C (2)(1)(3)f f f -<<D (3)(1)(2)f f f <<- 9已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则 （A ）(A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<10．函数 的单调区间为11.f （x ）= （1）判断函数的奇偶性（2）若y=f （x ）在 上为减函数，求a 的取值围。
函数的基本性质之单调性
函数的基本性质之单调性1.增函数：y随x的增大而增大的函数，即对任意的x1，x2属于定义域，若x1>x2，有f（x1）>f（x2）2.减函数：y随x的增大而减小的函数，即对任意的x1，x2属于定义域，若x1>x2，有f（x1）<f（x2）3.单调性：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为单调区间考点一：用定义证明函数的单调性方法：取值变形例：证明：函数y=x+在（0，上是减函数练：在上例中，若定义域换为（3，），那么函数的单调性如何？且画出在（0，）上的大致图像。
考点二：求单调区间方法：化简函数解析式画出函数图像确定单调区间例：指出函数y=-++3的单调区间练：指出函数y=-+3x+3的单调区间考点三：利用单调性确定参数指导思想：若y=f(x)在区间（a，b）上递增（减）就等价于（a，b）是增区间（减区间）的一个子集例：已知函数f（x）=+2（a-1）x+2在区间（-，上是减函数，求实数a的取值范围练：已知函数f（x）=+2（a-1）x+2的单调递减区间是（-，，求实数a的取值范围4.函数的最大值：一般的，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在M满足，对于任意的x I，都有f（x）M，且存在x0I，使得，f（x0）=M，那么称M是函数y=f（x）的最大值5.函数的最小值：一般的，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在M满足，对于任意的x I，都有f（x）M，且存在x0I，使得，f（x0）=M，那么称M是函数y=f（x）的最小值考点四：利用图像求函数最值例：已知函数f（x）=3-12x+5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值，最小值：（1）x R;(2)x；（3）x考点五：利用单调性求函数最值方法：定义法证明函数单调性求最值例：求函数f（x）=x+在x上的最大值及最小值。
练：求函数f（x）=x+在x上的最值。
专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上；②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <；③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有) ()(f x f x --=，那么函数()f x 就叫做奇函数关于原点对称判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3．函数的对称性(1)若函数()y f x a =＋为偶函数，则函数()y f x =关于x a =对称．(2)若函数()y f x a =＋为奇函数，则函数()y f x =关于点(0)a ，对称．(3)若()()2f x f a x =-，则函数()f x 关于x a =对称．(4)若2(2)()f x f a x b -=＋，则函数()f x 关于点()a b ，对称．4.函数的周期性（1）周期函数：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有(()f x T f x +=），那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做()f x 的最小正周期.【方法技巧与总结】1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；②若()f x 和()g x 均为增(或减)函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增(或减)函数；③若()0f x >且()f x 为增函数，1()f x 为减函数；④若()0f x >且()f x 为减函数，1()f x 为增函数．2.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =；偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()(01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-．③函数2()log log (1aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =+或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+．②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-．③函数(||)f x 类型的一切函数．④常数函数3.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数4.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.5.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．【题型归纳目录】题型一：函数的单调性及其应用题型二：复合函数单调性的判断题型三：利用函数单调性求函数最值题型四：利用函数单调性求参数的范围题型五：基本初等函数的单调性题型六：函数的奇偶性的判断与证明题型七：已知函数的奇偶性求参数题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值题型九：已知()f x =奇函数+M 题型十：函数的对称性与周期性题型十一：类周期函数题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性题型十三：函数性质的综合【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有()-()-f a f b a b>0成立，则必有（）A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数a ，b 都有()()()0a b f a f b -->⎡⎤⎣⎦，则不等式()()315f x f x ->+的解集为（）．A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞例3．（2022·全国·高三专题练习）()252f x x x =-的单调增区间为（）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()22xxf x =-.（1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x 的不等式2(log )(1)f x f <.例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型二：复合函数单调性的判断例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数y =）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-，例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-例8．（2022·全国·高三专题练习）函数2231()(2x x f x --=的单调递减区间是（）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞C ．(3,)+∞D ．(1,)+∞【方法技巧与总结】讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数；2．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表如下：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．题型三：利用函数单调性求函数最值例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I 内单调递增且有界的函数()f x ，即0M ∃>，x I ∀∈，()f x M ≤．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①()f x =()21x f x x =+；③()e e e ex xx x f x ---=+；④()11e x f x -=+．例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且()1f e =-．（1）求()1f 的值；（2）判断函数在()0,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0)2axf x a x =≠-.（1）判断函数()f x 在区间()2,2-上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若()33f =，求[]1,1x ∈-时函数()f x 的值域.例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知a b <，函数()f x 的定义域为I ，若存在[,]a b I ⊆，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，我们就说()f x 是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（）①()21f x x =-+；②2()f x x =；③()2f x =+；④1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④【方法技巧与总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是增函数，在区间[)b c ，上是减函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最大值()f b ．2．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是减函数，在区间[)b c ，上是增函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最小值()f b ．3．若函数()y f x =在[]a b ，上是严格单调函数，则函数()y f x =在[]a b ，上一定有最大、最小值．4．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递增函数，则()y f x =的最大值是()f b ，最小值是()f a ．5．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递减函数，则()y f x =的最大值是()f a ，最小值是()f b ．题型四：利用函数单调性求参数的范围例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“1b ≤”是“函数()()22,0log 2,20bx x f x x b x +>⎧=⎨++-<≤⎩是在()2,-+∞上的单调函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数()()e 4,0,2log 1,10,x m m x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+-<≤⎪⎩若1x ∀，2x ∈R ，()()12120f x f x x x ->-，且()()2g x f x x =--仅有1个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数2()2f x x ax b =-+在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．（-∞，1]C ．[-1，+∞）D ．（-∞，-1]例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（）A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =0a >且1a ≠）在区间[)1,3上单调递增，则实数a 的取值不可能是（）A ．13B ．12C ．23D ．56例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a的范围是_______.例19．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈，则θ的取值范围是___________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当0x >时，()1f x >，且()12f =.（1）求()()0,1f f -的值，并判断()f x 的单调性；（2）当[]1,2x ∈时，不等式()()231f ax x f x -+<恒成立，求实数a 的取值范围.【方法技巧与总结】若已知函数的单调性，求参数a 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a 的不等式，利用下面的结论求解．1.若()a f x >在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔>在[]m n ，上的最大值．2.若()a f x <在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔<在[]m n ，上的最小值．题型五：基本初等函数的单调性例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在()1,3上单调递减的是（）A ．24y x x =-B ．12x y -=C ．y =D ．cos 1y x =+例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．xy e -=B ．3y x =C ．ln y x=D ．y x=例23．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是奇函数，且()()12120f x f x x x ->-对任意12,x x R ∈且12x x ≠都成立，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3log 7b f =，()30.8c f =-，则（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a<<D ． a c b<<例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数()232xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()ln 3a f =，()5log 2b f =-，c f =（e 为自然对数的底数），则（）．A ．a b c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a c b>>【方法技巧与总结】1.比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.2.求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.题型六：函数的奇偶性的判断与证明例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x=--C ．3y x x=--D ．3=-+y x x例27．（2022·广东·二模）存在函数()f x 使得对于x R ∀∈都有()()f g x x =，则函数()g x 可能为（）A ．()sin g x x=B ．()22g x x x=+C ．()3g x x x=-D ．()()x xg x e e-=+例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )（2）f (x )＝(x ＋（3）f (x ).（4）f (x )＝2221,0,21,0;x x x x x x ⎧-++>⎨+-<⎩例29．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②()g x 为奇函数；③()0,x ∀∈+∞，()0>g x ；④任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在()0,+∞上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.题型七：已知函数的奇偶性求参数例30．（2022·北京海淀·二模）若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-例31．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a （）A ．-1B ．0C ．1D ．±1例32．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数()22x x af x a +=-为奇函数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．±1例33．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数()(1)1x mf x x e=++为偶函数，则m 的值为_________.例34．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数()()22330x xa a a f x -+=-⋅≠为奇函数，则=a ______．例35．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数()2221x xa b f x x -+⋅=+为偶函数，则=a ______．例36.（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数)1()e ln e x xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为R 上的偶函数，则实数=a ___________.【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=±，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值例37．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设()f x 为奇函数，且0x >时，()e ln xf x x =+，则()1f -=___________.例38．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5例39．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时，()232f x x x m =-+，则()f x 在[]1,2上的最大值为()A ．1B ．8C ．5-D ．16-例40．（2022·江西·模拟预测（理））(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2022sin 25+=--x f x g x x x ，则下列说法错误的是（）A ．(0)1g =B ．()g x 在[]0,1上单调递减C ．(1101)-g x 关于直线1101=x 对称D ．()g x 的最小值为1例41．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x f x x =+-，则当0x <时，()f x =（）A ．21x x ---B ．21x x -++C ．121x ----D ．121x --++例42．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当()0,1x ∈时，()241xxf x =+.(1)求()1f 和()1f -的值；(2)求()f x 在[]1,1-上的解析式.例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且其定义域均为{R,1}x x x ∈≠±.若()1()1f xg x x +=-，求()f x ，()g x 的解析式.【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式.题型九：已知()f x =奇函数+M例44．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =++（a ，b 为实数），()3lg log 102022f =，则()lg lg3f =______．例45．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（）A ．2B ．3C ．－2D ．－3例46．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A ．4B ．8C ．12D ．16例47．（2022·上海·高一专题练习）若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是_______A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．28,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．416,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭例48．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数()()113e sin 1ex x x f x --⋅--=在区间[]3,5-上的最大值、最小值分别为p 、q ，则p q +的值为（）．A ．2B ．1C ．6D ．3例49．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数()()211()2x x f x x x e e x --=--+在区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（）A ．2-B ．0C ．2D ．4例50．（2022·广东潮阳·高一期末）函数()()22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.例51．（2022·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数2222020sin ()2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___.【方法技巧与总结】已知()f x =奇函数+M ，[,]x a a ∈-，则（1）()()2f x f x M -+=（2）max min ()()2f x f x M +=题型十：函数的对称性与周期性例52．（2022·天津三中二模）设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，且122x x a +=，恒有()()122f x f x b +=，则称函数()f x 具有对称性，其中点(,)a b 为函数()y f x =的对称中心，研究函数1()1tan(1)1f x x x x =+++--的对称中心，求13540432022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （）A ．2022B ．4043C ．4044D ．8086例53．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()24f x f x +=+，且()1f x +是奇函数，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的图象关于直线12x =对称C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称例54．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2220222f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数()2021f x +的图象关于点()2021,0-对称，且()12022f =，则()2021f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例55．（2022·新疆·三模（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()6f x f x +=，且当[]0,3x ∈时，()e x f x x =，则下面结论正确的是（）A ．()()()3ln 3e e f f f <<-B ．()()()3e ln 3ef f f -<<C ．()()()3e e ln 3f f f <-<D ．()()()3ln 3e ef f f <-<例56．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f =则(45)f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例57．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（）A ．4B ．4-C ．0D ．6-例58．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若32f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数且()12f =，则()()()202020212022f f f ++=（）A ．2-B ．4C ．4-D ．6例59．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数()()()222f x x x x ax b =+++满足：对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，则函数()f x 的最小值为（）A ．-20B ．-16C ．-15D ．0例60．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>例61．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数()f x 满足()()f x f x -=--，且函数()f x 与()cos 2g x x x =≠-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，则()41i ii x y =+=∑（）A ．－4πB ．－2πC ．2πD ．4π【方法技巧与总结】（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.题型十一：类周期函数例62．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4例63．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18f x t t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是()A ．(](],10,3-∞- B．((,-∞ C ．[)[)1,03,-+∞ D．))⎡+∞⎣ 例64．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤例65．（2022·湖北·高三月考）已知函数()11,022(2),2x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨->⎩，其中R a ∈，给出以下关于函数()f x 的结论：①922f ⎛⎫= ⎪⎝⎭②当[]0,8x ∈时，函数()f x 值域为[]0,8③当4,15k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时方程()f x kx =恰有四个实根④当[]0,8x ∈时，若()22xf x a +≤恒成立，则1a ≥-）A ．1B ．2C ．3D ．4【方法技巧与总结】1.类周期函数若()y f x =满足：()()f x m kf x +=或()()f x kf x m =-，则()y f x =横坐标每增加m 个单位，则函数值扩大k 倍．此函数称为周期为m 的类周期函数．xx类周期函数图象倍增函数图象2.倍增函数若函数()y f x =满足()()f mx kf x =或()(xf x kf m=，则()y f x =横坐标每扩大m 倍，则函数值扩大k倍．此函数称为倍增函数．注意当m k =时，构成一系列平行的分段函数，222311()[1)(1)[)()(1)[)(1)[)n n ng x x m g x m x m m f x g x m x m m g x m x m m --∈⎧⎪-+∈⎪⎪=-+∈⎨⎪⎪⎪-+∈⎩，，，，，，，，．题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例66．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（）A ．()3,1-B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞-- D ．()(),31,-∞-⋃+∞例67．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b<<例68．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x -=-，则方程()11f x x =-在区间[]3,5-上所有解的和为（）A ．8B ．7C ．6D ．5例69．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）求()()22f xg x -的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.例70．（2022·上海·高三专题练习）定义在(－1，1)上的函数f (x )满足①对任意x 、y ∈(－1，1)，都有f (x )+f (y )=f (1x y xy ++)；②当x ∈(－1，0)时，有f (x )>0．求证：21111()()()()511312f f f f n n +++>++ ．【方法技巧与总结】抽象函数的模特函数通常如下：(1)若()()()f x y f x f y +=+，则()(1)f x xf =(正比例函数)(2)若()()()f x y f x f y +=，则()[(1)]x f x f =(指数函数)(3)若()()()f xy f x f y =+，则()log b f x x =(对数函数)(4)若()()()f xy f x f y =，则()a f x x =(幂函数)(5)若()()()f x y f x f y m +=++，则()(1)f x xf m =-(一次函数)(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.题型十三：函数性质的综合例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（）A ．()2,1-B．(-C ．()0,1D．(例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(lo )g )2(1f a f f a +≤，则a 的最小值是（）A ．32B ．1C ．12D ．2例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数31()224e e x xf x x x =-++-，其中e 是自然对数的底数，若()2(6)8f a f a -+>，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(3,2)-C ．(,3)-∞-D ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数()3112e 33ex x f x x x =-+-+，其中e是自然对数的底数，若()2(23)6f a f a -+≥，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3][1,)-∞-+∞ B ．(,3]-∞-C ．[1,)+∞D ．[]3,1-例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1x ≥时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意[]2x a a ∈+，，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．)+∞B．)+∞C ．()1-∞，D．⎡⎣例77．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数221e e ()312x x xf x --=++，若不等式2(4)(2)1f ax f ax -+≤对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]e,0-B ．[]2,0-C ．[]4,0-D ．2e ,0⎡⎤-⎣⎦例78．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2121xx f x -=+，若()()e 0x f f ax +<有解，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．(),e -∞-C ．[]e,0-D ．()(),e 0,-∞-⋃+∞例79．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知函数()()1ln e 12x f x x =+-(e 为自然对数的底数)，若()()21f a f a ≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[1，+∞)C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【方法技巧与总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.【过关测试】一、单选题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x =--C ．3y x x =--D ．3=-+y x x2．（2022·河南·模拟预测（文））已知0x >，0y >，且2e e sin 2sin x y x y ->-，则（）A ．2x y<B ．2x y>C ．x y>D ．x y<3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()(),21,-∞-+∞ D ．()2,1-4．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足32()(1)62f x x x =-++，且()()8f x m f x +≤在[]1,3x ∈有解，则实数m 的最大值为（）A ．23B ．2C ．53D ．45．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数(()cos ln 4f x x x π=+⋅+在区间[5,5]-的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +的值等于()A ．0B ．10C ．4πD ．2π6．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知()f x 为奇函数，且当0x >时()211e xf x x-=+，则曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（）A ．240x y ++=B ．240x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y ++=7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且()()4f x f x =+，当()0,2x ∈时，()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．-11B ．-8C ．3log 4D ．38log 4-8．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()2ln ,0,0x x f x mx mx x >⎧=⎨--≤⎩的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1⋃(1,)+∞C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞二、多选题9．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数23()2x f x x -=-的性质，说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在定义域上单调递减D ．点(2,2)是()f x 图象的对称中心10．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-12．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数())lg f x x =，()212xg x =+，()()()F x f x g x =+，则（）A ．()f x 的图象关于()0,1对称B ．()g x 的图象没有对称中心C ．对任意的[](),0x a a a ∈->，()F x 的最大值与最小值之和为4D ．若()3311F x x x -+-<-，则实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞三、填空题13．（2022·山东临沂·二模）已知函数e ()1xmxf x x =+-是偶函数，则m =__________．14．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()()ln 0f x x a a a =-+>在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为1，则a 的值为________.15．（2022·广东佛山·三模）已知函数()22x x f x a -=+⋅的图象关于原点对称，若3(21)2f x ->，则x 的取值范围为________．16．（2022·陕西宝鸡·二模（文））若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列①()1f x x=，②()=f x ，③()1212xxf x -=+，④22,0(),0x x f x x x ⎧-=⎨<⎩四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）四、解答题17．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a ∈R ，函数2()21x x af x +=+；(1)求a 的值，使得f （x ）为奇函数；(2)若3()2a f x +<对任意x ∈R 成立，求a 的取值范围．18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的函数，()()f x f x -=-恒成立，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)确定函数()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解不等式()()10f x f x -+<．19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数()()20,1,R x xf x ka a a a k -=->≠∈，()f x 是定义域为R 的奇函数(1)确定k 的值(2)若()13f =，判断并证明()f x 的单调性；(3)若3a =，使得()()()221f x f x λ≤+对一切[]2,1x ∈--恒成立，求出λ的范围.20．（2022·全国·高三专题练习）定义域均为R 的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()10x f x g x +=．(1)求函数()f x 与()g x 的解析式；(2)证明：1212()()2()2x x g x g x g ++≥；(3)试用1()f x ，2()f x ，1()g x ，2()g x 表示12()f x x -与12()g x x +．21．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的函数()f x ，对任意12,x x R ∈，满足下列条件：①1212()()()2f x x f x f x +=+-②(2)4f =（1）是否存在一次函数()f x 满足条件①②，若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，说明理由.（2）证明：()()2g x f x =-为奇函数；22．（2022·上海·二模）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.(1)已知函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；(2)设1()423x x f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围；(3)若()22log 2,3()2,3x mx x f x x ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 取值范围.。
函数单调性高三复习知识点
函数单调性高三复习知识点函数单调性是高中数学中的重要知识点之一，它在数学分析、代数学等学科中有着广泛的应用。
本文将就函数单调性的定义、性质、证明方法等方面进行高中复习知识点的总结。
一、函数单调性的定义与性质在数学中，函数单调性是指函数对于定义域内的任意两个不同的自变量取值，其函数值的变化关系。
具体而言，若函数在定义域D上满足对于任意的x_1,x_2∈D，且x_1 < x_2，都有f(x_1) < f(x_2)，则称该函数在D上为递增函数；若对于任意的x_1,x_2∈D，且x_1 < x_2，都有f(x_1) > f(x_2)，则称该函数在D 上为递减函数。
函数的单调性可以用图像直观地表示出来。
对于递增函数，其图像从左往右呈上升趋势；对于递减函数，其图像从左往右呈下降趋势。
而对于函数的单调性来说，如果一个函数既是递增函数又是递减函数，那么它在整个定义域上是无单调性的。
二、函数单调性的证明方法1. 利用导数的符号进行证明函数的单调性与函数的导数有着密切的关系。
对于给定的函数，如果在定义域内的某个区间上导数的取值恒为正值，则函数在该区间上为递增函数；如果导数的取值恒为负值，则函数在该区间上为递减函数。
证明函数单调性的关键是分析函数的导数符号。
可以通过导数的定义及相关的数学推理，找出导数在某个区间上的符号，从而得出函数在该区间上的单调性。
2. 利用函数的增减性进行证明对于函数f(x)，若在定义域内的任意两个不同的自变量取值x_1和x_2，若有f(x_1) < f(x_2)，则函数在x_1和x_2之间取任意值时均满足f(x_1) < f(x) < f(x_2)，则称函数在x_1和x_2之间是递增的。
反之，如果有f(x_1) > f(x_2)，则称函数在x_1和x_2之间是递减的。
基于这个性质，可以通过选择不同的x_1和x_2来判断函数的单调性。
如果对于所有的x_1 < x_2，都有f(x_1) < f(x_2)，则函数为递增函数；如果对于所有的x_1 < x_2，都有f(x_1) > f(x_2)，则函数为递减函数。
第五课函数单调性.ppt
u=g(x)
减函数 增函数 减函数 增函数
y=f[g(x)]
减函数 增函数 增函数 减函数
可按多因式相乘的符号确定法则来记忆， （同增异减）增函数不改变复合函数的单 调性
四、判断函数单调性的方法： 1、定义法； 2、导数法:y’≥0增（不恒为0）； y’≤0（不恒为0）为减 3、图象法; 4、利用复合函数单调性. 5.利用基本函数的单调性 6.利用函数的奇偶性和单调性的关系 注意：证明单调性只能用定义或导数法
七、巩固练习 1.函1、数f(x)=4x2-mx+5在(2,+∞)上是增函数， 则m的取值范围是 m，≤1f6(1)的取值范 围是 .f(1)≥-7
2.奇函数f(x)在[3，7] 上是增函数，且 最小值是5，则f(x)在[-7，-3]的最 大 . 值为 －5 .
3.函数y=x+ 1 2x 的单调性为 增 .
(-1,1)上是增函数还是减函数，并证明 你的结论 增
27. 已知函数 f (x) x 4 a x 在
(-∞,1]上为单调增函数，求a的取值范围 a≥5
28.是否存在实数a，使函数 f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上是增函数？ 如果存在，说明a可以取哪些值；如果不 存在，说明理由. a>1
a 2x 1.已知函数 f ( x) 1 x2 是定义在R上
的奇函数，a为常数.（1）求a的值；（2）判 断函数f(x)在区间（－1，1）上的单调性.
2、如果函数f(x) = x2+2(a-1)x+2在区间 （-∞，4）上是减函数，那么实数的取 值范围是
小结：
1、理解掌握函数单调性的定义； 2、理解掌握判断函数单调性的方法：
11.函数f(x)在递增区间是(-4,7)，则
函数的性质
函数的单调性和奇偶性1．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）； 注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2)（2）单调区间：如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
例1、如下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及函数)(x f y =的最值。
说明：两个单调区间不能用“ ”连接。
（3）利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解、配方、有理化）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。
例2：利用函数单调性的定义证明：(1) 1()f x x x=+在区间)0,(-∞上是单调增函数； (2) ()f x x =-在定义域上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法：图像法、定义法、利用已知函数的单调性、复合函数法（同增异减） 例3：讨论函数f （x ）=21++x ax （a ≠21）在（－2，+∞）上的单调性.531-2-5xOy（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
函数的单调性和运算性质
函数的单调性和运算性质
函数的单调性也可以叫做函数的增减性。
当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。
定义
函数的单调性也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。
当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。
在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。
运算性质
f(x)与f(x)+a具有相同单调性；
f(x)与g(x) = a·f(x)在 a>0 时有相同单调性，当 a<0 时，具有相反单调性；
当f(x)、g(x)都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则f(x)×g(x)为增（减）函数；若两者都恒小于零，则为减（增）函数；
两个增函数之和仍为增函数；增函数减去减函数为增函数；两个减函数之和仍为减函数；减函数减去增函数为减函数；函数值在区间内同号时，增（减）函数的倒数为减（增）函数。
函数的单调性证明
函数的单调性证明函数的单调性是数学分析中一个重要的概念，它描述了函数的增减关系。
在数学证明中，为了证明一个函数的单调性，我们通常需要使用导数的概念和相关的数学性质。
下面将从定义单调性开始，介绍函数单调性的证明方法和常用的技巧。
一、定义和性质在数学中，对于定义在区间上的函数f(x)，我们说它是单调递增的，如果对于区间内的任意两个数a和b，当a小于b时，f(a)小于或等于f(b)，即f(a)<=f(b)。
如果不等号取等号即为单调递增严格的定义。
类似地，函数f(x)是单调递减的，当且仅当对于区间内的任意两个数a和b，当a小于b时，f(a)大于或等于f(b)，即f(a)>=f(b)。
同样，当不等号取等号时，为单调递减严格的定义。
对于一个单调递增的函数f(x)，我们有以下性质：1.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其在该区间上任意一点的左极限总是小于或等于右极限，即f(a-)≤f(a+)≤f(b-)≤f(b+)；2.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其必须在该区间内是有界的；3.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其在该区间上是可积的；4.若函数在区间[a,b]上连续，则其在该区间上的函数值区间是连续的。
二、证明方法在证明函数的单调性时，我们常常使用导数的相关性质。
导数可以表示函数的变化率，而单调性对应于导数的正负性。
具体的证明方法主要有以下几种。
1.利用导数的定义证明利用导数的定义f'(x) = lim(h->0)(f(x+h) - f(x))/h来证明函数的单调性。
首先计算导数f'(x)，然后判断f'(x)在给定区间内的正负性来推断函数的单调性。
2.利用导数的性质证明利用导数的性质来证明函数的单调性，包括导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减，以及导数恒为0表示函数是常数等。
这种方法通常适用于已知函数的导数形式的情况。
3.利用导数的比较性质证明对于两个函数f(x)和g(x)，如果在给定区间内f'(x)>=g'(x)，那么我们可以推断f(x)>=g(x)，即f(x)单调递增；如果f'(x)<=g'(x)，那么我们可以推断f(x)<=g(x)，即f(x)单调递减。
函数单调性课件(公开课)ppt
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
单调性知识点
单调性知识点单调性是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
在本文中，我将会详细介绍单调性的定义、性质、应用以及解题技巧。
一、定义在数学中，单调性是指函数的增减规律。
具体而言，如果对于任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)<=f(x2)，则称函数f(x)在区间[a,b]上单调不降；如果对于任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)>=f(x2)，则称函数f(x)在区间[a,b]上单调不增。
如果在区间[a,b]上既有单调不降又有单调不增，则称函数f(x)在该区间上单调不变。
反之，则称函数f(x)在区间[a,b]上不单调。
二、性质1.单调性是一个区间上的性质，不具有函数整体上的性质。
2.如果函数f(x)在区间[a,b]上单调不降，则f(x)在该区间上的最小值为f(a)，最大值为f(b)；如果函数f(x)在区间[a,b]上单调不增，则f(x)在该区间上的最小值为f(b)，最大值为f(a)。
3.如果函数f(x)在区间[a,b]上单调不降，则其反函数f^-1(x)在区间[f(a),f(b)]上单调不降；如果函数f(x)在区间[a,b]上单调不增，则其反函数f^-1(x)在区间[f(b),f(a)]上单调不降。
三、应用1.单调性可用于求函数的最值。
由于单调不降函数在区间上的最小值为f(a)，最大值为f(b)，单调不增函数反之，因此我们可由单调性确定一个函数的最值。
2.单调性可用于函数图像的预测。
由于函数单调不降或单调不增的特性，我们可以根据已知点预测函数图像的整体增减趋势，从而更好地理解该函数。
3.单调性可用于求解不等式。
对于单调不降函数，我们可以根据函数的单调性求得不等式解集的范围，从而更好地解决不等式问题。
四、解题技巧1.建立函数模型。
对于一些具体的问题，我们需要先根据已知条件建立出函数模型。
2.求得函数的导数。
利用导数可求得函数的单调性及最值。
3.求解不等式。
根据函数的单调性及已知条件，求得不等式解集的范围。
函数的基本性质——单调性
3.4 函数的基本性质——单调性【知识解读】1、函数单调性的概念对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 )()(21x f x f <，那么就称)(x f 在区间I 上是单调增函数，区间I 称为函数)(x f 的单调 增区间。
对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 ，那么就称)(x f 在区间I 上是单调减函数，区间I 称为函数)(x f 的 。
2、函数单调性的运算：设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调增函数，则)()(x g x f +在21I I I 上单调增 设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调减函数，则)()(x g x f +在21I I I 上3、单调性与奇偶性：若奇函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 若偶函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 *4、复合函数单调性：同增异减。
【例题讲解】例1、证明函数()23+=x x f 在区间()+∞∞-,上是增函数。
例2、判别函数24xy =在区间),0(+∞上的单调性，并证明。
例3：判定函数()[]2,4,2-∈=x x x f 的单调性，并求出它的单调区间（不需证明）。
例4、已知函数x x x f +=3)(（1）判断并证明)(x f 在R 上的单调性 （2）方程1000)(=x f 有正整数解吗？为什么？例5、写出下列函数的单调区间（不需证明）（1）12)(+=x x f （2）2)1()(-=x x f（3）23)(2+-=x x x f （4）231)(-=x x f例6、已知函数a x a x x f 2)1()(2++-=在区间]1,2[-上单调递减，求实数a 的取值范围。
高三函数单调性知识点
高三函数单调性知识点函数的单调性是数学中一个重要的概念，它用来描述函数在某个区间上的增减情况。
在高三数学中，函数的单调性是一个重要的知识点，掌握了函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
下面将介绍高三函数单调性的相关知识点。
一、函数的单调性的定义对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意的x1,x2 ∈[a, b]，当 x1 < x2 时，有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递增的；如果对于任意的x1,x2 ∈ [a, b]，当 x1 < x2 时，有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递减的。
二、函数单调性的判定方法1. 导数法对于可导的函数，可以通过导数的正负来判定函数的单调性。
若在区间[a, b]上f'(x) > 0，则函数f(x)在该区间上是递增的；若在区间[a, b]上f'(x) < 0，则函数f(x)在该区间上是递减的。
2. 一阶差分法对于离散的函数，可以通过一阶差分来判定函数的单调性。
若对于离散函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x2) - f(x1) > 0，则函数f(x)在该区间上是递增的；若对于离散函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x2) - f(x1) < 0，则函数f(x)在该区间上是递减的。
三、函数单调性的性质1. 递增函数与递减函数的区别递增函数是指在定义域的任意区间上，函数值随着自变量的增加而增加；递减函数是指在定义域的任意区间上，函数值随着自变量的增加而减小。
递增函数和递减函数统称为单调函数。
2. 单调性与极值点的关系对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果函数在(a, b)内具有极值点，那么函数在该点附近不具有单调性。
3. 单调递增与严格单调递增函数在某个区间上是递增的，并不一定是严格递增的。
函数单调性的性质与判断-高中数学知识点讲解
函数单调性的性质与判断1．函数单调性的性质与判断【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2 时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是增函数；当x1＞x2 时，都有f（x1）＜f （x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是减函数．若函数f（x）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0 的根和不可导点的x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a 或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．1/ 1。
函数的性质单调性与极值的分析
函数的性质单调性与极值的分析函数的性质：单调性与极值的分析函数是数学中的重要概念，用来描述变量之间的关系。
在函数的研究中，了解函数的性质是至关重要的。
其中，函数的单调性和极值是两个重要的性质，它们能够帮助我们更好地理解和应用函数。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
具体而言，函数可以分为单调递增和单调递减两种情况。
单调递增表示函数值随着自变量的增大而增大，反之，单调递减则表示函数值随着自变量的增大而减小。
我们可以通过函数图像、导数和增减区间等方式来判断函数的单调性。
1. 函数图像通过观察函数的图像，我们可以直观地了解函数的单调性。
对于单调递增的函数，其图像从左往右逐渐上升；对于单调递减的函数，则是从左往右逐渐下降。
2. 导数函数的导数可以用来判断函数的单调性。
对于单变量函数，我们通过导数的正负来确定函数的单调性。
如果导数在定义域上恒大于零，则函数单调递增；如果导数在定义域上恒小于零，则函数单调递减。
3. 增减区间函数的增减区间也是判断函数单调性的重要方法。
通过求解函数的增减区间，我们可以确定函数在哪些范围内单调递增或单调递减。
了解函数的单调性对于解决实际问题非常有帮助。
例如，在经济学中，对于需求曲线和供给曲线的单调性分析可以帮助决策者做出合理的决策。
二、函数的极值函数的极值是指函数在一定区间内取得的最大值和最小值。
极大值是函数在某个点上的最大值，极小值则是函数在某个点上的最小值。
极值的判断也可以通过函数的图像、导数和二阶导数等方式进行。
1. 函数图像函数的极值点对应于函数图像上的局部最高点和最低点。
通过观察函数图像，我们可以找到函数的极值点。
2. 导数和二阶导数对于单变量函数，函数的极值点通常对应于导数为零的点。
通过求解函数导数为零的方程，我们可以确定函数的极值点。
此外，二阶导数的符号还可以帮助我们确定极值的类型。
如果二阶导数大于零，则函数在该点有极小值；如果二阶导数小于零，则函数在该点有极大值。
函数的基本性质之单调性
函数的基本性质之单调性1、函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.函数的单调性与单调区间函数=y )(x f 在区间D 上是增函数或减函数 函数=y )(x f 在这一区间具有（严格性）单调性 区间D 叫做=y )(x f 的单调区间3.对函数单调性的理解（1）定义中的1x ，2x 是指任意的，即不可用两个特殊值代替，且通常规定1x ＜2x .（2）对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些点.（3）单调函数定义的等价变形：)(x f 在区间D 上是增函数⇔任意1x ，2x D ∈，1x ＜2x ，都有 )(1x f <)(2x f ⇔0)()(2121>--x x x f x f ⇔[]0)()()(2121>--x x x f x f .（4）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“⋃”而应该用“和”或“，”来连接.题型一 求函数的单调区间例1：(1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数. (2)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________.例2：画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象并写出函数的单调区间.变式练习1 作出函数⎩⎨⎧>+-≤--=1,3)2(1,3)(2x x x x x f 的图象，并指出函数的单调区间.题型二 函数单调性的判定与证明利用定义法证明函数单调性的步骤：第一步：取值，即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且1x ＜2x ；第二步：作差变形，即作差)()(21x f x f -，并通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子； 第三步：判号，即确定)()(21x f x f -的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论； 第四步：定论，即根据定义得出结论.例2 已知函数f (x )＝2－xx ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.变式练习1.求证：函数11)(--=xx f 在区间()+∞,0上是单调增函数.(定义法)2.证明函数f (x )＝x ＋x1在(0,1)上是减函数．3.证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．题型三 函数单调性的简单应用例4：已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，6]上是减函数，求实数a 的取值范围.变式练习3 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1在(－∞，4)上是增函数，则实数a的取值范围是________.例5：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为________.变式练习4 已知f(x)是定义在[－1,1]上的单调递增函数，若f(a)<f(2－3a)，则a的取值范围是________.课后作业1.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A.y ＝|x | B.y ＝3－x C.y ＝1xD.y ＝－x 2＋42.若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是严格单调减函数，则有( ) A.a ≥12 B.a ≤12 C.a >12 D.a <123.定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有0)()(1212<--x x x f x f ，则( )A.f (3)<f (2)<f (1)B.f (1)<f (2)<f (3)C.f (2)<f (1)<f (3)D.f (3)<f (1)<f (2)4.若函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，3)上单调递减，则a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.a >3 C.a ≤3D.a <－35.已知⎩⎨⎧≥+-<+-=1,11,4)13()(x x x a x a x f 是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )A.(－∞，13)B.(17，＋∞) C.[17，13) D.(－∞，－17]∪(13，＋∞)6.函数y ＝x |x －1|的单调递增区间是__________________________________.7.已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是_____.8.已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．9.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.10.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是_____.11.写出下列函数的单调区间．(1)y ＝x ＋1________________； (2)y ＝－x 2＋ax ________________；(3)y ＝12-x ________________； (4)y ＝－1x ＋2________________.12.已知函数f (x )＝a －2x.(1)若2f (1)＝f (2)，求a 的值；(2)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性并用定义证明.13.函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.。
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1.3.1
单调性与最大（小）值
第二课时
函数单调性的性质
问题提出
1. 函数在区间D上是增函数、减函数的定义是什 么？ 2. 增函数、减函数的图象分别有何特征？ 3. 增函数、减函数有那些基本性质？
知识探究（一）
对于函数 f ( x)定义域内某个区间D上的任意两 个自变量的值 x1 , x2 ,若当 x1 x2 时，都有 (1)f ( x1 ) f ( x2 ) ,则称函数 f ( x) 在区间D上是 增函数； (2)f ( x1 ) f ( x2 ) ,则称函数 f ( x) 在区间D上是 减函数.
作业: P39 习题1.3A组：1，2，4.
上是减函数？
f ( x)
知识探究（二）
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则 称函数 f ( x)在这一区间具有（严格的）单调性，区 间D叫做函数 f ( x)的单调区间，此时也说函数 f ( x) 在这一区间上是单调函数. 思考1：函数 f ( x) kx b 是单调函数吗？ 思考2：函数 f ( x) | x | 在R上具有单调性吗？ 其单调区间如何？ 思考3：一个函数在其定义域内，就单调性而言 有哪几种可能情形？
f ( x) a0 思考2：若函数 在区间D上为增函数， a f ( x) af ( x) 为常数，则函数 、 的单调性如何？
思考3：若函数 f ( x)、 g ( x) 在区间D上都是增函数， 则函数 f ( x) g ( x) 、f ( x) g ( x) 在区间D上的单调性 能否确定？ 思考4：若函数 f ( x)在区间D上是增函数，则函数 在区间D上是增函数吗？函数 1 在区间D f ( x)
f (x)
思考1：对于函数 f ( x)定义域内某个区间D上的任意 两个自变量的值 x1 , x2 ( x1 x2 ) ，若 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 ，
则函数 f ( x)在区间D上的单调性如何？ 若
f ( x1 ) f ( x2 ) 0 呢？ x1 x2
x1 x2
理论迁移
f ( x 2) 1的解集.
2x 1 例1 已知函数 f ( x) ，求不等式 x
例2 已知函数 f ( x) ax 2 x 在区间[0，4] 上是增函数，求实数 a 的取(x) 满足：对任 意 a, b R，都有 f (a b) f (a) f (b)，且当 x 0 时，f ( x) 0 ，试确定函数的单调性.
思考4:若函数 f (x)在区间D上具有单调性， A D B ,那么 f (x)分别在区间A、B上具有单 调性吗？ 思考5:下列图象表示的函数是增函数吗？
y
y
o 图1
x
o 图2
x
思考6:一般地，若函数 f (x) 在区间A、B上是 单调函数，那么 f (x) 在区间 A B上是单调函 数吗？